Engrennage ptsi cours rappels

Transmission de puissance

Notes de cours pour les élèves de CPGE PT

Version 1.0

1er avril 2014

écrit sous LATEX2ε

Elric THOMAS

ii

Construction mécanique

Table des matières

1 Transmission de puissance 11.1 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Aspect cinématique - Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Les principales solutions constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Transmission de puissance par poulie-courroie . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Transmission de puissance par chaîne et pignons . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Transmission de puissance par engrenage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2 Géométrie des dentures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.3 Caractéristiques de la transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.4 Conditions à respecter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.5 Fabrication des engrenages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Comparatif entre les systèmes de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Réducteurs de vitesse à engrenages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.1 Réducteurs à engrenage élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.2 Réducteurs à trains d’engrenages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.3 Réducteurs épicycloïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Train sphérique - Différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.1 Le différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 Actions mécaniques exercées sur les dentures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9.1 Cas des engrenages droits à denture droite . . . . . . . . . . . . . . . 211.9.2 Cas des engrenages droits à denture hélicoïdale . . . . . . . . . . . . 21

A Réducteurs et différentiels 23

B Pignon d’attaque de différentiel 27

Lycée Jules Garnier

iv TABLE DES MATIÈRES


Chapitre 1

Transmission de puissance

D ans de nombreuses applications industrielles, on est amené à choisir, pour des raisonséconomiques, comme actionneur un moteur dont le couple nominal et/ou la vitesse

nominale ne correspondent pas aux conditions de l’application.

Exemple 1 Groupe turbopropulseur du TUCANO EMB 312 FF.

Figure 1.1 – TUCANO EMB 312 FF

L’actionneur est ici un turbopropulseur 1 qui transmet sa puissance mécanique à l’hélice.

Figure 1.2 – Schéma de principe du turbopropulseur PT6A

1. Le terme français turbopropulseur est en fait dérivé du mot anglais turboprop composé de turbo etde propeller (hélice) et qui signifie littéralement moteur à hélice entraîné par une turbine.


2 Chapitre 1 - Transmission de puissance

⇒ La vitesse en bout de pale ne doit pas atteindre la vitesse du son ; ce qui impose unevitesse de rotation de l’hélice de : ωhélice = 3 200 tour/min.

⇒ L’arbre de la turbine de puissance tourne à : ωturbine = 33 000 tour/min.

On constate que les vitesses de rotation ωhélice et ωturbine sont différentes. On ne peutdonc pas relier directement l’hélice à l’arbre de la turbine de puissance.

Pour satisfaire le besoin, le concepteur a intercalé entre le turbopropulseur et l’hélice unréducteur de vitesse à engrenages. La figure (Fig. 1.6, p. 5) présente la chaîne fonctionnellede la transmission de puissance et l’annexe (Fig. A.1, p. 23) représente le schéma duréducteur de vitesse à engrenage du groupe turbopropulseur sur TUCANO EMB 312 FF.

T u r b o p r o p u l s e u rR é d u c t e u r àe n g r e n a g e s

H é l i c e

C o u p l em o t e u r

C o u p l ed e s o r t i e

V i t e s s ea d a p t é e

V i t e s s e d er o t a t i o n

A d a p t a t e u r d ' é n e r g i e

M é c a n i q u e

Figure 1.3 – Chaîne fonctionnelle de la transmission de puissance

Un réducteur de vitesse réalise deux fonctions principales au sein de la chaîne fonction-nelle :

1. Transmettre la puissance mécanique du moteur (turbopropulseur) vers le récepteur(hélice).

2. Adapter cette puissance mécanique pour obtenir les caractéristiques désirées (coupleet vitesse de rotation).

Ainsi, pour l’exemple choisi, on obtient :

• ωhélice << ωturbine

• Chélice >> Cturbine

1.1 Généralisation

Les réducteurs et multiplicateurs sont des transmetteurs de puissance. Leur place dansla chaîne d’énergie est la suivante :

M o t e u r

C 1 , w 1 R é d u c t e u r o u m u l t i p l i c a t e u r

C 2 , w 2 R é c e p t e u r

Figure 1.4 – Chaîne fonctionnelle d’une transmission de puissance

L’actionneur associé aux réducteurs et multiplicateurs, est principalement un moteurélectrique, thermique, hydraulique ou pneumatique.


1.1 Généralisation 3

1.1.1 Aspect cinématique - Définitions

La norme ISO 1122-1 de 1998, ainsi que la norme NF E 23-001 définissent la notion derapport de transmission.

Définition 1 Rapport de transmissionLe rapport de transmission est défini comme étant le quotient de la vitesse angulaire de

l’arbre d’entrée ω1 par celle de l’arbre de sortie ω2 du système transmetteur de puissance.

i =ω1

ω2(1.1)

Le rapport de transmission est positif lorsque les vitesses angulaires sont de même senset négatif lorsqu’elles sont de sens inverse.

Remarque 1 Très souvent, on utilise l’inverse du rapport de transmission pour déter-miner les lois d’entrée-sortie dans un système de transmission de puissance. En effet, onconnaît très souvent la vitesse de rotation à l’entrée et on recherche celle de sortie.

r =1

i=ω2

ω1=ωs

ωe(1.2)

Lorsque l’on a |r| = |ω2ω1| < 1, on parle de système réducteur et de rapport de réduction.

