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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 101, Nº. 2, pp 259-283, 2007VIII Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

EL ESPACIO Y EL TIEMPO EN LAS MATEMÁTICAS Y EN LAFÍSICA

DARIO MARAVALL CASESNOVES *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22. 28004 Madrid.

Esta conferencia es un breve resumen de la historiade la evolución de los conceptos de espacio y tiempo,desde los comienzos de la Ciencia hasta nuestros días.

El final de esta historia es que el espacio y eltiempo pierden su independencia y se funden en unsolo ente que es el espacio-tiempo.

Nuestras ideas sobre el espacio y el tiempo hanexperimentado un cambio radical y revolucionario conel nacimiento de la Teoría de la Relatividad de Einsteina principios del siglo XX. Las nuevas ideas estándeshumanizadas y alejadas de nuestras sensaciones,están impregnadas de un tinte surrealista y se vuelvenmás difíciles. Es preciso recurrir a una modificación dela palabra entender para que nos resulten más inteli-gibles.

El espacio y el tiempo clásicos son más parecidos alo que nos sugiere la percepción sensible, responden alviejo esquema del espacio caja, como contenedor de lamateria, en cuyo seno se mueve, y del hombre que viveen él.

El tiempo clásico responde al esquema del tiemporío, que fluye siempre en el mismo sentido, sin retro-ceder nunca, durante su transcurso se desenvuelve elmovimiento de la materia, y la vida del hombre.

El espacio clásico es homogéneo, continuo,indefinidamente divisible, físicamente inactivo, inde-pendiente del tiempo y de la materia; tiene tres dimen-siones. El hecho de suponerlo infinito dio origen en el

siglo XIX a la paradoja de Olbers según la cual nopuede existir la noche. La solución de esta paradoja ladio el universo finito y curvo de Einstein.

Al espacio clásico se le llama euclídeo porque se lepuede aplicar la geometría de Euclides; que hasta elsiglo XIX se creyó que era la única posible. Dos cuali-dades muy importantes de este espacio es que puedeexpandirse y contraerse sin cambiar de forma ni salirsedel mismo, cosa que no le sucede, por ejemplo, a unasuperficie esférica. La otra cualidad es su isotopía, queconsiste en que el espacio es visto de la misma maneracualquiera que sea la posición del observador en elespacio.

El tiempo clásico es homogéneo, uniforme, con-tinuo e indefinidamente divisible, independiente delespacio, de la materia y del movimiento, tiene unadimensión. A diferencia del espacio, está orientado,tiene flecha, siempre avanza desde el pasado hasta elfuturo pasando por el presente, que siempre es uninstante fugaz; nunca retrocede.

Antes de que naciera la Teoría de la Relatividad,desde que se descubrió la radiactividad, apareció untiempo microscópico aleatorio, que es el intervalo detiempo entre las desintegraciones de dos átomos ra-diactivos. Pero macroscópicamente reaparece la cer-tidumbre del tiempo, debido a un proceso matemáticollamado convergencia en probabilidad, y así la desinte-gración de la mitad de un cuerpo radiactivo, no tardaun intervalo de tiempo aleatorio sino cierto, o másexactamente es la suma de un tiempo cierto y de un

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tiempo aleatorio infinitesimal, prácticamente igual acero.

En mi libro A (véase bibliografía) dedico uncapítulo a la teoría de los procesos estocásticos de laradiactividad en donde se exponen algunos resultadosque he obtenido en esta materia, en espacial en el casode mezcla de cuerpos radiactivos y de la desinte-gración de una serie radiactiva. Allí exponemos ycomparamos las teorías probabilista y determinista.Explicamos los procesos estocásticos con condicionesiniciales aleatorias, mucho más complejos queaquellos en los que las condiciones iniciales sonciertas. También exponemos los resultados que obtuvede que la diferencia entre el tiempo que tarda en desin-tegrarse un número infinito de átomos radiactivos y suvalor medio (ambos infinitos) es una forma indeter-minada , cuyo valor verdadero es una variablealeatoria finita, que calculamos. Demostramos que losvalores medios en el cálculo probabilística son igualesa los valores obtenidos en el tratamiento determinista.

A lo largo de la Historia se han producido revolu-ciones culturales y científicas, y crisis de la Ciencia.Una crisis científica consiste en la ruptura de unosesquemas conceptuales (paradigmas) que duranteperiodos bastante largos de tiempo son universalmenteaceptados y sirven durante este tiempo para laadquisición de nuevos conocimientos y la resoluciónde los problemas. La ruptura se produce cuando elresultado de un descubrimiento científico o de unexperimento está en contradicción con los esquemasconceptuales vigentes, y es entonces cuando laCiencia en cuestión entra en crisis. La salida de lacrisis se produce cuando se establecen nuevosesquemas conceptuales, que sustituyen a los antiguosy que están de acuerdo tanto con los conocimientoscientíficos antiguos como con los nuevos, entonces sedice que se ha producido y resuelto una crisis cien-tífica. También creo que se puede considerar la revo-lución científica como la acción acumulativa decambios en la cantidad de conocimientos científicosque llegan a producir un cambio en la calidad delconocimiento, de acuerdo con la tercera ley dialécticade los saltos. Esta ley más que al materialismodialéctico de Marx, corresponde a su continuación conla doctrina llamada marxismo leninismo.

Una revolución científica no es exactamente lomismo que una revolución cultural, pero tiene muchos

∞ − ∞

puntos de contacto. Seguramente la primera revo-lución cultural tuvo lugar en el neolítico, unos 4000años a.d.C., cuando el hombre se transforma decazador y pescador en agricultor y ganadero, y con-siguió así su dominio sobre el hábitat en que vivía.Otra revolución cultural importante tuvo lugar enMileto en el siglo VII a.d.C., cuando comienzan lasMatemáticas y la Filosofía griegas con Tales. Losgriegos han influido sobre nuestra Ciencia, principal-mente con su Filosofía y su Geometría. Las doctrinasfilosóficas que mas han influido sobre nosotros son lasde Platón (427-347), Aristóteles (384-322), los ato-mistas (Leucipo, Demócrito y Epicuro) y lospitagóricos. Tres grandes legados científicos nos handejado los griegos, uno falso y otros dos verdaderos,que han durado siglos y que son: La Física y la Lógicade Aristóteles y la Geometría de Euclides. La lógicaaristotélica, que sigue siendo verdadera, ha reinadocasi sin rival hasta la segunda mitad del siglo XIX, enque comienza el desarrollo de la lógica matemática,que origina en el siglo XX el gran florecimiento de laslógicas no aristotélicas. La geometría de Euclides(siglo III a.d.C.), sigue siendo verdadera, y reinandosin rival hasta comienzos del siglo XIX, en que surgela primera geometría no euclídea con Bolyai (1802-1860) y Lobatschewski (1792-1856), y a partir de ahíse sigue con la geometría no euclídea de Riemann(1826-1866) en la segunda mitad del siglo XIX, y elespectacular desarrollo de las geometrías no euclídeasdel siglo XX.

La Física aristotélica es falsa y dura hasta el sigloXVII en que Galileo pone fin a su reinado, porque conél llega el final de la Física aristotélica y el comienzode una nueva Física, que consolidará Newton, y durahasta el siglo XX en que la Teoría de la Relatividad yla Mecánica Cuántica ponen fin a la Física clásica ini-ciada por Galileo y Newton, y dan comienzo a unanueva Física. No obstante, así como la Física aris-totélica es falsa, la Física clásica sigue siendo ver-dadera en un ámbito de aplicación muy grande, ysolamente una parte de los fenómenos físicos (muyimportantes y vada vez en mayor número) escapan asu control y tienen que ser estudiados y resueltos porlos métodos de la Mecánica cuántica y de la Teoría dela Relatividad. En la segunda mitad del siglo XXnacen la Electrodinámica y la Cromodinámica Cuán-tica, prolongación de la Mecánica Cuántica, que entreotras cosas explican las dos nuevas fuerzas o interac-

ciones débil y fuerte que se añaden a las dos únicasconocidas hasta entonces que eran la gravitatoria y laelectromagnética. Surge también en nuestros días laFísica de las partículas elementales y la modernaCosmología, para el estudio de lo infinitamentepequeño y lo infinitamente grande.

Entre Tales y Euclides transcurren unos cuatrosiglos y entre ellos viven importantes matemáticosgriegos que fueron incrementando el volumen delsaber geométrico. entre ellos descuella como ungigante Pitágoras que se cree que vivió entre los años570 y 480 a.d.C. Pitágoras descubrió el teorema quelleva su nombre de que “el cuadrado de la hipotenusade un triángulo rectángulo es igual a la suma de loscuadrados de los dos catetos”, que es de una granimportancia. Muchos siglos después, con el des-cubrimiento del cálculo diferencial, los geómetras loextendieron a los triángulos infinitesimales, lo que lespermitió calcular la distancia entre dos puntos infinita-mente próximos del espacio en cualquier sistema decoordenadas o de una superficie, es el o diferencial delas distancias. El es la base de la geometría diferencialeuclídea y de los espacios riemannianos y no rieman-nianos modernos. He extendido el teorema dePitágoras a los triángulos imaginarios, lo que me hapermitido desarrollar una trigonometría de los mismos(véase notas); en ellos se da la particularidad de que lahipotenusa (imaginaria) sea menor que un cateto real.También en I, K y P (bibliografía) he mostrado lanecesidad de modificar el teorema de Pitágoras en lasgeometrías no euclídeas (elíptica e hiperbólica) en unode sus modelos geométricos.

Los griegos llamaban segmentos conmensurables alos segmentos de longitudes a y b, tales que existendos números enteros m y n para los que na mb yllamaban a el cociente . Al principio creyeronque todo par de segmentos eran conmensurables, perocomo consecuencia del teorema de Pitágoras se dieroncuenta de que existían pares de segmentos que notenían esa propiedad y a estos segmentos les llamaroninconmensurables. Aplicando el teorema de Pitágorasobtuvieron que la diagonal del cuadrado es igual allado multiplicado por . Su demostración de que no es igual al cociente de dos enteros es la que seutiliza hoy en día. Al cociente de dos números enterosle llamamos número racional y a le llamamos irra-cional. El conjunto de los números racionales e irra-cionales le llamamos hoy de los números reales. Los

números irracionales se dividen en algebraicos y trans-cendentes, los primeros son las raíces de una ecuaciónalgebraica, como que es solución de la ecuación:

y a los irracionales que no son algebraicos son losnúmeros transcendentes, como es el caso de π que es elcociente de dividir la longitud de la circunferencia porla del diámetro, que era conocido por los griegos.Éstos conocían y manejaban bien todos los númerosracionales, pero de los irracionales solo conocíanalgunos ejemplos como π y las raíces cuadradas de losnúmeros enteros que se pueden calcular por la apli-cación repetida del teorema de Pitágoras.

La teoría correcta del número real no se conocehasta la segunda mitad del siglo XIX, y es debida aDedekind y a Cantor. Por esta razón hoy se considerandefectuosas algunas de las demostraciones de Eucli-des, entre ellas la primera, la que utiliza para la cons-trucción de un triángulo equilátero, en la que admitesin demostración que dos circunferencias de igualradio e igual éste a la distancia entre sus centros secortan en dos puntos; aunque la visión de la figura nosmuestra que así nos lo parece, nada prueba que existantales puntos, porque al no conocerse la teoría delnúmero real, las circunferencias pueden tener “agu-jeros”. Hubo que esperar a poseer una teoría correctadel número real para poder demostrar la proposiciónde Euclides sin tener que contemplar la figura, solo porvía deductiva.

