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  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 1

    El oscilador armnico (I): Ecuacin de oscilador

    Armnico

    Un movimiento que responde a la ecuacin x=Asen(t+)X es la elongacin A= amplitud de la oscilacin; es la elongacin Mxima=Pulsacint=tiempo=fase inicial.El movimiento vibratorio Armnico simple (MVAS), describe el desplazamiento de vaivn entorno a un punto de equilibrio:El movimiento OBABOCDCO, es una oscilacin completa; el tiempo que tarda en describirla se le llama Periodo T, y al nmero de veces que efecta la oscilacin completa en un segundo, se le llama frecuencia

    A B O C D

    OA=Amplitud=OD

    OB=x; elongacin

    OC=x;elongacin

    Ejemplos de MVAS

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 2

    El oscilador armnico (II): El MVAS como proyeccin sobre el dimetro de un MCU ( Mov Circular Uniforme)

    Supongamos que sujetamos una linterna con una cuerda en una habitacin oscura. Ahora, la obligamos a girar por encima de nuestras cabezas en un plano horizontal.

    Un observador, percibir un movimiento de vaivn entorno al punto por donde sujetamos la cuerda.

    Supongamos un Movimiento Circular Uniforme (MCU). Proyectemos ahora sobre el eje horizontal cualquier punto de la trayectoria, concretamente aquel que se encuentra formado un ngulo (t+) con el eje de las Y.

    El valor de la abscisa ser x=Asen(t+)

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 3

    El oscilador armnico (III): Parmetros del OA

    Pudiendo ser considerado como un mov circular uniforme, ser posible, utilizar ciertos parmetros que en su da describimos all.

    En un tiempo T (periodo), se describe un giro completo de circunferencia(2 radianes);

    La velocidad angular =2/T , le llamaremos pulsacin en el MVAS.

    La frecuencia ser por la propia definicin =1/. Es el nmero de vueltas en un segundo, o bien el nmero de oscilaciones por segundo.

    En la ecuacin del movimiento , la fase (t+), o ngulo de fase, representa la posicin del mvil en cualquier instante. Al comenzar a contar el tiempo (t=0) nos queda que llamamos fase inicial .

    El ngulo de fase debe expresarse en radianes.

    El dibujo muestra un resorte en posicin horizontal, cuyo movimiento de vaivn es el de un OA

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 4

    El oscilador armnico (IV): Representacin del MVAS

    La ecuacin del movimiento VAS es una funcin senoidal, por tanto, su representacin es la del seno.

    Si pensamos en proyectar en el MCU sobre el eje vertical, la representacin puede aparecer en forma del coseno; pero en ambos casos estamos ante un MVAS su representacin ser y=Acos(t+).

    El desfase entre seno y coseno es de /2 (si comienzo a contar el tiempo un cuarto de periodo mas tarde tengo la representacin del coseno)

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 5

    Si dispongo de un sistema de relojera que permita el avance de una banda, y solidario con el resorte un grafo que dibuje sobre la banda, la composicin de los movimientos de avance de la banda y oscilacin del extremo del muelle, dibujarn, sobre la banda, una funcin senoidal

    El oscilador armnico (V): Visualizacin de la representacin del MVAS

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 6

    El oscilador armnico (VI): Cintica del MVAS; Velocidad y aceleracin

    La velocidad del MVAS se obtendr derivando la ecuacin:

    v=dx/dt=d/dt(Asen(t+)=Acos(t+)

    Para la aceleracin derivamos la v

    a=dv/dt=d/dtAcos(t+)=-A2sen(t+)

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 7

    El oscilador armnico (VII): v y a en funcin de la elongacin

    Para la aceleracin es mas sencillo: a=-A2sen(t+)=-2x Para la velocidad

    ( ) ( )( ) 22222

    21cos

    xAtsenAA

    tsenAtAv

    =+=

    +=+=

    Podremos escribir la velocidad y aceleracin en funcin de x; recordando que sen2+cos2=1

    De las ecuaciones encontramos:

    Que a es mxima cuando lo es x ,es decir, en el extremos del movimiento; sin embargo, la velocidad v,ser mxima cuando x sea mnima , es decir en el centro del movimiento

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 8

    El oscilador armnico (VIII): Representacin de las funciones armnicas elongacin, velocidad y aceleracin

    v=Acos(t+)

    a=-A2sen(t+)

    x=Asen(t+)

    Podremos llegar a las mismas conclusiones en lo que se refiere a mximos y mnimos de de v y de a, del anlisis de las grficas

