Energia cinetica e lavoro

Consideriamo un oggetto puntiforme di massa m che si muove

lungo l’asse x, soggetto ad una forza ~F che forma un angolo

φ con l’asse x. Sotto l’azione di questa forza il punto si

sposta lungo l’asse x con un’accelerazione a = ax = Fx/m,

con Fx = F cosφ.

Supponiamo che la forza agisca sull’oggetto per uno tratto

d. La velocita dell’oggetto cambia da un valore iniziale v0

a un valore finale v. Se la forza e costante, il moto e uni-

formemente accelerato e vale la relazione

v2 = v20 + 2ad ⇒ 1

2mv2 − 1

2mv2

0 = mad = Fxd (∗)

Si definisce energia cinetica di un corpo puntiforme di massa

m e velocita v la quantita

K = 12mv2 [K] = [M L2 T−2]

La quantita Fxd e chiamata lavoro compiuto dalla forza

costante F sull’oggetto:

L = Fxd = ~F · ~d = Fd cosφ

La (*) si legge: la differenza tra l’energia cinetica finale e

quella iniziale dell’oggetto e pari al lavoro L compiuto dalla

forza F sull’oggetto: ∆K = Kf − Ki = L.

N.B.: questa espressione vale solo per forze costanti e oggetti

puntiformi.

Il lavoro e una grandezza fisica che esprime come l’energia

venga trasferita a un corpo tramite l’applicazione di una

forza. Il lavoro puo essere sia positivo (φ < π/2) che negativo

(φ > π/2): se L > 0 l’energia cinetica finale e maggiore di

quella iniziale.

Prima di trattare il caso generale di una forza variabile, con-

sideriamo il caso unidimensionale con una forza diretta lungo

l’asse x ma in modulo variabile: F = F (x). Per calcolare il

lavoro che questa forza compie su di un oggetto che si sposta

sotto l’azione di questa forza di un tratto d, suddividiamo lo

spostamento in intervalli infinitesimi ∆x, abbastanza piccoli

da poter ipotizzare la forza costante lungo ogni elemento.

Indichiamo con Fj il valor medio della forza nell’intervallo

j-esimo

L’incremento di lavoro ∆Lj fatto dalla forza in questo inter-

vallo e

∆Lj = Fj∆x

il lavoro totale si ottiene sommando su tutti i contributi

L =∑

∆Lj =∑

Fj∆x

Nel limite in cui facciamo tendere a zero ∆x si trova:

L = lim∆x→0

∑Fj∆x =

∫ xf

xi

F (x)dx

Piu in generale, quando la forza ~F e variabile sia in modulo

che in direzione, l’incremento di lavoro compiuto dalla forza

nell’intervallo infinitesimo ~ds e dato da

δL = ~F · ~ds

dove ~ds e il vettore tangente alla traiettoria del punto e di

intensita pari all’elemento di linea e verso uguale a quello del

moto del punto

A

B

~F~ds

x

y

Il lavoro fatto dalla forza ~F per spostare il punto dalla po-

sizione A alla posizione B e

LAB =

∫ B

A

~F · ~ds

dove l’integrale e lungo la traiettoria del punto: in pratica

si suddivide la traiettoria in tanti elementi ~ds, si esegue il

prodotto scalare tra ~ds e la forza ~F e si sommano tutti i

contributi cosı ottenuti. Se la forza e costante e la traietto-

ria e una retta si ritrova l’espressione precedente.

Lavoro e energia cinetica sono grandezze omogenee ed hanno

le stesse dimensioni

[Lavoro] = [FL] = [MLT−2L] = [ML2T−2]

Nel SI (o MKS) l’unita di misura del lavoro e il Joule (j)

1joule = 1newton × 1metro

Esempio: lavoro della forza peso

xB

h~P

A~ds

~P

A

B

ya) b)

θ

La forza peso e costante, quindi LAB = m~g · ~d.

caso a) spostamento e forza sono paralleli:

LAB = mg(yb − ya) = mgh .

caso b) lo spostamento e h/ sin θ e l’angolo tra ~P e lo sposta-

mento e (π/2 − θ)

LAB = mgh

sin θcos(

π

2− θ) = mgh

N.B.: non ci sono forze d’attrito: la velocita del punto in B

nei due casi e la stessa, quindi nei due casi si ha la stessa

variazione dell’energia cinetica e il lavoro della forza peso

deve essere lo stesso.