Arquitas que vivió aproximadamente entre los años430 y 345, perteneciente a la escuela pitagórica, utilizómecanismos y por tanto la Mecánica para la adquisi-ción de nuevos conocimientos geométricos; consideróque una curva podía ser generada por el movimientode un punto, y una superficie por el movimiento de unacurva. Por ello fue criticado por Platón y Aristóteles,pero sin embargo tuvo un gran mérito, es el pionero dela disciplina que muchos siglos después se llamógeometría cinemática y también geometría delmovimiento. Hoy esta nueva rama de la Ciencia quehabía sido la base de la Teoría e Ingeniería de losmecanismos, es también la base de la modernaRobótica.

La crítica de Platón y Aristóteles a Arquitas fue enparte buena, porque favoreció el desarrollo de la

2 2x =

=

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m n a b

2 2

2

2

(1)

geometría como una ciencia abstracta y deductiva. Elesquema de las ciencias deductivas fue establecido porAristóteles basándose en tres postulados, del que elmás importante es el llamado “de deductividad”, quetodavía es aceptado hoy. Admite que todos los con-ceptos científicos se definen por un cierto número deconceptos primitivos y todas las verdades científicasdeben de ser demostradas a partir de ciertas verdadesindemostrables (los axiomas) mediante las leyes de lalógica.

Sin embargo la crítica a Arquitas fue mala, porquedebido a la gran autoridad de Platón y Aristóteles, seobstaculizó el uso de uno de los métodos más potentespara hacer progresar la geometría, que es la intro-ducción en ésta del movimiento.

Euclides hacia el 300 a.d.C. recopiló el sabergeométrico anterior a él, enriquecido con sus contribu-ciones propias en sus “Elementos” (Estoiecheia).Comienza con las definiciones, los postulados y lasnociones comunes. Vamos a escribir las siete primerasdefiniciones, para después comentarlas. Son las si-guientes:

1. Un punto es lo que no tiene partes.2. Una línea es una longitud sin anchura.3. Los extremos de una línea son puntos.4. Una línea recta es aquella que yace por igual

sobre sus puntos.5. Una superficie es lo que solo tiene longitud y

anchura.6. Los extremos de una superficie son líneas.7. Una superficie plana es la que yace por igual

sobre sus líneas rectas.

Lo que él llama línea es lo que nosotros llamamoscurva, y lo que llama línea recta es lo que llamamossegmento. Lo que nosotros llamamos recta es la uniónde la definición 4 y del postulado 2. Al establecerextremos a curvas y superficies está considerandofiguras geométricas acotadas y no ilimitadas, si bienpor el postulado 2 considera la posibilidad de rectasilimitadas.

Utiliza cinco postulados, que hoy llamaríamosaxiomas. Son:

1. (Es posible) trazar una línea recta desde cual-quier punto a cualquier otro.

2. (Es posible) prolongar continuamente en línearecta una recta dada.

3. (Es posible) trazar un círculo con cualquier cen-tro y distancia (radio).

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.5. Si una recta incide sobre otras dos formando del

mismo lado, ángulos internos menores que dosrectos, al prolongarlos indefinidamente seencuentran por el lado en que los ángulos seanmenores que dos rectos.

El 5º postulado es equivalente al que llamamos delas paralelas que afirma “por un punto exterior a unarecta, pasa exactamente una paralela a esta recta”.

Las cinco nociones comunes que utiliza Euclidesson:

1. Cosas que son iguales a una misma cosa, sontambién iguales entre sí.

2. Si a cosas iguales se suman cosas iguales, lostotales son iguales.

3. Si a cosas iguales se restan cosas iguales, losrestos son iguales.

4. Cosas que encajan cada una en la otra son igua-les entre sí.

5. El todo es mayor que la parte.

Obsérvese que los cinco postulados y la nocióncomún 4 son de carácter geométrico, mientras que lasotras cuatro nociones comunes tienen un carácter másgeneral, con un campo de aplicación mucho mayor,por lo que en realidad la noción 4 es un auténtico pos-tulado. Euclides considera que los postulados y lasnociones son verdades incuestionables, prácticamenteevidentes, como hicieron sus seguidores.

Durante muchos siglos, hasta el XIX, la influenciade los “Elementos” y el prestigio de Euclides fueronenormes, y se consideró a la geometría como la cienciadeductiva y demostrativa más perfecta, hasta el puntode que aún en el siglo XX se hablaba de la “nostalgiade la geometría”, que es la aspiración que tenían otrasciencias de conseguir una base axiomática tan buenacomo la de Euclides.

En el siglo XIX suceden dos acontecimientos muyimportantes que echan por tierra la admiración haciaEuclides, que son el advenimiento de la geometría noeuclídea a principio de siglo y la crisis de los funda-


mentos de las matemáticas, a finales de siglo, que con-ducen al abandono de la axiomática de Euclides porinsuficiente y a considerar falsas algunas de susproposiciones, como la que sirve para la construccióndel triángulo equilátero, a la que antes nos referimos.

En 1899 Hilbert establece una nueva axiomática,con 7 axiomas, que es la que hoy se admite.

Aún cuando se sigue reconociendo el méritograndísimo de Euclides y de su obra y se le sigueteniendo como un grande entre los grandes, se le hacencríticas que llegan a ser feroces, hasta el punto dehablar del “fracaso de Euclides” y Dieudonné, uno delos fundadores de Bourbaki en el congreso dematemáticas de Royaumont en 1959 lanzó el famosogrito de “Abajo Euclides”, que no va dirigido contra lapersona sino contra lo que representa. Se afirma quelos griegos tenían ideas confusas sobre postulados yaxiomas, que las definiciones de Euclides son inacep-tables e inoperantes. Sin embargo Euclides sigue lalínea de Aristóteles quien define los axiomas y postu-lados de la siguiente manera: los axiomas (lasnociones comunes de Euclides por ejemplo) son ver-dades comunes a todas las ciencias y los postuladosson los primeros principios aceptados universalmentepara cada ciencia concreta. Más alejados estánAristóteles y Euclides respecto a lo que es unadefinición, para el primero es el nombre que se le da auna colección de cosas que tienen propiedades igualesy para que la definición sea correcta debe expresarseen términos de algo previo a la cosa definida, espreciso usar términos indefinidos en toda definición.Se acusa a Euclides de no hacer esto, que si haceHilbert en su axiomática.

Hoy día no se hace distinción entre axioma y pos-tulado y se emplea más la primera palabra. Se con-sidera que la base sobre la que se construye una teoríamatemática está constituida por nociones primeras otérminos primitivos, y de axiomas que son relacionesentre los mismos, escogidos arbitrariamente, que nosean contradictorias entre sí, que se admiten como ver-daderas por consenso. A la teoría matemática que seconstruye sobre una base axiomática, se le exige quesea consistente (coherente) y completa. La consis-tencia o coherencia significa que no se puede obtenernunca una proposición de la misma que sea a la vezverdadera y falsa (principio de contradicción). La

completitud significa que nunca se puede obtener unaproposición que no sea verdadera o falsa (principio deltercero excluido, el tertium non datur de los escolás-ticos). Las proposiciones tienen que estar bien formu-ladas.

Hasta el siglo XVIII la geometría es la de Euclides,considerada como la única posible y verdadera, y a laque se adapta tanto el universo como el mundo que nosrodea; las máquinas y construcciones así como laforma de la Tierra en la que vivimos.

A partir del siglo XIX ya no es así, al principio delsiglo aparecen dos nuevas geometrías, tan verdaderascomo la euclídea, que son la hiperbólica de Bolyai yLobatschevski y un poco mas tarde la elíptica deRiemann. Después viene una proliferación de geome-trías y con el advenimiento de la Teoría de la Relati-vidad el universo deja de ser euclídeo. Sobre esto ysobre la axiomática de Hilbert volveremos más ade-lante.

La duda es muchas veces creadora, y la duda sobreel 5º postulado de Euclides condujo, durante el sigloXVIII, a tratar de demostrarlo como teorema, por lostrabajos de Saccheri, Lambert y Gauss entre otros, y alno conseguirlo a la posibilidad de negarlo (conside-rarlo falso) y así se pudieron construir las dos primerasgeometrías no euclídeas antecitadas.

Las críticas a las definiciones de Euclides las handestrozado, no obstante es interesante analizar algu-nas. El concepto de punto euclidiano es para la geome-tría equivalente al átomo de Demócrito en Física, y entiempos modernos a los neutrinos, leptones y quarks,que no tienen partes. Por el contrario la recta si tienepartes como son los segmentos, así como cualquierotra figura geométrica que también tiene partes y todasestán formadas por puntos. En el proceso mental dedivisibilidad de cualquier figura se van obteniendopartes de la misma, contenidas en partes mayores yque contienen partes menores (noción 5), hasta llegar alos puntos que ya no tienen partes; el punto es un todocon una sola parte que es igual a sí mismo.

En la definición 2 al decir que una curva (línea)solo tiene longitud y en la 5 al decir que una superficietiene solo longitud y anchura permitirán en lageometría analítica introducir la dimensión 1 para la


curva, 2 para la superficie, 3 para el espacio; lo cualunido a que el punto no tiene longitud y por tanto tienela dimensión cero, y por generalización ascendentepermitió llegar al espacio de cualquier número dedimensiones. Por tanto estas definiciones de Euclides,aunque defectuosas e insuficientes si poseen ciertaoperatividad.

La crítica es mayor para la definición de rectaporque “yace por igual” significa no tener puntos pri-vilegiados, cosa que le pasa también a la circunferen-cia; pero el postulado 2 distingue ya claramente a larecta de la circunferencia.

Posteriormente se van creando nuevas ramas de lageometría como la geometría cinemática, la analítica,la descriptiva, la proyectiva, la reglada.

Uno de los primeros ejemplos de geometría cine-mática es el de la cicloide (figura 1) que es la curvaque describe un punto de una circunferencia que ruedasobre una recta. Rodar significa que la velocidad delpunto de contacto de la circunferencia con la recta esen cada instante nula. El segmento AB es la longitudde la circunferencia y el OC (C es el punto más alto)mide el diámetro. Por tanto el cociente esigual a π. La cicloide ha atraído a muchos matemáticosy sobre ella se han escrito muchas páginas. Por subelleza se le ha llamado la Helena de la Geometría, enrecuerdo de la bellísima esposa de Menelao, raptadapor Paris y causa de la guerra de Troya.

Vamos a dar dos ejemplos de la importancia de lacicloide en Mecánica:

1º) Si consideramos el arco de cicloide simétricorespecto a la horizontal AB de la figura 1, supuestovertical el plano, si se obliga a un punto material amoverse sobre la cicloide, se obtiene un péndulo, puesbien este péndulo, a diferencia del circular, estautócrono; lo que significa que abandonando el móvilcon velocidad inicial nula, en cualquier punto de lacicloide, tarda siempre el mismo tiempo en llegar alpunto más bajo de la cicloide. En este caso la con-cavidad de la cicloide está dirigida hacia arriba, alrevés que en la figura.

