Errores y Cifras Significativas

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  • Clculos para Ingeniera de Procesos Ing. Segundo Vsquez Llanos

    Errores y Cifras Significativas

    Nmeros exactos e inexactosAl escribir o manipular nmeros debemos distinguir los nmeros exactos de losinexactos.Como ejemplo de nmeros exactos, tenemos:

    N enteros o fracciones1, 2, ... ,

    Ctes. Matemticas , e, ...

    Relaciones1 kg 4.184 J

    ,...,1000 g 1 cal

    Y los nmeros inexactos son todos aquellos que expresan el resultado de medicionesexperimentales. Un ejemplo muy sencillo que ilustra la naturaleza aproximada de losdatos numrico-experimentales es una longitud medida con una regla graduada enmilmetros. Supn que mides la longitud de un bolgrafo. El resultado podras expresarlode distintos modos como:

    14.2 cm 0.142 m 142 mm 0.142103 mmEstos resultados tienen tres cifras significativas que son los dgitos consideradoscorrectos en una medida. Quiere esto decir que, independientemente de las unidadesque emplees, la regla de mano no resuelve las diezmilsimas o cienmilsimas de metrocon lo que un resultado como 142.50 mm no tiene sentido. Pero adems, el instrumento(la regla) no es perfecto por lo que toda medicin conlleva un error. De hecho, cualquieraparato cientfico adems de una escala o graduacin proporciona una estimacin delerror instrumental. Lo normal es que el error cometido por un instrumento sea menorque la divisin ms pequea en su escala o graduacin (en el caso de la regla de mano,sera un error inferior a 1 mm).

    Convenio de Cifras SignificativasComo se mencion ms atrs, las cifras significativas son las cifras consideradascorrectas en una medida. Pero, cmo de correctas? La respuesta nos la da elconvenio de cifras significativas al asumir que la incertidumbre de un datoexperimental expresado con cifras significativas es siempre inferior a una unidadde la ltima cifra. Un ejemplo numrico sirve para aclarar la aplicacin e interpretacinde este convenio. En el caso de la longitud medida con la regla, si est de acuerdo con elconvenio de cifras significativas, el error asociado sera de 1 mm. Podramos entoncesescribir el resultado como:

    14.2 0.1 cmNo obstante, lo ms cmodo es omitir el trmino 0.1 y suponer entonces que estimplcito en cualquier magnitud expresada con cifras significativas.

    Precisin y Exactitud no son SinnimosDe acuerdo con lo ya comentado, un buen instrumento cientfico ser aquel cuyasmedidas se expresan con muchas cifras significativas, es decir, que tenga unaresolucin muy alta. Pero ste no es el nico criterio para juzgar sobre la calidad de unaparato. Debemos exigir adems que las medidas efectuadas por el instrumento seanprecisas y exactas. Y es que precisin y exactitud no son sinnimos en un contextocientfico-tcnico. As, un aparato es preciso si dada una serie de mediciones sobre unamisma muestra e idnticas condiciones ofrece resultados prximos entre s. Debemosexigir adems que el instrumento sea exacto, es decir, que las medidas estn lo mscerca posible del valor verdadero.1

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    El siguiente esquema que representa el resultado de una serie de lanzamientos contrauna diana, da un significado grfico a los trminos preciso y exacto.

    xxx

    xxx

    x

    Mala PrecisinMala Exactitud

    Buena PrecisinBuena Exactitud

    Buena PrecisinMala Exactitud

    Sinnoin

    Sm

    L

    Pc0

    Eqe

    x

    x

    x

    x

    x x

    x

    x

    x

    x

    xx

    xx

    xx x

    xx x

    x xx

    x xx x x

    xClculosi comprendemos el significadoterpretarlas. En la prctica, tendrmero de dgitos significativos enperar con cifras significativas,troducimos con la ayuda de un eje

    upongamos que deseamos calculL de agua lquida en su punto de

    os datos de partida seran:

    Densidad a 100 oC0.958 g/mL

    Pes16.

    lanteamos ahora el clculo comolculo muy sencillo:

    .958 g H2O 1 mol H 2O 1 mL 16.00 g + 21.007 g

    Cmo identif

    n la anterior serie de factores deue no estn no sujetos a determinstn. Fjate en el ejemplo:

    g H 2O 1 mol H 2O1 mL

    1 mol H 2O16.00 g + 21.007 g

    0.958cdsloem

    ae

    o00

    u

    i

    ca

    on Cifras Significativase las cifras significativas podemos identificarlas e

    que operar con las cifras significativas y averiguar els resultados de las operaciones. Para identificarlas ymplears una serie de reglas muy simples queplo:

    r el nmero de molculas de agua presentes en un 1bullicin atmosfrico de 100 oC.

