ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ proprietà Dato Ω lo spazio di tutti gli eventi e A,B ⊆...

ELEMENTI DI CALCOLO

DELLE PROBABILITA’Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale

X viene descritto attraverso una funzione parametrica di probabilità pX(x | θ) dove θ è

l’insieme dei parametri che caratterizza la popolazione. In questo contesto, i dati

osservati o raccolti rappresentano possibili realizzazioni della variabile casuale avvenute

attraverso esperimenti casuali. Data la legge pX(x | θ), possiamo calcolare la

probabilità/densità di probabilità per ogni realizzazione X = x o insieme di realizzazioni

X1 = x1, . . . , Xn = xn.

Statistica, CLEA – p. 1/55

Esperimento casuale

L’esperimento casuale è un esperimento il cui risultato non si può determinare con

certezza. Ad esempio:

risultato del lancio di una moneta

colore di una pallina estratta da un’urna contente palline di vario colore

numeri estratti per il gioco del lotto

Ciò che si può fare è calcolare la probabilità di ogni relizzazione dell’esperimento. Si

necessita:

spazio di tutti i possibili eventi Ω

variabile aleatoria X

distribuzione di probabilità pX(x | θ)


Spazio degli eventi Ω

Definiamo con Ω, l’insieme di tutti i possibili eventi elementari ω che si possono

realizzare da un esperimento casuale. Consideriamo gli esperimenti

k lanci consecutivi di una moneta

k estrazioni da un’urna contenente palline bianche e nere


k = 1 k = 2 k = 3

T TT TTT

C TC TTC

CT TCT

CC CTT

TCC

CCT

CTC

CCC


k = 1 k = 2 k = 3

B BB BBB

N BN BBN

NB BNB

NN NBB

BNN

NNB

NBN

NNN


Insiemi di eventi

Consideriamo 3 lanci consecutivi di una moneta. L’insieme degli eventi elemenatari ω:

Ω = TTT, TTC, TCT, CTT, TCC,CCT,CTC,CCC

Altri eventi

almeno una volta testa: A = TTT, TTC, TCT, CTT, TCC,CCT,CTCdue volte croce: B = TCC,CCT,CTCal massimo una volta testa: C = TCC,CCT,CTC,CCCtre volte croce, coincide con un evento elementare: ω = CCC


Operazione fra insiemi di eventi

Consideriamo 2 eventi in Ω = TTT, TTC, TCT, CTT, TCC,CCT,CTC,CCC:

A = TCC,CCT,CTC, B = TTT, TCC,CTC,CCC

UNIONE di eventi A ∪ B: insieme di eventi in A o in B

A ∪B = TCC,CCT,CTC, TTT, CCC

INTERSEZIONI di eventi A ∩B: insieme di eventi in A e in B

A ∩B = TCC,CTC

NEGAZIONE di eventi A: insieme di eventi che non sono in A

Ω \A = TTT, TTC, TCT, CTT, CCC


Alcune proprietà

Dato Ω lo spazio di tutti gli eventi e A,B ⊆ Ω, con A,B 6= ∅A ∪B non è mai un insieme vuoto ∅A ∩B può essere un insieme vuoto, allora A e B sono due eventi incompatibili,

non si possono verificare contemporaneamente

dati k eventi H1, . . . , Hk fra loro incompatibili, Hi ∩Hj = ∅, i, j = 1, . . . , k, sono

anche esaustivi se

Ω = H1 ∪H2 ∪ · · · ∪Hk

A = ∅, se e solo se A ≡ Ω

A è un evento impossibile se non può mai verificarsi, quindi A * Ω

A è un evento certo se si verifica sempre, ad esempio: A ≡ Ω

dato A, l’evento complementare è l’evento negato A = Ω \ A


Eventi condizionati

Condizionare significa ridurre lo spazio Ω poiché si è verificato l’evento B ⊆ Ω, per cui

