Circuiti in regime sinusoidalewww.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 2-10-2010)2Funzioni sinusoidalifTt = = e 2 2et= 2TTf1=AM = ampiezzao = fase iniziale (radianti, rad)(t < o t)e = pulsazione (rad/s)f = frequenza (hertz, Hz)T = periodo (secondi, s)) cos( ) a( o + e = t A tM3Regimi sinusoidali Si considera un circuito lineare in cui tutti i generatori indipendenti sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione e Le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali lineari nel quale i termini noti sono funzioni sinusoidali con pulsazione e Le equazioni generalmente ammettono una soluzione sinusoidale con pulsazione e Se il circuito asintoticamente stabile, questa soluzione particolare rappresenta la componente di regime della risposta( regime sinusoidale) 4Regimi sinusoidali Regime sinusoidale: condizione di funzionamento di un circuito nella quale tutte le tensioni e le correnti sono funzioni sinusoidali del tempo aventi la stessa pulsazione e Fissata la pulsazione, una funzione sinusoidale definita da due parametri Ampiezza Fase Il problema della determinazione della soluzione particolare sinusoidale delle equazioni del circuito (cio della determinazione delle ampiezze e delle fasi di tutte le tensioni e correnti) puessere ricondotto ad un problema di tipo algebrico mediante la trasformata di Steinmetz Il metodo di analisi basato sulla trasformata di Steinmetz detto anche metodo simbolico5Trasformata di Steinmetz Trasformata di Steinmetz: S Ad ogni funzione sinusoidale di pulsazione ea(t) = AMcos(et+o)si associa un numero complesso A avente modulo AM(= ampiezza della funzione sinusoidale) argomento o (= fase della funzione sinusoidale) A = fasore o numero complesso rappresentativo di a(t) Antitrasformata di Steinmetz: S1{ } ) sen (cos ) a( o + o = = =oj A e A tMjMS A{ } | | | | ) cos( Re Re ) a() ( 1o + e = = = =o + e e t A e A e tMt jMt jA A S6Interpretazione geometrica| | ) cos( e Re ) a( o + e = =et A tMt jA) (e e ) (o + e e= =t jMt jA t A s7Propriet della trasformata di SteinmetzUnicit La trasformata di Steinmetz stabilisce una corrispondenza biunivoca tra le funzioni sinusoidali di pulsazione e e i numeri complessiB A = = t t t ) b( ) a() cos( ) b() cos( ) a(| + e =o + e =t B tt A tMM{ }{ }|o= == =jMjMB tA te ) b(e ) a(SSBA8Propriet della trasformata di SteinmetzLinearit La trasformata di Steinmetz unoperazione lineare{ } { } { } B A2 1 2 1 2 12 1) b( ) a( ) b( ) a(: ,k k t k t k t k t kk k+ = + = +e S S SR) cos( ) b() cos( ) a(| + e =o + e =t B tt A tMM{ }{ }|o= == =jMjMB tA te ) b(e ) a(SSBA9Propriet della trasformata di SteinmetzRegola di derivazione La trasformata della derivata di una funzione sinusoidale si ottiene moltiplicando per je la trasformata della funzione Dimostrazione:{ } A e = e =)`j t jdtd) a(aS S) cos( ) a( o + e = t A tM{ }o= =jMA t e ) a( S A|.|

\|t+ o + e e = o + e e =2cos ) sen(at A t AdtdM M{ } ) a( e e e ea22t j j A j A AdtdjMjjMjMS S e = e = e = e = e =)`oto|.|

