Tracce svolte di esercizi sulla Trasmissione del Calore Prof. Mistretta a.a. 2009/2010 Esercizio n. 1 Si consideri una parete di mattoni alta 4 m, larga 6 m e spessa 0,3 m, la cui conducibilità termica è λ λ = 0, 8 [W/(m°C)]. In un certo giorno i valori misurati delle temperature della superficie interna e della superficie esterna della parete sono 14°C e 6°C, rispettivamente. Si determini la potenza termica dissipata attraverso la parete in quel giorno. Dati H = 4 m L = 6 m s = 0,3 m

Q& s

T1

T2

H

L

Soluzione Le due superfici della parete si mantengono a ben determinate temperature costanti. Sono quindi superfici isoterme. Per calcolare la potenza termica si assume l’ipotesi di: - Trasmissione di calore stazionaria perché le temperature superficiali restano costanti - Trasmissione di calore monodimensionale perché il gradiente di temperatura è significativo solo nella direzione dall’interno verso l’esterno. - Conducibilità termica costante. L’area della superficie della parete è: A = HxL = 4x6 = 24 [m2] Nell’ipotesi di regime stazione e configurazione monodimensionale (s<<H,L), la potenza termica dispersa per conduzione attraverso la parete si calcola applicando l’integrale dell’equazione di Fourier:

][5123,0

614248,021 W

s

TTAQ =−⋅=

−= λ&

Il flusso termico è:

]/[3,213,0

6148,0 221 mW

s

TT

A

Qq =−⋅=−== λ

&

Esercizio n. 2 Si consideri una finestra vetrata delle dimensioni 0,8mx1,5m e dello spessore di 8 mm, caratterizzata da una conducibilità termica λ = 0,78 [W/(m°C)]. Si determinino la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la finestra e la superficie interna della finestra in un giorno in cui l’ambiente interno è a temperatura Ti = 20°C e l’ambiente esterno è a temperatura Te = -10°C. Si assumano quali coefficienti di scambio termico sulle superfici esterna ed interna della finestra he = 40[W/(m2°C)] e hi = 10[W/(m2°C)], includendo in essi gli effetti dell’irraggiamento termico. Dati λ = 0,78 [W/(m°C)] hi = 10[W/(m2°C)] he = 40[W/(m2°C)] Area vetrata Av =1,2 [m2]

Te = -10°C Ti = 20°C s = 8 [mm]

s

Ipotesi Le due superfici della finestra si mantengono a ben determinate temperature costanti. Sono quindi superfici isoterme. Per calcolare la potenza termica si assume l’ipotesi di: - Trasmissione di calore stazionaria perché le temperature interna ed esterna si ipotizzano costanti - Trasmissione di calore monodimensionale perché il gradiente di temperatura è significativo solo nella direzione dall’interno verso l’esterno. - Conducibilità termica costante. Soluzione 1. Calcolo della potenza termica attraverso la finestra. Nell’ipotesi di regime stazione e configurazione monodimensionale (s<<H,L), la potenza termica dispersa per conduzione attraverso la finestra si calcola applicando l’integrale dell’equazione di Fourier:

][WR

TTAQ ei

v

−=&

dove R è la resistenza termica globale pari a:

°=++=++=W

Cm

h

s

hR

ev

v

i

2

135,040

1

78,0

008,0

10

111

λ

Rconv,i Rcond Rconv,e La potenza termica risulta:

][266135,0

)10(202,1 W

R

TTAQ ei

v =−−=−

=&

2.Calcolare la temperatura della superficie interna della finestra T1. Nota la potenza termica, si ricava la T1: Essendo

i

iv

eiv

h

TTA

R

TTAQ

11−

=−

=&

Risulta:

ChA

QTT

ivi °−≅−=−= 2,2

10

1

2,1

26620

11

&

Da notare è il valore negativo di temperatura sulla superficie interna sebbene la temperatura dell’ambiente interno è 20°C. Ciò è da evitare perché può causare condensa o brina sulla superficie interna quando l’umidità della stanza è elevata.

