Ensayo polanco euan_elias

Método de las imágenes

Elías Natanael Polanco Euán

Curso de Electrodinámica

CINVESTAV Unidad Mérida

Chapter 1

Antecedentes.

1.1 Métodos especiales en electrostática

Para hallar el potencial esscalar se puede realizar una integración sobre una distribu-ción dada de cargas fuente por medio de

ϕ(r) =1

4πε0

∫

V ′

ρ(r′)dτ ′

R(1.1)

Después se puede obtener el campo eléctrico a partir de E = −`ϕ. Algunos

problemas están enunciados de tal modo que este método no es factible, por lo quees conveniente contar con otros métodos alternativos. Se puede abordar el problemaresolviendo la ecuación diferencial con derivadas parciales que satisface ϕ. Esta esla ecuación de Poisson h

2ϕ=−ρ/ε0

donde ρ es la densidad total de carga.

Si las densidades relevantes de carga son iguales a cero, estas dos ecuaciones sereducen a la ecuación de Laplace: h

2ϕ=0

Debido a la relativa simplicidad de la ecuación de Laplace, el énfasis estará enresolverla.

A través de los años se han diseñado muchos métodos para resolver estas ecua-ciones. Algunos de estos métodos son muy generales y sistemáticos, mientras queotros son extremadamente especializados y de aplicación y justificación rigurosa. Loque se hará en este ensayo se centra en un teorema muy importante que se analizaa continuación.

1.2 Teorema de Unicidad

Este teorema es una herramienta de mucha utilidad, ya que permite el empleode muchas vías para la determinación de los potenciales en un región, entre ellasel método de imágenes que veremos mas adelante. Vamos a demostrar que en unpotencial V que satisface la ecuación de Poisson y las condiciones de contorno per-tinentes a un campo determinado es el único posible.

3

Este es un teorema importante porque nos da total libertad para emplearcualquier método, incluso la intuición, para determinar un campo electrico, Side alguna forma podemos encontrar un campo que satisface ambas condiciones,entonces ese es el único posible.

Consideremos una región finita del espacio que puede contener conductorescargados a potenciales especificados, dieléctricos clase A de propiedades dadas, ydistriuciones volúmicas de cargas libres de densodades conocidas, Para demostrarel teorema de unicidad supondremos que en cada punto existen dos soluciones posi-bles, V1 y V2, que satisfacen la ecuación de Poisson y que ambas se reducen alos potenciales especificados sobre las superficies de los conductores. Esto no implicaque un punto dado pueda estar, al mismo tiempo, a dos potenciales diferentes.Nuestra hipótesis es que uno u otro de los dos campos diferentes puede existiren la región para la que se especifican las condiciones de contorno. Encontraremosque V1≡V2. Este es el teorema de unicidad.

Correspondiendo a V1 y V2, tenemos en cada punto dos intensidades de campoeléctrico:

E1=−h

2V1, E2=−

h2V2, (1.2)

Hemos supuesto que en todos los puntos, tanto V1 como V2 satisfacen la ecuaciónde Poisson. Entonces:

h·D1= ρf,

h·D2= ρf (1.3)

donde ρf es la densidad de carga libre.

Nos vamos a fijar en la diferencia entre las dos soluciones que llamaremos V3:

V3=V2−V1 (1.4)

En estas condiciones, los correspondientes D1, D2, D3 son tales que, en cadapunto,

D3=D2−D1 (1.5)

y h·D3=

h·D2−

h·D1=0 (1.6)

Sobre las superficies de los conductores V3= 0, ya que ambos V1 y V2 se reducen alos valores de contorno especificados.

Utilizando la identidad vectorial:h

·V3D3=V3

(h

·D3

)

+D3 ·(h

V3

)

(1.7)

e integrando sobre un volumen τ y aplicando el teorema de la divergencia, ten-dremos:

∫

S

V3D3 ·da=

∫

τ

V3

(h

·D3

)

dτ +

∫

τ

D3 ·(h

V3

)

dτ (1.8)

4 Antecedentes.

donde la integral de superficie del primer miembro se calcula sobre todas las super-ficies que limitan el volumen τ . Tomemos este volumen como el exterior a losconductores, que se extiende hasta el infinito en todas las direcciones.

La integral de superficie se tiene que calcular sobre las superficies de los conduc-tores y sobre una esfera omaginaria de radio infinito. La primera contribución seanula por ser V3 cero sobre todas las superficies conductoras. Para obtener la integralsobre la superficie de radio infinito, vamos a calcular su valor sobre una esfera finita,que después extenderemos hasta el infinito. Tanto V1 como V2, a distancias suficiente-mente grandes, deben disminuir según 1/r, ya que toda la carga del sistema aparececomo una carga puntual para distancias grandes comparadas con las dimensiones delsistema. Entonces V3, la diferencia entre V2 y V1, debe también decrecer como 1/r.Según esto, D3 debe decrecer como

`V3, esto es, como 1/r2. Por crecer el área S

sobre la que se realiza la integración como r2, toda la integral decrece según 1/r ytiende a cero en el infinito. El primer término de la ecuación es, por tanto, nulo.