\| t+ oA10Propriet della trasformata di SteinmetzRegola di derivazione Applicando ricorsivamente la regola di derivazione si possono ottenere le trasformate delle derivate di ordine superioreAA AA Annnnnjdtdjdtdj jdtdjdtdjdtdjdtd) (a a) (a a) (a a113 322332 222e =)` e =)`e = e =)` e =)`e = e =)` e =)`S SS SS S11Antitrasformata Noto il numero complesso rappresentativo A di una funzione sinusoidale e nota la pulsazione e, possibile determinare in modo univoco la funzione sinusoidale a(t) mediantela relazione Nota: Vale la relazionetgo = y/x ma questo non consente di affermare cheo = arctg(y/x) Dato che la funzione tangente ha periodo t esistono due valori di onellintervallo |t t| in cui la tangente ha lo stesso valorePer determinare o occorre tenere conto dei segni di x e y{ } | | ) arg( cos ) cos( ) a(1A A A + e = o + e = =t t A tMSjy x e AjaM+ = = A12Antitrasformata determinazione della fase13Antitrasformata determinazione della fase>=< =>= t< t += o+ =0 10 00 1) sgn(0 arctg0 ) sgn(20 ) sgn( arctg2 2yyyxxxyxyyyxyy x AMperperperperperpero= + =jMe A jy x A14Bipoli in regime sinusoidale Condizioni di regime sinusoidale Tensione e corrente orientate secondo la convenzione dellutilizzatore: Sfasamento fra tensione e corrente: m = mV mI) cos( ) i() cos( ) v(I MV Mt I tt V tm + e =m + e = { }{ }IVjMjMe I te V tmm= == =) i() v(SSIV15Resistore in regime sinusoidale) cos( ) v( ) i() cos( ) i( ) v(V MI Mt GV t G tt RI t R tm + e = =m + e = =V II VGR==0 = m m = m=I VM MRI V la tensione e la corrente sono in fase16Induttore in regime sinusoidale)2cos( ) sen(i) v(t+ m + e e = m + e e = =I M I Mt LI t LIdtdL t2 2t= mt+ m = me =I VM MLI Vla corrente in quadratura in ritardorispetto alla tensione17Induttore relazioni tra i fasoriL XLe =Reattanza:Suscettanza:LLX LB1 1 =e =dtdL ti) v( =V V II I VLLjBLjjX L j=e == e =118Condensatore in regime sinusoidale)2cos( ) sen(v) i(t+ m + e e = m + e e = =V M V Mt CV t CVdtdC t2 2t = mt m = me =I VM MCV Ila corrente in quadratura in anticiporispetto alla tensione19Condensatore relazioni tra i fasoriC BCe =Suscettanza:Reattanza:CCB CX1 1 =e =dtdC tv) i( =I I VV V ICCjXCjjB C j=e == e =120Impedenza e ammettenza Le relazioni tra i fasori della tensione e della corrente per ilresistore, linduttore e il condensatore sono casi particolari delle equazioniYV I ZI V = =ResistoreInduttoreCondensatoreComponenteCje1Lje1L jeC jeRGZ Y21Impedenza e ammettenza Pi in generale, per un bipolo lineare non contenente generatori indipendenti, la tensione e la corrente sono legate tra loro da relazioni differenziali lineari omogenee Per la propriet di linearit e la regola di derivazione della trasformata di Steinmetz, le corrispondenti relazioni tra i fasori della tensione e della corrente sono lineari algebriche omogenee, e quindi ancora del tipo Nel caso generale Z e Y sono funzioni complesse della pulsazioneYV I ZI V = =) ( ) ( ) ( e + e = e jX R Z) ( ) ( ) ( e + e = e jB G Y22Impedenza Per un bipolo lineare non contenente generatori si definisce impedenzail rapporto Il modulo dellimpedenza uguale al rapporto tra le ampiezze della tensione e della corrente Largomento dellimpedenza uguale allo sfasamento tra la tensione e la correntem= =jMMIVeIVMMIV= ZI Vm m = m = ) arg(ZjX R + = ZR = resistenzaX = reattanza (unit di misura ohm)m > 0 corrente in ritardo sulla tensionem < 0 corrente in anticipo sulla tensione23Ammettenza Il reciproco dellimpedenza detto ammettenza Valgono le relazionim = = =jMMVIe1VIZYjB G + = Y2 2) )( (1X RjX RjX R jX RjX RjX R += +=+= Y2 2 2 2 2 2Z ZXX RXBRX RRG =+ = =+=2 2 2 2 2 2Y YBB GBXGB GGR =+ = =+=2 21B GjB GjB G +=+= ZG = conduttanzaB = suscettanza(unit di misura siemens)24Analisi di circuiti in regime sinusoidaleEquazioni dei componenti Generatori indipendenti:sono note le tensioni o le correnti sono noti anche i loro fasori Bipoli lineari: Generatori dipendenti:per la propriet di linearit, le relazioni tra i fasori sonoGGI IV V==YV IZI V==1 2 1 21 2 1 2V V I VV I I Iu = == o =rg25Analisi di circuiti in regime sinusoidaleEquazioni dei collegamenti Le relazioni tra le grandezze funzioni del tempo sono espresse da equazioni algebriche lineari omogenee del tipo Per le propriet di unicit e di linearit della trasformata di Steinmetz Le leggi di Kirchhoff valgono anche per i fasori delle tensionie delle correnti= = kkkktt0 ) ( v0 ) ( i= = kkkk00VI{ } { } ) ( v ) ( i