Esempio: lavoro della forza d’attrito

B

h

A

θAB

~P

~fk~v

~fk

~P

~N~N

~v

a) b)

x

x

in tutti e due i casi la forza di attrito dinamico fk = µkN

ha la stessa direzione dello spostamento ma verso opposto:

θ = π, di conseguenza il lavoro della forza di attrito e sempre

negativo.

caso a) N = mg quindi il lavoro della forza d’attrito nel tratto

AB e LAB = −µkmg(xB − xA)

caso b) N = mg cos θ

LAB = −µkmg cos θ (xB −xA) e il lavoro e tanto minore tanto

piu il piano e inclinato.

N.B.in tutti e due i casi il lavoro di ~N e nullo.

Esempio: lavoro della forza elastica

Consideriamo una molla con un estremo fisso e l’altro libero

a cui e attaccato un blocco. Allungando la molla di un tratto

x essa esercita sul blocco una forza di richiamo

F = −kx legge di Hooke

dove k e la costante della molla.

xx

~F

OO

~F

xx

O

La forza della molla non e costante: il modulo e proporzionale

all’allungamento (o accorciamento) rispetto alla lunghezza

a riposo e ha sempre verso opposto allo spostamento.

Supponiamo di portare il blocco in xi (x = 0 e la posizione

del blocco quando la molla e a riposo) e di lasciarlo andare,

il lavoro compiuto dalla molla per portare il blocco nella po-

sizione finale xf e

L =

∫ xf

xi

(−kx) dx = 12kx2

i − 12kx2

f

L e positivo se x2i > x2

f , cioe quando e il blocco si avvicina alla

posizione di riposo (L e negativo quando se ne allontana).

Se xi = 0 e x la posizione finale

L = −12kx2

Supponiamo ora di spostare il blocco lungo l’asse x appli-

candogli una forza ~Fa. Durante lo spostamento questa forza

compie un lavoro La sul blocco mentre la forza di richiamo

della molla compie un lavoro Lm. La variazione di energia

cinetica del blocco e

∆K = Kf − Ki = La + Lm

Se il blocco prima e dopo lo spostamento e a riposo, Kf =

Ki = 0 e

La = −Lm

Quando il blocco e a riposo prima e dopo lo spostamento, il

lavoro fatto sul blocco dalla forza applicata e l’opposto del

lavoro fatto sul blocco dalla molla. In particolare il lavoro

della forza applicata e positivo quando il blocco si allontana

dalla posizione di riposo della molla.

Teorema dell’energia cinetica per una forza variabile

Consideriamo un corpo di massa m che si muove lungo l’asse

x e su cui agisce una forza variabile F (x) diretta lungo l’asse.

Il lavoro svolto sul corpo dalla forza F mentre si muove da

una posizione iniziale xi a una posizione finale xf e dato da

L =

∫ xf

xi

F (x)dx

per la 2a legge della dinamica F = ma = mdvdt

= mdvdx

dxdt

L =

∫ xf

xi

mdv

dx

dx

dtdx =

∫ vf

vi

mvdv = 12mv2

f − 12mv2

i

= Kf − Ki = ∆K

Il lavoro fatto dalle forze che agiscono su un corpo e uguale

alla variazione della sua energia cinetica

LAB = ∆K = KB − KA

Potenza

Se un lavoro L e svolto da un forza in un intervallo di tempo

∆t, si definisce potenza media riferita a quell’intervallo di

tempo la quantita

P =L

∆tLa potenza istantanea (o potenza)

P =dL

dt

e la rapidita con cui viene svolto un lavoro (o si trasferisce

energia). La potenza e il lavoro fatto nell’unita di tempo.

Nel SI l’unita di misura della potenza e il watt

1watt = 1joule/1sec

(Attenzione: il kilowattora e una misura di lavoro, infatti e

il lavoro fatto da una data forza in un’ora.)

Nel caso di un corpo che si muove in una direzione (ad

esempio lungo l’asse x) sotto l’azione di una forza costante

F che forma un angolo φ con la direzione del moto

P =dL

dt=

d(Fx cosφ)

dt= Fv cosφ = ~F · ~v

dove x e la posizione istantanea del corpo e v la sua velocita.

Questa espressione della potenza vale solo per forze costanti

e quando l’oggetto si muove lungo una direzione fissata.

