Ekfoniseis 1 200

200 επαναληπτικά θέματα

εκφωνήσεις

Μ Α Ρ Τ Ι Ο Σ 2 0 1 5

Ψ Η Φ Ι Α Κ Ή Ε Π Ε Ξ Ε Ρ Γ Α Σ Ί Α : Δ Η Μ Ή Τ Ρ Η Σ Π Α Π Α Μ Ι Κ Ρ Ο Υ Λ Η Σ

Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α Λ Υ Σ Ε Ω Ν : Π Α Υ Λ Ο Σ Τ Ρ Υ Φ Ω Ν

στα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ τάξης λυκείου

επίλυση θεµάτων: Παύλος Τρύφων – Μάρτιος 2015

εκφωνήσεις 200 επαναληπτικών θεµάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: ∆ηµήτρης Παπαµικρούλης

1

ΘEMA 1ο (προτάθηκε από τους Γ.Ησίοδο / Συγκελάκη)

Δίνονται οι µιγαδικοί z, w µε w 2= και 4 w

z .w 1

−=

−

i. Να βρείτε την αριθµητική τιµή του z .

ii. Να δείξετε ότι:

a. z w 4− ≤

b. 2w 4 4 w 1− ≤ −

iii. Να δείξετε ότι: ( )4 2w 8 2 w 32Re(w) 80+ − + ≤

iv. Να βρείτε του µιγαδικούς z, w ώστε η απόσταση εικόνων τους να είναι µέγιστη.

ΘEMA 2ο

Δίνεται η συνάρτηση )f : 1, ℝ +∞ → η οποία είναι κυρτή µε συνεχή πρώτη παράγωγο και f(1) 1, f (1) 0.′= =

Θεωρούµε επίσης τη συνάρτηση g, µε τύπο

x

1 f(t)dt, x 1g(x) .x 1

1 , x 1

∫ >= − =

Σας ζητάτε να :

A. Δείξετε ότι η g συνεχής στο )1, +∞ .

B. Βρείτε την παράγωγο της g.

C. Δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο )1, +∞ .

D. Δείξετε ότι a

1

b

1

f(t)dt a 1, 1 α β.

β 1f(t)dt

−∫ < < <−∫



2

ΘEMA 3ο

Έστω η συνάρτηση f : R R→ µε τύπο x

x ηµx, x 0

f(x) e 10 , x 0

⋅ ≠= − =

i. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

ii. Να βρείτε την ασύµπτωτη της f

C στο +∞ και να δείξετε ότι έχει άπειρα κοινά σηµεία µε την f

C .

iii. Αν xg(x) e f(x), x= ⋅ ∀ ∈ ℝ τότε:

a. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g και

τις ευθείες x 0,x π= = .

b. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα π

πΙ g(x)dx

−= ∫ .

ΘEMA 4ο

(προτάθηκε από τον Χ.Λαζαρίδη) A. Έστω η συνάρτηση ( )h(x) lnx x, x 0, .= + ∈ +∞

i. Να αποδείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 1 e

1

1h (x)dx.

+−∫

ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση lnx x 0+ = έχει ακριβώς µια λύση, έστω ( )ρ 0, .∈ +∞

iii. Να υπολογίσετε τα όρια x 0

ηµxlim

h(x)+→ και

2x

ηµxlim .

h (x)→+∞

B. Έστω η συνάρτηση 2x

f(x) xln x x , x 0.2

= − + >

i. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ( )ρ 0,∈ +∞ του (Α.ii) ερωτήµατος.

ii. Να εξετάσετε αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο ( )1,f(1) εφάπτεται και στη γραφική

της g, όπου 3

2x 11g(x) x .

3 6= − − −

iii. Να υπολογίσετε το όριο x ρ

f (x)lim ,

x ρ→

′

− όπου ( )ρ 0,∈ +∞ του (Α.ii) ερωτήµατος.



3

ΘΕΜΑ 5ο

Έστω οι µιγαδικοί z,w ∈ ℂ µε τις ιδιότητες z,w 0, z w≠ = και 2w z zi.= + Να δείξετε οτι:

i. Ο µιγαδικός w δεν είναι φανταστικός.

ii. Οι εικόνες των µιγαδικών z, w ανήκουν σε δυο τεµνόµενους κύκλους.

iii. Οι εικόνες των µιγαδικών z, w δεν ταυτίζονται.

ΘΕΜΑ 6ο

Έστω η παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση h, που έχεις τις ιδιότητες: xh (x) h(x) x e 1, x (1)′ = + + − ∀ ∈ ℝ

και h(0) 0.=

A.

i. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ( )x x1 xe e dx− −+ −∫ .

ii. Να βρείτε τον τύπο της h.

iii. Εάν ( )xh(x) x e 1 , x ,= − ∀ ∈ ℝ να δείξετε ότι h(x) 0, x .≥ ∀ ∈ ℝ

B. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο 0,1 , για την οποία ισχύουν:1

0

f(x)dx 1=∫ (2) και

( )1

f(x)

0

1 f(x) e dx 0−− ≤∫ (3). Να δείξετε ότι f(x) 1, x 0,1 = ∀ ∈



4

ΘΕΜΑ 7ο

Δίνεται η συνάρτηση

( )

2x 1

20

1F(x) dt

4 t 1

−

=− +

∫

a. Να υπολογίσετε το πεδίο ορισµού και την παράγωγο της F.

b. Να αποδείξετε ότι: ( ) π π πF ηµx x , x , .

6 2 2

= − ∈ −

c. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f µε

( )2

1f(t) ,

4 t 1=

− + τους άξονες και την ευθεία x= 3 1.−

d. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 3

21

1dx.

4 x−∫

ΘΕΜΑ 8ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f ορισµένη στο R και η ευθεία που ενώνει τα σηµεία ( )Α α,f(a) και

( )Β β,φ(β) , 0 α β< < της γραφικής παράστασης C της f να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

A. Να δειχτεί ότι:

i. Ισχύει f(a) f(β)

a β=

ii. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ( )α,β µε ( )f (x) 0, x α,β′′ ≠ ∀ ∈ , τότε υπάρχει

εφαπτοµένη της fC η οποία περνά από την αρχή των αξόνων και η fC να εφάπτεται µια µονο

φορά σε αυτήν.

B. Αν η f έχει τα κοίλα κάτω στο ( , 0−∞ να δειχτεί ότι:

i. αν x

f (x)lim L

x→−∞

′= τότε

( )x

f x 1 f(x)lim L

x→−∞

− −= −

ii. η συνάρτηση f(x)

g(x) , x 0x

= < µε f(0) 0= είναι γνησίως φθίνουσα.

C. Αν το σηµείο ( )( )B β,f β ανήκει στην εφαπτόµενη της fC στο ( )( )A α,f a να δείξετε ότι υπάρχει

( )ξ α,β∈ τέτοιο ώστε:

( )( ) ( ) ( ).f f f aξ ξ α ξ′ − = −



5

ΘΕΜΑ 9ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : 0,3 → ℝ µε ( )f 0 0,= για την οποία ισχύει (f (x) f(x),x 0,3 .′ > ∈

A. Να δείξετε ότι:

i. ( ) ( ) (x

0f x f t dt,x 0,3 .> ∈ ∫

ii. Η συνάρτηση ( ) ( )x

x

0h x e f t dt−= ∫ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα 0,3 .

iii. ( ) (x

0f t dt 0,x 0,3 .> ∈ ∫

B. Να δείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση ( )2

x

0φ x f(t)dt

= ∫ είναι κυρτή στο 0,3 .

ii. ( ) ( )1

12

0 02f t dt f t dt.<∫ ∫

C. Αν ( )2

0f t dt 1=∫ και Ε είναι εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cφ , τον άξονα x'x και

τις κατακόρυφες ευθείες x 2,x 3,= = να αποδείξετε ότι: ( )Ε 1 f 2 .> +

ΘΕΜΑ 10ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : α,β → ℝ µε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

2

a

3f α 3,f α 2,f x f β κ f t dt,x α,β

8 ′= = = ⋅ + + ∈ ∫ και κ .∈ ℝ

i. Να βρεθεί το κ.

ii. Να δείξετε ότι ( )f x 0 ,> για κάθε x a,β . ∈

iii. Να δείξετε ότι ( )β

af x dx 1.=∫

iv. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ( )ξ a,β∈ τέτοιο ώστε ( ) 1f ξ .

β a=

−



6

ΘEMA 11ο

Έστω η συνάρτηση ) )0, 0, , +∞ → +∞ η οποία είναι παραγωγίσιµη και αντιστρέψιµη µε

( ) ( ) )1f x f x , x 0, .− ′= ∀ ∈ +∞

i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

ii. Να υπολογίσετε τα όρια ( )x 0lim f x→

και ( )xlim f x .→+∞

iii. Να δείξετε ότι ισχύει ( )( ) ( ) )x

0

f f x tf t dt, x 0, .′= ∀ ∈ +∞∫

iv. Να ελέγξετε εάν για κάθε )x 0,∈ +∞ ισχύει ( )f x x> ή ( )f x x.<

v. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )f x x,x 0,= ∈ +∞ έχει ακριβώς µία θετική λύση κ .

vi. Να δείξετε ότι ( )f x x, x κ> ∀ > και ( ) ( )f x x, x 0,κ .< ∀ ∈

vii. Να δείξετε ότι ( ) 21f x x , x κ

2> ∀ > και ( ) ( )21

f x x , x 0,κ .2

< ∀ ∈

viii. Εάν ισχύει επιπλέον ( ) ( ) )1xf x αf x , x 0, ,− = ∀ ∈ +∞ όπου α θετική σταθερά, να βρείτε τον τύπο

της f.

ΘEMA 12ο

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ℝ , για την οποία ισχύει:

( )f a 1 a 1,f(a) a− > − < και ( )f a 1 a 1,+ > + για κάποιο α ∈ ℝ .

i. Να αποδείξετε ότι , η γραφική παράσταση της f και η διχοτόµος της 1ης -3ης γωνίας των αξόνων έχουν

δυο τουλάχιστον κοινά σηµεία.

ii. Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση f (x) 1 f(x) x′ − = − έχει µια τουλάχιστον λύση στο διάστηµα

( )α 1,α 1 .− +

iii. Αν επιπλέον η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

( )ξ α 1,α 1∈ − + ώστε: ( )f ξ 0.′′ >



7

ΘEMA 13ο

Δίνεται η συνεχής στο ℝ συνάρτηση f για την οποία γνωρίζουµε ότι: f(x) 0≠ για κάθε x ∈ ℝ και

12

0

t f(t)dt 1≤∫ . Έστω ακόµη η συνάρτηση ( )1

2 2 4

0

g(x) f(t) 2xt f(t) 5x t dt,= − +∫ x ∈ ℝ µε g(0) 0.>

a. Να αποδείξετε ότι f(x) 0> για κάθε x ∈ ℝ .

b. Να δείξετε ότι η εξίσωση g(x) 0= δεν έχει πραγµατικές ρίζες.

c. Αν ο αριθµός 1

z είναι ρίζα της εξίσωσης g(x) 0= και ισχύει 1

z 3= τότε:

i. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x

και τις ευθείες x 0= και x 1=

ii. Να αποδείξετε ότι ( )12 Im z 3≤ < .

ΘEMA 14ο

Έστω οι συναρτήσεις 2

x xg(x) e 1 x , x 0

2= − − − ≥ και

2xf(x) e , x 0= ≥

i. Να µελετήσετε την g ως προς την µονοτονία.

ii. Να δείξετε ότι για κάθε x 0≥ ισχύει g(x) 0.≥ Πότε ισχύει η ισότητα;

iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης.

iv. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων, τις γραφικές παραστάσεις των f στο 0,1 και της αντίστροφης

της στο ( )f 0,1 .

v. Να δείξετε ότι 2

1 ex

0 1

e dx ln xdx e+ =∫ ∫

vi. Να δείξετε ότι 2

1x

0

ee dx .

2>∫



8

ΘEMA 15ο

Έστω η συνάρτηση )f : 1, , +∞ → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιµη και έχει την ιδιότητα

)x

3 2

1

f (x) x f(x) 2 tf(t)dt x 1, x 1,+ − = − ∀ ∈ +∞∫ .

i. Να δείξετε ότι f(1) 0=

ii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

iii. Να δείξετε ότι )x 10 f(x) , x 1,

2

− ≤ ≤ ∀ ∈ +∞ .

iv. Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη.

v. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f΄.

vi. Να δείξετε ότι 3

1

2 3 f(x)dx− > ∫ .

ΘEMA 16ο

Δίνονται οι συναρτήσεις: f, F µε: te

f(t)t

= και x

1

F(x) f(t)dt= ∫ .

Θεωρούµε και τη συνάρτηση: 2

xF(x) , 0 x 1

G(x) 0 , x 0

x f (x), x 1

< <= = ′ ≥

Να αποδείξετε ότι:

i. Η G είναι συνεχής.

ii. Η G έχει ολικό ελάχιστο.

iii. Η G είναι κυρτή.

iv. Για κάθε x 0≥ ισχύει: ( )G(x) e x 1≥ − .



9

ΘEMA 17ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f µε x x x

2 2 2

0 0 02tηµtf(t)dt t f (t)dt ηµ tdt≥ +∫ ∫ ∫ για κάθε x 0, ).∈ +∞

a. Να δείξετε ότι xf(x) ηµx= για κάθε x 0, ).∈ +∞

b. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο .ℝ

i. Να δείξετε ότι η f παραγωγίσιµη.

ii. Να βρείτε τα ακρότατα στο 0,π .

iii. Να λυθεί η 2 3 2009f(x) f(x ) f(x ) f(x )+ = + στο 0,π .

c. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν µεταξύ των f

C , ψ xηµ1= και του άξονα των x είναι µικρότερο του

π ηµ1.+

d. Nα βρείτε ότι το εµβαδόν µεταξύ των ψ xf(x), ψ χηµ1= = και του άξονα των x.

ΘEMA 18ο

A. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ 0> τέτοιο ώστε lnξ ξ 3 0.+ − =

B. Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 0, ,+∞ → ℝ µε ( )1f(x) 1 lnx 2 .

x

= − −

i. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f(x) ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

ii. Για το ξ του ερωτήµατος Α, να δείξετε ότι:

a. Για κάθε x 0,> ισχύει: ( )2ξ 1

f(x) 0.ξ

−+ ≥

b.Υπάρχει o

x ξ> τέτοιο ώστε να ισχύει o o

f(x ) f (x ) 0.′+ =



10

ΘEMA 19ο

Δίνεται συνάρτηση 2f(x) x z 4 3i x 2010, x ,= + − − + ∈ ℝ για τον µιγαδικό αριθµό z ισχύει z 4 3i.≠ +

Αν η γραφική παράσταση της f(x) στο σηµείο της 1 1

Α ,f ,2 2

− − έχει εφπτοµένη παράλληλη στον άξονα x΄x,

τότε:

i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z.

ii. Να βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του µέτρου z z .−

iii. Να αποδείξετε ότι 9 z 4 3i 11.≤ + + ≤

ΘEMA 20ο

Έστω συνάρτηση 2009 2007f(x) x x x, x= + + ∈ ℝ και η γνησίως φθίνουσα στο ℝ συνάρτηση g(x).

a. Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφή

συνάρτηση.

b. Να συγκρίνετε τους αριθµούς ( )( )fog 2009 και ( )( )fog 2008 .

c. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0,0) είναι άξονας

συµµετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της 1f .−

d. Να δείξετε ότι: 1f(x) f (x)−< για κάθε x 0< και 1f(x) f (x)−> για κάθε x 0.>

ΘΕΜΑ 21ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, ) R+∞ → µε f(0)=0 µε την f′ γνήσια αύξουσα στο (0, )+∞ . Θεωρούµε

επίσης τις συναρτήσεις f(x)

g(x) ,x 0x

= > και x

2

F(x) g(t)dt,x 0.= >∫

(α) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης g.

(β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F είναι κυρτή.

(γ) Να αποδειχθεί ότι 4

3

F(3) g(x)dx.< ∫

(δ) Αν 1 2 1 2

x ,x 0 µε x x 4,> + = να βρεθεί πότε η παράσταση 1 2

F(x ) F(x )+ έχει ελάχιστη τιµή και να βρεθεί

η τιµή αυτή.



11

ΘΕΜΑ 22ο

Δίνεται η συνάρτηση x

1

ln tf(x) dt.

t 1=

+∫

i. Να υπολογίσετε το όριο ( )

( )2x 1

f(x)ηµ x 1lim .

x 1→

−

−

ii. Να αποδείξετε ότι: 1 1

2 3

1 1

ln t ln tdt dt.

t 1 t 1<

+ +∫ ∫

iii. Να υπολογίσετε τη συνάρτηση 1

g(x) f(x) f .x

= +

iv. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη g

C , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x 1= και

x e.=

v. Να αποδείξετε ότι: f(x) x 1,≤ − για κάθε x 1.≥

ΘEMA 23ο

Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα 2,2 − παραγωγίσιµη δυο φορές στο διάστηµα ( )2,2− για την

οποία επίσης γνωρίζουµε ότι f(0) 3= και f(x)f (x) f (x) x′ ′= − για κάθε ( )x 2,2∈ − .

Έστω και οι µιγαδικοί αριθµοί z για τους οποίους ισχύει z i 2.− =


i. Η f δεν έχει σηµεία καµπής.

ii. 2 2f (x) 2f(x) x 3 0 x 2,2 − + − = ∀ ∈ −

iii. Η συνάρτηση g(x) f(x) 1= − διατηρεί πρόσηµο στο ( )2,2− .

iv. Η f είναι κοίλη στο 2,2 −

v. 2f(x) 1 4 x , x 2,2 = + − ∈ −



12

vi. Η γραφική παράσταση της f είναι µέρος του γεωµετρικού τόπου των µιγαδικών z και ότι η εφαπτοµένη

της, στο σηµείο που είναι η εικόνα του z για τον οποίο το µέτρο z γίνεται µέγιστο, είναι παράλληλη στον

άξονα x΄x.

vii. ( )2

0f(x) 1 dx π.− =∫

ΘEMA 24ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ και ο µιγαδικός 1

z2

≠ µε 10z 1≠ για τους οποίους ισχύουν

2 2f (x) ηµ x 2xf(x)+ = για κάθε x ∈ ℝ και χ 0

f(x) z 2lim .

x 2z 1→

−=

−

i. Να δείξετε ότι z 1=

ii. Να δείξετε ότι ο αριθµός ( )10

10

z iw

z 1

+=

− είναι πραγµατικός.

iii. Να βρείτε το ( )2x 0

f ηµxlim

x x→ −

Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 35 z 3 4i x x 10,+ + − = + έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο 1,2 .

