ensayo de flexión de vigas

44

3. MÉTODO DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA Los problemas se pueden considerar de dos tipos: 1. De Análisis: Se da la sección, el refuerzo, esfuerzos en el concreto y acero, para calcular la resistencia y comparar con unos esfuerzos admisibles. 2. De Diseño: Se evalúan las cargas, la luz o la geometría, para seleccionar la sección y el refuerzo. La ecuación de diseño es:

MuMn ≥φ Donde: Mn: Resistencia nominal o momento nominal resistente. φ: Factor de reducción de resistencia (C.9.3 del NSR-10) Mu: Momento producido por las cargas mayoradas. El factor de reducción de resistencia φ se basa de acuerdo al CR9.3 en:

• Probabilidad de existencia de elementos con una resistencia baja debida a variaciones en la resistencia de los materiales y las dimensiones.

• Inexactitudes en las ecuaciones de diseño. • El grado de ductilidad y la confiabilidad bajo los efectos de la carga bajo consideración • Importancia del elemento en la estructura

El ACI 318 del 2005, los factores de reducción de resistencia fueron ajustados para hacerlos compatibles con las combinaciones de carga del SEI/ASCE7, y que son los mismos del NSR-10. 3.1 TEORÍA DE LA FLEXIÓN. Se hacen las siguientes suposiciones: 1. Las secciones transversales de la viga, perpendicular al plano de flexión, permanecen planas durante la flexión. (Ver Figuras 3.1). 2. La deformación en el acero es igual a la del concreto en el mismo nivel. 3. Los esfuerzos en el concreto y en el acero, se calculan de la curva esfuerzo deformación del concreto. La distribución lineal de los esfuerzos, deja de ser válida para vigas peraltadas y con una luz menor a 4 veces la altura del elemento. 4. Se supone que el concreto no resiste esfuerzos de tensión, ya que la resistencia a la tensión

cf ′= 62.0f R para concretos de peso normal (C.9.5.2.3), es muy baja comparada con la del

acero, por lo tanto la capacidad del concreto para resistir esfuerzos de tensión puede ser despreciada.

45

5. Se asume que el concreto falla cuando alcanza el valor límite. Esto ocurre cuando la pendiente en el diagrama Momento – Curvatura dM /dφ es negativa, correspondiente a una formación de una rotula y decremento de carga. (Ver Figuras 3.1)

Figura 3.1 Diagrama M – φ. Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor.

6. La deformación máxima unitaria en la fibra extrema sometida a compresión del concreto reforzado, obtenida de ensayos de vigas es: 003.0=cuε (C.10.2.3 del NSR-10) (Ver Figura 3.2)

Figura 3.2 Deformación compresión límite en el concreto. Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor

46

7. La relación esfuerzo – deformación, para el concreto se puede asumir rectangular, trapezoidal, parabólica, etc.

3.1.1 Esfuerzos en el Concreto Reforzado Los esfuerzos en el concreto, son los esfuerzos de compresión y tensión. Los esfuerzos de compresión adoptan una forma geométrica llamada el bloque de Whitney. Para facilidad de cálculos se ha transformado esta figura en un cubo.

La forma del bloque de esfuerzos de los ensayos en una viga sometida al momento último, se puede expresar en términos de 3 constantes k1, k2 y k3

Fuerza Compresión

Fuerza Tensión

47

k3: Relación entre el máximo esfuerzo f’’c de compresión de una viga en flexión y el esfuerzo de compresión f’c en el cilindro de concreto.

cf

cfk

´

´´3 =

k2: Relación entre la distancia desde la fibra extrema en compresión, hasta la resultante de la fuerza de compresión y la distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el eje neutro.

c

ak

2/2 = = β

k1: Relación del esfuerzo promedio en compresión y el máximo esfuerzo.

rectángulodelArea

sombreadaAreak =1

Para una viga rectangular de ancho b, la fuerza resultante en compresión es:

� = �� Para simplificar, se puede usar un rectángulo equivalente como distribución de esfuerzos en el concreto, conocido como el bloque de esfuerzos de Whitney. CR10.2.7 — Para el diseño, el Título C del Reglamento NSR-10 permite el uso de una distribución rectangular de esfuerzos de comprensión (bloque de esfuerzos) como reemplazo de distribuciones de esfuerzos más exactas. En el bloque rectangular equivalente de esfuerzos, se utiliza un esfuerzo promedio de 0.85 fc′ con un rectángulo de altura a = β1c. Se ha determinado experimentalmente un valor β1 igual a 0.85 para concreto f´c<=28 MPa y menor en 0.05 por cada 7 MPa de f´c sobre 28 MPa.

48

En el suplemento de 1976 del ACI 318-71, se adoptó un límite inferior de β1 igual a 0.65 para

resistencias delconcreto mayores de 55 MPa. Los datos obtenidos en ensayos con concreto de alta resistenciaC.10.1,C.10.2 respaldan el uso del bloque de esfuerzos rectangular equivalente para

resistencias del concreto que excedan los 55 MPa, con un β1 igual a 0.65. El uso de la distribución

rectangular equivalente de esfuerzos especificada en el ACI 318-71 sin límite inferior para β1 , tuvo

como resultado diseños inconsistentes para concreto de alta resistencia en elementos sometidos a cargas axiales y de flexión combinadas. El bloque rectangular de esfuerzos es descrito por dos constantes α1 y β1 (C.10.2.7.3), pero β1 no debe ser menor a 0.65. Isométricamente el bloque de esfuerzos queda:

Sección transversal

Sección transversal.

49

Vista lateral viga

La distribución rectangular de esfuerzos tiene las siguientes características: 1. El esfuerzo uniforme de compresión α1*f’c, se asume distribuido sobre una zona de compresión limitado por los bordes de la sección y una línea paralela al eje neutro, localizada a una distancia a = β1*c medida desde la fibra extrema en compresión. 2. La distancia c se mide desde la fibra extrema en compresión hasta el eje neutro 3. β1 se toma en el sistema inglés como: 3.1 β1 = 0.85 para f’c hasta 28 MPa o 4000 psi.

3.2 β11000

05.005,1cf ′

−= para 4000 < f’c ≤ 8000 psi

3.3 β1 = 0.65 para f’c > 8000 psi En el SI es: β1 = 0,85 para f’c ≤ 28 MPa β1 = cf ′− 008,009,1 para 28MPa < f’c ≤ 56 MPa β1 = 0,65 para f’c > 56 MPa Ensayos para cargas sostenidas en vigas y columnas, han dado como resultado que α1 se puede tomar como 0.85. La resistencia a compresión debe ser mayor a f´c > 17 MPa, según C1.1.1 del NSR-10.

50

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor

En la figura anterior, la línea del contorno inferior corresponde a α1=0.85 y β1, el cual se toma de la ecuación anterior. Se presenta una buena correlación para α1 = 0.85 y β1 de la ecuación anterior con k1, k2 y k3 en vigas. En columnas la correlación es buena hasta f’c ≤ 6000 psi y se puede usar: α1= 0,85 para f’c ≤ 8000 psi

α1 73,050000

800085,0 ≥−′

−= cf para f’c > 8000 psi

β1 = 0,85 para f’c ≤ 4000 psi

β1 7,010000

400015,085,0 ≥

−′−= cf para f’c > 4000 psi

51

3.1.2 Falla en el concreto Reforzado Dependiendo de las propiedades geométricas de la sección, cantidad de acero y resistencia de los materiales, la falla puede ocurrir por: Falla en tensión o subrefrozada: El refuerzo fluye antes que el concreto falle en compresión. La viga es subreforzada Falla en compresión o sebrerefrozada: El concreto falla antes que el acero alcance la fluencia, la viga es sobre reforzada. Falla balanceada: El concreto falla simultáneamente cuando el acero alcanza la fluencia. 3.1.3 Ductilidad Este comportamiento se presenta cuando la relación en el diagrama Momento – Curvatura, Carga –Deflexión, Torque –Giro, etc. tiene una gran región plástica. Una falla dúctil avisa, ya que los ocupantes se dan cuenta por deflexiones excesivas y la aparición de grietas. Para un sistema elastoplástico se tiene que la ductilidad al desplazamiento se define como:

