Equações adicionais para a resolução numérica de ...sereno/OT0203_acet32_60.pdf · DEQ/FEUP...

30
DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 31 Equações adicionais para a resolução numérica de problemas de fluxo de fluidos Equação de Bernoulli: eB = 0 ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 = + + - + - + - s av av W F p p z z g v v ρ α energia de atrito ou perda (de carga ou de pressão) por atrito 2 4 2 v D L f p F f f = = ρ (f- factor de atrito de Fanning) fluxo laminar em tubagens cilíndricas: f Fanning : Re N 16 Dv 16 f = ρ μ = atenção: f Darcy = 4*f Fanning = Re N 64 fluxo turbulento em tubagens cilíndricas: - tubos lisos 25 . 0 Re 0791 . 0 - = f eq. de Blasius 4 . 0 ) log(Re 0 . 4 1 - = f f eq. de Nikuradse (1932) This file was generated with the demo version of the PDF Compatible Printer Driver

Transcript of Equações adicionais para a resolução numérica de ...sereno/OT0203_acet32_60.pdf · DEQ/FEUP...

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 31

Equações adicionais para a resolução numérica deproblemas de fluxo de fluidos

Equação de Bernoulli:

eB = 0)()(21 12

1221

22 =++

−+−+− ∑ savav WFppzzgvv

ρα

energia de atrito ou perda (de carga ou de pressão) por atrito

24

2vDLf

pF f

f∆∆

==ρ

(f- factor de atrito de Fanning)

• fluxo laminar em tubagens cilíndricas:

fFanning :ReN

16Dv16f =

ρµ

=

atenção: fDarcy = 4*fFanning = ReN

64

• fluxo turbulento em tubagens cilíndricas:

- tubos lisos

25.0Re0791.0 −=f eq. de Blasius

4.0)log(Re0.41−= f

feq. de Nikuradse (1932)

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 32

- tubos rugosos

2910

7.3Re9.6log6.3

+−=

Df ε eq. de Haaland (1983)

f = 12

Re5.14

7.3log

Re02.5

7.3log16

+−

DD εε eq. de Shacham

(1980)

28.2)Re

67.4log(0.41++−=

fDfε eq. de Colebrook e

White (1937-38)

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 33

3.3. Bombas e equipamento para movimentação de gases(3.3).

Força impulsora para o movimento de fluidos: gravidade oudispositivo mecânico (bomba, ventilador, compressor)

As bombas (líquidos), ventiladores (gases, ∆p baixo – “fans” oumoderado – “blowers”) e compressores (∆p elevado) podem serde deslocamento positivo e centrífugos.

Descrição de bombas, ventiladores e compressores.Características principais e condições de utilização.

Bombas de deslocamento positivo

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 34

Bombas de pistão (ou de êmbolo)

Bomba rotativa de engrenagens

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 35

Bomba de engrenagens internas

Bomba de engrenagens helicoidaisT h is f i l

e wa s g e n e ra t e d w

i t h th

e d e m o v e r s io n o f t he P

D F Co m p a t ib

le Pr in

t e r Dr iv

e r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 36

Bomba de lobos

Bombas centrífugas. Bombas de um e vários andares.Curvas características, de eficiência e de NPSH.

voluta

rótor

voluta

motor

rótor

aspiração descargaT h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 37

Curvas características; efeito da velocidade de rotação

Curvas características. Efeito do diâmetro do rótor.Curvas de eficiência

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 38

Formatos de rótor

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 39

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 40

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 41

Bomba de um andar

Bomba de três andares (3 rotores)

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 42

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 43

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 44

Trabalho mecânico a fornecer à bomba:

Wm (J/kg) = - Ws/ηm ; η m factor de eficiência mecânica

Potência mecânica necessária:

Potm (kW) = Wm (J/kg) * m& (kg/s) / 1000 (W/kW)

Potência eléctrica necessária:

Potel = Potm / ηel

O trabalho fornecido pela bomba pode ser expresso em altura(“head”) de líquido bombeado (pode-se falar em altura deaspiração e altura de descarga):

-Ws = Hb.g = (Hd –Hs) g

As alturas de sucção e de descarga podem calcular-se a partirda eq. de Bernoulli:

4 1

2 3

sucção descarga

Hs = =++g

pzvg ρα

22

22 )()(

21

gF

gpzv

gs∑−++

ρα1

12

1 )()(2

1

De modo análogo para a altura de descarga (altura total em 3) Hveloc. Hpot. Hpressão

altura total em 2 (sucção)altura total em 1

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 45

Hd = =++g

pzvg ρα

33

23 )()(

21

gF

gpzv

gd∑+++

ρα4

424 )()(

21

Para evitar cavitação (vaporização do fluido na bomba) a alturade sucção tem de ser superior à altura correspondente àpressão de vapor do fluido, Pv/ρg . De facto a diferença entreas duas alturas tem de ser superior a um dado valorcaracterístico de cada bomba e que deve ser especificado peloconstrutor: NPSH (“net positive suction head”). Este é umrequisito muito importante a observar no desenho das tubagense na selecção das bombas (nomeadamente centrífugas). Issoconsegue-se normalmente baixando a bomba para uma cota talque:

Hs – Hvap > NPSH

NPSHg

PgF

gpzv

gvs >−

−++ ∑

ρρα1

12

1 )()(2

1

Relações aproximadas de capacidade e potência para bombascentrífugas (N – rpm rótor):

Capacidade em m3/s : 2

1

2

1

NN

qq

=

Altura em m: 2

21

2

2

2

1

22

1

NN

qq

HH

==

Potência consumida em kW: 3

3

22

11

2

1

2

1

NN

q.Hq.H

PotPot

==

Hveloc. Hpot. Hpressão

altura total em 3 (descarga)altura total em 4

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 46

Ventiladores e Compressores

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 47

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 48

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 49

Energia para a compressão de gases

Aplica-se a equação de Bernoulli na forma diferencial; supondoque os termos de energia cinética, potencial e de atrito podemser desprezados:

ρdpWd S =− )( e ∫=−

2

1

p

pS

dpWρ

fluxo isotérmico: p/ρ = RT/M = constante = p1/ρ1

-Ws = )log(303.2)ln(1

21

1

2

1

1

pp

MRT

ppp

Fluxo adiabático: p/ργ = constante = p1/ρ1γ ; γ = cp/cv

γ γar 1.40 metano 1.31SO2 1.29 etano 1.20azoto 1.40

-Ws =

−− 1)(

1/)1(

1

21 γγ

γγ

pp

MRT

O trabalho necessário em fluxo isotérmico é menor que emfluxo adiabático, razão pela qual normalmente se arrefece ocompressor. No fluxo adiabático, a temperatura de saída podeser estimada por:

γγ )1(

1

2

1

2−

=

pp

TT

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 50

3.4. Agitação e mistura de fluidos; cálculo da potêncianecessária (3.4).

• Conceito e objectivo da operaçãoDistinção entre agitação e mistura; exemplos industriais

(agitação na transferência de calor, “blending” de líquidos,dissolução, dispersão, suspensão)

• Equipamento de agitaçãoTipos de agitadores (hélice, pás, âncora, turbina, fita helicoidal)

viscosidade rpmhélice < 3 Pa.s (3000 cp) 400-1750

turbinas < 100 Pa.s 20-200pás, âncoras 50 – 500 Pa.s 20-200fita helicoidal ou parafuso > 500 Pa.s 5-50

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 51

• Linhas de fluxo na agitaçãoPara evitar rotação em bloco do fluidoe formação de vortex a velocidade derotação elevada, usam-se anteparos(‘baffles’); para viscosidadessuperiores a 5 Pa.s (5000 cp) não sãonecessários.

• Projecto básico de agitadoresProporções habituais dos agitadores deturbina

Da/Dt= 0.3 – 0.5; H/Dt = 1C/Dt = 1/3W/Da = 1/5; Dd/Da = 2/3; L/Da = 1/4J/Dt = 1/12Gap=0.10 a 0.15.JT h is f i l

e wa s g e n e ra t e d w

i t h th

e d e m o v e r s io n o f t he P

D F Co m p a t ib

le Pr in

t e r Dr iv

e r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 52

• Potência necessária na agitação(nº. Potência vs. nº. Reynolds)

N’Re = µ

ρNDa2

NPo = 53aDN

r. laminar: N’Re < 10 r. turbulento: N’Re >104

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 53

• ‘Scale-up’ (extrapolação) de agitadores

semelhança geométricar. escala, R = (V2/V1)1/3 = Dt2/Dt1 ; restantes dimensões

como acima

semelhança cinemática e dinâmica não são possíveis em conjuntoN2 = N1 R-n ; n=1 movimentação idêntica = (Dt1/Dt2)n n= 3/4 para idêntica suspensão de sólidos

n= 2/3 para igual transferência de massa

calculado N2 e (N’Re)2 estima-se a potência pelo diagrama.