2º) Dados dos puntos M y N, la curva situada en elplano vertical que los contiene, que pasa por ellos yque goza de la propiedad de que un punto materialpesado obligado a moverse sobre ella, si es aban-

donado sin velocidad inicial en el punto más alto M,tarda un tiempo mínimo en llegar al punto más bajo Nes una cicloide como la de la figura 1 pero puesta envertical así como la recta AB. A estas curvas se lesllama braquistocronas y son importantes en Mecánicay en Óptica geométrica. Véase E.

En la figura 2 se han representado dos circunferen-cias tangentes, una interior a la otra. Si la circunferen-cia interior rueda sobre la exterior, cualquier punto deella describe una curva llamada hipocicloide. Si lasdos circunferencias son ruedas dentadas constituyenun engranaje hipocicloidal, muy importante en la inge-


AB OC

niería mecánica. En el caso particular en que el radiode la circunferencia interior sea igual a la mitad delradio de la exterior, cualquier punto de la circunferen-cia interior describe un diámetro de la exterior.Curiosamente el movimiento de un plano invariable-mente ligado a la circunferencia interior móvilrespecto al plano fijo de la exterior es el mismo que elde un segmento AB (Figura 3), cuyos extremos semueven sobre dos rectas fijas OX y OY de un planofijo, perpendicular entre sí, esto en el último casoanterior.

Si las dos circunferencias en vez de ser una interiora otra, las dos son exteriores, la rodadura de una sobrela otra, hace que los puntos de la móvil describan unascurvas llamadas epicicloides, también muy impor-tantes en la ingeniería mecánica.

En la historia de la astronomía las epicicloidesjunto a las excéntricas tuvieron una gran importanciapara poder explicar los movimientos de los cuerposcelestes en la errónea teoría geocéntrica de Ptolomeo,la cual perdieron cuando esta teoría fue sustituida porla heliocéntrica de Copérnico. Puede verse mi confe-rencia (N de la Bibliografía) que va a ser digitalizadapor el Museo Histórico Científico de Florencia.

Lo anterior son algunos ejemplos de los progresosque se pueden obtener en geometría cuando secombina con el movimiento. Sus aplicaciones sonimportantes en la Teoría de Mecanismos, la Cinemá-tica de las Máquinas y la Robótica. Véase mi libro E.

En el siglo XVII Descartes creó la GeometríaAnalítica que resulta de aplicar el álgebra y el análisisa la geometría; desde entonces existen dos métodospara el estudio de la geometría que son el sintético quees el que procede de los griegos y el analítico creadopor Descartes. Los resultados que se obtienen porambos métodos nunca son contradictorias, porque setrata de dos métodos distintos y de una sola ciencia.

La geometría sintética se desarrolla partir de unaaxiomática, antes la de Euclides, ahora la de Hilbert;por el contrario la geometría analítica se desarrolla apartir de las definiciones de las figuras geométricas, delas operaciones con ellas y de sus transformaciones yde las definiciones de distancia y ángulo, utilizando elcálculo como herramienta.

En la geometría analítica del plano, un punto vienedefinido por dos números reales que son sus coorde-nadas x,y; una recta se define por una ecuación lineal(2)

Los coeficientes u, v se comportan como las coor-denadas de la recta, las llamadas tangenciales. Para elpunto hemos utilizado las cartesianas.

También se define la distancia entre dos puntos y elángulo entre dos rectas. Las figuras geométricas sedefinen por sus ecuaciones, así la de una circunfer-encia de centro (a,b) y radio R es:

Con las ecuaciones y el cálculo se pueden resolverlos mismos problemas que se resuelven utilizando elmétodo sintético. Ahora bien, la Geometría Analíticaes mucho más rica que la sintética, porque en ella hayla posibilidad de introducir elementos imaginarios(puntos, rectas, circunferencias, etc.) y puntos en elinfinito y la recta del infinito (puntos impropios y larecta impropia).

El infinito se introduce utilizando las coordenadashomogéneas x, y, t, de las que se obtienen las carte-sianas dividiendo x e y por t, son , . Estas coor-denadas se llaman homogéneas porque multiplicandox, y, t por un mismo número real los nuevos valoressiguen siendo las coordenadas homogéneas del mismopunto.

Si en la (2) se sustituye 1 por w, se obtienen lascoordenadas homogéneas de la recta y hay quesustituir la (2) por la

Las coordenadas homogéneas de un punto delinfinito son x,y,t 0 y la ecuación de la recta delinfinito es t 0, que se expresan por

Los elementos imaginarios aparecen cuando lassoluciones de las ecuaciones son imaginarias, y así por

, ,0; 0x y t =

==

0ux vy wt+ + =

1 0ux vy+ + =


(3)

(4)

(2)

x t y t

(5)

ejemplo mientras que en la geometría sintética lasrectas respecto a una circunferencia pueden sersecantes, tangentes y exteriores, en la analítica lasexteriores cortan a la circunferencia en dos puntosimaginarios, los cuales determinan una cuerda imagi-naria. Así mismo en la geometría sintética desde unpunto interior a una circunferencia no se pueden trazartangentes a la misma, pero en la analítica si se puedentrazar dos tangentes imaginarias, cuyos puntos de con-tacto con la circunferencia son imaginarios. Véase B yC.

En la geometría analítica todas las circunferenciasde un plano tienen dos puntos comunes (los puntoscíclicos), porque la ecuación de la circunferencia (3)en coordenadas homogéneas se obtiene sustituyendoR2 por R2t2, y las intersecciones de ella con la recta delinfinito t 0 (5) da

Las ecuaciones de las dos rectas (6), (signos y )definen las llamadas rectas isótropas, que son imagi-narias, pasan por el punto real (centro de la cir-cunferencia) y por los puntos imaginarios llamadoscíclicos, por los que pasan todas las circunferencias delplano. Las rectas isótropas (6) gozan de la propiedadde que con cualquier otra recta forman un mismoángulo imaginario cuya tangente vale

y consigo misma un ángulo indeterminado.

También existen circunferencias imaginarias, de lasque solamente vamos a usar aquellas cuyo centro esreal y cuyo radio es imaginario iR; su ecuación es

Dos coordenadas cartesianas o tres homogéneasdefinen un punto en el plano, si usamos tres coorde-nadas cartesianas o cuatro homogéneas se define unpunto en el espacio. Así mismo tres coordenadas tan-genciales o cuatro homogéneas definen un plano en elespacio, de este modo se pasa de la geometría analíticadel plano a la del espacio. Aumentando de una en unalas coordenadas cartesianas y tangenciales se vaaumentando de una en una las dimensiones y por tanto

se puede construir una geometría analítica del espacioeuclídeo de n dimensiones. Véase mis libros B y C.

En M (bibliografía) he introducido las circunferen-cias y esferas completas. Una circunferencia completala he definido como el “lugar geométrico de los puntosde un plano reales o imaginarios que equidistan deotro” (véase la figura 4 y M). La circunferencia com-pleta se compone de una circunferencia real y de lasinfinitas hipérbolas equiláteras imaginarias, cuyos vér-tices reales son los puntos diametralmente opuestos dela circunferencia real. Para fijar la posición de unpunto de ella se necesitan dos coordenadas reales y unaimaginaria. Una de la reales fija la posición del ejemayor de la hipérbola imaginaria, es el ángulo queforma éste con un diámetro fijo de la circunferencia; lasegunda coordenada real es la distancia x del centro dela circunferencia a la proyección del punto de lahipérbola sobre su eje mayor; la tercera coordenada,que es imaginaria, es la distancia imaginaria y delpunto anterior a su antedicha proyección, se cumpleque:

Para poder representar una circunferencia completa(dos coordenadas reales y una imaginaria) sobre unplano (dos coordenadas reales) he recurrido al siguien-te artificio: dibujo las figuras reales con trazo continuoy las imaginarias con trazo discontinuo; y los puntosimaginarios los encierro dentro de un pequeño circuli-to.

2 2 2 2 2x y R y i x R+ = ⇒ = −

; 1i i± = −

−+

=


(6)

(7)

(8)

(9)

He definido la esfera completa como “el lugar geo-métrico de los puntos del espacio reales e imaginariosequidistantes de otro”. Se compone de una esfera realy de infinitas hiperboloides equiláteros de revoluciónde dos hojas, imaginarias cuyos ejes son los diámetrosde la esfera. Cada hiperboloide es engendrado por larevolución de una hipérbola equilátera imaginaria alre-dedor de su eje real. Se puede utilizar la geometría des-criptiva para la representación de la esfera completautilizando el anterior artificio usado para la circunfe-rencia completa. La esfera completa tiene cinco coor-denadas por cada punto, tres reales y dos imaginarias.De igual modo puede definirse una hiperesfera com-pleta. Véase en M esta teoría, así como la de la trigo-nometría de los triángulos imaginarios a que da lugar.Véase M.

Si de acuerdo con Aristóteles una definición esponer nombre a una cosa, vamos a ver la importanciaque un nombre puede tener en geometría. Oscar Wildeescribió una comedia muy conocida titulada “Laimportancia de llamarse Ernesto”, la traducción literalal español del nombre Ernesto rompe el juego de pala-bras que hay en inglés entre el nombre del protagonis-ta y earnest que significa “muy serio o muy formal”,lo que le da un tinte, que no tiene, de teatro del absur-do y en español se debía de haber puesto otro nombrecomo Casto, Justo, Inocencio o algo así. Pues bien, siOscar Wilde en la ficción dio un ejemplo de la impor-tancia de un nombre, la geometría en la realidad hadado varios ejemplos de la importancia que puedetener una definición, que según Aristóteles es un nom-bre. Vamos a dar dos ejemplos.

La bisectriz de un ángulo se puede definir de dosmaneras. Definición 1: “la recta que divide un ánguloen dos ángulos iguales”. Definición 2: “el lugar geo-métrico de los puntos del plano que equidistan de losdos lados de un ángulo”. Estas dos definiciones apa-rentemente son equivalentes, pero no lo son del todo,tienen su importancia práctica por lo siguiente. En elmovimiento de un plano sobre otro plano, lo que tienegran aplicación en Teoría de Mecanismos, IngenieríaMecánica, Robótica, Bobillier descubrió una construc-ción geométrica para obtener los centros de curvaturade las trayectorias de los puntos móviles, utilizando labisectriz de un ángulo de dos rectas. En el caso muyexcepcional de que estas dos rectas sean paralelas,como según la definición 1, dos rectas paralelas no tie-

nen bisectriz, la construcción de Bobillier no sirve. Yaen el siglo XX, Bricard utilizando la definición 2, dadoque en este caso dos rectas paralelas si tienen bisectrizque es la recta paralela a ellas y que equidista deambas, pudo obtener la solución. Por tanto la construc-ción de Bobillier sirve cuando las dos rectas en cues-tión se cortan, entonces existe centro instantáneo derotación, pero falla cuando son paralelas, entonces envez de rotación instantánea hay traslación instantánea,y entonces hay que utilizar la de Bricard; el centro ins-tantáneo de rotación es ahora un punto del infinito.Más adelante daremos otro ejemplo, véase E.

Al definir e investigar la que he llamado razóndoble de dos circunferencias (véase las notas y labibliografía) he definido el ángulo de dos rectas OA yOB (figura 5), mediante la razón doble de los cuatropuntos A, C, B, D que están sobre una circunferenciade centro O por la fórmula:

Así mismo he definido el ángulo que forman unarecta EF y una circunferencia (figura 5) por la fórmu-la:

donde es el punto del infinito de la recta . El parén-tesis de la última (11) es la razón simple de los trespuntos G, P y Q. El valor de la cantidad subradical de(11) es positivo.