Uy

Uu=µ

µ: Ductilidad solicitada o demanda de ductilidad. Corresponde a la máxima ductilidad que se le puede exigir al sistema. Cuando el sistema no es elástoplástico, el límite de fluencia no está definido y debe ser conservador, la ductilidad µ se denomina coeficiente de daño. Según el A.13.1 del NSR-10, se define la ductilidad y algunos tipos de ductilidad. Ductilidad - Capacidad que tiene un material estructural de resistir, sin fallar, deformaciones que lleven al material estructural más allá del límite elástico, o límite donde las deformaciones son linealmente proporcionales al esfuerzo o fuerza aplicada. Dependiendo del parámetro que describe las deformaciones, la ductilidad puede hacer referencia, entre otras, a: (a) ductilidad de curvatura �φ - cuando la ductilidad se mide con respecto a la curvatura de la sección del elemento estructural. La curvatura se define como el cociente entre el momento flector aplicado y la rigidez de la sección

52

(b) ductilidad de rotación �θ - cuando la ductilidad se mide con respecto a la rotación que tiene un sector longitudinal del elemento estructural. La rotación se define como la pendiente de la línea elástica del elemento medida con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento. (c) ductilidad de desplazamiento �δ - cuando la ductilidad se mide con respecto al desplazamiento o deflexión que tiene el elemento estructural. El desplazamiento se mide con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento. (d) ductilidad de deformación �ε - cuando la ductilidad se mide con respecto a la deformación unitaria de una fibra paralela al eje neutro de la sección. 3.1.4 Tenacidad Se define como el área bajo la curva esfuerzo – deformación de un material que se lleva hasta la falla. Es una medida de la cantidad de energía por unidad de volumen que puede absorber o disipar un elemento hasta la falla. 3.1.5 Capacidad de disipación de energía. Si se tiene un sistema elástico y uno plástico. El coeficiente de reducción de resistencia se define como:

kRo

Fe

Ro

UeUy

Ro

FeFy

Uy

Ue

Fy

FeRo

==

=

==

Uy: Desplazamiento en el nivel del fluencia Ue: Desplazamiento máximo del sistema elástico

kRo

Fe

Ro

UeUy

Ro

FeFy

Uy

Ue

Fy

FeRo

==

=

==

Ro: Coeficiente de reducción de resistencia para un sistema de un grado de libertad, indicado por el subíndice o. La capacidad de disipación de energía de un sistema inelástico de un grado de libertad, corresponde a la capacidad que tiene el sistema para reducir la fuerza elástica Fe producida por una carga externa, a una fuerza necesaria para producir fluencia Fy.

53

De acuerdo al NSR-10 – Capítulo A.13.1 – Definiciones y nomenclatura del Título A, se tiene: CAP A.13.1 Capacidad de disipación de energía — Es la capacidad que tiene un sistema estructural, un elemento estructural, o una sección de un elemento estructural, de trabajar dentro del rango inelástico de respuesta sin perder su resistencia. Se cuantifica por medio de la energía de deformación que el sistema, elemento o sección es capaz de disipar en ciclos histeréticos consecutivos. Cuando hace referencia al sistema de resistencia sísmica de la edificación como un todo, se define por medio del coeficiente de capacidad de disipación de energía básico R0, el cual después se afecta debido a irregularidades de la estructura y a ausencia de redundancia en el sistema de resistencia sísmica, para obtener el coeficiente de disipación de energía R (R = φa φp φr Ro). El grado de capacidad de disipación de energía se clasifica como especial (DES), moderado (DMO) y mínimo (DMI). Capacidad de rotación de la sección - Es la capacidad que tiene una sección de un elemento estructural de admitir rotaciones en el rango inelástico sin perder su capacidad de resistir momentos flectores y fuerzas cortantes. Se mide en términos de su capacidad de disipación de energía a la rotación

A continuación se presentan 4 vigas con la misma sección, pero con variación en el refuerzo

56

Las vigas 3 y 4 desarrollan una falla en tensión y tiene un diagrama Momento - Curvatura dúctil, mientras que en las Vigas 1 y 2 el concreto en la fibra extrema a compresión alcanza el agrietamiento más rápido, aunque el acero fluye mucho después, y el diagrama momento – curvatura no tiene una respuesta dúctil, aunque la resistencia es mucho mayor que en las vigas 3 y 4. 3.2 VIGAS RECTANGULARES CON REFUERZO EN TENSIÓN Para satisfacer las condiciones de análisis y diseño, se debe cumplir que los esfuerzos en cualquier punto deber ser siempre proporcionales a las deformaciones y debe existir equilibrio entre las fuerzas internas y externas. Para vigas cortas y peraltadas, lo anterior no se cumple.

La fuerza en compresión es: C=0.85 f´c* b*a donde a = β1 c La fuerza en tensión es: T = As fy Del equilibrio: T = C As fy = 0.85 f’c b a

cbf

Asfya

´85.0= Profundidad del rectángulo de esfuerzos equivalente en compresión

57

Se define bd

As=ρ como la cuantía o porcentaje de acero en la sección efectiva. Reemplazando As

= ρbd se obtiene:

cf

dfy

cbf

bdfya

´85.0´85.0

ρρ == (1)

El par interno en la sección es:

TjdMn =

−=2

adAsfyMn

El par interno en la sección también es:

CjdMn =

−=2

´85.0a

dcbafMn

φ C.9.3.71-La resistencia de diseño proporcionada por un elemento, sus conexiones con otros elementos, así como sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante y torsión, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones del Título C del Reglamento. C.9.3.2.1 — Secciones controladas por tracción como se define en 10.3.4 ................................. 0.90

CR9.3.2.2 — Con anterioridad a la edición de 2002, el Reglamento ACI 318 especificaba la magnitud del

factor φ para los casos de carga axial o de flexión, o ambos, en términos del tipo de carga. Para estos

casos, el factor φ queda ahora determinado por las condiciones de deformación unitaria en las secciones

transversales, en el estado de resistencia nominal.

Se usa un factor φ más bajo para las secciones controladas por compresión que para las secciones

controladas por tracción porque las secciones controladas por compresión tienen menor ductilidad, son más sensibles a las variaciones en la resistencia del concreto y, en general, se presentan en elementos que soportan mayores áreas cargadas que los elementos con secciones controladas por tracción. A los

elementos con espirales se les asigna un φ más alto que para las columnas con estribos ya que poseen

mayor ductilidad o tenacidad. Para secciones sometidas a carga axial con flexión, se determina las resistencias de diseño multiplicando

tanto Pn como Mn por un único valor apropiado de φ. Las secciones controladas por compresión y

controladas por tracción se encuentran definidas en C.10.3.3 y C.10.3.4 como aquellas con deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, en el estado de resistencia nominal, menor o

58

igual al límite de deformación unitaria de secciones controladas por compresión, e igual o mayor a 0.005

respectivamente. Para las secciones con deformación unitaria neta a tracción εt en el acero extremo en

tracción, en resistencia nominal, entre los límites anteriores, el valor de φ puede ser determinado por

interpolación lineal, como se aprecia en la figura CR9.3.2. El concepto de la deformación unitaria neta de

tracción en el acero extremo en tracción, ε t , se discute en CR10.3.3

Como en C.10.2.3 se supone la deformación unitaria a la compresión del concreto, en el estado de resistencia nominal, igual a 0.003, los límites de deformación unitaria neta de tracción para los elementos controlados por compresión también pueden ser establecidos en términos de la relación c/dt , donde c es la distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro cuando se llega a la resistencia nominal, y dt es la distancia desde la fibra extrema en compresión hasta la fibra extrema del acero en tracción. Los límites de c/dt para las secciones controladas por compresión y controladas por tracción son 0.6 y 0.375 respectivamente. El límite de 0.6 se aplica a las secciones reforzadas con acero Grado 420 y a las

secciones preesforzadas. En la figura CR9.3.2 también se presentan las ecuaciones para φ como una

función de c/dt . CURVA DE VARIACION DE φφφφ CR3.2.2

−=2

adAsfyMn φφ (2) Ecuación básica de capacidad en flexión de vigas

−′=2

85.0a

dcbafMn φφ (3)