El primer término del segundo miembro también es cero, por ser` ·D3= 0 en

cada punto. Nos hemos quedado solamente con el segundo término del segundomiembro, que debe ser idénticamente nulo. Entonce,

∫

τ

(D3•E3) dτ =0. (1.9)

En dieléctricos homogéneos, isotrópicos y lineales, la magnitud D3•E3= εE2 espositiva, y la única forma para que se anule la integral es que sean, en cada punto,D3 y E3 iaguales a cero.

Por tanto, se deduce que: hV2=

hV1 (1.10)

o que V2 sólo puede diferir de V1 en una constante. Como V1 y V2 deben ser igualessobre las superficies de los conductores, también lo deben ser en todos los puntos.En consecuencia, V1=V2 y sólo existe un posibile potencial V

Hemos demostrado, por tanto, que para unas condiciones dadas de contorno,la solución de la ecuación de Poisson es única, siempre que el producto D•E seapositivo en todo el material dieléctrico del sistema

1.2 Teorema de Unicidad 5

Chapter 2

Método de las imágenes

El método de las imágenes implica la conversión de un campo eléctrico en otroequivalente más fácil de calcular. En ciertos casos es posible sustituir un conductorpor una o más cargas puntuales, de modo que las superficies conductoras se susti-tuyen por superficies equipotenciales a los mismos potenciales.

q q-q

Figure 2.1.

Recuérdese que la ley de Coulomb fue la base para obtener la expresión

ϕ(r)=∑

i=1

Nqi

4πε0Ri

para el potencial de un sistema de cargas, en las que la contribución de cada una delas cargas es proporcional a 1/R, siendo R la distancia de la carga al punto de campo.Por lo tanto, dicha expresión debe satisfacer la ecuación de Laplace necesariamente;también se puede observar esto explícitamente de

h2

(

1

|r− r′|

)

=h

′2

(

1

|r− r′|

)

7

En otras palabras, la suma de los potenciales individuales de un conjunto de cargaspuntuales es, automáticamente, una solución de la ecuación de Laplace. Este hechoconstituye base del método de las imágenes . El objetivo es encontrar un conjunto decargas ficticias (cargas imágenes) las que, junto con cualesquiera cargas reales quese encuentren presentes, harán posible satisfacer las condiciones de frontera y asíobtener la función única del potencial. Es decir, se intenta escribir el potencial como

ϕ=∑

real

qa4πε0Ra

+∑

imagen

qi4πε0Ri

(2.1)

y encontrar la mejor combinación posible. La idea básica es que las cargas imagensimularán de alguna manera el comportamiento de las otras cargas fuente o delmaterial presente; de acuerdo con esto, las cargas imagen se situarán fuera de laregión para la que se está tratando de encontrar ϕ. Este método quedará mejorilustrado por medio de ejemplos específicos.

Example 2.1.

Carga puntual y plano infinito conectado a tierra. Como se muestra en la figura(), la carga q se encuentra a una distancia

Figure 2.2.

Problema de una carga puntual y de un plano conductor resuelto me-diante el método de la carga imagen: (a) problema original; (b) situa-ción de la carga imagen; (c) líneas de fuerza ( líneas punteadas ) ysuperficies equipotenciales (líneas continuas).

Como se muestra en la figura 2.2, la carga puntual q se encuentra a una distanciad del plano yz, que a su vez es la superficie de un conductor que ocupa todo elespacio a la izquierda de este plano, es decir, para todos los valores negativos de x.La otra mitad del espacio está vacía. La condición de frontera es que ϕ = cte. enx= 0, de acuerdo a las condiciones de discontinuidad. Por simplicidad, se toma elvalor constante igual a cero (el conductor está conectado a tierra); si el valor real esuna constante diferente, se le puede simplemente sumar al resultado final. Así, lacondición de frontera es

ϕ(0, y, z)= 0 (2.2)

8 Método de las imágenes

para todas las y y z. Se intentrá usar (2.1) para satisfacer (2.2) con una sola cargaimagen, q ′, localizada también sobre el eje x a una distancia d′ dentor del conductor(y por ello reeemplazando al conductor en lo que respecta a la región al vacío). Dadoque las coordenadas de q y q ′ son (d,0, 0) y (−d,0, 0) respectivamente, se encuentraque (2.2) resulta como

ϕ(x, y, z)=1

4πε0

{

q

[(x− d)2+ y2+ z2]1/2+

q ′

[(x+ d′)2+ y2+ z2]1/2

}

(2.3)

Cuando esto se combina con (2.2), se observa que se debe satisfacer la condición deque

q

[(x− d)2+ y2+ z2]1/2+

q ′

[(x+ d)2+ y2+ z2]1/2=0 (2.4)

Resulta claro que esto queda satisfecho siempre que d′= d y q ′=−q. Por lo tanto,q ′ se encuentra tan «atrás» de la frontera como q se encuentra «adelante» de ella,de tal forma que el término «imagen» le queda muy bien; nótese que durante ensteproceso el signo cambió, esto es algo muy característico. Si ahora se sustituyen en(2.3) los valores recién encontrados, se obtiene la expresión única del potencial:

ϕ(x, y, z) =1

4πε0

{

q

[(x− d)2+ y2+ z2]1/2− q

[(x− d)2+ y2+ z2]1/2

}

(2.5)

que viene a ser la solución completa del problema. Se utiliza (2.5) únicamente parax> 0; en el caso de x < 0, ϕ tiene el mismo valor igual a cero que en la superficiedel conductor, tal como resulta de las propiedades de un conductor, que dice que nohay campo dentro de él.