t tk k k kS S = = V I26Analisi di circuiti in regime sinusoidale Le equazioni di un circuito lineare in regime sinusoidale, scritte in termini di fasori, hanno la stessa forma delle equazioni di un circuito lineare resistivo in regime stazionario Le propriet e metodi di analisi dedotti a partire delle equazioni generali dei circuiti resistivi possono essere estesi ai circuiti in regime sinusoida-le con le sostituzioni: Resistenza Impedenza Conduttanza Ammettenza Tensione Fasore della tensione Corrente Fasore della corrente In particolare si possono estendere ai circuiti in regime sinusoidale le relazioni di equivalenza riguardanti collegamenti tra resistori o generatori (serie, parallelo, stella-triangolo, formule di Millman ecc.) i metodi di analisi generali (metodo delle maglie,metododei nodi e metodo degli anelli) il teorema di sovrapposizione i teoremi di Thvenin e Norton27Impedenze in serie e in parallelo Impedenze in serie Impedenze in parallelok k kkNkkI Z VI IV V====1===NkK SS1Z ZI Z Vk k kkNkkV Y IV VI I====1=== ===Nk kPPNkK PP1111 1ZYZY YV Y I28Partitore di tensione e di corrente Partitore di tensione Partitore di corrente==Nkkjj1ZZV V==Nkkjj1YYI I29Trasformazioni dei generatoriG G G GYV I ZI V = =30Equivalenza stella-triangolo23 13 1223 13323 13 1223 12223 13 1213 121Z Z ZZ ZZZ Z ZZ ZZZ Z ZZ ZZ+ +=+ +=+ +=13 2 3 1 2 12323 2 3 1 2 11333 2 3 1 2 112ZZ Z Z Z Z ZZZZ Z Z Z Z ZZZZ Z Z Z Z ZZ+ +=+ +=+ +=31Teorema di sovrapposizione Ipotesi: circuito lineare contenente NVgeneratori indipendenti di tensione vG1(t), ..., vGNV(t) NIgeneratori indipendenti di corrente iG1(t), ..., iGNI(t) tutti i generatori sono sinusoidali con la stessa pulsazione e condizioni di regime sinusoidale I fasori della tensione e della corrente del generico lato i sono combinazioni lineari dei fasori delle tensioni e delle correnti impresse dai generatori indipendenti = == =+ =+ =I VI VNkGk ikNkGk ik iNkGk ikNkGk ik i1 11 1I V y II z V V32Funzioni di rete I coefficienti delle combinazioni sono funzioni complesse della pulsazione e e sono detti funzioni di di rete Le funzioni di rete che mettono in relazione i fasori della tensione e della corrente dello stesso lato sono dette funzioni di immettenza Le funzioni di rete che mettono in relazione fasori di tensioni e correnti di lati diversi sono dette funzioni di trasferimentohk hGkiikGhGh == ==00IV VIyk hhGkiikGhGh= = ==00IV II(adimensionale)(ha le dimensioni di unimpedenza)(ha le dimensioni di unammettenza) (adimensionale)hk hGkiikGhGh == ==00IV VVk hhGkiikGhGh= = ==00IV IVz33Funzioni di immettenza Impedenza diingresso Ammettenza di ingressok hhGkkkGhGh= = == e00IN) (IV IVZhk hGkkkGhGh == =IN= e00) (IV VIY34Funzioni di trasferimento Rapporto di trasferimento di tensione Rapporto di trasferimento di correntehk hGkiikGhGh == == e00) (IV VVk hhGkiikGhGh= = == e00) (IV II35Funzioni di trasferimento Impedenza di trasferimento Ammettenza di trasferimentok hhGkiikGhGh= = == e00) (IV IVzhk hGkiikGhGh == == e00) (IV VIy36Teorema di Thvenin Ipotesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo A-B formato da componenti lineari e generatori indipendenti il bipolo A-B comandato in corrente Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di tensione V0in serie con unimpedenza Zeq V0 la tensione a vuoto del bipolo A-B Zeq limpedenza equivalente del bipolo A-B con i generatori indipendenti azzerati AB 0 ABI Z V Veq+ =37Teorema di Norton Ipotesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo A-B formato da componenti lineari e generatori indipendenti il bipolo A-B comandato in tensione Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di corrente Iccin parallelo con unammettenza Yeq Icc la corrente di cortocircuito del bipolo A-B Yeq lammettenza equivalente del bipolo A-B con i generatori indipendenti azzerati AB ABV Y I Ieq cc + =38N-porte lineari in regime sinusoidale Per un N-porte lineare in condizioni di regime sinusoidale le relazioni costitutive, in termini di fasori, sono del tipocon Nel caso di componenti resistivi i coefficienti delle matrici A e B sono reali, mentre nel caso di componenti dinamici, in generale, sonocomplessi Se il componente comandato in corrente oppure in tensione possibile rappresentarlo mediante parametri di impedenza o di ammettenza che costituiscono una generalizzazione dei parametri di resistenza e di conduttanza0 Bi Av = +