ΘEMA 25ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη στο ( )0,+∞ συνάρτηση f, για την οποία ισχύει: xf(x)ln f(x) 1, x 0. = >

i. Να δείξετε ότι: f(x) 1> για κάθε x 0.>

ii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )0, .+∞

iii. Να δείξετε ότι ισχύει: ( )f(x)f f(x) f(1)> για κάθε x 0.>

iv. Να βρείτε τους 1 2

x ,x 0> για τους οποίους ισχύει: 1

f(x ) e= και 22

f(x ) e .=

v. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 2

1

x

x

f(x)dx.∫



13

ΘEMA 26ο

Δίνεται η συνάρτηση: 2f(x) 2ln x x 1.= + −

i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία.

ii. Να µελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σηµεία καµπής.

iii. Να βρείτε το πρόσηµο της συνάρτηση f.

iv. Να βρείτε το σύνολο των τιµών της συνάρτησης f.

v. Να λύσετε την εξίσωση: 2 5 10f(x) f(x ) f(x ) f(x ).+ = +

vi.Αν ( )( )

2

β α β ααα,β 0, e ,

β− + > =

να αποδείξετε ότι α β.=

ΘEMA 27ο

Έστω συνάρτηση f ώστε: ( )3 f(x) 3f(x) f(x) e 2 x ,+ + + = για κάθε x ∈ ℝ .

i. Να αποδείξετε ότι: η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

ii. Να αποδείξετε ότι: η συνάρτηση g µε ( ) ( )g(x) f 2 3x f 3 2x ,= − − + x ∈ ℝ είναι γνησίως φθίνουσα στο

ℝ .

iii. Να λυθεί η ανίσωση: ( )( )( ) ( )( )( )2f g x x 1 f g x 4 x .− > −

ΘEMA 28ο

A. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο α,β κα ισχύει f(x) g(x),≥ για κάθε x α,β , ∈ να

αποδείξετε ότι:

β β

α α

f(x)dx g(x)dx.≥∫ ∫

B. Έστω f δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση ορισµένη στο ℝ , µε f (x) 0,′′ > για κάθε x ∈ ℝ . Αν α,β ,∈ ℝ

µε α β,< να αποδείξετε ότι:

i. α β f(a) f(β)

f .2 2

+ + <

ii. ( )f(x) f(a) f (β) x a ,′− ≤ − για κάθε x α,β . ∈

iii. ( ) ( )β

2

α

2 f(x)dx f (β) β α 2f(a) β α .′≤ − + −∫



14

ΘEMA 29ο

Έστω η παραγωγίσιµη στο διάστηµα 1,1 − συνάρτηση f που έχει συνεχή παράγωγο στο (-1,1) και η εξίσωση:

3 2z f(1)z z f(0) 0 (1)+ − + = . Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζα τον αριθµό 1 i,+ να αποδείξετε ότι:

i. Υπάρχει ( )1ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε να ισχύει:

1f(ξ ) 0.=

ii. Υπάρχει ( )2ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε να ισχύει:

22f (ξ ) 7 0.′ + =

iii. Υπάρχουν ( )3 4ξ ,ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε να ισχύει:

3 4 21 1

3f (ξ )f (ξ ) .

2ξ 2ξ′ ′ =

−

iv. Αν επιπλέον η f ′ είναι περιττή, αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) 0f x′ = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (-1,1).

ΘEMA 30ο

A. Να αποδείξετε ότι ( ) xln x 1 ,

x 1+ >

+ για κάθε x 0.>

B. Δίνονται οι συναρτήσεις ( )1

x1 x , x 0f(x)e , x 0

+ >= =

και x 2g(x) e x 1,= − − µε x ∈ ℝ .

i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο 0

x 0.=

ii. Να αποδείξετε η f είναι γνήσια φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της και να εξετάσετε αν η γραφική

παράσταση παρουσιάζει ακρότατα.

iii. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισµού της.

iv. Θεωρούµε τη συνάρτηση h ορισµένη στο ℝ , µε f(x) , x 0

h(x) .g(x) , x 0

≥= <

Να αποδείξετε ότι η h είναι “1-1”.



15

ΘΕΜΑ 31ο

Δίνεται µια συνάρτηση f συνεχής στο 0,1 και παραγωγίσιµη στο (0,1) για την οποία γνωρίζουµε ότι ισχύουν

τα παρακάτω:

0 f (x) 4,′< ≤ για κάθε x (0,1).∈

f(0) f(1) 0+ =


i. Υπάρχει µοναδικό 0

x (0,1)∈ τέτοιο, ώστε 0

f(x ) 0.=

ii. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0,1)∈ τέτοιο, ώστε f (ξ) 2f(1).′ =

iii. Ισχύει 2x 2 f(x) 2x,− < < για κάθε x (0,1).∈

iv. Ισχύει 1

0f(x)dx 1.<∫

ΘΕΜΑ 32ο

Δίνεται η συνάρτηση ( )f(x) ln 1 x x,= − − µε χ 1.<

i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα.

ii. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x= τέµνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )h(x) ln 1 x= − σε

µοναδικό σηµείο, το Ο(0,0).

iii. Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να λυθεί η εξίσωση ( )1f 2008 f (x) 0.−+ =

iv. Αν xg(x) 1 e , x ,= − ∈ ℝ να βρείτε τη συνάρτηση της σύνθεσης ( )fog , τη συνάρτηση της σύνθεσης ( )gof

και να αποδείξετε ότι ( ) ( )xfog (x) e gof (x).=

v. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x

και την ευθεία x 1 e.= −



16

ΘΕΜΑ 33ο

Δίνεται µια συνεχής συνάρτηση f η οποία για κάθε ( )x 1,1∈ − ικανοποιεί τις σχέσεις f(x) 0≠ και

x

0ηµ f(t)dt x.

= ∫

A. Να αποδείξετε ότι:

i. x

0

1συν f(t) dt .

f(x)

= ∫

ii. f(x) 0> για κάθε ( )x 1,1 .∈ −

iii. ( )2

1f(x) , x 1,1 .

1 x= ∈ −

−

B. Δίνεται η συνάρτηση αν 4 3 2g(x) 3x 4x 12x f(0), x .= + − + ∈ ℝ

i. Να µελετήσετε τη µονοτονία της συνάρτησης g.

ii. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g.

ΘΕΜΑ 34ο

Δίνεται η συνάρτηση F µε txx

1

eF(x) dt.

t= ∫

i. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της F και η F (x).′

ii. Να υπολογιστεί το όριο x 1

F(x)lim .

x 1→ −

iii. Να αποδείξετε την ανίσωση xe ln x F(x) ln x≤ < µε 0 x 1.< <

iv. Να αποδείξετε ότι ο άξονας ψ΄ ψ είναι ασύµπτωτη της F.



17

ΘΕΜΑ 35ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ για την οποία ισχύει 2

1 1f (x) f(x) ,

x x′ + = για κάθε

x 0> και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σηµείο 1

Α e, .e

i. Να βρείτε την συνάρτηση f και να τη µελετήσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.

ii. Να αποδείξετε ότι 3 3

3 3x e

2 2

e dx x dx≤∫ ∫

iii. Θεωρούµε την συνάρτηση x

1

g(x) f(t)dt, x 0.= >∫ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( )h : 0,+∞ → ℝ µε

21h(x) g(x) g ln x

x

= + − είναι σταθερή στο διάστηµα ( )0, .+∞

Να λύσετε την εξίσωση

1x x

1 1

ln t 2 ln tdt 2 2xf(x) dt, x 0.

t x t+ − = − >∫ ∫

ΘΕΜΑ 36ο

Αν για τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις f,g στο 2002, a µε α 2002> ισχύουν ( ) ( )f 2002 g 2002 1= = και

( ) ( ) ( ) ( )a

2002

f x g x f t g t dt+ = ∫ για κάθε χ 2002,α , ∈ τότε να αποδειχθεί ότι:

i. ( ) ( )g x 2 f x .= −

ii. ( )( )a

2

2002

f t 1 dt a 2004.− = −∫

iii. a 2004.≥

iv. a) Αν ( ) ( )( )x

2

2002

h x f t 1 dt,= −∫ τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 2002,2004∈ ώστε ( )0

h x 0.′ =

β) Η γραφική παράσταση της f ,′ τέµνει τον άξονα x'x σε ένα τουλάχιστον σηµείο.

γ) Η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη.



18

ΘΕΜΑ 37ο

Δίνονται οι µιγαδικοί 1 2 3

z ,z ,z µε εικόνες Α,Β,Γ αντίστοιχα. Αν ισχύει ( )2009 20093 1 2

z i z 1 i z ,+ = + τότε:

i. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

ii. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )22 2

3 1 3 12 z z z z .+ ≥ +

iii. Αν 2

z 2 2,= να αποδείξετε ότι ( )3 1Ιm z z 4.≤

iv. Αν 2 2 2

3 1 2z z 2 z ,+ = όπου ( ) ( )1 3

z a f a i,z β f β i= + = + µε a.β 0> και η

συνάρτηση ( ) ( )f xg x ,x 0,

x= ≠ είναι παραγωγίσιµη, να αποδείξετε ότι:

α) Ο αριθµός 3 1

z z είναι πραγµατικός.

β) Υπάρχει τουλάχιστον µια εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή

των αξόνων.

ΘΕΜΑ 38ο

(προτάθηκε από τον Χ.Λαζαρίδη)

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ ώστε: ( ) ( )x

2

0f x 1 f t dt,= +∫ για κάθε x .∈ ℝ Να αποδείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο .ℝ

ii. ( )x xe e

f x ,x .2

−−= ∈ ℝ

iii. Η γραφική παράσταση της f δεν έχει ασύµπτωτες.

iv. Η f είναι αντιστρέψιµη και αν ( ) ( )x

1

0f x h t dt,− = ∫ όπουh µία συνεχής στο ℝ συνάρτηση, να

υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 1

20

1Ι dx.

x 1=

+∫



19

ΘΕΜΑ 39ο

Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ τέτοια, ώστε να ισχύει ( )f x 0,′ ≠ για κάθε x .∈ ℝ Αν οι συναρτήσεις 1f− και

f′ είναι συνεχείς και ισχύει

( )

( ) ( )f x x

2 1

3 1

2x 3x f t dt 5 f 1 t dt,−+ + = + −∫ ∫ για κάθε x ∈ ℝ , τότε να


i. ( ) ( )f 1 x 4x 3 xf x ,′− = + + για κάθε x .∈ ℝ

ii. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε ( ) ( )f ξ f 1 4.′ ′+ = −

iii. H f είναι γνησίως φθίνουσα.

iv. Το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y 3,x 0= =

και x 1= είναι Ε 1= τ.µ.

ΘΕΜΑ 40ο

Έστω οι συνεχείς στο ℝ συναρτήσεις f,g,φ µε ( ) ( ) ( )f x 0,g x 0,φ x 0≠ ≠ ⟩ , για κάθε χ, και η συνάρτηση

( )( )

( )

x

0

x

0

tφ t dt

h x

φ t dt

=∫

∫, 0x ≠ , µε ( )

( )

( )h 1

h 2

f x dx 0.

−

⟩∫

i. Να δειχθεί ότι η h είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήµατα ( ),0−∞ και ( )0, .+∞

ii. Αν ( )h 0 0,= να δείξετε ότι η h είναι “1-1” στο .ℝ

iii. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα στο ( )a,β , µε ( ) ( )0 a β,f β g β< < > και

( ) ( )β β

a a

f x dx g x dx,<∫ ∫ τότε να δείξετε ότι:

α) Υπάρχει ένα µόνο ( )0ξ α,β∈ τέτοιο ώστε ( ) ( )0 0

f ξ g ξ .=

β) Η εξίσωση

( ) ( ) ( )x

tx

β

g t dtf x g x

h h ,x a β x

= − −

∫ έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β).



20

ΘΕΜΑ 41ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : 0,1 → ℝ µε ( )1 f 0 2,< < ώστε να ισχύει ( ) ( ) ( )2f x f x 4f x 5,′ = − + για

κάθε x 0,1 . ∈

i. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

ii. Να δείξετε ότι ( )f 1 2.>

iii. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς ένα σηµείο καµπής.

iv. Αν δίνετε ότι ( )( )

f 0a

f 1= και ( )

1

0

f x dx β,=∫ να υπολογίσετε το ( )

1

0

1Ι dx.

f x= ∫

ΘΕΜΑ 42ο

Έστω ο µιγαδικός z µε z 2.<

i. Αν 1

w ,z 2

=−

να δειχθεί ότι ( ) 1Re w .

4< −

ii. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( ) x2 x e z 0− − = έχει µοναδική λύση ( )ρ 1,2 .∈

iii. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( )x

x

e zf x ,x 1.

e z x

−= ≥

− Να δειχθεί ότι ( ) 1

f x .ρ 1

≤−

ΘΕΜΑ 43ο

Δίνεται η συνεχής στο ℝ συνάρτηση f µε, ( )f x 0≠ για κάθε x ,∈ℝ ( )f 1 1= και ( )z

1

f x dx 0.=∫

i. Να δειχθεί ότι ( )f x 0.>

ii. Δείξτε ότι z 1.=

iii. Να βρείτε το όριο ( )( )

3

x 2

z z 3 x xlim .

z z 3 x x→−∞

+ − +

− − +

iv. Αν το εµβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x'x και τις ευθείες

x 0,x 1= = είναι µικρότερο του z 2z+ τότε, να δείξετε ότι η εξίσωση ( )x

2

0

f t dt 3x 6x 6= + −∫ έχει

τουλάχιστον µια ρίζα στο ( )0,1 .



21

ΘΕΜΑ 44ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) lnxf x

x= και ο µιγαδικός z µε την ιδιότητα z 4 2 z 1 .− = − Αν

( ) ( )e

f x

x 1

α lim e ,β f x dx→+∞

= = ∫ και ( )γ f e z ,′= + τότε:

i. Να συγκρίνετε τους αριθµούς f(3a) και f(10β) .

ii. Να βρείτε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης γf(x) 1.=

iii. Να δείξετε ότι 2 2

xlnxe

t t

0 0

e dt e dt− −≥∫ ∫ για κάθε x 0.>

ΘΕΜΑ 45ο

Έστω ο µιγαδικός αριθµός z ,∈ℂ µε Im(z) 1.= Θεωρούµε και την συνάρτηση f : →ℝ ℝ µε

( )xf(x) x ln e z .= − +

i. Να βρεθεί τα όριο xlim f(x).→+∞

ii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τη καµπυλότητα.

iii. Να δειχθεί ότι γα κάθε x ,∈ℝ ισχύει ότι: ( )x 1 x

z zf x 1 f(x)

e z e z+< + − <

+ +

iv. Να βρεθεί ο µιγαδικός z αν ισχύει ότι: 1

2

0

x f (x) 2xf(x) dx ln2. ′ + = −∫

ΘΕΜΑ 46ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία για κάθε x ∈ℝ ισχύει η σχέση:

xf(0)

f(t)0

1f(x) e dt.

1 e= − + ∫

+

i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και την καµπυλότητα.

ii. Να αποδείξετε ότι ισχύει f(x)f(x) e x+ = για κάθε x .∈ℝ

iii. Να υπολογισθούν τα όρια: xlim f(x)→−∞

και x

f(x)lim .

x→−∞

iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f(β) f(a) β α− ≤ − για κάθε α,β .∈ℝ

v. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xx e 1+ = έχει µοναδική ρίζα την x 0.=

vi. Να αποδείξετε ότι f(1) 0.=

vii. Να αποδείξετε ότι 21

0

f (0)f(x)dx f(0) 1.

2= − −∫



22

ΘΕΜΑ 47ο

Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z και w z i z.= + ⋅

i. Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του µιγαδικού z η εικόνα του w κινείται πάνω στη δχοτόµο του 1ου

και 3ου τεταρτηµορίου των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου.

ii. Αν z α β i,= + ⋅ µε a β ,≠ να δείξετε ότι η αρχή των αξόνων Ο(0,0) και εικόνες των z,w,i z⋅ είναι

κορυφές ρόµβου.

iii. Να δείξετε ότι i w w.⋅ =

iv. Να υπολογίσετε τη δύναµη

2006

w,

w

εφόσον w 0.≠

ΘΕΜΑ 48ο

Έστω µια συνάρτηση f, παραγωγίσιµη στο ℝ µε τις ιδιότητες: f(π) 1, f(x) 0= ≠ για κάθε x ∈ℝ και

22f (x) f (x) ηµx′ = ⋅ για κάθε x ∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτηση f είναι : 2

f(x)συνx 3

=+

και να βρεθεί το σύνολο τιµών της.

β.Αν g είναι µια παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση µε g(x) 0> και g (x)

f(x)g(x)

′= για κάθε x ∈ℝ , να δείξετε ότι:

i.

2a

β

g(β) e0 ln β α,

g(α) e

≤ ≤ −

για κάθε α,β ∈ℝ µε α β.<

ii. 1 Ε 2,≤ ≤ όπου Ε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους

άξονες συντεταγµένων και την ευθεία x 2.=



23

ΘΕΜΑ 49ο

Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ µε f(0) 1= και οι µιγαδικοί 1 2

z ,z .∈ℂ Ορίζουµε τη

συνάρτηση ( )1 2z z x χ

1 20 0

h,h(x) f(t)dt f(t)dt 1 1 z z x,−

= − + − −∫ ∫ για κάθε x ∈ℝ .

i. Να αποδείξετε ότι η h είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και να βρεθεί η παράγωγος h΄.

ii. Αν για την h ισχύει h(x) 0≥ για κάθε x ∈ℝ , τότε να δείξετε ότι 1

z 1= ή 2

z 1.=

iii.

α. Αν θεωρήσουµε ότι οι µιγαδικοί 1 2

z ,z κινούνται συγχρόνως σε κύκλο κέντρου Κ(0,0) και ακτίνας ρ 1=

και ισχύει 1 2

z ,z Ι∈ µε 1 2

z z ,≠ τότε να δείξετε ότι: h (x) 2f(2x) f(x) 1.′ = − −

β.Αν ισχύει f(0) f(1),= να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1

ξ (0,1)∈ και 2

ξ (1,2)∈ τέτοια ώστε:

1 2h (ξ ) 2f (ξ ).′′ ′=

ΘΕΜΑ 50ο

Δίνεται η συνάρτηση xe

f(x) lnx, x 0.2

= − >

i. Να εξετάσετε αν υπάρχει σηµείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτοµένη της γραφικής

παράστασης να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

ii. Να αποδειχθεί ότι: f(x) 0> για x 1.>

iii. Να αποδείξετε ότι 3 2 9e e ln .

4− >

iv. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f έχει ασύµπτωτες.

v. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης F αν ισχύει 2F (x) f(x)F (x), x 1′ = − > και F(1) 1= όπου

( )F x 0 x 1.≠ ∀ >

ΘΕΜΑ 51ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ , ώστε για κάθε x ∈ ℝ να ισχύει f(x) 0≠ και

x

0

tf(x) 2010 dt

f(t)= + ∫

i. Να βρείτε το πρόσηµο της f για κάθε x ∈ ℝ .

ii. Να βρείτε τον τύπο της f.



24

iii. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης

( )( )2

2

1h(x) f x

2010x=

iv. Να υπολογίσετε το x 1

xx

lim h(t)dt+

→+∞ ∫ .

ΘΕΜΑ 52ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f : (0, ) R+∞ → µε ( )2e x

1 x

1f(x) lnxln t dt και g(x) dt.

f(t)= =∫ ∫

(α) Να αποδειχθεί ότι f(x) lnx,x 0= > . Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτοµένη της συνάρτησης f στο χ=e και

να διαπιστωθεί ότι elnx x, γιακάθεx 0.≤ >

(β) Να αποδειχθεί ότι

( )11 2

2

1 2

xln ln x x

x 2,

x x e

≤

−για κάθε

1 2 1 2x ,x 0 µε x x .> ≠

(γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτηση g και η µονοτονία της.

(δ) Να βρεθεί το όριο

( )2x 1

g(x)lim .

x 1+→ −

ΘΕΜΑ 53ο

Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ µε 5 1 xf(x) x 2010 −= −


ii. Να λυθεί η εξίσωση f(x) 0=

iii. Αν z µιγαδικός αριθµός για τον οποίο ισχύει: z 15z 2010 1−⋅ = − , τότε να βρεθεί το z .

iv. Μια µέλισσα κινείται στις εικόνες του µιγαδικού z. Καθώς περνάει από το σηµείο 1 3

Α ,2 2

, η

τεταγµένη y ελαττώνεται µε ρυθµό 5 µονάδες/sec. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τετµηµένης x, τη

χρονική στιγµή που η µέλισσα περνάει από το σηµείο Α.



