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Escoamentos compressíveis

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• Velocidade do som e número de Mach

a

ρρρρh

p

0V ====r

ρρρρ∆∆∆∆ρρρρ∆∆∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆

++++++++++++

hh

pp

Vr

Conservação da massa: )()( VaAAa ∆−∆+= ρρρ

som do velocidade=a

Conservação da QDM:

Segunda lei, processo isentrópico:

Combinando as três equações: s

pa

∆∆= →∆ ρ0

2 lim ou:s

pa

∂∂=ρ

))(()( aVaAaAPPPA −∆−=∆+− ρ

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Propagação de uma onde elástica num gás

ot∆∆∆∆

t∆∆∆∆2

t∆∆∆∆3t∆∆∆∆4

ot∆∆∆∆

t∆∆∆∆2

t∆∆∆∆4

o o

aV <

em repouso

em movimento

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o

Propagação de uma onde elástica num gás : cone de M ach

o

at

vt

µµµµ

Marcsen

vt

atarcsen

1==µ

aV >

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Equações para gases ideais

TcdTch pp ========∆∆∆∆ ∫∫∫∫

2

2

00V

TcTch pp ++++========

Entalpia:

Entalpia de estagnação:

Temperatura de estagnação:pc

VTT

2

2

0 ++++====

Pressão de estagnação:(((( ))))100 −−−−

====k

k

TT

pp

ννννc

ck p====

(((( ))))11

00 −−−−

====k

TT

ρρρρρρρρVariação da densidade

na estagnação: ννννρρρρ 1====

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• Propriedades na estagnação

ννννpuh ++++====

2V

hh2

0 ++++====

Entalpia:

Entalpia de estagnação:

Escoamento num duto adiabático : conservação da ene rgia

Volume de controle

01

1

1

h

V

h

02

2

2

h

V

h2

Vh

2V

h2

22

21

1 ++++====++++

0201 hh ====

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Velocidade do som em gases ideais

RTp ====ρρρρ

kk

pp ρρρρ

ρρρρ1

1====Equação de estado: Processo isentrópico:

ρρρρρρρρρρρρρρρρ

ρρρρρρρρp

kkpp k

ks

====

====

∂∂∂∂∂∂∂∂ −−−− )1(

1

1Efetuando a derivada indicada:

kRTp

ka ==ρ

Obtém-se uma expressão para o cálculo da velocidade do som num gás ideal

Número de Macha

VM =

subsônico escoamento 1M

sônico 1M

osupersônic escoamento 1M

<<<<====>>>>

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Relações para escoamento isentrópico de gases ideai s

Levando em conta as expressões:

p

2

0 c2V

TT ++++====)1( −−−−

====kkR

cp kRTc ====2r

cV

M r

r

====

Obtêm-se: 202

)1(1 M

kTT −−−−++++====

Lembrando as equações para processos isentrópicos, se chega em:

)1(202

)1(1

−−−−

−−−−++++====k

k

Mk

pp

As propriedades do fluído na garganta do bocal, pon to em que é atingido M=1, são chamadas propriedades críticas, fazendo M=1 e invertendo as relações anteriores :

12

0 ++++====

∗∗∗∗

kTT )1(

0 12 −−−−∗∗∗∗

++++====

kk

kpp )1(

1

0 12 −−−−∗∗∗∗

++++====

k

kρρρρρρρρ

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• Escoamento isentrópico unidimensionalVariação da velocidade do fluído com a seção da tub ulação

Conservação da massa, num escoamento em regime permanente:

vazãoAV =ρ

Diferenciando em relação às três variáveis e dividindo pela vazão: 0=++

V

dV

A

dAd

ρρ

Conservação da energia num escoamento isentrópico

Em regime permanente: teconsV

h tan2

2

=+

Diferenciando: 0=+VdVdh Como já visto:ρρρρ

dPdh ====

Combinando as duas últimas equações: 0=+VdVdP

ρ

Substituindo na equação diferencial de conservação da massa:

−=

dp

d

V

dp

A

dA ρρ 2

1 ( )21 MV

dV

A

dA −−=Ou:

Ou: dV

dpV −=ρ

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(((( ))))2M1vVd

AdA −−−−−−−−==== r

r

Para escoamento subsônico M < 1

Para escoamento supersônico M > 1

0Vd A >>>>↓↓↓↓r

0Vd A <<<<↑↑↑↑r

Variação da velocidade do fluído com a seção da tub ulação

0Vd A <<<<↓↓↓↓r

(((( )))) 0M1 2 >>>>−−−−(((( )))) 0M1 2 >>>>−−−−

(((( )))) 0M1 2 <<<<−−−−

0Vd A >>>>↑↑↑↑r

(((( )))) 0M1 2 <<<<−−−−

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Caso em que M=1 é atingido no final do duto:

1MA ====

A

AA

A

B

B

1MA <<<<

1MB ====

Prolongando o duto, acontece:1M <<<<

1M <<<<

A solução para continuar acelerando o fluído é fazer um dutoconvergente - divergente:

garganta

1M <<<< 1M >>>>

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QuestãoUm reservatório contém ar a 106 Pa e o descarrega isentropicamente em um ambiente a 105 Pa. Qual é o número de Mach na saída?

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QuestãoDadas as medições de pressão e temperatura de estagnação e de pressão estática da figura, calcule a velocidade do ar V admitindo: (a) escoamento incompressível; (b) escoamento compressível