B diventa un evento certo

B = Ω \B è un evento impossibile

Consideriamo nello spazio Ω = TTT, TTC, TCT, CTT, TCC,CCT,CTC,CCCA = TTT, TTC, TCT, CTT: almeno due volte testa

C = TTC, TCT, CTT, TCC,CCT,CTC,CCC: almeno 1 volta croce

D = CCT,CCC: i primi due lanci croce

Supponiamo di conoscere l’esito del primo lancio che è T : evento certo B= testa al

primo lancio e evento impossibile B= non testa al primo lancio. Lo spazio degli eventi

possibili diventa

Ω | B = TTT, TTC, TCT, TCC

da cui gli eventi condiziontati sono relativi non a Ω, ma a Ω | BA | B = TTT, TTC, TCTC | B = TTC, TCT, TCCD | B = ∅ è un evento impossibile perché D e B sono incompatibili


Probabilità: approccio classico

Approccio classico:

se tutti i casi sono equiprobabili, la probabilità di ogni evento A è il rapporto

P (A) =numero dei casi favorevoli all’evento

numero di tutti i casi possibili

Esempi di esperimenti casuali con risultati equiprobabili:

lancio di un dado

P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6

lancio di una moneta non truccata

P (T ) = P (C) = 1/2 = 0.5

estrazione di un numero da 1 a 90

P (1) = P (2) = · · · = P (90) = 1/90


Esempio

Consideriamo lo spazio Ω = TTT, TTC, TCT, CTT, TCC,CCT,CTC,CCCA = TTT, TTC, TCT, CTT: due volte testa

P (A) = 4/8 = 0.5

C = TTC, TCT, CTT, TCC,CCT,CTC,CCC: almeno 1 volta croce

P (C) = 7/8 = 0.875

D = CCT,CCC: i primi due lanci croce

P (D) = 2/8 = 0.25


Probabilità condizionata

Supponiamo di conoscere l’esito del primo lancio che è T . Lo spazio degli eventi

possibili diventa

Ω | B = TTT, TTC, TCT, TCC

A | B = TTT, TTC, TCT

P (A | B) = 3/4 = 0.75

C | B = TTC, TCT, TCC

P (C | B) = 3/4 = 0.75

D | B = ∅P (D | B) = 0


Assiomi e proprietà

La probabilità è una funzione definita sullo spazio degli eventi Ω che associa ad ogni

evento A ⊆ Ω un numero reale P (A)

0 ≤ P (A) ≤ 1

la prob. di un evento certo è 1: P (Ω) = 1

la prob. di un evento impossibile è 0, ma viceversa non è vero

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

P (A ∪B) = P (A) + P (B) se A ∩B = ∅P (A) = 1− P (A)

P (A ∩B) = P (A | B)P (B) = P (B | A)P (A), da cui

P (A | B) = P (A ∩B)/P (B)

P (A ∩B) = P (A)P (B) se e solo se A e B sono indipendenti, da cui

P (A | B) = P (A) e P (B | A) = P (B)


Indipendenza

Due eventi A e B sono indipendenti, A⊥⊥ B se e solo se

P (A ∩B) = P (A)P (B)

Questo vuol dire che il verificarsi di B non influisce sulla probabilità di A e viceversa

P (A | B) =P (A ∩B)

P (B)=

P (A)P (B)

P (B)= P (A)

P (B | A) =P (A ∩B)

P (A)=

P (A)P (B)

P (A)= P (B)

N.B. Se due eventi A e B con probabilità positive sono incompatibili, sicuramente

non sono indipendenti, poiché se A e B sono incompatibili, A | B = ∅, quindi

P (A | B) = 0 6= P (A).

Analogamente, se due eventi sono indipendenti sono necessariamente compatibili.


