Askisiologio.gr

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Η τελευταία επανάληψη

Askisiologio.gr

2

Μέρος Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α

Askisiologio.gr

3

ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

1) Ποιος αριθµός λέγεται ρίζα ή λύση µιας εξίσωσης;

2) Πότε µια εξίσωση λέγεται αδύνατή και πότε αόριστη ή ταυτότητα;

3) Ποιοι αριθµοί λέγονται λύσεις µιας ανίσωσης;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4) Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

5) Τι λέγεται γραφική παράσταση συνάρτησης;

6) Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

7) Τι γνωρίζετε για την γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx= ;

8) Τι γνωρίζετε για την γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx β= + ;

9) Τι γνωρίζετε για την γραφική παράσταση της συνάρτησης α

yx

= ;

Askisiologio.gr

4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

10) Τι λέγεται πληθυσµός και τι µεταβλητή;

11) Τι λέγεται πίνακας κατανοµής συχνοτήτων;

12) Τι λέγεται µέση τιµή ενός δείγµατος παρατηρήσεων;

13) Τι λέγεται διάµεσος ενός δείγµατος παρατηρήσεων;

Askisiologio.gr

5

ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.1 Η έννοια της µεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις

1.∆ίνονται οι παραστάσεις ( ) ( )Κ 2 x – 3y – 7x – y 1= + και

( ) ( ) ( ) ( ) 2Λ 7y – 2x 3 – 3 x –1 y – x x x – 5 +y= − + + . Να εκτελέσετε τις δυνατές πράξεις

και στη συνέχεια να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων για x 1= − και y 2= − .

2.Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων αν γνωρίζετε ότι α β 6+ = − και

x – y 7= .

α) A α – β x y= − − +

β) ( ) ( )B α – β – x y= − − − +

γ) ( ) ( )Γ α – y – 2 x –1 β= + +

3.Να δείξετε ότι η παράσταση [ [ ( ) ] ]Α 3 x x y – x y x 3= − + − − − − − έχει τιµή ανεξάρτητη

από τους αριθµούς x και y.

1.2 Εξισώσεις πρώτου βαθµού

4.Να εξετάσετε αν οι δοσµένοι αριθµοί x είναι λύσεις των αντίστοιχων εξισώσεων: α) ( ) ( )– x 5 2 3x –1 3+ + = , x 2=

β) ( ) ( )3 2x 7 – x 2 4− + + = − , x 1=

5.Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 12x 0− =

β) ( ) ( )6x –1 12 6x 0+ =

γ) ( ) ( )– 2x 14 5x 25 0+ − + =

6.Να λύσετε τις εξισώσεις :

α) ( ) ( ) ( )16 x 1 – 2 3 – x 3 x 6+ = − +

β) ( ) ( ) ( )2 3x 4 5 3x – 5 3 x – 7+ + =

Askisiologio.gr

6

γ) ( ) ( )7 24 x – 2 2 5x 9 x− + = + −

7.Να λύσετε τις εξισώσεις :

α) 2x 5 5x 3 8 0

3 4 3

− −− + =

β) 5x 7 2x 7

3x 142 3

− +− = −

γ) ( ) ( ) ( )1 2 1 x8 x x 1 x 6

6 3 2 3− + − = + −

δ) ( ) ( )1 12x 19 2x 2x 11

2 2− − = −

ε) ( ) ( )2 x 17 5 x 10

2x 63 6

+ −+ = +

ζ) x 1 x 1 x x

52 3 2 3

− + + + = − −

8.Να λύσετε τις εξισώσεις :

α)

( )5 x 32x 3 1x x 2x

9 3 6

8 2 4

++− − −

− =

β)

12x

1 x21 2 3

3x3

−= −

−

9.Το διπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 5 ισούται µε το τριπλάσιό του. Ποιος είναι αυτός ο αριθµός;

10.∆ίνεται τρίγωνο µε πλευρές AB 2x 1= + , BΓ x 1= − και ΓΑ 4x 3= − . Nα βρείτε το x

σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Η περίµετρός του είναι 11. β) Είναι ισοσκελές µε βάση την ΒΓ.