Reemplazo (1) en (3)

59

′

−=cf

dfydbdfyMn

)85.0(2

ρφρφ

−=

cf

fyfybdMn

´59.012 ρφρφ

Solución:

22

2

*59.0*

´*

*59.0*2

´

*59.0*2

´

fybd

cfMu

fy

cf

fy

cf

φρ −

−=

Ecuación de diseño para encontrar la cuantía en una sección de concreto con refuerzo a tensión. 3.2.1 Diseño Balanceado Se debe revisar que fs = fy. Se supone que el concreto falla cuando el acero empieza a fluir. Para la siguiente viga, la profundidad del eje neutro cb se define para falla balanceada. C.10.3.2 — La condición de deformación balanceada existe en una sección transversal cuando el refuerzo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy al mismo tiempo que el concreto en compresión alcanza su deformación unitaria última supuesta de 0.003. C.10.3.3 — Las secciones se denominan controladas por compresión si la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, εt , es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de 0.003. El límite de deformación unitaria controlada por compresión es la deformación unitaria neta de tracción del refuerzo en condiciones de deformación unitaria balanceada. Para refuerzo Grado 420, y para todos los refuerzos preesforzados, se permite fijar el límite de deformación unitaria controlada por compresión en 0.002.

CR10.3.3 — La resistencia nominal a la flexión de un elemento se alcanza cuando la deformación unitaria en la fibra extrema en compresión alcanza el límite de deformación unitaria asumido de 0.003. La

deformación unitaria neta de tracción ε t es la deformación unitaria de tracción en el refuerzo de acero

extremo en tracción en el estado de resistencia nominal, sin considerar las deformaciones unitarias debidas

60

al preesforzado, flujo plástico, retracción y temperatura. La deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción se determina a partir de una distribución de deformaciones unitarias lineal en el estado de resistencia nominal, como se aprecia en la figura. CR10.3.3, usando triángulos semejantes. Con anterioridad al desarrollo de estas disposiciones, el límite de deformación unitaria por tracción para los elementos sometidos a flexión no estaba establecido, pero se encontraba implícito en la cuantía

máxima de refuerzo a tracción dada como una fracción deρb , que dependía de la resistencia a la fluencia

del refuerzo. El límite de deformación unitaria neta de tracción de 0.005 para las secciones controladas por tracción se eligió de manera que fuera un valor único para todos los tipos de refuerzo de acero (preesforzado y no preesforzado) permitidos por este Título C del Reglamento NSR-10. De la semejanza de triángulos

d

y

ccu

b

cu εεε +=

003.0

003.0

+=

+=

εεεε

ycuy

cub

dc

Multiplicando por Es = 200.000 MPa y se tiene que 003.0=cuε (C.10.3.2 del NSR – 10)

600

600

+=

fyd

cb

Si el eje neutro c ≤ cb, la deformación en el acero excede εy entonces se toma fs = fy. Donde fs es el esfuerzo en el acero. Como a = β1 c, es la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos, para diseño balanceado se tiene:

ba = β1 bc

β1

bb

ac =

+=

600

6001 fyd

ab β fy en MPa

Para diseñar se revisa que fs (esfuerzo en el acero) = fy (Esfuerzo de fluencia) y se debe cumplir que:

d

a

d

a b≤ ba = 1β *cb

61

NSR-10 C.10.3.3 Los elementos sometidos a flexión en general son controlados por tracción, mientras que los elementos en compresión en general son controlados por compresión. La resistencia nominal a la flexión de un elemento se alcanza cuando la deformación unitaria en la fibra extrema en compresión alcanza el límite de deformación unitaria asumido de 0.003. Cuando la deformación unitaria neta de tracción en el acero de refuerzo extremo en tracción es suficientemente grande (igual o mayor a 0.005), la sección se define como controlada por tracción donde se puede esperar un claro aviso previo de falla con deflexión y agrietamiento excesivo. Cuando la deformación unitaria neta en tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción es pequeña (menor o igual al límite de deformación unitaria controlada por compresión), se puede esperar una condición de falla frágil, sin un claro aviso de una falla inminente.

Gráficamente:

A continuación se calculará la cuantía balanceada. Para diseño balanceado se tiene que fs = fy;

se puede usar dcb , donde cb es la profundidad del eje neutro balanceado.

cf

dfya b

b ´85.0

ρ= Para ab = cb β1

cf

dfyc b

b ´85.01

ρβ =

cf

fy

d

c bb

´85.0 1βρ

= Pero cu

cub

yd

c

εεε+

=

Igualamos las 2 expresiones

62

+′

=cuy

cub fy

cf

εεεβρ 185.0

)200000(003.0

003.085.0 1 MPafy

cf

yb

+′

=ε

βρ

+′

=600

60085.0 1

fyfy

cfb

βρ

Donde f’c y fy en MPa.

bρ se compara con la cuantía ρ de la ecuación de diseño y se puede asumir bρρ 75.0max = ,

según NSR-98, pero para NSR-10 usar bρρ 65.0max =.

1. Problema: Hallar el momento nominal resistente de una viga de concreto simplemente

reforzado, con f’c = 21 MPa, As = 3φ7/8” y fy = 420 MPa.

1. Se asume que fs = fy en tensión T = As f y As = 3(3,87) = 11,61 cm2 fy = 420 MPa

kNfyAsT 6.48710*420*100

61.11* 6

2===

Si el acero ha fluido, se soluciona normalmente, sino, es una solución más compleja. 2. Cálculo del área del bloque a compresión El bloque de esfuerzos en compresión, consiste en una carga uniformemente distribuida de altura a = β1c y base 0.85 f’c. C = T = 487.62 kN C = 0.85f’c β1 c b

bcf

Cc

1´85.0 β=

Para f’c < 28 MPa β1 = 0.85

63

cmc 03.810*03.840.0*85.0*10*21*85.0

10*6.487 26

3

=== −

a = β1 c = 0.85 (8,03) = 6,83 cm 3. Revisión fs = fy. Por triángulos semejantes.

ctdcdctscu

−=

−= εεε

22

2

10*38.1003.0*10*03.8

10*03.845.0 −−

−

=−=−= cut c

ctd εε m

Para un acero grado 60

0021.010*200

10*4209

6

==yε

Por lo tanto 00210140.0 ≥=Sε y fs = fy, es decir que el acero fluye

4. Cálculo del Momento nominal resistente φMn

jdTMu = jd: distancia entre la fuerza resultante a tensión y la fuerza resultante a compresión

cma

djd 59.412

83.645

2=−=−=

−=2

adAsfyMn φφ

φ: Coeficiente de reducción de resistencia igual a 0,9 para flexión. (C.9.3 del NSR98) φMn = 0,9 [487,6 *103 *0,4159]= 182,5 kN.m Momento nominal de diseño o resistente 2. Problema: Calcular el momento nominal resistente φMn para la siguiente Viga, fc=21 MPa

y fy = 420 MPa

64

Calcular a

cbf

Asfya

´85.0= As= 3(5,10) = 15,3 cm2

ma 12.03.0*10*21*85.0

10*420*100/3.156

62

==

Revisar fs = fy

218.055.0

12.0 ==d

a

325.065.0*5.065.0*600

60085.065.0*

600

60065.0* 1 ==

+=

+=

fyfyd

ab β

d

ab

d

a ≤ Por lo tanto fs = fy

Calculo del momento nominal

−=2

adAsfyMn φφ

mKnMn .4.283)06.055.0)(10*420(100

3.159.0 6

2=−

=φ

65

3.2.2 Diseño de Vigas Rectangulares

La deflexión máxima en una viga es de la forma: EI

wlKMAX

41=δ La Tabla C.9.5.2.del NSR-

10, se especifican los espesores mínimos de losas y vigas en una dirección para que no haya necesidad de calcular deflexiones.