Teorema delle probabilità totali

Siano E1, . . . , Ek k eventi esaustivi ed incompatibili

Ω = E1 ∪ · · · ∪ Ek

Ej ∩ Ei = ∅, i, j = 1, . . . , k

Dato un qualunque evento B ⊆ Ω

P (B) = P (B ∩ E1) + · · ·+ P (B ∩ Ek)

P (B) = P (B | E1)P (E1) + · · ·+ P (B | Ek)P (Ek)

Esempio. Ci sono k urne E1, . . . , Ek contenenti palline bianche e nere. La probabilità di

estrarre una pallina bianca considerando che la scelta delle urne è equiprobabile

P (Ei) =1

k, P (B | Ei) =

numero palline bianche in Ei

numero palline in Ei

P (B) =numero palline bianche in E1

numero palline in E1

1

k+ · · ·+ numero palline bianche in Ek

numero palline in Ek

1

k


Teorema di Bayes

Consideriamo un modo alternativo di calcolare la probabilità condizionata

P (A | B) =P (B ∩A)

P (B)=

P (B | A)P (A)

P (B | A)P (A) + P (B | A)P (A)

dove il denominatore si può calcolare col teorema delle probabilità totali

Interpretazione: supponiamo che l’evento B sia l’EFFETTO che può essere causato da

tanti eventi E1, . . . , Ek che sono CAUSE esaustive e disgiunte

P (CAUSAi | EFFETTO) =P (EFFETTO | CAUSAi)P (CAUSAi)

P (EFFETTO)

P (Ei | B) =P (B | Ei)P (Ei)

P (B)=

P (B | Ei)P (Ei)

P (B | E1)P (E1) + · · ·+ P (B | Ek)P (Ek)

P (Ei): probabilità a priori della CAUSA (scegliere l’urna Ei)

P (Ei | B): probabilità a posteriori della CAUSA Ei dato l’EFFETTO B (estratta

pallina bianca)


Variabile aleatoria X

Una variabile aleatoria X è una funzione definita sullo spazio Ω che associa un numero

reale X(ω) = x ad ogni elemento elementare ω ∈ Ω.

X: numero di volte testa

X: numero di palline nere

Spazio degli eventi Ω e var. aleatoria X Spazio degli eventi Ω e var. aleatoria X

k = 1 X k = 2 X k = 3 X k = 1 X k = 2 X k = 3 X

T 1 TT 2 TTT 3 B 0 BB 0 BBB 0

C 0 TC 1 TTC 2 N 1 BN 1 BBN 1

CT 1 TCT 2 NB 1 BNB 1

CC 0 CTT 2 NN 2 NBB 1

TCC 1 BNN 2

CCT 1 NNB 2

CTC 1 NBN 2

CCC 0 NNN 3

N.B. Con X indichiamo una var. aleatoria, con x una possibile realizzazione.


Variabile aleatoria discreta

Una variabile aleatoria X descrive il comportamento di un fenomeno a

prescindere della realizzazione del singolo esperimento casuale

dopo la realizzazione dell’esperimento casuale, la variabile aleatoria assume un

valore certo X = x

la variabile aleatoria è DISCRETA se X assume un’infinità numerabile di valori

numero di volte testa in 3 lanci de una moneta

numero di palline bianche estratte da un’urna

numero di prodotti difettosi al giorno

numero di auto al casello ogni giorno etc...


Distribuzione di probabilità pX(x)

Data una var. aleatoria X discreta, la distribuzione di probabilità pX(x) è una funzione

che associa ad ogni x la probabilità di verificarsi

p(x) = P (X = x)

p(x) ≥ 0∑

i p(xi) = 1

-1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

numero di figli

pro

ba

bili

tà

N.figli

X 0 1 2 3 4 tot

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04 1.00


Funzione di ripartizione

F (x) = P (X ≤ x) =∑

xi≤x

p(xi)