1.4 Προβλήµατα µε χρήση εξισώσεων

11.Ο πατέρας του Βασίλη είναι κατά 26 χρόνια µεγαλύτερος απ’ αυτόν. Αν πριν 5 χρό-νια οι ηλικίες τους είχαν άθροισµα 40 να βρεθεί η ηλικία του Βασίλη και του πα-τέρα του.

12.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η καθεµιά από τις ίσες γωνίες του είναι 150 µικρότερη από την τρίτη γωνία. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου.

Askisiologio.gr

7

13.Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί ώστε το µισό του µικρότερου και το

1

3 του µεγαλύτερου να είναι ίσο µε τον µεσαίο ελαττωµένο κατά 3.

14.∆ύο αριθµοί διαφέρουν κατά 35 και ο λόγος τους είναι 2

7. Να βρείτε τους αριθµούς

αυτούς.

15.Ο Βασίλης έχει στην τσέπη του χαρτονοµίσµατα των 10 και 20 ευρώ. Αν γνωρίζετε ότι τα χαρτονοµίσµατα των 10€ είναι διπλάσια από αυτά των 20€ και ότι το συνο-λικό ποσό που έχει στην τσέπη του είναι 160€, να βρείτε πόσα χαρτονοµίσµατα των 10€ και πόσα των 20€ έχει.

16.Σε µια µάντρα αυτοκινήτων και µηχανών υπάρχουν συνολικά 55 οχήµατα. Αν γνω-ρίζετε ότι όλα τα οχήµατα έχουν 190 ρόδες, να βρείτε πόσα αυτοκίνητα και πόσες µηχανές υπάρχουν στη µάντρα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθµού

17.Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

α) 9 16⋅ β) 1 3 36+ + γ) 5 16 1+ +

δ) ( )3 4 1 9 4⋅ + + ε) 1 9 36

4 10 94 25 81− + ζ)

1649

2+

18.Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α) 3 6 6 β) 12 4 121+ +

19.Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α) 3 8 4 8+ β) 50 7 18 3 2+ − γ) 24 9 6 2 96+ −

20.Να βρείτε τους αριθµούς x που ικανοποιούν τις σχέσεις:

α) 2x 121= β) 2x 196= γ) 2x 1,44 = δ) 2x 0,25=

2.2 Άρρητοι αριθµοί – Πραγµατικοί αριθµοί

21.Να υπολογίσετε την πλευρά τετραγώνου αν δίνεται ότι η διαγώνιός του είναι 18.

22.Να υπολογίσετε το εµβαδό ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 12.

23.Να υπολογίσετε την υποτείνουσα και το εµβαδό ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώ-νου, αν γνωρίζετε ότι µία κάθετη πλευρά του είναι 18

Askisiologio.gr

8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.1 Η έννοια της συνάρτησης

24.Να συµπληρώσετε τους πίνακες τιµών της συνάρτησης 2y x 2= + .

25.Ένας υπάλληλος µιας τράπεζας έχει µισθό 900 € το µήνα και 2% του µηνιάτικου για κάθε ώρα υπερωρίας. Να εκφράσετε τον συνολικό του µισθό y, ως συνάρτηση των ωρών υπερωρίας x.

26.Για τη συνάρτηση µε τύπο ( )y 3 – 2α x 2β= + δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιµών:

Να βρείτε τα α και β.

3.2 Καρτεσιανές συντεταγµένες – Γραφική παράσταση

συνάρτησης

27.Να βρείτε το συµµετρικό του σηµείου ( )Α 2, 3− − ως προς:

α) τον άξονα x 'x β) τον άξονα y ' y

γ) την αρχή των αξόνων

28.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο ( )y 2 – 3α x 1= + , διέρχεται από το

σηµείο ( )M 1, 16− − .