C.7.7 Recubrimientos: Se debe recubrir el acero de refuerzo con un espesor de concreto para: 1. Evitar que la carbonatación (Electrolito) producida por el CO2 del medio ambiente sobre el concreto llegue al refuerzo y se produzca corrosión en el acero. El recubrimiento varía dependiendo del medio ambiente. 2. Que actué como un solo material. 3. Protección contra el fuego y pérdida de resistencia de las barras de acero. En el C.7.7 del NSR 10 se dan los recubrimientos mínimos para concreto vaciado en sitio. A continuación se transcribe lo que dice el reglamento al respecto. C.7.7 - RECUBRIMIENTO DEL REFUERZO C.7.7.1 - CONCRETO VACIADO EN SITIO (NO PREESFORZADO) - Las barras del refuerzo deben tener los recubrimientos mínimos dados a continuación. En ambientes agresivos deben utilizarse recubrimientos mayores que los mencionados, los cuales dependen de las condiciones de exposición.

Recubrimiento mínimo (a) Concreto colocado directamente sobre el suelo y en contacto permanente con la tierra ....................................................................... 75 mm (b) Concreto expuesto a la intemperie o en contacto con suelo de relleno: Barras Nº 6 (3/4") y 18M (18 mm) a

Nº 18 (2-1/4") y 55M (55 mm)..................................................................... 50 mm Barras Nº 5 (5/8") y 16M (16 mm) y menores............................................. 40 mm

(c) Concreto no expuesto a la intemperie, ni en contacto con la tierra:

66

Todos los tipos de refuerzo en losas, muros y viguetas: Barras Nº 14 (1-3/4"), 45M (45 mm), Nº 18 (2-1/4") y 55M (55 mm)..............................................................40 mm Barras Nº 11 (1-3/8") y 32M (32 mm) y menores................................. 20 mm

En vigas y columnas:

Refuerzo principal..................................................................................40 mm Estribos y espirales................................................................................ 30 mm

En cascarones y losas plegadas

Barras Nº 6 (3/4") y 18M (18 mm) y mayores...................................... 20 mm Barras Nº 5 (5/8") y 16M (16 mm) y menores...................................... 15 mm

Para ver los recubrimientos de elementos prefabricados ver el numeral C.7.7.2 y para pre esforzado ver el C.7.7.3. 3.2.2.2 Refuerzo mínimo a Flexión: Si el momento de falla es excedido por el momento actuante en una viga, puede ocurrir una falla súbita y colapsar, por esto es necesario las normas sismo resistentes NSR 98, que limita la cantidad de refuerzo a tensión. Según el C.10.5 del NSR 98, el As suministrado para un elemento a flexión, no debe ser menor a:

dbwfy

dbwfy

cfdbwAs

4.1

4minmin ≥′

== ρ f’c en M Pa

Para fy = 420 MPa 0033,04.1

min ==fy

ρ

3. Problema: Diseñar una viga de luz exterior que carga su propio peso, una carga muerta de 10

kN/m, una carga viva de 5 kN/m. f’c =21 MPa y fy = 420 MPa, y la planta se presenta a continuación.

1. Pre dimensionamiento Se supone inicialmente b = 0,30 m b ≥ 0,25 m (C.21.3)

ml

h 45.043.05.18

0.8

5.18≈=== , Usaremos 0.5m

Sección de vigas: 40cm*50cm

67

Separación Viguetas Smax 2.5hlosa

Smax 2.5(0.5m)

Smax 1.25m

Smax 1.20m

8/1.2 = 6.67 vigas

8m/(7vigas) = 1.14m

Utilizaremos separación de 1.14m de centro de vigueta a centro de vigueta

hloseta = Luz libre entre viguetas/20

hloseta= 1.14/20 ≃0.06

No de Viguetas= 8/1.25 =6.4 viguetas≈ 7 viguetas

Separación de eje a eje=luz / viguetas= 8/7=1.14m

h (Altura de viguetas ) h 5bw

h 5(0.12)

68

h 0.6 Para efectos prácticos se utilizara una altura igual a la losa. Evaluación de Cargas. Viguetas…..(24kN/m3)*0.12*(0.5-0.05)/(Separación entre viguetas) 1.137 kN/m2 Muros…. 3.5kN/ m2 Baldosa…… 1.0 kN/m2 Cielo raso…. 0.3 kN/m2 Alistado……….. (22 kN/m3)*0.05 = 1.1 kN/m2 Casetón…. 0.3 kN/m2 -------------------- 7.34 kN/m2

Carga muerta = 7.34*L aferente = 7.34*4 = 29.36 kN/m Peso propio( 24 KN/m3)*0.4*0.5 =4.8 kN/m Carga viva(vivienda ) : 1.8kN/m2

Peso carga viva ( 1.8 KN/m2 )*4 =7.2 kN/m Se realiza el avaluó de la carga ultima mediante 2 combinaciones, el primero es 1.4D (Carga Muerta) y la otra es 1.2D (Carga Muerta) + 1.6L(Carga viva), de estos 2 combos se deja el que arroje mayor carga. (NSR-10) Combo #1 = 1.4( 29.36+4.8) = 47.83 kN/m

Combo #2 = 1.2( 29.36+4.8)+1.6(7.2 KN/m) = 52.52 kN/m Utilizare Wu= 52.52 kN/m. Utilizaremos f´c = 28MPa.

0138.065.0*02125.0

02125.0600

60085.0

max

1

==

=

+′

=

ρ

βρfyfy

cfb

ρmax (28mpa) = 0.01842

69

9

2wl= 373.48 kN-m

14

2wl= 240.1 kN-m

16

2wl= 210.08 kN-m

3. Calculo del refuerzo 3.1 Refuerzo positivo en centro de la luz

−=

cf

fyfybdMn

´59.012 ρφρφ

22

2

*59.0*

´*

*59.0*2

´

*59.0*2

´

fybd

cfMu

fy

cf

fy

cf

φρ −

−=

Luz Larga L = 8,0 m, b = 0,40, d = 0,4 φ Mn= Mu(-) kN-m 210.1 373.5 φ Mn= Mu(+) kN-m 240.1 ρ (−) 0.00754 0.0033 0.01478

ρ (+) 0.0033 0.008744 0.0033 As (-) [cm 2] 13.572 26.61 As (+) [cm 2] 15.74

Refuerzo superior 2#8 + 1#7 3#6 4#8 + 1#7 Refuerzo inferior 3#6 2#8 + 2#7 3#6 Separación 12.27cm 12.14cm 4.86 cm 12.14cm 9.4cm 12.14cm

Separación

S=(��∗(�� !��)�#$��∗%�á'��)

(()'��*��'��)

+ ∗ ,�16

+ ∗ ,�9

70

4. Refuerzo balanceado (C.8.5.12.2) 4.1 Cuantía

01478.001381.065.0*02125.0

02125.0600

60085.0

max

1

<==

=

+′

=

ρ

βρfyfy

cfb

No cumple 4.2 Alternativamente se puede usar: Borde con mayor refuerzo (Si cumple la fluencia para el extremo con mayor acero requerido, cumplirá para el centro de la luz y el otro extremo de la viga ya que requieren menor acero lo que mantendrá el diseño dúctil )

cmcbf

Asfya 74.1111739.0

4.0*10*21*85.010*420*100

61.26

´85.0 6

62

====

261.045.0

1174.0 ==d

a

5.0600420

60085.01 =

+

=

+=

fy

Ed

a

Scu

cub

ε

εβ *0.65=0.325,

0.261<0.325

65.0*d

ab

d

a ≤ Por lo tanto fs = fy

3.3 VIGAS T Resultan de fundir monolíticamente el ala y el alma, o deben estar efectivamente unidas entre sí dando como resultado la viga T. En el C.8.12 “Sistemas de vigas T”, del NSR-10 se presentan las reglas para estimar el ancho de losa efectivo.