è non decrescente, continua a destra, limx→−∞ F (x) = 0,limx→∞ F (x) = 1

-1 0 1 2 3 4 5 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Funzione di ripartizione

numero di figli

frequenze r

el. c

um

ula

te

N.figli

X 0 1 2 3 4

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04

F (x) 0.24 0.71 0.88 0.96 1.00


Valore atteso e varianza

Il valore atteso di una variabile casuale X discreta è

E(X) = µX =∑

i

xip(xi)

E(X) = µX = 0× 0.24 + 1× 0.47 + 2× 0.17 + 3× 0.08 + 4× 0.04 = 1.21

La varianza di una variabile casuale X discreta è

V(X) = E(X − µX)2 =∑

i

(xi − µX)2p(xi)

V(X) = 1.46×0.24+0.04×0.47+0.62×0.17+3.20×0.08+7.78×0.04 = 1.04

N.figli

X 0 1 2 3 4

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04

(xi − µX)2 1.46 0.04 0.62 3.20 7.78


Varianza e deviazione standard

La varianza si può calcolare anche

V(X) = E(X2)− µ2x =

∑

i

x2i p(xi)− µ2

X

V(X) = 0× 0.24 + 1× 0.47 + 4× 0.17 + 9× 0.08 + 16× 0.04− 1.212 = 1.04

la deviazione standard è

SD(X) =√

V(X) =√1.04 = 1.01

N.figli

X 0 1 2 3 4

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04

x2i 0 1 4 9 16


Indipendenza fra var. casuali

Date 2 variabili casuali X e Y rispettivamente con legge di probabilità pX(x) e pY (x), la

distribuzione della variabile congiunta (X,Y ) è

pXY (x, y) = pX(x)× pY (y) ⇐⇒ X ⊥⊥ Y

Esempio. Consideriamo il lancio di una moneta per cui P (1) = 0.2 e P (0) = 0.8 dove 1

indica il successo T e 0 l’insuccesso C. Consideriamo le variabili

X= risultato del primo lancio

Y = risultato del secondo lancio

Dato che i due lanci sono indipendenti, possiamo calcolare pXY (x, y)

pXY (X = 1, Y = 0) = pX(1)× pY (0) = 0.2× 0.8

pXY (X = 0, Y = 1) = pX(0)× pY (1) = 0.8× 0.2

pXY (X = 1, Y = 1) = pX(1)× pY (0) = 0.2× 0.2

pXY (X = 0, Y = 0) = pX(1)× pY (0) = 0.8× 0.8


Combinazioni lineari di var. casuali

Date n variabili casuali Xi ognuna distribuita con una legge di probabilità pXi(xi) con

un certo valore atteso E(Xi) e una certa varianza V(Xi), consideriamo la variabile

casuale Y ottenuta come combinazione lineare

Y =n∑

i=1

aiXi + bi, dove ai, bi sono costanti

Se le Xi sono tutte indipendenti fra loro

E(Y ) =n∑

i=1

aiE(Xi) + bi, V(Y ) =n∑

i=1

a2iV(Xi)

Esempio. Siano due variabili casuali indipendenti X e Z con E(X) = 8, V(X) = 0.5 e

con E(Z) = 0.4, V(Z) = 0.01. Consideriamo

Y = 3X − 4Z + 5

E(Y ) = 3× 8− 4× 0.4 + 5, V(Y ) = 9× 0.5 + 16× 0.01


Alcune variabiabili casuali discrete

X ∼ U(a, b) Uniforme, a ≤ x ≤ b

X ∼ Be(π) Bernoulli, x = 0, 1

X ∼ Bin(n, π), Binomiale, 0 ≤ x ≤ n

X ∼ Po(λ), Poisson, x ≥ 0

N.B. I valori a, b, n, π e λ sono i parametri che caratterizzano la distribuzione di

probabilità che descrive il comportamento della variabile casuale X nella popolazione.