∞


(10)

(11)

Obsérvese que en el caso de la razón doble de larecta IJ y de la circunferencia (figura 5) la razón sim-ple es positiva y por tanto el ángulo y la tangente sonimaginarios. Por I, J encerrados en un pequeño circu-lito he representado las dos intersecciones imaginariasde la circunferencia con la recta exterior IJ.

La razón doble (ΣΓ) de dos circunferencias la hedefinido por la razón doble de las cuatro interseccionesde y con su diámetro común, que es igual a la razónde las intersecciones de Σ y Γ con cualquier circunfe-rencia ortogonal a ambas (véase notas y L). Esta razóndoble es invariante para la inversión. Se extiende a lasesferas e hiperesferas.

Una cualidad para que un Profesor sea un buenpedagogo es que haga fáciles las cosas difíciles, paraque los alumnos puedan comprender bien sus explica-ciones; pues bien, a veces un Investigador para conse-guir sus propósitos tiene que hacer difícil lo fácil, y asípor ejemplo Laguerre dio una definición de ángulomuy sofisticada, pero muy útil para sus aplicacionestanto a la geometría euclídea, como a las dos geome-trías no euclídeas (elíptica e hiperbólica). La defini-ción de Laguerre es muy distinta a la nuestra (10).Véase mis libros B y C.

Otro ejemplo de la importancia de una definición esla que sigue. En el siglo XIX Steiner en Alemaniaintrodujo, seguramente por primera vez, la inversión,lo hizo desde el punto de vista de la Matemática Pura.A continuación en Inglaterra, Lord Kelvin estudió einvestigó la inversión por sus aplicaciones a la Física,en especial a la Teoría del Potencial. Se pueden dar dosdefiniciones de inversión. La definición 1 es así: dadoun punto O (el centro de inversión) el inverso de unpunto A es otro punto B que está sobre OA y tal que

siendo k2 una constante positiva o negativa.

Según la definición 1 la simetría no es una inver-sión.

La definición 2 es así: dado un punto O y una cir-cunferencia de centro O y radio k (real o imaginario),A y B son inversos si están sobre un mismo diámetro yson conjugados armónicos respecto a las interseccio-nes de la circunferencia con el diámetro OAB, porqueentonces se cumple (12).

Según la definición 2 la simetría es una inversión,cuando la circunferencia degenera en una recta ∆ sucentro es el punto del infinito de las rectas perpendicu-lares a ∆, y el radio infinito. Este resultado no lleva aconsiderar los límites en Geometría.

En Análisis Matemático los límites tienden a serestáticos, mientras que en geometría algunos son diná-micos y dependen del procedimiento seguido paradefinirlo. Y así por ejemplo un punto P puede ser con-siderado como una circunferencia de radio cero, y enese caso es el límite de una sucesión de circunferenciasde centro P y cuyo radio tiende a cero; y el límite delas tangentes a las circunferencias es el haz de rectasque pasan por P. Límite 1.

Ahora bien, una sucesión de circunferencias tan-gentes a la recta OY en O cuyos radios tienden a cero,tienden al punto O y sus tangentes tienden a la rectaOY. Límite 2.

Las dos sucesiones de circunferencias de los lími-tes 1 y 2 son posibles en virtud del axioma 3 deEuclides y se pueden escoger iguales las circunferen-cias de una y otra sucesión pero sus límites sin embar-go son distintos porque el primero es una circunferen-cia de radio cero con infinitas tangentes y el segundocon una sola tangente. La diferencia entre los dos lími-tes anteriores 1 y 2, aunque parezca trivial es impor-tante (véanse las notas).

Otro ejemplo: una sucesión de circunferencias delmismo centro O, cuyo radio tiende a infinito, tienden allenar todo el plano, y el límite contiene a todos lospuntos del plano. Definición o límite 1.

Una sucesión de circunferencias que permanecentangentes a la recta OY en O de radio R tienen porecuación respecto a OY y OX perpendicular a OY, la:

y cuando R tiende a infinito tienden a OY (de ecuaciónx 0). Tienden a llenar el semiplano a la derecha de OY(x 0). Las circunferencias tienen como límite OY, sustangentes también, su centro tiende al punto del infini-to de OX y sus diámetros a las paralelas a OX.Definición 2.

Al igual que en el caso en que el radio tendía a cero,también las circunferencias de las sucesiones de las

>=

2 2 2 0x y Rx+ − =

2OA OB k⋅ =


(12)

(13)

definiciones de los límites 1 y 2 pueden ser iguales,pero sus límites son distintos. También esta diferenciano es trivial (véase notas).

Todas las definiciones y límites anteriores puedenextenderse a las esferas e hiperesferas.

En relación con el número de dimensiones: ceropara un punto, uno para una recta o curva, 2 para unplano o superficie etc., existen dos clases de generali-zaciones una ascendente y la otra descendente.

La primera es más común. Por ejemplo la defini-ción de la circunferencia como “lugar geométrico delos puntos del plano que equidistan de otro” se puedegeneralizar a 3 y a n dimensiones y así surgen la esfe-ra y la hiperesferas. Para unificar la terminología lla-maremos S2 y V2 a la longitud y área de la circunferen-cia; S3 y V3 al área y al volumen de la esfera y así suce-sivamente. Existen unas fórmulas (véase D bibliogra-fía) y que dan los valores en función de Ry n (R es el radio y n el número de dimensiones), delárea y del volumen de la hiperesfera. Para todas secumple que

Para n 2 y n 3 se obtienen las conocidas fórmulasde la circunferencia y de la esfera.

He introducido la generalización en sentido descen-dente y así he llamado bipunto a la circunferencia enuna dimensión: “el lugar geométrico de los puntos deuna recta que equidistan de otro”. Es un par de puntos,el centro es su punto medio y R es igual a la mitad dela distancia entre los dos puntos. Pues bien, si hacemosn 1 en las fórmulas anteriores se obtiene

Obsérvese que es independiente de R y quelas dos (16) cumplen la (14). El “volumen” de unbipunto es la longitud del segmento cuyos extremosson los dos puntos, y el “área” vale 2. De esta forma segeneralizan en sentido descendente la longitud

(“área”) de la circunferencia y el área (“volumen”). Heextendido el concepto de ángulo a dos bipuntos (véan-se notas).

Pero también puede generalizarse a cero dimensio-nes, es decir a un punto los conceptos de área y volu-men y se obtiene para el volumen

y para el área se obtiene una indeterminación, quelevantada da:

que es la delta de Dirac. El “área” de un punto es ladelta de Dirac y el “volumen” es 1. Véase mi libro D.

La negación del 5º postulado de Euclides (el de lasparalelas) condujo a Bolyai y a Lobatschewski a lacreación de la primera geometría no euclídea (la hiper-bólica) y a Riemann en la segunda mitad a la segundageometría no euclídea (la elíptica). El impacto fue muygrande, la geometría euclídea dejó de ser la única ver-dadera, la geometría ya no es una ciencia de la realidadsino una creación lógica, pero libre, de la mente huma-na, cuyo contenido va presupuesto en sus axiomas.Como consecuencia del fracaso de la demostración delquinto postulado en el siglo XVIII, se llegó a la nega-ción y a la construcción de nuevas geometrías libres decontradicción interna, de acuerdo con los métodos dela lógica tradicional. A pesar de la claridad en el razo-namiento no euclídeo en geometría, quedaba el temorde que al irse acumulando nuevos y nuevos teoremasse pudiera acabar llegando a una contradicción, porqueno se había demostrado aún que las geometrías noeuclídeas estuvieran libres de contradicciones. Por esofue un paso muy importante el dado por Beltrami en1868, al exponer el primer modelo euclídeo de la geo-metría hiperbólica, en el que se representa sobre lapseudoesfera (superficie del espacio euclídeo) el planohiperbólico. Posteriormente Riemann representó elplano elíptico sobre la esfera. Poincaré demostró que siexisten contradicciones en estas dos geometrías noeuclídeas, existen también en la euclídea, ya que sepueden construir modelos de las dos primeras en laúltima.

Otros pasos decisivos fueron dados por Cayley yKlein, que ligaron entre sí las geometrías no euclídeas

=

==


(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

con la proyectiva, y subordinaron a esta última la geo-metría métrica. Klein en su programa de Erlangendefinió la Geometría como “el estudio de las propieda-des invariantes de un grupo de transformaciones” ysegún sea el grupo así es la geometría. Con el progra-ma de Erlangen se intensifica el proceso de deshuma-nización de la geometría, que se va alejando de laconstructividad real y de toda posibilidad de visualiza-ción y materialización, pero a cambio de ello presta ungran servicio a la Física y a la Cosmología modernas,preparando el camino a la Teoría de la Relatividad deEinstein.

En mis publicaciones y en mi libro P e utilizadoocho modelos de geometría hiperbólica y seis de geo-metría elíptica, utilizando modelos geométricos euclí-deos sobre parte del plano, de la esfera o de hiperbo-loides de revolución.

La crisis de los fundamentos de las Matemáticas afines del XIX afectó fuertemente a la geometría. Pasch(1843-1930) preparó el camino a Hilbert (1862-1943),consideró al espacio geométrico como la construcciónque se hace mentalmente el hombre y como reflejo delespacio físico, se dio cuenta de que los puntos, rectasy planos no deben ser definidos, solamente se noshacen comprensibles y manejables por sus propieda-des que resultan de los axiomas. encontró por primeravez la existencia de una proposición geométrica cuyaverdad es universalmente aceptada y en la que cree fir-memente hasta un niño, que no figuraba en la axiomá-tica anterior a él, ni se puede demostrar como un teo-rema. Propuso entonces enunciarlo como un axioma,que hoy lleva su nombre. El axioma de Pasch afirma:“Si A, B y C no están alineados, y si una recta D de unplano corta a AB entre A y B, entonces D corta necesa-riamente a AC entre A y C o a BC entre B y C”, A, B yC son puntos.

Tanto el axioma de Pasch como los cinco postula-dos de Euclides o el axioma de Arquímedes se puedendemostrar en la geometría analítica.

En M demostré por reducción al absurdo físico, quesi la ley de la inercia de la Mecánica es verdadera, for-zosamente la antecitada proposición de Pasch es ver-dadera y entonces o es un teorema o en caso contrarioun axioma.

En mi opinión igual que la introducción del movi-miento en la geometría ha echo progresar a ésta, meparece que también la introducción de la demostraciónpor reducción al absurdo físico en la geometría la haceprogresar.

El renacer de la geometría proyectiva en el sigloXIX introdujo en ella los elementos imaginarios y losdel infinito (impropios), aparecen los puntos cíclicos ylas rectas isótropas. Se puede ya utilizar para su estu-dio el método sintético sin necesidad de recurrir al ana-lítico.

Las demostraciones defectuosas de Euclides, comola que antes hemos descrito de la construcción de untriángulo equilátero son debidas a que los griegos, aun-que conocían y manejaban bien los números raciona-les, sus conocimientos sobre los irracionales eran esca-sos; podían conocer las raíces cuadradas de los núme-ros enteros e incluso de los racionales por la aplicaciónreiterada del teorema de Pitágoras. Conocían tambiénel número π y algunas curvas transcendentes, pero estono era suficiente para legitimar la demostración deEuclides.

