Esericizi PAM (Pulse Amplitude Modulation exercises)

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ESERCIZIO 1 Unasorgentesenzamemoriaemetteunsimboloogni. sec 5m Talisimbolisonoquantizzatie codificatiDPCM.LeprobabilitdeisimboliDPCMsonodate: ), 8 ( 6 ) 2 ( ) 1 ( P P P = = ), 8 ( 4 ) 3 ( P P =), 8 ( 3 ) 5 ( ) 4 ( P P P = = ) 8 ( 2 ) 7 ( ) 6 ( P P P = = .TalisimbolisonopoiinviatisuuncanaleAWGNcon densitspettrale HzW1210= tramiteunatecnicadimodulazioneadampiezzadimpulso multilivello( 8livelli,daV 1 a, 8V equispaziati)cheutilizzaunaformadonda) (t gsagomatain frequenza a coseno rialzato con roll-off pari al% 30 . Supponendo di essere a regime (tralasciare la fase iniziale della codifica DPCM): a.Determinare il valor medio dei simboli DPCM.b.Determinare la varianza dei simboli DPCM.c.Trovare lespressione analitica e disegnare in maniera dettagliata lo spettro PAM. SOLUZIONE ESERCIZIO 1 a.La seguente figura mostra uno schema a blocchi del nostro sistema di trasmissione: Abbiamo una sorgente senza memoria che emette un simbolo ognisec 5m . Per la codifica viene utilizzata una DPCM (Differential Code Pulse Modulation). La DPCM un sistema di codifica predittiva che sfrutta il concetto di predizione del campione e trasmissione dellerrore. Lerrore) (cKT viene quantizzato su M livelli: = ) 1 ( ,..., 3 , ) ( M kTc qLerrore quantizzato viene quindi codificato con una parola di codice binaria composta da M n2log =bit. Nella DPCM tipicamente il predittore molto sofisticato e per predire un campione, non si usa solo il campione precedente, bens una combinazione lineare degli N campioni precedenti: = =

ic q i c qT k x c kT x1] ) 1 [( ) (Dove icindica quanto possibile prevedere il valore del campione) (ckT xa partire dal valore del campione] ) 1 [(c qT k x .Per progettare un predittore basato sulla precedente relazione lineare occorre determinare i valori deglicoefficienti ic ,. ,......, 1i=I valori dei coefficienti dipendono dallo specifico tipo di segnale che si sta analizzando. In particolare, ragionevole assumere che tali valori dipendano dalla funzione di autocorrelazione del segnale analogico originale). (t xNei casi reali, non possibile conoscere esattamente la funzione di autocorrelazione di un segnale generico), (t xma possibile solo stimarla:). (i R Rx i=Loccupazione di banda di una DPCM facilmente calcolabile a partire dal bit-rate sulla base del tipo di forma donda e della tecnica utilizzata per effettuare la trasmissione dei campioni dellerrore. Se lerrore trasmesso quantizzato su M livelli ed codificato con parole di codice binarie di lunghezza, log2M n=si ottiene che il bit-rate di una DPCM pari a: cc bTnf n r = = Nel nostro caso, il testo ci fornisce gi le probabilit dei simboli in uscita dal codificatore DPCM ci significa che la fase di codifica iniziale gi stata effettuata. Le probabilit dei simboli DPCM sono le seguenti: P(1)=P(2)=6P(8)P(3)=4P(8) P(4)=P(5)=3P(8) P(6)=P(7)=2P(8) Dalla teoria sappiamo che se2 1 2 1A A A A = + lunione di due eventi mutuamente esclusivi, allora ), ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 2 1A P A P A A P A A P + = = +e in generale: , 1 ) ( ) ,...., , (12 1 == =mii mA P A A A Pmentre02 1= A A ) 1 (Essendo gli eventi mutuamente esclusivi possiamo calcolare il valore delle probabilit applicando la ). 1 (1 ) 8 ( ) 7 ( ) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( = + + + + + + + P P P P P P P PSostituendo si ottiene: 1 ) 8 ( ) 8 ( 2 ) 8 ( 2 ) 8 ( 3 ) 8 ( 3 ) 8 ( 4 ) 8 ( 6 ) 8 ( 6 = + + + + + + + P P P P P P P P Da cui ricaviamo) 8 ( P : = ) 8 ( P271 Le probabilit dei singoli simboli saranno: 276) 2 ( ) 1 ( = =P P274) 3 ( = P83) 5 ( ) 4 ( = =P P82) 7 ( ) 6 ( = =P P Possiamo ora calcolare il valor medio dei simboli DPCM. Il valor medio di una variabile aleatoria realex lintegrale: + = = dX X f X x Ex x) ( } { dove) ( X fx la densit di. xSex di tipo discreto e assume i valori iX , con probabilit iP , allora: = =ii i xP X x E } { ) 2 (Nel nostro caso utilizziamo la) 2 (ottenendo: 279127182727272627352734274327622761) 8 ( 8 ) 7 ( 7 ) 6 ( 6 ) 5 ( 5 ) 4 ( 4 ) 3 ( 3 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1== + + + + + + + == + + + + + + + = P P P P P P P Px b. La varianza o dispersione 2 definita come: dX X f x x Ex x x) ( ) ( } ) {(2 2 2+ = = Se x di tipo discreto, allora: =ii x iP X2 2) ( Si nota che: 2 2 2 2 2 2 2} { } { 2 } { } 2 {x x x xx E x E x E x x E = + = + = Otteniamo in questo modo: } { } {2 2 2x E x E = 347274232716427249272362732527316274927642761) 8 ( 8 ) 7 ( 7 ) 6 ( 6 ) 5 ( 5 ) 4 ( 4 ) 3 ( 3 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 } {2 2 2 2 2 2 2 2812 2= == + + + + + + + == + + + + + + + = ==P P P P P P P P P x x Eiii 7293140279134722= ||