α) Να υπολογίσετε το α β) Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση, όταν 2 x 2− ≤ ≤ .

x -2 -1 0 1 2

y

x -2 -1 0

y -8 1 10

x -2 -1 0 1 2

y

Askisiologio.gr

9

29. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές ( )Α 1,1− , ( )Β 3,1 και ( )Γ 1,5− είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές.

3.3 Η συνάρτηση y=αx

30.Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y στον παρακάτω πίνακα είναι ανάλογα: α) να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x β) να συµπληρώσετε τον πίνακα:

γ) να κάνετε την γραφική παράσταση

31.Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα: α) αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σηµείο

( )Α 2,6− , να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x.

β) να κάνετε τη γραφική παράσταση

32.Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση y 4x= − όταν 2 x 4− ≤ ≤ .

33.∆ίνεται η συνάρτηση y αx= . Να βρεθεί το α, αν η γραφική παράσταση διέρχεται

από το σηµείο ( )Μ 3,9− .

34.Να βρείτε την κλίση της ευθείας, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από

το σηµείο ( )Α 2,4− .

35.Με 10 κιλά αλεύρι γίνονται 36 κιλά ψωµί. Πόσα κιλά αλεύρι χρειάζονται για να γί-νουν την παραγωγή 85 κιλών ψωµί; Ποια είναι η συνάρτηση που εκφράζει την πο-

σότητα y των κιλών ψωµιού συναρτήσει της ποσότητας χ του αλευριού;

3.4 Η συνάρτηση y=αx+β

36.Nα παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση y 2x 2= − + όταν:

α) x 3≤ β) 0 x 4≤ ≤

37.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, που διέρχεται από τα σηµεία ( )Α 2,0− και

( )Β 0,6 .

x -2 -1 0 1

y 4

Askisiologio.gr

10

38.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία έχει κλίση -5 και διέρχεται από το ση-

µείο ( )Α 1,10− .

39.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία τέµνει τον άξονα y 'y στο σηµείο

( )Α 0, 4− και διέρχεται από το σηµείο ( )Β 4, 2− .

40.Να βρείτε τα σηµεία που τέµνουν τους άξονες η συνάρτηση y 2x 8= − + .

41.∆ίνεται η εξίσωση y αx β= + .

α) Να βρείτε τα α και β, αν γνωρίζετε ότι η ευθεία τέµνει τον άξονα y 'y στο

( )Α 0,-2 και διέρχεται από το σηµείο ( )Β 1,4 .

β) Να βρείτε το σηµείο Γ, στο οποίο η παραπάνω ευθεία τέµνει τον άξονα x 'x . γ) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ , όπου Ο η αρχή των αξόνων.

42.∆ίνεται η συνάρτηση y αx β= + .

α) Να βρείτε τα α, β, αν είναι γνωστό ότι η ευθεία που την παριστάνει έχει κλίση -4

και ότι διέρχεται από το σηµείο ( )K 0,8 .

β) Να βρείτε σε ποιο σηµείο η παραπάνω ευθεία τέµνει τον άξονα x 'x . γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

3.5 Η συνάρτηση y=α/x – Η υπερβολή

43.Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα: α) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x, αν δίνεται ότι η γραφική της παρά-

σταση διέρχεται από το σηµείο ( )Α 2,6 .

β) Να παρουσιάσετε γραφικά την συνάρτηση.

44.∆ίνεται η συνάρτηση 2α 5

yx

+= . Να βρείτε το α, αν η γραφική της παράσταση διέρ-

χεται από το σηµείο ( )Ν 3,5 .