=

=

=

=NN NNNN NNN Nb bb ba aa aAIIiVVv 11 1111 11 1 139N-porte lineari in regime sinusoidale Matrice di impedenza Matrice di ammettenzaZi v =

=

=

=NN NNN Nz zz zZIIiVVv 11 11 1 1Yv i =

=

=

=NN NNN Ny yy yYIIiVVv 11 11 1 11 1 = = Y Z Z Yk hkjjkh= ==0 IIVzk hkjjkh= ==0 VVIy40Doppi bipoli lineari in regime sinusoidale Per i doppi bipoli lineari in regime sinusoidale possibile generalizzare anche le matrici ibride e di trasmissione Nel caso di componenti dinamici i coefficienti delle matrici, in generale, sono complessi

=

=

212122 2112 1121VIHVIh hh hIVMatrice ibrida

' =

' '' '=

212122 2112 1121IVHIVh hh hVIMatrice ibrida inversa

=

=

222211IVTIVD CB AIVMatrice di trasmissione

' =

' '' '=

111122IVTIVD CB AIVMatrice di trasmissione inversa41Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale Potenza assorbita dal bipolo| |m + m + m + e == m m + m + m + e == m + e m + e = =cos21) 2 cos(21) cos( ) 2 cos(21) cos( ) cos( ) i( ) v( ) p(M M I V M MI V I V M MI M V MI V t I Vt I Vt I t V t t tI VI MV Mt I tt V tm m = mm + e =m + e =) cos( ) i() cos( ) v(42Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale43Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale La potenza data dalla somma di un termine sinusoidale con pulsazione 2e (potenza fluttuante) e di un termine costante Lampiezza del termine oscillante Il termine costante rappresenta il valore medio sul periododella potenza istantaneacosm detto fattore di potenza Il fattore di potenza il rapporto tra il termine costante e lampiezza del termine oscillante A parit di ampiezza di v e i, il valore medio sul periodo della potenza istantanea aumenta al crescere del fattore di potenzam = =TM M mI V dt tTp0cos21) p(1M MI V2144Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale Il fattore di potenza cosm vale 1 se la tensione e la corrente sono in fase (m = 0) Aumentando |m| il fattore di potenza si riduce fino ad annullarsi quando tensione e corrente sono in quadratura Per |m| > t/2 il fattore di potenza diventa negativo e vale 1 se la tensione e la corrente sono in opposizione di fasecosm > 0 in ogni semiperiodo lenergia assorbita dal bipolo > 0cosm < 0 in ogni semiperiodo lenergia assorbita dal bipolo < 0questa condizione si pu verificare solo se il bipolo attivoper un bipolo passivo si ha necessariamente cosm > 045Potenza assorbita da un resistore( ) | |V M Mt I V t m + e + = 2 2 cos 121) p(2 2212121M M M M mGV RI I V p = = = 0 = m46Potenza assorbita da un induttore|.|

\|t m + e e =|.|

\|t m + e =22 2 cos2122 2 cos21) p(2V M V M Mt LI t I V t0 cos21= m =M M mI V p2t= m47Potenza assorbita da un condensatore|.|

\|t+ m + e e =|.|

\|t+ m + e =22 2 cos2122 2 cos21) p(2V M V M Mt CV t I V t0 cos21= m =M M mI V p2t = m48Componenti attiva e reattiva della corrente Nel caso generale, si pu scomporre la corrente istantanea nellasomma di due termini: uno in fase con la tensione (come nei resistori) componente attiva: iA(t) uno in quadratura con la tensione (come negli induttori e nei condensatori) componente reattiva: iR(t) ) ( i) 2 / cos( sen) ( i) cos( cos) sen( sen ) cos( cos] ) ( ) cos[() cos( ) i(tt Itt It I t It It I tRV MAV MV M V MI V V MI Mt m + e m + m + e m == m + e m + m + e m ==mm m m + e == m + e =49Componenti attiva e reattiva della correnteRappresentazione nel piano complessoVVVjMjM RjM AI j IIm|.|