71

3.3.1 Análisis de Vigas T Cuando el centroide del área de compresión, cae dentro del alma, se tiene:

Para evitar localizar el centroide, se pueden asumir 2 vigas: 3.3.1.1 Viga 1: Las alas resisten la compresión. Un área de compresión Asf, que corresponde al área de las alas que resiste la compresión, bajo esfuerzos de 0.85f`c, y cuya resultante es Cf. El área del acero que resiste la tensión es Asf.

Asf: Área de acero que resiste la tensión. Tf: Resultante fuerza en tensión. Cf: Resultante fuerza en compresión. Mnf: Momento resistente de la viga.

72

)2/(

)2/()(´85,0

2/

)(´85,0

)(´85,0

0

)(´85,0

hfdfyAsMn

hfdhfbwbcfMnf

hfdjd

CjdTjdMnf

fy

hfbwbcfAsf

hfbwbcffyAsf

CfTfF

fyAsfTf

hfbwbcfCf

f −=−−=

−===

−=

−=⋅

==⋅=

−=

∑

3.3.1.2 Viga 2: El alma resiste la compresión

Asw=As-Asf. Acero que resiste tensión correspondiente a compresión en el alma Tw: Fuerza en tensión. Cw: Fuerza en compresión.

)2/(

)2/(´85,0

2/

0

Pr

´85,0

´85,0

0

adfyAsMnw

adacbfMnw

adjd

CjdTjdMnw

M

compresionrectánguloofundidad

cbwf

fyAswa

cabwffyAsw

CwTwF

w

w

−=−=

−===

=

⋅=

=⋅

==

∑

∑

El momento nominal resistente en la sección es

73

)2/()2/(

)2/(´85,0)2/()(´85,0

9,0

)(

adfyAshfdfyAsMn

adcbwafhfdhfbwbcfMn

MnwMnfMn

wf −+−=−+−−=

=+=

φφφφφφ

φφφ

3.3.2 Diseño balanceado fs = fy C.10.2.3 La máxima deformación unitaria del concreto es 0.003.

+=

+=

+=

fyd

a

fyd

c

b

ycu

cub

600

600

600600

1β

εεε

3.3.3 Limite del refuerzo en vigas T. Según el C.10.5.1 C.10.5.2 del NSR-10, en todo elemento sometido a flexión el refuerzo no debe ser menor que el mínimo obtenido con:

dbfy

As

dbfy

cfAs

w

w

4.1min

´25.0min

=

=

Para los elementos estáticamente determinados con el ala en tracción, As min debe ser mayor que el valor dado por la ecuación anterior usando 2bw o el ancho del ala, el que sea menor. Para asegurar el comportamiento dúctil, el NSR-10 en el C.10.3.3 determina que las secciones se definen controladas por tensión o compresión. Las secciones se denominan controladas por compresión si la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, εt, es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de 0.003. Cuando la deformación unitaria neta de tracción en el acero de refuerzo extremo en tracción es suficientemente grande (igual o mayor a 0.005), la sección se define como controlada por tracción donde se puede esperar un claro aviso previo de falla con deflexión y agrietamiento excesivo.

74

Para asegurar el comportamiento dúctil el NSR-10 en el C.10.3.3 exige que bρρ 75,0≤ , donde

bρ es la cuantía balanceada para elementos sometidos a flexión sin fuerza axial. El NSR-10,

para que la sección sea controlada pro tracción, se puede usar bρρ 65.0≤ aproximadamente.

Se puede revisar de 3 maneras: 1. Si la zona de compresión es rectangular, fs = fy y si a/d<0.65*ab/d y

)/(65.0/65.0 dabaentonces bb ≤≤ ρρ .

2. Si la zona de compresión tiene forma de T. 2.1 El área de acero corresponde a la balanceada

fy

CAs b

b = El área máxima de acero es 0.65Asb.

Cb: Fuerza resultante del rectángulo de compresión con profundidad ab. 2.2 Para fs = fy y bρρ 65,0≤ , se puede usar una modificación para viga T.

)( fbRbT b

bw ρρρ +=

bRρ : Cuantía balanceada para rectángulo en compresión donde b = bw y bwd

Asff =ρ

4. Problema: Analizar una viga T interior que tiene una luz libre de 6 m, f´c=21MPa y fy = 420

MPa.

Corte transversal

1. El Cálculo del ancho efectivo b de la losa debe cumplir con el C.8.12.2, y no debe exceder 1/4 de la luz de la viga, y el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:- (a) 8 veces el espesor de losa (b) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma

75

Según el C.8.12.3 en vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho efectivo del ala debe ser menor a: (a) 1/12 de la luz de la viga, (b) 6 veces el espesor de la losa, y (c) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma., en el centro de la luz .Momento positivo.

1.1 mlb 5.14

11 =≤ .

1.2 mbtbwb

85,180,010,0*882

≤==≤−.

1.3 mblbwb

0.2875.02

75.1

222 ≤==≤−

.

Usar el menor valor de b = 1.50 m.

2. Cálculo de a: Profundidad del rectángulo de esfuerzos en el centro de la luz (Momento Positivo).

mcbf

Asfya 036.0

50.1*10*21*85.0

10*420*100/87.3*6

´85,0 6

62

===

,10,0036.0 maComo ≤= La zona de compresión es rectangular.

3. Revisión de minAsAs≥

22 22.235.12150*25*420

4.14,1cmcmdbw

fyAs <==≥ Cumple

22 22.2322.10150*25*420

21*25.0´25.0cmcmdbw

fy

cfAs <==≥ Cumple

4. Revisar que fs = fy. Diseño balanceado.

76

dosubreforzadiseñod

a

d

aComo

fyd

a

d

a

b

b

65.0

5.0420600

60085,0

600

600

144.025.0

036.0

1

<

=

+

=

+=

==

β

5. Momento nominal resistente

[ ])2/( adAsfyMn −= φφ

mkNMn

Mn

.63.203

)2/036.025.0(10*420*100

22.239,0 6

2

=

−=

φ

φ

5. Análisis del momento negativo. Calculo del ancho efectivo. b=25cm

6. Cálculo de a:

mcbf

Asfya

w

106.025.0*10*21*85.0

10*420*100/84.2*4

´85,0 6

62

===

7. Revisión

22 04.171.225*25*420

4.14,1cmcmdbw

fyAs <==≥ Cumple

22 04.177.125*25*420

21*25.0´25.0cmcmdbw

fy

cfAs <==≥ Cumple

8. Revisión fs = fy Diseño Balanceado

5,065.0*43.025.0

106.0 =<==d

a

d

a b *0.65=0.325


77

[ ] [ ]mKNMn

adAsfyMn

.6.84

2/106.025.0(10*420*100/36.119.0)2/( 62

=−=−=

φφφ

5. Problema: Calcular el momento nominal positivo de diseño de la viga mostrada si f´c=21

MPa , fy = 420 MPa C.8.12.4 — En vigas aisladas, en las que solamente se utilice la forma T para proporcionar con el ala un área adicional de compresión, el ala debe tener un espesor no menor de 1/2 del ancho del alma, y un ancho efectivo no mayor de 4 veces el ancho del alma.