Se pueden ahora calcular las componentes del campo eléctrico a partir de E =−`

2ϕ:

Ex=−∂ϕ

∂x=

q

4πε0

{

(x− d)

[(x− d)2+ y2+ z2]3/2− (x+ d)

[(x− d)2+ y2+ z2]3/2

}

Ey=−∂ϕ

∂y=

qy

4πε0

{

1

[(x− d)2+ y2+ z2]3/2− 1

[(x− d)2+ y2+ z2]3/2

}

(2.6)

Ez=−∂ϕ

∂z=

qz

4πε0

{

1

[(x− d)2+ y2+ z2]3/2− 1

[(x− d)2+ y2+ z2]3/2

}

Se puede verificar el resultado viendo si posee las propiedades correctas. Ey y Ez

son componentes tangenciales en la superficie del conductor, por lo que, de acuerdocon las condiciones de frontera para un conductor deben anularse; al observar (2.6)se puede apreciar fácilmente que es así, ya que Ey(0, y, z) = Ez(0, y, z) = 0. En la

Método de las imágenes 9

superficie del conductor, la componente normal de E es En = nS •E = xS •E = Ex,resultando

En=Ez(0, y, z)=− qd

2πε0(d2+ y2+ z2)3/2=− qd

2πε0R02 (2.7)

donde R0 es la distancia desde q al punto correspondiente del plano x = 0, comotambién se muestra en la figura. Pero ya se sabe que si En no es cero, implica laexistencia de una densidad superficial de carga (en este caso, carga libre), la que, de

(2.7) y Esuperficie=−nS · ` ϕ=σ

ε0resulta ser

σf(y, z)=− qd

2πε0(d2+ y2+ z2)3/2(2.8)

Se dice que esta carga superficial fue inducida por la carga puntual q. Se puedeobservar que σf no es constante en el plano; su magnitud es máxima en el origen,directamente bajo q, y es igual a q/(2πd2), y σf→0 a medida que y y z se aproximanal infinito. Se puede encontrar la carga total inducida sobre el plano yz si se integra(2.8) sobre toda la superficie del plano:

qind=qd

2π

∫

−∞

∞∫

−∞

∞ dydz

(d2+ y2+ z2)3/2=

qd

2π

∫

0

2π ∫

0

∞ dydz

(d2+ y2+ z2)3/2

qind=qd

2π

∫

0

2π ∫

0

∞ ddθ

(d2+ 2)3/2= qd

∫

0

∞ d

(d2+ 2)3/2= qd

[

−1

(d2+ 2)1/2

]

0

∞

qind= qd

[

1

d− lim

→∞

1

(d2+ 2)1/2

]

= q (2.9)

Así la carga total inducida resulta ser igual y opuesta a la carga inductora y, por lotanto, igual a la carga imagen, lo cual es lógico suponer ya que esta última simulael comportamiento total del conductor.

Para encontrar la fuerza que actúa sobre q se requiere saber el valor de E en estepunto. sin embargo, no se pueden utilizar los primeros 8tperminos entre corchetes de(2.6) porque representa la contribución de la propia q, según (2.4), lo que signifcaráque ejerce una fuerza sobre sí misma, -posibilidad que se ha excluido constante-mente-. Si se sustituyen las coordenadas de q, (d, 0, 0), en los demás términos de(2.6) se encuentra que Ey=Ez=0 y Ex=−q/(16ε0d

2), de modo que la fuerza sobreq resulta ser

F = qE=− q2

16πε0d2xS (2.10)

y está dirigida hacia el concuctor. Es obvio que esto representa la fuerza de atracciónresultante entre q y la carga superficial inducida σf, como puede comprobarse porintegración directa. Si se expresa la ecuación anterior como

F =− q2

16πε0(2d)2xS (2.11)


se puede observar que concuerda cexactamente con la forma de la ley de Coulombpara la atracción entre q y la carga imagen −q, ya que se encuentran separadas poruna distancia total 2d.

Al hacer que ϕ sea igual a una constante en (2.5) se obtiene la ecuación de lassuperficies equipotenciales en la región x>0, y al hacer que z=0 se obtiene las curvasequipotenciales en el plano xy. Según (2.5), la ecuación de la superficie equipotencialen función de las distancias R y R ′ de la figura 2.2 es

1

R− 1

R ′=

4πε0ϕ

q= cte (2.12)

La figura 2.3 muestra algunas de estas curvas con líneas contínuas. Las líneaspunteadas vienen a ser las líneas de E. Su ecuación puede encontrarse por mediode ds1f = kE y (2.6), donde ds1f representa un pequeño desplazamiento a lo largode una línea de E (línea de fuerza), necesariamente paralela a E en ese punto, k esuna constante de proporcionalidad de dimensiones apropiadas.

