MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 8

Spring 2014

Review

Pertemuan 1

Contoh ekonomi dalam matematika: π = TR – TC,Dimana π = keuntungan

TR = total penerimaan (total revenue) TC = total biaya (total cost)

Matematika Ekonomi analisa ekonomi dengan menggunakan simbol dan teori matematika dalam perumusan dan solusi masalah

1.Fungsi Konstan cth: y = f(x) = 5

2.Fungsi Polinom (suku banyak) y = f(x) = ai . Xi

n = 0 y = f(x) = a0 . X0 fungsi konstan (berderajat 0)n = 1 y = f(x) = a0 + a1.X1 fungsi linear (berderajat 1)

n = 2 y = f(x) = a0 + a1.X1 + a2.X2 fungsi kuadrat (berderajat 2)

3. Fungsi Non-Aljabar y = ax fungsi eksponen y = lnb(x) fungsi logaritma

Penyimpangan EksponenDalil Eksponen: Xn = X x X x …x X x X (sebanyak n kali)

• Dalil I : Xm x Xn = X(m+n)

• Dalil II :

• Dalil III : X-n =

• Dalil IV: X0 = 1

• Dalil V : X = x1/n

• Dalil VI : (Xm)n = Xmn

• Dalil VII : Xm x Ym = (XY)m

Con

toh

Pertemuan 2

Banjar adalah suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam

Beda

Pertemuan 3

Hitung Jarak dua Titik

RP2 = RQ2 + QR2 RQ = YR – YQ QP = XQ – XP

Garis Sejajar, Tegak Lurus, dan BerpotonganSifat 1: Dua garis lurus akan saling berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan persamaan garis yang lain.

Sifat 2: Dua garis akan sejajar bila curamnya sama.

Sifat 3: Dua garis lurus akan saling berpotongan tegak lurus apabila curam garis yang satu merupakan kebalikan negatif dari curam garis yang lain. m1 = -1

m2

Tugas

1. Sederhanakan perkalian berikut: a2 x a3 x a6

2. Jarak antara titik A(1,0) dan B(-1,4) adalah?3. Jika diketahui f(x) = x2 – 4x + 5, maka

besarnya f(5) adalah?4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik

(5,2) dan mempunyi curam m = -25. Tentukan koordinat titik potong garis y = 50 –

2x dengan x – 2y + 20 = 0.

Pertemuan 4

Lingkaran

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan tersebut dapat dibawa ke bentuk:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Dimana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari.

ElipsAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan elips dapat ditulis sebagai:(x – h)2 + (y – k)2 = 1 a2 b2

Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x, akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang akan sejajar dengan sumbu y.

Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b.Sumbu panjang = jari-jari panjangSumbu pendek = jari-jari pendek

ParabolaJika sumbunya sejajar dengan sumbu y:

Ax2 + Dx + Ey + F = 0Jika sumbunya sejajar dengan sumbu x:

Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Bentuk persamaan standar dari parabola:(x – h)2 = 4p (y – k)Dimana (h,k) adalah vertex dan sumbunya sejajar dengan sumbu y.

(y – k) 2 = 4p (x – h)Apabila sumbunya sejajar dengan sumbu x.

P adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.

HiperbolaAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan ini dapat dijadikan bentuk standar hiperbola yaitu:

(x – h)2 − (y – k)2 = 1 a2 b2

atau(y – k)2 − (x – h)2 = 1 b2 a2

Dimana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.

Asimtot ditunjukkan oleh persamaan:x – h = ± y – k a b

Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus. Maka persamaan hiperbola bisa menjadi:

(X−h)(Y−k)=c

Pertemuan 5

Fungsi Permintaan

Kurva permintaan dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan sumbu vertikal maupun horizontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas, bawah, kiri, maupun kanan.

Fungsi Penawaran• Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola dan

parabola tersebut sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu vertikal.

Kurva Indifference

Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu.