\| = c.Dopo la codifica DPCM i simboli vengono inviati sul canale attraverso una PAM che utilizza una forma donda a coseno rialzato con3 . 0 = . Lo spettro della PAM nella sua forma generale, si ricava dalla seguente relazione: fkT jkae k R f GTf S 2 2) ( ) (1) ( = Nel caso in cui i simboli siano scorrelati si applica la seguente formula semplificata: ||

\| + =nTnf f GTf GTf S 22222) ( ) ( ) ( La nostra sorgente senza memoria, quindi i simboli emessi saranno indipendenti tra loro con probabilit condizionata pari a: ) ( ) / () 1 (injniS P S S P =

Inoltre dalla teoria sappiamo che se due o pi simboli sono tra loro indipendenti, allora risultano anche scorrelati. Pertanto possiamo concludere che nel nostro caso lo spettro della PAM dato da: ||

\| + =nTnf f GTf GTf S 22222) ( ) ( ) ( Dove: -2 varianza dei simboli DPCM -2 valor medio al quadrato dei simboli DPCM - T tempo di sorgente pari asec 5m -) ( f G spettro del coseno rialzato che pari a:

++ ||

\|+ == brfbrfbrbrfprbrf Trf G202 2 2 4cos121) (2fp pp

Si ha quindi: ++ ||

\| ||

\|+ + ||

\|+ ||

\| += brfbrfbrTnfbrfpTT brfpTTbrfTnf TTTTf Snn202 2 2 4cos2 4cos2) (222222222222fp pp

++ ||

\| ||

\|+ + ||

\|+ ||

\| += brfbrfbrTnfbrfpbrfpTbrfTnf Tf Snn202 2 2 4cos2 4cos2) (4 2 4 22 2fp pp

Sostituendo si ottiene: ||

\| ||

\|+ + ||

\|+ ||

\| + =3130031303702 4cos72982812 4cos 10 57293140370729828110 57293140) (4 4 33fp ppffTnfbrfpbrfpfTnff Snn

E riportato in basso il grafico dello spettro: Il nostro spettro si annulla in: 31302 2) 1 (2 2= ||

\| + = + = + = brbrbrbrW dove3 8 log log2 2= = = M bessendo la PAM a8 livelli Il punto di flesso in: 31002= =brfc Notiamo che abbiamo solo un impulso nellorigine in quanto per0 ngli impulsi cadrebbero dove il nostro spettro nullo.ESERCIZIO 2 Si consideri la funzione triangolo: ||