Lorsque l’on a |r| = |ω2ω1| > 1, on parle de système multiplicateur et de rapport de

multiplication.On parle aussi d’inverseur lorsqu’il y a inversion du sens de rotation.

1.1.2 Aspect énergétique

Si le rendement du réducteur ou du multiplicateur est idéal, on a la relation de conser-vation de la puissance mécanique entre l’entrée et la sortie du système de transmission depuissance :

P = C1 · ω1 = C2 · ω2 (1.3)

On en déduit alors :

C2C1

=ω1

ω2(1.4)

Dans le cas d’un réducteur de fréquence de rotation, il y a multiplication ducouple. Dans le cas d’un multiplicateur de fréquence de rotation, il y a réductiondu couple.

Si l’on prend en compte le rendement η de la transmission , on a :

η =P2P1

=C2 · ω2

C1 · ω1=C2C1· r (1.5)



1.2 Les principales solutions constructives

Dans le cas du groupe turbopropulseur du TUCANO, l’organe de transmission et d’adap-tation de la puissance est un réducteur à engrenages. Le réducteur à engrenages n’est pasla seule solution constructive qui permet de réaliser les fonctions désirées. On classe géné-ralement l’ensemble des solutions en deux familles.

• Les transmissions de puissance par adhérence parmi lesquelles on distingue :— Les transmissions de puissance par poulies - courroie.— Les transmissions de puissance par roues de friction.

• Les transmissions de puissance par obstacle parmi lesquelles on distingue :— Les transmissions de puissance par pignons et chaîne.— Les transmissions de puissance par engrenage.

Il est clair que la transmission de puissance par engrenage est la transmission phare dessystèmes techniques industriels du fait de sa compacité et des rendements associés.

1.3 Transmission de puissance par poulie-courroie

C’est certainement la transmission de puissance la plus ancienne ; elle est utilisée depuisle début de l’époque industrielle. Elle permet de véhiculer l’énergie mécanique entre deuxarbres parallèles et relativement éloignés 2. Ce type de transmission de puissance est encoreénormément utilisé, par exemple dans l’industrie automobile (courroie d’accessoires, courroiede distribution, courroie d’alternateur).

231

0

R 2

R 1

aa

w 2 / 0w 1 / 0

Figure 1.5 – Système poulie-courroie

Ce type de transmission est constitué (Fig. 1.5, p. 4) :

• d’une poulie motrice (1), assemblée à l’arbre moteur,

• d’une poulie réceptrice (2) liée à l’organe à entraîner,

2. En fait, on peut avoir aussi des montages de courroie entre des arbres inclinés ou perpendiculaires.


1.4 Transmission de puissance par chaîne et pignons 5

• d’une courroie (3) qui s’enroule sur chacune des poulies.

Le mouvement est transmis de l’arbre moteur à l’arbre récepteur par l’adhérence dela courroie sur les deux poulies. Les courroies peuvent être plates, trapézoïdales, striéesou synchrones 3.

Au passage sur les poulies, la courroie se déforme et provoque un glissement dit “fonction-nel” (différent du patinage). Ce glissement introduit une variation, et donc une imprécision,du rapport de transmission. Si on admet que la transmission s’effectue sans glissement etque la courroie est inextensible, alors on peut définir le rapport de transmission par :

r =ωrécepteur

ωmoteur=ω2/0

ω1/0=R1

R2(1.6)

1.4 Transmission de puissance par chaîne et pignons

Seule l’architecture ressemble à celle de la transmission par poulies - courroie, car latransmission de puissance par pignons et chaîne s’effectue par obstacle (Fig. 1.6, p. 5).L’arbre moteur et l’arbre récepteur sont aussi relativement éloignés. La première figurereprésente l’engrènement de la chaîne sur une roue denté. La deuxième figure montre laconstitution d’une chaîne à rouleaux qui sont les chaînes les plus couramment utilisées.

Figure 1.6 – Schéma descriptif d’un système chaîne-pignon

Les systèmes de chaîne-pignon sont utilisés en automobile pour la distribution, pourla transmission de puissance des cycles (vélo, moto), pour les systèmes de convoyage dansl’industrie.

Il n’y a pas de glissement entre la chaîne et les roues dentées, ce qui garantit un rapportde transmission constant. Il s’exprime par :

r =ωrécepteur

ωmoteur=ω2/0

ω1/0=dp1dp2

=Z1

Z2(1.7)

3. Une courroie synchrone est un système de transmission de puissance par obstacle !



1.5 Transmission de puissance par engrenage

1.5.1 Principe

La transmission de puissance par engrenage véhicule l’énergie mécanique entre deuxarbres sans éléments supplémentaires et par obstacles (contact direct). L’arbre mo-teur et l’arbre récepteur peuvent être parallèles, sécants ou orthogonaux. Ce mode detransmission de puissance est vieux de plus de 2000 ans, il était ainsi possible d’observer desroues possédant des dents faites de bâtons de bois en vue de transmettre un mouvement derotation dans les puits à eau.

Un engrenage est la constitution d’un pignon et d’une roue dentée (le terme pignonest réservé pour la roue munie du plus petit nombre de dents).