45.Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα από µια πόλη Α σε µια πόλη Β. Όταν το αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα 120 χιλιόµετρα ανά ώρα, χρειάζεται 3 ώρες, για να φτάσει από την πόλη Α στην πόλη Β. Να υπολογίσετε: α) Σε πόσες ώρες θα φτάσει, αν κινηθεί µε 180 χιλιόµετρα ανά ώρα; β) Με τι ταχύτητα πρέπει να κινηθεί, για να φτάσει στην πόλη Β σε 2 ώρες;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

4.1 Βασικές έννοιες στατιστικής – Πληθυσµός - ∆είγµα

46.Σε µια δηµοσκόπηση ρωτήθηκαν 1200 άτοµα. Οι 600 ήταν άντρες, οι 400 ήταν γυ-ναίκες και τα υπόλοιπα ήταν παιδιά. Να βρείτε τι ποσοστό του δείγµατος ήταν:

Askisiologio.gr

11

α) οι άντρες β) τα παιδιά γ) οι µεγάλοι (άντρες και γυναίκες)

47.Στο γυµνάσιο Λαγκαδικίων φοιτούν 200 παιδιά. Τα 120 από αυτά είναι αγόρια και τα υπόλοιπα κορίτσια. Να βρείτε το ποσοστό των αγοριών στο γυµνάσιο Λαγκαδικίων.

48.Σε ένα γυµνάσιο της Θεσσαλονίκης ρωτήθηκαν 500 παιδιά για το άθληµα που τους αρέσει, µεταξύ µπάσκετ και βόλεϊ. Αν ρωτήθηκαν 350 αγόρια και 150 κορίτσια και απάντησαν ότι τους αρέσει το µπάσκετ, 175 παιδιά, τότε: α) Ποιο είναι το ποσοστό των αγοριών στο γυµνάσιο; β) Ποιο είναι το ποσοστό των παιδιών που τους αρέσει το µπάσκετ;

4.2 Γραφικές παραστάσεις

49.Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει 4 τύπους µπαταριών Α, Β, Γ και ∆, σε ποσοστά 10%, 20%, 30% και 40%. Να φτιάξετε το κυκλικό διάγραµµα και να βρείτε πόσες µπα-ταρίες τύπου Β κατασκευάζονται αν δίνεται ότι ο συνολικός αριθµός παραγωγής ε-τησίως είναι 50000.

4.5 Μέση τιµή - ∆ιάµεσος

50.Οι ηλικίες 15 υπαλλήλων σε µια επιχείρηση δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

31 28 31

27 29 29

27 28 21

29 30 29

28 30 27 Να υπολογίσετε το µέσο όρο και τη διάµεσο των ηλικιών των υπαλλήλων της επιχεί-ρησης.

51.Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο στα παρακάτω δεδοµένα:

xi vi

1 7

2 8

3 5

Σύνολο: 20

Askisiologio.gr

12

Μέρος Β

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Askisiologio.gr

13

ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΜΒΑ∆Α ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ –

ΠΥΘΑΓΩΡΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1) Γράψτε τους τύπους των εµβαδών των παρακάτω σχηµάτων:

α) Τετράγωνο

β) Ορθογώνιο

γ) Παραλληλόγραµµο

δ) Τρίγωνο

ε) Ορθογώνιο τρίγωνο

ζ) Τραπέζιο

2) ∆ιατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα.

3) ∆ιατυπώστε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήµατος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

4) Πως ορίζεται η εφαπτοµένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου;

5) Πως ορίζεται το ηµίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου;

6) Πως ορίζεται το συνηµίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου;

Askisiologio.gr

14

7) Μεταξύ ποιων τιµών βρίσκεται το ηµίτονο και το συνηµίτονο οποιασδήποτε οξείας

γωνίας;

8) Να γράψετε τον πίνακα τριγωνοµετρικών αριθµών των βασικών γωνιών.