25

ΘΕΜΑ 54ο

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ℝ µε ( )f(x)

t

0

e 1 dt x 1+ = −∫ (1) για κάθε x ∈ ℝ .

i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να βρείτε την 1f− και να αποδείξετε ότι f(1) 0=

ii. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία, τα κοίλα και βρείτε το πρόσηµο της.

iii. Να υπολογισθεί το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x

και τις ευθείες x 1= και x e 1= + .

iv. Να δείξετε ότι ( ) x 1x 1 f (x) f(x) , x 1

2

−′− < < >

ΘΕΜΑ 55ο

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ℝ για την οποία ισχύει f (x) 0′ > για κάθε x ∈ ℝ και f(1) 2= . Σας

ζητάτε να δείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση x

1

g,g(x) f(t)dt= ∫ είναι κυρτή στο ℝ και να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής

παράστασης στο σηµείο της ( )Α 1,g(1) .

ii. Αν Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της g, τον άξονα x΄x και τις

ευθείες x 1= και x 2006= τότε Ε 2006 2004 1≥ ⋅ +

iii. Αν α 1> , τότε ( )1 a

0 1

α 1 f(t)dt f(t)dt− <∫ ∫

iv. ( )2

x u

1 1

f(t)dt du x 1 ≥ −

∫ ∫ , για κάθε x 1≥



26

ΘΕΜΑ 56ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: )0, +∞ → ℝ µε f(0) 1= και x2x f (x) e′< < , για κάθε x 0>

i. Να δείξετε ότι: 2 xx 1 f(x) e+ < < , για κάθε x 0> .

ii. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f.

iii. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2f(x) 2x= , έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο ( )1,2 .

iv. Αν Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες

συντεταγµένων κ την ευθεία x 1= , να δείξετε ότι: 4

Ε e3

< < .

ΘΕΜΑ 57ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο ℝ , παραγωγίσιµη στο 0 µε f(x) 0≠ για κάθε x 0≠ , f(0) 0= και

f (0) 0′ ≠ . Δίνεται επίσης η συνάρτηση ( )x

0

g,g(x) tf x t dt, x .= − ∈∫ ℝ

i. Να αποδείξετε ότι η g

C εφάπτεται του άξονα x΄x.

ii. Να αποδείξετε ότι g (x) f(x)′′ = για κάθε x ∈ ℝ .

iii. Αποδείξτε ότι υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε να ισχύει 1

0

f(ξ) f(t)dt= ∫ .

iv. Να αποδείξετε ότι x 0

g(x)lim 0

f(x)→= .

ΘΕΜΑ 58ο

Έστω στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών ℂ η εξίσωση 2z 2z 2 0 (1)+ + = .

i. Αν 1 2

z ,z είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1), να αποδείξετε ότι: 2008 20081 2

z z 0− = .

ii. Αν 1

z είναι η ρίζα της εξίσωσης του i. ερωτήµατος, µε φανταστικό µέρος θετικό αριθµό, να βρείτε την

µικρότερη τιµή του θετικού ακεραίου v για την οποία ο v1

z είναι πραγµατικός αριθµός.



27

iii. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει

1 22z z z z− = − , όπου

1z είναι η ρίζα της εξίσωσης του i. ερωτήµατος, µε φανταστικό µέρος θετικό

αριθµό και 2

z η άλλη ρίζα της εξίσωσης του i. ερωτήµατος.

iv. Να βρείτε, ποιος από τους µιγαδικούς του iii ερωτήµατος, έχει το ελάχιστο µέτρο.

v. Έστω και η παραγωγίσιµη συνάρτηση f στο 0,2006 , για την οποία ισχύουν 1 2

1 1f(0)

z z= + ,

2 21 2

f(2006) z z= + , τότε να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 0,2006∈ τέτοιο ώστε

1f (ξ)

2006′ = .

ΘΕΜΑ 59ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, δύο φορές παραγωγίσιµες στο ℝ και τέτοιες ώστε: f (x) g (x) 2′ ′− = για

κάθε x ∈ ℝ και f(1) g(1)= .

A. Έστω ότι η εξίσωση f(x) 0= έχει δυο λύσεις 1 2

ρ ,ρ µε 1 2

ρ 1 ρ< < .

i. Να αποδείξετε ότι:

a) η εξίσωση g(x) 0= έχει µια τουλάχιστον λύση στο διάστηµα ( )1 2ρ ,ρ .

b) Υπάρχει ένας τουλάχιστον ( )1 2ξ ρ ,ρ∈ τέτοιος ώστε να ισχύει ( )g ξ 2′ = − .

ii. Αν g (x) 0′′ ≠ για κάθε x ∈ ℝ και η g

C στρέφει τα κοίλα άνω στο ℝ , να αποδείξετε ότι:

a) η συνάρτηση f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

b) η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο στο σηµείο o

x ξ= του ερωτήµατος i.b.

B. Έστω ότι η ευθεία µε εξίσωση y 3x 7= − είναι ασύµπτωτη της γραφικής της γραφικής παράστασης της f

στο +∞ .

i. Να βρείτε τα όριa:

a) x

g(x)lim

x→+∞

b) 2x

g(x) 3x ηµ2xlim

xf(x) 3x 1→+∞

+ +

− +

ii. Na αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y x 5= − είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g

στο +∞ .



28

ΘΕΜΑ 60ο

Δίνεται η συνάρτηση 2006

1f, µε τύπο f(x) 2, x

1 x= + ∈

+ℝ .

i. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιµών της.

ii. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) a= , για τις διάφορες τιµές του α ∈ ℝ .

iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0> και t x,x 1 ∈ + ισχύει: ( )f x 1 f(t) f(x)+ ≤ ≤ .

iv. Να υπολογίσετε το: x 1

xx

lim f(t)dt+

→+∞ ∫ .

ΘΕΜΑ 61ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση f, για τη οποία ισχύουν f(1) f(2)= και 1 2

0 1

f(t)dt f(t)dt=∫ ∫ . Να


i.1 2

0 1

1f(t)dt f(t)dt

2=∫ ∫ .

ii.Για την συνάρτηση x

0

1φ(x) f(t)dt

x= ∫ , ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα

1,2 .

iii.Η εξίσωση 1

0

f(x) f(xt)dt= ∫ έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα ( )1,2 .

iv.Υπάρχει τουλάχιστον ένα c 1,2 ∈ τέτοιο ώστε: c 2

1 c

f(c) f(t)dt f(c) f(t)dt=∫ ∫

v.Αν g συνεχής συνάρτηση στο ℝ , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 1,2∈ τέτοιο ώστε:

ξ1

ξ 2

f(ξ) g(t)dt g(ξ) f(t)dt=∫ ∫ .



29

ΘΕΜΑ 62ο

Δίνεται η συνάρτηση f, µε ( )2

ox t

x

f(x) e dt− +

−

= ∫ .

i. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο ℝ .

ii. Να δείξετε ότι η εξίσωση

f(x)

2 x

0

t dt 1 e= −∫ , έχει µοναδική ρίζα στο ℝ .

iii. Για κάθε x 0> , να δείξετε ότι: 2 2

xln xe

t t

0 0

e dt e dt− −≥∫ ∫ .

iv. Να βρείτε την εικόνα του µιγαδικούz για τον οποίο ισχύει ( ) ( ) ( )1 z i32 f z i 3f 1 e 6 f 0+ +′′ ′⋅ + − ⋅ = ⋅

ΘΕΜΑ 63ο

Έστω f µια παραγωγίσιµη και γνήσια φθίνουσα συνάρτηση στο ℝ και η

( )1

xx

1 1h,h(x) x f xt dt f(t)dt x, x 0= − + >∫ ∫ .

i. Να αποδείξετε ότι x

1

h(x) 2 f(t)dt x= − +∫

ii. Αν 2

1

1f(t)dt

2=∫ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση

1f(x)

2= έχει ακριβώς µια ρίζα στο διάστηµα ( )1,2 .

iii. Αν f(1) 1= τότε:

a) Να µελετήσετε την h ως προς τα κοίλα.

b) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της h στο σηµείο ( )Κ 1,h(1) .

c) Αν ( )a 1,3 ,∈ να αποδείξετε ότι 22E a 3 4a+ + < όπου E το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται

από την h

C , τον άξονα xx' και τις ευθείες x 1,x a.= =

iv. Να αποδείξετε ότι 2007 2006 2008 2005

1 1 1 1

f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt+ > +∫ ∫ ∫ ∫ .



30

ΘΕΜΑ 64ο

Δίνεται η συνάρτηση ( )x

2

5

F,F(x) ln t 4 dt−

= −∫ .

i. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της F.

ii. Να µελετηθεί η F΄ ως προς τη µονοτονία.

iii. Να µελετηθεί η F ως προς τη µονοτονία.

iv. Να δείξετε ότι F(x) 0< για κάθε ( )x , 5∈ −∞ − .

v. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 2005, 5∈ − − τέτοιο ώστε:

( )( )

20052

2 5

ln t 4 dt

ln ξ 42000

−

−

− −

− =∫

.

ΘΕΜΑ 65ο

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση g στο )0, +∞ , µε g(0) 0= και g (0) 0′ = .

i. Να µελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση f: )0, +∞ → ℝ µε:

x

2 0

1g(t)dt, x 0

f(x) x e0 , x 0

>= =

∫

ii. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο 0.

iii. Αν υποθέσουµε ότι: ( ) ( ) ( )2

1 1 2

0 0 1g t dt g t dt g t dt,

<− ∫ ∫ ∫

α) να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 1,2∈ τέτοιο ώστε: ( )f ξ 0.=

β) να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ρ 0, ,∈ +∞ τέτοιο ώστε: ( )f ρ 0.′ =



31

ΘΕΜΑ 66ο

Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ , συνεχής στο ℝ , µε σύνολο τιµών το ℝ , για την οποία ισχύει x

20

10f(x) dt

1 3f (t)=

+∫ , για κάθε x ∈ ℝ .

i. Να αποδείξετε ότι 3f (x) f(x) 10x,+ = για κάθε x .∈ ℝ

ii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 1

20

10Ι .

1 3f (t)=

+∫

iii. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε f (ξ) 4ξ.′ =

iv. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το πρόσηµο της f.

v. Να µελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και να βρείτε αν υπάρχει σηµεία καµπής.

vi. Να βρεθεί εξίσωση εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f, στο σηµείο της ( )Μ 0,f(0) .

vii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ,∈ ℝ ισχύει x

2

0

f(t)dt 5x≤∫ .

viii. Να βρείτε τα όρια

a) 2x

2009f(x) 2010lim

f (x) 2008→+∞

+−

b) f(x)

x

2009e 2010lim

ηµx 1xηµ

x x

→−∞

+

−

c) x 0

f(x)lim

x→

ix. Να λύσετε την εξίσωση 2f(ln x) f(1 x )= − .

x. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( )3f x 3x 1 0− − =

xi. Να δείξετε ότι 2009 2010

2 20 0

10 10dt dt.

3f (t) 1 3f (t) 1<

+ +∫ ∫

xii. Να δείξετε ότι για κάθε x, y ∈ ℝ ισχύει

x yy2

x x y

2

f(t)dt f(t)dt

+

+

≤∫ ∫ .

xiii. Να δείξετε ότι 1

0

7f(t)dt .

5=∫



32

ΘEMA 67ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f: α,β → ℝ µε f(β) 2f(α)= ώστε να ισχύει:

2f (x) 2f (x) 4f(x) 4,′ = − + για κάθε x a,β . ∈ Σας ζητάτε να δείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

ii. f(a) 0.>

iii. Ισχύει

β

α

f(x)dx ln2.<∫

iv. Αν f(a) 1,> ισχύουν:

a. Η f είναι κυρτή

b. Δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της f τρία διαφορετικά σηµεία τα οποία να είναι συνευθειακά.

ΘΕΜΑ 68ο

Έστω συνάρτηση f η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα 2,π µε f(2) 3= και

f(π) π 1.= + Αν η f έχει σύνολο τιµών το διάστηµα 2,5 − , τότε να δείξετε ότι:

i. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιµές ( )1, 2x x ε 2,π µε

1 2x x≠ τέτοιες ώστε ( ) ( )1 2

f x f x 0′ ′= = .

ii. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξε 2,π ώστε ( )f ξ 0.′′ =

iii. Υπάρχει στο διάστηµα ( )2,π τουλάχιστον µια ρίζα της εξίσωσης ( ) ( ) ( )( )2f x f x f x x.′ − =

iv. Η ευθεία y x π 3,= − + + τέµνει την γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη

( )0x ε 2,π .

v. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον τιµές ( )1, 2ξ ξ ε 2,π µε

1 2ξ ξ≠ τέτοια ώστε ( ) ( )1 2

f ξ f ξ 1.′ ′ =



33

ΘΕΜΑ 69ο

Έστω η συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ ώστε για κάθε x ∈ ℝ να ισχύουν οι σχέσεις: ( )f x 0> και

( ) ( )f x lnf x x.+ =

i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

ii. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )f x x= έχει µοναδική λύση τη x 1.=

iii. Έστω ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ .

a. Να εκφράσετε την f′ συναρτήσει της f.

b. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο .ℝ

c. Να δείξετε ότι: ( ) ( ) ( )21

0

f 0 2f 0 3f x dx .

2

+ −= −∫

ΘΕΜΑ 70ο

Έστω συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο ( ), 4−∞ για την οποία ισχύουν:

( ) ( ) ( )( )f xe 3f x f x 1′ ′′= για κάθε ( )x 4,f x 0′< ≠ για κάθε x 4< και ( ) ( )f 1 0,f 1 1′= =

a. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( ), 4 ,−∞ να βρείτε το πρόσηµο της f και να

αποδείξετε ότι η f

C τέµνει τον x'x σε ένα µόνο σηµείο.

b. Να δείξετε ότι ( ) ( )( )2

3f x f x′′ ′= και κατόπιν να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα άνω στο ( ), 4 .−∞

c. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικός ( ) ( )( )

( )0

0 0

0

f xx 0,1 : x 3

f x∈ = −

′

d. Να βρείτε τον τύπο της ( )f x για x 4.<

e. Να βρείτε το σύνολο των τιµών της f και να δειχθεί ότι η εξίσωση ( )f x κ= έχει µία µόνο λύση στο

( ), 4−∞ για κάθε κ .∈ ℝ

f. Να βρείτε την κατακόρυφη ασύµπτωτη της f.

g. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.



34

ΘΕΜΑ 71ο

Έστω συνεχής συνάρτηση f : 0,2 , → ℝ δύο φορές παραγωγίσιµη στο ( )0,2 για την οποία ισχύουν

( ) ( )f 1 1, f 1 0′= = και ( )( ) ( ) ( )2

f x f x f x 1 0,′ ′′+ + = για κάθε ( )x 0,2 .∈

i. Αποδείξτε ότι:

a. ( )f x 0> για κάθε ( )x 0,2 .∈

b. Ο τύπος της συνάρτησης f είναι ( ) 2f x 2x x .= −

ii. Θεωρούµε τον µιγαδικό z, για τον οποίο ισχύουν Im(z) 0≥ και z 1 1.− =

a. Αποδείξτε ότι η εικόνα του z κινείται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

b. Αν Α, Β είναι δυο τυχαίες εικόνες του z, αποδείξτε ότι (ΑΒ) 2≤ .

iii. Να υπολογίσετε το 2

0

f(x)dx∫ .

ΘΕΜΑ 72ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ τέτοια ώστε 1 1

fe e

= − και ο µιγαδικός αριθµός z, η

εικόνα του οποίου κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της f. Το µέτρο του z, z g(x),= γίνεται ελάχιστο

όταν η εικόνα του βρίσκεται στο σηµείο 1 1

A , .e e

−

Να δείξετε ότι:

i. g (x)g(x) f (x)f(x) x,′ ′− = για κάθε x 0.>

ii. Η εφαπτοµένη ευθεία (ε) της γραφικής παράστασης της f στο Α είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ, όπου Ο η

αρχή των αξόνων.

iii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) του (ii) ερωτήµατος.

iv. Αν επιπλέον ισχύει ef(x) 1f (x)e c,+′ = για κάθε x 0> και c κάποιο σταθερό πραγµατικό αριθµό τοτε:

a. Να δείξετε ότι ln x

f(x)e

= .

b. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f την ευθεία

(ε) του (ii) ερωτήµατος και τον x΄x.



35

ΘΕΜΑ 73ο

Έστω η συνάρτηση f : α,β , → ℝ παραγωγίσιµη στο α,β µε f (a) f (β) 0′ ′= = και f(a) f(β).<

i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

f(x) f(a), a x β

g(x) x a0 , x a

− < ≤= − =

είναι συνεχής στο α,β .

ii. Να δείξετε ότι η g(x) είναι παραγωγίσιµη στο (α,β µε g (β) 0.′ <

iii.

a. Αν g(x) g(β) 0,> > να δείξετε ότι η g(x) παίρνει µέγιστη τιµή σε ένα εσωτερικό σηµείο του

διαστήµατος α,β .

b. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ α,β∈ τέτοιο ώστε να ισχύει: ( ) f(ξ) f(α)f ξ .

ξ α

−′ =−

iv. Αν f(β) f(a)

0 µ ,β α

−< <

− να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ α,β∈ τέτοιο ώστε να ισχύει:

( )f(ξ) f(a) µ ξ α .− = ⋅ −

v. Αν η συνάρτηση f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιµη και κυρτή στο διάστηµα ( )α,β να δείξετε ότι η

συνάρτηση g(x) είναι γνησίως αύξουσα στο ( )α,β .

ΘΕΜΑ 74ο

Δίνεται η συνάρτηση )f : 0, +∞ → ℝ συνεχής στο ℝ µε f γνησίως φθίνουσα και η g µε

( )1

0g(x) f xt dt, x 0.= ≥∫

i. Να δειχτεί ότι η g γράφεται

x

0f(t)dt

, x 0g(x)x

f(0) , x 0

>= =

∫

ii. Να δειχτεί ότι η g είναι συνεχής

iii. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 αποδείξτε ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο )0, . +∞



36

iv. Να δειχτεί ότι για κάθε χ 0> υπάρχει ξ 0> τέτοιο ώστε x

0

f(t)f(ξ) dt

x= ∫

v. Να µελετηθεί η g ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.

vi. Να δειχτεί ότι υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε 1

ξ

f(t)f(ξ) dt

ξ= ∫

ΘΕΜΑ 75ο

Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιµη στο ,ℝ τέτοια ώστε:

• 2x 1

f(x) x 2lim 1

x 1→

+ +=

−

• f (x) 1′ > για κάθε x 1≠ και

• Η f′′ είναι γνησίως αύξουσα.


i. f(1) 3= − και f (1) 1.′ =

ii. Το o

x 1= είναι θέση σηµείου καµπής της f.

iii. Η εξίσωση f(x) 0= έχει µοναδική ρίζα που βρίσκεται στο διάστηµα ( )1, 4 .

iv. Για κάθε x 1> ισχύει ( )x 2

1 3

f f(t) t dt f( 4) x f(1) 2 f (1)dt .−

−

′− > − + +

∫ ∫

ΘΕΜΑ 76ο

Για τις συνεχείς συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ και τον µιγαδικό z 0≠ ισχύουν για κάθε x ∈ ℝ οι σχέσεις:

g(x) 0≠ και x x

1 0

f(t)dt z x g(t)dt.− =∫ ∫ Να αποδείξετε ότι:

i. Η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο Ο(0,0) και ακτίνα 0 0

1 1

ρ f(t)dt g(t)dt.= =∫ ∫

ii. f(0) 0= και f (0) 2g(0).′ =



37

iii. Για κάθε x ∈ ℝ ισχύουν:

a. g(x) 0<

b. x 0

1 1

f(t)dt f(t)dt≤∫ ∫

iv. Η εξίσωση f(x) 2g(x) ρ,= + έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο ( )0,1 .

ΘΕΜΑ 77ο

Δίνεται η συνάρτηση x

21

dtg(x) , x

z t= ∈

+∫ ℝ όπου z α βi, a,β= + ∈ ℝ και για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ότι

2x 1 xg(x) 1.