1. Calculo profundidad efectiva d

cmd

cmY

70,513,860

3,810,5*5

35,11*10,5*227,6*10,5*3

=−=

=+=

2. Cálculo de la profundidad del bloque de esfuerzos (Se supone viga rectangular):

mx

x

cbf

Asfya 13,0

45,0*1021*85,0

10420*100/10,5*5

´85,0 6

62

===

Como 10,013,0 >=a el rectángulo de esfuerzos cae en el alma. 3. Se divide la viga en dos, Viga 1 y 2

78

3.1 Viga 1.

mkNMnf

xMnf

hfdfyAsMnohfdhfbwbcfMnf

cmmxAsf

xAsf

fy

hfbwbcfAsf

f

.72,166

)2/1,0517,0(1,0)25,045,0(1021*85,0

)2/()2/()('85,0

5,81085

10420

10,0)25,045,0(1021*85,0

)('85,0

6

225

6

6

=−−=

−=−−===

−×=

−=

−

3.2 Viga 2:

mx

xa

cmAsfAsAsw

cbwf

fyAswa

16,025,0*1021*85,0

10420*100

17

175,85,25

'85,0

6

62

2

==

=−=−=

⋅=

mkNMn

xadfyAswMn

mKNMn

xMn

adcbwafMn

w

w

w

w

w

.02,312

)2/16,0517,0(10420*100

7)2/(*

.02,312

)2/16,0517,0(*16,0*1021*85,0

)2/(`85,0

62

6

=

−=−=

=−=

−=

4. Momento nominal resistente nMφ

mkNMMM nwnfn .866,43002,312*9,072,166*9,0 =+=+= φφφ

5. Revisar minmin ρρ ≥≥ oAsAs

79

22

22

5,2535,64

`min

5,2505,72

`min

cmcmdbffy

cfAs

cmcmdbwfy

cfAs

<==

<==

6. Diseño balanceado. Revisar fs = fy

325.065.0*5.0329.07.51

17 ==<==d

a

b

a b

6. Problema: Diseñar la viga T del eje B para el sistema viga placa mostrado. La viga forma

parte de una luz interior de 10 m f´c=21MPa, fy=420MPa.

1. Pre dimensionamiento:

80

1.1 Viga b= 0,30 m h = ln / 21 = 0,48 Usar 0,50 m (Tabla C.9.5 del NSR–10). 1.2 Placa maciza. Espesor de la placa t = Ln / 28 = 3,70m / 28 = 0,13 Usar 0,15 m Ln: Luz libre. Ancho efectivo b. (C.9.5. NSR – 10).

mbUsar

mbmlbwb

mbtbwb

mb

0.2

0,485,12

70,3

223.1.1

7,220,182

2.1.1

50.24

10ln

4

11.1.1

2

=

===≤−

==≤−

==≤

1.2 Calculo de profundidad efectiva d = 50-8,0 = 42cm suponiendo 2 filas de acero 2. Evaluación de cargas sobre la viga usando el método del área aferente.

81

Carga Muerta (No hay muros divisorios) Peso propio de la viga 24*0,50*0,30= 3,6 kN/m Peso propio de la losa 24*0,15*3,70= 13,07 kN/m Alistado superior e inferior 22*0,08*4,0= 7.04 kN/m Baldosa cemento 1,0kN/m2 *4,0 = 4,0 kN/m Total wcm = 28 kN/m Carga Viva (vivienda) wcv = 1,80 kN/m2 * 4,0 m = 7,2 kN / m Carga última wu = 1,2*27,5 + 1,6 * 7,2 = 45.1 kN /m La Viga T es:

82

3. Calculo de As

−=

cf

fyfybdMn

´59.012 ρφρφ

2

2

3

22

35.197#5:

68.18

10*017.2

.875.28116

10*1.45

16

ln*

cmUsar

cmAs

mkNwu

Mu

==

=

===

−ρ

4. Revisión Asmin Asmin = (1,4 / fy )*dbw = 0.0033*240*42=33.6 cm2 Usar 27.358#7 cm= Calculo de a (Se supone viga rectangular)

0 = 12�30.85 ∗ �´� ∗ 9

cmmx

xa 82.10182.0

4.2*1021*85,0

10420*100/6.186

62

===

Viga rectangular ya que 1.82cm<15cm 5. Diseño Balanceado. Revisión fs = fy a/d= 1.82 / 42 = 0,043<0.65ab/d = 0,325 Bien

83

6. Cálculo nMφ

[ ]

mkNM

M

adAsfyM

n

n

n

.9.288

)2/018.042.0(10*420*100

2.189.0

)2/(

62

=

−=

−=

φ

φ

φφ

3.4 VIGA CANAL Isometría de Viga Canal en El Apoyo

Se hace un corte transversal

=

84

Viga I Asw*fy= 0.85f´c*2bw*a

0 = 129 ∗ �31.7�´�9

−=

cf

fyfybdMnw

´59.012 ρφρ

( )

−−=

−=

2**

2***´7.1

adfyAsfAsMnw

adabwcfMnw

Viga II

12� = 0.85�´�( − 29)ℎ��3

Mnf =(Asf* fy (d-hf/2) Mnf =0.85f´cfy (b-2bw)

Mnw +Mnf =Mn ISOMETRIA DE VIGA CANAL (CENTRO DE LA LUZ)

Se hace un corte transversal

85

7. PROBLEMA: Diseñar la viga canal que se muestra a continuación

L = 6m

CM = 25kNm

CV = 5kNm

W = 2.5 kNm

Pesopropio = γ × A

Pesopropio = 24 kNm� × (0.5m × 0.35m − 0.3m × 0.3m) Pesopropio = 2.04 kNm

W) = 1.2 × (CM + PP) + 1.6 × CV + 0.8 ×W

W) = 1.2 × S25 kNm + 2.04 kNm T + 1.6 × 5 kNm + 0.8 × 2.5 kNm

W) = 42.45 kNm

M' � = UV×�W�X → M' � = 152.82kN.m

M' Z = W) × l�14 → M' Z = 109.16kN.m

86

Refuerzo Negativo

A� = 152.82Nm × 10�0.9 × 420 N

m� × 0.95 × 0.3m= 1.4 × 10��m� = 14cm�

Por tratarse de un refuerzo que debe ser colocado en las 2 aletas de la viga, el refuerzo tiene que colocarse en pares. Usar 3#6+2#7

a =12.8 × 420 × 10^ N

m�

0.85 × 21 × 10^ Nm� × 0.5= 0.06m = 6.0cm

A�* =0.85 × 21 × 10^ N

m� × (0.5m − 2 × 0.1m) × 0.05m420 = 6.4cm�

∅M�* = 0.75 × f�´ × (b − 2 × bb) × h* × dd − fg� h → ∅M�� = 64.9kN.m

(Este es el momento resistido por el hf sin contar el espesor de las aletas), Gráficamente:

El resto de la compresión será absorbida por el par de aletas. Gráficamente: A�b = A� − A�* A�b = 12.83cm� − 6.4cm� A�b = 6.45cm�

a =i.jklmnnW ×o�X×�Xi

plW

�.q×�.�×�Xi plW×X.�

=7.59cm

Como la profundidad es mayor que los 5 cm de alma. El comportamiento mecánico es de viga canal en los apoyos.

87

∅M�b =Asw*fy *(d-a/2) ∅M�b =73.19kN.m ∅M��r∅M�b + ∅M�* ∅M��r73.19kN.m + 64.97kN.m ∅M��r138.1 kN.m Isométricamente el diseño a flexión nos queda así: un par de varillas #7 en cada aleta

3.5 VIGAS CON REFUERZO A COMPRESIÓN Caso I: Viga con refuerzo a tensión

88

Caso II: Viga con refuerzo a compresión

Consideraciones 1. a2 < a1 ya que cierta parte de la compresión la resiste el acero Cs, por lo tanto la fuerza de compresión en el concreto Cc es menor que en la viga con solo refuerzo en tensión. 2. j1d<j2d. El momento adicional en compresión tiene poco efecto sobre el momento resistente Mn Mn1 = Asfyj1d Mn2 = Asfyj2d

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor. Incremento del Momento Resistente debido al acero de compresión

89

3. Se reduce considerablemente la deflexión a largo plazo en la viga por cargas sostenidas, debido a que el flujo plástico en el concreto se reduce al bajar los esfuerzos.

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor. Incremento del Momento Resistente debido al acero de compresión

4. Se incrementa la ductilidad, ya que a decrece, aumentando la deformación en el acero de tensión 2sε . Esto es recomendable en caso de sismos, ya que la redundancia de la estructura con

una buena ductilidad, permite la redistribución de momentos. 3.5.1. Análisis de vigas con refuerzo a tensión y compresión

Cs: Resultante de compresión en el acero Cc: Resultante de compresión en el concreto A´s: Acero de compresión As: Acero de tensión

90

T: Resultante de tensión Del diagrama de deformación

003.0'

1003.0''

'

'

´

−=⋅

−=−=

−=

c

d

c

dc

c

dcdcc

cus

scu

εε

εε

Si ys εε ≥' , entonces f´s el esfuerzo de compresión en el acero A’s, es igual a fy y se toma

f´s=fy.