El uso del álgebra en la geometría analítica, intro-dujo el conocimiento de los números algebraicos eincrementó el conocimiento de nuevos números trans-cendentes, pero tampoco era suficiente. Solamentecuando Dedekind y Cantor por dos métodos distintos,desarrollaron la teoría rigurosa del número real, ycuando se demostró que el conjunto de los númerosreales no era numerable, sino que tenía la potencia delcontinuo, es cuando se estuvo en condiciones de elimi-nar la posibilidad de la existencia de “agujeros” en lasdos circunferencias de la antecitada construcción deEuclides, al establecer la correspondencia biunívoca(biyección) entre el conjunto de los números reales yel de los puntos de una recta. Con estos nuevos cono-cimientos ya es posible la axiomática de Hilbert.

Hilbert (1862-1943) publicó la primera edición desu libro “Fundamentos de la Geometría” en 1899; yoconozco la séptima que es de 1930 en la traducciónespañola de 1953. Califica a su libro en la introducciónde “un nuevo ensayo para construir la geometría sobreun sistema completo de axiomas lo más sencillo posi-ble”. Afirma después que “los axiomas de la geometríay el averiguar sus conexiones, es problema que se


encuentra discutido desde tiempos de Euclides, ennumerosos y excelentes de la literatura matemática”.Actualmente se puede decir que la axiomática deHilbert es la solución final del problema planteado.

Hilbert da una lista de veinte axiomas de los que elnúmero 12 es de de Pasch, el número 18 es el postula-do de las paralelas de Euclides, el axioma 19 es el deArquímedes. Utiliza las tres nociones no definidas depunto, recta y plano, sobre las cuales insiste en que sondenominaciones totalmente arbitrarias y añade queigual podía haberlas llamado vasos de cerveza, sillas ymesas.

El axioma de Pasch es de pocos años antes que ellibro de Hilbert, y el de Arquímedes es posterior aEuclides, afirma que “dados dos segmentos a y b(a b) existe un número entero positivo n tal que es mayor que b”. Este axioma lleva como consecuen-cia el postulado 2 de Euclides y su importancia va másallá de la geometría, se aplica hoy a los grupos total-mente ordenados que se llaman arquimedianos si cum-plen el axioma de Arquímedes, de los que es un ejem-plo el conjunto de los números reales que es un grupoaditivo totalmente ordenado.

El éxito de la axiomática de Hilbert se ve reforzadoporque al suprimir el axioma nº 18 (el quinto postula-do de Euclides, de las paralelas) se puede fundamentarla geometría proyectiva y al sustituirlo por otro axio-ma, se puede fundamentar la geometría hiperbólica ytambién la elíptica, en uno y en otro caso el axiomaque sustituye al quinto postulado es distinto.

Resulta muy interesante el apéndice tercero dellibro de Hilbert en el que define el sentido de unasemirrecta y desarrolla la teoría de la adición y multi-plicación de sentidos en la geometría hiperbólica enforma abstracta. En mi libro P he efectuado el cálculode la adición y multiplicación de sentidos en formaanalítica sobre un modelo geométrico euclídeo de lageometría hiperbólica en el que las rectas son las cuer-das de una circunferencia Σ; y he obtenido la compo-sición de las velocidades de la relatividad restringidamediante un método gráfico. El sentido de una semi-cuerda es su intersección con Σ.

Al considerar la indefinición de los puntos, rectas yplanos, si encontramos tres clases de objetos geométri-

cos X, Y, Z que satisfacen los axiomas de Hilbert,entonces estos desempeñarían el papel de los puntos,rectas y planos, y obtendríamos así modelos euclídeosde la geometría euclídea ordinaria. Habría que hablarentonces de geometría euclídea en plural y no en sin-gular. En I, J y las notas adjuntas, he encontrado tresmodelos euclídeos nuevos de la geometría euclídeaordinaria y propongo numerarlas de uno a cuatro lasgeometrías euclídeas así obtenidas en la que el núme-ro 1 corresponde a la ordinaria. Véanse las notas.

La geometría euclídea y las dos no euclídeas, sonlas tres igualmente verdaderas y desde el punto devista lógico las tres están a la misma altura; sin embar-go existe una diferencia sustancial entre la primera ylas dos últimas y es que mientras existen modeloseuclídeos de geometrías no euclídeas, por el contrariono existen modelos no euclídeos de la geometría euclí-dea. Las definiciones de las figuras y de las transfor-maciones de las no euclídeas se expresan en el lengua-je de la euclídea (se traducen a él) y los teoremas seobtienen por los métodos euclídeos y se traducen allenguaje no euclídeo. Cambian de significado palabrascomo paralelismo, perpendicularidad, cambian la dis-tancia y los ángulos, las propiedades de las figurasgeométricas, etc.

Existe una jerarquía de las tres geometrías, en labase está la euclídea y sobre ella se edifican las noeuclídeas. Para poder conocer las geometrías no euclí-deas hay que conocer antes la euclídea. Exactamentelo mismo puede decirse de las cuatro geometrías euclí-deas, la primera es la básica (la ordinaria) sobre la quese construyen las otras tres y también para conocercualquiera de estas tres hay que conocer la primera.Véanse las notas.

Con Einstein se rompen estos viejos esquemas con-ceptuales y puede hablarse, con razón, del espacio ydel tiempo antes y después de Einstein. En la Teoría dela Relatividad Restringida, la primera y más sencilla elespacio y el tiempo no son independientes sino queforman un continuo tetradimensional, de modo que lospuntos y los instantes se funden en los sucesos forma-dos por la asociación de un punto del espacio y un ins-tante. Se abandonan los conceptos clásicos de pasadoy futuro por otros nuevos, y un tercer concepto sinhomólogo clásico, que es el tiempo que transcurre enotro lugar del espacio y que no se halla con nuestro

n a⋅<


aquí y ahora en relación de pasado ni de futuro. El con-cepto de simultaneidad que nos es tan familiar se com-plica enormemente y requiere un análisis muy difícil.El espacio y el tiempo siguen siendo físicamente inac-tivos y adquieren una estructura métrica pseudoeuclí-dea. Véanse mis libros F y G.

La Mecánica clásica utiliza el espacio y el tiempodefinido por Newton: “el tiempo absoluto, verdadero ymatemático transcurre en sí, uniformemente y sin nin-guna relación con los objetos externos”; la definiciónde un punto material como un punto geométrico dota-do de una masa y cinco postulados que se admitencomo verdades indemostrables o evidentes por sí mis-mas, entiendo que no son verdades lógicas, sino que seimponen a la mente, porque jamás la experiencia, de laque se tiene conocimiento histórico se ha manifestadoen contradicción con ellas.

Se ha llegado a la enunciación explícita de estospostulados por un camino totalmente inductivo, comoresultado de un número muy grande de observaciones,que han sugerido a los físicos la necesidad de unaaceptación universal. Posteriormente ha sido compro-bado por los físicos que los resultados obtenidos porvía analítica de estos postulados, nunca eran desmenti-dos por la experiencia, lo que les confirmó la necesi-dad de admitirlos como verdades indemostrables.

Cuando los adelantos y refinamientos de la Técnicaexperimental permitieron efectuar medidas de extraor-dinaria precisión, que mostraron los errores de losresultados obtenidos a partir de la Mecánica y de laFísica clásica, se habló de la crisis de estas ciencias ysurgió en el siglo XX una nueva revolución científicacon la Teoría de la Relatividad y de la MecánicaCuántica.

Entre estos postulados figura la ley de la inercia queafirma “todo punto material, supuesto aislado o está enreposo o se mueve con movimiento rectilíneo de velo-cidad constante (uniforme)”.

El punto de partida de la Mecánica clásica es laecuación de Newton que afirma que “la fuerza ejerci-da sobre un punto material F es igual al producto de lamasa m por la aceleración a”; es la:

(la ecuación es vectorial). Por tanto si sobre un puntono se ejerce ninguna fuerza, la aceleración es nula y lavelocidad es constante, si es cero el punto está en repo-so y en caso contrario se mueve con movimiento recti-líneo uniforme. La ley de inercia se sigue de la ecua-ción de Newton (19). Véase mi libro E.

Se llama referencial a todo sistema que permitefijar la posición de un punto en el espacio. El más sen-cillo es el formado por tres ejes formando un triedrotrirrectángulo OXYZ, de modo que la posición de unpunto viene fijada por sus tres coordenadas cartesianasx,y,z. En la Mecánica clásica el tiempo es un paráme-tro de valor universal.

Un referencial se llama inercial si en él se verificala ley de inercia y la ecuación (19). Se demuestra quetodo referencial en movimiento de translación rectilí-neo y uniforme respecto a un referencial inercial estambién inercial. Este es el principio de la Relatividadde Galileo de la Mecánica clásica. Son ejemplos dereferenciales inerciales el usado por Copérnico para suteoría heliocéntrica, y el usado por Newton para esta-blecer su ley de gravitación universal. No es inercial elreferencial ligado a un punto de la Tierra, debido almovimiento de rotación de la Tierra alrededor de sueje.

Se llaman transformaciones de Galileo a las quesirven para pasar de las coordenadas de un punto res-pecto a un referencial inercial a sus coordenadas res-pecto a otro referencial inercial que se mueve con unmovimiento uniforme de traslación respecto al prime-ro. El tiempo es el mismo en uno otro referencial, esel de Newton. Las ecuaciones de la mecánica son inva-riantes respecto a las transformaciones de Galileo, loque significa que no podemos darnos cuenta de unmovimiento uniforme y rectilíneo del referencial. Porel contrario las ecuaciones de Maxwell y la de lasondas del electromagnetimo y de la óptica no son inva-riantes respecto a las transformaciones de Galileo, porlo que la velocidad de la luz no es la misma en dosreferenciales inerciales en un movimiento uniforme detraslación de uno respecto al otro. Estas consecuenciasson muy importantes e hicieron entrar en crisis a laMecánica y Física clásicas. Hubo necesidad de cam-biar las transformaciones de Galileo por las deLorentz, para las que si son invariantes las antecitadasecuaciones de Maxwell y de las ondas, y para las queF m a= ⋅


(19)

la velocidad de la luz es la misma en referenciales iner-ciales. Einstein formulaba en 1905 el principio de laRelatividad restringida que afirma: “la sustitución deun referencial inercial por otro ha de dejar invarianteslas leyes de la Física”, y por tanto es necesario sustituirlas transformaciones de Galileo por la de Lorentz. Paravelocidades muy pequeñas en comparación con la dela luz, apenas hay diferencias, por lo que para ellas sepueden seguir usando la Mecánica y la Física clásica.

Desde el punto de vista matemático las transforma-ciones de Galileo y de Lorentz forman grupo, lo cuales estrictamente necesario para poderlas usar en Física.

Las consecuencias físicas de este cambio de trans-formaciones son muy importantes, entre ellas figuran:

a) la invariancia de la velocidad de la luz en elvacío c para observadores en reposo o en movi-miento rectilíneo uniforme.

b) la no existencia de velocidades superiores a lade la luz en el vacío.

c) la contracción de las longitudesd) la dilatación del tiempo y la existencia de un

tiempo locale) la equivalencia entre masa y energía.