1 2

+ +≤ −

+

i. Να εξεταστεί η συνάρτηση g ως προς τη µονοτονία και να λυθεί η εξίσωση g(x) 0.=

ii. Να δείξετε ότι z 1.=

iii. Να βρείτε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από το διάγραµµα της g, τους άξονες xx΄, yy΄ και την

ευθεία x 1.=

iv. Αν επιπλέον δοθεί και η συνεχής συνάρτηση f στο ℝ , για την οποία ισχύει

1

1

1x f(x)dx f(x) g (x),

g (x)−

′= −′∫ τότε:

a. Να βρεθεί ο τύπος της f.

b. Να δειχθεί ότι f(t) f(x)≤ για κάθε t x,x 1 ,x 0. ∈ + >

c. Να υπολογισθεί το : x 1

xx

lim f(t)dt.+

→+∞ ∫



38

ΘΕΜΑ 78ο

Δίνεται η συνάρτηση ( )x 2

2

3

f,f(x) 2 t t dt.−

= − +∫

i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε αυτό.

ii. Να αποδείξετε ότι:

a. Η συνάρτηση f έχει μέγιστο (ολικό) στο πεδίο ορισμού της.

b. Ισχύει η σχέση:

32

1

t tdt f(x) 2 2+ ≥ +∫ για κάθε f

x A .∈

iii. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 3,5∈ τέτοιο ώστε: 2 f(x)

ξ 3ξ 2 2 , x Af.2

− + − ≥ ∀ ∈

ΘΕΜΑ 79ο

Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w, u που έχουν µέτρο 1 και άθροισµα διάφορο του µηδενός. Αν ισχύει

2 2 2z w u 0,+ + = να αποδείξετε ότι:

i. 2 2 2 2 2 2z w w u u z+ = + = +

ii. 2 2 2

1 1 10

z w u+ + =

iii. Οι εικόνες των αριθµών zw wu uz

z, w, u, zwu,z w u

+ ++ +

είναι οµοκυκλικά σηµεία.

iv. z w u 2+ + =



39

ΘΕΜΑ 80ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι παραγωγίσιµες και «1-1» στο ,ℝ για τις οποίες ισχύουν:

• ( )

( )f f(x)

f g(x)

f(x)

ee

e= για κάθε x ,∈ ℝ

• ( )f x ψ f(x) f(ψ),+ = +

• Η συνάρτηση g έχει δυο ετερόσηµες ρίζες 1 2

ρ ,ρ µε 1 2

ρ ρ .<

A.

i. Δείξτε ότι f(x) g(x) x− = για κάθε x .∈ ℝ

ii. Δείξτε ότι η εξίσωση f(x) 0= έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα ( )1 2ρ ,ρ .

B. Δείξτε ότι υπάρχει σηµείο ( )Κ ξ,f(ξ) µε ( )1 2ξ ρ ,ρ∈ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ώστε

η εφαπτοµένη στο Κ να έιναι παράλληλη στη διχοτόµο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

C. Εάν η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο

ℝ .

D. Δείξτε ότι εάν η συνάρτηση g είναι κυρτή στο ℝ , τότε η f δεν έχει σηµεία καµπής.

E. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g , την

ευθεία x 2= και τους άξονες xx', yy'.

ΘEMA 81ο

Έστω συνάρτηση f µε f (x) 0,′′ < x ∈ ℝ και η συνάρτηση g µε 2x 3

2

g(x) f(x t)dt, x .−

−

= − ∈∫ ℝ

i. Να βρείτε την g (x).′

ii. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )g 3 5x g 5x 2 .′ ′− = −

iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )3 x

x 2

1f 3 x f x 2 f(t)dt,

x

−

+

− + + = ∫ έχει λύση στο διάστηµα 1

0,2

.

iv. Να µελετήσετε την κυρτότητα της g και να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει ένα σηµείο

καµπής, το οποίο και να προσδιορίσετε.



40

ΘEMA 82ο


1

xxe 2002x 2001, x 0f(x)a , x 0

+ + ≠= =

i. Να υπολογίσετε την τιµή του α ώστε η f να είναι συνεχής στο διάστηµα ( ,0 .−∞

ii. Για a 2001= εξετάστε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0

iii. Εξετάστε αν υπάρχει τιµή του a για την οποία η f είναι παραγωγίσιµη στο 0.

iv. Να υπολογίσετε τα λ, β για τα οποία η ευθεία ψ λχ β= + είναι πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής

παράστασης της f όταν x → +∞ και όταν x .→ −∞

v. Για a 2001= να µελετήσετε την γραφική παράσταση της f ως προς τα κοίλα. Έχει σηµεία καµπής;

ΘΕΜΑ 83ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0, ,+∞ → ℝ η συνάρτηση x

1

xf

tF(x) dt, x 0

t

= >∫ και οι µιγαδικοί

αριθµοί z a if(a), w f(β) iβ,= + = + όπου α, β θετικοί πραγµατικοί αριθµοί.

i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιµη για κάθε θετικό πραγµατικό αριθµό x και να

υπολογίσετε την F΄(x).

ii. Αν

β

α

F (x)dx 0′′ =∫ να δείξετε ότι: ( )Re zw 0.=

iii. Αν e 1

1 ef (x)ln xdx F (x)dx′ ′=∫ ∫ και η F είναι κυρτή στο ( )0, ,+∞ να δείξετε:

a. f(e) 0=

b. F(x) F(e)≥ για κάθε ( )x 0,∈ +∞

c. ( ) ( )2F 2 F 3<



41

ΘΕΜΑ 84ο

Έστω συνάρτηση 2f,f(x) x x 1, x .= + + ∈ ℝ

i. Να δείξετε ότι f(x) 0,> για κάθε x .∈ ℝ

ii. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f (x)

.f(x)

′

iii. Να υπολογίσετε το: 2

20

1I dx.

x 1=

+∫

ΘΕΜΑ 85ο

Έστω η συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµα ( )0,+∞ µε f(x) 0> για κάθε ( )x 0,∈ +∞ και a 0≠

A. Η εφαπτοµένη σε τυχαίο σηµείο Μ του γραφήµατος της f, τέµνει τον ηµιάξονα Οψ σε σηµείο Β έτσι ώστε

το τραπέζιο ΟΒΜΑ να έχει σταθερό εµβαδόν ίσον µε 2α , όπου Α σηµείο του θετικού ηµιάξονα Οχ µε την

ίδια τετµηµένη µε αυτήν του Μ. Αν είναι γνωστό ότι το σηµείο ( )21,α ανήκει στην γραφική παράσταση της

f, να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι: 2

2a 2f(x) x .

3 x

= +

B. Θεωρούµε και την συνάρτηση f(x)

φ(x) x 0.x

= >

i. Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της φ

C

ii. Να βρεθεί το εµβαδόν Ω(t) του χωρίου που περικλείεται από την φ

C , την ασύµπτωτη του γραφήµατος

της φ στο +∞ της και τις ευθείες x 1= και x t 1.= >

iii. Να βρεθούν τα όρια ( )tlim Ω t→+∞

, ( )

t

ηµt Ω tlim

t 1→+∞

⋅

−

iv. Να βρείτε το εµβαδόν ( )E t του χωρίου που περικλείεται από την φ

C , από τη τις ευθείες

( )x t, x 1, 0 t 1= = < < και y 0.=

v. Να βρείτε το όριο ( )( )t 0lim ln t E t

+→⋅



42

ΘΕΜΑ 86ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ για την οποία ισχύουν: f( x)f (x) x′− = για κάθε x ∈ ℝ και

f(0) 1.=

i. Να δείξετε ότι: f(x) 0,> για κάθε x .∈ ℝ

ii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f( x)

g, µε g(x)f(x)

−= είναι σταθερή στο ℝ .

iii. Να δείξετε ότι 2f(x) x 1, x .= + ∈ ℝ

iv. Να βρείτε το ( )x

συνχL lim

f x→+∞=

v. Να λύσετε την εξίσωση: f(3x) f(8x) f(5x) f(10x)+ = + στο R

vi. Αν x

1

F(x) f(t)dt,= ∫ να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της

F και τους άξονες συντεταγµένων.

Αν E είναι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f

C και τις ευθείες x 0, x 1, y 0= = =

αποδείξτε ότι ( )1

0

0 f ηµχ dx E< <∫

ΘEMA 87ο

Έστω α, β θετικοί πραγµατικοί και η συνάρτηση ( )

1 1f(x) ,

ax β x 1= +

− η οποία είναι ορισµένη στο ( )0,1 .

i. Να αποδείξετε ότι η f είναι “1-1”.

ii. Να αποδείξετε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός είναι τιµή της f.

iii. Να αποδείξετε ότι 1 βf (0) .

β α− =

+

iv. Έστω ( )t 0,1 ,∈ το σηµείο ( )Α t,f(t) και Β το σηµείο τοµής της ευθείας ΟΑ µε την ευθεία x 1.=

a. Να εκφράσετε συναρτήσει των α, β, t την απόσταση d(t) του Β από τον x x.′

b. Να αποδείξετε ότι t 0limd(t)→

= +∞ .



43

ΘEMA 88ο

Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f (x) 1′ ≠ και

2 xf (x) 2f (x) e f (x) 1 ′ ′ ′′− + = − για κάθε x .∈ ℝ Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο

σηµείο ( )0,f(0) έχει κλίση 1

2 και ευθεία y x ln2= + είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο

,−∞ τότε:

A.

i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα κάτω.

ii. Να βρείτε τον τύπο της f.

B. Έστω ότι x

x

2ef(x) ln , x

e 1

= ∈ + ℝ

i. Να υπολογίσετε το ( )x

xlim e f(x)→−∞

ii. Αν Ω το χωρίο που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x x′ κα τις ευθείες

x 0, x 1,= = να δείξετε ότι 1

Ε(Ω) .4

<

ΘEMA 89ο

Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί ηµxz 1 a i= + και w 1 ηµx i, x a 0= + + ∈ >ℝ για τους οποίους ισχύει

z w z w .− ≥ +

i. Να δείξετε ότι Re(zw) 0 , x≤ ∀ ∈ ℝ

ii. Να βρεθεί ο α

iii. Αν για την παραγωγίσιµη συνάρτηση: f : →ℝ ℝ ισχύει η σχέση x

t x

0

a f(t)dt a f(x) x 1= + −∫ για κάθε

x ,∈ ℝ να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f για το α του προηγούµενου ερωτήµατος.

iv. Να υπολογίσετε το εµβαδόν Ε(t) του χωρίου που περικλείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της f,

του άξονα x x′ , του άξονα y y′ και της ευθείας x t, t 0.= >

v. Να υπολογίσετε τα όρια ( )( ) ( )t t t 0

E ln tlim E(t) , lim ηµt E t , lim

ηµt→+∞ →+∞ →′⋅



44

ΘEMA 90ο

Θεωρούµε τους µιγαδικούς z, w τέτοιους ώστε 2 35

w z 4, w 3, w 6Re(w)4

− = ≠ < − και τη συνάρτηση

x

x

e x z 1f(x) ,x 1.

e 2 z 1

− += ≥−

+ +

Να δείξετε ότι:

i. Για τη γραφική παράσταση της f ορίζεται ασύµπτωτη στην περιοχή του +∞ , την οποία και να

προσδιορίσετε.

ii. 1

z 12

+ <

iii. Η εξίσωση ( ) xx 1 e 2 z 1 ,+ = + έχει µοναδική ρίζα 0χ στο διάστηµα ( )1, .− +∞

iv. 01 χ

f(x) ,2

−≥ για κάθε x 1.≥−

ΘEMA 91ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : 0,2 → ℝ µε f(2) 4f(0)= για την οποία ισχύει

2f (x) 4 6f(x) 5f (x)′ + = − για κάθε x 0,2 . ∈


i. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,2 και ( )f 0 0.<

ii. a) ( ) ( )2f x f x ln2 0′ + < β) ( )2

0

2 f x dx 0− < <∫

Β. Έστω z µιγαδικός αριθµός για τον οποίο οι αριθµοί 3

z 8− και 2

12 z 6 z− + ανήκουν στο 0,2 . Αν

ισχύει ( )2

3

12z 6z

z 8

f x dx 0

− +

−

=∫ , αποδείξτε ότι z 2.=



45

ΘEMA 92ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2

xf x 2x ,x .

x 4= + ∈

+ℝ

i. Να δείξετε ότι η ευθεία ε : y 2x= είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .−∞

ii. Να βρείτε το εµβαδόν ( )E t του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f,

την ευθεία ε, τον άξονα y'y και την ευθεία x t,t 0.= <

iii. Να υπολογίσετε το ( )( ) t

tlim E t ln2 e .→−∞

+

iv. Έστω 1 2

z ,z µιγαδικοί αριθµοί µε ( ) 1 21 i z z 1.+ = − Αν ισχύει ( )1

1f z f ,

2

> να δείξετε ότι

2

2z 1 .

2− >

v. Αν ( ) ( )x t

0 2

F x f u du dt,x 0, = >

∫ ∫ να βρείτε τη θέση και το είδος του ακροτάτου της F.

ΘEMA 93ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )( )222f x x z x zz x lm z ,x ,z .= + + − + ∈ ∈ℝ ℂ

Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της και η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντια ασύµπτωτη

στο +∞ τον άξονα x'x, τότε:

i. Να δείξετε ότι η εικόνα του z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµείο κύκλου, κέντρου ( )K 0,1 και

ακτίνας ρ=1 µε εξαίρεση το σηµείο ( )O 0,0 .

ii. Να βρείτε το µιγαδικό 0

z που έχει το µέγιστο µέτρο και να δείξετε ότι 4 z 3 3i 6.≤ + + ≤

iii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο .ℝ

iv. Για z 2i= να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της

συνάρτησης ( ) ( ) ( )g x x 2 f x ,= + τους άξονες x'x, y'y και την ευθεία x 4.=



46

ΘEMA 94ο

Έστω η συνάρτηση f , για την οποία ισχύει: ( )( ) ( )f f x x f x= + για κάθε x .∈ ℝ Σας ζητάνε να δείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση f είναι “1-1”.

ii. ( )f 0 0.=

iii. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0, τότε ( ) 1 5f 0

2

+′ = ή ( ) 1 5f 0 .

2

−′ =

iv. ( ) ( )1f x f x x, x− = − ∈ ℝ

v. Αν η f είναι συνεχής και επιπλέον ισχύει ( ) ( )2 2

1

0 0

f x dx f x dx 4014,−+ =∫ ∫ τότε υπάρχει

ένα µοναδικό ( )ξ 0,2 ,∈ τέτοιο ώστε: ( )f ξ 1004.=

ΘEMA 95ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση g : 2,3 → ℝ µε ( ) 4g 2 ,

5= για την οποία ισχύει η σχέση:

( )( ) ( )( )2g x 1 x 2x 1 g x 0′ + − − = για κάθε x 2,3 . ∈

i. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g.

ii. Να µελετηθεί η συνάρτηση g ως προς τη µονοτονία και τα κοίλα.

iii. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : α,β , → ℝ που είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη στο α,β .

Να δειχθεί: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )β

α

f a f ββ α f x dx β a f β .

2

+− < < −∫

iv. Να αποδειχθεί ότι: ( )3

20,85 g x dx 0,9.< <∫



47

ΘEMA 96ο

Δίνεται η συνάρτηση f : α,β ,α 0, → > ℝ που είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα και οι µιγαδικοί

( ) ( )1 1z if β ,w β i α

α a= + = − τέτοιοι ώστε

wΙ

z∈ . Να δείξετε ότι:

i. zw κ zw κ ,− = + για κάθε κ .∈ ℝ

ii. α) η εξίσωση ( )f x 0,= έχει µοναδική ρίζα ( )ρ α,β∈

b) w

Ιm 0z

<

iii. Υπάρχουν ( )1 2ξ ,ξ α,β∈ τέτοιοι, ώστε ( ) ( )1 2

f ξ f ξ 0.′ ′ >

iv. ( )β

x βx

f u β ρlim du 0

β x→

− +=

−∫

ΘEMA 97ο

Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ µε ( )f ,=ℝ ℝ συνεχής και τέτοια ώστε ( ) ( )

x

f t4

4f x dt,x .

e 3= ∈

+∫ ℝ

i. Να εξετάσετε την f ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το πρόσηµό της.

ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο ℝ καθώς και ότι ισχύει:( )

x

f t4

1 11 dt x,

4e 3+ <

+∫ για

κάθε x 4.≠

iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να προσδιορίσετε την 1f− και να βρείτε την τιµή ( )1f 1 .− −

iv. Να βρείτε το εµβαδόν Ε του χωρίου Ω που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τον

άξονα x'x και τις ευθείες1

x 4,x 3.4e

= = +



48

ΘEMA 98ο

Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο( )0, ,∞ µε ( )f x 0≠ για κάθε x 0> και ( )f 1 1.′ = Αν για

κάθε x 0> , για την συνάρτηση f ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( )f x2x f x f x lnx ,′ = − τότε:

Α) Να αποδείξετε ότι:

i. ( )f x 0,> για κάθε x 0.>

ii. Υπάρχει ( )0x ε 1,e τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο

σηµείο ( )( )o 0Α x ,f x να διέρχεται από το σηµείο ( )Β 1,0 .−

Β)

i. Αφού αποδείξετε ότι ( )ln x

xf x e ,x 0,= > να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα

ακρότατα.

ii. Αν ea e ,> να αποδείξετε ότι( ) ( ) ( )11

ln a 1ln aln a ln a 1 .+ > +

iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 33 x= έχει ακριβώς δύο λύσεις στο ℝ , τις 1 2

x ,x µε 1 2

x x> και

( )2x 2,e .∈

ΘEMA 99ο

Δίνεται ο µιγαδικόςz a βi, a,β= + ∈ ℝ µε z 2= και η συνάρτηση ( ) ( )2

f x 2z i x z ,x .= + − ∈ ℝ Να

δείξετε ότι:

i. ( ) ( )2 2f x 4x 4Re x i z 20. = − + +

ii. ( )Im z 2,= όταν για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ( )f x 8aβ 20.≥ +

iii. Υπάρχει ( )ξ 0,1 ,∈ τέτοιο ώστε ( ) ( )2f ξ 4 5 2a .′ = −

iv. Αν 0

z z= ο µιγαδικός για τον οποίο z 2= και το z 3− γίνεται ελάχιστο, τότε το εµβαδόν του

χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f , τους άξονες και την

ευθεία x ξ,= είναι49

6 τ.µ .



49

ΘEMA 100ο

Έστω η συνάρτηση f : 0,4 → ℝ για την οποία ισχύει ότι ( )f 2 1= και ( )f x 0′′ < για κάθε x 0,4 . ∈ Να

δείξετε ότι:

i. Υπάρχει ( )ξ 0,4∈ τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )x xf x f ξ f , x 0,4

2 2

′ = + ∀ ∈

ii. Η συνάρτηση ( ) ( )x

0

xg x f t dt xf

2

= − ∫ είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,4 .

iii. ( )4

0

f t dt 4.<∫

iv. Η εξίσωση ( ) xg x 3x 8 xf ,

2

= − − έχει τουλάχιστον µια λύση το ( )0,4 .



50

ΘΕΜΑ 101ο

Αν για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ( )x

t 1 2

1

2 z ie dt z 2 3i x 1−− ≥ − + −∫

i.Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε) : x 2y 3 0.− − =

ii.Δίνεται ο µιγαδικός w, µε w 2z 12= + Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος του w είναι η ευθεία

(ζ) : x 2ψ 18 0− − =

iii.Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του z w .−

iv.Αν η ευθεία (ε) του i ερωτήµατος είναι πλάγια ασύµπτωτη της συνάρτησης f στο ,+∞ να αποδείξετε

ότι

2

x 0

1xf 5x 1

x 1lim

21 12f

x x

+→

− + =−

−

ΘΕΜΑ 102ο

Δίνεται η συνάρτηση 2 2x a

f(x) ln x ln a, a 0, x 0.2ax

−= − + > >


ii. Να λυθεί η εξίσωση ( )2 2x a 2ax ln x ln a .− = −

iii. Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

iv. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης f.

v. Να µελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα και τα σηµεία καµπής.

vi. Αν α, β είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί µε α β,< να δείξετε ότι: 2 2α α β

ln .β 2αβ

−>

vii. Για α 1,=

a. Να κάνετε µια πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

b. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 2x 1 2λx 2xln x, λ .− − = ∈ ℝ



51

ΘEMA 103ο

Δίνονται οι συναρτήσεις ( )f(x) 2x lnx ln x 1= + − + και 1

g(x) 2x .x

= +

A.

i. Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και να βρείτε το όριο: xlim f(x).→+∞

ii. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f και το πλήθος ριζών της εξίσωσης f(x)=0.

iii. Να δείξετε ότι η ευθεία y 2x= είναι πλάγια ασύµπτωτη της f

C και να βρεθεί η θέση της f

C σε

σχέση µε την πλάγια αυτή ασύµπτωτη για x 1.≥

B.

i. Να µελετήσετε την g ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το όριο: ( )xlim g x .→+∞

ii. Να δείξετε ότι η g

C έχει την ίδια πλάγια ασύµπτωτη µε την f

C και να βρεθεί η θέση της g

C και της

πλάγιας αυτής ασύµπτωτης για x 1.≥

iii. Αν ( ) ( ) ( )h x x 1 ln x 1 x ln x,x 1= + ⋅ + − ⋅ ≥ να βρείτε την παράγωγο της h και να βρείτε µια αρχική

συνάρτηση της ( ) ( ) ( )φ x g x f x .= −

iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ( )5

1Ι φ x dx.= ∫ Αν το Ι παριστάνει το εµβαδό ενός χωρίου, να

βρείτε από ποιες καµπύλες περικλείεται το χωρίο αυτό.