−=

=

a

d

ac

s

'1003,0' 1

1

βε

β

En la fluencia ys εε ≥' = fy/Es, donde Es = 200 GPa.

−=

=−

6001

1'600

'1

1lim

1

fy

a

d

fy

a

d

β

β

Cuando

a

d'es mayor que el valor anterior, el acero en compresión no ha alcanzado la fluencia

f´s = fy cuando lim

''

≤a

d

d

d

Se divide la viga en dos: Viga 1: T1 = Cs

91

Viga 2: Cc= T2

3.4.1.1 Caso I: El acero en compresión fluye En la viga 1, se supone que A’s está bajo 0,85f’c, el esfuerzo adicional para alcanzar la fluencia en la viga 1 es (fy-0,85f’c) T1 = Cs

)'('85,0

1'

'85,01'

)'85,0('

1

1

1

ddfyfy

cfsAMn

fy

cfsAAs

cffysAfyAs

−

−=

−=

−=

Se puede simplificar, asumiendo que los esfuerzos de compresión en el acero son cero en Viga 1: Cs = T1

A’s fy = As1 fy A’s = As1

El momento nominal es: Mn1 = A’s fy (d-d’) Para la viga 2 Cc = T2 As2 = As – As1= As – A´s

92

cbf

fyAsAsa

fyAsAscbaf

fyAscbaf

TCc

'85,0

)(

)('85,0

'85,0

1

1

2

2

−=

−==

=

Momento nominal resistente.

)2

()( 12

adfyAsAsMn −−=

El momento nominal resistente total para el caso simplificado será:

−−+−=

+=

2)()'(' 1

21

adfyAsAsddsfyAMn

MnMnMn

φφφ

φφφ

En momento nominal resistente total será:

cbf

fy

cfsAAs

a

adfyAsAsddfyfy

cfsAMn

'85,0

'85,01'

)2/()()'('85,0

1' 1

−−

=

−−+−

−= φφφ

Otra forma es comparando las cuantías como se muestra a continuación.

El acero superior ha fluido: ε´S= ε ´, f´s=fy.

ρmax = 0.65ρb +ρ ´ εcu� = εct − εy

v´

93

c = εwx

εwx�εy v´ ∑ Fh= 0 T = Cc + Cs ρ.b.d.fy = 0.85.f´c.β1.c.b+ρ´b.d.fy dividiendo por: b.d.fy

ρ = 0.85β1z´wzy

w{+ ρ´

La cuantía mínima de acero a tracción ρmin =0.85β1

z´wzy

{{´ d

εwx�ε!{´ h

εcu= 0.003 εy= fy/Es Cuantía Límite en el momento que el acero de compresión ha fluido. Si ε´s>εy. Es la cuantía mínima de acero a tracción correspondiente a la fluencia del acero en compresión:

ρmin =0.85β1z´wzy

{{´ d

^XX^XX�^XXzy´h + ρ´

Si el acero Superior ha fluido entonces ρ = |}~{≥ ρmin

Si la cuantía de acero es menor a este límite, el acero en compresión no ha fluido f´s<fy

ρ = |}~{≤ ρmin

∑Fh=0 T = Cc + Cs fyρ bd=0.85f´cβ1bc+ ρ´bdf´s divido por : bdfy ´

ρ = 0.85β1z´wzy

w{ +ρ´

z´}zy

La cuantía balanceada de la sección doblemente reforzada: ρbT: cuantía refuerzo en tensión.

ρbT = ρb + ρ´z´}zy

94

f´s = Es* ε´s =Es[εcu - {´{ (εy + εy) ≤fy

ρbT = 0.65ρb+ ρ´z´}zy

Si el acero a tracción es menor a ρ´b y ρmin, el refuerzo en tracción se encuentra en fluencia pero el de compresión no.

f´s = Es* E´´S=Es Ecu( ��{´w )

∑ FH = 0

Asfy = 0.85fćβ1bc + A´s Es εcu (w�{´w )

Asfy = 0.85fćab+A´sEs εcu ( 1-´β��´� ) Despejo a

Mu = φ[0.85fć*a*b(d - �� ) + A´s f´s (d-d´)]

E ´s=0.003(w�{´w ) < E y (A´S no fluye)

E ´s=0.003({�ww ) > E y (A´S fluye) Para diseño balanceado fs=fy, se asume que el acero de compresión y tensión fluyen.

( )

( )

( ) balanceadaCuantiafyfy

cf

db

sAy

bd

Asemplazo

cdbf

fyAsAs

fy

cdbf

fyAsAs

d

a

fyd

a

b

b

+=−

==

−=

+

−=

+=

600

600'85,0'

''Re

`85,0600

600

`85,0

600

600

1

11

1

1

βρρ

ρρ

β

β

3.5.1.2 Caso II: El acero de compresión no fluye, pero el de tensión si: Momento nominal resistente (Para vigas que no fluye el acero a compresión)

95

φMn = φ[Cc( d-��)+Cs(d-d´)]

φMn = φ[0.85f´c ba(d-�� )+ φ0.003EsA´s( 1- βm{´� )(d-d´)

La fuerza en compresión es:

0''003,0)'003,0('85,0

003,0*'

1''85,0

''''

12

1

=−−+

=

−+

=+

==

dsEsAaAsfysEsAcbaf

Asfya

dsEsAcbaf

TCsCc

equilibrioDel

sAEsssAfCs s

β

β

ε

Resolviendo la ecuación cuadrática, se encuentra la profundidad del rectángulo de compresión.

( )

)'('

1'003,02

'85,0

'2

min

'85,0

''003,0

'85,0*2

)'003,0(

'85,0*2

)'003,0(

1

1

2

dda

dsEsA

adcbafMn

ddCsa

dCcMn

resistentealnoMomento

cbf

dsEsA

cbf

AsfysEsA

cbf

AsfysEsAa

−

−+

−=

−+

−=

+

−±−−=

βφφφ

φφ

β

Diseño Balanceado fs = fy Para que esto ocurra se debe cumplir que el acero en tensión fluya.

bd

sAy

bd

Asemplazo

cbdf

ssfAAsfy

d

a

fyd

a

fysfperod

a

d

a

b

b

''Re

'85,0

)''(

600

600

',

1

1

==

−=

+≤

<

≤

ρρ

β

β

96

.,,'

''

'

600

600'85,0'' 1

dosubreforzadiseñotensionenaceroparafyfsfy

sf

fy

sfSi

fyfy

cf

fy

sf

balanceadaCuantia

b

b

=

−<

−

+=

−

ρρρρ

βρρ

8. Problema: Calcule el momento nominal resistente Mnφ para la viga mostrada (Caso I)

1. Cálculo de la profundidad del rectángulo de compresión a. Se asume que f s=fy y f’s=fy As2 = As – As1 =6*5,10 – 2*3,87 = 22,86 cm2 Profundidad de a para la viga 2

mx

xa 18,0

3,0*1021*85,0

10420*100

86,22

6

62

==

2. Revisión f’s=fy

35,0600

4201

85,0

1

6001

1'

333,018,0

06,0'

1lim

=

−=

−=

==

fy

a

d

a

d

β

97

Como 35.0'

33,0'

lim

=

<=a

d

a

d, el acero en compresión fluyo

3. Revisión f’s=fy

325.065.0*5,065.0*32,056,0

18,0 ==≤==d

a

d

a b

0.32<0.325 CUMPLE OK Chequeo grafico

X.XX�Z��

X.�^ = X.XX�X.��

�� = 5.0*10��

CUMPLE OK 4. Revisar

2

2

2

6,30

6,556*30*420

4,1min

58,456*30*420*4

21min

min

cmAs

cmAs

cmAs

AsAs

=

==

==

≥


εt

98

mKNMn

xxMn

:4,552

)2

18,056,0(*10420*

100

86,22*9,0)06,056,0(*10420*

100

87,3*2*9,0 6

26

2

=

−+−=

φ

φ

9. Problema: Calcule el momento nominal resistente (Caso II).

1. Profundidad rectángulo compresión. Se asume f’s = fy y que fs = fy As2 = As – As1 = 3*5,1 = 15,3 cm2

mx

x

cbf

fyAsAsa 12,0

3,0*1021*85,0

10420*100

3,15

'85,0

)(6

62

1 ==−

=

3. Revisión si f’s = fy

lim

lim

''