La potenza e una grandezza scalare.

apriamo una parentesi...

Ricordiamo alcuni concetti dell’analisi che utilizzeremo in

seguito.

Data una funzione f(x) chiamiamo differenziale df la varia-

zione della funzione tra i punti x e x + dx

xx

f(x)

f(x + dx)

x + dx

df = f(x + dx) − f(x)dθ

dx

f(x)

a meno di infinitesimi di ordine superiore

df = dx tan θ

ma tan θ e data dalla derivata di f(x), cioe tan θ = dfdx

df =

(df

dx

)dx

Questo si generalizza al caso di una funzione a piu variabili,

per esempio f(x, y). In questo caso la variazione di f pas-

sando dal punto P = (x, y) al punto Q = (x + dx, y + dy) e

data dalla somma delle variazioni rispetto alle due coordinate

df =

(∂f

∂x

)dx +

(∂f

∂y

)dy

dove(

∂f∂x

)e calcolata tenendo fisso y e

(∂f∂y

)e calcolata

tenendo fisso x (si usa il simbolo ∂ per indicare che si sta

facendo la derivata parziale della funzione rispetto a una

delle variabili, tenendo costanti le altre).

Esempio: f(x) = 3x5 − 4x2,

df

dx= 15x4 − 8x → df = (15x4 − 8x)dx

Esempio: f(x, y) = 3x2 + 4y3 + 5xy

∂f

∂x= 6x + 5y

∂f

∂y= 12y2 + 5x

quindi

df = (6x + 5y)dx + (12y2 + 5x)dy

L’integrale del differenziale di una funzione tra i punti A e

B e uguale alla funzione calcolata in B meno la funzione

calcolata in A, cioe e uguale alla variazione della funzione

tra A e B

x

A

B

2

1

y ∫ B

A

df = f(B) − f(A)

indipendente dal percorso

seguito.

Inoltre l’integrale del differenziale di una funzione su un ciclo,

x

A

y

cioe su un percorso chiuso

che parte in A e termina in

A, e pari a zero∫ A

A

df = f(A) − f(A) = 0

Forze conservative

Una forza si dice conservativa quando il lavoro che fa per

spostare un punto materiale da A a B non dipende dal per-

corso, ma solo dalla posizione finale e da quella iniziale

x

A

B

2

1

y

LAB =

∫ B

A

~F · ~ds

LAB(lungo 1) = LAB(lungo 2)

x

A

B

2

1

yQuesto implica che se la

forza e conservativa, il la-

voro su un ciclo e nullo

LAB(lungo 1) = −LBA(lungo 2)

LAB(lungo 1)+LBA(lungo 2) = 0

Possiamo dire che una forza e conservativa quando il lavoro

che essa compie in un ciclo e nullo.

Da quanto detto sui differenziali, se la forza e conservativa~F · ~ds deve essere il differenziale di una funzione

~F · ~ds = −dU

la funzione U e detta energia potenziale

LAB =

∫ B

A

~F · ~ds = −∫ B

A

dU = U(A) − U(B)

se la forza e conservativa il lavoro che essa compie tra A e

B e uguale a meno la variazione dell’energia potenziale.

Esempi di forze conservative

P Forza peso: ~P = m~g

A

B

A

CB

1) 2)

θ

Calcoliamo il lavoro fatto

dalla forza peso per

spostare un oggetto da A

a B lungo i due percorsi:

L(1)AB =

∫ B

A

m~g · ~ds =

∫ yB

yA

mgdy = mg(yB − yA)

L(2)AB = LAC + LCB = LAC

infatti LCB = 0 perche lungo BC la forza e lo spostamento

sono perpendicolari. Indicando con x la coordinata lungo il

tratto AC

LAC =

∫ C

A

mg dx cos(π

2− θ) = mg(xC − xA) sin θ

= mgd sin θ = mg(yB − yA)

dove d e la lunghezza del tratto inclinato.

Il lavoro della forza peso lungo i due percorsi e lo stesso: si

puo verificare che questo e vero per qualsiasi percorso tra A

e B: quindi la forza peso e una forza conservativa.

P forza elastica ~F = −k~x

xx

O A B O A B C

Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza elastica nei due casi.