ΘEMA 104ο

Έστω f,g συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιµες στο ℝ και τέτοιες ώστε να ισχύει: ( ) ( )g 0 0,f 0 0′ = = και

για κάθε x ∈ ℝ ( )g x 0.′′ <

Αν ( ) ( ) ( )31f x g x x x ηµx 1

6′ ′− = − − τότε:

i. Να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω.

ii. Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει µέγιστο στο x 0.=

iii. Να δείξετε ότι: ( ) ( ) ( )x xf 4 f 1 f 2+ < για κάθε x 0.>



52

iv. Να λυθεί η εξίσωση ( )f x 0.=

v. Αν ( )g 0 0= να υπολογίσετε το εµβαδό ( )Ε λ που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων f,g και τις ευθείες x 0,x λ,λ 0= = > και να βρείτε το όριο:( )

λ 0

Ε λlim

λ+→ και το όριο

( )λ

E λlim

λ→+∞

ΘEMA 105ο

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση )f : 1, +∞ → ℝ µε ( ) ( )f 1 e, f 1 2e′= = και ( )f x 0≠ για κάθε

x 1.≥ Αν ισχύει ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2f x f x f x 2f x ,′′ ′> + για κάθε x 1,≥ τότε:

i. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή.

ii. Να δείξετε ότι ( ) 2xf x e ,> για κάθε χ 1.>

iii. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f.

iv. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )x

1

f t2 dt x,

t=∫ έχει µοναδική ρίζα στο ( )1,2 .

ΘEMA 106ο

Η συνάρτηση f : →ℝ ℝ είναι συνεχής και για κάθε x ,∈ ℝ ισχύει: ( ) ( )f x

e f x x 1 0.+ − − =

Α.

i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

ii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία.

iii. Να λύσετε τις εξισώσεις ( )1f x 0− = και ( )1f x e.− =

Β. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) ( )x

t

0

F x e f t dt,x .= ∈∫ ℝ Να µελετηθεί ως προς την καµπυλότητα και τα

σηµεία καµπής η συνάρτηση ( ) ( )x

0

G x F t dt,x .= ∈∫ ℝ

Γ. Έστω ο µιγαδικός z ∈ ℂ µε ( )e

0

2z f x dx.

3= ∫

i. Να δείξετε ότι 2 z 1 z 1 2 2.≤ + + − ≤

ii. Αν επιπλέον ισχύει ( )2Ιm z z 1 0,− + = να βρεθεί ο z.



53

ΘEMA 107ο

(προτάθηκε από τον κ. Χ.Λαζαρίδη)

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ η οποία είναι τέτοια ώστε: το όριο ( )xlim f x→+∞

υπάρχει και

( ) ( ) ( )f xf x e x 1 ,+ = για κάθε x .∈ ℝ

A.

i. Να υπολογίσετε το όριο ( )xlim f x .→+∞

ii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει οριζόντια ασύµπτωτη στο .+∞

Β.

i. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να υπολογίσετε την 1f .−

ii. Να βρείτε το πρόσηµο της f.

Αν επιπλέον γνωρίζουµε, ότι η f είναι παραγωγίσιµη.

Γ.

i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f, έστω ε, στο σηµείο

( )( )Α 1,f 1 .

ii. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την

εφαπτοµένη ε και την ευθεία µε εξίσωση x e 1.= +

Δ.

i. Να δείξετε ότι: ( )

1 e

1

1dx 1.

1 x f x

+=

+ −∫

ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 1,e 1∈ + τέτοιο ώστε: ( ) ( )f ξ ln e 1= − και στη

συνέχεια να υπολογίσετε το ξ.



54

ΘEMA 108ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε ( ) ( )

x

f t0

1f x dt 1,x .

1 e= + ∈

+∫ ℝ

i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .ℝ

ii. Να βρεθεί η 1f .−

iii. Να βρεθεί το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες

συντεταγµένων και την ευθεία x e.=−

iv. Να δείξετε ότι ( )

0

f xe

11 dx.

1 e−

=+

∫

v. Να λυθεί η ανίσωση ( )( ) ( ) ( )

0 31

f x f xe 0

1 1f f x 3 dx dx.

1 e 1 e

−

−

+ − <+ +

∫ ∫

ΘEMA 109ο

Έστω f : 1,2 → ℝ δύο φορές παραγωγίσιµη για την οποία ισχύουν:

• ( )f x 0′′ < για κάθε x 1,2 ∈

• ( ) ( ) ( )f 1 0,f 2 2,f 2 1.′= = = Να δείξετε ότι:

i. H f είναι γνησίως µονότονη και να βρεθεί το σύνολο τιµών της.

ii. H ευθεία y x= εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f.

iii. Yπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 1,2∈ µε ( )0

f x 1.′′ <−

iv. ( ) ( )f x 2 f x

x 1 2 x

−>

− − για κάθε ( )x 1,2 .∈

v. ( ) ( )f x 2 x 1≥ − για κάθε x 1,2 . ∈

vi. ( )2

1

f x dx 1.≥∫

vii. H ευθεία ( )ε : x y 2+ = τέµνει τη γραφική παράσταση της f σε µοναδικό σηµείο.

viii. Yπάρχουν 1 2

ξ ,ξ µε 1 2

ξ ξ ,< ώστε: ( ) ( ) ( )1 2 1f ξ f ξ f ξ 2.′ ′ ′= +

ix. Nα γίνει πρόχειρη γραφική παράσταση της f



55

ΘEMA 110ο

Δίνεται η ( ) ( ) ( )x 1 x

2 2

F x f 4 t dt f t dt,−

= − −∫ ∫ όπου f δύο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση στο ,ℝ µε f′′

γνησίως φθίνουσα στο ( ), f x 0′ ≠ℝ για κάθε x ∈ ℝ και 5

f 0.2

′ <

i. Να αποδείξετε ότι για την F ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle στο 2,3 .

ii. Αν ( ) ( ) ( )g x f 5 x f x ,= − − να βρείτε τις ρίζες και το πρόσηµο της g.

iii. Να µελετήσετε τη µονοτονία και τα ακρότατα της F.

iv. Να µελετήσετε τα κοίλα της g.

ΘEMA 111ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )1f x 2x ln x 1 ,x 0, .

x= + − − ∈ +∞

i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( )f x 0= καθώς και το

σύνολο τιµών της f.

ii. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση ( ) ( )( )2g,g x x 2 1 x ln x 2 ,x 0.= − − − − >

iii. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 2h x x 2= − και ( ) ( )( )φ x 1 x lnx 2 .= − − Να δείξετε ότι οι γραφικές

παραστάσεις τους, έχουν ακριβώς δύο κοινά σηµεία.

iv. Να δείξετε ότι: ( )( ) 21 x ln x 2 x 1,− − ≤ − για x 0.>

v. Να βρεθεί ο αριθµός των λύσεων της εξίσωσης: 2x 1 2x xx e ,− −= όταν x 0.>



56

ΘEMA 112ο

Α) Αποδείξτε ότι:

Α1) H συνάρτηση ( )xe

g xx

= είναι µία παράγουσα της ( )x x

2

e eh x

x x= − στο ( )0, .+∞

Α2) ( )x x xe xe xe′− =− για κάθε x ∈ ℝ

Β) Έστω δύο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ για την οποία ισχύουν:

• ( )1

3 xx f x e′′⋅ = για κάθε x 0>

• ( )f 1 e=

• ( )f 1 0′ =

Ζητείται:

Β1) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι ( )1

xf x xe , x 0= >

Β2) Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών της.

Β3) Να αποδείξετε ότι

xx 1

e e

≥ για κάθε x 0>

Β4) Να αποδείξετε ότι ( )x

1xlim f t dt→+∞

=+∞∫

Β5) Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )f 10 f 12 2 f 11+ > ⋅

Β6) Να βρείτε τα όρια: ( ) ( ) ( )

1 2 3x xxx 0 x 0

f x f x f xL lim L lim L lim

ηµχ 1 e 1 e+ + →+∞→ →= = =

− −

ΘEMA 113ο

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g µε f g

D D= = ℝ και ο µιγαδικός z ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:

• ( ) ( )f 0 g 0>

• ( ) ( ) ( )x 2

0

πf t dt πg 0 g 0 , x ,

2′< + ∀ ∈∫ ℝ

• η g έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο µε ( )g x 0, x ,′′ ≠ ∀ ∈ ℝ

• ( ) ( )z 2010 z g 2010 1e e 2 z g 2010 2009

′′− − − ′′+ = − −



57

i. Να δείξετε ότι xe x 1, x≥ + ∀ ∈ ℝ

ii. Να δείξετε ότι η g είναι κυρτή και να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z.

iii. Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) )g x xg 0 g 0 , x 0,′≥ + ∀ ∈ +∞

iv. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 0,π∈ τέτοιο ώστε να ισχύει ( ) ( )f ξ g ξ .=

ΘEMA 114ο

Η συνάρτηση f : →ℝ ℝ είναι συνεχής και ισχύουν

• ( )

x 0

f x συνxlim 2

x→

−=

• ( )f x 0≠ για κάθε x ,∈ ℝ τότε:

Α. Να βρεθούν οι αριθµοί ( ) ( )f 0 ,f 0 .′

Β. Αν για τη συνάρτηση g : ,→ℝ ℝ για τυχαίο αλλά σταθερό α ∈ ℝ ισχύει ( ) ( )( ) xg x 2 2x

α α

f t dt f t dt,−

=∫ ∫ για

κάθε x ,∈ ℝ τότε:

i. Να λυθεί η εξίσωση ( )g x 0.=

ii. Να δειχθεί ότι x2 2x> για κάθε x 2.>

Γ. Αν για τη συνάρτηση f επιπλέον γνωρίζουµε ότι ισχύουν, ( ) ( ) x 2f x f x 2 e −− − = για κάθε x ∈ ℝ και

( )3

2

f x dx e=∫ τότε:

i. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της µε τετµηµένη

0x 2.=

ii. Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες

συντεταγµένων και την ευθεία x 1.=



58

ΘEMA 115ο

Έστω η συνάρτηση ( ) xg,g x e ln x,x 0.= − > Να αποδείξετε ότι:

i. η g είναι κυρτή.

ii. η g′ έχει µοναδική ρίζα ξ µε 0 ξ 1.< <

iii. στο παραπάνω ξ η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.

iv. ( )g ξ 0.>

v. xe lnx,> για κάθε x 0.>

ΘEMA 116ο

Έστω µια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα )0, +∞ για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύουν:

( )f 0 0= και ( ) ( )xf x f x′′ ′> για κάθε x 0.>

Α. Να αποδείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση ( ) ( )f xg x ,x 0

x

′= > είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( )0, .+∞

ii. Η συνάρτηση ( ) ( ) ( )2 2h t f x t x f t ,t 0= − ≥ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος του

Rolle στο διάστηµα 0,x µε x 0.>

iii. Για κάθε x 0> υπάρχει ένας τουλάχιστον, ( )ξ 0,x∈ τέτοιος ώστε ( ) ( )2x

2f x f ξξ

′=

Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( ) ( )2

f xφ x

x= είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα ( )0, .+∞

Γ. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( )2 2x f x f x> στο ( )0, .+∞

ΘEMA 117ο

Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο ( )0,+∞ για την οποία ισχύει ( )x

2 21

1 1 1 xf x f du

x ux u

= − − ∫ για κάθε

x 0.> Να αποδείξετε ότι:

Α.

i. Η f είναι παραγωγίσιµη στο ( )0,+∞ και να βρείτε την f′ συναρτήσει της f.



59

ii. Η συνάρτηση ( ) ( )2g x ln x x f x ,x 0= + > είναι σταθερή.

iii. Να αποδείξετε ότι ( ) 2

ln xf x ,x 0.

x=− >

Β. Να βρείτε:

i. Τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

ii. Το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x'x και τις

ευθείες x 1= και x t,= όπου ( )t 0,1 .∈

iii. Το όριο ( )t 0lim E t ,

+→ όπου ( )E t το εµβαδό του (ii) ερωτήµατος.

ΘEMA 118ο

Α. Να αποδείξετε ότι ένας αριθµός w είναι πραγµατικός, αν και µόνον αν ισχύει: w w.=

Β. Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z και w µε z ∉ ℝ και 4

w z .z

= +

i. Να αποδείξετε ότι: αν ο αριθµός w είναι πραγµατικός, τότε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των

µιγαδικών z, είναι ο κύκλος µε εξίσωση z 2,= εξαιρουµένων δύο σηµείων, τα οποία και να

προσδιορίσετε.

ii. Αν 1

z και 2

z είναι δύο µιγαδικοί του προηγούµενου γεωµετρικού τόπου, τότε να αποδείξετε ότι:

1

1

z 1

4 z= και 2

2

z 1.

4 z=

iii. Αν 1

z και 2

z είναι οι µιγαδικοί του προηγούµενου ερωτήµατος, τότε να αποδείξετε

ότι:( )1 21 2

1 1z z 4.

z z

+ + ≤

iv. Αν 1 2 3

z ,z ,z είναι τρεις µιγαδικοί του γεωµετρικού τόπου του i) ερωτήµατος, τότε να αποδείξετε ότι:

1 2 2 3 3 1

1 2 3

z z z z z z2.

z z z

+ +=

+ +



60

ΘEMA 119ο

Δίνεται η συνεχής και “1-1” στο ( )0,+∞ συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: ( )4

3

f x dx 1=∫ και

( )4

5

f x dx 3.=∫

i. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) ( )2

1

F x f x t dt,= +∫ να αποδείξετε ότι είναι

παραγωγίσιµη και να βρεθεί η F .′

ii. Να αποδείξετε ότι η F δεν έχει κρίσιµα σηµεία.

iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )F x 0= έχει µοναδική ρίζα ( )0x 2,3 .∈

iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2ξ ,ξ 2,3∈ τέτοια ώστε να ισχύει

( ) ( )1 2

1 31.

F ξ F ξ+ =−

′ ′

v. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )f x 0= έχει ακριβώς µία ρίζα που βρίσκεται στο διάστηµα ( )3,5 .

ΘΕΜΑ 120ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )f x x 1 ln x 1 ,x 1.= + − + >−


ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.

iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε a 0> ισχύει a

a e 1e a ln .

a 1

+− >

+

iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ( )ξ 1,0∈ − τέτοιο ώστε ( ) ( )ξf e f ξ .=

v. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( ) ( )φ x F x f x= − είναι γνήσια αύξουσα στο ( 1,0 ,− όπου F µια

παράγουσα της f στο (-1,0].



61

ΘΕΜΑ 121ο

Έστω 1 2

z ,z οι ρίζες της εξίσωσης 2z az 1 0+ + = µε ( )a 2,2∈ − και w ∈ ℂ µε w 2i.≠− Αν ισχύει

( ) ( )20042005

1 2z w 2i z w 2i 0,+ + − = τότε:

Α.

i. Να δείξετε ότι α) w 2i 1+ = και β) 1

w 2i .w 2i

− =+

ii. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών

α) w 1 3i+ − β) iw 2013+

Β. Αν 1 2

2 1

z zu ,

z z= + να δείξετε ότι 2u a 2.= −

Γ. Αν ( )400921

v z wi 2 ,= − να δείξετε ότι v i.=−

Δ. Να δείξετε ότι 2w uv 1 a .+ ≤ +

ΘΕΜΑ 122ο

Έστω συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ παραγωγίσιµη µε f′ συνεχή και f (x) 0′ ≠ για κάθε x 0.> Δίνεται

ακόµα, η συνάρτηση f(x)

2

1g,g(x) dt

1 f(t)=

−∫ και ότι τα σηµεία Α(1,1) και 1

Β ,22

είναι σηµεία της γραφικής

παράστασης της f.

i. Να βρεθεί η µονοτονία της f και το πεδίο ορισµού της g.

ii. Να µελετηθεί η συνάρτηση g ως προς τη µονοτονία και να βρεθεί το πρόσηµό της.

iii. Αν επιπλέον ισχύει ( )f f(x) x,= για κάθε x 0> τότε να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει ( ) ( ) 2ξ 0,1 :g ξ

ξ 1′∈ =

−

β) ( )f 1 1′ = −

γ) Υπάρχει ( ) ( ) 3κ 0,1 :f κ

2′∈ =−



62

ΘEMA 123ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( ) ( )f : 0, 0, .+∞ → +∞ Υποθέτουµε ότι υπάρχει παράγουσα F της f µε την

ιδιότητα ( ) 22 F(x) f(x) f (x)− = για κάθε ( )x 0, .∈ +∞ Να αποδείξετε ότι:

i. Η f είναι γνησίως αύξουσα.

ii. Η f είναι κυρτή.

iii. xlim f(x) .→+∞

= +∞

iv. x

f(x)lim 1.

x→+∞=

v. ( )

2x

f xlim 0

x→+∞=

vi. ( ) ( )( )xlim f x 1 f x 1→+∞

+ − =

vii. Η f

C δεν έχει πλάγια/οριζόντια ασύµπτωτη στο +∞

ΘEMA 124ο

Δίνονται ο µιγαδικός αριθµός z a βi, a,β , a 1, β 1= + ∈ > >ℝ και η συνάρτηση f µε τύπο

f(x) x z i x 1, x 0.= ⋅ + − − ≥ Αν για κάθε x 0≥ ισχύει 2x z β xz i ,+ > + σας ζητάτε να δείξετε ότι:

i. Η εξίσωση f(x) 0= έχει µοναδική λύση.

ii. Για τους διάφορους του µηδενός µιγαδικούς 1 2

1z z, z iz

a= ⋅ = ισχύει:

a. 1 2

z z<

b. 2 1 2 1

z z i z z i z z .− − + > −

iii. Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής διαφορικού λογισµού για τη συνάρτηση f

στο διάστηµα ( )1 2z , z και υπάρχει µιγαδικός

oz τέτοιος ώστε

2

o oz z β z z i .+ > +



63

ΘEMA 125ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση f, για την οποία ισχύει 2f(2x) f(x) 2x, x− = ∈ ℝ και η

συνάρτηση 2

2

1

F(x) x f(xt)dt x 3 x .= − + ∈∫ ℝ Σας ζητάτε:

i. Νa αποδείξετε ότι υπάρχουν 1

x (0,1)∈ και 2

x (1,2)∈ τέτοια ώστε 1 2

f (x ) 2f (x ) 2.′ ′+ =

ii. Να αποδείξετε ότι η F είναι σταθερή και να βρείτε την τιµή της.

iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 4

1

I f(x)dx.= ∫

ΘEMA 126ο

Έστω συνεχής συνάρτηση f στο 0,1 που είναι γνήσια φθίνουσα και ο µιγαδικός 2 if(1)

w1 if(0)

+=

+ είναι

φανταστικός αριθµός, µε την εικόνα Μ(w) να ανήκει σε κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα

p 1.=

i. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f.

ii. Δείξτε ότι η εξίσωση f(x) 3x,= έχει µοναδική ρίζα ( )0x 0,1∈

iii. Δείξτε ότι υπάρχει µοναδικό ξ (0,1)∈ : ( ) 03f ξ 3x 2= −

iv. Αν 1 2

z ,z µιγαδικοί που ανήκουν στο σύνολο των εικόνων M(z) µε z w w ,− = να δείξετε ότι η

µέγιστη τιµή του 1 2

z z− είναι το 2.