Figure 2.3. Equipontenciales (líneas llenas) y líneas de campo eléctrico (punteadas) parael sistema de la figura 2.2

.


Figure 2.4. Equipotenciales (rojas punteadas) y líneas de campoeléctrico (negras sólidas) para dos cargas lineales designo opuesto paralelas al eje z

Example 2.2.

Carga puntual y esfera conductora conectada a tierra. Véase la figura 2.5. Seutilizan coordenadas esféricas con origen en el centro de la esfera de radio a, y setoma q a una distancia d del centro, en una posición por la que pasa el eje z. Lacondición de frontera consiste en que el potencial sea igual a cero en la superficie dela esfera, es decir, que:

ϕ(a, θ, φ)= 0 (2.13)

Se intentará resolver este problema por medio de una sola carga imagen, q ′ situadaa una distancia d del centro de la esfera; es necesario que d′< a, de manera que q ′

se encuentre fuera de la reagión al vacío. El potencial en cualquier punto de campo,P , se obtiene a partir de (2.1), la ley de los cosenos y la figura; esto resulta en

ϕ(r, θ, φ) =1

4πε0

(

q

R+

q ′

R ′

)

(2.14)

ϕ(r, θ, φ)=1

4πε0

[

q

(r2+ d2− 2rd cosθ)1/2+

q ′

(r2+ d′2− 2rd′ cosθ)1/2

]

(2.15)


Figure 2.5. Carga puntual y esfera conductora conectada a tierra.

Al combinar esto con la condición de que el potencial sea cero en la superficiede la esfera se obtiene la condición

q

(r2+ d2− 2rd cosθ)1/2+

q ′

(r2+ d′2− 2rd′ cosθ)1/2=0 (2.16)

de la que deben encontrarse q ′ y d′. Ya que por lo general se necesitan dos ecuaciones,y dado que (2.16) debe ser verdadera para todos los valores de θ, se pueden obtenerdichas ecuaciones al tomar dos valores de θ particularmente útiles, es decir, 0 y π.Cuando se les sustituye en (2.16) se obtienen la ecuaciones

q

d− a− q ′

a− d′=0

q

d+ a+

q ′

a+ d′=0

Haciendo un poco de álgebra:

(a− d′)q

d− a− q ′=0

(a+ d′)q

d+ a+ q ′=0

Resulta entonces

aq

d− a− q

d− ad′− q ′=0 (2.17)

aq

d+ a+

q

d+ ad′+ q ′=0 (2.18)


En forma matricial se tiene:

q

d− a1

− q

a+ d1

(

d′

q ′

)

=

1

d− a1

d+ a

aq

q

d− a1

− q

a+ d−1

(

d′

q ′

)

=

1

d− a1

d+ a

aq

Llamemos D=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

q

d− a1

− q

a+ d−1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=−q

(

1

d− a+

1

a+ d

)

=−q

(

2d

d2− a2

)

Resolviendo el sistema por el método de Kramer:

⇒

d′=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

aq

d− a1

aq

d+ a1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

D=

aq

(

1

d− a− 1

d+ a

)

−2dq

a2− d2

=−2a2

d2− a2

2d

a2− d2

=a2

d

sustituyendo d′ en la ecuación (2.18) tenemos:

q ′=− aq

d+ a− q

d+ a

(

a2

d

)

=−aq

(

1

d+ a+

a

(d+ a)d

)

=−aq

(

d

d(d+ a)+

a

(d+ a)d

)

⇒

q ′=−a

dq

En este caso, la carga imagen es también de signo opuesto a la carga inductora, peroesta vez sus magnitudes no son iguales sino que, de hecho |q ′|< |q |. Si se sustituyeeste resultado en (2.15) se puede obtener el potencial que satisface las condicionesde frontera y que, por lo tanto, da el valor correcto en todos los puntos fuera de laesfera:

ϕ(r, θ, φ)

=q

4πε0

[

1

(r2+ d2− 2rd cosθ)1/2+

(a/d)

(r2+(a2/d)2− 2r (a2/d) cosθ)1/2

]

(2.19)


Se pueden calcular las componentes del campo eléctrico a partir de E=−∇ϕ encoordenadas esféricas y resulta:

Er=q

4πε0

{

(r− d cosθ)

R3− (a/d)[r− (a2/d) cosθ]

R ′3

}

(2.20)

Eθ=qd senθ

4πε0

[

1

R3+

(a/d)3

R ′3

]

(2.21)

Por ser una componente tangencial, Eθ(a) = 0 en la superficie de la esfera; sinembargo, Er� 0 y, ya que se trata de una componente normal a la superficie, debeexistir una densodad superficial dada por

σf(θ)= ε0En= ε0Er(a, θ)=−q(d2− a2)

