Escoamentos compressíveis - fem.unicamp.brfranklin/EM884/pdf/Esc_compress.pdf · Velocidade do som...
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Escoamentos compressíveis
• Velocidade do som e número de Mach
a
ρρρρh
p
0V ====r
ρρρρ∆∆∆∆ρρρρ∆∆∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆
++++++++++++
hh
pp
Vr
Conservação da massa: )()( VaAAa ∆−∆+= ρρρ
som do velocidade=a
Conservação da QDM:
Segunda lei, processo isentrópico:
Combinando as três equações: s
pa
∆∆= →∆ ρ0
2 lim ou:s
pa
∂∂=ρ
))(()( aVaAaAPPPA −∆−=∆+− ρ
Propagação de uma onde elástica num gás
ot∆∆∆∆
t∆∆∆∆2
t∆∆∆∆3t∆∆∆∆4
ot∆∆∆∆
t∆∆∆∆2
t∆∆∆∆4
o o
aV <
em repouso
em movimento
o
Propagação de uma onde elástica num gás : cone de M ach
o
at
vt
µµµµ
Marcsen
vt
atarcsen
1==µ
aV >
Equações para gases ideais
TcdTch pp ========∆∆∆∆ ∫∫∫∫
2
2
00V
TcTch pp ++++========
Entalpia:
Entalpia de estagnação:
Temperatura de estagnação:pc
VTT
2
2
0 ++++====
Pressão de estagnação:(((( ))))100 −−−−
====k
k
TT
pp
ννννc
ck p====
(((( ))))11
00 −−−−
====k
TT
ρρρρρρρρVariação da densidade
na estagnação: ννννρρρρ 1====
• Propriedades na estagnação
ννννpuh ++++====
2V
hh2
0 ++++====
Entalpia:
Entalpia de estagnação:
Escoamento num duto adiabático : conservação da ene rgia
Volume de controle
01
1
1
h
V
h
02
2
2
h
V
h2
Vh
2V
h2
22
21
1 ++++====++++
0201 hh ====
Velocidade do som em gases ideais
RTp ====ρρρρ
kk
pp ρρρρ
ρρρρ1
1====Equação de estado: Processo isentrópico:
ρρρρρρρρρρρρρρρρ
ρρρρρρρρp
kkpp k
ks
====
====
∂∂∂∂∂∂∂∂ −−−− )1(
1
1Efetuando a derivada indicada:
kRTp
ka ==ρ
Obtém-se uma expressão para o cálculo da velocidade do som num gás ideal
Número de Macha
VM =
subsônico escoamento 1M
sônico 1M
osupersônic escoamento 1M
<<<<====>>>>
Relações para escoamento isentrópico de gases ideai s
Levando em conta as expressões:
p
2
0 c2V
TT ++++====)1( −−−−
====kkR
cp kRTc ====2r
cV
M r
r
====
Obtêm-se: 202
)1(1 M
kTT −−−−++++====
Lembrando as equações para processos isentrópicos, se chega em:
)1(202
)1(1
−−−−
−−−−++++====k
k
Mk
pp
As propriedades do fluído na garganta do bocal, pon to em que é atingido M=1, são chamadas propriedades críticas, fazendo M=1 e invertendo as relações anteriores :
12
0 ++++====
∗∗∗∗
kTT )1(
0 12 −−−−∗∗∗∗
++++====
kk
kpp )1(
1
0 12 −−−−∗∗∗∗
++++====
k
kρρρρρρρρ
• Escoamento isentrópico unidimensionalVariação da velocidade do fluído com a seção da tub ulação
Conservação da massa, num escoamento em regime permanente:
vazãoAV =ρ
Diferenciando em relação às três variáveis e dividindo pela vazão: 0=++
V
dV
A
dAd
ρρ
Conservação da energia num escoamento isentrópico
Em regime permanente: teconsV
h tan2
2
=+
Diferenciando: 0=+VdVdh Como já visto:ρρρρ
dPdh ====
Combinando as duas últimas equações: 0=+VdVdP
ρ
Substituindo na equação diferencial de conservação da massa:
−=
dp
d
V
dp
A
dA ρρ 2
1 ( )21 MV
dV
A
dA −−=Ou:
Ou: dV
dpV −=ρ
(((( ))))2M1vVd
AdA −−−−−−−−==== r
r
Para escoamento subsônico M < 1
Para escoamento supersônico M > 1
0Vd A >>>>↓↓↓↓r
0Vd A <<<<↑↑↑↑r
Variação da velocidade do fluído com a seção da tub ulação
0Vd A <<<<↓↓↓↓r
(((( )))) 0M1 2 >>>>−−−−(((( )))) 0M1 2 >>>>−−−−
(((( )))) 0M1 2 <<<<−−−−
0Vd A >>>>↑↑↑↑r
(((( )))) 0M1 2 <<<<−−−−
Caso em que M=1 é atingido no final do duto:
1MA ====
A
AA
A
B
B
1MA <<<<
1MB ====
Prolongando o duto, acontece:1M <<<<
1M <<<<
A solução para continuar acelerando o fluído é fazer um dutoconvergente - divergente:
garganta
1M <<<< 1M >>>>
QuestãoUm reservatório contém ar a 106 Pa e o descarrega isentropicamente em um ambiente a 105 Pa. Qual é o número de Mach na saída?
QuestãoDadas as medições de pressão e temperatura de estagnação e de pressão estática da figura, calcule a velocidade do ar V admitindo: (a) escoamento incompressível; (b) escoamento compressível