en el Egipto de los faraones - Universitat de València · PDF fileπ en el Egipto de...

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  • en el Egipto de los faraones Ivn Arribas (ivan.arribas@uv.es)

    INTRODUCCIN

    Se dispone de muy pocos documentos matemticos del Antiguo Egipto, sobre todo cuando se compara con la abundancia de tablillas con contenido matemtico en Mesopotamia durante el mismo periodo. Esta carencia de informacin hizo pensar a los primeros investigadores que los egipcios eran malos matemticos. Sin embargo, hay indicadores que solo se pueden dar si aceptamos un elevado desarrollo de las matemticas y, simultneamente, se dan mltiples factores sociales y ambientales que justifican la falta de datos.

    Ya en el Imperio Antiguo (tercer milenio AEC) la sociedad egipcia alcanz un elevado desarrollo que slo era posible gracias a un complejo aparato administrativo encargado de contabilizar los productos almacenados, gestionar su reparto entre trabajadores, distribuir el trabajo Por otro lado, la magnitud de las obras arquitectnicas acometidas (las grandes pirmides son del Imperio Antiguo) slo se puede explicar asumiendo un elevado dominio de las matemticas por parte de los arquitectos y constructores de la poca. A estos argumentos hay que aadir que simplemente la gestin de las tareas necesarias para la construccin de una gran pirmide y la coordinacin logstica (turnos de trabajo, alimentacin) exige un alto nivel tcnico en matemticas. En consecuencia, hay evidencias ms que suficientes para pesar que en el Antiguo Egipto el desarrollo matemtico era muy superior al que se deduce de la pobre informacin que nos ha llegado.

    El principal material de escritura de la poca era el papiro, sobre el que se escriba con una caa impregnada en tinta, confeccionado a partir de la planta del mismo nombre y que requiere de un ambiente muy seco para su conservacin. Sin embargo, las principales ciudades del antiguo Egipto se ubicaban en las orillas del Nilo, donde la preservacin del papiro es imposible. No es sorprendente, por tanto, que algunos de los principales hallazgos se hayan realizado en el desierto. Adems, muchas de las actuales ciudades de Egipto se ubican sobre las antiguas metrpolis, lo que dificulta las labores de excavacin de potenciales yacimientos, y ha tenido como consecuencia la destruccin de antiguos papiros. Podemos concluir que la falta

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    de documentos matemticos no es en absoluto consecuencia de un pobre desarrollo en esta disciplina.

    Este trabajo refleja mis propias limitaciones intelectuales, y aunque intento entender las matemticas de tantas culturas antiguas como me es posible, es difcil ser solvente en todas ellas. El trabajo refleja mis intereses, mis puntos fuertes y mis punto dbiles. No es una disertacin acadmica ni exhaustiva, sino una obra de lectura, no de consulta, pero no renuncia al rigor que se echa en falta en otras obras divulgativas. Est dirigida a toda persona interesada por la evolucin del concepto de y que quiere profundizar en su conocimiento escapando de los tpicos y errores usuales. No pretendo condensar todo el conocimiento matemtico de una periodo de dos mil aos, slo aquel directamente relacionado con mis intereses. Soy responsable de cualquier error o mala interpretacin.

    BREVE RESEA HISTRICA DE LAS MATEMTICAS EN LA POCA DE LOS FARAONES

    Primeros textos matemticos del Periodo Predinstico

    El texto ms antiguo que se ha encontrado con representaciones numricas data de poco antes de la unificacin de Egipto (alrededor del 3000 AEC) y fue localizado en la tumba Uj en Abids. Consiste en una serie de etiquetas de hueso y marfil con un agujero (que sugiere que estaban atadas a algn producto perecedero en la tumba) y una cantidad numrica grabada usando un sistema numrico decimal sin posicionamiento.1

    Las matemticas durante el Imperio Antiguo

    El Imperio Antiguo abarca gran parte del tercer milenio AEC. En este periodo se produce una explosin cultural, arquitectnica y un fuerte desarrollo de la administracin que slo se pueden entender aceptando un alto desarrollo de las matemticas.

    Aunque no hay evidencia escrita de este desarrollo hay otro tipo de evidencias. Por ejemplo, en la mastaba de Meidum, alrededor de sus esquinas, bajo en nivel del suelo, aparecen construidos cuatro muros hechos con ladrillo de barro y con forma de L. En estos muros se pueden ver una serie de diagramas que indican 1 En este sistema numrico cada potencia de 10 hasta 1 milln era representado con un signo diferente. La simple repeticin de signos, de forma yuxtapuesta, permita representar cualquier nmero.

    Figura 1: Representacin de nmeros en etiquetas de la tumba Uj.

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    la pendiente de los lados de la mastaba. La unidad de pendiente era el sqd que media el desplazamiento horizontal (en palmos) por cada unidad de desplazamiento vertical (en cubos). Aunque slo hasta el periodo del Imperio Medio tendremos evidencia en textos de este concepto, su uso ya se inicia en el Imperio Antiguo.