9) Ποια διανύσµατα λέγονται ίσα;

10) Ποια διανύσµατα λέγονται αντίθετα;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

11) Ποια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη;

12) Τι γνωρίζετε για µια εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο;

13) Ποια η σχέση εγγεγραµµένης και επίκεντρης, όταν βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα;

14) Ποια η σχέση δύο επίκεντρων γωνιών όταν βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα;

15) Ποια η σχέση µιας εγγεγραµµένης γωνίας µε το µέτρο του τόξου στο οποίο βαίνει;

16) Ποια πολύγωνα λέγονται κανονικά;

17) Ποιος κύκλος λέγεται περιγεγραµµένος κύκλος ν-γώνου;

18) Πότε µια γωνία λέγεται κεντρική γωνία ν-γώνου;

Askisiologio.gr

15

19) Πότε µια γωνία λέγεται γωνία ν-γώνου;

20) Τι ονοµάζεται µήκος κύκλου;

21) Ποια η σχέση που συνδέει µοίρες µε ακτίνια;

22) Τι ονοµάζεται εµβαδό κύκλου;

Askisiologio.gr

16

ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΜΒΑ∆Α ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

1.3 Εµβαδά επίπεδων σχηµάτων

52.Να βρείτε την µία πλευρά ορθογωνίου παραλληλογράµµου, αν γνωρίζετε ότι η άλλη πλευρά του είναι 12 και το εµβαδόν του 156.

53.Να βρείτε το εµβαδόν και την περίµετρο ορθογωνίου που έχει διαγώνιο 10cm και πλάτος 8cm.

54.Το οικόπεδο όπου είναι χτισµένο το σπίτι του Βασίλη έχει σχήµα ορθογώνιο παραλ-ληλόγραµµο µε πλευρές 35 και 25. Ενώ η βάση του σπιτιού είναι τετράγωνη µε

πλευρά 9. Να βρείτε: α) Το εµβαδό του οικοπέδου β) Το εµβαδό του σπιτιού γ) Το εµβαδό της αυλής

55.Ένα οικόπεδο έχει σχήµα ορθογωνίου παραλληλογράµµου µε περίµετρο 1200m. Να βρείτε το µήκος των πλευρών του αν γνωρίζετε ότι µία είναι τριπλάσια της άλλης.

56.Να υπολογίσετε το εµβαδό του παρακάτω τραπεζίου και έπειτα να κατασκευάσετε τε-τράγωνο µε ίσο εµβαδό.

1.4 Πυθαγόρειο θεώρηµα

57.Ένα ισοσκελές τραπέζιο έχει βάσεις 27 cm και 11 cm. Αν η περίµετρος του είναι 72 cm να βρείτε το εµβαδόν του.

58.Να βρείτε το εµβαδό του παρακάτω σχήµατος.

Askisiologio.gr

17

59.Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ ΑΓ 15= = και ΒΓ 24= . Να υπολογί-

σετε: α) το ύψος Α∆ του τριγώνου β) το εµβαδό του τριγώνου

60.∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= µε ΑΒ 5cm= και ΑΓ 12cm= . Να υπολο-

γίσετε: α) την πλευρά ΒΓ β) το εµβαδό του ΑΒΓ γ) το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα

61.∆ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 8 cm. Αν Ε µέσο του ύψους Α∆ να υπολογί-σετε: α) το ύψος Α∆ β) ΒΕ γ) το εµβαδόν του.

62.Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ ΑΓ 5= = cm το ύψος Α∆ ΒΓ= . Να βρεθούν:

α) ΒΓ β) το εµβαδόν του

63.∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε οΑ ∆ 90= = , ΑΒ 12= cm, ΑΓ 10= cm, ∆Γ 6= cm. Να υ-

πολογίσετε τη ΒΓ και το εµβαδόν του.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

2.1 Εφαπτοµένης οξείας γωνίας

64.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= είναι ΑΒ 15= και εφΓ 1= . Να υπολογίσετε

το µήκος της πλευράς ΑΓ.

65.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= είναι 1

εφΒ2

= και ΒΓ 10= . Να υπολογίσετε τις

κάθετες πλευρές και το εµβαδόν του.