Distribuione discreta Uniforme

La variabile casuale discreta X assume un numero finito di valori x1, . . . , xK ed assume

probabilità costante per ogni xi

p(xi) =1

K, F (x) =

num. di xi ≤ x

K, i = 1 . . . ,K

Esempio: X = lancio di un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 ha una distribuzione uniforme discreta

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Distribuzione uniforme discreta

X

pro

ba

bili

tà

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Distribuzione uniforme discreta

X

Funz. ripart

izio

ne


Distribuzione di Bernoulli (1)

La variabile casuale discreta X ∼ Be(x | π), dove π è la probabilità di successo,

assume due valori

x = 1: successo

x = 0: insuccesso

p(x) = πx(1− π)1−x, 0 ≤ π ≤ 1

x = 1, p(x) = π, prob. successo

x = 0, p(x) = 1− π, prob. insuccesso

E(X) = µx = 1× π + 0× (1− π) = π

V(X) = E(X2)− µ2X = 1× π + 0× (1− π)− π2 = π(1− π)

Esempio: consideriamo una moneta truccata per cui la probabilità di successo (T ) è

π = 0.7

P (X = 1) = 0.71 × 0.31−1 = 0.7

P (X = 0) = 0.70 × 0.31−0 = 0.3


Distribuione di Bernoulli (2) (nei grafici p si legga π)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1Distribuzione di Bernoulli

X

pro

babilità

p = 0.8

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8


X

pro

babilità

p = 0.3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


X

pro

ba

bili

tà

p = 0.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8


X

Funz. ripart

izio

ne

p = 0.8

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8


X

Funz. ripart

izio

ne

p = 0.3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


X

Fu

nz.

rip

art

izio

ne

p = 0.5


Distribuzione Binomiale (1)

La variabile casuale discreta X ∼ Bin(x | n, π), dove π è la probabilità di successo e n

è la dimensione del campione assume valori 0 ≤ x ≤ n

p(x) =(n

x

)

πx(1− π)n−x, 0 ≤ π ≤ 1

dove x indica il numero di successi in n prove indipendenti.

E(X) = µx = nπ, V(X) = nπ(1− π)

Esempio: consideriamo un’urna contenente 10 palline bianche e 15 palline nere. Il

successo è l’estrazione di pallina bianca (B) la cui probabilità è π = 10/25 = 0.4. La

probabilità di ottenere x = 3 successi in n = 5 prove è

P (X = 3) =(5

3

)

0.43 × 0.65−3 =5!

3!2!0.43 × 0.62 = 0.23

P (X = 0) =(5

0

)

0.40 × 0.65 = 0.08, P (X = 5) =(5

5

)

0.45 × 0.60 = 0.01


Distribuione Binomiale (2) (nei grafici p si legga π)

-1 0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Distribuzione binomiale

X

pro

ba

bili

tà

p = 0.2

-1 0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


X

pro

ba

bili

tà

p = 0.7

-1 0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


X

pro

ba

bili

tà

p = 0.5

Prob. di più di 3 successi:

P (X > 3) = P (X = 4) + P (X = 5)

Prob, di al massimo 2 successi:

P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

Prob. di almeno 1 successo:

P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) =

1− P (X = 0)


Binomiale come somma di Bernoulli (1)

La variabile casuale X Binomiale può essere vista come somma di n variabili Y

Bernoulli indipendenti e identicamente distribuite (con lo stesso parametro p)

X =n∑

i=1

Yi

Per l’indipendenza

E(X) =n∑

i=1

E(Yi) =n∑

i=1

π = nπ, V(X) =n∑

i=1

V(Yi) =n∑

i=1

π(1− π) = nπ(1− π)

Per ogni var. Yi Bernoulli si può calcolare la prob. di successo P (Yi = T ) in un singolo

lancio di una moneta secondo una prob. di successo π. La var. X binomiale calcola la

prob. di x volte testa (successi) in n lanci indipendenti ognuno dei quali ha la stessa

prob. di successo π.