On parle aussi de pignon arbré lorsque le pignon est directement usiné sur l’arbre et n’estpas rapporté. La figure (Fig. 1.7, p. 6) représente le schéma cinématique d’une transmissionpar engrenage à contact extérieur. La figure (Fig. 1.8, p. 6) représente l’engrènement entrele pignon 1 et la roue 2. On notera les caractéristiques suivantes (pour le pignon 1 parexemple) :

• cercle primitif, cercle de centre O1 et de rayon r1,• rayon primitif r1 = [O1I],• pas p1, distance entre deux profils consécutifs,• Z1 le nombre de dents.

0

2

1

y

x

y

z

I

O1

O2

r1

r2

w1 / 0

w2 / 0

O1

O2

I

Figure 1.7 – Schéma cinématique

O2

O1

p2

p1

P i g n o n 1

Z d e n t s1

R o u e 2

Z d e n t s2

w2 / 0

w1 / 0

I

Figure 1.8 – Schéma de principe

Les dents sont taillées de telle sorte qu’il existe sur les roues dentées un diamètre fictif,appelé primitif, sur lequel les roues engrènent (presque) sans glisser (Fig. 1.8, p. 6). Onconsidère donc que les deux primitifs roulent sans glisser l’un sur l’autre.

1.5.2 Géométrie des dentures

Les premiers systèmes d’engrenage utilisaient des parallélépipèdes en guise de denture.Le temps aidant, les utilisateurs se sont aperçus que les dents ainsi utilisées s’usaient suivant


1.5 Transmission de puissance par engrenage 7

une forme qui ne s’apparentait ni à un parallélépipède, ni à un cercle. Il a fallu attendre le19éme siècle pour affiner la formulation mathématique de ces courbes : La développante decercle était née. La courbe à développante de cercle est le profil tracé par l’extrémité d’unsegment de droite roulant sur un cercle de base. Concrètement, une développante de cercles’obtient en enroulant un fil autour d’un cylindre de diamètre donné (cercle de base). Si uncrayon est attaché à l’extrémité du fil, et si ce dernier est ensuite tendu vers l’extérieur, lapointe du crayon décrira une courbe à développante.

Figure 1.9 – Profil en développante de cercle

1.5.3 Caractéristiques de la transmission

1.5.3.1 Rapport de transmission

La transmission par obstacle assure un roulement sans glissement au point I (Fig. 1.7, p. 6)et (Fig. 1.8, p. 6), ce qui donne un rapport de transmission constant défini par :

r =ωrécepteur

ωmoteur=ω2/0

ω1/0= −r1

r2= −Z1

Z2(1.8)

Le signe moins indique un sens de rotation différent pour la roue et le pignon (significatifpour un engrenage à contact extérieur).

1.5.3.2 Puissance transmissible - Rendement

⇒ la puissance transmissible peut être très élevée (plusieurs centaines de kW),

⇒ le rapport de transmission peut difficilement être inférieur à 1/8,

⇒ le rendement de la transmission est de l’ordre de 0,98.

1.5.3.3 Particularités de la transmission

Certainement la transmission la moins économique car elle nécessité un usinage soigneuxdes roues et un entraxe précis des deux arbres. Elle nécessite une lubrification, ce qui permetnotamment d’obtenir une durée de vie élevée. Les avantages majeurs de la transmission parengrenage par rapport au deux précédentes sont :

— la possibilités de transmettre la puissance quelle que soit la position relative des deuxarbres,



— la précision,— les couples et les puissances transmissibles sont élevés.

1.5.4 Conditions à respecter

1.5.4.1 Condition d’engrènement (ou condition géométrique)

Pour garantir l’engrènement, il faut que le pas du pignon (1) et celui de la roue (2) soientégaux : p1 = p2. C’est la condition géométrique ! Les dents sont uniformément réparties surla roue, on a donc :

⇒ p1 =2π · r1Z1

=π · d1Z1

⇒ p2 =2π · r2Z2

=π · d2Z2

⇒ p1 = p2 ⇒d1Z1

=d2Z2

(1.9)

Ce rapport caractérise l’aptitude à l’engrènement des diverses roues entre-elles. Il estappelé module m. Pour une roue donnée :

m =d

Z=p

π(1.10)

Deux roues dentées qui n’ont pas le même module ne peuvent donc pas engrener !Le module est une caractéristique très importante dans la définition d’une roue dentée :⇒ sa valeur est déterminée à partir d’une étude de résistance de matériaux, puis il est

choisi dans une liste de valeurs normalisées,⇒ il définit ensuite toutes les dimensions de la roue dentée (diamètre primitif, pas,

hauteur de la dent, épaisseur de la dent, entraxe, etc...).

1.5.4.2 Condition de continuité

Pour assurer la continuité de la transmission, un couple de dents doit entrer en contactavant que le précédent ne perde le contact.

1.5.5 Fabrication des engrenages

Il existe plusieurs modes d’obtention des engrenages, le choix dépend de la qualité de latransmission, des matériaux utilisés, de la taille de la série, du type de système, etc.

Pour les grandes séries, les ébauches des roues dentées peuvent être obtenues par moulage(au sable, pour les roues en fonte ou en acier, sous pression pour roues en alliages légers, ouen matières plastiques). Les dentures sont très souvent achevées sur une machine à tailler.