35,0'

5,012,006,0'

>

=

==

a

d

a

dComo

a

d

a

d

El acero f’s no fluye 4. Recalcular a

99

cmma

xxxa

axax

dsEsAaAsfysEsAcbaf

4,13134,0

10743,8101755,1104286,3

046818102,367105355

0''003,0)'003,0('85,0

332

323

12

≈=++=

=−−

=−−+

−−−

β

5. Revisar fs = fy

325.065.0*5,0065*24,056,0

134,0 ==≤==d

a

d

a b

5.1 Sección controlada por tensión.

Biend

a

d

a

ltlt

32,0375,023,000665,0

134,01 ==

≤=−

= β

5.2 Método grafico (NSR -10)

X.XX�Z��

X.�^ = X.XX�X.��q^

�� = 7.6*10�� CUMPLE OK

Mnφ = 573.86 kN.m 10. Problema: Diseñar el refuerzo a flexión en la viga de luz interior con una luz de 8.0m, f´c =

21Mpa, fy = 420mpa, CM = 7.16 KN/m2 (Incluye pesos propio de viga) , CV=2.0kn/m2 (Oficinas) , Longitud aferente de 6.0m .

Usar sección de 30*50cm

εt

100

1) Carga Ultima Wu = 1.2*6(7.16)+1.6*6(2) = 70.8Kn.m 2) Momentos actuantes (Vano interior)

3. Momento Nominal Resistente.

φMn=φρbd2fy (1-0.59ρzyz´w )

Calculamos el φMn, con el ρMax y si es menor que el M actuante, diseñamos la viga como doblemente reforzada

ρMax = 0.65ρbal

014.065.0*02125.0

02125.0600

60085.0

)21max(

1

≈=

=

+′

=

Mpa

b fyfy

cf

ρ

βρ

φMn2 = 0.9*0.014*0.3*0.452*420*106 (1-0.59*X.X�o∗o�X∗�Xi��∗�Xi )

φMn2 =268.4Kn.m 4. φMn1 = Mu - φMn2 4.1 Bordes

φMn1 = Mu - φMn2

φMn1 = 411.93 – 268= 143.53

101

4.2 Centro de luz φMn1 = 283.2 – 268 = 14.8 5 Refuerzo en tensión As = Asmax+As1

As = ρMax*b*d + ��

φzy({�{´) 5.1 Borde

As =0.014*30*42+ �q�.��∗�X�X.�∗(o�X∗�Xi)(X.o��X.X�)

As = 18.6 + 9.5cm2 = 28.1 cm2

Usar 6 #8 =30.6 cm2 5.2 Centro de la Luz

As =0.014*30*42+ o�.��∗�X�X.�∗(o�X∗�Xi)(X.o��X.X�)

As = 17.64+ 3.12 = 20.76 Usar 7#6+1#5 = 21.87cm2 6. Refuerzo a compresión f´s= fy-0.85f´c

A´s = ��

φz´}({�{´) 6.1 Borde

A´s = �q�.��∗�X�

X.�∗(o�X�X.��∗��)∗�Xi∗(X.o��X.X�) A´s = 13.313 cm2

Usar 2#8 + 1#7 = 14.07 cm2 6.2 Centro de la Luz

102

A´s =o�.��∗�X�

X.�∗(o�X�X.��∗��)∗�Xi∗(X.o��X.X�) A´s = 3.7 cm2 Usar 1#5+1#6= 4.83 cm2

GRAFICAMENTE EL REFUERZO DE LA VIGA SERIA ASI

7 Revision de cuantías (ρ−ρ ´)max= 0.65ρbal

+′

=600

60085.0 1

fyfy

cfb

βρ

ρbal(21mpa) = 0.02125 ρmax (21mpa)= 0.02125*0.65 = 0.014 7.1

Bordes (ρ−ρ ´) = �X.^��o.Xq

�X∗o� = 0.01312

7.2 Centro de luz

(ρ−ρ ´) = ��.�q�o.��

�X∗o� = 0.01352

8 ({´� )Lim = �

βm (1-

zy^XX ) =

�X.�� (1-

o�X^XX )

(�´� )Lim =0.3529

103

9. (Profundidad de compresión)

0 = [|}�|´}d��n.�k�´�� h]zy

X.��z´w~

9.1 Bordes

0 = �X.^��o.Xq(��n.�k(Wm∗mni)

jWn∗mni )o�X∗�XiX.��∗(��∗�Xi)∗X.� = 0.1343

9.1.1 �´� =

X.X�X.��o� =0.3723, como

�´� > ({´� )Lim, El acero en compresión no fluye

9.2 Centro de la Luz

0 = ��.�q�o.��(��n.�k(Wm∗mni)

jWn∗mni )o�X∗�XiX.��∗(��∗�Xi)∗X.� = 0.135257 = 13.526cm

9.2.1 �´� =

X.X�X.��q = 0.36966 como

�´� > ({´� )Lim, El acero en compresión no fluye

Como el acero en compresión no fluyo, hay que recalcular a con la sgte ecuación 0.85f´cba2+(0.003EsA´s-As.fy )a-0.003EsA´sβ1d´= o Después de recalcular a, hay que recalcular el Mn con la siguiente ecuación *Momento Nominal resistente φMn = φ [Cc(d-

��)+Cs(d-d´)]

φMn = φ0.85f’c ba(d - ��)+ φ0.003EsA´s( 1-

βm{´� )(d-d´)

Este momento nominal seria el Mn Con este momento se recalcularía de nuevo la sección y el refuerzo tanto en tensión como en compresión. Nota: Mayor acero en compresión garantiza un diseño controlado por tensión 10. Recalcular 0 10.1 Recalculando a (Borde) 0 = 0.1328 10.1.1 Chequeo mediante el método grafico para saber si el diseño es controlado por tracción

104

X.XX�Z��

X.o� = X.XX�

X.��^�� = 0.005263 CUMPLE OK 10.2 Recalculando a (Centro de luz) 0 = 0.13451 10.2.1

X.XX�Z��X.o� =

X.XX�X.��

Et= 0.005 CUMPLE OK 11 Recalcular Mn

11.1 Recalculando Mn (Borde) Mn = 417.47 Kn.m

εt

εt

105

11.2 Recalculando Mn (centro de luz) Mn = 294.68 Kn.m Conclusiones 1) El doble refuerzo mejoro significativamente el momento nominal resistente de la viga haciendo que el φMn sea ligeramente mayor que el momento actuante, tanto en los bordes, como en el centro de la luz. 2) Una opción alternativa a realizar el diseño de una viga doblemente reforzada es aumentar las dimensiones de la viga y otra opción es aumentar la resistencia al concreto f´c., La decisión de cambiar el diseño de la viga por alguna de estas 2 alternativas mencionadas anteriormente, recae en evaluaciones técnicas (Arquitectónicas) y económicas. 3) Se puede apreciar que el diseño es controlado por tracción, ya que �� ≥0.005 y que el acero en compresión no fluyo, esto da como resultado un aumento significativo del Momento nominal resistente. (Mayor acero en compresión mejora la resistencia a la flexión y garantiza con mayor seguridad un diseño controlado por tracción). 4) El despiece en vigas se debe hacer con barras de refuerzo con el menor diámetro posible esto disminuye los efectos de la fisuración por retracción de fraguado y flujo plástico., usando un refuerzo base o principal con barra no menor a la #5, se pueden usar taches (barras rectas) y bastones de barra #3 y #4, siempre y cuando no haya más de un diámetro de por medio en las barras utilizadas. En columnas es preferible lo contrario, se despieza con barras de mayor diámetro.

ensayo de flexión de vigas

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