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  • Eng. de Produo

    Introduo Teoria das Filas

    Prof. Ricardo Villarroel Dvalos ricardo.davalos@unisul.br

    Fpolis, Abril de 2010

    Prof. Ricardo Villarroel Dvalos ricardo.davalos@unisul.br

    Fpolis, Abril de 2010

  • IntroduoDisciplinas das filas

    Populao de clientes

    e IC

    TF = f ( , )

    e TAc

    Variveis aleatrias

  • Localizao das variveis aleatrias

    NS=Numero Mdio de Clientes no SistemaNF=Nmero Mdio de Clientes na FilaNA=Nmero Mdio de Clientes atendidosNS = NF + NA (Nmero mdio de clientes no sistemaTS = TF + TA (Tempo mdio de permanncia no sistema

    C

  • Dinmica de uma fila

    1 2 3 4 5 6 7S1

    00,1250,25

    0,3750,5

    0,6250,75

    0,875

    1

    N

    mer

    o a

    leat

    ri

    o

    Tempo de Chegada

    5 6 7 8Tempo

    1 2 3 4 5 6

    S1

    0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1

    N

    mer

    o a

    leat

    ri

    o

    Tempo

    Tempo de atendimento

  • Dinmica de uma fila

  • Dinmica de uma fila Distribuies estatsticas

  • Dinmica de uma fila Distribuies estatsticas

    Estas duas distribuies so utilizadas na teoria das filas para representar os tempos de chegada e de atendimento

  • Modelos de filasKendall define os modelos de fila:

    Modelo de fila A/B/c/K/m/Zonde:

    A = distribuio dos intervalos entre chegadasB = distribuio dos tempo de servioc = quantidade de servidores (atendentes)c = quantidade de servidores (atendentes)K = capacidade max. do sistema (NS mximo)m = tamanho da populaoZ = disciplina da fila

  • Modelos de filasNa notao de Kendall define os Valores de A e B dependem do tipo de distribuio.M: Exponencial ou Poisson (Denominadas Marcovianas)Em: Erlang de estgio mHm: Hiper-exponencial de estgio mDeterminsticaDeterminsticaOutrosPor exemplo: M/E2/5/20//Randmico -> A/B/c/K/m/ZSignifica: Chegada Marcoviana, Atendimento Erlang de segundo grau, 5 atendentes, capacidade mxima do sistema igual a 20 clientes, populao infinita e atendimento ranmico (aleatrio)

  • O Modelo M/M/1: Populao Populao Infinita

  • Populao (infinita)

    Modelo de fila M/M/1

  • O modelo de fila M/M/1

    A notao condensada A/B/c muito usada e se supe que no h limite para o tamanho da fila, a populao infinita e a disciplina FIFO.

    Para A e B, quando a distribuio for Exponencial negativa ou Poisson, usa-se M (Marcoviana).

    O modelo de fila M/M/1 que tanto as chegadas quanto o O modelo de fila M/M/1 que tanto as chegadas quanto o atendimento so Marcovianos, i.e., seguem a distribuio de Poisson (p/ ritmos) ou Exponencial negativa (p/ intervalos). Alm disso, existe apenas um servidor.

  • Funo Distribuio de Probabilidade Poisson

  • Funo de distribuio de probabilidade Exponencial Negativa

    Funo densidade

    Funo cumulativa

  • Um processo de Marcoviano consiste num conjunto de objetos e num conjunto de estados tais que:

    Em qualquer instante cada objeto deve estar num estado(objetos distintos no esto necessariamente em estados diferentes); e

    Processos Marcovianos

    diferentes); e A probabilidade de que um objeto passe de um estado para

    outro num perodo de tempo depende apenas desses dois estados.

  • O Modelo M/M/1: Populao Infinita:

  • Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manuteno em suas mquinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui duas opes: um reparador lento, que capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rpido, que capaz de consertar a um ritmo mdio de 6 falhas por hora. O salrio/hora do reparador lento $3,00 e do reparador rpido $5,00. O custo de uma mquina parada $5,00. Pede-se qual a contratao que deve ser efetuada para que o custo total (reparador mais mquinas paradas) seja mnimo?Reparador Lento

    NS = /( - ) = 3/(4-3) = 3 mquinas

    Exemplo 3

    NS = /( - ) = 3/(4-3) = 3 mquinasCusto das mquinas = 3* 5 = $ 15,00Custo do reparador = $ 3,00 Custo total = $ 18,00

    Reparador rpidoNS = /( - ) = 3/(6-3) = 1 mquinasCusto das mquinas = 1* 5 = $ 5,00Custo do reparador = $ 5,00 Custo total = $ 10,00

    Comparando, vemos que o reparador rpido, apesar de ter um custo maior, implica um custo total menor.

  • Em um sistema de filas seqenciais, conforme figura a seguir,calcule as filas que se formam em cada servidor.

    Exemplo 4

    Fila NF

    Fabricao 10 15 1,54

    Inspeo 10 30 0,17

    Reparo 2 20 0,01

    Para encontrar o NF foi utilizada NF = 2 / (-)

  • O Modelo M/M/1/k: M/M/1/k: Populao Finita

  • Populao k (finita)

    Modelo de fila M/M/1/k

  • O Modelo M/M/1/k: Populao Finita

  • Tendo em vista a complexidade matemtica destes modelos no iremos nos estender nesta abordagem e tambmnos estender nesta abordagem e tambmno teremos exemplos deste tipo de modelo de fila (M/M/1/k).