La contracción de las longitudes consiste en que sies la longitud de una barra medida por un obser-

vador en reposo respecto a ella, si la barra se muevecon movimiento uniforme y rectilíneo respecto alobservador, la medida de la longitud es más pequeña,excepto si la dirección del movimiento es perpendi-cular a la barra, en cuyo caso no hay contracción. Lacontracción es máxima cuando la barra y la direccióndel movimiento son paralelos.

La existencia del tiempo local, significa que en laRelatividad restringida el tiempo no es un parámetro,sino que es una coordenada, y que en las transforma-ciones de Lorentz el tiempo depende de las coorde-nadas espaciales del lugar. Mientras que en las deGalileo el tiempo permanece el mismo y lo que quedainvariante es la distancia d entre dos puntos

y en las de Lorentz lo que queda invariante es la pseu-dodistancia entre dos sucesos ∆2 del pseudoespaciocuatridimensional espacio-tiempo:

La dilatación del tiempo significa que “la marchade un reloj en movimiento es más lenta que la delmismo en reposo” o lo que es igual, que el intervalo detiempo entre dos sucesos medidos por dos obser-vadores en movimiento uniforme y rectilíneo, tieneuna duración distinta.

La equivalencia entre masa y energía (principio deinercia de la energía) viene dado por la ecuación deEinstein:

donde E es la energía, m la masa y c la velocidad de laluz en el vacío. En virtud de (22) el contenido deenergía modifica la masa inerte. La (22) marcatambién la posibilidad de la materialización de laenergía, por ejemplo un fotón puede transformarse enun electrón y un positrón. Y también la desmateriali-zación de la masa, el ejemplo contrario un electrón yun positrón pueden aniquilarse y crear un fotón.

Hay que distinguir entre energía de masa y energíanuclear, la primera corresponde a la (19) y la segunda ala que se libera en algunas reacciones nucleares (lafusión y la fisión) como consecuencia de una pérdidade masa del sistema reaccionante de acuerdo con la(22).

La (22) explica el origen de la energía liberada porel Sol y las estrellas, primero cualitativamente explicólo que entonces era un enigma y posteriormente enforma cuantitativa de acuerdo con las teorías de Bethey Von Weizsäcker.

Es importante señalar que en un medio materialtransparente la velocidad de la luz es menor que c, vale

siendo n el índice de refracción ( ) y por tantouna partícula eléctrica puede moverse en ese mediocon una velocidad inferior a c y superior a , encuyo caso provoca el efecto Cerenkov que consiste enuna emisión de luz entre azul y violeta, que es unaonda parecida a la producida por un avión supersónico.

En la Relatividad general, matemática y concep-tualmente más complicada que la restringida, elespacio, el tiempo y la materia dejan de ser indepen-

2E mc=

l


(20)

(21)

(22)

c n 1n >

c n

dientes, los dos primeros son físicamente activos. Lamateria configura la estructura y la métrica delespacio-tiempo, que ya no es ni plano ni infinito, sinocurvo y finito, su geometría se denomina pseudo-rrie-manniana. Surgen nuevos fenómenos físicos, inconce-bibles en la Física anterior, entre ellos el espacio ya noes estático sino dinámico, está en expansión y comoestá en expansión no puede hacerse sin salirse de símismo, hay que introducir en un espacio euclídeo decuatro dimensiones ficticio, el espacio tridimensionalno euclídeo. La expansión del universo fue observadapor los astrónomos en los años veinte, se conoce con elnombre de fuga de las galaxias, que provoca un co-rrimiento hacia el rojo de los rayos espectrales de laluz procedente de ellas. Está de acuerdo con laRelatividad general.

En el sistema solar los fenómenos explicados por laRelatividad general son el movimiento del perihelio deMercurio, de las rayas espectrales de la luz solar haciael rojo (dilatación gravitacional del tiempo) y la cur-vatura de los rayos luminosos procedentes de unaestrella que pasan cerca del Sol. Estos fenómenos soninexplicable por la Física clásica.

En 1915 Einstein enunció el principio de laRelatividad general, que es una generalización del dela restringida. El principio de la Relatividad general deeinstein afirma: “Si se sustituye un referencial inercialS por otro S1 que no lo es, si existe un campo gravita-torio C en S1, que lo convierte en inercial, las leyes dela Física son las mismas en S que en S1 con C”.

La formulación matemática de la Teoría de laRelatividad general la hizo Einstein en 1917, medianteun principio de mínimo en un espacio pseudo-rrieman-niano que es de cuatro dimensiones, tres espaciales yuno temporal. Casi al mismo tiempo llegó Hilbert a lasmismas conclusiones.

La Cosmología moderna y la Física de partículaselementales se explican por el uso conjunto de laTeoría de la Relatividad y de las Teorías Cuánticas(Mecánica, Electrodinámica y Cromodinámica Cuán-ticas). La teoría, la observación y el experimento hanconducido a enormes macromagnitudes espaciales ytemporales como son la edad del universo o las dis-tancias a las galaxias más lejanas, y también pequeñí-

simas micromagnitudes como son las dimensiones ylas vidas medias de las partículas elementalesinestables; así como a pretender conocer lo quesucedió en los primeros intervalos de tiempo infinites-imales después del principio del universo (Big Bang).

Combinando las probabilidades y la mecánicaclásica se desarrolló en la segunda mitad del siglo XIXla mecánica estadística clásica y en los años veinte delsiglo XX las dos mecánicas estadísticas cuánticas.Combinando las probabilidades con la mecánica rela-tivista desarrollé la mecánica estadística relativista en1985 en una artículo de la Revista “Trabajos deEstadística e Investigación Operativa” y en 1984 y1988 en la Revista de la Real Academia de CienciasExactas, Físicas y Naturales.

Para cerrar voy a hacer referencia a la exploraciónde longitudes y tiempos inconcebiblemente pequeñosque se llaman de Planck. La longitud de Plank es delorden de cm, por debajo de la cual el espacio queconocemos y en que vivimos, deja de ser como nosparece que es, y se convierte en lo que se llama espumacuántica. El tiempo de Plank es del orden de seg.,es el intervalo de tiempo más pequeño que puedeexistir, y si el intervalo entre dos sucesos en menor, nose puede saber cual de los dos sucesos sucede antes.

Tan curioso y extraño como los anteriores es laposible existencia de bucles cerrados en el tiempo, demodo que un viajero en el espacio-tiempo, siguiendouno de estos bucles ruede regresar a su punto departida tanto en el espacio como en el tiempo. Estánrelacionados con las máquinas del tiempo que per-miten viajar retrocediendo en el tiempo. Esto espolémico y Stephen Hawking, uno de los científicosmás importantes de nuestra época, ha formulado laconjetura de protección cronológica, según la cual, lasleyes de la Física no permiten la construcción de unamáquina del tiempo.

Fuera del texto de la conferencia vamos a incluirunas breves notas extraídas de mis propias investiga-ciones, ampliamente desarrolladas en mis publica-ciones citadas en la Bibliografía. Requieren un aparatomatemático complicado y van dirigidas a lectoresespecializados en la materia.


3310−

4310−

Nota 1.

UNA REGLA DE INDETERMINACIÓNALEATORIA EN EL PROCESO

ESTOCÁSTICO DE LA DESINTEGRACIÓNRADIACTIVA. UN NUEVO TEOREMA.

El valor medio del tiempo aleatorio en que se desin-tegra totalmente un cuerpo radiactivo constituido por npartículas, cuando n tiende a infinito, también tiende ainfinito; es una variable cierta.

El tiempo aleatorio en que se desintegra totalmenteel anterior cuerpo radiactivo, es una variable aleatoriaque también tiende a infinito, al tender n a infinito.

La diferencia entre ambas variables anteriores, laaleatoria y la cierta, cuando n tiende a infinito, tiende auna variable aleatoria finita, cuyo valor medio es ceroy cuya varianza y demás momentos centrales sonfinitos. Esto es lo que vamos a demostrar.

Toda la teoría, incluidos estos resultados, han sidodesarrollados en mi libro “Cálculo de Probabilidades yProcesos Estocásticos” y en mis memorias allí citadas.

La función característica (fc) y la de densidadde probabilidad del tiempo aleatorio que tarda endesintegrarse una partícula, cuando el número departículas no desintegradas del cuerpo radiactivo es j,son respectivamente:

Por tanto la fc del tiempo aleatorio que tardan endesintegrarse las n partículas iniciales, por ser la sumade n variables aleatorias independientes, es el productode las (1) cuando j varía de 1 a n. Es:

El valor medio y la varianza de (1)son:

de aquí que el valor medio m y la varianza de (2)que son la suma de y cuando j varía de 1a n, valen:

Cuando n tiende a infinito la m de (4) tambiéntiende a infinito y la de (4) tiende a un valor finito.Por tanto cuando n tiende a infinito, también tienden ainfinito el tiempo medio y el tiempo aleatorio quetardan en desintegrarse totalmente el cuerpo, es decirtodas sus partículas. Ahora bien, la diferencia entreestos dos tiempos (el aleatorio y el medio que es unavariable cierta) tiende a una variable aleatoria cuyovalor medio es cero, y su varianza es finita, vale:

La fc de la diferencia entre estos dos tiempos es:

la exponencial de (6) es por ser el tiempo medio unavariable cierta.

Tomando logaritmos en (6), se obtiene para el loga-ritmo del producto infinito encerado entre paréntesis elvalor:

y para la exponencial de (6) fuera del paréntesis, ellogaritmo vale:

Por tanto el logaritmo de (6) es la suma de (7) y (8):

que es una serie convergente, lo que demuestra lapropiedad anteriormente enunciada.

1

1j

iz jλ∞

=

− ∑

2

2 21 1

1 1 ...2j j

ziz j jλ λ

∞ ∞

= =

⎛ ⎞−+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

22 2

1 1

1 1 1 1;n n

j jm j j

σλ λ= =

= =∑ ∑


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2σ

2σ

(7)

(8)

(9)

Se puede calcular exactamente de la siguien-te manera:

por otra parte es:

y aplicando (11) a (12)

se obtiene

y llevando este valor a (9) se obtiene:

que es una serie convergente que da exactamente elvalor de y por tanto de .

Lo anterior levanta una indeterminación aleatoriadel tipo y da su valor verdadero. Lo que hemoshecho es la solución de un fenómeno físico particular,que se puede generalizar a otros muchos, por lo queconstituye un teorema. Se aplica a todos aquellos casosen los que una sucesión de variables es tal que su valormedio tiende a infinito, pero que la varianza y losdemás momentos centrales convergen a númerosfinitos, entonces la diferencia entre la variablesaleatorias de la sucesión y sus valores medios con-vergen a una variable aleatoria finita de valor medionulo.

Nota 2.

LAS CUATRO GEOMETRÍAS EUCLÍDEAS.

Hilbert en su libro “Los Fundamentos de laGeometría” axiomatizó la geometría euclídea de tresdimensiones a partir de tres entes no definidos quellama puntos, rectas y planos, mediante 20 axiomasigual a 9 + 11. El número de entes que utiliza es 3.

En mi libro inédito antecitado introduciendo n-3entes nuevos y más 11 axiomas en total he con-seguido axiomatizar el espacio euclídeo de n dimen-siones. Los nuevos entes son los n-3 hiperplanos detres a n-1 dimensiones que junto a los tres entes deHilbert hacen n.