4π(a2+ d2− 2ad cosθ)3/2

Puede demostrarse de nuevo que la carga total inducida es igual a la carga imagen.Por medio de integrar sobre toda la superficie esférica:

qind=−q(d2− a2)

4πa

∫

0

2π ∫

0

π a2 senθdθdφ

4π(a2+ d2− 2ad cosθ)3/2

=− q(d2− a2)a

2

∫

−1

1 dµ

4π(a2+ d2− 2adµ)3/2

La integral se puede resolver por medio de tablas y resulta ser:

[

1

ad(a2+ d2− 2adµ)1/2

]

−1

1

=1

ad

(

1

|d− a| −1

|d+ a|

)

En este caso, d>a y tenemos1

ad

(

1

|d− a| −1

|d+ a|

)

=2

d(d2− a2)de modo que

qind=− q(d2− a2)a

2

(

2

d(d2− a2)

)

=−a

dq= q ′

como debería ser.

La carga q será atraída hacia la esfera por una fuerza que viene a ser la fuerzade Coumolb entre q y su imagen q ′. Su distancia de separación es D = d − d′ =(d2− a2)/d, de tal manera que, según la lay de Coulomb

F=adq2zS

4πε0(d2− a2)2

Si d≫ a, la variación de la fuerza será de aproximadamente la inversa del cubo dela distancia de separación.

La figura 2.6 muestra el aspecto general de las equipontenciales y de las líneasde campo para este caso.


Figure 2.6. Equipotenciales y líneas de campo eléctrico para el sistema

En el siguiente capítulo se abordarán los problemas del método de las imágenespero con herramientas matemáticas más avanzadas.


Chapter 3

Funciones de Green para método deimágenes

En particular, el método de las imágenes permitirá el cálculo sencillo de la fun-ciónn de Green para geometrías simples. Esencialmente, la solución del problema decontorno se consigue substituyendo dicho contorno por un espacio imagen, consti-tuido por medios y fuentes imagen y situados en el exterior del volumen de interés, ovolumen problema, de forma tal que sigan cumpliťendose las condiciones de contornoimpuestas y que en el interior no se alteren las fuentes D especificadas.

Figure 3.1.

En la figura 3.1 se presenta un caso simple consistente en un sistema de cargasρ(rR ′) frente a un plano conductor a potencial nulo.

El volumen de interés es el semiespacio a la derecha del plano conductor yel contorno del problema es la superficie S. Las condiciones que se cumplen eneste problema son de tipo Dirichlet. En el semiespacio de la izquierda no se hanespecificado ni los medios ni las fuentes, lo que no nos permite decir nada acercadel potencial existente en dicha región. Si nosotros nos figuramos ahora a estesemiespacio como lleno de un medio con constante ε y con una distribuciťon decargas de signo contrario a las especificadas (ρI es la imagen especular de ρ)

ρ(

dR)

=−ρI(

−dR)

, εI = ε

17

por simetría, el potencial VS =0 y, puesto que no hemos alterado la regiťon (I) ni elpotencial de su contorno, el campo producido en esta nueva situación es el mismoque existía en el problema primitivo en dicha región. La soluciťon obtenida no esválida para la región (II) puesto que en ella hemos fijado arbitrariamente los mediosy las fuentes.

Figure 3.2.

En la figura 3.2 se plantea un problema típico de electrodos en medios de con-ductividad infinita. En este caso, un electrodo (conductor ideal con σ→∞) inyectauna intensidad I a un medio de conductividad infinita, separado por un plano delmedio de la izquierda, que es no conductor (σ=0). Resolvemos el problema en elmedio de conductividad infinita, cuyo contorno es S=S1+S2, donde S1 es la interfazcon el medio no conductor y S2 la superficie del electrodo. Dado que la corrienteno fluye en el medio no conductor, en S1 puede imponerse la condición de tipoNeumann (En =0)S1 . El electrodo es equipotencial, por lo que en su superficiepuede imponerse la condición de tipo Dirichlet (V )S2

=VE, con lo que, en conjunto,las condiciones son mixtas.

El espacio imagen estaría constituido por un electrodo simétrico con respecto aS1 inmerso en un medio de la misma conductividad σ0.

Algo parecido, figura 3.3, podemos hacer con sistemas de corrientes frente amateriales magnéticos ideales. En virtud de la ley de refracción, las líneas de camposerán perpendiculares a la superficie externa S1 del medio. Por lo tanto, el potencialmagnťetico US1=cte y puede tomarse como nulo. El espacio imagen estaría consti-tuido por un medio de permeabilidad µo y una espira simétrica de la primitiva conrespecto a S1, pero recorrida en sentido contrario.

No abordaremos el tema en extenso [Lorrain y Corson, Reitz et al., Jackson];nos limitaremos a describir la aplicación del método al cálculo del potencial elec-trostático producido por cargas en presencia de superficies conductoras.

18 Funciones de Green para método de imágenes

Figure 3.3.

3.1 Imágenes sobre un plano conductor; función deGreen

Consideremos a una carga puntual situada en el punto (d, 0, 0) frente al planoconductor x=0 que está a potencial nulo.