Esercizio n. 3 Rifare l’esercizio precedente, ipotizzando che la finestra vetrata alta 0,8 (m) e larga 1,5 (m) sia costituita da due strati di vetro di spessore di 4 mm [λ = 0,78 W/(m°C)], separati da un’intercapedine d’aria ferma spessa 10 mm [λ = 0,026 W/(m°C)]. Si determinino allora la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la finestra e la superficie interna della finestra in un giorno in cui l’ambiente interno è a temperatura Ti = 20°C e l’ambiente esterno è a temperatura Te = -10°C. Si assumano quali coefficienti di scambio termico sulle superfici esterna ed interna della finestra he = 40[W/(m2°C)] e hi = 10[W/(m2°C)], includendo in essi gli effetti dell’irraggiamento termico. Dati λ = 0,78 [W/(m°C)] hi = 10[W/(m2°C)] he = 40[W/(m2°C)] Area trasversale vetrata Av =1,2 [m2]

Te = -10°C Ti = 20°C sv = 4 [mm] sint = 4 [mm]

Te = -10°C

Ti = 20°C

Ipotesi Le due superfici della finestra si mantengono a ben determinate temperature costanti. Sono quindi superfici isoterme. Per calcolare la potenza termica si assume l’ipotesi di: - Trasmissione di calore stazionaria perché le temperature interna ed esterna si ipotizzano costanti - Trasmissione di calore monodimensionale perché il gradiente di temperatura è significativo solo nella direzione dall’interno verso l’esterno. - Conducibilità termica costante. Soluzione Calcolo della potenza termica attraverso la finestra. Nell’ipotesi di regime stazione e configurazione monodimensionale (s<<H,L), la potenza termica dispersa per conduzione attraverso la finestra si calcola applicando l’integrale dell’equazione di Fourier:

][WR

TTAQ ei

v

−=&

dove R è la resistenza termica globale pari a:

°=++⋅+=++=++= ∑= W

Cmss

hh

s

hR

v

v

iej j

j

i

2

int

int3

1

52,040

1

026,0

01,0

78,0

004,02

10

12111

λλλ

Rconv,i Rcond Rconv,e La potenza termica risulta:

][2,6952,0

)10(202,1 W

R

TTAQ ei

v =−−=−

=&

che corrisponde a circa un quarto della potenza termica ottenuta nell’esercizio precedente, grazie alla maggiore resistenza termica della finestra a doppio vetro per effetto dell’intercapedine d’aria. Tuttavia la resistenza dell’intercapedine d’aria calcolata in regime di conduzione è teorica. Essa è in realtà minore di quella calcolata perché ci sono delle correnti d’aria convettive naturali nell’intercapedine che favoriscono lo scambio termico, a danno quindi della resistenza 3.Calcolare la temperatura della superficie interna della finestra T1. Nota la potenza termica, si ricava la T1: Essendo

i

iv

eiv

h

TTA

R

TTAQ

11−

=−

=& [W]

Risulta:

ChA

QTT

ivi °=−=−= 2,14

10

1

2,1

2,6920

11

&

che risulta molto più alta rispetto a quella dell’esercizio precedente (-2,2°C). Il vetro doppio, oltre a evitare i fenomeni di condensa, riduce gli apporti termici dall’esterno, consentendo una riduzione dei costi per il raffrescamento.

Per tracciare il grafico T(x) lungo la finestra occorre determinare la distribuzione della temperatura:

Cs

hA

QTT

v

v

ivi °=

+−=

+−= 9,13

78,0

004,0

10

1

2,1

2,6920

12 λ

&

Css

hA

QTT

v

v

ivi °−=

++−=

++−= 2,8

026,0

01,0

78,0

004,0

10

1

2,1

2,6920

1

int

int3 λλ

&

Csss

hA

QTT

v

v

v

v

ivi °−=

+++−=

+++−= 5,8

78,0

004,0

026,0

01,0

78,0

004,0

10

1

2,1

2,6920

1

int

int4 λλλ

&

Esercizio n. 4 Si consideri una finestra di vetro alta 1,2 m e larga 2 m, il cui spessore è 6 mm e la cui conducibilità termica è λ = 0,78 [W/(m°C)]. Calcolare: (a) la potenza termica trasmessa attraverso questa finestra in regime stazionario e (b) la temperatura della sua superficie interna in un giorno in cui la temperatura della stanza è mantenuta a 24 °C, mentre la temperatura esterna è -5°C. Si supponga che i coefficienti di scambio termico convettivo della superficie interna e della superficie esterna della finestra siano hi = 10 [W/(m2°C)] e he = 25 [W/(m2°C)] rispettivamente, e si trascuri la trasmissione per irraggiamento. Dati H = 1,2 m L = 2 m s = 6 mm λ = 0,78 W/(m°C) Te = -5 °C Ti = 24°C Soluzione Area della superficie della finestra A = H x L =1,2 x 2 = 2,4 m2

Resistenza termica dei singoli strati

1) Resistenza allo scambio termico della superficie interna per convezione (aria interna- superficie interna parete)

°===W

Cm

hR

iiconv

2

, 1,010

11

2) Resistenza allo scambio termico per conduzione attraverso la lastra:

°===W

CmsR

v

v2

1 008,078,0

006,0

λ

3) Resistenza allo scambio termico della superficie esterna per convezione (superficie esterna

parete- aria esterna)

°===W

Cm

hR

ieconv

2

, 04,025

11

Resistenza totale R = Rconv,i + R1 + Rconv,e = 0,1+0,008+0,04 = 0,148 [m2°C/W]

Potenza termica dispersa attraverso la finestra in regime stazionario

][470148,0

5244,2 W

R

TTAQ ei =−⋅=

−=&

Flusso termico

]/[2,1964,2

470 2mWA

Qq ===

&

Temperatura superficiale interna Ts,i

]C[4,41,02,19624

:risultacuida

:ancheèedcostanteèqostazionariregimeil assume si Poichè

Essendo

,,

,

,

°=⋅−=−=

−=

−=

iconviis

iconv

isi

ei

qRTT

R

TTq

R

TTq

Esercizio n.5 Calcolare la potenza termica per unità di superficie che attraversa la seguente parete verticale e la distribuzione di temperatura con relativo grafico: Dati: Coefficiente di scambio termico interno per adduzione hi = 7 [W/m2°C] Coefficiente di scambio termico esterno per adduzione he = 23 [W/m2°C] Temperatura aria interna Ti = 20°C Temperatura aria esterna Te = 0°C Stratigrafia della parete

Materiale Spessore [mm] Densità [kg/m3] Conduttività termica [W/m°C]

Intonaco di cemento e calce

20 1800 0,9

Mattoni pieni 120 1800 0,3 Intonaco di cemento 20 2000 1,4 Soluzione Per calcolare il flusso termico si assume l’ipotesi di: - Trasmissione di calore stazionaria perché le temperature superficiali restano costanti - Trasmissione di calore monodimensionale perché il gradiente di temperatura è significativo solo nella direzione dall’interno verso l’esterno e tutte le superfici verticali sono superfici isoterme. - Conducibilità termica costante. Sotto tali ipotesi:

−=

2m

W

R

TTq ei

R è la resistenza termica allo scambio termico globale tra l’aria a temperatura Ti e l’aria esterna a temperatura Te attraverso la parete: R = Rconv,i + Ra + Rb + Rc + Rconv,e =

][6,023

1

4,1

02,0

3,0

12,0

9,0

02,0

8

111W

h

sss

h ec

c

b

b

a

a

i

=++++=++++=λλλ

=−=−

=2

336,0

020

m

W

R

TTq ei

sa sb sc

Calcolo delle temperature - Temperatura della superficie interna Ts,i. Dall’equazione q = hi (Ti-Ts,i)

][9,158

13320, CRqTT iiis °=⋅−=⋅−=

- Temperatura T1 tra lo strato sa e lo strato sb

T1=Ti - q(Ri +Ra) = ][14,159,0

02,0

8

13320

1C

s

hqT

a

a

ii °=

+−=

+⋅−

λ

- Temperatura T2 tra lo strato sb e lo strato sc

T2=Ti - q(Ri +Ra+ Rb) = ][23,0

12,0

9,0

02,0

8

13320

1C

ss

hqT

b

b

a

a

ii °=

++−=

++⋅−

λλ

- Temperatura della superficie esterna Ts,e.

Ts,e = ][5,14,1

02,0

3,0

12,0

9,0

02,0

8

13320

1C

sss

hqT

c

c

b

b

a

a

ii °=

+++−=

+++⋅−

λλλ

Ovvero si verifica dall’equazione q = he (Ts,e-Te) che

][45,123

1330, CqRTT eeis °=⋅+=+=

2°C Ti=20°C

Ts,i

sa sb sc

Te = 0°C

Esercizio n. 6 Una parete alta 3 m e larga 5 m è costituita da lunghi mattoni orizzontali [λ = 0,78 W/(m°C)] da 16 cm x 22 cm in sezione trasversale, separati da strati di malta [λ = 0,22 W/(m°C)] da 3 cm di spessore. Vi sono anche strati di malta da cm 2 di spessore su ciascuna faccia del mattone e una schiuma rigida [λ = 0,026 W/(m°C)] da 3 cm di spessore sul lato interno della parete. La temperatura interna è Ti = 20°C e l a temperatura esterna è Te = -10°C. Si assumano quali coefficienti di scambio termico sulle superfici esterna ed interna della finestra he = 25 [W/(m2°C)] e hi = 10[W/(m2°C)], escludendo in essi gli effetti dell’irraggiamento termico. Si determini la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la parete.

1,5 cm

22 cm

1,5 cm

3 cm 3 cm 16 cm 2 cm

Soluzione La trasmissione si può approssimativamente considerare monodimensionale dal momento che prevale lungo l’asse x (direzione dello spessore). In questa parete vi è una disposizione che si ripete ogni 25 cm nella direzione verticale, mentre in quella orizzontale non vi sono variazioni. Si considera pertanto una porzione di parete di larghezza 1 m e altezza 0,25 m, dal momento che essa è rappresentativa dell’intera parete. Si assume isoterma ogni sezione trasversale della parete normale all’asse x. Il flusso termico che giunge sulla superficie interna della parete: 1. attraverserà lo strato di schiuma rigida di 3 cm 2. in sequenza, attraverserà lo strato di malta di spessore 2 cm 3. quindi, si ripartirà nei diversi materiali della porzione di parete (malta 1,5 cm + mattone 22 cm + malta 1,5 cm) in funzione della resistenza termica di tali materiali 4. attraverserà in sequenza lo strato più esterno di malta di spessore 2 cm.

q q q

qm

qM

qm

Calcolo della resistenza termica totale della parete La resistenza totale della parete è data dalla somma delle resistenze dei singoli strati della porzione di parete - resistenza convettiva sulla superficie interna (scambio termico aria interna – superficie interna parete)

°===W

Cm

hR

iconviconv

2

,, 1,0

10

11

Tenendo conto della superficie di scambio termico A = hL =0,25x1 = 0,25 [cm] si calcola:

°=⋅

==W

C

AhR

iconviconv 4,0

25,010

11'

,,

- resistenza conduttiva degli strati (serie: schiuma rigida s1 – malta s2– mattoni + malta sopra e

sotto s3 – malta s4)

strato di schiuma rigida

°===W

CmsR

s

21

1 15,1026,0

03,0

λ

°=⋅

==W

C

A

sR

s

62,425,0026,0

03,0' 11 λ

strato di malta

°===W

CmsR

m

22

2 09,022,0

02,0

λ

°=⋅

==W

C

A

sR

m

36,025,022,0

02,0' 22 λ

porzione malta (h =1,5 cm) + mattone (h = 22 cm) + malta (h =1,5 cm) La resistenza R3 del blocco mattoni + malta sopra e sotto di spessore s3 è legata alla resistenza termica RM dell’area AM dei mattoni e alla resistenza termica Rm dell’area Am dello strato di malta sopra e sotto il mattone:

-

°===W

CmsR

MM

23 2,0

72,0

16,0

λ è la resistenza termica specifica dei mattoni

- AM = h xL = 0,22 x 1=0,22 [m2] è l’area della porzione di parete relativa ai mattoni in direzione ortogonale al flusso termico

-

°===W

CmsR

mm

23 72,0

22,0

16,0

λ è la resistenza termica specifica dello strato di malta che

circonda i mattoni

- Am = hL = 0,015 x 1= 0,015 [m2] è l’area relativa alla malta sopra e sotto ogni mattone in direzione ortogonale al flusso termico, quindi deve essere contata due volte

Detta ∆T la differenza di temperatura tra le superfici verticali che delimitano la porzione in esame, la potenza termica che la attraversa è:

][

'

1

'

1

'

1

1

'

1

'

1

'

1111111

2'

333333

333

W

RRR

T

TRRR

T

A

R

A

R

A

RT

A

s

A

s

A

s

A

sT

A

sT

A

sT

sT

AsT

AAqAqAqR

TqAQ

mMm

mMm

m

m

M

M

m

m

mmMMmmmmMMmm

M

M

m

mmmMMmm

++

∆=

∆

++=∆

++=∆

++=∆+∆+∆=

=∆+∆=++=∆==

λλλλλλ

λλ

&

dove R’M e R’m [°C/W] sono le resistenze termiche non specifiche ma che tengono conto dell’area trasversale considerata rispettivamente per i mattoni (AM) e la malta (Am). Si ottengono dividendo le resistenze specifiche per l’area.

°===

°===

W

C

A

RR

W

C

A

RR

m

mm

M

MM

48,48015,0

72,0'

01,122,0

2,0'

Complessivamente la porzione malta sopra+mattone+malta sotto presenta una resistenza pari a:

°=

++=

++

=W

C

RRR

R

mMm

97,0

48,48

1

01,1

1

48,48

1

1

'

1

'

1

'

1

1'3

- strato di malta esterno

°==W

CmRR

2

24 09,0

°==W

CRR 36,0'' 24

- resistenza convettiva sulla superficie esterna

°===W

Cm

hR

econveconv

2

,, 06,0

15

11

°=⋅

==W

C

AhR

econveconv 16,0

25,025

11'

,,

La resistenza totale RT della parete è:

°=+++++=+++++=W

CRRRRRRR econviconvT 87,616,036,097,036,062,440,0''''''' ,4321,

La potenza termica stazionaria trasmessa attraverso una superficie di area 0,25 m2 è:

][37,487,6

)10(20

'W

R

TTQ

T

ei =−−=−=&

Il flusso termico (potenza per m2 di superficie) è:

===2

5,1725,0

37,4

m

W

A

Qq

&

Essendo l’area totale della parete è Ap= 3x5 =15 m2, la potenza termica trasmessa attraverso la parete è:

[ ]WAqQ p 263155,17 =⋅=⋅=&

Esercizio n. 7 Si consideri una casa che ha una base di 10m x 20m e pareti alte 4 m. Tutte e quattro le pareti della casa hanno una resistenza termica specifica di 2,31 [m2C°/W]. Le due pareti di 10 m x 4 m sono prive di finestre. La terza parete ha cinque finestre fatte di vetro spesso 0,5 cm [λ = 0,78 W/(m°C)], ciascuna delle quali misura 1,2 m x 1,8 m. La quarta parete ha le stesse dimensioni e lo stesso numero di finestre, ma queste sono a doppio vetro con uno spazio di aria stagnante spesso 1,5 cm [λ = 0,026 W/(m°C)], racchiuso tra due lastre di vetro spesso 0,5 cm. Il termostato della casa è regolato a 22°C e la temperatura media dell’ambiente esterno in quella località è 5°C durante la stagione di riscaldamento della durata di 7 mesi. Trascurando ogni scambio termico per irraggiamento attraverso le finestre e supponendo che i coefficienti si scambio termico sulla superficie interna della casa e sulla sua superficie esterna siano hi = 7 [W/(m2°C)] e he = 15 [W/(m2°C)] rispettivamente, si determini la potenza termica media trasmessa attraverso ciascuna parete.

10

4

20

Pareti senza finestre La potenza termica trasmessa attraverso ciascuna parete di area 10m x 4m si calcola con la seguente espressione:

][WR

TTAQ

tot

ei −=&

con Ti = 22°C Te = 5° A = 40 m2

La resistenza totale di scambio termico è data dalla somma delle seguenti resistenze: - resistenza convettiva sulla superficie interna

°===W

Cm

hR

iconviconv

2

,, 14,0

7

11

- resistenza conduttiva degli strati della parete già nota come dato del problema

°==∑= W

CmsR

n

j j

jcond

2

1

31,2λ

- resistenza convettiva sulla superficie esterna

°===W

Cm

hR

econveconv

2

,, 06,0

15

11

Rtot = Rconv,i + Rcond+Rconv,e = 2,52 W

Cm °2

][27052,2

52240 W

R

TTAQ

tot

ei =−=−

=&

Parete con finestre a vetro singolo L’area della parete (20m x 4m) è composta da una parte opaca e da una parte trasparente L’area complessiva vetrata è: Av = 5 x Af = 5 x 1,2 x 1,8 =10,8 [m2] L’area opaca netta è: Aparete = Atot –Av = 20x4 -10,8 = 69,2 [m2]

La resistenza specifica (per unità di area) della parte opaca è sempre la stessa:

Rparete = Rconv,i + Rcond+Rconv,e = 2,52 W

Cm °2

][46752,2

5222,69 W

R

TTAQ

paret

ei =−=−

=&

Attraverso le superfici vetrate il flusso termico cambia perché è diversa la loro resistenza conduttiva Rcond,v, a parità di salto termico e di resistenze convettive:

°===W

CmsR

v

vvcond

2

, 006,078,0

005,0

λ

Rv = Rconv,i + Rcond,v+Rconv,e = 0,14 + 0,006 + 0,06 = 0,21

°W

Cm2

La potenza termica che complessivamente attraversa la parete è dato dalla somma delle seguenti potenze

][WR

TTAQ

parete

eipareteparete

−=&

][WR

TTAQ

v

eivv =

−=&

Considerando solo la conduzione attraverso gli elementi le temperature da considerare sono: Ts,i e Ts,e delle superfici interna ed esterna rispettivamente:

Qparete

Qparete

Qv

( ) ][11

,,,,

,

,,

,

,,

,

,,

,

,,

W

A

R

A

RTT

A

R

TT

A

R

TT

R

TTA

R

TTAQQQ

v

vcond

parete

paretecondesis

v

vcond

esis

parete

paretecond

esis

vcond

esisv

paretecond

esisparetevparete

+⋅−=

=−

+−

=−

+−

=+= &&&

(+)

Poiché deve essere:

totcond

esis

R

TTQ

,

,, −=& [W] (*)

Uguagliando la (+) e la (*):

( )

condparetecondvtotcond

v

vcond

parete

paretecondtotcond

v

vcond

parete

paretecondesis

totcond

esis

RRR

A

R

A

RR

A

R

A

RTT

R

TT

,,,

,,,

,,,,

,

,,

'

1

'

11

111

11

+=

+=

+⋅−=−

dove

][033,08,12,15420

31,2'

][0006,08,12,15

006,0'

,,

,,

WxxxA

RR

WxxA

RR

parete

condparetecondparete

v

condvcondv

=−

==

===

°=+

==+

=

+=

W

Cx

RR

xRRR

RR

RR

R

condvcondparete

condvcondparetetotcond

condvcondparete

condvcondparete

totcond

00058,00006,0033,0

0006,0033,0

''

''

''

''1

,,

,,,

,,

,,

,

La resistenza totale della parete con le finestre a vetro singolo è: R’tot = R’conv,i + Rcond,tot+R’conv,e =

=

°=++=++W

C

xxxxAhR

Ah econvcondtot

iconv

0032,042015

10005,0

4207

111

,,

,

][3,5][53080032,0

522

'kWW

R

TTQ

tot

ei ==−=−

=&

Parete con finestre a doppio vetro Il procedimento di calcolo è analogo. La potenza termica risultante è diversa perché cambia la tipologia di finestra. Trattandosi di infisso a doppio vetro, la relativa resistenza termica sarà maggiore perché si aggiunge uno strato di aria con conduttività termica di 0,026 W/m°C.

°===

°=+=+=

W

C

xxA

RR

W

CmssR

v

vcondvcond

a

a

v

vvcond

054,08,12,15

59,0'

59,0026,0

015,0

78,0

005,022

,,

2

, λλ

La resistenza totale della parete con le finestre a doppio vetro è: R’tot = R’conv,i + Rcond,tot+R’conv,e =

= Ah

RAh econv

condtoticonv ,

,,

11 ++

dove:

°=+

=+

=

+=

W

Cx

RR

xRRR

RR

RR

R

condvcondparete

condvcondparetetotcond

condvcondparete

condvcondparete

totcond

02,0054,0033,0

054,0033,0

''

''

''

''1

,,

,,,

,,

,,

,

R’tot = R’conv,i + Rcond,tot+R’conv,e =

=

°=++=++W

C

xxxxAhR

Ah econvtotcond

iconv

023,042015

102,0

4207

111

,,

,

][7290233,0

522

'W

R

TTQ

tot

ei =−=−

=&