Binomiale come somma di Bernoulli (2)

Esempio. Dati n = 3 lanci indipendenti di una moneta in cui la probabilità di successo

(T ) è π = 0.3, calcolare la probabilità di una volta testa, P (X = 1), X ∼ Bin(x | n, π).

Ad esempio calcoliamo la prob. di questo risultato, che, data l’indipendenza delle prove,

P (T ∩ C ∩ C) = P (T )× P (C)× P (C) = 0.3× 0.7× 0.7 = 0.31 × 0.72

Quanti sono i possibili risultati per cui si ha un solo successo?

(n

x

)

=(3

1

)

= 3 : (TCC), (CTC), (CCT ).

Da cui, se X è Binomaile con n = 3 e π = 0.3,

P (X = 1) =(3

1

)

0.3× 0.72.


Variabile aleatoria continua

Una variabile aleatoria X è CONTINUA se X assume un’infinità non numerabile di valori

altezza

peso

distanza

tempo di percorrenza etc...

Alcuni aspetti delle variabili continue:

Se ogni possibile realizzaione della X è equiprobabile, allora P (X = x) = 0, per

ogni x ∈ R.

La funzione di probabilità non si può usare, come nel caso discreto per

descrivere il comportamento di una var. casuale continua.

Con la funzione di ripartizione possiamo calcolare la prob. di un intervallo

F (x) = P (X ≤ x)

Per descrivere la X si utilizza la funzione di densità fX(x) = ddx

F (x)


La funzione di densità fX(x)

Data una variabile aleatoria continua X, la funzione di densità

f(x) =d

dxF (x)

è una curva per ogni valore x attribuisce la densità di probabilità 6= probabilità. La

probabilità è l’area al di sotto della curva

P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

afX(x)dx = F (b)− F (a)

Proprietà:

f(x) ≥ 0, per ogni x ∈ R, ma non necessariamente f(x) ≤ 1∫+∞

−∞fX(x)dx = 1


Funzione di ripartizione

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞

f(x)dx

è non decrescente, continua, limx→−∞ F (x) = 0,limx→∞ F (x) = 1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


altezza

F(x

)

media = 1.60varianza = 0.1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Funzione di densità

altezza

f(x)



Valore atteso e varianza

Il valore atteso di una variabile casuale X continua è

E(X) = µX =

∫ +∞

−∞

xf(x)dx

La varianza di una variabile casuale X continua è

V(X) = E(X − µX)2 =

∫ +∞

−∞

(x− µX)2f(x)dx

oppure

V(X) = E(X2)− µ2x =

∫ +∞

−∞

x2f(x)dx− µ2X

la deviazione standard è

SD(X) =√

V(X)


Variabili standardizzate

Una variabile Z è standardizzata quando

E(X) = 0

V(X) = 1

Una variabile X con valore atteso E(X) e varianza V(X) si può standardizzare

Z =X − E(X)√

V(X), E(Z) =

E(X)− E(X)√

V(X)= 0, V(Z) =

V(X)

V(X)= 1

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

altezza

de

nsità

Media = 1.60Varianza = 0.1

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

altezza standardizzata

de

nsità

Variabile standardizzataMedia = 1.60Varianza = 0.1


Indipendenza e combinazioni lineari

Date 2 variabili casuali X e Y rispettivamente con funzione di densità fX(x) e

fY (x), la distribuzione della variabile congiunta (X,Y ) è

fXY (x, y) = fX(x)× fY (y) ⇐⇒ X ⊥⊥ Y

Date n variabili casuali Xi ognuna con funzione di densità fXi(xi) con un certo

valore atteso E(Xi) e una certa varianza V(Xi), consideriamo la variabile

casuale Y ottenuta come combinazione lineare

Y =n∑

i=1

aiXi + bi, dove ai, bi sono costanti

Se le Xi sono tutte indipendenti fra loro

E(Y ) =

n∑

i=1

aiE(Xi) + bi, V(Y ) =

n∑

i=1

a2iV(Xi)


Alcune variabili aleatorie continue

X ∼ N(µ, σ2) Normale, −∞ < x < +∞X ∼ t(r) t-Student, −∞ < x < +∞X ∼ χ2(r) chi-quadrato, x ≥ 0

X ∼ F (r1, r2) Fisher x ≥ 0

N.B. I valori µ, σ2, r, r1 e r2 sono i parametri che caratterizzano la distribuzione di

probabilità che descrive il comportamento della variabile casuale X nella popolazione.