Figure 3.4.

La carga q atraerá, por influencia, cargas de signo contrario estableciendo en Suna densidad de carga ρs(y, z) que apantalla al campo dentro del conductor.

ρ(y, z) = εER (0, y, z) ·nSSegťun vemos en la figura 3.4, para la regiťon (I) tendremos un campo que será elresultado de superponer el coulombiano de q con el de su imagen −q.

ER =q

4πε0

[

R1

R13 −

R2

R23

]

, ϕ=q

4πε0

[

1

R13 −

1

R23

]

3.1 Imágenes sobre un plano conductor; función de Green 19

donde

R1= (x− d, y, z), R1=(x+ d, y, z)

La fuerza que la carga ejerce sobre el plano, o la que el plano ejerce sobre elconductor, serťa la de atracciťon entre q y su imagen.

FR = qER −q=q2

4πε0

1

(2d)2xS

Es interesante resaltar que el trabajo necesario para traer a la carga q desde elinfinito a su posiciťon final no puede obtenerse como producto de dicha carga por el

potencial V−q(dR ) que produce la imagen en d porque al mover q se mueve tambiénsu imagen.

Figure 3.5.

Para obtener la funciťon de Green GD(rR , rR )=GD(rR , rR ) colocaríamos una cargaq=ε en rR y calcularíamos el potencial en rR . Si, como se muestra en la figura 3.5,colocamos al plano en el plano yz y la carga a una distancia x del mismo

rR = (x, y, z), rR ′=(x′, y ′, z ′), RR 1= rR − rR ′

rR ′= (−x′, y ′, z ′), RR 1= rR − rRI′

Luego

GD(rR , rR ′) =1

4π

(

1

|rR − rR ′| −1

|rR − rRI′|

)

3.2 Imágenes sobre una esfera


Podemos también demostrar que la imagen de una carga q, frente a una esferacon potencial nulo, es otra carga q ′ de signo contrario y de distinta magnitud. Sila esfera estuviese a un potencial no nulo, bastaría con hacer uso de una segundaimagen q ′′ y situarla en el centro de la esfera.

Figure 3.6.

Empezaremos considerando el primer caso. Supongamos, figura 3.6, un par decargas q y q situadas en z=d y z=b respectivamente. El potencial creado en unpunto de la esfera será

V (a)=1

4π

(

q

R1(a)− q ′

R2(a)

)

=0

donde A≡ q

R1(a)− q ′

R2(a)=0 y

R1(a)= a2+ d2− 2ad cosθ√

, R2(a)= a2+ b2− 2ab cosθ√

Elevando (A) al cuadrado y agrupando términos, tenemos que

q ′2(a2+ d2)− q2(a2+ d2) + 2a(bq2− dq ′2) cosθ=0

Llamemos: B= q ′2(a2+ d2)− q2(a2+ d2), C = (bq2− dq ′2)

Para que esto sea cierto en toda la superficie de la esfera, es decir para cualquierθ, será necesario que B=0, C =0. Dado que, para que el potencial de la esfera seanulo, es preciso que las cargas sean de signo contrario y que la imagen debe estaren el interior de la esfera, b<a, los parámetros de la imagen son

q ′=−a

dq, b=

a2

d

Estas relaciones siguen siendo válidas si intercambiamos la region I por la II yq por q ′. Es decir, son válidas para cargas q en el interior de una esfera (d<a).

3.2 Imágenes sobre una esfera 21

Podemos calcular el potencial producido por una carga q frente a una esferaconductora, a potencial producido por una carga q frente a una esfera conductora,a potencial V0 sin más que añadir una carga en el origen de magnitud

q ′′= V04πεa, V (rR ) =1

4πε0

(

q

|rR − dzS | +q ′

|rR − bzS | −q ′′

r

)

Figure 3.7.


Chapter 4

Problemas resueltos

4.1 Plano conductor a potencial V0

Calcular la fuerza de un plano conductor a potencial V0 sobre una carga a unadistancia d.

V0 V0

q-q q-q

d d

Figure 4.1.

El problema se divide en dos partes, primero el de un plano a potencial cero másuna carga y despues se suma la fuerza debida al plano a potencial V0.

Ya se ha resuelto el problema del plano a potencial cero,

ϕ(x, y, z) =1

4πε0

{

q

[(x− d)2+ y2+ z2]1/2− q

[(x− d)2+ y2+ z2]1/2

}

(4.1)

La fuerza que ejerce el plano conectado a tierra sobre la carga q está dada por:

F = qE=− q2

16πε0d2xS (4.2)

Ahora recordemos que el campo ejercido por un plano infinito está dado por:

Eplano=σ

2ε0xS

Pero el podencial a una distancia x del plano está dado por:

V (x)=Eplanox

23

En este caso la carga a una distancia d del plano:

V0=Eplanod

⇒Eplano=

V0

d

La fuerza que se ejerce sobre la carga q debida a Eplano es

Fplano= qV0

dxS

La fuerza total será entonces la suma de F+Fplano

Ftot=− q2

16πε0d2xS + q

V0

dxS

4.2 Fuerza entre una carga puntual frente a unaesfera aislada y cargada

Supongamos una esfera conductora no está a potencial constante, sino que seconoce su carga Q está colocada frente a una carga puntual q

Figure 4.2. Esfera con carga Q frente a una carga puntual

El prblema se resuelve como la superposición de una esfera conectada a tierrafrente a una cara q más una esfera con carga Q.

