EQUAZIONI DI MAXWELL

G. Pugliese 1  

Equazioni di Maxwell

G. Pugliese 2  

econcatenatildB 0µ∫ =⋅

E ⋅dl =∫ −

dΦB

dt

0=⋅∫S

SdB

0

int

εqSdE

S

=⋅∫

Asimmetria tra E e B

G. Pugliese 3  

a)   esistono due tipi di carca elettrica, ma non sono stati osservati monopoli magnetici

b)  Il campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico indotto, un campo elettrico variabile nel tempo non dà origine ad un campo magnetico (?)

Teorema di Ampère in condizioni non stazionarie: Legge di Ampère-Maxwell

In condizioni stazionarie

econcatenatildB 0µ∫ =⋅

Legge di Ampere Maxwell

G. Pugliese 4  

Processo di carica di C: la corrente entra nell’armatura positiva e esce dall’armatura negativa.

γ linea chiusa concatenata col conduttore S1, S2superfici che si appoggiano a γ

+   -­‐  

J • n dS

S1∫ = i 0

2

=•∫S

dSnJ

Legge di Ampere Maxwell

G. Pugliese 5  

J • n dS

S1∫ = i

02

=•∫S

dSnJ

il teorema di Ampère non dà lo stesso risultato se applicato ad S1 o ad S2 econcatenatildB 0µ∫ =⋅

Attraverso la superficie chiusa S1 + S2 la corrente che esce è diversa dalla corrente che entra: non vale la condizione di stazionarietà In condizioni non stazionarie il teorema di Ampère non è valido e deve essere modificato!

Legge di Ampere Maxwell

G. Pugliese 6  

Nel processo di carica di C abbiamo supposto che i(t) circoli ovunque..ma tra le armature non possono esserci correnti di conduzione. Su una armatura c’è una variazione di dq/dt corrispondente alla corrente entrante, e sull’altra c’è una variazione –dq/dt cui corrisponde un corrente uguale ed uscente.

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

dttdqI

corrente uscente dall’armatura positiva

( )dttdqI = corrente entrante nell’ armatura

negativa

Teorema di Ampere Maxwell Sia S superficie chiusa. In condizioni non

stazionarie: (x il principio di conservazione della carica) Teorema di Gauss

dtdqdSnJ

S

−=•∫

E •dS

S∫ =

qε0

dqdt= ε0

dEdt•dS

S∫

J +ε0

dEdt

!

"#

$

%&•dS

S∫ = 0

ε0dEdt•dS

S∫ = −

J •dS

S∫

La variazione di carica sulle armature ⇒ una variazione del campo elettrico fra le armature e quindi una variazione di flusso

Teorema di Ampere Maxwell

dtEdJJTot

0ε+=

dtEdJs

0ε=

is =Js •n dS

S∫ = ε0

dEdt•dS =

S∫ ε0

dΦE

dt

Il vettore è solenoidale anche in condizioni non stazionarie  

Densità di corrente di spostamento

J +ε0

dEdt

!

"#

$

%&•dS

S∫ = 0

Corrente di spostamento

B•dl = µ0∫ (ic + iS )

Teorema di Ampere Maxwell

dtEdJJTot

0ε+=

Jtot •d

S

S1∫ =

J •dS

S1∫ = i

Jtot •d

S

S2∫ = ε0

∂E∂t•dS

S2∫ = i

È solenoidale: i due flussi devono essere uguali. La corrente deve avere lo stesso valore lungo tutto il circuito. Coincide con la corrente di conduzione nei cavi e con la corrente di spostamento nel condensatore.  

Teorema di Ampere Maxwell

dtEdJJTot

0ε+=B•dl = µ0∫

J +ε0

dEdt

"

#$

%

&'•dS

S∫

Ø  La circuitazione di B non dipende dalla superficie S che poggia su γ

Ø  Un campo E variabile nel tempo determina un campo B (simmetricamente rispetto all’equazione di Faraday – Lenz)

B

E

dB/dt dE/dt

11

Verifica sperimentale

Un condensatore a piatti piani e paralleli di raggio R è collegato ad un generatore che stabilisce tra le armature un E = E0senwt

2πrB = ε0µ0dEdt∫ •d

S = ε0µ0πr

2 dEdt

E B

r < R

tErdtdErB ωωµεµε cos

21

21

00000 ==

B•dl = µ0∫

J +ε0

dEdt

"

#$

%

&'•dS

S∫

Consideriamo una circonferenza di raggio r < R

. X

B

tsenErNSdtdBNSi ωω

εµε 0

200''

2=−=

Se inseriamo nel condensatore un solenoide toroidale, La f.e.m. indotta nel solenoide:

Verifica sperimentale

tErB ωωµε cos21

000=

Per es. r = 10 cm S = 3 cm2 N = 600 E0=103V/m ω = 107 rad/s

B = 5.6 10-9 cos 107t T

ε = 0.01 sen 107t V

Equazioni di Maxwell

B•dl = µ0 (iC +ε0

dΦE

dt) = µ0∫

J +ε0

dEdt

#

$%

&

'(•dS

S∫

Ei •d

l∫ = −

dΦB

dt= −

ddt

B•

S∫ d

S

E •dS

S∫ =

qε0

B•dS

S∫ = 0

Equazioni di Maxwell …nel vuoto (q= 0 e ic =0)

B•dl = µ0∫ ε0

dΦE

dt

Ei •d

l∫ = −

dΦB

dt

E •dS

S∫ = 0

B•dS

S∫ = 0

Importanza della teoria di Maxwell: 1.  mostrano una perfetta simmetria fra i due campi 2.  fenomeni elettrici e magnetici possono essere considerati come aspetti

di un’unica interazione fondamentale 3.  previsione di fenomeni dinamici (onde elettromagnetiche), la cui

verifica sperimentale prova la realtà fisica del campo elettromagnetico