Les ébauches de roues dentées ou les pignons arbrés peuvent être aussi obtenus parforgeage (méthode très souvent utilisée dans l’industrie automobile).

Les techniques de taillage d’ébauche des dentures sont multiples. Elles vont de la méthodeartisanale à la méthode de production de masse, nous pouvons les décomposer en quatregrandes familles :

— Fraisage de forme à la fraise 2 ou 3 tailles sur fraiseuse conventionnelle avec plateaudiviseur ou sur centre d’usinage 5 axes, dénommée aussi fraise module (productivitétrès faible, petite série, facile à mettre en œuvre, coût élevé) ;


1.5 Transmission de puissance par engrenage 9

Figure 1.10 – Fraisage par fraise module Figure 1.11 – Taillage par outil crémaillère

— Taillage à l’outil crémaillère (très petite série et prototypes, outils facilement réali-sables, machines spécifiques MAAG), l’outil crémaillère est animé d’un mouvementde coupe alterné vertical et “engrène” avec le pignon à tailler ;

— Taillage à l’outil pignon (intéressant pour les problèmes d’encombrement, machinesspécifiques Fellows), l’outil pignon est animé d’un mouvement de coupe alterné verti-cal (mortaisage), l’outil et la pièce à usiner sont animés d’un mouvement de rotationsynchronisé (engrènement) ;

Figure 1.12 – Taillage par outil pignon

— Taillage à la fraise-mère (le plus utilisé, grande productivité, principe de la roue-vissans fin, taillage de toutes les dents en continu), les deux pièces sont entraînées enrotation et la fraise mère est animée d’un mouvement d’avance selon la génératricede la denture à créer.

Figure 1.13 – Taillage par fraise mère

Il est cependant souvent nécessaire d’ajouter une phase de parachèvement afin d’obtenir



la qualité définitive des dentures (shaving, rodage ou rectification).

Remarque 2 L’industrie automobile est l’industrie qui taille le plus de roues dentées (en-viron 80 % de la production européenne de roues dentées), essentiellement pour les boites devitesse ou pour les différentiels. La majorité des roues sont obtenues grâce à l’utilisation defraises mères. Dans le cas ou l’encombrement de la fraise mère empêche l’usinage, le taillagepar outil pignon est utilisé.

Figure 1.14 – Cas d’un arbre primaire de boite de vitesse PSA

1.6 Comparatif entre les systèmes de transmission

Système detransmission

Avantages Inconvénients

Variation d’entraxe possible Conditions de travail (eau,Souplesse de transmission poussière)Limiteur de couple (glisse-ment possible)

Rapport de transmission va-riable...

Poulie-Courroie Grande durée de vie EncombrementCoût réduit Puissance limitéeη > 95%SilencieuxPuissances importantes VibrationsVariation d’entraxe possible Nécessité de lubrificationSynchronisme (obstacle) Nécessité d’un carter

Chaîne - Pignon Conditions de travail rudes Bruit importantCoût inférieur aux engre-nages r > 1

8

η > 98%

Puissance très élevée Nécessité de lubrificationDurée de vie élevée Nécessité d’un carter

Engrenages Orientation des arbres quel-conques

Usinage soigneux et entraxetrès précis

Précision de la transmission Coût importantη > 98% r > 1

7


1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages 11

1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages

1.7.1 Réducteurs à engrenage élémentaire

Un réducteur élémentaire ou train simple assure directement la transmission depuissance entre l’arbre d’entrée (moteur) et l’arbre de sortie (lié au récepteur) par l’intermé-diaire d’un seul engrenage. Le tableau ci-dessous propose une classification des réducteursélémentaires en fonction de la position relative de l’arbre moteur et de l’arbre récepteur.

Remarque 3 On appelle train simple un couple de roues dentées en liaison pivot avec lamême classe d’équivalence. Cette classe d’équivalence cinématique n’est pas nécessairementle bâti (cela aura son intérêt pour l’étude des trains épicycloïdaux).

Position relative desaxes des arbres

moteur et récepteur

Type d’engrenageassurant latransmission

Schéma de principe Rapport detransmission

Axes parallèles(d1//d2)

Cylindrique àdenture droite ou

hélicoïdale àcontact extérieur

1

2

d1

d2

r =ω2/0

ω1/0= −Z1

Z2

Axes parallèles(d1//d2)

Cylindrique àdenture droite ou

hélicoïdale àcontact intérieur

1

2

d1

d 2

r =ω2/0

ω1/0= +

Z1

Z2

Axes concourants(d1 ⊥ d2 parexemple)

Conique à contactextérieur

12

d1

d2

r =

∣∣∣∣ω2/0

ω1/0

∣∣∣∣ = Z1

Z2

Axes orthogonaux Roue et vis sansfin

1

2

d1

d 2

r =

∣∣∣∣ω2/0

ω1/0

∣∣∣∣ = Z1

Z2

Z1 : nombre defilets de la vis



Figure 1.15 – Représentation normalisée des engrenages (NF E 04-113 et ISO 2203)

Figure 1.16 – Engrenage cylindrique à den-ture droite à contact extérieur.

Figure 1.17 – Engrenage cylindrique à den-ture hélicoïdale à contact extérieur.