ΘΕΜΑ 127ο

Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο διάστηµα 1,8 , µε συνεχή πρώτη παράγωγο. Για την συνάρτηση f

ισχύουν:

•••• f(1) f(8) ln16= +

•••• 1

f (1)48

′ > −

•••• Η f δεν παρουσιάζει µέγιστο στο 1.




64

i. Υπάρχει µ 1> τέτοιο ώστε f(µ) f(1)> και λ 1> τέτοιο ώστε 4

f (λ) ln2.7

′ = −

ii. Η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη σε σηµείο της µε τετµηµένη που ανήκει

στο διάστηµα (1,8).

iii. Υπάρχει o

x (1,8)∈ τέτοιο ώστε o

o

43f (x ) .

x′ = −

iv. Υπάρχει ξ (1,8)∈ τέτοιο ώστε 1

f (ξ) ln2.2

′ = −

v. Υπάρχει 1

ξ (1,8)∈ τέτοιο ώστε 1 1

48f (ξ ) ξ .′ = −

ΘEMA 128ο

Έστω συνάρτηση f συνεχής στo ℝ για την οποία ισχύουν:

• f(0) 1.>−

• xlim f(x) n→−∞

= ∈ ℝ

• ( )2 2 2f (x) 2axf(x) 1 a x 1− = − + για κάθε x ,∈ ℝ µε α .∈ ℝ


i. Η συνάρτηση g(x) f(x) ax= − διατηρεί πρόσηµο στο ℝ .

ii. 2f(x) x 1 x, x .= + + ∈ ℝ

iii.

( )( )

1

22

0

1dx ln 2 1

f (x) x 1=− −

′′ +∫

ΘEMA 129ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη στο διάστηµα )0, +∞ συνάρτηση f µε f(0) 1= και f (0) 0′ = η οποία είναι κυρτή.

i. Να δείξετε ότι f(x) 1> για κάθε ( )x 0, .∈ +∞

ii. Αν x x

1 1

g(x) f(t)dt ln f(t)dt= −∫ ∫ µε )x 0, ,∈ +∞ να δείξετε ότι:

a. Η συνάρτηση g είναι κυρτή στο διάστηµα )0, . +∞



65

b. f(x)e e f(x)> ⋅ για κάθε ( )x 0, .∈ +∞

c.

2 2

1 1

f(t)dt ln f(t)dt.>∫ ∫

ΘEMA 130ο Δίνονται δυο µιγαδικοί αριθµοί z,w µε w z> και η συνάρτηση f µε τύπο f(x) z x w , x .= + − ∈ ℝ

i. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f.

ii. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι ¨1-1¨.

iii. Να µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία.

iv. Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση 1f(x) f (x)−= έχει µοναδική λύση, τότε:

a. Να υπολογισθεί η διαφορά w z .−

b. Να αποδειχθεί ότι 1

w z .4

+ ≥

ΘEMA 131ο

Δίνεται η συνεχής στο 1 συνάρτηση f µε τύπο

( )

( )

2

2

ln x x a , x (0,1)

f(x) ln2 , x 1

ln x 5x β , x (1,2)

+ + ∈= = − + ∈

i. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β και και να µελετηθεί η f ως προς τη συνέχεια.

ii. Να βρεθεί η παράγωγος f.

iii. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

iv. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f.

v. Να βρεθεί, αν υπάρχει, η αντίστροφη της f.

vi. Να λυθεί η εξίσωση f(x) 0.=

vii. Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της συνάρτησης f.

viii. Να υπολογίσετε το 1

1

2

f(x)dx.∫



66

ΘEMA 132ο

Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµoί z, w µε z w 0+ ≠ και η συνάρτηση f : →ℝ ℝ µε τύπο:

f(x) z w x z 2w .= + − −


i. Η συνάρτηση f είναι ¨1-1¨στο ℝ .

ii. 1z 2w1

f (x) x , x .|z w |z w

−−

= + ∈++

ℝ

B. Αν για κάθε x ∈ ℝ ισχύει: 1f(x) f (x),−= να δείξετε ότι:

i. z w 1+ =

ii. z 2 w=

iii. 1

z w3

− =

ΘEMA 133ο

Έστω f,g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηµα 0,1 τέτοιες ώστε ( ) ( )f x 0,0 g x 1,> < < για κάθε

x 0,1 . ∈ Θεωρούµε τις συναρτήσεις F,G,H µε: ( ) ( ) ( ) ( )x x

0 0

F x f t dt,G x g t dt= =∫ ∫ και

( ) ( ) ( )x

0

H x f t G t dt,x 0,1 . = ∈ ∫

i. Να αποδείξετε ότι για κάθε ( )x 0,1∈ ισχύει: ( ) ( ) ( )H x F x G x .<

ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε ( )x 0,1∈ ισχύει: ( )( )

( )( )

H x H 11.

F x F 1< <

iii. Αν ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0

H 1 g t F t dt F 1 G 1 ,+ = +∫ να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο

ώστε:( )( )

( )( )

f ξ 1 F ξ.

g ξ 1 G ξ

−=−

−

iv. Να υπολογισθεί το όριο: ( )

( ) ( )

2

x 0

H xlim .

F x G x+→



67

ΘEMA 134ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )1

xf x xe ,x 0, .−

= ∈ +∞

i. Να µελετηθεί η f ως προς τα κοίλα.

ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της ( )( )1,f 1 .

iii. Να αποδείξετε ότι ( )2

1

2f x dx .

e>∫

iv. Αν ( ) ( )3

f xg x

x= , x 0> και ( )Ε t το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση

της g, τον άξονα των τετµηµένων και τις ευθείες x 1,x t,t 1,= = > να υπολογισθεί το ( )tlim Ε t .→+∞

ΘEMA 135ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει ( )1

2x

0

e 1 x f t x dt 0,− − + ≥∫ για κάθε

x .∈ ℝ Να αποδείξετε ότι:

i. ( )1

0

f t dt 2.=∫

ii. η εξίσωση ( )x

0

f t dt 1=∫ έχει λύση ξ στο ( )0,1 .

iii. η εξίσωση ( ) ( )x

0

f t dt xf x 1 0+ − =∫ έχει λύση στο ( )0,ξ .

ΘEMA 136ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x e x 2.= + −

i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιµών της.

ii. Να υπολογίσετε το ( ) x

x xx

f x x 3lim

4 2→−∞

− +

+ ,

( ) x

x xx

f x x 3lim

4 2→+∞

− +

+

iii. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε ( ) ( )f lnξ f ξ .= −



68

iv. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει

1f z i e 1.

2

− + = −

v. Αν οι εικόνες των 1 2

z ,z βρίσκονται στον παραπάνω γεωµετρικό τόπο, τότε να βρείτε το όριο

( ) ( ) ( )( )1 2xlim z z 2 f x f x .→+∞

− − + −

ΘEMA 137ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ για την οποία για κάθε x 0> ισχύουν

( ) ( ) ( )f x 0,f x 2xf x 0′> + = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σηµείο ( )Α 1,1 .

i. Να δείξετε ότι η παράγωγος της f είναι συνεχής στο ( )0,+∞ και να βρείτε τη συνάρτηση f.

ii. Να δείξετε ότι ( ) ( )x

2 21

f tx 1 x 1f x dt ,x 1.

22x 2t

− −< < >∫

iii. Να βρείτε τη συνάρτηση ( ) ( )x

21

1F x 1 f t dt,x 1.

2t

= + > ∫

Να αποδείξετε ότι 2

xt

1

2e e dt 1,−⋅ <∫ για κάθε x 1.>

ΘEMA 138ο

Θεωρούµε τη συνάρτηση f : a,β → ℝ παραγωγίσιµη, µε συνεχή πρώτη παράγωγο, ( )a β 0,f a β≠ ≠ = και

( )f x 0′ < για κάθε x a,β . ∈

Α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισµού της 1f .−

Β. Αν η 1f− είναι συνεχής και ισχύει ( ) ( )( )

( )f β β1

af a

f t dt f t dt 0− + =∫ ∫ τότε:

i. Να βρείτε το ( )f β .

ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ a,β ,∈ τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της f

C στο σηµείο ( )( )Α ξ,f ξ να είναι

κάθετη στην ευθεία x y 2007 0.− + =

Γ. Να αποδείξετε ότι:

i. υπάρχει µοναδικό ( )1ξ a,β∈ τέτοιο ώστε ( )1 1

f ξ ξ .=

ii. υπάρχουν ( )κ, λ a,β∈ τέτοια ώστε ( ) ( )f κ f λ 1.′ ′⋅ =



69

ΘEMA 139ο

Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ συνεχής και γνησίως αύξουσα, µε ( )2f x 4≠ για κάθε x ∈ ℝ και ( )f 0 2.>

i. Αν ( )g x x 2,= − δείξτε ότι ορίζεται η gof για κάθε x .∈ ℝ

ii. Μελετήστε ως προς τη µονοτονία την ( ) ( ) x

1 1φ x 1.

ef x= + −

iii. Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) ( )x xe f x e f x+ = έχει ακριβώς µια λύση στο .ℝ

iv. Αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι ( )( )f g x 4x 9,= + δείξτε ότι:

α) η g αντιστρέφεται

β) αν η f είναι παραγωγίσιµη στο R, τότε η εφαπτοµένη της f στο σηµείο της µε τετµηµένη 1

x ,4

=

είναι παράλληλη της εφαπτοµένης της 1g− στο σηµείο της µε τετµηµένη x 1.=

ΘEMA 140ο

Θεωρούµε τις συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ µε ( ) ( ) 22 x x 1g x x 1 e .+ += − Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ℝ

και ισχύει ( )

x 2

f xlim 2

x 2→=

− µε ( ) ( ) ( )x 1e 1 x 1 f x εφ x 1+ − ≤ + ≤ + για κάθε x ,∈ ℝ τότε:

i. Να βρεθούν οι αριθµοί ( ) ( )f 2 ,f 1 .−

ii. Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει µε την γραφική παράσταση της συνάρτησης g ένα

τουλάχιστον κοινό σηµείο µε τετµηµένη ( )0x 1,2 .∈ −

iii. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,2 ∈ − ώστε να ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )2 22 ξ ξ 1 2 x x 1f x ξ 1 e f ξ x 1 e+ + + ++ − ≤ + − για κάθε x 1,2 . ∈ −



70

ΘEMA 141ο

Δίνεται η συνάρτηση ( )f x ln x x 1,x 0.= + − >

Α. Να αποδείξετε ότι:

i. Η f αντιστρέφεται.

ii. Η εξίσωση ( )f x 0= έχει µοναδική λύση.

Β. Για το µιγαδικό αριθµό z µε z 4 3i≠ + ισχύει: ln z 4 3i 1 z 4 3i .− − = − − −

i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z

ii. Να βρείτε τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή του µέτρου z z .−

iii. Να βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της εικόνας του µιγαδικού z από το σηµείο

( )Ν 3, 4 .− −

iv. Να αποδείξετε ότι 9 z 4 3i 11≤ + + ≤

ΘEMA 142ο

Έστω συνάρτηση )f : 0, +∞ → ℝ για την οποία ισχύει: ( ) ( )f xf x e x,= για κάθε )x 0, .∈ +∞ Να δείξετε

ότι:

i. ( )0 f x x,≤ ≤ για κάθε )x 0, .∈ +∞

ii. η f είναι συνεχής στο 0.

iii. η f είναι παραγωγίσιµη στο 0.

iv. η f είναι γνησίως αύξουσα.

v. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο )0, +∞ τότε: ( )

( )1

f 1

0

1dx e 1.

1 f x= −

+∫



71

ΘEMA 143ο

Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ για την οποία ισχύει ( ) 2f e e= και

( ) ( ) 2xf x 2f x x ,x 0.′ − = >

i. Να δείξετε ότι ( ) 2f x x lnx,x 0.= >

ii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα και τις ασύµπτωτες.

iii. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 2

2011

xx e .=

iv. Αν για το µιγαδικό z ισχύει zz ln z 1,⋅ = να δείξετε ότι οι εικόνες του z ανήκουν σε κύκλο µε κέντρο

την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ 1.>

ΘΕΜΑ 144o

(προτάθηκε από τον κ. Μάκη Χατζόπουλο)

Έστω 2x

2

0

f(x) 1 t dt= −∫ µε 1 π

f2 4

− = −

a. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f(x).

b. Nα δείξετε ότι η f είναι περιττή.

c. Να µελετήσετε την f(x) ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.

d. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσηµο της f(x).

e. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον

xx΄ και την ευθεία x=1/2.



72

ΘEMA 145ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: ( ) ( )f xf x e x 1,x .+ = + ∈ ℝ

i. Να δείξετε ότι xe x 1≥ + για κάθε x .∈ ℝ

ii. Να δείξετε ότι ( ) xf x

2≤ για κάθε x ∈ ℝ και ( )

xlim f x .→−∞

=−∞

iii. Να δείξετε ότι ( ) x 1f x ln

2

+ > για κάθε x 1>− και ( )

xlim f x .→+∞

= +∞

iv. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .ℝ

v. Να βρείτε την ( )f x′′ και το πρόσηµό της για κάθε x .∈ ℝ

vi. Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f.

vii. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο της

( )( )Α 0,f 0 .

viii. Να δείξετε ότι ( ) ( )xf x f x′ ≤ για κάθε x 0.≥

ix. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να βρείτε την 1f− καθώς και την τιµή ( )f e .

Αν a,β ∈ ℝ µε a β,< να βρείτε τα όρια ( ) ( ) ( ) ( )x xlim f x β f x a , lim f x β f x a .→−∞ →+∞

+ − + + − +

ΘΕΜΑ 146ο

Έστω f, συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο ,ℝ για την οποία ισχύουν ( ) 3

x 1

f x xlim 4

x 1→

−=−

− και

( )f x 0,′′ > για κάθε x .∈ ℝ Αν ( )f 3 1,= τότε:

i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο της

( )( )Α 1,f 1 .

ii. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικός αριθµός στο διάστηµα ( )1,3 , στον οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο.

iii. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )( )5 4 2f x x x f 2x f 1′ ′− + = − έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα ( )0,1 .



73

ΘEMA 147ο Δίνεται η συνάρτηση g µε πεδίο ορισµού το διάστηµα ( )0,+∞ ώστε:

• Η συνάρτηση g′ διατηρεί πρόσηµο στο ( )0, .+∞

• Η γραφική παράσταση της g δεν έχει οριζόντια ασύµπτωτη, αλλά έχει κατακόρυφη τον άξονα y y.′

• ( )11 g x x 1,x 0.

x− ≤ ≤ − >

i. Να αποδείξετε ότι:

α) ( )g 1 1′ = β) η g έχει σύνολο τιµών το .ℝ

ii. Έστω ακόµα η παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση f µε συνεχή παράγωγο, για την οποία

ισχύει: ( )( ) ( )( )f g x 1 ex g x 1 ,x 0.+ = − > Να αποδείξετε ότι:

α) ( )f 1 0′ = και ( )f 1 e.=−

β)( )2

x 1 2x 1

x f x elim 2e.

e x−→

+=

−

iii. Η εξίσωση ( ) ( ) ( )f x xf x f x 0′ ′+ − = έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστηµα ( )1,2 .

ΘEMA 148ο

Έστω µια συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο 0,1 µε ( )f 0 0.> Ορίζουµε τις συναρτήσεις:

( ) ( ) 2x

t

0

F x f t e dt= ∫ και ( ) 2x

t

0

G x e dt= ∫ για κάθε x 0,1 . ∈

Α) Να δείξετε ότι:

i. ( )F x 0> για κάθε (x 0,1 .∈

ii. ( ) ( ) ( )f x G x F x≥ και ( )( )

( )( )

F x F 1

G x G 1≤ για κάθε ( )x 0,1 .∈

iii. Υπάρχουν ( )1 2ξ ,ξ 0,1∈ µε

( ) ( )( )

2 22 11 2 ξ ξ

1

f ξ G ξe .

F ξ−>

iv. Αν xe x 1≥ + για κάθε x ,∈ ℝ τότε ( )1

0

e 11G x dx .

2 6+ >∫

Β) Αν επιπλέον ισχύει ( ) ( )1

x 2

0

4 f x e f x dx e 1,− − = − ∫ τότε να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.



74

ΘEMA 149ο

Δίνεται η συνάρτηση ( )x

2a

t ln t 1F x dt,0 a .

21 t

+= < <

+∫

i. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της F, να αιτιολογήσετε ότι είναι παραγωγίσιµη και να βρείτε την παράγωγό

της.

ii. Δείξτε ότι η F′ έχει µοναδική ρίζα ξ µε 1

ξ ,1 .2

∈ Βρείτε και το πρόσηµο της F′ στα διαστήµατα

( ) ( )0,ξ , ξ, .+∞

iii. Να αποδείξετε ότι ( ) 1F x F ln x,x 0.

x

− = >

iv. Δείξτε ότι η εξίσωση ( )F x 0= έχει ακριβώς δύο διαφορετικές ρίζες από τις οποίες η µία βρίσκεται

στο διάστηµα 1 1

, .2 a

v. Να βρείτε το ( )x

x1 2x 0x

t ln tlim e 1 dt.

1 t→

+−

+∫

ΘEMA 150ο

Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει ( ) ( )2x

x

f x 1 f t x dt,= + −∫ για κάθε x .∈ ℝ

i. Να δείξετε ότι ( ) xf x e .=

ii. Να βρείτε το εµβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

( ) ( )x

2

1

h x f t dt= ∫ και τους άξονες συντεταγµένων.

iii. Θεωρούµε και την συνάρτηση ( ) ( )x 2

2

x

g x f t dt,x .+

= ∈∫ ℝ

1) Να δείξετε ότι η g δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη σε σηµείο µε τετµηµένη που ανήκει στο διάστηµα

( )2,0 .−



75

2) Να δείξετε ότι ( )g x 0> και να βρείτε το όριο ( )2x

ln g xlim .

x→+∞

iv. Να δείξετε ότι 1) ( )xlim h x→−∞

=−∞ 2) ( )( )2x

xlim e h x 0−

→−∞=

v. Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της h που διέρχεται από την αρχή των

αξόνων.

ΘEMA 151ο

Έστω συνάρτηση )f : 0, +∞ → ℝ παραγωγίσιµη στο διάστηµα )0, +∞ για την οποία ισχύει:

x2 f(t)

0

2f(x) f (x) 2 e dt−+ = ∫ και f(0) 0.=

i. Να δείξετε ότι 1 f(x) 0+ ≠ για κάθε )x 0, .∈ +∞

ii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι f(x) 0> για κάθε ( )x 0, .∈ +∞

iii. Να δείξετε ότι f(x)f(x)e x= για κάθε )x 0, .∈ +∞

iv. Να δείξετε ότι lnx x 1 x≤ − ≤ και ότι 2f(x) ln x> για κάθε ( )x 0, .∈ +∞

v. Να βρείτε το xlim f(x)→+∞

καθώς κα το σύνολο τιµών της f.

vi. Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y x= είναι εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο

σηµείο Ο(0,0).

vii. Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη και επιπλέον ότι f(x) x≤ για κάθε )x 0, .∈ +∞

viii. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και να ορίσετε την 1f .−

ix. Να υπολογίσετε τα: ( )e 1f(e), f e .+

x. Να βρείτε την τιµή του αθροίσµατος e 1

1

0 0

f(t)dt f (t)dt.−+∫ ∫

xi. Να υπολογίσετε το ( )λλe

0

Ε(λ) x f(x) dx, λ 0.= − >∫

xii. Να βρείτε το : λlim E(λ).→+∞



76

ΘEMA 152ο

Δίνεται µια συνάρτηση f µε συνεχή παράγωγο στο ℝ και f (0) 1′ = και 2 2

f (x) f(x) 1, x . ′ − = ∀ ∈ ℝ


i. Η f είναι αντιστρέψιµη.

ii. Η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ µε f (x) f(x).′′ =

iii. Να βρείτε τον τύπο της f.

iv. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f.

v. Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της f.

vi. Να υπολογίσετε το

3

41

0

f (x)dx.−∫

ΘEMA 153ο

Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ δυο φορές παραγωγίσιµη µε f (x) 0′′ ≠ µε συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η

γραφική παράσταση της f′ διέρχεται από τα σηµεία Α(1,0) και Β(2,-1).

i. Να δείξετε ότι η f′ έχει µοναδική λύση στο .ℝ

ii. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

iii. Έστω ο µιγαδικός u. Αν ισχύει ( )( )f 2 f iu 1 0,′ ′+ + < να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων

των µιγαδικών u.

iv. Έστω οι µιγαδικοί 1 2

z,z ,z ,w για τους οποίος ισχύει 1 2

z z f(1), w z f(2)− = − = και

1 2

3z z 2f .