\| t mmm = m =m =e sen e sene cos2II50Potenza istantanea attiva e reattiva Scomposizione della potenza istantanea Potenza istantanea attiva Potenza istantanea reattiva| | ) ( p ) ( p ) ( i ) v( ) ( i ) v( ) ( i ) ( i ) v( ) p( t t t t t t t t t tR A R A R A+ = + = + =| || | ) 2 2 cos( 1 cos21) cos( cos) cos( cos ) cos( ) ( p2V M MV M MV M V M At I Vt I Vt I t V tm + e + m == m + e m == m + e m m + e =) 2 2 ( sen sen21) ( sen sen ) cos( ) ( pV M MV M V M Rt I Vt I t V tm + e m == m + e m m + e =51Potenza istantanea attiva e reattiva52Potenza istantanea attiva e reattiva La potenza istantanea attiva non cambia mai segno (se cosm > 0 sempre > 0)flusso unidirezionale di energia (dallesterno verso il bipolo se cosm > 0) La potenza istantanea reattiva una funzione sinusoidale del tempo con pulsazione 2elenergia ad essa associata fluisce alternativamente dallesterno verso il bipolo e viceversain un intervallo di durata pari a un semiperiodo di v e i, lenergia complessivamente scambiata tra il circuito e il bipolo nulla53Potenza attiva Potenza attiva:valore medio sul periodo della potenza istantanea attiva = valore medio sul periodo della potenza istantanea (unit di misura watt, W) Un intervallo At >> T pu essere approssimato con un numero intero di periodi Lenergia assorbita da un bipolo in un intervallo di durata molto grande rispetto al periodo pu essere ottenuta dalla relazionem = = = cos21) p(1) ( p10 0M MT TAI V dt tTdt tTPt P t waA ~ A ) , 0 (54Potenza reattiva Potenza reattiva: valore massimo della potenza istantanea reattiva col segno di m Lunit di misura della potenza reattiva il volt-ampere reattivo (VAR)Q un indice dellentit degli scambi energetici associati alla potenza istantanea reattiva Convenzionalmente si attribuisce segno + alla potenza reattiva assorbita dagli induttori segno alla potenza reattiva assorbita dai condensatori| | m = m = sen21) sgn( ) ( p maxM M RI V t Q55Potenza apparente Potenza apparente: definita dalla relazione Lunit di misura della potenza apparente il volt-ampere (VA) La potenza apparente coincide con lampiezza del termine oscillante della potenza istantaneaS dipende solo dalle ampiezze della tensione e della correnteM MI V S21=56Triangolo delle potenze Rappresentazione grafica delle relazioni tra potenza attiva reattiva e apparentem =m =m =+ =tgsencos2 2P QS QS PQ P S57Potenza complessa Si definisce potenza complessa la quantit Inserendo le espressioni di V e I si ottiene Quindi si ha*21VI N =jQ P I V j I VI V I VM M M MjM MjMjMI V+ = m + m == = =m m msen21cos21e21e e21N| || | Q I VP I VM MM M= m == m =sen21Imcos21ReNNm == =) arg(21NN S I VM M58Conservazione delle potenze complesse(Teorema di Boucherot) Ipotesi: Circuito con l lati Versi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione dellutilizzatore Condizioni di regime sinusoidale Vk, Ik (k = 1, ..., l) = fasori delle tensioni e delle correnti La somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del circuito nulla Le somme delle potenze attive e delle potenze reattive assorbite dai componenti sono nulle Dimostrazione: I fasori Vke Iksoddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle correnti soddisfano la LKI, anche i loro coniugati la soddisfanoLa propriet deriva direttamente dal teorema di Tellegen0211*1 = == =lkk klkkI V N 0 01 1= = = =lkklkkQ P59Additivit delle potenze complesse Si assume che il lato l del circuito sia costituito da un bipolo Si divide il circuito in due parti una formata dal solo lato l una formata dagli altri lati (che complessivamente costituiscono un bipolo) Per il teorema di Boucherot vale la relazione Nl la potenza erogata dal bipolo l, cio la potenza assorbita dal bipolo formato dagli altri componenti La potenza complessa assorbita da un bipolo formato da pi compo-nenti collegati tra loro pari alla somma delle potenze assorbite dai singoli componenti La stessa propriet vale per le potenze attive e per le potenze reattive ==== = = 111111,lkk llkk llkk lQ Q P P N N60Potenza complessa in funzione di Z e Y2 2*2 22 2*2 22* *2* *2121Im2121Im2121Re2121Re21) (21212121V V Y I I ZV V Y I I ZV Y YV V I Z ZII VI NB X QG R P =