  • O Modelo M/M/c: Populao InfinitaInfinita

  • Populao Infinita

    C = 2

    Modelo de fila M/M/2

  • Representa uma nica fila e diversos servidores e, tanto a chegada como o atendimento so Marcovianos (isto , seguem a Distribuio de Poisson ou da Distribuio Exponencial Megativa).

    O modelo de fila M/M/c

    Para um sistema que tem a estrutura da figura a anterior so vlidas as definies estudadas anteriormente (, , IC = 1/, TA e c = capacidade de atendimento).

  • As frmulas para o modelo M/M/c so complexas e difceis de serem manipuladas e, assim a preferncia generalizada pelo uso de grficos. A seguir uma ilustrao destes grficos.

    O modelo de fila M/M/c

  • O Modelo M/M/c: Populao Infinita

  • Exemplo 1

    Uma fbrica possui um depsito de ferramentas onde os operrios voreceber as ferramentas especiais para a realizao de uma determinadatarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada ( = 1 chegada/minuto) e oritmo de atendimento(=1,2 atendimentos por minuto) seguem omodelo Marcoviano. A fbrica paga $9,00 por hora ao atendente e$18,00 ao operrio. Pede-se: Acrescentar diversos atendentes atchegar ao custo mnimo.

    a) Modelo M/M/1 (c=1): Custo Total = Custo horrio do(s) atendente (s) + custo horrio dos operrios (na fila sendo atendidos pelo(s) servidor(es), pois no esto produzindo em seus postos de trabalho.) = / = 1/1,2 = 0,833NS = /( - ) = 1/(1,2 -1) = 5 Custo Total = Custo do atendente + Custo operrios

    = 9 + 5* 18 = $ 99,00

  • b) Modelo M/M/2 (c=2): Custo Total = Custo horrio do(s) atendente (s) + custo horrio dos operrios = /c = 1/1,2*2 = 0,416NS = 1 (veja tabela) Custo Total = Custo do atendente + Custo operrios

    = 2*9 + 18 = $ 36,00= 2*9 + 18 = $ 36,00

  • c NS Custo dos atendentes [$]

    Custo dos operrios [$]

    Custo total [$]

    1 0,833 5 9 90 99

    Para 3, 4 e 5 o clculo do custo total realizado de formaanloga ao anterior e os resultados se encontram na tabelaa seguir

    2 0,417 1 18 18 36

    3 0,277 0,7 27 12,6 39,6

    4 0,208 0,6 36 10,8 46,8

    5 0,167 0,59 45 10,62 55,62

    Ver Grfico

  • Exemplo 2

    No sistema de filas seqenciais descrito na figura abaixo, admita que o ritmo de chegada tenha crescido para =25 peas por minuto, calcule a quantidade de servidores de cada estao de trabalho tal que o tamanho da fila correspondente (NF) seja menor que 1.

  • Exemplo 2

    / (

    -)

    25*2

    5/30

    (30-

    25)

    CFabricao =25 e =15

    Inspeo=25 e =30

    Reparo =(0.2)*25 e =20

    NF NF NF

    1 - 0,83 4,16 0,25 0,09

    2 0,83 3,5 0,41 0,2

    3 0,55 0,5

    NF

    =

    2

    25*2

    5/30

    (30

    Ver grfico

  • 3,5

    Modelo M/M/2 (c=2): = /c = 25/15*2 = 0,833NS = 3,5 (veja grfico)

  • CFabricao =25 e =15

    Inspeo=25 e =30

    Reparo =(0.2)*25 e =20

    NF NF NF

    1 - 0,83 4,16 0,25 0,09

    2 0,83 3,5 0,41 0,2

    Concluso: A quantidade de servidores que atende solicitao :

    Produo = 3; Inspeo 2 e Reparo = 1.

    3 0,55 0,5

  • O Modelo M/M/c: Populao Finita

  • Populao Finita

    C = 2

    Modelo de fila M/M/2/k

  • O Modelo M/M/c/k: Populao Finita

    Analogamente as consideraes anteriores para a populaofinita com um nico atendente, podemos afirmar que tambmaqui ocorre o mesmo. comum encontrarmos situaes de mltiplos atendentes compopulao finita.A tabela a seguir apresenta as frmulas das diferentes variveis.

  • O Modelo M/M/1/k: Populao Finita

  • O Modelo M/M/1/k: Populao Finita

  • Tendo em vista a complexidade matemtica, no iremos nos estender nesta abordagem, a qual pode, entretanto, ser vista com simplicidade na tcnica simulao de sistemas

    O Modelo M/M/1/k: Populao Finita

    que ser abordada no prximo captulo

  • O modelo M/Em/c as chegadas seguem uma distribuio POISSON e o atendimento segue uma distribuio ERLANG de grau m.

    Os pesquisadores comentam que este modelo apresenta melhores resultados que o modelo

    O Modelo M/Em/c: Populao Infinita

    apresenta melhores resultados que o modelo M/M/c.

    Apresentam uma complexidade matemtica e oclculo dos diferentes parmetros de uma filapodem ser apoiados por grficos.

    A Teoria das Filas foi criada por A. K. Erlang e esta funo leva seu nome como homenagem.

  • Distribuio do tipo Erlang

  • Tendo em vista a complexidade matemtica, no iremos nos estender nesta abordagem, a qual pode, entretanto, ser vista com simplicidade na tcnica simulao de sistemas

    O Modelo M/Em/c: Populao Infinita

    que ser abordada no prximo captulo

  • SIMULAO DE SIST