2

− = Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή του z w .−



77

ΘEMA 154ο

Δίνεται συνάρτηση fσυνεχής στο ℝ ώστε να ισχύει ( ) ( )2f 2x 3 f 6 x 2x 1,− + − = − για κάθε x .∈ ℝ

i. Να αποδειχθεί η σχέση 2x 3

2

6 x

f(t)dt x x 6−

−

= − −∫ για κάθε x .∈ ℝ

ii. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα 7

4

f(x)dx.∫

iii. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης ( )2x 1

5

12 x

5

g(x) f 5u 4 du

+

−

= −∫

iv. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3f(x) 10 0− = έχει τουλάχιστον µια πραγµατική ρίζα.

ΘEMA 155ο

Έστω η συνάρτηση ( )x 1

2

x

f,f(x) t t 1 dt.+

= + +∫

i. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f.

ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

iii. Να υπολογίσετε τα όρια: x xlim f(x), lim f(x)→−∞ →+∞

και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της 1f .−

iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x 1

2

x

4021 2x 2 t 1dt+

− = +∫ έχει µοναδική πραγµατική ρίζα.

ΘEMA 156ο

(προτάθηκε από τον κ. Χ.Λαζαρίδη)

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ η οποία είναι τέτοια ώστε: ( )2x

x

xf(x) e f t x dt,= + −∫ για κάθε

x .∈ ℝ


i. ( ) xf(x) x 1 e , x .= + ∈ ℝ

ii. Η ασύµπωτη της γραφικής παράστασης της f στο ,−∞ τέµνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα µόνο

σηµείο.



78

iii. Η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει ένα µόνο σηµείο καµπής και ( ) x 3x 1 e x 5,++ ≥− − για κάθε

)x 3, .∈ − +∞

iv. Υπάρχει µοναδική ευθεία 0

x x ,= η οποία χωρίζει το εµβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη f

C ,

τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες x 0, x 1,= = σε δυο χωρία, των οποίων ο λόγος των εµβαδών είναι

1

2011.

ΘEMA 157ο

Δίνεται µια συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει f(x) 0≠ για κάθε x ∈ ℝ και

1

0

f(x)dx 2011.=∫

i. Να αποδείξετε ότι f(x) 0> για κάθε x .∈ ℝ

ii. Να λυθεί η ανίσωση

2x x

0 0

f(t)dt f(t)dt.<∫ ∫

iii. Θεωρούµε τη συνάρτηση g µε 1

0

g(x) tf(xt)dt, t,x .= ∈∫ ℝ

a. Να αποδείξετε ότι x

20

1g(x) tf(t)dt

x= ∫ για κάθε x 0.≠

b. Δείξτε ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο σηµείο o

x 0.=

c. Αν επιπλέον ισχύει 2 1

1 0

tf(t)dt 3 tf(t)dt,=∫ ∫ να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

ox (1,2)∈ τέτοιο, ώστε

o of(x ) 2g(x ).=



79

ΘEMA 158ο


2x

x

1dt, x 1

f(x) ln t

ln2 , x 1

>= =

∫


i. Ισχύει 2xln2 f(x) x ln2,≤ ≤ για κάθε x 1.≥

ii. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο o

x 1.=

iii. Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισµού της.

iv. Υπάρχει µοναδικός αριθµός ( )α 1,∈ +∞ τέτοιος, ώστε

2a a

2 2

1 1dt 2011 dt.

ln t ln t= +∫ ∫

ΘEMA 159ο

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f και g στο ,ℝ για τις οποίες ισχύει η σχέση

yx x

20 2 1

4g(u)f(t)dt du dy,

g (u) 1

= + ∫ ∫ ∫ για κάθε x, y .∈ ℝ

i. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει η σχέση: 2 f (x) 2′− ≤ ≤ για κάθε x .∈ ℝ

ii. Να αποδείξετε ότι f(β) f(a) 2 β α− ≤ − για κάθε α,β .∈ ℝ

iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει o

x ,∈ ℝ ώστε να ισχύει: o o

f (x ) 3x .′ =

iv. Να αποδείξετε ότι 4

0

tf dt 0.

2

= ∫

v. Να αποδείξετε ότι: ( )3

2f x dx 3≤∫ και ότι ( )

4

0f x dx 8.≤∫

vi. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f, αν γνωρίζουµε ότι η f(x) είναι πολυώνυµο 1ου βαθµού και ότι

( )3

2f x dx 3=∫



80

ΘEMA 160ο

Δίνονται οι συναρτήσεις x

1

h(x) ln tdt, x 0= >∫ και 2g(x) xln x h(x) 1, x 0= − − >

1. Να δείξετε ότι η εξίσωση g(x) 0= έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα 1, e .

2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h είναι “1-1” στο )1, . +∞

3. Δίνεται και η συνάρτηση

( )

f(x)

f(1)

ln tdt, x 1

ln xF(x) ,

ln f(1) , x 1

>= =

∫ όπου f παραγωγίσιµη συνάρτηση στο )1, +∞ µε

f (x) 0, f(0) 0′ > = και ( )x 1lim xf (x) 1→

′ = .

i. Να δείξετε ότι η F είναι συνεχής στο )1, . +∞

ii. Αν γνωρίζουµε ότι F(e) f(1)= και ( )ln f(e) 1= να δείξετε ότι f(1) 1.=

iii. Αν επίσης γνωρίζουµε ότι F(x)ln x h(x),= για x 1,> να δείξετε ότι f(x) x= για κάθε

x 1.≥

ΘEMA 161ο

1. Να δειχθεί ότι: 2xe x> για κάθε x .∈ ℝ

2. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ για την οποία ισχύει: 2f(x) 2f(x)e f (x) x− = για κάθε

x .∈ ℝ

i. Να δείξετε ότι: xf(x) 0,> για κάθε x .∗∈ ℝ

ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

iii. Να βρείτε το xlim f(x).→+∞

iv. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα

x΄x και τις ευθείες µε εξισώσεις: x 1=− και x 0= συναρτήσει του f( 1).−



81

ΘEMA 162ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lnx f(x) x 1≤ ≤ − για κάθε θετικό

αριθµό x.

1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο o

x 1= και να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο αυτής µε τετµηµένη 1.

2. Θεωρούµε την συνάρτηση g µε x

1

g(x) f(t)dt x ln x, x 0.= + − >∫

i. Να βρείτε το ( )2x 1

g(x) 1lim .

x 1→

−

−

ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό (ξ 1,e∈ τέτοιο ώστε να ισχύει ότι:

ξ

1

ξ f(t)dt e lnξ.+ = +∫

ΘEMA 163ο

Έστω )f : 0, +∞ → ℝ δύο φορές παραγωγίσιµη για την οποία ισχύουν: f (x) f (x),′′ ′> για κάθε

( )x 0,∈ +∞ και f(0) f (0) 1.′= =

Δείξτε ότι:

i. xf(x) e≥ για κάθε )x 0, .∈ +∞ Πότε ισχύει η ισότητα;

ii. f γνησίως αύξουσα και κυρτή στο )0, . +∞

iii. υπάρχει µοναδικό

ξ

0

ξ (0,1) : f(t)dt 1.∈ =∫

iv. υπάρχει 1

r (0,1) : f(r) .r

∈ <



82

ΘEMA 164ο

Έστω συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ αντιστρέψιµη και τέτοια ώστε για κάθε x ∈ ℝ να ισχύει:

11 f (x) 1e f (x) x 1.−− −− = +

1. Να βρεθεί η f.

2. Να αποδείξετε ότι:

i. Η f είναι γνησίως φθίνουσα.

ii. Οι γραφικές παραστάσεις των 1f,f− έχουν ακριβώς ένα κοινό σηµείο.

3. Να υπολογιστούν τα όρια: ( )1

1

x x

f (x)lim f (x) x , lim

x

−−

→−∞ →−∞+ .

ΘEMA 165ο

Δίνεται η συνάρτηση f : ∗ →ℝ ℝ για την οποία ισχύει ( )3 22x 5x 2x 17

2xf(x) 3f 1 xx 1

− − ++ − =

− για κάθε

x 0,1∈ −ℝ και f(1) 3.=−

i. Να αποδείξετε ότι 4

f(x) x .x

= −

ii. Να αποδείξετε ότι η f δεν αντιστρέφεται.

iii. Να βρείτε το όριο 2x 1

f(x) 3lim .

2x x 1→

−

− −

iv. Να βρείτε το όριο x 2

5lim f(x)ηµ .

x 2→

−

v. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f είναι συµµετρική ως προς το (0,0).



83

ΘΕΜΑ 166ο

Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ µε ( )f f(x) f(x) 1 x.− = −

i. Να αποδείξετε ότι η f είναι “1-1”.

ii. Αν υπάρχει το ( )ox x

lim f x ,→

να δείξετε ότι υπάρχει και το ( )0

1

x xlim f x .−

→

iii. Να υπολογίσετε το ( )

( )0

1

x x

f x x 1lim .

f x

−

→

− −

iv. Με δεδοµένο ότι υπάρχουν τα ακόλουθα όρια, να αποδείξετε ότι 1

1x f(1) x 1

f (x) 1 xlim lim 1 .

x f (x)

−

−→ →

− = +

v. Να αποδείξετε ότι αν η fof είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η f είναι γνησίως αύξουσα.

ΘEMA 167ο

Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ κοίλη στο ℝ µε f(0) 0= και f(2) 4.=

1. Να δείξετε ότι για κάθε x 0> ισχύει: xf (x) f(x).′ <

2. Αν x

2

f(t)h(x) dt

t= ∫ µε x 0,> να δείξετε ότι:

i. Η h είναι κοίλη στο ( )0, .+∞

ii. h(x) 2x 4≤ − για κάθε x 0.>

ΘEMA 168ο

Έστω )f : e, +∞ → ℝ δυο φορές παραγωγίσιµη για την οποία ισχύουν: 2

f(x)f (x)ln x 0

x′′ + > για κάθε

( )x e,∈ +∞ και f(e) f (e) 1.′= =

1. Δείξτε ότι:

i. f(x) ln x,≥ για κάθε )x e, .∈ +∞

ii. ( )2011f 3 2011f(3).>



84

2. Δείξτε ότι υπάρχει ( )2o

x e,e∈ τέτοιο ώστε ox

e

f(t)dt 1.

t=∫

3. Δείξτε ότι f γνησίως αύξουσα στο )e, . +∞

4. Υπολογίστε το όριο: 1

x

xf (x)lim .

2x ηµx

−

→+∞− +

ΘEMA 169ο

Δίνεται η συνάρτηση f : 0,3 → ℝ µε τύπο 2x xf(x) e .+=

i. Να µελετηθεί συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

ii. Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιµη και να βρεθεί η αντιστροφής της.

iii. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα

2

2e 1

x x

1 0

1 1 4ln xW dx e dx.

2+− + +

= +∫ ∫

iv. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα ( )2

2e 11 2 4

2 x x

1 0

f (e ) ln(ex )Q dx 2x x e dx.

lnf(1)

−+− +

= − +∫ ∫

ΘEMA 170ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση )f : 0, +∞ → ℝ µε f(0) 0= και f(x) xf (x) xf(x)′+ > για κάθε

( )x 0, .∈ +∞

1. Δείξτε ότι,

i. f(x) 0,> για κάθε x 0.>

ii. x 1f(x) e

f(1) x

−

< για κάθε x (0,1).∈

2. Αν Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την g(x) xf(x),= τον άξονα x΄x και τις ευθείες

x 2, x 3= = να δείξετε ότι: 1

2(e 1)f(2) Ε 3 1 f(3).e

− < < −

3. Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του µέτρου 1 2

z z− όπου 1 2

z ,z µιγαδικοί που ανήκουν στην γραµµή µε

εξίσωση: z f(2010 z f(2010) 2f(2011).− + + =



85

ΘEMA 171ο

Δίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση g : (0, )+∞ → ℝ ώστε

( ) ( )2

1x x

2

x 1

t 1g dt x g x g x x 1 xg dt,x 0.

x t

+ + = − + > ∫ ∫ Θεωρούµε επίσης τη συνάρτηση

( ) ( )x

1

G x g t dt,x 0.= >∫

i. Να βρεθεί ο τύπος της ( )g x .

ii. Να αποδειχθεί ότι ( )G x 0.≥

iii. Να αποδειχθεί ότι ( ) ( )1

x x

11

g t dt g t dt,=∫ ∫ για κάθε x 0.>

iv. Να λυθεί η ανίσωση

2

2

2x 3

2

x 7

ln tdt 0

t 1

+

+

<+∫ στο .ℝ

v. Να βρεθεί, εφόσον υπάρχει το ( )( )x 1

G xlim .

g x→

ΘEMA 172ο

Α. Να αποδείξετε την ανίσωση xe x 1,> − για κάθε x .∈ ℝ

Β. Θεωρούµε τις συναρτήσεις ( ) x 3f x a x 1= + + όπου a 1> και ( ) 3g x x x 2,x .= + + ∈ ℝ

i. Να µελετηθούν οι f,g ως προς τη µονοτονία.

ii. Να αποδείξετε ότι ( )( ) ( )( )xf g e 2012 f g x 2011 .+ + > + +

iii. Εάν ισχύει ( ) ( )f x g x ,≥ για κάθε x ,∈ ℝ να υπολογίσετε τη τιµή της παραµέτρου a.

iv. Για τη τιµή της παραµέτρου a, που υπολογίσατε στο ερώτηµα (iii), να υπολογίσετε το εµβαδόν του

επίπεδου χωρίου που περικλείεται µεταξύ των συναρτήσεων f και ( ) xh x e x 1.= + +

v. Για τη τιµή της παραµέτρου a, που υπολογίσατε στο ερώτηµα (iii), να υπολογίσετε το εµβαδόν του

επίπεδου χωρίου που περικλείεται µεταξύ των συναρτήσεων f και ( ) 3k x x x 2= − + και των ευθειών

x 1=− και x 1.=



86

ΘEMA 173ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) lnxf x ,

x= µε x 0.>

i. Να µελετηθεί η µονοτονία της f.

ii. Αν x 1,e , ∈ να βρεθεί ο µιγαδικός αριθµός ( )z x i f x= + ⋅ µε το µέγιστο µέτρο.

iii. Αν x 1,e , ∈ να αποδειχθεί ότι υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ( )z x i f x= + ⋅ µε µέτρο 2.

iv. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα µόνο σηµείο καµπής.

v. Να αποδειχθεί η ανισοτική σχέση π 2 ln π.> ⋅

vi. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της σύνθετης συνάρτησης fof.

vii. Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )xf xf x e ln x.=

viii. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( )( )2

f x 2.=

ix. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει 0

x 0> µε ( )0 0

e 1 e 1x : f x f .

2 2

+ + ≠ =

x. Αν ( ) ( )x

2

1

g x x f t dt,= ∫ να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει 0

x 0,> τέτοιο ώστε

( )( ) ( ) ( )20 0 0 0 0

x g x 1 g x x f x .′ + = +

xi. Να υπολογιστεί το όριο ( )

xx

f x 1lim .

e→+∞

+

ΘΕΜΑ 174ο

Δίνεται ο µιγαδικός αριθµός ( )xz e x 1 i,x .= + − ∈ ℝ

i. Να δείξετε ότι: ( ) ( )Re z Im z> και ( )( ) ( )2

Re z Im z> για κάθε x .∈ ℝ

ii. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ( )0x 0,1∈ τέτοιος ώστε ο αριθµός 2w z z 2i= + + να είναι

πραγµατικός.

iii. Να βρείτε τον µιγαδικό z, του οποίου το µέτρο γίνεται ελάχιστο, καθώς και το ελάχιστο µέτρο του.



87

ΘEMA 175ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : →ℝ ℝ και η g : →ℝ ℝ για τις οποίες γνωρίζουµε ότι:

• η f στρέφει τα κοίλα κάτω,

• η γραφική της παράσταση στο σηµείο της ( )( )Α 3,f 3 έχει εφαπτοµένη τον x'x,

• ( ) ( )2g x f x 2x ,= − για κάθε x .∈ ℝ

A. Να δείξετε ότι ( )f x 0,≤ για κάθε x .∈ ℝ

Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει µοναδικό ακρότατο, (τοπικό ή ολικό).

Γ. Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης g και να βρείτε τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζει τοπικό

ακρότατο καθώς και το είδος του ακρότατου.

Δ. Αν, επιπλέον, γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη τότε:

i. να δείξετε ότι και η g είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και

ii. να δείξετε ότι η εξίσωση ( )g x 0′′ = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες.

ΘΕΜΑ 176ο

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών ℝ και η συνάρτηση

( ) ( )x t

t

0 0g x e f u du dt,x .

= ∈ ∫ ∫ ℝ

A) a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη και ισχύει: ( ) ( ) ( )x

x t

0g x e e f t dt= −∫

β. Αν ( )f x 0≥ για κάθε x ,∈ ℝ να δείξετε ότι ( )g x 0≥ για κάθε x .∈ ℝ

Β) Αν επιπλέον ισχύει: ( )g x 2x,x .′′ = ∈ ℝ

α. Να δείξετε ότι ( ) ( )xf x e x 2 x ,x .−= − ∈ ℝ

β. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και

τον άξονα x'x.



88

ΘΕΜΑ 177ο

Έστω η συνάρτηση f : →ℝ ℝ µε ( ) axf x x e ,x= − ∈ ℝ και 1

a .e

≥

i. Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και να δείξετε ότι δεν έχει

σηµεία καµπής.

ii. Να δείξετε ότι: ( )

( )a x 1 ax

a x 1ax e ee e ,

a

++−

< < για κάθε x .∈ ℝ

iii. Να δείξετε ότι: ( )f x 0,≤ για κάθε x .∈ ℝ

iv. Να βρείτε την τιµή του a για την ποία ισχύει ( )f x 1,≤− για κάθε x .∈ ℝ

ΘEMA 178ο

Έστω f,g δύο συναρτήσεις ορισµένες στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών ℝ για τις οποίες ισχύουν:

• f παραγωγίσιµη µε συνεχή παράγωγο και ( )f 0 1.=

• ( ) ( )x

x

0tf t dt 1 x 1 e ,′ − = −∫ για κάθε πραγµατικό αριθµό x.

• ( ) ( )x

2

ag x f t dt,= ∫ για κάθε πραγµατικό αριθµό x και ( )g 1 0.=

i. Να δείξετε ότι ( ) xf x e ,x .= ∈ ℝ

ii. Να δείξετε ότι a 1.=

iii. Να βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης g.

iv. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται από την γραφική παράσταση της

συνάρτησης g και τους άξονες x'x και y'y.

v. Να βρεθεί το όριο ( )xlim g x .→+∞



89

ΘEMA 179ο

Α) Να αποδείξετε ότι xe x,> για κάθε x 0.≥

Β) Έστω συνάρτηση )f : 0. , +∞ → ℝ συνεχής στο )0, +∞ µε ( )f e 1= και για κάθε x 0≥ ισχύει

( ) ( )f xf x e x.=

i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο )0, . +∞

ii. Να δείξετε ότι για κάθε x 0> ισχύει: ( )ln xf x x.