= =

==

= =

== = = = =V YV II ZI V) () (jB GjX R+ = =+ = =0 , 0 00 , 0 0< > >> > >B X QG R P61Segni delle parti reali e immaginarie di Z e Y Si considera un bipolo formato da componenti R, L, C passivi Dalle espressioni delle potenze complesse in funzione di Z e Y e dalla propriet di additivit delle potenze, a seconda del tipo dicomponenti contenuti nel bipolo, si ricavano le seguenti condizioni:Re[Z] Im[Z] Re[Y] Im[Y] P Q> 0 = 0 > 0 = 0 > 0 = 0= 0 > 0 = 0 > 0 = 0 < 0= 0 < 0 = 0 < 0 = 0 > 0> 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0> 0 < 0 > 0 < 0 > 0 > 0= 0 = 0 = 0ComponentiRLCR-LR-CL-C> 0 > 0 > 0 R-L-C62Valori efficaci Si definisce valore efficace di una funzione a(t) periodica di periodo T la quantit In particolare, se a(t) sinusoidale, risulta=Teffdt tTA02) ( a12)] 2 2 cos( 1 [2 2) ( cos2202202 2M MM effAdt tAdt t A A= m + e +te== m + ete=etet63Valori efficaci Espressioni della potenza attiva e reattiva in funzione dei valori efficaci Potenza assorbita da un resistore Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale corrisponde al valore di una tensione (corrente) costante che applicata a un resistore d luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sul periodo della potenza assorbita dal resistore in regime sinusoidalem = m =m = m = m =sen sen21cos cos2 2cos21eff eff M Meff effM MM MI V I V QI VI VI V P2 2eff effGV RI P = =64Valori efficaci E possibile definire la trasformata di Steinmetz anche facendo riferimento ai valori efficaci invece che ai valori massimi La trasformata cos definita conserva le stesse propriet della trasformata basata sui valori massimi Le impedenze e le ammettenze (essendo definite come rapporti tra fasori) non cambiano se si fa riferimento ai valori efficaci Lespressione della potenza complessa diviene{ } ) sen (cos2 2) a( o + o = = =ojAeAtMjMe eS A{ } ) cos( Re 2 Re ) a( ] [ ] [) ( 1o + e = = = =o + e e t A e A e tMt jMt je e eA A S*e eI V N =65Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva Si considera un bipolo formato da un generatore di tensione sinusoidale VGin serie con un impedenza Z caricato da unimpedenza ZC Al variare di ZC, la potenza attiva ceduta al carico massima quando vale la condizione ZC = Z* (adattamento coniugato) In queste condizioni la potenza attiva (potenza disponibile) valejX R + = ZC C CjX R + = ZRVRVRPGeffGMGd4 8 8222= = = V66Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (1) Corrente e tensione nel carico Potenza attiva ceduta al carico Al variare di XCil denominatore minimo (e quindi PC massimo) se In queste condizioniCGZ ZVI+=CC GZ Z Z VV+=( ) ( )| |] ) ( ) [( 22Re21Re2 2222**C CC GCC GCGCC GCX X R RRP+ + +=+=

++=VZ ZZ VZ Z VZ Z Z VX XC =22) ( 2CCGCR RRP+= V67Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (2) Al variare di PCil massimo si ottiene percio RC = R infatti:PC positivo per RC> 0 e si annulla per R 0 e R la derivata di PCsi annulla solo per RC = Rquesto punto deve corrispondere a un massimo Quindi deve essere RC = R, XC = X ZC = Z* In queste condizioni si ha0) () ( 2 ) (2422=++ +=ccCC C CGCCR RR R R R RRPVR R RRP PG Gd C8 ) ( 2222maxV V=+= =68Rendimento In condizioni di adattamento coniugato la potenza attiva erogata dal generatore vale Il rendimento n definito come rapporto tra la potenza attiva erogata dal generatore e la potenza attiva ceduta al carico La condizione di adattamento coniugato non rappresenta una soluzione ottimale nel caso in cui importante ottenere rendimenti elevatiR RPGGG G4 2Re212*VVV =