    s atmicos(O), 1.007 (H) g/mol

    Constante de Avogadro6.022136710- 23 mol- 1

    na serie de factores de conversin. Se trata de un

    236.0221367101 mol

    car a los dgitos significativos?

    onversin debemos distinguir los nmeros exactoscin experimental de los nmeros inexactos que s lo

    6.022136710 exacto

    2

    inexacto23

    1 mol

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    Para los nmeros inexactos o experimentales, determinamos con cuantas cifrassignificativas estn expresados aplicando las siguientes reglas:Ejemplo1) Los ceros a la izquierda no cuentancomo cifras significativas2) Los ceros a la derecha s cuentancomo cifras significativas

    = 0.958 g/mL 3 cifras significativas

    P.at.=16.00 g/mol 4 cifras significativas

    La experiencia nos indica que no es fcil aceptar la siguiente desigualdad:16 16.00

    Pero debes darte cuenta de que es perfectamente correcta si estamos considerando lascifras significativas de cada nmero.

    Cuntas cifras significativas tiene NA=6.02213671023 mol-

    Observa que la notacin cientfica en potencias de diez es imprescindible para aplicarbien el convenio de cifras significativas. Y es que si escribisemos una cifra como602213670000000000000000000000, adems de incmodo, sera incorrecto ya quetodos los ceros a la derecha son cifras no significativas que sencillamente desconocemos.

    Cmo operar con cifras significativas?

    Una vez que hemos reconocido las cifras significativas en los factores de clculo es elmomento de realizar las operaciones indicadas. Lgicamente, la exactitud del output estlimitada por el dato menos exacto que figura en el input. Cmo se transmiten las cifrassignificativas a travs de operaciones de adicin/sustraccin o de multiplicacin/divisin?Vemoslo en las siguientes reglas:

    adicin/sustraccin

    3) El resultado de una adicin/sustraccin no puede tener msdgitos significativos a la derecha delpunto decimal que el trmino quemenos tenga.

    16.001.0071.00718.014

    Observa que no tiene sentido expresar el dgito correspondiente a la milsima en elresultado de sumar los pesos atmicos.

    multiplicacin/divisin

    4) El resultado de una multiplicacin/divisin tiene tantas cifras

    el factor que

    3 3

    18.01significativas como 1 22Lj(0.958)(18.01)(6.022136710 ) 8

    4a regla concerniente a la multip

    ustificar igualmente con un desarmenos tenga. = (......)

    licacin/divisin es fcil de recordar y aplicar. Se puederollo aritmtico.

    3

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    Cmo redondear correctamente los resultados numricos?

    La aplicacin prctica de las anteriores reglas nos fuerza a redondear el resultado de lasoperaciones de clculo para que la precisin del resultado final se ajuste al criterio de lascifras significativas. En el ejemplo que estamos desarrollando, sabemos que el resultadofinal tiene slo tres cifras significativas. Si realizamos las operaciones con la ayuda de unacalculadora, obtendramos algo como:

    ATENCIN: Las cifras de la calculadora no son cifras significativas!

    La anterior advertencia suele ser ignorada por los estudiantes en la resolucin deejercicios y exmenes, pues no es infrecuente encontrarse con resultados numricosvolcados directamente de la pantalla al papel. Debe redondearse el resultado. En estecaso ser necesario redondear el resultado a tres cifras significativas, hacer uso de lanotacin cientfica y, por supuesto, incluir las correspondientes unidades:

    3.20 1023molculasH 2O

    mLY el problema est resuelto. Con un poco de prctica, la aplicacin de las reglas yconvenio de cifras significativas ser automtica.

    Una ltima cuestin. Qu regla de redondeo debe emplearse? Los siguientes ejemplosilustran cmo debe redondearse un resultado. Si el dgito no significativo que sigue alltimo dgito significativo es mayor/menor que 5, se redondea el ltimo dgitosignificativo hacia arriba/abajo, respectivamente.verdad?

    Parece un galimatas, pero es fcil,

    2.571....2.577....

    Si el dgito no significativo que sigue

    2.572.58

    al ltimo dgito significativo es igual a 5,entonces el ltimo dgito significativo se redondea siempre hacia un nmero par. As, seconsigue que en promedio la mitad de estos redondeos sean hacia arriba y la otra mitadhacia abajo.

    2.575....2.565....

    2.582.56

    Siempre anmero par

    4

    3.203335346E+22

    0.958*(1/18.01)*6.0221367E+22= 3.203335346E+22