Figure 1.18 – Engrenage conique à contactextérieur.

Figure 1.19 – Système à roue creuse et vissans fin.

1.7.2 Réducteurs à trains d’engrenages

Les trains simples sont très rapidement limités au niveau du rapport de transmissionpossible (encombrement), il est alors nécessaire de monter des trains simples en série, onparlera alors de trains d’engrenages. La connaissance des trains simples permet alors dedéterminer le rapport de transmission des trains d’engrenages.

1.7.2.1 Exemple : réducteur de turbopropulseur à deux trains d’engrenages.

L’annexe (Fig. A.2, p. 24) représente le dessin d’ensemble d’un réducteur de turbopro-pulseur et la figure (Fig. 1.20, p. 13), ci-dessous, correspond à son schéma cinématique.

1 3 + 1 1 + 1 2

7 + 8 + 92 + 1 0

Z 1 0

Z 1

Z 2

Z 1 1

Figure 1.20 – Schéma cinématique d’un réducteur de turbopropulseur

L’élément (1) correspond à l’arbre d’entrée, c’est-à-dire relié à l’arbre de la turbine depuissance. L’ensemble (3+11+12) est l’arbre relié à l’hélice. L’ensemble (2+10) est l’arbreintermédiaire qui relie les deux réducteurs élémentaires.

1.7.2.2 Détermination du rapport de transmission.

Le rapport de réduction global s’exprime par la relation suivante :

r =ωrécepteur

ωmoteur= (−1)n ·

∏Zroues menantes∏Zroues menées

(1.11)



Où n est le nombre de contact extérieur (entre roues dentées) ! Pour l’exemple proposé,l’application de la relation ci-dessus donne :

ω3/0

ω1/0= − Z1 · Z2

Z10 · Z11(1.12)

1.7.3 Réducteurs épicycloïdaux

1.7.3.1 Principe

Définition 2 On appelle train ou réducteur épicycloïdal, un train d’engrenages dont l’une(ou plusieurs) de ses roues dentées tourne autour d’un axe mobile par rapport au bâti prin-cipal.

On les rencontre souvent car ils autorisent de grands rapports de réduction sous un faibleencombrement. De plus, ils permettent plusieurs rapports de transmission à partir du mêmeéquipement 4. Le rendement est très bon mais malheureusement, ils coûtent plus cher qu’untrain normal (usinage précis, design complexe).

Un train épicycloïdal est toujours au minimum composé de deux planétaires (1) et (3),d’un porte-satellite (4) et de satellite(s) (2).

S a t e l l i t e ( 2 )

P o r t e - s a t e l l i t e ( 4 )

B â t i ( 0 )

P l a n é t a i r e ( 3 )

P l a n é t a i r e ( 1 )

Figure 1.21 – Schéma descriptif d’un train épicycloïdal

Le réducteur du GTP du TUCANO, présenté en début de chapitre (Fig. A.1, p. 23),est un réducteur à deux trains épicycloïdaux. La figure (Fig. 1.21, p. 14) représente sché-matiquement la structure de ces réducteurs.

Remarque 4 Il peut y a souvent plusieurs satellites, le but étant d’augmenter le coupletransmissible pour le train épicycloïdal en augmentant la surface de contact entre les roues(donc diminution de la pression de contact sur les dents). Pour des raisons d’équilibrage (etoui, le porte-satellite tourne, il doit donc être équilibré statiquement et dynamiquement 5),on utilise souvent trois satellites décalés de 120̊ . Pour les études de cinématique, nous ne

4. Nous verrons cela d’ici peu...5. Vous verrez tout cela en dynamique...



tiendrons pas compte du nombre de satellites, cela ne change rien et nous ne ferons apparaîtrequ’un seul satellite.

Le fonctionnement d’un train épicycloïdal n’est possible que si l’un des trois élémentsprincipaux (planétaires (1) ou (3) ou porte-satellite (4)) est fixe ou si deux des élémentssont liés entre eux par un système de transmission de puissance (courroie, chaîne , etc.).Dans le cas général, l’élément fixe par rapport au bâti peut être un des deux planétaires oule porte-satellite. Dans le cas ou le porte-satellite est fixe, on revient à un train d’engrenagestandard.

Dans le cas étudié, la fixité de la couronne planétaire (3) permet au porte-satellite (4)de tourner par rapport au bâti (0).

Remarque 5Le terme épicycloïdal provient de la trajectoire particulière d’un point du satellite par

rapport au bâti, cette trajectoire s’appelle une épicycloïde. Ce terme est issu de l’Almagestede Claude Ptolémée, mathématicien et astronome grec (2ième siècle après JC), qui a inventéles épicycles pour tenter de modéliser le mouvement de Mars autour de la terre dans sonsystème géocentrique.

1.7.3.2 Rapport de transmission - Raison du train épicycloïdal

Il peut y avoir un grand nombre de rapports de réduction sur un train épicycloïdal, toutdépend de quel élément est associé à l’arbre d’entrée et à l’arbre de sortie. Par exemple,pour le réducteur du Tucano, l’entrée est le planétaire (1) et la sortie, le porte-satellite (4).Le rapport de réduction sera donc donné par :

r =ωsortie

ωentrée=ω4/0

ω1/0(1.13)

Afin d’obtenir tous les rapports de réduction possible pour un train épicycloïdal donné,on cherche tout d’abord à écrire la raison basique λ du train épicycloïdal. Pour cela, onutilise la méthode ci-dessous.