\|T > tT < tTtTt| | 0| |1Sia data una segnalazione PAM la cui funzione di autocorrelazione corrisponde a:( )( ) [ ] )` ||

\|+= ksTT + +T= R1 2k 2 24a.Discutere questa segnalazione PAM nel dominio del tempo. b.Disegnare lo spettro di densita di potenza e discutere questa segnalazione PAM in frequenza. SOLUZIONE ESERCIZIO 2 a.L'autocorrelazionecompostadauntriangolodialtezza4ebaseTcentratoinzero,piun treno di triangoli di altezza unitaria e base T centrati sui kT dispari. Dalla funzione di autocorrelazione si possono ricavare alcuneinformazioni sulla sorgente: L'autocorrelazione dei simboli di sorgente la seguente: La forma d'onda associata ai simboli di sorgente un rettangolo con duty cycle del 50%. IlprocessoPAMnonstazionarioperchnonesisteillimiteall'infinito dell'autocorrelazioneenemmenociclostazionario(iparametristatisticinonsiripetonoa intervalli fissati) perch il treno di triangoli centrato sui kT dispari. Per questo motivo, non ha senso parlare di media e varianza e non pertanto possibile risalire ai simboli di sorgente (supponendo il processo binario o M-ario) ed alle loro probabilit. ESERCIZIO 3 Si consideri il sistema di trasmissione in Figura, dove x(t) e una segnalazione PAM con funzione di autocorrelazione Rx() generica, e i blocchi contrassegnati con sono moduli di ritardo di valore t0. x(t) + z(t) y(t) a.Calcolare lo spettro di densit di potenza del segnale y(t). b.Se x(t) e un processo Gaussiano con Rx()=(), per quali valori di t0, se esistono, le variabili aleatorie y(t0) e z(t0) sono indipendenti? c.Sex(t)eunprocessoGaussianoconRx()= (/T/2),perqualivaloridit0,seesistono,le variabili aleatorie y(t0) e z(t0) sono indipendenti? SOLUZIONE ESERCIZIO 3 a.Ilsegnaley(t)inuscitadalsistemacompostodallasommadellasegnalazionePAMx(t)in ingresso e dal medesimo segnale con un ritardo pari a 2t0. y(t)=x(t)+x(t-2t0) Il sistema pu essere rappresentato come segue: Dove: y(t)=x(t) h(t) y(t)=x(t) [ ) (t + (t-2t0)] h(t)=[ ) (t + (t-2t0)] EffettuandooralatrasformatadiFourierdellarispostaimpulsivah(t)otteniamolafunzionedi trasferimento H( ) del sistema. Ricordiamo che:[ (t- t0)] =0t j lH( )=[h(t)]=1+02t j lLa densit spettrale di potenzaS y( ) data da: S y( )=Sx( )|H( )|2 Cerchiamo unespressione pi comoda per la funzione di trasferimento. h(t) x(t)y(t) Ricordando la formula di Eulero secondo cui 2t j t j + l l=cos( t ) H( )=1+02t j l = =20t j l20 0t j t j + l l= =20t j lcos(0t ) |H( )|2=4 cos2(0t ) S y( )=Sx( )|H( )|2= =4 Sx( )cos2(0t ) b.Consideriamo la seguentexR ( )=() Le due uscite del sistema sono: y(t)=x(t)+x(t-2t0) z(t)=x(t-t0) Alfinediverificarelindipendenzadellevariabilialeatoriey(t)ez(t)sufficienteverificareche essesianoscorrelateinquantolascorrelazione,incasodiprocessigaussiani,implica lindipendenza. SCORRELAZIONE gaussiani p. INDIPENDENZA INDIPENDENZA sempre SCORRELAZIONE Poich il sistema lineare, se x(t) un processo stazionario, anche y(t) e z(t) sono tali in quanto lintroduzione di ritardi e di somme non modifica la propriet di stazionariet. Il processo x(t) a media nulla, in quanto lasintoto di xR ( ) per che tende a infinito nullo. Di conseguenza anche i due processi y(t) e z(t) lo sono. Sar quindi sufficiente verificare per quali valori di 0til coefficiente di correlazione nullo. 0 = =z yyz ) (xR 0Dobbiamo annullare il numeratore: