Escoamentos compressveis

Velocidade do som e nmero de Mach

a

h

p

0V ====r

++++++++++++

hh

pp

Vr

Conservao da massa: )()( VaAAa +=

som do velocidade=a

Conservao da QDM:

Segunda lei, processo isentrpico:

Combinando as trs equaes: s

pa

= 0

2 lim ou:s

pa

=

))(()( aVaAaAPPPA =+

Propagao de uma onde elstica num gs

ot

t2

t3t4

ot

t2

t4

o o

aV

Equaes para gases ideais

TcdTch pp ========

2

2

00V

TcTch pp ++++========

Entalpia:

Entalpia de estagnao:

Temperatura de estagnao:pc

VTT

2

2

0 ++++====

Presso de estagnao:(((( ))))100

====k

k

TT

pp

c

ck p====

(((( ))))1100

====k

TT

Variao da densidade

na estagnao: 1====

Propriedades na estagnao

puh ++++====

2V

hh2

0 ++++====

Entalpia:

Entalpia de estagnao:

Escoamento num duto adiabtico : conservao da ene rgia

Volume de controle

01

1

1

h

V

h

02

2

2

h

V

h2

Vh

2V

h2

22

21

1 ++++====++++

0201 hh ====

Velocidade do som em gases ideais

RTp ====

kk

pp

11====Equao de estado: Processo isentrpico:

p

kkpp k

ks

====

====

)1(

1

1Efetuando a derivada indicada:

kRTp

ka ==

Obtm-se uma expresso para o clculo da velocidade do som num gs ideal

Nmero de Macha

VM =

subsnico escoamento 1M

snico 1M

osupersnic escoamento 1M

>

Relaes para escoamento isentrpico de gases ideai s

Levando em conta as expresses:

p

2

0 c2V

TT ++++====)1(

====kkR

cp kRTc ====2r

cV

M r

r

====

Obtm-se: 202

)1(1 M

kTT ++++====

Lembrando as equaes para processos isentrpicos, se chega em:

)1(202

)1(1

++++====k

k

Mk

pp

As propriedades do fludo na garganta do bocal, pon to em que atingido M=1, so chamadas propriedades crticas, fazendo M=1 e invertendo as relaes anteriores :

12

0 ++++====

kTT )1(

0 12

++++====

kk

kpp )1(1

0 12

++++====

k

k

Escoamento isentrpico unidimensionalVariao da velocidade do fludo com a seo da tub ulao

Conservao da massa, num escoamento em regime permanente:

vazoAV =

Diferenciando em relao s trs variveis e dividindo pela vazo: 0=++ V

dV

A

dAd

Conservao da energia num escoamento isentrpico

Em regime permanente: teconsV

h tan2

2

=+

Diferenciando: 0=+VdVdh Como j visto:

dPdh ====

Combinando as duas ltimas equaes: 0=+VdVdP

Substituindo na equao diferencial de conservao da massa:

=

dp

d

V

dp

A

dA 2

1 ( )21 MV

dV

A

dA =Ou:

Ou: dV

dpV =

(((( ))))2M1vVd

AdA ==== r

r

Para escoamento subsnico M < 1

Para escoamento supersnico M > 1

0Vd A >>>>r

0Vd A

(((( )))) 0M1 2

r

(((( )))) 0M1 2

Caso em que M=1 atingido no final do duto:

1MA ====

A

AA

A

B

B

1MA

QuestoUm reservatrio contm ar a 106 Pa e o descarrega isentropicamente em um ambiente a 105 Pa. Qual o nmero de Mach na sada?

QuestoDadas as medies de presso e temperatura de estagnao e de presso esttica da figura, calcule a velocidade do ar V admitindo: (a) escoamento incompressvel; (b) escoamento compressvel