Los valores de q ′ y d se calculan resolviendo las ecuaciones 2.17 y 2.18 como sevio en el ejemplo 2.2 los cuales resultaron:

q ′=−qR

r0

d=R2/r0

24 Problemas resueltos

Figure 4.3.

Como hemos visto en el ejemplo 2.2 la carga fuera de la esfera producirá unacarga imagen q ′ a una distancia d= R2/r0 dentro de la esfera conductora, ademásde que el potencial V0 hace otra carga imagen q ′′ en el centro de la esfera. Sumandolas cargas imágenes tenemos:

Q= q ′+ q ′′=−qR

r0+4πε0RV0 (4.3)

Despejamos V0

V0=1

4πε0

(

q

r0+Q

R

)

La solución de este problema se reduce a una esfera conectada a tierra frente unacarga q más el de una esfera con un potencial V0

Despejamos q ′′ de (4.3)

q ′′=Q+q

r0

Si tenemos una carga q frente a una esfera aislada con carga Q la fuerza es

F =q

4πε0

(

q ′(r− r0′)

|r− r0′ |3 +

q ′′r0

r3

)

Sustituyendo los valores:

F =q

4πε0

−qR

r0r0−R2/r0

+Q+

q

r0r03

xS

4.2 Fuerza entre una carga puntual frente a una esfera aislada y cargada 25

4.3 Una carga dentro y otra fuera de una cortezaesférica

Una corteza esférica, aislada y descargada, tiene en su interior a una carga q1 yen su exterior a una carga q2, ¿cuánto vale ϕ?

Figure 4.4. Una carga dentro y otra fuera de una corteza esférica

Primero, suponemos la esfera a potencial V, que habrá que calcular más tarde.Esto separa el problema en dos Una carga frente a una esfera. Una carga en un hueco.

Figure 4.5. Una carga frente a una esfera(Izquierda). Una carga en un hueco (derecha)


Ahora realizamos la solución de los dos problemas

Primero resolvemos el problema exterior que se resuelve con dos cargas imagen(figura 4.6)

Figure 4.6.

El potencial en este caso está dado por

ϕ(r)=1

4πε0

(

q2|r− r2|

+q2′

|r− r2′ | −

q2′′

r

)

, (r >R)

donde por el procedimiento del problema anterior (sección 4.2):

q2′ =−q2

R

r0, q2

′′=4πε0RV

El problema interior se resuelve con una carga imagen y una constante

ϕ(r)=1

4πε0

(

q1

|r− r2|+

q2′

|r− r2′ | −

q2′′

r

)

, (r <R)

q1′ =−q1

R

r1

Figure 4.7.

Ahora hacemos los cálculos para la corteza y las dos cargas:

4.3 Una carga dentro y otra fuera de una corteza esférica 27

Figure 4.8.

Por aplicación de la ley de Gauss

ε0

∮

S

E · ds=Qint=Q+ q1= q1

Pero el flujo se calcula empleando el campo exterior

ε0

∮

S

Eext · ds= ε0

∮

S

(

Eq2+Eq′2+Eq′′

2

)

· ds= q1′ + q ′

2′

Igualando hallamos V

q1= q1′ + q ′

2′ =−q1

R

r2+4πε0RV

Despejando V

V =1

4πε0

(

q1R

+q2r2

)

Ya tenemos el potencial completo

ϕ(r) =

1

4πε0

q2

|r− r2|+

−q2R

r0|r− r2

′ | −q1′ + q2

R

r0r

(r <R)

1

4πε0

q1

|r− r1|+

−q1R

r2|r− r1

′ | +q1

R+

q2

r2

(r <R)


Sustituyendo los valores primados:

ϕ(r) =

1

4πε0

(

q2

r− r2+

q2′

r−R2/r2− q1−q2

′

r

)

(r <R)

1

4πε0

(

q1

r− r1+

q1′

r−R2/r1+

q1

R+

q2

r2

)

(r <R)

4.4 Cilindro conductor indefinido con potencial V0

Una línea de carga con densidad λ se halla paralela al eje de un cilindro conductorcon potencial V0 en su superficie. Encontrar el potencial total y el campo eléctrico.

Tomando como referencia el plano X =0, el potencial vale:

ϕ(rR )=λ

2πε0ln

(x+d)2+y 2

(x−d)2+y 2

√

=λ

4πε0ln

(

(x+d)2+y 2

(x−d)2+y 2

)

Figure 4.9.