2< <

iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να βρείτε το σύνολο τιµών της καθώς και την αντίστροφή της.

iv. Εξετάστε αν υπάρχει οριζόντια εφαπτοµένη της f

C στο +∞

v. Να βρείτε την πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της 1f− στο .+∞

vi. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) ( )2f a f a

e ln f a e , a 0.+ = >

vii. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ( )0x 0,e∈ τέτοιο ώστε: ( )0 0

f x x 1.= −

Γ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο )0, +∞ τότε:

i. Να δείξετε ότι η f′ είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο )0, . +∞

ii. Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη.

iii. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ( )c 0,e∈ τέτοιο ώστε: ( ) 1f c .

e′ =

iv. Να βρεθεί η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο 0.

v. Να δείξετε ότι για κάθε x 0≥ ισχύει: ( ) 1 1f x x .

2e 2= +

vi. Να υπολογιστούν τα: ( )e

0

I f x dx= ∫ και ( )

( )

( ) ( )

( )

f xe f x

f x f x0

f x eeJ dx.

e x e x

= + + + ∫



90

ΘEMA 180ο

Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ µε ( )x xe e

f x ,x2

−−= ∈ ℝ και ο µιγαδικός αριθµός z, για τον οποίο

γνωρίζουµε ότι: z 10 3z 6 3z 6 i 10 z i ,− − − = − + − − − όπου i η φανταστική µονάδα.

Α) Να δείξετε ότι:

i. 2α α 1 0,+ + > για κάθε πραγµατικό αριθµό a.

ii. η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιµη και να ορίσετε την αντίστροφή της.

Β) Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z είναι ο κύκλος µε κέντρο

( )Κ 1,0 και ακτίνα 1

ρ 3.=

Γ) Αν είναι w ,∗∈ ℂ τέτοιος ώστε zw 2,= να δείξετε ότι 4w 1 3+ =

Δ) Αν w ο µιγαδικός του προηγούµενου ερωτήµατος τότε να δείξετε ότι:

( ) ( )4w 1 2z 2 z 1 2 4w 1e e 1 e e 1 .

+ − − +⋅ − = ⋅ −

ΘEMA 181ο

Α) Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικός ( )0x 1,0∈ − ώστε: 02x

0e x 0.+ =

Β) Δίνεται ο µιγαδικός xz e xi,x .= + ∈ ℝ

i. Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση m της εικόνας του z από την αρχή των αξόνων συναρτήσει του 0

x .

ii. Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )g x ln x,x 0.= >

iii. Έστω ο κύκλος C µε κέντρο ( )Ο 0,0 και ακτίνα m.

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g και ο κύκλος C στο σηµείο επαφής τους δέχονται

κοινή εφαπτοµένη.

β) Να δείξετε ότι ο µιγαδικός 2mz 2m

w2z m

−=

− βρίσκεται στο εσωτερικό ή στην περιφέρεια του κύκλου C.



91

ΘEMA 182ο

Δίνεται η συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ γνησίως αύξουσα µε ( )f 1 0− > και ο µιγαδικός αριθµός

( ) ( )( )

f 1 f 0 4 3z i,

2 f 1

−= + για τον οποίο ισχύει ( )z

z 1 i 3 .2

= − Να αποδείξετε ότι ισχύουν:

i. ( ) ( ) ( )f 1 f 0 f 1 8− =

ii. ( )2Re z z=

iii. ( ) ( )f 1 2 f 1− < <

iv. ( )11 f z 0−− < <

ΘEMA 183ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ ώστε να ισχύει ( ) ( ) ( )3 2f x f x f x x,− + = για κάθε x .∈ ℝ

i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .ℝ

ii. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f.

iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της

iv. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x x=

v. Να βρεθούν οι γεωµετρικοί τόποι των εικόνων των µιγαδικών ( ) ( )z x f x i,w f x xi,x .= + = + ∈ ℝ

vi. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου, µεταξύ των δύο τόπων του (v) υποερωτήµατος.

vii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο .ℝ

ΘEMA 184ο

Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ ώστε να ισχύει ( ) ( )3 3f x f x x+ = για κάθε x .∈ ℝ

i. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.

ii. Να δείξετε ότι ( )f x 0> για κάθε x 0.>

iii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .ℝ



92

iv. Να υπολογίσετε τα όρια ( ) ( )

3x x

f x f xΑ lim ,Β lim .

xx→+∞ →+∞= =

v. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο .ℝ

vi. Να βρείτε το σύνολο τιµών ( )f .ℝ

vii. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο .ℝ

viii. Να δικαιολογήσετε την αντιστρεψιµότητα της f και να βρείτε το είδος της µονοτονίας της αντίστροφης.

ix. Να βρείτε τον τύπο της 1f .−

x. Να λύσετε την εξίσωση ( )( )f f x x.=

xi. Να βρεθεί , αν υπάρχει, το ( )1

x 0

f xlim .

x

−

→

xii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ( )( )

3

3

10 x

20 10

f tI 12x dt dx.

3f t 1

= + ∫ ∫

ΘEMA 185ο

Δίνεται η άρτια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το ℝ για την οποία ισχύουν τα εξής:

• η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ,ℝ µε ( )f x 2,′′ > για κάθε x 0≠

• ( ) ( )2

f 0 2f 0 4. ′ < ≤

A. Να αποδείξετε ότι:

i. ( )0 f 0 2.< ≤

ii. ( )f 0 0′ = και ( ) ( )f 2 f 0>

iii. ( )f x 0> για κάθε x .∈ ℝ

iv. ( )xlim f x→+∞

=+∞ και ( )xlim f x .→−∞

=+∞

v. ( ) ( )1006

1006

f x dx 2012f 0 .−

≥∫



93

Β. Δίνεται ο µιγαδικός z 5i,≠± µε ( )6 z 5i

z 5i

f x dx 0,

+ −

+

=∫ για κάθε x .∈ ℝ

i. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών z ανήκουν στη γραφική παράσταση µιας

συνάρτησης g της οποίας να βρεθεί ο τύπος.

ii. Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g.

iii. Αν ( )y φ x= είναι η ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο ,+∞ να υπολογίσετε το εµβαδόν

του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( ) ( )h x 24φ x g x ,= τον άξονα

x'x, τον άξονα y'y και την ευθεία x 3.=

iv. Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )( )x 1

xx

lim g t φ t dt.+

→+∞−∫

ΘEMA 186ο

Έστω f,g παραγωγίσιµες στο ℝ συναρτήσεις µε ( ) ( ) ( )1

0

f 0 0, f x dx 2,g x 0= =− ≠∫ για κάθε x ∈ ℝ και

( ) ( ) ( )f x 2g x xg x′ ′= + για κάθε x .∈ ℝ Να δείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση h µε τύπο ( ) ( ) ( )x x

1 0

h x f t dt x g t dt,x= − ∈∫ ∫ ℝ είναι σταθερή µε τιµή ( )h x 2= για

κάθε x .∈ ℝ

ii. ( )g x 0< για κάθε x .∈ ℝ

iii. ( )x

1

f t dt 2≤∫ για κάθε x .∈ ℝ

iv. Υπάρχει ( )ξ 1,2∈ τέτοιο ώστε ( )ξ

1

f t dt 2010ξ 2011.= −∫

v. Η εξίσωση ( ) ( )f x 2g x 2= + έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο ( )0,1 .



94

ΘEMA 187ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ µε τύπο: ( ) 2

a βσυνx,x 0

f x ,x1 ,x 0

+ ≠= =

όπου a,β ∈ ℝ σταθερές.

i. Να δείξετε ότι a β 0+ = και να βρείτε τους a,β .∈ ℝ

ii. Να βρείτε το όριο ( )xlim f x .→+∞

iii. Να δείξετε ότι ( )π

π

xf x dx 0.−

=∫

iv. Να δείξετε ότι το σύνολο τιµών της f είναι το διάστηµα 0,1 .

ΘEMA 188ο

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ για τις οποίες ισχύουν ( )2x

0

2x tf x 2x f dt

2

− − = ∫ για κάθε

x ∈ ℝ και ( ) ( )1

0

xg x t dt f x+ ≤∫ για κάθε x .∈ ℝ Να δείξετε ότι:

i. Η f είναι παραγωγίσιµη στο .ℝ

ii. Ο τύπος της f είναι ( ) 2xf x e 1.= −

iii. ( )1

0

g x dx 2.=∫

iv. Υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε ( )ξ

0

g t dt 1.=∫

v. Η εξίσωση ( ) ( )x

0

g t dt 1 x g x= − ⋅∫ έχει τουλάχιστον µια λύση στο διάστηµα ( )0,1 .



95

ΘEMA 189ο

Έστω οι συναρτήσεις ( )te

g tt 1

=−

και ( ) ( )2x

x

f x g t dt.= ∫

i. Να µελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη µονοτονία.

ii. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της g έχει οριζόντια ασύµπτωτη και να βρεθεί το σύνολο τιµών

της.

iii. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f.

iv. Για κάθε ( )x 0,1∈ να δείξετε ότι: ( ) ( ) ( )2

2

xx x

x

e ln x 1 g t dt e ln x 1 .− + ≤ ≤− +∫

v. Να βρεθεί το ( )x 1lim f x .

−→

ΘEMA 190ο

Α. Η εξίσωση 2z az β 0,− + = µε a,β ∈ ℝ δεν έχει πραγµατικές ρίζες. Αποδείξτε ότι β 0> και το µέτρο

των ριζών της είναι β.

Β. Δίνεται η εξίσωση ( )2 5z λ 5λ z 4 0− − ⋅ + = όπου ( )λ 1,1 .∈ −

i. Να βρείτε το σύνολο τιµών της ( ) ( )5f x x 5x,x 1,1 .= − ∈ −

ii. Αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει δυο µη πραγµατικές ρίζες 1 2

z ,z .

iii. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των 1 2

z ,z βρίσκονται στον ίδιο κύκλο.

iv. Αποδείξτε ότι 1 2

z z 4.− ≤

v. Να βρείτε την τιµή του ( )λ 1,1∈ − για την οποία το µέτρο 1 2

z z− γίνεται µέγιστο, καθώς και τους

1, 2z z σε αυτή την περίπτωση.



96

ΘEMA 191ο

Έστω f : →ℝ ℝ παραγωγίσιµη και ( )f x 0≠ για κάθε x ,∈ ℝ όπου η γραφική παράσταση της f τέµνει το

θετικό ηµιάξονα Oy και η συνάρτηση ( ) ( )( )

x

1

f tg x dt.

f x= ∫

i. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσηµο της g.

ii. Να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο που τέµνει τον x'x.

iii. Αν ισχύει ( )f x 0′ < για κάθε x ,∈ ℝ να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )x

1

f x f t dt xf x ,+ ≥∫ για κάθε x .∈ ℝ

iv. Αν ισχύει ( )f x 0′ < και ( )f x 0′′ < για κάθε x ,∈ ℝ να µελετήσετε την κυρτότητα της g στο )1, +∞

και έπειτα να δείξετε ότι ( )x 1 g x , για x 1.− ≤ ≥

ΘEMA 192ο

Δίνεται η συνάρτηση f µε 2x ln x ax , x 0

f(x)0 , x 0

+ ≠= =

για την οποία ισχύει

2 1x ln x ax f , για κάθε x 0.

e

+ ≥ ≠

Α]

α1. Εξετάστε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισµού της.

α2. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0≠ ισχύει f (x) 2xln x x a.′ = + +

α3. Αποδείξτε ότι α f (0) 0.′= =

Β]

β1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

β2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα στο διάστηµα (0, )+∞ και να βρείτε το σηµείο καµπής.

β3. Να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (1, f(1)) και στη συνέχεια να

αποδείξετε ότι ( )2 100

1

1f(x) dx .

101>∫

β4. Να αποδείξετε ότι 2f(1 h) f(1 2h) , όπου h 0.+ < + >



97

ΘEMA 193ο

Θεωρούµε µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [0, )+∞ µε f′ γνησίως φθίνουσα στο

[0, )+∞ και f (0) 0.′ = Δίνεται επιπλέον ότι f(x) 0 , για κάθε x 0.> >

Ορίζουµε τη συνάρτηση F µε

x

0

x, x 0

f(t)dtF(x)

1, x 0

f(0)

>

∫=

=

α) Να δειχθεί ότι f(0) 0.>

β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F είναι συνεχής στο 0.

γ) Να βρείτε το όριο

0

x3 2x 0

f(t)dt f(0)x συνx 1L lim

x x→

+ + −∫=

−.

δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0> ισχύει 1

F(x) .f(x)

<

ε) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα.

στ) Αν a,β 0> µε βα

0 0

βf(t)dt αf(t)dt=∫ ∫ , αποδείξτε ότι α β.=

ζ) Να αποδείξετε ότι 1 1

0 0

F(t)dt F(e) tF (t)dt.′< −∫ ∫

ΘEMA 194ο

Για την δύο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση f ισχύουν:

• ( )( )xx f x e 0′′ − ≥ για κάθε x 1,1 ∈ −

• ( ) 1f 1

e− = και ( )f 1 e 2 z= −

• ( )f 0 1 z′ = −

• z C∗∈

i. Να δειχθεί για κάθε x 1,1 ∈ − ότι ( ) xf x e z .′ ≥ −



98

ii. Να δειχθεί για κάθε x 1,1 ∈ − ότι ( ) ( )xf x e z x 1 .= − +

iii. Να δείξετε ότι υπάρχουν 1 2

ξ ,ξ 1,1 ∈ − ώστε: ( ) ( )( )

2 1

2

f ξ f ξ 1.

ee 1

′ ′−=

−

iv. Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή της ( )f x , καθώς και ο z ώστε η ελάχιστη αυτή τιµή να γίνεται µέγιστη.

v. Να δειχθεί ότι η f είναι κυρτή και ότι ( ) ( )( )f x 1 z 1 x .≥ − +

vi. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του 1

w z ,z

= + όταν η εξίσωση ( )f x 0= έχει µοναδική λύση.

ΘEMA 195ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 2x 1

t 2tx 2x

x

f x e dt,x .+

− += ∈∫ ℝ

i. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )f x f 0 ,≥ για κάθε x ∈ ℝ

ii. Να δείξετε ότι: ( ) ( )1

2

0

f x dx f 0 .=∫

iii. Να βρείτε 0

x ,∈ ℝ ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο ( )( )0 0Μ x ,f x , να

περνά από την αρχή των αξόνων.

iv. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση ( ) ( )x 1

x

g x f t dt,x .+

= ∈∫ ℝ

ΘEMA 196ο

Α) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3g x x x 1,x .= + + ∈ ℝ Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία, ακρότατα, κοίλα και

σηµεία καµπής.

Β) Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ ώστε να ισχύει ( ) ( )3f x f x 1 x,x .+ + = ∈ ℝ

i. Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο ,ℝ και να βρεθεί το πρόσηµο των τιµών της.

ii. Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιµη και να βρείτε την αντίστροφή της.

iii. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο .ℝ

iv. Να µελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και τα σηµεία καµπής.



99

v. Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )1 11 1f x x f 1 f 0 ,x 1.

4 4− −≤ − + ≥

vi. Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )

f x 2 f x,x 1,11 .

x 1 11 x

−> ∈

− −

vii. Να δείξετε ότι ( )2

1

1f x dx .

10>∫

viii. Να δείξετε ότι ( ) ( )3 1

1

1 0

f x dx f x dx 3.−+ =∫ ∫

ix. Αν ( ) ( )x

1

1h x f t dt ,

4= −∫ να δειχθεί ότι υπάρχει µοναδικό ( )ξ 1,3∈ ώστε

( )( )

ξ

21

1 tξf ξ dt.

4 3f t 1− =

+∫

Γ) Αν τώρα )1f : 0,− +∞ → ℝ και z,w µιγαδικοί ώστε να ισχύει ( ) ( )1 1f z 3i 2 f w 2i 1 2,− −− − + + − =

i. να βρείτε το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών z,w.

ii. να αποδειχθεί ότι z w 8.− ≤

ΘEMA 197ο

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : ,→ℝ ℝ µε την f γνησίως φθίνουσα και την g γνησίως αύξουσα.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις ( ) ( )x

0

F x f t dt= ∫ και ( ) ( )x

0

G x g t dt,= ∫ µε x .∈ ℝ Υποθέτουµε ότι υπάρχει

a 0> τέτοιο, ώστε ( ) ( )a a

0 0

f t dt g t dt.=∫ ∫ Να αποδειχθεί ότι:

i. Η συνάρτηση F είναι κοίλη και και η G είναι κυρτή.

ii. Υπάρχει ( )ξ 0,α∈ τέτοιο, ώστε f(ξ) g(ξ).=

iii. Η συνάρτηση 1

h(x) F(x)x

= είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα ( )0,+∞ και ( ),0 .−∞

iv. Για κάθε x, y ∈ ℝ ισχύει ότι x y G(x) G(y)

G .2 2

+ + ≤

v. Ισχύει

yx

0 0

1 1f(t)dt g(t)dt,

x y>∫ ∫ για κάθε ( )x, y 0,a∈ µε x ψ.≠



100

ΘEMA 198ο

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ µε f(1) 6= και f(3) 10,= για την οποία ισχύει:

xt f(t)

0

f (x) 2 f(a) e dt⋅′ = + ∫ για κάθε x ,∈ ℝ µε α πραγµατική σταθερά.

i. Να αποδείξετε ότι f(a) 0.=

ii. Να βρείτε τη συνάρτηση f και την τιµή της σταθεράς α.

iii. Αν για την συνάρτηση g ισχύει ( ) ( )fog (x) gof (x)= για κάθε x ,∈ ℝ να αποδείξετε ότι η εξίσωση

g(x) x= έχει τουλάχιστον µια λύση.

iv. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται µε την γραφική παράσταση της h, όπου

2h(x) x 2x.=− −

v. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που σχηµατίζουν οι γραφικές παραστάσεις των f, h και ο άξονας y΄y.

ΘEMA 199ο

Για την παραγωγίσιµη, µε συνεχή παράγωγο συνάρτηση f : 0,1 , → ℝ ισχύει

( )1

f (x) 2x 2

0

e 2f(x)e dx f(1)e f(0) 1′ + = − −∫ και 1 5

f(0) f f(1) .2 4

+ + =

i. Να δείξετε ότι 2f(x) x= για κάθε x 0,1 . ∈

ii. Να βρεθεί το εµβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον y΄y και την

y 1.=

iii. Να βρείτε την τιµή του ( )a 0,1 ,∈ ώστε η ευθεία 2(ε) : y a ,= να χωρίζει το χωρίο Ω σε δυο

ισεµβαδικά χωρία.

iv. Να δείξετε ότι f(x) f(x) 4e e x 2,−+ ≥ + για κάθε x 0,1 . ∈



101

ΘEMA 200ο

Δίνονται δυο συνεχείς συναρτήσεις )f,g : 0, +∞ → ℝ για τις οποίες για κάθε )x 0,∈ +∞ ισχύουν οι

σχέσεις:

( )( )

41x

2x

0

e f(x) 1x g xt dt (1)

2e 1−

= + +∫

( )( )

41x

2x

0

e g(x) 1x f xt dt (2)

2e 1−

= + +∫

i. Να αποδείξετε ότι f(x),g(x) 0> και ότι f(x) g(x)= για κάθε )x 0, .∈ +∞

ii. Να βρείτε τον τύπο της f και να την µελετήσετε ως προς τη µονοτονία.

iii. Να αποδείξετε ότι οι f, g είναι αντιστρέψιµες και να βρείτε τις τετράδες των α, β, γ, δ που ικανοποιούν

την εξίσωση: 1 1 1f(a) f (β) g(γ) g (δ)

2− −− + − =

iv. Αν Ε(Ω) είναι το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των 1f,f− τον

xx , yy′ ′ , να δείξετε ότι: ( )2 λ

Ε(Ω) λ 1e ,

2λ

+ −= όπου λ η τετµηµένη του µοναδικού σηµείου τοµής των

δύο γραφικών παραστάσεων.

Ekfoniseis 1 200

Documents

Transcript of Ekfoniseis 1 200