Remarque 6 Afin de mettre en place cette notion de raison λ, il faut “s’asseoir” sur leporte-satellite et s’intéresser au mouvement des planétaires et des satellites par rapport auporte-satellite (4).

On note :ri : rayon primitif de la roue i,Zi : nombre de dents de la roue i,ωi/j : la vitesse de rotation de la roue i par rapport à j.

Si on se place sur le porte-satellite, un train épicycloïdal se comporte comme un traind’engrenage ordinaire. Il suffit donc d’utiliser les rapports d’engrenages élémentaires quicompose le train épicycloïdal.

ω2/4

ω1/4= −Z1

Z2et

ω3/4

ω2/4= +

Z2

Z3



On peut alors écrire :

ω3/4

ω1/4= −Z1

Z2· Z2

Z3= −Z1

Z3

En utilisant la relation de composition de mouvement, on obtient alors :

ω3/4

ω1/4=ω3/0 − ω4/0

ω1/0 − ω4/0= −Z1

Z3

On obtient alors la formule de Willis, que l’on peut généraliser sous la forme suivante :

λ =ω3/0 − ω4/0

ω1/0 − ω4/0= (−1)n ·

∏Zroues menantes∏Zroues menées

(1.14)

n correspond au nombre de contacts extérieurs entre les roues dentées (on ne tient pascompte de tous les satellites, on ne compte qu’un contact satellite planétaire).

Remarque 7Attention, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut considérer que le planétaire (1) soit

l’entrée et que le planétaire (3) soit la sortie, même si ce n’est pas le cas afin de définir lesroues “menantes” et les roues “menées”. Cette formule de Willis doit être comprise et nonpas apprise “bêtement” par cœur. C’est le seul moyen de l’écrire rapidement pour tout typede train épi et quelles que soient les notations utilisées. Bien entendu, vous devez savoir laretrouver rapidement !

La formule de Willis s’écrit également sous forme linéaire :

ω3/0 − ω4/0 · (1− λ)− λ · ω1/0 = 0 (1.15)

Sous cette forme, on parle de formule de Ravignaux.Finalement, la formule de Willis (ou de Ravignaux) est une relation cinématique du

type :λ = f

(ω1/0, ω3/0, ω4/0

)= 0 (1.16)

Remarque 8 Ainsi, la connaissance de deux vitesses permet le calcul de la troisième. Trèssouvent, un des planétaires ou le porte satellite est lié au bâti (vitesse angulaire nulle). Onse retrouve, par exemple, avec un système d’équations du type :{

f(ω1/0, ω3/0, ω4/0

)= 0

ω1/0 = 0(1.17)

Il suffit alors de connaître la vitesse angulaire d’entrée pour en déduire celle de sortie (ouvice et versa) et déterminer le rapport de transmission.

Plus rarement, deux des pièces du train épi peuvent être liées entre elles par des com-posants extérieurs (poulie- courroie, train d’engrenages, chaînes, etc.). Il existe donc unerelation cinématique entre les vitesses angulaires de ces deux pièces. On se retrouve, parexemple, avec un système d’équations du type :{

f(ω1/0, ω3/0, ω4/0

)= 0

g(ω1/0, ω4/0

)= 0

(1.18)

Il suffit alors de connaître une des vitesses angulaires pour en déduire les autres.



1.7.3.3 Calcul des rapports de transmission

Considérons les cas classiques pour lesquels un des planétaires (1) ou (3) ou le porte-satellite (4) est lié au bâti. Il existe alors 6 possibilités de montage. Pour chacune d’elles,déterminez le rapport de réduction r en fonction de la raison basique λ.

3 fixe 4 fixe 1 fixeCas 1 Cas2 Cas 1 Cas2 Cas 1 Cas2

entrée sur 1 4 1 3 3 4sortie sur 4 1 3 1 4 3

r =ωsortie

ωentrée

λ

λ− 1

λ− 1

λλ

1

λ

1

1− λ1− λ

1.7.3.4 Intérêt (cinématique) des trains épicycloïdaux plans

Tracez r = f (λ) pour les six cas précédents.

r

l

Conclusion 1Le rapport de réduction d’un train épicycloïdal tend vers plus ou moins l’infini quand la

raison de base tend vers des valeurs particulières. Ainsi, il est possible d’obtenir une trèsgrande multiplication (ou réduction) de la fréquence de rotation entre l’entrée et la sortiedu mécanisme, en choisissant convenablement les diamètres primitifs des planétaires. Cetteperformance cinématique, mise en œuvre par un nombre réduit de roues dentées, est de



surcroît atteinte dans un encombrement (radial) limité. Ce qui n’est pas le cas pour desmécanismes utilisant en cascade des trains d’engrenage.

1.7.3.5 Les différents types de train épicycloïdaux plans

La famille des trains épicycloïdaux plans se réduit à 4 types dont celui (type I) déjàétudié précédemment. Voici ci-dessous les schémas technologiques des trois autres types.