=5 . 04822= = = nGGGCRR PPVV69Rifasamento Distribuzione dellenergia elettrica (schema semplificato) Impedenza equivalente della linea: Condizioni di funzionamento ottimali: Ampiezza della tensione sul carico praticamente indipendente dalla corrente (normalmente gli utilizzatori sono progettati facendo riferimento a un valore nominale della tensione sono tollerati scostamenti di pochi percento dal valore nominale prefissato) Minima dissipazione di potenza nella lineaL L LjX R+ = ZLinea di distribuzioneGeneratore Utilizzatore70Rifasamento Al crescere dellampiezza della corrente I nella linea si riduce lampiezza della tensione sul V carico aumentano le perdite per effetto Joule lungo la linea2M L L21I R P=I Z V VL G M = = VLinea di distribuzioneGeneratore Utilizzatore71Rifasamento Fissata lampiezza tensione VM, a parit di potenza attiva P assorbita dal carico lampiezza della corrente inversamente proporzionale al fattore di potenza Lampiezza della componente attiva dellacorrente fissata dal valore della potenzaattiva Al diminuire del fattore di potenza (cioallaumentare dellangolo m) aumentalampiezza della componente reattivadella corrente (e quindi lampiezza dellacorrente totale) Per ridurre le perdite occorre aumentare il fattore di potenza del caricom=cos2MMVPI72Rifasamento Un basso fattore di potenza risulta svantaggioso per il fornitore di energia elettrica Se il valore medio mensile del fattore di potenza risulta inferiore a certi limiti vengono applicate delle maggiorazioni sul costo dellenergia Le norme attuali, per impianti a bassa tensione con potenza impegnata > 15 kW, prevedono: per cosm > 0.9 nessuna penale per 0.7 s cosm < 0.9 pagamento di una penale commisurata al rapporto tra lintegrale della potenza reattiva (energia reattiva) e quello della potenza attiva (energia attiva) nel periodo di fatturazione i limiti sono prossimi ai valori di cosm per cui lenergia attiva e quella reattiva sono uguali (cosm ~ 0.707) e lenergia reattiva pari al 50% dellenergia attiva (cosm ~ 0.894) per cosm < 0.7 obbligo da parte dellutente di prendere provvedi-menti per aumentare il fattore di potenza73Rifasamento Per aumentare il fattore di potenza si ricorre al rifasamento del carico Si collega in parallelo allutilizzatore un bipolo puramente reattivo con reattanza di segno opposto a quella del utilizzatore stesso Se il carico ohmico-induttivo XU > 0, m > 0 (caso pi comune) la reattanza XRdeve essere negativa ( condensatore)74Rifasamento Dimensionando opportunamente la reattanza XR si pu fare in modo che gli scambi di potenza reattiva avvengano prevalentemente tra il carico e il bipolo di rifasamento, riducendo gli scambi di potenza reattiva con il generatore la componente reattiva IRdella corrente nel carico circoli prevalen-temente nel bipolo di rifasamento, riducendo lampiezza della cor-rente reattiva I'Rnella linea75Rifasamento La potenza reattiva assorbita complessivamente dal carico e dal bipolo di rifasamento Per portare il fattore di potenza da cosm ad un valore accettabile cosm'la potenza reattiva assorbita dal bipolo di rifasamento deve essere Se il bipolo di rifasamento un condensatore (capacit = CR) si ha Quindi la capacit di rifasamento vale2 2MR) tg (tg ) tg (tg 2effVPVPCem' m=em' m=2M R R21V C Q e =RQ Q Q + = ') ( ) (Rm m' = ' = tg tg P Q Q Q76Risonanza serie Bipolo RLC serie in regime sinusoidale Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione e Pulsazione di risonanza: Per e = e0Im[Z] = 0|Z| minimoarg(Z) = 0|.|

\|e e + =e+ e + =CL j RC jL j R1 1Z221|.|

\|e e + =CL R ZRCLe e=1arctg ) arg(ZLC10 = e77Risonanza serie|.|

\|e e + =CL j R1Z221|.|

\|e e + =CL R Z e < e0 prevale la reattanza capacitiva e > e0 prevale la reattanza induttiva e = e0 la reattanza si annulla78Risonanza serie e < e0 la corrente in anticipo sulla tensione e > e0 la tensione in anticipo sulla corrente e = e0 la tensione e la corrente sono in faseRCLe e=1arctg ) arg(Z79Risonanza serie80Risonanza serie Potenza complessa assorbita: Potenza attiva: Potenza reattiva:e < e0 Q < 0e > e0 Q > 0e = e0 Q = 022)1(2121MICL j R

e e + = = I Z N221MRI P =2 22121M MICLI Qe e =81Risonanza serie Corrente nellinduttore: Energia nellinduttore: Tensione del condensatore: Energia nel condensatore: In condizioni di risonanza: In condizioni di risonanza lenergia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante) cos( ) i( ) ( iI M Lt I t t m + e = =) ( cos ) ( i ) ( w2 221221I M Lt LI t L t m + e = =) sen(1) ( v1I M C Ct ICtCj m + ee=e = I V) ( sen2 1) ( v ) ( w2 22221I M C Ct ICt C t m + ee= =) ( sen ) ( sen21) ( w02 20 2102 20 20I M I M Ct LI t ICt m + e = m + ee=20 21) ( w ) ( wM C LLI t t = +82Fattore di merito In condizioni di risonanza, si definisce fattore di merito la quantit Per un bipolo RLC serie, se lampiezza della corrente in condizioni di risonanza IM0si ottiene Lespressione dellimpedenza del bipolo pu essere posta nella formaRC RLT RILIQMM00020 2120 21012e=e=t =