• Tempo para realizar a mistura(“blending” de líquidos miscíveis)

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 54

• Misturadores especiais para sólidos e pastas

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 55

3.5. Fluidos não-Newtonianos (3.5).

τzx = - µ . (dvx/dz) ; µ = constante : fluido Newtoniano

Se µ = µ (τ, t), o fluido é não-Newtoniano

Fluidos independentes do tempoτzx = - Κ . (dvx/dz)n

(lei da potência)

Fluidos de BinghamPseudoplásticos (n<1)Dilatantes (n>1)

Fluidos dependentes do tempoTixotrópicosReopéticos

1 dv/dz

τ

τ

dv/dz µap

(µa)1

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 56

Fluidos viscoelásticos

(comportamento correspondentea uma elasticidade crescente dofluido)

No caso do fluxo em tubagenscilíndricas em regime laminar, alei da potência pode ser escritacomo:

'8'4

n

w DvK

LPD

==

∆τ (3.5-4)

os valores de K’ e n’, determinados em viscosímetros decapilar permanecem constantes para alguns fluidos numagama alargada de valores de (8v/d). Nesses casos podem serrelacionados com K e n (determinados normalmente comviscosímetros rotativos):

n’ = nn

nnKK

+

=4

13'

por vezes define-se um coeficiente generalizado deviscosidade: γ =K’ . 8(n’-1)

A tabela 3.5-1 de Geankoplis, 1993 apresenta valores destesparâmetros para alguns fluidos.

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 57

A equação 3.5-4 pode ser resolvida em ordem a ∆p e a v pararesolver problemas de fluxo em tubagens cilíndricas emregime laminar

Define-se neste caso um NRe generalizado por:

NRe,gen = nn

nn

n

nnnn

nnK

vDK

vDvD

+

==−

−−

4138.

8'. )1(

)2(

)1'(

)'2(')'2(' ρργ

ρ

A definição anterior pode ser usada com a relaçãof=16/NRe,gen para cálculo do factor de atrito, mas só emregime laminar.

Para o cálculo da energia cinética de fluidos não-Newtonianosque seguem a lei da potência, o valor de α é dado por :

2)13(3)35)(12(

+++

=n

nnα

no caso de fluxo turbulento, α = 1

Perdas por atrito em acessórios e acidentes da tubagem:

As perdas em acessórios e contracções de tubagem no casode fluidos pseudoplásticos e de Bingham podem serestimadas como fracção da energia cinética do fluido, usandoas equações válidas para fluidos Newtonianos, mas calculandoo valor de α como indicado acima; no caso de expansão detubagem há uma expressão mais complexa (eq. 3.5-16).

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 58

Para fluxo turbulento em tubos lisos de fluidos que seguem alei da potência, o factor de atrito pode ser estimado a partirdo NRe,gen.:

Requisitos de potência de agitação e mistura

No caso de fluidos pseudoplásticos, o N’Re para agitação éredefinido como N’Re,n:

N’Re,n = K

NDn

na

1

22

11 −

− ρ

para efeito de estimativa pode usar-se a fig. 3.4-4

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 59

3.6 Fluxo em sistemas de tubagens paralelas, ramificadas eem rede

Tubagens paralelas:

∆p1 = ∆p2 = ∆p3

Problema: Sabido Qtot, calcular Q1, Q2 e Q31. arbitrar Q1

1

2. calcular ∆p11

3. Calcular Q21 e Q3

1 de modo a que ∆p2

1 = ∆p31 = ∆p1

1

4. Calcular Qtot1 = Q1

1+Q21+Q3

1

5. Corrigir o caudal Q12 = 1

11

tot

tot

QQQ e repetir a partir de 2. até convergir

Tubagens ramificadas:

Problema: fixada a configuração e a tubagem, calcular oscaudais

1. arbitrar a altura total (ou energia total ) no nodo,hnodo

2. calcular os caudais; se Q1+Q2>Q3, aumentar a hnodo

ou vice-versa3. repetir até Q1+Q2=Q3

∆p3

∆p2

∆p1

Nodo: Q1+Q2=Q3

Q1

Q2

Q3

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r

DEQ/FEUP – Operações de Transferência, 2002/03 60

Redes de tubagens:

Nos nodos: ∑ = 0ijQ

Nas malhas: ∑ =∆

ijP

ρijP∆

= ρ

ji PP − = ∑ ++−+

−sij

ij WFgzzvv

ρρα

)(2

22

Qij e ∆Pij são positivos se têm orientação que coincide com osentido de circulação e negativos se têm sentido oposto.

Problema: fixada a configuração e a tubagem, calcular oscaudais na rede

1. escrever as equações nos nodos, nas malhas e equaçõesadicionais aplicáveis;

2. resolver numericamente o sistema algébrico não linear.

2

4

3

1

5

0

6

T h is f i le w

a s g e n e ra t e d wi t h

the d e m o v e r s io n o f t h

e PD F C

o m p a t ible P

r int e r D

r ive r