Nel primo caso l’oggetto viene spostato da A a B e il lavoro

della molla e

LAB =

∫ B

A

~F · ~ds = −∫ xB

xA

kxdx =1

2kx2

A −1

2kx2

B

Nel secondo caso l’oggetto viene spostato da A a C e poi

da C a B e il lavoro totale e

LAB = LAC + LCB{LAC = −

∫ xC

xAkxdx = 1

2kx2

A − 12kx2

C

LCB = −∫ xB

xCkxdx = 1

2kx2

C − 12kx2

B

→ LAB =1

2kx2

A −1

2kx2

B

il lavoro della forza elastica non dipende dal percorso, ma

solo dagli estremi, quindi la forza elastica e conservativa.

Energia potenziale

Data una forza conservativa, abbiamo introdotto l’energia

potenziale mediante

LAB =

∫ B

A

~F · ~ds = −∫ B

A

dU = U(A) − U(B)

per calcolare la variazione dell’energia potenziale tra i punti

A e B, occorre calcolare il lavoro che la forza conservativa

fa per spostare un punto materiale da A a B.

Ad esempio il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il

corpo dalla posizione x = 0 alla posizione x

L0x = −∫ x

0kxdx = −

1

2kx2 quindi

−1

2kx2 = −[U(x) − U(0)] → U(x) =

1

2kx2 + U(0)

e l’energia potenziale elastica di una molla allungata (o ac-

corciata) di un tratto x rispetto alla posizione di equilibro.

Siccome ci interessano solo le differenze di energia poten-

ziale, possiamo fissare una posizione di riferimento e cal-

colare le differenze di energia rispetto a quella. Ad esempio

possiamo far corrispondere alla posizione a riposo della molla

un’energia potenziale nulla, cioe U(0) = 0, in questo modo

U = 12kx2 energia potenziale elastica

Analogamente il lavoro fatto dalla forza peso per spostare

un corpo dalla quota y alla quota y = 0

Ly0 = mgy quindi

mgy = −[U(0) − U(y)] → U(y) = mgy + U(0)

e l’energia potenziale gravitazionale di un corpo posto a una

quota y rispetto alla superficie della terra y = 0. Se al rifer-

imento y = 0 facciamo corrispondere un’energia potenziale

nulla, si ha

U(y) = mgy energia potenziale gravitazionale

L’energia potenziale gravitazionale di un oggetto dipende

dalla quota dell’oggetto rispetto alla superficie terrestre e

non dalla posizione orizzontale.

Energia Meccanica

Abbiamo visto due diverse equazioni che ci dicono come il

lavoro di una forza venga convertito in energia.

La prima

LAB = ∆K = KB − KA

mostra la relazione tra il lavoro fatto da una forza su un

corpo e la variazione della sua energia cinetica e vale per

tutte le forze.

La seconda

LAB = −∆U = −[U(B) − U(A)]

vale solo se la forza e conservativa, e mostra che il lavoro

fatto da una forza conservativa su un corpo e pari a meno

la variazione della sua energia potenziale.

Quindi per le forze conservative{LAB = ∆K

LAB = −∆U→ ∆K = ∆U →

KB−KA == −[U(B)−U(A)] → KB+U(B) = KA+U(A)

la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale e

detta energia meccanica

E = K + U energia meccanica

L’equazione precedente diventa

EA = EB = costante

l’energia meccanica di un sistema isolato in cui sono presenti

solo forze conservative rimane costante durante il moto.

In generale un corpo ha una energia cinetica, dovuta al fatto

che il corpo si muove con una data velocita, e un’energia

potenziale, dovuta al fatto che il corpo occupa una data

posizione in presenza di una forza conservativa. Al passare

del tempo, l’energia cinetica e l’energia potenziale possono

variare ma la loro somma rimane inalterata nel tempo.

(N.B.: ragione del segno - nella definizione dell’energia poten-

ziale: in questo modo e la somma delle due energie che

rimane costante).