||.|

\|eeee+ =

|.|

\|ee+ =|.|

\|e e + =0001111jQ RRC RLj RCL j R Z||.|

\|et=002Tt = 20QEnergia accumulataEnergia dissipata in un periodo83Curve di risonanza Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie, di solito si considera la funzione di trasferimento Se V fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la corrente nel bipolo al variare di e e la corrente in condizioni di risonanza I0||.|

\|eeee+= = = e00011) (jQRRZ VVH0) (IIH = e84Curve di risonanza85Curve di risonanza86Larghezza di banda Se V fissato, lampiezza della corrente nel bipolo, e quindi la potenza attiva assorbita, sono massime per e = e0 In queste condizioni si ha La potenza attiva assorbita pu essere espressa in funzione di e come Larghezza di banda (a met potenza), B: ampiezza dellintervallo compreso tra le pulsazioni e1e e2per cui risulta P = P0/2 Allaumentare di Q0il modulo di H(e) presenta un picco sempre pistretto nellintorno di e0 La larghezza di banda diminuisce con laumentare del fattore di merito20202121MMRIRVP = =022022) ( ) (2121P I R RI PM Me = e = = H H1 2e e = B87Larghezza di banda La potenza attiva assorbita dal bipolo vale P = P0/2 se verificata la relazione Le soluzioni positive di questa equazione sono Quindi si ha Per valori sufficientemente elevati di Q0(in pratica per Q0 10), si pu ritenere1000 =||.|

\|eeeeQ020002= e + ee eQ||.|

\|+ + e = e e200 2 141121,oQ Q001 2QBe= e e =2 211 ,000 2 1BQ e =||.|

\| e ~ e eRCRLB20e = =88Risonanza parallelo Bipolo RLC parallelo in regime sinusoidale Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione e Pulsazione di risonanza: Per e = e0Im[Y] = 0|Y| minimoarg(Y) = 0LC10 = e|.|

\|e e + =e+ e + =LC j GL jC j G1 1Y221|.|

\|e e + =LC G YGLCe e=1arctg ) arg(Y89Risonanza parallelo|.|

\|e e + =LC j G Y1221|.|

\|e e + =LC G Y e < e0 prevale la suscettanza induttiva e > e0 prevale la suscettanza capacitiva e = e0 la suscettanza si annulla90Risonanza parallelo e < e0 la tensione in anticipo sulla corrente e > e0 la corrente in anticipo sulla tensione e = e0 la tensione e la corrente sono in faseGLCe e=1arctg ) arg(Y91Risonanza parallelo92Risonanza parallelo Potenza complessa assorbita: Potenza attiva: Potenza reattiva:e < e0 Q > 0e > e0 Q < 0e = e0 Q = 022*)1(2121MVLC j G

e e = = V Y N221MGV P =2 22121M MCV VLQ e e=93Risonanza parallelo Tensione del condensatore: Energia nel condensatore: Corrente nellinduttore: Energia nellinduttore: In condizioni di risonanza: In condizioni di risonanza lenergia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante) cos( ) v( ) ( vV M Ct V t t m + e = =) ( cos ) ( v ) ( w2 221221V M Ct CV t C t m + e = =) sen(1) ( i1V M L Lt VLtLj m + ee=e = V I) ( sen2 1) ( i ) ( w2 22221V M L Lt VLt L t m + ee= =) ( sen ) ( sen21) ( w02 20 2102 20 20V M V M Lt CV t VLt m + e = m + ee=20 21) ( w ) ( wM C LCV t t = +94Fattore di merito Per un bipolo RLC parallelo il fattore di merito In questo caso lammettenza pu essere espressa comeLG GCT GVCVQMM00020 2120 21012e=e=t =

||.|

\|eeee+ =

|.|

\|ee+ =|.|

\|e e + =0001111jQ GLG GCj GLC j G Y95Larghezza di banda Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie, di solito si considera la funzione di trasferimento Se I fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la tensione nel bipolo al variare di e e la tensione in condizioni di risonanza V0 Landamento di H in funzione di e coincide con quello visto per il bipolo RLC serie La larghezza di banda in questo caso vale||.|

\|eeee+= = = e00011) (jQGRY IIH0) (VVH = eLGGCQB2000e = =e=