El problema que me he planteado es el siguiente:supuesto verdadero todo el saber geométrico acu-mulado y la axiomática de Hilbert, averiguar si existentres clases de objetos geométricos X,Y,Z, tales quesustituyendo los puntos, rectas y planos de laaxiomática de Hilbert por X,Y,Z, las proposiciones quese obtienen son verdaderas, son auténticos teoremas.Si existen tales X,Y,Z decimos que hemos obtenido unnuevo modelo euclídeo de la geometría ordinaria oclásica, en la que los elementos de la Geometría sonlos X,Y,Z, que ya no son entes no definidos, sinoobjetos definidos en función de los puntos, rectas yplanos. Hemos demostrado que hemos encontrado tresternas de X,Y,Z distintos, que guardan entre sí lasmismas relaciones que los puntos, rectas y planos de laaxiomática de Hilbert, de modo que estos X,Y,Z son los“puntos”, “rectas” y “planos” de tres nuevas geome-trías euclídeas que llamamos segunda, tercera y cuarta.

En la geometría euclídea en el caso de dos dimen-siones, el “plano” es el plano euclídeo del que se hasuprimido un punto O y se ha añadido otro que repre-sentamos por que no puede representase en eldibujo. Las “rectas” son las rectas ordinarias que pasanpor O y las circunferencias que pasan por O; el puntono representable es el que es común a todas lasrectas que pasan por O (O se ha suprimido). A esteplano le llamo plano inversivo incompleto y lo denotoPI, al plano euclídeo lo denoto PE. El ds de PI es coor-denadas polares planas respecto a O:

cuyas geodésicas son las “rectas” de PI. La distanciaentre dos puntos A y B de PI es igual a la distanciaeuclídea entre los puntos A1 y B1 inversos de A y B enla inversión de centro O y potencia k2. Los ángulos soniguales a los euclídeos. PE es conexo y PI no lo es.

En tres dimensiones se puede definir una segundageometría euclídea, suprimiendo un punto O, de modoque las “rectas” son las circunferencias y las rectas que

∞

∞

∞ − ∞

izx jλ=


(10)

(11)

(13)

(14)

(1)

(12)

2n

pasan por O; los “planos” son las superficies esféricasy los planos que pasan por O, y en cada “recta” seintroduce un nuevo punto , irrepresentable, que sonlos puntos por los que pasan todas las “rectas” de un“plano” que pasan por el punto suprimido O. El ds deeste nuevo espacio EI en coordenadas polares conorigen en O es

Hay una 3ª geometría euclídea que llamamos SI,cuyo modelo vamos a describir. Véase figura 6.

S es una superficie esférica de diámetro OA y radioR, de la que se suprime el punto O. La proyecciónestereográfica desde O, de S sobre el plano ∆ tangenteen A a S, es igual a una inversión de centro O ypotencia 4R2.

En esta inversión las rectas de ∆ se transforman enlas circunferencias de S que pasan por O (punto que seha suprimido). Las “rectas” de SI son las circunferen-cias de S que pasan por O (de las que se suprime O) ypuntos son los puntos ordinarios. El ds de SI es:

las geodésicas de (3) desprovistas del punto O, son las“rectas” de SI, y la distancia entre dos puntos de SI esigual a la distancia euclídea entre sus inversos de ∆.Véase el fin de esta nota.

Hay una 4ª geometría euclídea que llamamos SII.Las rectas y las circunferencias se transforman en estainversión anterior, en las circunferencias de S quepasan por A y desprovistas del punto A son las “rectas”de SII. La métrica es la (4) como veremos en la nota 7ª.El PI de ∆ (con A suprimido) es la proyección estereo-gráfica de S, desde O sobre el plano tangente en A.

Los puntos y “rectas” de SI y SII cumplen los 15axiomas de Hilbert que fundamentan el planoeuclídeo.

Para SI en el caso de tres dimensiones las “rectas” y“planos” son las circunferencias y las superficies

esféricas que pasan por O; y para SII las que pasan porA. Las primeras con el punto O suprimido y las últimascon el punto A suprimido.

La distancia entre dos puntos de SII es igual a ladistancia entre sus inversos en el PI de ∆, medidos conla métrica (1).

Se pasa de SI al PE de ∆ y viceversa, y de SII al PIde ∆ y viceversa, mediante las inversiones anteriores oproyecciones estereográficas. Por tanto se puede pasarde PE, PI, SI y SII, de uno a otro cualquiera por inver-siones, ya que se pasa del PE de ∆ al PI de ∆ medianteuna inversión de centro A.

SII tiene el mismo soporte S que el SII, solo que enel primero se suprime el punto A, y en el segundo elpunto O. En ambos las “rectas” son circunferencias deS, que pasan por A (suprimido) para SII y por O(suprimido) para el SI.

Los ángulos entre “rectas” son los euclídeos.

SII procede de invertir un PI desde un punto O conpotencia 4OA2 (A es la proyección de O sobre PI, cuyopunto excluido es el A). Las circunferencias y lasrectas del PI que pasan por A (punto suprimido) queson las rectas del PI se transforman en las circunferen-cias de S que pasan por A (suprimido) que son lasrectas de SII, en la antecitada inversión.

Los resultados anteriores los hemos extendido a ndimensiones.

También hemos extendido a n dimensiones laaxiomática de Hilbert expuesta en su libro“Fundamentos de Geometría” para tres dimensiones,necesito crear tres entes indefinidos y 25 axiomas.Para extenderla a n dimensiones hemos necesitado nentes indefinidos y axiomas.

Al extenderla a n dimensiones estas tres nuevasgeometrías euclídeas (2ª, 3ª y 4ª), los “puntos”,“rectas”, “planos” e “hiperplanos” satisfacen laaxiomática de Hilbert que hemos extendido a n dimen-siones.

El ds de SII cambiando en (3) θ por es:π θ−

∞


(2)

(3)

2 11n +

La figura 6 representa la sección de una esfera S decentro C y radio R; O y A son puntos diametralmenteopuestos; AF y OG son las trazas sobre el plano delpapel de los planos tangentes en A y O a S. F y G sonlas proyecciones estereográficas de B desde O y A.

Llamamos θ al ángulo ACB y entonces ,y:

se tiene que:

el ds2 del plano tangente a S en A es:

Llevando el valor (6) de r a (7) se obtiene (3), quemuestra la equivalencia de la métrica del PE (7) y delSI.

Si en (7) se hace el cambio de r por ρ y el cambiode ρ por (6) se obtiene:

que muestra que el plano tangente a S en O es un PI yla equivalencia entre la métrica del PI y de SII. Sepuede extender a n dimensiones.

Nota 3.

LÍMITES GEOMÉTRICOS QUEIMPLICAN OTROS.

Dada una circunferencia de centro O y radio R, deecuación:

la ecuación general de las circunferencias ortogonalesa (1) es

donde α y β son la coordenadas del centro de (2). Sihacemos tender R a cero en (1), la (1) tiende al puntoO, y la (2) tiende al conjunto de circunferencias quepasan por O, porque

Los diámetros de (1) que son las rectas que pasanpor O se conservan. Por tanto si el límite de unasucesión de circunferencias concéntricas, cuando elradio tiende a cero, es O, el límite de la sucesión delconjunto de circunferencias ortogonales tiende al con-junto de circunferencias que pasan por O.

Si se invierte con centro O y potencia R2, lasucesión decreciente de circunferencias cuando Rtiende a cero, se convierte en la sucesión de circunfe-rencias inversas de las anteriores, que es creciente ytiene como límite todo el plano, porque sus radiostienden a infinito, y por tanto todo punto del plano esinterior a una circunferencia de esta sucesión. En estainversión los conjuntos de circunferencias ortogonalesa las de la sucesión decreciente, se convierten en lascircunferencias ortogonales a las de la sucesión cre-ciente y como el límite de las primeras son las circun-ferencias que tienden a pasar por O (centro deinversión) sus inversas tienden al conjunto de todas lasrectas del plano, excepto las que pasan por O, lascuales se conservan. Se sigue que el límite de la

2 2 22 2 0x y x y Rα β+ − − + =

2 2 2x y R+ =

2 2 2 2ds dr r dϕ= +

2; ; 4AF r OG r Rρ ρ= = =


(4)

(8)

2COB θ=

(5)

(6)

(7)

(1)

(2)

(3)

sucesión de las circunferencias (1) cuando R tiende ainfinito es el conjunto de todas las rectas del planoexcepto las que pasan por O.

Los resultados anteriores son independientes deque las circunferencias (1) sean reales o imaginarias,es decir que R2 sea positivo o negativo.

Este resultado es muy importante como se verá enlas notas 4ª y 5ª.

Nota 4.

LAS DOS PRIMERAS GEOMETRÍASEUCLÍDEAS COMO LÍMITES DE LAS

GEOMETRÍAS ELÍPTICA EHIPERBÓLICA CUANDO LA CURVATURA

TIENDE A CERO O A INFINITO.

Es sabido que el interior de la circunferencia

si R es real es el soporte de un plano hiperbólico, en elque las “rectas” (líneas geodésicas) son los arcos inte-riores a (1) de sus circunferencias ortogonales. Hedemostrado que también lo son los arcos exteriores yentonces a diferencia del caso anterior el plano hiper-bólico no es conexo.

Lo mismo sucede para el plano elíptico en que essabido que los arcos interiores a (1) de las circunferen-cias ortogonales a la circunferencia imaginaria

y también he demostrado que lo son los arcos exte-riores y entonces el plano elíptico no es conexo.

De lo anterior y de la nota 3ª se sigue el límite deuna sucesión de planos hiperbólicos (o elípticos)cuando R tiende a infinito es un plano euclídeo PE,caso en que la curvatura del espacio es nula.

Si la sucesión de planos hiperbólicos (o elípticos)es tal que R tiende a cero, de la nota 3ª se sigue que sulímite es un PI, en cuyo caso la curvatura del espacioes infinita

En el primer caso los soportes euclídeos de losplanos hiperbólicos (o elípticos) es el interior de (1) yen el segundo caso es el exterior de (1).

Estos resultados se extienden a tres y a n dimen-siones.

Nota 5.

TEORÍA UNIFICADA DE LAS DOSGEOMETRÍAS EUCLÍDEAS Y DE LAS

GEOMETRÍAS ELÍPTICA EHIPERBÓLICA.

Es sabido que el ds de un plano hiperbólico oelíptico en coordenadas polares es

donde el signo menos ( ) corresponde al hiper-bólico y el signo más al elíptico.

Si en (1) hacemos R se obtiene el ds del planoeuclídeo.

En el caso de que el plano hiperbólico o elíptico nosea conexo, entonces en vez de la (1) el ds es:

En el caso de (2) si multiplicamos por

se obtiene el ds de un plano homotético, cuya razón dehomotecia es . La (2) se transforma en la

y si en (4) hacemos R 0 se obtiene el ds de un PI.

Estos resultados son los mismos que los que obtu-vimos en la nota 4ª por otro procedimiento.

=

4

4kR

∞=

r R≤

2 2 2 1x y R+ + =

2 2 2x y R+ =


(1)

(2)

(1)

(2)

(3)

k R

(4)

Este resultado se extiende a tres y a n dimensiones.