Esempio: lanciando un oggetto in aria durante il moto di

salita la forza di gravita compie un lavoro negativo sull’ogget-

to che diminuisce la sua energia cinetica. L’energia cinetica

sottratta all’oggetto dalla forza di gravita viene trasferita

all’energia potenziale gravitazionale del sistema Terra-ogget-

to. Quando il moto si inverte, il lavoro sull’oggetto e posi-

tivo: la forza gravitazionale trasferisce energia dall’energia

potenziale gravitazionale del sistema Terra-oggetto all’ener-

gia cinetica dell’oggetto.y

x

ymax

v0

L’energia potenziale gravi-

tazionale e: U(y) = mgy + U(0)

Se si trascura la resistenza

dell’aria (che non e una forza

conservativa), la legge di

conservazione dell’energia

meccanica tra lo stato iniziale

(oggetto lanciato verso l’alto

con velocita v0) e lo stato finale (oggetto che ha raggiunto

la quota massima con v = 0) da:

1

2mv2

0 + U(0) = 0 + mgymax + U(0) → ymax =v20

2g

y

x

ymax

v0

Analogamente quando la palla si

trova ad una quota y con ve-

locita v

1

2mv2

0+U(0) =1

2mv2+mgy+U(0)

quindi

1

2mv2

0 =1

2mv2 + mgy

(si capisce che la costante U(0) non e essenziale, perche nel

bilancio energetico si cancella).

Durante la salita, y aumenta e l’energia potenziale del corpo

aumenta mentre l’energia cinetica diminuisce dato che la

loro somma e costante e pari all’energia cinetica iniziale.

Nella discesa, y diminuisce, quindi diminuisce l’energia poten-

ziale e l’energia cinetica aumenta fino a raggiungere il valore

iniziale, quando l’oggetto tocca il suolo.

Esempio: un blocco viene lanciato con una certa velocita v

contro una molla; il blocco si muove sopra un piano oriz-

zontale senza attrito e la molla e supposta ideale e di massa

trascurabile. Il blocco comprime la molla, si ferma dopo di

che la molla compressa si es-

pande e il blocco si muove (in

senso opposto) e riacquista la

velocita iniziale. Nella prima

parte la molla compie un la-

voro negativo sul blocco che

diminuisce la sua energia ci-

netica, che viene trasferita

all’energia potenziale elastica della molla.

La conservazione dell’energia meccanica tra lo stato iniziale e

stato finale (quando la compressione della molla e massima)

da

1

2mv2 + U(0) = 0 +

1

2kx2

max + U(0) → xmax = v

√m

k

Nella seconda parte il lavoro della molla e positivo: la molla si

espande e l’energia potenziale della molla diminuisce fino ad

annullarsi (quando la molla raggiunge la posizione di equilib-

rio); contemporaneamente l’energia cinetica del blocco au-

menta fino a raggiungere l’energia cinetica iniziale.

Grafico dell’energia potenziale

Consideriamo un oggetto costretto a muoversi lungo l’asse x

su cui agisce una forza F conservativa. L’energia potenziale

varia al variare della posizione dell’oggetto. Quando il punto

passa da punto x al punto x +∆x, la variazione dell’energia

potenziale e

∆U(x) = −L = −F∆x → F (x) = −dU(x)

dx

Dalla funzione U(x) possiamo ricavare la forza conservativa

associata a questa energia potenziale.

P se U(x) decresce, dUdx

< 0 → F > 0, cioe la forza ha lo

stesso verso dell’asse x.

P se U(x) cresce, dUdx

> 0 → F < 0, cioe la forza ha verso

opposto all’asse x.

P se U(x) ha un minimo, dUdx

= 0 → F = 0, il valore di x

per cui U ha un minimo e una posizione di equilibrio.

Esercizio: studiare la funzione U(x) = 12kx2.

Supponiamo di avere un corpo che si muove lungo l’asse x

soggetto a forze conservative la cui energia potenziale abbia

il seguente grafico

Supponiamo inoltre che l’energia meccanica, che ha un va-

lore costante, sia quella indicata in figura.

Dato che Emec = K + U , anche l’energia cinetica e funzione

della posizione dell’oggetto:

K(x) = Emec − U(x)

Poiche K e proporzionale a v2 non puo mai diventare nega-

tiva e quindi l’oggetto non puo stare a sinistra di x1.

Quando l’oggetto si muove da x2 a x1 la sua energia cinetica

diminuisce fino ad annullarsi in x1, dove l’oggetto si ferma

istantaneamente. Tuttavia non puo rimanere fermo lı poiche

in x1 la derivata di U(x) 6= 0 e la forza F e positiva quindi

il punto si mette in moto verso destra, inverte cioe il suo

moto: x1 e detto punto di inversione ed e la posizione in cui

l’energia cinetica si annulla.