La superficie de ϕ(rR )= V0:

V4πε0λ

= ln

(

(x+d)2+y2

(x−d)2+y2

)

⇒ eV 4πε0

λ =(x+d)2+y2

(x−d)2+y2= k2

⇒x2+d2+2xd+ y 2=k2(x2+d2+2xd+ y2)

⇒x2( k2− 1)− 2xd(k2+1)+ y2( k2− 1)=−d2( k2− 1)

⇒x2− 2xdk2+1

k2− 1+ y2+ d2

(

k2+1

k2− 1

)

2

=−d2(

k2+1

k2− 1

)

2

− d2=4k2d2

(k2− 1)2

⇒(

x− dk2+1

k2− 1

)

2

+ y2=

(

2kd

k2− 1

)

2

4.4 Cilindro conductor indefinido con potencial V0 29

donde: k= eV 4πε0

λ

Podemos observar que es la ecuación de la circunferencia

Tomando en cuenta los parámetros de superficie de ϕ= V0:

con centro en: xC= dk2+1

k2− 1yC =0 y radio a=

2kd

k2− 1

Se encuentra una propiedad interesante:

d2+ a2= d2+

(

2kd

k2− 1

)

2

=d2[(k2− 1)2+4k2]

(k2− 1)2

=d2(

k2+1k2− 1

)

2

= xC2

Figure 4.10.

Si trasladamos el origen de coordenadas al eje del cilindro:

x′=x−xC⇒

xλ′ = d− d

k2+1

k2− 1=− 2d

k2− 1

x−λ′ =−d− d

k2+1

k2− 1=− 2dk2

k2− 1

a=2kd

k2− 1⇒

xλ′ =

a

kx−λ′ =−ka

⇒ xλ′ x−λ

′ = a2


Figure 4.11.

Se llega así a la conclusión de que el radio de cada cilindro equipotencial es lamedia geoétrica de las distancias a su centro de las líneas de carga.

Figure 4.12.

La distribución de carga imagen de una línea de carga constante, paralela a uncilindro conductor indefinido de radio a y a una distancia b, es otra línea del mismovalor y signo contrario situada a una distancia:

c=a2

b

4.4 Cilindro conductor indefinido con potencial V0 31

El potencial es:

ϕ(rR )=λ

4πε0ln

(

(x− a2/b )2+y 2

(x−b)2+y 2

)

=λ

4πε0ln

(

ρ2+(a2/b )2− 2ρ(a2/b )cosφ

ρ2+b2− 2ρb cosφ

)

Ahora se calcula el campo eléctrico:

ER (rR )=−∇ϕ(rR )=λ

4πε0∇ln

(

ρ2+(a2/b )2− 2ρ(a2/b )cosφ

ρ2+b2− 2ρb cosφ

)

Lo cual implica que:

ER (rR )=−∇ϕ(rR ) =−∂ϕ

∂ρρS − 1

ρ

∂ϕ

∂ρϕS

ER (rR ) =λ

2πε0

(

ρ− b cosφ

ρ2+b2− 2ρb cosφ− ρ2−(a2/b )cosφ

ρ2+(a2/b )2− 2ρ(a2/b )cosφ

)

ρS

+λ

πε0

(

b senφ

ρ2+b2− 2ρb cosφ− (a2/b )sen φ

ρ2+(a2/b )2− 2ρ(a2/b )cosφ

)

φS

V0

Figure 4.13.

4.5 Línea bifilar

Calcular el potencial debido a dos cilindros conductores, indefinidos, iguales yparalelos.


Figure 4.14.

Cada cilindro hace una línea de carga dentro del otro de tal manera que elpotencial en la superficie de ambos cilindros resulte ser siempre cero. Primero sehalla la distancia a la cual colocan las líneas de carga. De la figura 4.14 se puedenotar que 2D=R+r. Además sabiendo la propiedad a 2=rR

Combinando las ecuaciones:

r2−2Dr+a2=0

⇒{

r=D± D2− a2√

R=D∓ D2− a2√

}

De donde es inmediato que:

d= D2− a2√

Luego, por útlimo ya se puede llegar a la expresión del potencial

ϕ(rR )=λ

4πε0ln

(

(x+ d )2+y 2

(x−d)2+y 2

)

⇒V0

2=

λ

4πε0ln

(

D− a+ d

D− a− d

)

2

=λ

4πε0ln

(

D+ D2− a2√

D− D2− a2√

)

2

4.5 Línea bifilar 33

Chapter 5

Conclusiones

• El Método de las imágenes está basado en el Teorema de unicidad del poten-cial nos indica que, dada una distribución de cargas o densidades de cargainiciales, si podemos encontrar una distribución alternativa en todo el espaciode más sencilla resolución en la región de interés que verifique la igualdad dela ecuación de Poisson/Laplace en dicha región para ambas distribuciones.

• El valor general del potencial de ambas distribuciones para la región es elmismo, y por tanto puede reducirse la distribución inicial a la planteada demás sencilla resolución.

• Las aplicaciones del método son múltiples. La más clara es la posibilidadde sustitución de un conductor por una distribución de carga que es posibleen algunos casos gracias al mismo. También es útil en la resolución de otrosestudios electrostáticos tales como conductores a tierra frente a cargas pun-tuales, conductores a potencial V0 frente a cargas puntuales.

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