La geometría euclídea es más básica que las noeuclídeas, porque existen modelos euclídeos degeometrías no euclídeas y en cambio no existenmodelos no euclídeos de de la geometría euclídea. Loque si que existen so modelos euclídeos de lageometría euclídea ordinaria, como en el caso de tresdimensiones sobre el propio espacio euclídeo o sobreuna hiperesfera de tres dimensiones inmersa en unespacio euclídeo de cuatro dimensiones.

Nota 6.

LA RAZÓN DOBLE DE DOSCIRCUNFERENCIAS, DOS ESFERAS Y

DOS HIPERESFERAS.

He llamado razón doble (ΣΣ1) de dos circunferen-cias coplanarias Σ y Σ1 a la razón doble de las cuatrointersecciones ABA1B1 de Σ y Σ1 con su diámetrocomún, que si son reales y V es el ángulo que formansus radios en un punto común se tiene que:

de lo que se sigue que

De lo anterior se sigue que si dos circunferenciasson tangentes y una es interior a la otra V vale cero, y sison exteriores V vale π. Véase la (10) del texto de laconferencia.

La razón doble de dos circunferencias se conservaen la inversión. También se puede definir como larazón doble de los cuatro puntos FGF1G1 en los que Σy Σ1 cortan a cualquier circunferencia ortogonal a lasdos.

La definición anterior me ha permitido extender ladefinición de ángulo a dos circunferencias que no secortan y a una circunferencia real y otra imaginaria.

Una recta ∆ se puede considerar como una circun-ferencia de radio infinito, cuyo centro es el punto delinfinito de las rectas perpendiculares a ella, lo que meha permitido definir la razón doble de una circunferen-cia Σ y de una recta ∆, tanto si se cortan en que elángulo es real, como si no se cortan en que el ángulo esimaginario. Véase la (11) del texto de la conferencia.

Así mismo se puede definir la razón doble de dosrectas ∆ y ∆1, como la razón doble de las intersec-ciones de ∆ y ∆1 con cualquier circunferencia, cuyocentro sea la intersección de ∆ y ∆1. Véase la figura 5.

También un punto A puede considerarse como unacircunferencia de centro A y radio cero, por lo quepuede definirse la razón doble de un punto A y de unarecta ∆ o una circunferencia Σ. Si B y C son las inter-secciones de Σ con su diámetro que pasa por A es:

luego la tangente del ángulo V que forman A y Σ vale i,porque vale i (3) y por tanto

Si el punto está sobre Σ entonces (3) es

es indeterminada, lo cual significa en este caso queel ángulo que forman Σ y A puede ser cualquiera, laindeterminación no puede levantarse como en otroscasos. Por tanto los puntos que son reales, se com-portan para esta propiedad como las rectas isótropasque son imaginarias. Respecto a un punto A y una recta∆ se mantienen los resultados (4) y (5). Hemosextendido el concepto de ángulo a puntos con rectas ycircunferencias.

La razón doble puede extenderse a dos circunferen-cias Σ y Σ1 sobre la superficie de una esfera S, debido aque la proyección estereográfica conserva los ángulos(es un inversión). Se tiene que (ΣΣ1) es igual a la razóndoble (ΓΓ1) siendo Γ y Γ1 la proyección estereográficade Σ y Σ1 desde cualquier punto de S, aunque estasproyecciones sean distintas unas de otras, pero secortan bajo el mismo ángulo.

22tan

1iV ii

= =−


(1)

(3)

(4)

(5)

(2)

También puede definirse (ΣΣ1) como la razón doblede las intersecciones de Σ y Σ1 con cualquier circunfe-rencia de S ortogonal a ellas; éstas son las seccionesplanas de S por los planos que pasan por los polos P yP1 respecto a S de los planos que contienen a Σ y Σ1.En particular (ΣΣ1) es igual a la razón doble de lasintersecciones de Σ y Σ1 con el meridiano de S que estásobre el plano diametral de S que contiene a P y P1(véase la figura 7). En la figura 7 si llamamos Ω y ∆ almeridiano y al plano diametral, Ω es la circunferenciay ∆ el plano del papel. Los planos que contienen a Σ yΣ1 son perpendiculares a ∆, y lo cortan según losdiámetros AB y A1B1 de Σ y Σ1; P y P1 son los polos deAB y A1B1 respecto a Ω. La protección estereográficade S desde cualquiera de sus puntos, sea el C sobre elplano tangente en D a S (O es el centro de S y D elpunto diametralmente opuesto a C) transforma Σ y Σ1en dos circunferencias Γ y Γ1 sobre ∆ de diámetros FGy F1G1. Se tiene que

He extendido la razón doble a dos esferas S y S1 dela que se pueden dar las siguientes definiciones equi-valentes:

1º). (SS1) es igual a la razón doble (ABCD) de lasintersecciones AB y A1B1 de S y S1 con su diá-metro común.

2º). (SS1) es igual a la razón doble de las dos circun-ferencias Σ y Σ1 intersecciones de S y S1 concualquier plano diametral común a S y S1.

3º). (SS1) es igual a la razón doble de las dos circun-ferencias intersecciones de S y S1 con cualquieresfera ortogonal a ambas.

Los resultados anteriores se pueden extender a ndimensiones, pero no se pueden extender a circunfer-encias que no estén sobre un mismo plano o la mismaesfera.

Pueden consultarse mis publicaciones. En mi libroinédito “Geometría de 2 a N dimensiones y Trigono-metría imaginarias” he realizado una investigaciónmuy amplia sobre esta materia.

Nota 7.

ISOMETRÍAS ENTRE PE, PI, SI SII.

La proyección estereográfica de S desde O sobre elplano ∆ tangente a S en A (figuras 6 y 8) es unainversión de centro O y potencia 4R2.

Llamamos SI a S suprimiendo el punto O, dotadode la métrica (3) de la nota 2ª, en la que las “rectas”son las circunferencias que pasan por O (suprimidoeste punto). La proyección estereográfica de S sobre ∆desde O, es un PE cuya métrica es la (7) de la nota 2ª.Existe una correspondencia biunívoca (biyección)entre SI y el PE de ∆, definida por la antecitadaproyección estereográfica (o inversión). La distanciaentre los puntos de SI medidos con su métrica, es iguala la distancia euclídea entre sus homólogos en el PE de∆. Los ángulos entre “rectas” son los euclídeos (figura6).

Llamamos SII a S suprimiendo el punto A (figura8), dotado de la métrica (4) de la nota 2ª, en la que las“rectas” son las circunferencias que pasan por A


(6)

(suprimido este punto). La proyección estereográficade S sobre ∆, es un PI cuya métrica es la (8) de la nota2ª. Existe una correspondencia biunívoca entre lospuntos y “rectas” de SII y del PI de ∆, definida por laproyección estereográfica. La distancia entre dospuntos de SII es igual a la distancia entre los puntoshomólogos del PI, ambas medidas con sus métricas.

Existe una correspondencia biunívoca entre lospuntos y “rectas” de SI y SII, siendo homólogos lospuntos diametralmente opuestos de S, en la figura 8son homólogos B y B1, pertenecen a SI uno y a SII elotro.

Los ángulos entre rectas son los euclídeos. Se pasade un punto de SI al homólogo de SII mediante la susti-tución de la coordenada θ:

Por tanto existe una correspondencia biunívocaentre PE, PI, SI y SII.

Al igual que se han obtenido en la nota 2ª a partir delas fórmulas (3), (5) y (6) las equivalencias de las (7) y(8) con (3), se pueden obtener a partir de la (4) lasnuevas equivalencias de (4). Comparando la figura 6 yla 8 y como ahora es:

en la que las dos últimas son la (6) de la nota 2ª inter-cambiadas, se tiene que llevando a la (4) de la nota 2ªel valor (2) de θ en función de r1 y ρ1, se obtiene:

que corresponde a la métrica del PE en el plano tan-gente a S en O, y a la métrica del PI en el plano tan-gente a S en A.

En SI y en SII la distancia entre dos puntos situadossobre un mismo meridiano que pasa por O y A secalcula haciendo dϕ 0 en (3) y (4) de la nota 2ª, por loque resulta muy fácil la integración de ds y por tanto el

cálculo de dicha distancia. Comparando las dos dis-tancias en SI y en SII se comprueba la profunda dife-rencia entre ambos.

BIBLIOGRAFÍA

1. Bell: “Historia de las Matemáticas”. Editorial Efe,1949.

2. Bell: “Los Grandes Matemáticos”. EditorialLosada, 1948.

3. Morris Kline: “El pensamiento matemático dela antigüedad a nuestros días”, tres tomos.Alianza Universidad, 1992.

4. Hilbert: “Fundamentos de Geometría”. CSIC,1953.

5. Borel: “El Espacio y el Tiempo”. Montaner Simón.1931.

6. Gamow: “Biografía de la Física”. Alianza Editorial,1985.

LIBROS DEL AUTOR

A. “Cálculo de Probabilidades y ProcesosEstocásticos”. Editorial Paraninfo, 1974.

B. “Geometría Analítica y Proyectiva del Plano”.Editorial Dossat, 2ª edición, 1965.

C. “Geometría Analítica y Proyectiva del Espacio”.Editorial Dossat, 1961.

D. “Ecuaciones Diferenciales y Matrices”. 2ª edición.Editorial Dossat, 1965.

E. “Mecánica y Cálculo Tensorial”2ª edición. EditorialDossat, 1965.

=

2 2 22 2 2 2 2 2 1 1

1 1 41

; 16 d dds dr r d ds R ρ ρ ϕϕρ

+= + =

1 1 1 1

1 1

22; ; ;tan 2

2 tan 2

RBOA BCA OF r

AG R

θ θ θ

θρ

= = = =

= =


(1)

(2)

(3)

F. “Filosofía de las Matemáticas”. Editorial Dossat,1961.

G. “Grandes Problemas de la Filosofía Científica”.Editora Nacional, 1973.

OTRAS PUBLICACIONES DEL AUTOR

I. Discurso de Investidura Doctor Honoris Causa.Universidad Politécnica de Valencia, 1997.

J. “La utilidad de las Matemáticas en el progresomaterial e intelectual del hombre”, en “2000, AñoMundial de las Matemáticas”. Real Academia deCiencias.

K. “La N-esfera y el espacio inversivo incompleto,modelos euclídeos de geometrías no euclídeas clási-cas”, en “Fronteras de la Informática”. Editado porla Real Academia de Ciencias y la Facultad deInformática de la Universidad Politécnica de Madrid,1994.

L. “Una definición proyectiva de ángulo y la razón

doble de dos circunferencias; esferas en una dimen-sión; los N+1-edros ortocéntricos y las esferas orto-gonales en espacios euclídeos de N dimensiones”, en“Contribuciones Matemáticas en honor del Profe-sor José Javier Etayo”. Editado por la UniversidadComplutense de Madrid, 1994.

M. “Historias paralelas de las Matemáticas y de laFísica” en el Programa de Promoción Científica yTecnológica 2002-03 que va a ser publicado por laReal Academia de Ciencias.

N. “El Legado de Galileo en la evolución de la Físicahasta hoy”, en “En torno a Galileo” editado porAmigos de la Cultura Científica 1993.

LIBROS INÉDITOS DEL AUTOR

P. “Geometrías no euclídeas y Teoría de laRelatividad”.

Q. “Geometría de 1 a N dimensiones y Trigonometríaimaginaria”.


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