Sifat-sifat kurva indifference:- Merupakan kurva yang menurun- Cembung terhadap titik origin- Tidak saling berpotongan- Semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh semakin tinggi

Tugas 21. Buat sketsa grafik: 24x2 – 10xy – 4y2 = 0

2. Tentukan vertex dari persamaan berikut:

a. (x – 3)2 = -8(y + 4)

b. 9(x – 4)2 – 4(y + 8)2 = 36

3. Diketahui pasangan persamaan:

a. Q = 16 − 2P

b. 4Q = 4P+P2

Tentukan dari pesamaan a dan b yang mana fungsi permintaan dan yang mana fungsi penawaran dan jumlah keseimbangan.

4. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan 5x2 + 6y2 − xy=a dan garis anggarannya x + 2y = 24.

Pertemuan 6

Kaidah-Kaidah Limit1. lim k = k

xa

2. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = A + Bxa xa xa

3. lim (f(x).g(x)) = [lim f(x)].[lim g(x)] = A . Bxa xa xa

4. lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)] / [lim g(x)] = A / Bxa xa xa

5. lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = An

xa xa

6. lim [n√f(x)] = n√lim f(x) = A1/n

xa xa

Kaidah-Kaidah LimitUntuk limit x∞, maka:• Lim 1 = 0

x∞ x

Untuk fungsi pecahan f(x) / g(x), dengan anxn dan pmxm masing-masing adalah suku dalam pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan pangkat x tertinggi berlaku:

• lim f(x) = lim anxn = Lx∞

g(x) x∞

pmxm

Dimana L = 0 apabila n < mL = ∞ apabila n > mL = a/p apabila n = m

Turunan pertama

m = tan α = yb – ya = Δy

xb – xa = Δx

Penurunan fungsilim Δy diberi simbol dy yang dibaca turunanΔx0 Δx dx

f(x) = xn turunannya adalahf’(x) = n.xn-1

Apabila f(x) = a, dimana a adalah nilai konstan maka f’(x) = 0

Contoh:f(x) = x2 + 3x+ 2f’(x) = 2x + 3

Kaidah-Kaidah Turunan Pertama• Turunan dari suatu konstan adalah sama dengan nol.

• Jika y = k maka y’ = 0 atau dy/dx = 0

• Jika y = xn maka y’ = nx(n-1)

• Jika y = k.f(x) maka y’ = k.f’(x)• Jika y = f(x) + g(x) maka y’ = f’(x) + g’(x)

Kaidah-Kaidah Turunan• Jika y = U . V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: y’ = U.V’ + U’.V

• Jika y = U / V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: y’ = U’.V – U.V’

V2

• Jika y = Un dimana U = f(x) makay’ = nUn-1 – U’

• Jika y = log U dan U = f(x) makay’ = U’ log e

U

Pertemuan 7

Elastisitas• Apabila terjadi perubahan

harga dari P0 menjadi P1, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q1.

• Persentase perubahan harga:

P1 – P0 . 100%

P0

• Persentase perubahan jumlah barang:

Q1 – Q0 . 100% Q0

Q0Q1

Elastisitas

εp = εh = ΔQ . P0

ΔP Q0

Dengan demikian, apabila diambil limit dari ΔQ/ΔP sehingga akan menjadi:

εp = εh = dQ . P0

dP Q0

Jenis-jenis Elastisitas

Nilai elastisitas yang terkecil adalah 0 dan yang terbesar adalah ∞.

• εh > 1 permintaan elastis

• εh = 1 unitary elastis (elastisitas tunggal)

• εh < 1 permintaan inelastis (tidak elastis)

Turunan Pertama• Fungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a, bila

f(a) lebih kecil dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.• Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum lokal pada x = a,

bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.

• Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif.• Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

Turunan KeduaTurunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik amksimum atau minimum

Bila f(x) dan f’(x) kontinu pada x = a dan f’(a) – 0, maka:• Titik x = a maksimum bila f”(a) < 0• Titik x = a minimum bila f”(a) > 0• Tes tidak dapat dilakukan bila f”(a) = 0

Tugas 3

1. Cari hasil dari:

a.

b.

2. Cari turunan pertama dari:

a. y = x2 +2x-10

b. y = (x+1)(x+2)

c. y = 1/(x2 +5)

d. y = log(2x+10)