Askisiologio.gr

18

66.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8

εφΓ5

= και ΑΒ 120= . Να υπολογίσετε την περί-

µετρο του τριγώνου.

2.2 Ηµίτονο και συνηµίτονο οξείας γωνίας

67.Στο παρακάτω σχήµα να υπολογίσετε τα x, y και φ.

68.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= έχει οΒ 50= και ΒΓ 20cm= . Να βρείτε τις

κάθετες πλευρές του ΑΒ και ΑΓ. ∆ίνεται οηµ50 0,766= .

69.Αν είναι 5

ηµθ13

= και η υποτείνουσα είναι 26, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρι-

κούς αριθµούς της γωνίας θ.

70.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η υποτείνουσα ΒΓ είναι 13 και η ΑΒ είναι 8. Να βρείτε: α) τις γωνίες του τριγώνου β) την πλευρά ΑΓ γ) την περίµετρό του τριγώνου

δ) το εµβαδό του τριγώνου

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 3.1 Εγγεγραµµένες γωνίες

71.Να βρεθούν οι ζητούµενες γωνίες σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα.

Askisiologio.gr

19

α) β)

72.Να υπολογίσετε τη γωνία φ του παρακάτω σχήµατος.

73.Να βρεθούν οι ζητούµενες γωνίες του παρακάτω σχήµατος.

74.Να βρεθούν οι ζητούµενες γωνίες του σχήµατος.

Askisiologio.gr

20

3.2 Κανονικά πολύγωνα

75.Να υπολογιστεί η κεντρική γωνία ω και η γωνία φ ενός κανονικού εξαγώνου.

76.Να υπολογιστεί η κεντρική γωνία ω και η γωνία φ ενός κανονικού οκταγώνου.

77.Να υπολογιστεί η κεντρική γωνία ω και η γωνία φ ενός κανονικού δωδεκαγώνου.

78.Να βρεθεί ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία: α) 36ο β) 12ο γ) 120ο

79.∆ίνεται κανονικό 12-γωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας ρ = 10cm. Να υπολογιστούν: α) η πλευρά του β) το εµβαδόν του

80.Σε ένα κανονικό πολύγωνο η γωνία του φ είναι διπλάσια της κεντρικής του γωνίας ω. Να βρεθούν: α) η κεντρική γωνιά ω β) η γωνία του πολυγώνου γ) το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου

3.3 Μήκος κύκλου

81.Ένας κύκλος έχει µήκος 1248cm. Να βρεθεί η ακτίνα του.

82.Οι περίµετροι δύο κύκλων έχουν λόγο 1

5. Να βρεθεί ο λόγος:

α) των ακτινών τους β) των διαµέτρων τους

83.Οι ρόδες ενός ποδηλάτου έχουν ακτίνα 20cm. Να βρεθεί πόσες στροφές θα κάνουν αν διανύσουν διάστηµα 3768m.

84.Οι περίµετροι δύο κύκλων διαφέρουν κατά 75,6cm. Να βρείτε πόσο διαφέρουν οι ακτίνες των κύκλων.

3.5 Εµβαδό κυκλικού δίσκου

Askisiologio.gr

21

85.Να βρεθεί η επιφάνεια µιας κυκλικής πλατείας διαµέτρου 12m.

86.Να βρεθεί η επιφάνεια ενός δίσκου βινυλίου µε ακτίνα 5cm και µε ακτίνα εσωτερι-κού κυκλικού κενού ακτίνας 0,5cm.

87.Ένα κυκλικό πάρκο έχει εµβαδό 452,16m2. Να βρείτε: α) την ακτίνα του β) την περίµετρό του

88.Το µήκος ενός κύκλου είναι 12,56 cm. Να βρείτε: α) την ακτίνα του β) το εµβαδό του γ) το µήκος ενός κύκλου µε 4-πλάσια ακτίνα