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 9

    El oscilador armnico (IX): Dinmica del OA

    El comportamiento dinmico de un muelle como el de la figura, viene est regulado por la ley de HOOKE;

    La fuerza recuperadora de un resorte elstico es directamente proporcional a su deformacin : F =-kx

    K=constante elstica, x= deformacin, F =fuerza recuperadora del muelle

    En este apartado estudiaremos la fuerza productora del MVAS

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 10

    El oscilador armnico (X): Periodo de las oscilaciones

    En ausencia de rozamientos, la resultante de todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza recuperadora del muelle:

    Por tanto F=ma=-kx; -kx=m(-2x);

    k=m2=m(2/T)2;

    ;2kmT =

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 11

    El oscilador armnico (XI): Energa cintica del OA

    Sabemos que la ENERGA de una masa m a una velocidad v es: Ec=1/2mv2.

    Si sustituimos v por su valor en el OA, tendr Ec=1/2mAcos(t+)2.

    O lo que es lo mismo: Ec=1/2m2(A2-x2). Una primera conclusin, es que la energa

    cintica es mxima cuando x=0. Ec max=m2A2

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 12

    El oscilador armnico (XII): Energa potencial del OA

    La variacin de energa potencial que experimenta una masa m, altrasladarse de un punto A a otro B por la accin de una fuerza elstica F, coincide con el trabajo realizado por esa fuerza pero cambiado de signo, es decir:

    Ep=EpB-EpA=-WAB

    ( )

    armnicafuncin una siendo sigue),(21E

    : tendr tiempodelfuncin en x expreso Si 21E

    ;E

    :ser,x xpuntoun en pot energa la entonces ,00xen x E energas deorignen el tomamosSi

    21

    21

    21

    21

    )(

    22P

    2P

    P

    B0

    0AP

    22222

    +=

    =

    =

    =====

    ==

    =

    ====

    tsenkA

    kx

    W

    EE

    xxkkxkxkxW

    kxdxidxikxrdFW

    PpA

    BABA

    B

    AAB

    B

    A

    B

    A

    B

    AAB

    rrrr

    Una conclusin inmediata es que la Ep es max cuando lo es la elongacin (x=A)

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 13

    El oscilador armnico (XIII): Energa mecnica del OA

    Tanto al Ep, como la Ec son funciones armnicas, su representacin tambin ser senoidal:

    La Energa mecnica ser la suma de las energas cintica y potencial: y coincidir con la mxima cintica ( en el centro del mov, (donde la V es Mx.) o la mxima potencial (en el extremo del mov. , donde la V=0).

    Efectivamernte: Em= Ec + Ep=k(A2-x2)+ kx2=. kA2

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 14

    El oscilador armnico (XIV): Estudio del pndulo simple

    El pndulo simple, consta de una pequea masa colgada de un hilo inextensible y de masa despreciable, suficientemente largo para que las oscilaciones puedan estudiarse como las de un OA.

    Al desplazarse un ngulo tan pequeo, el movimiento del pndulo, podr asimilarse a un desplazamiento horizontal sin rozamiento.

    Si el ngulo es tan pequeo, podremos escribir:sen = cuando lo expresemos en radianes

    0,2620,25915

    0,1750,17410

    0,0870,0875

    senoradianesAngulogrados

    El error que cometemos es, hasta 14 , del orden del 1%.

    Y si fuese de 30, sera , tan solo, del 4,6%

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 15

    El oscilador armnico (XV): El periodo del Pndulo simple

    Px, la componente horizontal de P, puede asociarse a la fuerza recuperadora del resorte(-kx),con lo que :Px=-mgsen= -mg.

    Teniendo en cuenta que:

    arco=Angulo (En rad) x Radio;

    Podr poner : -mg=-mgx/L=-kx

    Pero:k=m2; por tanto: mgx/L=m2x

    De donde: g/L= (2)2/2.

    De donde obtenemos el periodo del pndulo:

    gLT 2=

  • El Oscilador Armnico M.Vzquez 16

    Formulario del oscilador armnico

    x=Asen(t+) ;=2/T;T=1/ V=Acos(t+); a=-A2sen(t+); a=-2x F=-kx K=m2

    Ec=1/2m2(A2-x2) Ep=1/2 kx2

    Em= Ec + Ep= k(A2-x2)+ kx2=. kA2

    ( ) ( )( ) 22222

    21cos

    xAtsenAA

    tsenAtAv

    =+=

    +=+=

    ;2kmT =

    gLT 2=

    resortePndulo