Distribuzione Normale

La variabile casuale X Normale o Gaussiana ha una forma campanulare ed è

simmetrica. E’ caratterizzata da due parametri

E(X) = µ la media

V(X) = σ2 la varianza

fX(x | µ, σ2) =1√2πσ2

exp[− (x− µ)2

2σ2], −∞ ≤ x ≤ +∞

La probabilità si calcola attraverso l’integrale

P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

afX(x | µ, σ2)dx = F (b)− F (a)

P (X ≤ a) =

∫ a

−∞

fX (x | µ, σ2)dx = F (a), P (X ≥ a) =

∫ +∞

afX(x | µ, σ2)dx = 1−F (a)

N.B. Si dimostra che∫

fX(x | µ, σ2)dx = 1, ma questi integrali non si possono calcolare

in forma analitica, ma numerica (uso delle tavole).


Distribuzione Normale (2)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


altezza


a b

F(b)

F(a)

P(a < X < b) = F(b)-F(a) == 0.8 - 0.4 = 0.4

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

altezza


a b

P(a < X < b) = 0.4

0.4


La media: parametro di posizione

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

altezza

de

nsità


0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3


altezza

de

nsità

1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


altezza

Funz. ripart

izio

ne

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


altezza

Fu

nz.

rip

art

izio

ne


La varianza: parametro di dispersione

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

altezza

de

nsità


1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

altezza

de

nsità


1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


altezza

Funz. ripart

izio

ne

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


altezza

Funz. ripart

izio

ne


Combinazioni lineari di Normali

Se X1, . . . , Xn sono var. casuali N(µi, σ2i ) indipendenti, la combinazione lineare

Y =n∑

i=1

aiXi

Y ∼ N(∑

i

aiµi,∑

i

a2iσ2i )

Se X1, . . . , Xn sono i.i.d. N(µ, σ2),

Y ∼ N(nµ, nσ2)


Z: la Normale standard

La variabile casuale Z normale standardizzata ha la caratteristica di avere

µ = 0

σ2 = 1

fZ(z | 0, 1) = 1√2π

exp[− z2

2]

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

media = 0varianza = 1

Z

densità

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

media = 0varianza = 1

Z

Funz. ripart

izio

ne


Z: esempio (1)

Attraverso le tavole della Normale standard si può calcolare la probabilità

P (Z ≤ 0) = 0.5, P (Z ≥ 0) = 0.5

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Normale standard

0.31

0.62

P(Z < 0.31) = 0.62

P(Z > 0.31) = 1 - P(Z < 0.31) = 1 - 0.62 = 0.38

0.38

P (Z ≤ 0.31) = 0.62 > 0.5, P (Z ≥ 0.31) = 0.38 < 0.5


Z: esempio (2)

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Normale standard

-0.45

0.33

P(Z < -0.45) = P(Z > 0.45) = 1 - P(Z < 0.45) == 1 - 0.67 = 0.33P(Z > -0.45) = P(Z < 0.45) = 0.67

0.67

0.45

0.33 0.67

P (Z ≥ 0.45) = 1− P (Z ≤ 0.45) = 1− 0.67 = 0.33

P (Z ≤ −0.45) = P (Z ≥ 0.45) = 1− P (Z ≤ 0.45) = 1− 0.67 = 0.33


Distribuzione t-Student

La variabile casuale X ∼ t(r) ha una forma campanulare ed è simmetrica rispetto allo 0.