La forza lo spinge verso x2, il punto di minimo del poten-

ziale: qui la forza si annulla, ma il corpo non si ferma perche

ha una velocita diversa da zero. Dopo x2 la forza cambia

verso e la velocita del corpo diminuisce.

Conservazione dell’energia e forze non conservative

L’attrito e un esempio di forza non conservativa: infatti il

lavoro fatto da questa forza e sempre negativo, in particolare

il lavoro fatto lungo un ciclo non si annulla (ad es. il lavoro

della forza di attrito durante la salita lungo un piano inclinato

e uguale a quello fatto durante la discesa, tutti e due sono

negativi).

Nell’esempio precedente del blocco di velocita v lanciato con-

tro una molla, se tra il piano orizzontale e il blocco c’e’ at-

trito, quando il blocco quando inverte il moto acquista una

velocita inferiore a quella iniziale: la forza di attrito svolge

un lavoro negativo sul blocco rallentandolo e trasferendo

parte della sua energia cinetica ad un’altra forma di ener-

gia, l’energia termica del sistema blocco-pavimento. Questo

trasferimento di energia non puo essere invertito.

La forza di attrito e una forza non conservativa.

Nel caso in cui all’interno del sistema agiscano delle forze

non conservative, il lavoro totale delle forze e sempre uguale

alla variazione dell’energia cinetica:

Lforze non cons + Lforze cons = ∆K

Mentre solo per le forze conservative il lavoro e pari a −∆U :

Lforze cons = −∆U

Da cui

Lforze non cons = ∆Emec

l’energia meccanica totale non e costante ma subisce una

variazione pari al lavoro delle forze non conservative.

Lavoro svolto su un sistema da una forza esterna

Estendiamo la definizione di lavoro al caso di forze esterne

che agiscono su un sistema di corpi.

In assenza di attrito, il lavoro e l’energia meccanica trasferita

a o da un sistema per mezzo di una forza esterna che agisce

su di esso

L = ∆K + ∆U = ∆Emec

questo lavoro e positivo quando viene trasferita energia al

sistema, negativo quando viene sottratta energia al sistema.

Se il sistema consiste di un solo corpo puntiforme, il lavoro

svolto su di esso da una forza esterna puo variarne solo

l’energia cinetica (∆K = L, teorema dell’energia cinetica).

In presenza di attrito, come ad esempio un blocco trascinato

lungo il piano con attrito, sappiamo per esperienza che il

blocco e il pavimento si scaldano durante il moto e non

tutto il lavoro viene trasferito all’energia meccanica.

Es.: consideriamo un blocco di massa m, velocita iniziale v0

che scivola su un piano in presenza di una forza di attrito

dinamico fk che supporremo costante. Supponiamo che vi

sia un forza costante orizzontale ~F che tira il blocco nella

direzione dell’asse x per un tratto d aumentandone la velocita

fino al valore v. Per la seconda legge di Newton

F − fk = ma (∗)

le forze sono costanti quindi il moto e uniformemente acce-

lerato

v2 − v20 = 2ad ⇒ a =

v2 − v20

2dsostituendo in (*) si ottiene

F − fk =(12

mv2 −1

2mv2

0

)/d ⇒ Fd = ∆K + fkd

il piano e supposto orizzontale e quindi non c’e’ variazione

dell’energia potenziale, ma in generale interviene anch’essa

Fd = ∆Emecc + fkd

il termine fkd rende conto dell’incremento dell’energia ter-

mica dovuto allo strisciare del blocco sulla superficie

Fd = ∆Emecc + ∆Eth

Fd equivale al lavoro svolto dalla forza esterna sul sistema

blocco-pavimento, quindi

L = ∆Emec + incremento di energia termica

Principio di conservazione dell’energia totale

Questo principio non e dedotto da altre leggi fondamen-

tali della fisica, esso e il risultato di evidenza sperimen-

tale: l’energia totale di un sistema puo variare solo se viene

trasferita energia dal di fuori o al di fuori del sistema. Con

energia totale si intende ogni forma di energia, meccanica,

termica, ed ogni altra forma di energia interna distinguibile

dalla termica: L = ∆E = ∆Emec + ∆Eth + ∆Eint.

In particolare per un sistema isolato (L = 0) l’energia totale

si conserva: ∆Emec + ∆Eth + ∆Eint = 0.