Type II Type III Type IV

1.8 Train sphérique - Différentiel

Définition 3 On appelle train épicycloïdal sphérique tout train épicycloïdal dont l’axe del’engrenage satellite n’est pas parallèle à l’axe principal des planétaires. Les axes sont doncconcourants.

Figure 1.22 – Schéma cinématique d’un train épicycloïdal sphérique

En utilisant les mêmes relations de base que précédemment, nous pouvons aisémentdéterminer la raison de ce train et en déduire les différents rapports de transmission possible.

1.8.1 Le différentiel

1.8.1.1 Constitution

Le différentiel est un cas particulier des trains épicycloïdaux sphériques. Lorsque lesaxes des planétaires et du satellite sont orthogonaux, on dit que le train sphérique est un


1.8 Train sphérique - Différentiel 19

différentiel 6.

Figure 1.23 – Chaîne de transmission d’unvéhicule automobile

Figure 1.24 – Schéma cinématique d’un dif-férentiel

Le différentiel est un mécanisme que l’on retrouve dans la chaîne de transmission d’unvéhicule automobile (Fig. 1.23, p. 19). Il permet aux roues motrices du véhicule de tournerà des vitesses angulaires différentes 7. Dans un virage, la roue située à l’intérieur (du côté oùl’on tourne), ayant une distance plus faible à parcourir, tourne moins vite que la roue situéeà l’extérieur. Grâce au différentiel, la motricité est maintenue tout en autorisant la différencede vitesse entre les roues. Il assure ainsi une meilleure tenue de route (sans différentiel, unvéhicule tend à aller tout droit) et permet de limiter l’usure des pneumatiques. D’autre part,en ligne droite, une égalité rigoureuse de la vitesse de rotation impose une parfaite égalitéentre les diamètres des roues, ce qui est tout à fait impossible du fait de la constitutionmême de ces roues.

Comme nous le voyons sur le schéma cinématique (Fig. 1.24, p. 19), la mise en rotationdu porte-satellite (4) est assurée par un couple conique (ou un système roue vis sans fin),ce qui permet l’orthogonalité entre l’arbre de transmission (5) et les arbres des roues (1) et(3).

Remarque 9 Les axes des pignons 5 et de la couronne 4 liée au porte satellite ne sontgénéralement pas concourants pour des raisons d’encombrement, la denture de ces 2 rouesdentées doit alors être hypoïde ou spiroconique (les surfaces primitives ne sont plus des cônesou des cylindres mais des hyperboles) (voir (An. B, p. 27)).

On utilise habituellement deux satellites (2) et (2’) placés de manière symétrique parrapport à l’axe des roues (toujours pour des raisons évidentes d’équilibrage et de coupletransmissible).

6. Le différentiel mécanique fut inventé en 1827 par le mécanicien français Onésiphore Pecqueur (1792-1852). Il fut employé dès 1860 sur les premiers véhicules routiers à vapeur.

7. Dans le cas d’un véhicule à 4 roues motrices, on utilise souvent trois différentiels (avant, arrière etcentral).



1.8.1.2 Raison basique et rapport de réduction

Afin de déterminer la raison basique d’un différentiel, il faut l’étudier comme un trainépicycloïdal plan. Il suffit donc de se placer sur le porte-satellite et d’utiliser les rapportsd’engrenages élémentaires qui compose le train sphérique. En ce qui concerne le signe de laraison, nous voyons aisément que les mouvement de rotation de (1) et de (3) ne peuventêtre qu’opposés, ce qui donnera nécessairement une raison basique négative.

On note :

Zi : nombre de dents de la roue i,

ωi/j : la vitesse de rotation de la roue i par rapport à j.

∣∣∣∣ω2/4

ω1/4

∣∣∣∣ = Z1

Z2et

∣∣∣∣ω3/4

ω2/4

∣∣∣∣ = Z2

Z3

On peut alors écrire : ∣∣∣∣ω3/4

ω1/4

∣∣∣∣ = Z1

Z3=

∣∣∣∣ω3/0 − ω4/0

ω1/0 − ω4/0

∣∣∣∣ = 1

Or, nous pouvons voir par construction du boîtier différentiel que d1 = d3 donc queZ1 = Z3, ce qui nous donne une raison basique :

λ = −1 ⇒ ω4/0 =ω3/0 + ω1/0

2(1.19)

Nous pouvons alors discerner trois cas particuliers intéressants :— ω1/0 = ω3/0 = ω : ligne droite, ω4/0 = ω, pas de mouvement de 2/4.

— ω3/0 = 0 : ω1/0 = 2 · ω4/0, une roue bloquée, toue la puissance est dirigée vers ladeuxième (celle qui patine...).

— ω4/0 = 0 : ω3/0 = −ω4/0, voiture sur le pont, on tourne la roue droite dans un sens,la roue gauche tourne dans le sens opposé.

1.8.1.3 Inconvénients du différentiel

La faiblesse du différentiel ordinaire réside dans le fait que si une roue du train moteurn’adhère pas (par exemple roue sur la neige, dans la boue), l’ensemble de la transmission ducouple se fait sur cette roue, et le véhicule n’avance plus correctement, voire plus du tout.Pour résoudre ce problème, certains différentiels sont conçus pour se limiter à partir d’uncertain seuil de glissement (par exemple détectant un écart de couple entre les deux demiarbres fixés aux satellites), ce sont les différentiels à glissement limité (DGL en français ouLSD en anglais).