Rispetto alla Normale standard ha le code più pesanti. E’ caratterizzata dal parametro r:

gradi di libertà

fX(x | r) = Γ[(r + 1)/2]√πrΓ(r/2)

, −∞ ≤ x ≤ +∞, r ∈ N+


P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

afX(x | r)dx = F (b)− F (a)


fX(x | r)dx = 1, ma questi integrali non si possono calcolare in

forma analitica, ma numerica (uso delle tavole).

E(X) = 0, V(X) =r

r − 2


I gradi di libertà

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4t - Student

X

de

nsità

r = 1

r = 5

r = 30

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1t - Student

X

Fu

nz.

rip

art

izio

ne

r = 1

r = 5

r = 30

Quando aumentano i gradi di libertà diminuisce la varianza e quindi la dispersione


t-Student: esempio

Attraverso le tavole si può calcolare la probabilità

P (X ≤ 0) = 0.5, P (X ≥ 0) = 0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

r = 1

r = 30

r = 5

1.31

P(X > 1.31) = 0.10

1.48

P(X > 1.48) = 0.10

3.08

P(X > 3.08) = 0.10


t-Student → Normale standard

Quando i gradi di libertà aumentano, la t-Student tende ad una Normale standard

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

X

de

nsità

r = 1

r = 5

r = 30

Normale Standard


Distribuzione chi-quadrato

La variabile casuale X ∼ χ2(r)

mostra un’asimmetria positiva. E’ caratterizzata dal

parametro r: gradi di libertà

fX (x | r) = 1

2r/2Γ(r/2)xr/2−1e−x/2, x ≥ 0, r ∈ N+


P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

afX(x | r)dx = F (b)− F (a)


fX(x | r)dx = 1, ma questi integrali non si possono calcolare in

forma analitica, ma numerica (uso delle tavole).

E(X) = r, V(X) = 2r


I gradi di libertà

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

X

densità

r = 3

r = 10

r = 15

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

Funz. ripart

izio

ne

r = 3

r = 10

r = 15

Quando aumentano i gradi di libertà diminuisce l’asimmetria


χ2(r): esempio

Attraverso le tavole si può calcolare la probabilità

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25densità

r = 3

r = 10

r = 15

P(X > 6.25) = 0.10

P(X > 15.99) = 0.10

P(X > 22.31) = 0.10

22.31 15.99 6.25


Teorema del limite centrale

Se X1, . . . , Xn sono i.i.d.

E(Xi) = µ, V(Xi) = σ2

allora la loro somma Y =∑n

i=1 Xi,

Y ≈ N(nµ, nσ2)

L’approssimazione è tanto migliore quanto maggiore è n. Inoltre, la bontà

dell’approssimazione dipende molto dalla forma della distribuzione di partenza.

Esempio. Consideriamo n variabili χ2(1)

: X1, . . . , Xn, con E(Xi) = 1 e V(Xi) = 2

Y =n∑

i=1

Xi

Per le proprietà della distribuzione χ2, Y ∼ χ2(n)

. Per il teorema del limite centrale,

quando n è molto grande

Y ≈ N(n, 2n)


TLC: esempio (1)

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16Chi-quadro 5 d.f. e N(5, 10)

densità

chi - quadro (5)

N(5,10)

0 5 10 15 20 25 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1Chi-quadro 10 d.f. e N(10, 20)

densità

chi - quadro (10)

N(10,20)


TLC: esempio (2)

0 5 10 15 20 25 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08Chi-quadro 15 d.f. e N(15, 30)

densità

chi - quadro (15)

N(15,30)

0 10 20 30 40 50 600

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Chi-quadro 30 d.f. e N(30, 60)

densità

chi - quadro (30)

N(30,60)


ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ proprietà Dato Ω lo spazio di tutti gli eventi e A,B ⊆...

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