    Tambin, hay evidencia del uso de varios sistemas mtricos y de su evolucin durante este periodo hasta el periodo del Imperio Medio.

    Las matemticas durante el Imperio Medio

    De este periodo (primera mitad del segundo milenio AEC) datan los principales textos matemticos encontrados, papiros Rhind, Berln, Mosc, Kahun, Leather Roll, etc. Los textos matemticos pueden clasificarse, por su contenido, en tablas numricas o en problemas. Posiblemente estos textos fueron realizadas por maestros escriba con la intencin de servirse de ellos durante la preparacin de futuros escribas. Las matemticas eran un elemento clave en su formacin dado que les provea de una herramienta indispensable para realizar sus tareas administrativas y de organizacin. Sin embargo, el uso educacional y prctico de los textos hace imposible aprender de ellos como los egipcios desarrollaron su matemtica.

    Las tablas numricas incluyen tablas de operaciones y tablas de conversin de medidas. Entre las primeras podemos destacar las tablas 2N donde se indica el resultado de multiplicar por dos las fracciones de la unidad impares, o el Leather Roll que contiene 26 sumas de fracciones de la unidad que suman una unidad; entre las tablas de conversin de unidades destacamos el problema 81 del papiro Rhind que relaciona pares de

    unidades de medida de volumen diferentes.

    El total de problemas matemticos encontrados alcanza el centenar y en su mayora vienen de dos papiros, Rhind y Mosc, donde los problema estn organizados segn su nivel de dificultad. Cada problema consta de una serie de partes bien diferenciadas: un ttulo en color rojo que permita identificar el tipo de problema, por ejemplo Mtodo de calcular una pirmide. El color rojo adems facilitaba identificar el inicio de cada problema; despus se dan los datos del problema, siempre especficamente numricos, y le sigue la cuestin a resolver. A continuacin vienen las instrucciones para resolver el problema. Estas son una serie

    Figura 2: Fragmento del papiro Kahun (o Lahun). Muestra una tabla 2N.

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    de frases, usualmente una por operacin aritmtica (los egipcios no usaba smbolos matemticos).2 El problema termina enunciando el resultado. (Vase Figura 3)

    Figura 3: Fragmento del papiro Rhind.

    Las matemticas durante el Imperio Nuevo y posteriores

    El Imperio Nuevo se inicia aproximadamente a mitad del segundo milenio AEC y finaliza hacia el final del milenio. No se han encontrado documentos matemticos relevantes, al menos en comparacin con los correspondientes al Imperio Medio. La mayor fuente proviene de las excavaciones en Deir el Medina (ubicada al otro lado del Nilo, frente a Luxor) donde se han hallado textos sobre reparto de raciones, planos de construccin y una tablilla de cermica con un ejercicio de multiplicacin de grandes nmeros.

    Durante el primer milenio (que abarca los periodos Intermedio, Tardo y Helenstico), aparecen nuevos documentos matemticos. Estos estn escritos en demtico en lugar de hiertico y muestran un corpus manifiestamente diferente que sugiere el contacto entre los matemticos egipcios y los matemticos mesopotmicos y griegos. Se observa que muchos de los clculos estn hechos en base sexagesimal aunque los datos y el resultado final se escriban en base decimal.

    2 Las operaciones conocidas por los egipcios eran suma, resta, multiplicacin, divisin, calculo de la mitad, invertir, elevar al cuadrado y races cuadradas.

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    FIGURAS CIRCULARES

    La concepcin egipcia del crculo

    Como es habitual en las culturas antiguas, lo que nos ha llegado del antiguo Egipto (en concreto del Imperio Medio) es una serie de reglas de clculo con fines prcticos y sin ningn desarrollo terico. A esto hay que aadir la escasa informacin que nos ha llegado relacionada con figuras circulares, lo que nos impide saber con certeza cual era la conceptualizacin que se tena del crculo. Casi todos los problemas aplican una regla para el clculo del rea de un crculo a partir del dimetro y no se ha conservado ningn texto con el clculo de la circunferencia.3

    Ante esta falta absoluta de textos de la poca sobre figuras circulares los investigadores se han enfrentado de muy diferentes formas. Algunos muestran sus reservas a la hora de realizar cualquier tipo de especulacin mientras que otros utilizan la mnima ambigedad en la especificacin o resolucin de un problema para desarrollar diferentes teoras sobre el mtodo de clculo del rea de un circulo o especular sobre como calculaban los egipcios el rea de una semi-esfera (algo que de acuerdo con los conocimientos actuales de las matemticas del Antiguo Egipto estaba aun muy lejos de sus posibilidades). En concreto, se ha escrito mucho sobre el problema 48 del papiro Rhind como una explicacin de la regla para el clculo del rea de un crculo, aproximndolo