1.9 Actions mécaniques exercées sur les dentures 21

1.9 Actions mécaniques exercées sur les dentures

Les actions mécaniques exercées sur les dentures des différentes roues sont directementliées au couple transmis par l’engrenage élémentaire (ou le train d’engrenage). Ces actionsmécaniques sont modélisées de manière différente en fonction de la géométrie de la den-ture :droite, hélicoïdale, conique ou roue-vis sans fin.

Nous avons vu que si le rendement de l’engrenage est idéal, on a la relation de conser-vation de la puissance mécanique entre l’entrée et la sortie du système de transmission depuissance :

P = C1 · ω1 = C2 · ω2 (1.20)

1.9.1 Cas des engrenages droits à denture droite

Soit un engrenage élémentaire composé de deux roues dentées à denture droite 1 et 2,de rayon respectif r1 et r2 et de nombre de dents respectif Z1 et Z2.

Figure 1.25 – Modélisation des actions mécaniques dans un engrenage à denture droite

On modélise dans ce cas les actions de contact de la roue 2 sur la roue 1 par une uniqueaction mécanique

−−−→F(2/1) orientée suivant la ligne de pression. On peut donc la décomposer

en deux composantes :— la composante tangentielle

−−−−→FT (2/1) : elle est à l’origine du couple transmis et elle est

obtenue en projetant−−−→F(2/1) sur la tangente aux cercles primitifs (fonction de l’angle

de pression α.FT (2/1) = F(2/1) · cosα et Ci = FT (2/1) · ri (1.21)

— la composante radiale−−−−→FR(2/1), orthogonale à

−−−−→FT (2/1), elle ne transmet pas le couple

et tend à faire fléchir les arbres de transmission.

FR(2/1) = F(2/1) · sinα (1.22)

1.9.2 Cas des engrenages droits à denture hélicoïdale

Soit un engrenage élémentaire composé de deux roues dentées à denture hélicoïdale 1 et2, de rayon respectif r1 et r2 et de nombre de dents respectif Z1 et Z2. On modélise toujoursles actions de contact de la roue 2 sur la roue 1 par une unique action mécanique

−−−→F(2/1).



Figure 1.26 – Modélisation des actions mécaniques dans un engrenage à denture hélicoïdale

Dans ce cas, cette action mécanique comporte une composante radiale, une composantetangentielle dues à l’angle de pression α mais aussi une composante radiale supplémentairedue à l’inclinaison β de la denture. On peut donc la décomposer en trois composantes :

— la composante tangentielle−−−−→FT (2/1) : elle est à l’origine du couple transmis.

FT (2/1) = F(2/1) · cosα cosβ et Ci = FT (2/1) · ri (1.23)

— la composante axiale−−−−→FA(2/1), portée par l’axe de rotation.

FA(2/1) = F(2/1) · cosα sinβ (1.24)

— la composante radiale−−−−→FR(2/1), orthogonale à

−−−−→FT (2/1).

FR(2/1) = F(2/1) · sinα (1.25)

Remarque 10 Afin de compenser les actions axiales, on utilise des engrenages à dentureen chevron 8 (utilisation de deux dentures hélicoïdales identiques côte à côte).

Figure 1.27 – Denture en chevron Figure 1.28 – Compensation de l’action axiale

Un autre moyen de compenser les actions mécaniques axiales est de monter sur le mêmearbre de transmission deux roues d’angles d’hélice judicieusement choisis...

8. Ce type d’engrenage a été créé par André Citroën dans les années 1920, il est a noté que cet engrenageest à la base du logo actuel des automobiles Citroën.


Annexe A

Réducteurs et différentiels

Figure A.1 – Schéma du réducteur du groupe turbopropulseur du Tucano 312 FF


24 Annexe A - Réducteurs et différentiels

Figure A.2 – Réducteur de turbopropulseur


25

Figure A.3 – Boite de vitesse et différentiel (Doc. Citroën)


26 Annexe A - Réducteurs et différentiels

Figure A.4 – Schéma cinématique de la boite de vitesse


Annexe B

Pignon d’attaque de différentiel

Figure B.1 – Pignon d’attaque et couronne de différentiel de tracteur

Figure B.2 – Pignon d’attaque avec axe décalé par rapport à l’axe du boitier de différentiel


28 Annexe B - Pignon d’attaque de différentiel

Figure B.3 – Écorché d’un différentiel complet de pont arrière

Figure B.4 – Boite de vitesse et différentiel de Lotus Europe 1970


Bibliographie

[Aub92] M. Aublin, Systèmes mécaniques, Dunod , 1992.

[Esn00] F. Esnault, Construction mécanique : Transmission de puissance tome 1, Dunod,2000.

[Esn01] F. Esnault, Construction mécanique : Transmission de puissance tome 2, Dunod,2001.

[Fan05] J.L. Fanchon, Guide des STI, Nathan-AFNOR , 2005.

[Mil03] N. Millet, Sciences Industrielles en CPGE, Casteilla, 2003.

[Qua01] R. Quatremer, Précis de construction mécanique tome 1, Nathan-AFNOR, 2001.


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