Ejer Cici Os

CAPÍTULO 3 Zapatas de Fundación

143

dbAABq

vo

uu φ

)( 0−=

3.12. EJERCICIOS RESUELTOS

3.12.1 Ejercicio zapata aislada Encontrar la altura mínima de la zapata aislada cuadrada considerando los siguientes

datos: Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][25 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][7 tnL =

]/[1.1 2cmkgqa = 1642525: φ→xColumna ][5 cmr =

Solución: Paso 1.- Dimensionamiento en planta.

Zapata cuadrada: ⇒ aq

PA = ⇒ 101.1

32⋅

=A ⇒ ][706.1 mA =

⇒ ][75.1 mA = ⇒ ][75.1 mA =

][75.1 mB = Usar: ][75.175.1 2mx

LDPu 6.12.1 += )7(6.1)25(2.1 += ][2.41 tn=

DPu 4.1= )25(4.1= ][35 tn=

BAP

q uu ⋅= ⇒

75.175.12.41⋅

=uq ⇒ ]/[45.13 2mtnqu = ⇒

]/[345.1 2cmkgqu =

Paso 2.- Dimensionamiento en elevación. a) Verificación a corte por punzonamiento:

))(( dbdaAo ++= )2(2 dbabo ++⋅=

• cc fv '2153.0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=β

⇒ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 2041.23cmkgvc

• c

o

sc f

bd

v '227.0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=

α

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 2498.22cmkgvc

• αs=40 para columnas al centro de la zapata; d=15 (min.

• cc fv '06.1= ⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 2361.15cmkgvc

GST LCCT


144

cu

u vddbadbdaABqv =

⋅++⋅⋅+⋅+−

=)2(2

))()((φ

361.15)250(275.0

))25(175(345.1

minmin

2min

2

=⋅+⋅⋅

+−dd

d

Con el menor valor de los tres anteriores calcular el canto útil mínimo:

][02.19min cmd =

b) Verificación a corte por flexión:

b.1) Para el eje X:

2

aAm −= ⇒

225.075.1 −

=m ⇒ ].[75.0 mm = ⇒ ].[75 cmm =

Bqq ux ⋅= ⇒ 175345.1 ⋅=xq ⇒ ]/[38.235 cmkgqx =

Para encontrar el canto útil mínimo igualar las ecuaciones de cortante de diseño "" uv y la cortante admisible "" cv

ccx

u fvdBdmq

v '53.0)(

==⋅⋅−⋅

=φ

21053.0

17575.0)75(38.235

min

min =⋅⋅−⋅dd

][197.14min cmd =

b.2) Para el eje Y:

Se tiene los mismos resultados. ][197.14min cmd =

Entonces el canto útil mínimo de la zapata es el mayor valor de las verificaciones

anteriores:

∴ ][02.19min cmd = Por lo tanto la altura mínima de la zapata será:

502.19minmin +=+= rdh

][02.24min cmh =

GST LCCT


145

dbAABq

vo

uu φ

)( 0−=

3.12.2 Ejercicio zapata de medianería Encontrar la altura mínima de la zapata de medianería no conectada

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][20 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][5 tnL =


Paso 1.- Dimensionamiento en planta. Para una zapata de medianería: BA 2=

aqPB⋅

=2

⇒ 101.12

25⋅⋅

=B ⇒ ][066.1 mB = ⇒ ][1.1 mB =

⇒ 1.12 ⋅=A ⇒ ][2.2 mA =

Usar: ][1.12.2 2mx

LDPu 6.12.1 += )5(6.1)20(2.1 += ][32 tn=

DPu 4.1= )20(4.1= ][28 tn=

BAP

q uu ⋅= ⇒

2.21.132⋅

=uq ⇒ ]/[22.13 2mtnqu = ⇒ ]/[322.1 2cmkgqu =

Paso 2.- Dimensionamiento en elevación.

a) Verificación a corte por punzonamiento:

))(2( dbdaAo ++= bdabo ++= 22

• cc fv '2153.0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=β

⇒ 21012153.0 ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=cv ⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 2041.23cmkgvc

• co

sc f

bd

v '227.0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=

α αs=30 para columnas de borde ; d=15 (mínimo)

2102)3050(2

153027.0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅⋅

=cv ⇒ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 282.18cmkgvc

• cc fv '06.1= ⇒ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 2361.15cmkgvc

GST LCCT


146

cu

u vddba

dbdaABqv =

⋅++⋅+⋅+−

=)22(

))()2((φ

361.15)25250(75.0

))25()225(110220(322.1

minmin

minmin =⋅++⋅

+⋅+−⋅dd

dd

Con el menor valor de los tres anteriores se calcula el canto útil mínimo:

][792.21min cmd = ⇒ ][8.21min cmd =

b) Verificación a corte por flexión:

b.1) Para el eje X: aBm −= ⇒ 25.01.1 −=m ⇒ ].[85.0 mm = ⇒ ].[85 cmm =

Aqq ux ⋅= ⇒ 220322.1 ⋅=xq ⇒ ]/[8.290 cmkgqx = Igualar ecuaciones para encontrar el canto útil mínimo

ccx

u fvdAdmq

v '53.0)(

==⋅⋅−⋅

=φ

21053.0

22075.0)85(8.290

min

min =⋅⋅−⋅

dd

][87.15min cmd =

b.2) Para el eje Y:

2

bAn −= ⇒

225.02.2 −

=n ⇒ ].[975.0 mn = ⇒ ].[5.97 cmn =

Bqq uy ⋅= ⇒ 110322.1 ⋅=xq ⇒ ]/[42.145 cmkgq y = Igualar ecuaciones para encontrar el canto útil mínimo

ccy

u fvdBdnq

v '53.0)(

==⋅⋅

−⋅=

φ

21053.0

11075.0)5.97(42.145

min

min =⋅⋅−⋅d

d

][2.18min cmd = Entonces el canto útil mínimo de la zapata es el mayor valor de los tres resultados

anteriores: ][8.21min cmd =

Por lo tanto la altura mínima de la zapata será:

58.21minmin +=+= rdh

][8.26min cmh =

GST LCCT


147

3.12.3 Ejercicio zapata de medianería conectada Encontrar la altura mínima de la zapata de medianería conectada

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][151 tnD = ][252 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][51 tnL = ][82 tnL =

]/[0.1 2cmkgqa = 1643030: φ→xColumna 1643030: φ→xColumna ][5 cmr = ][4 ml =

Paso 1.- Dimensionamiento en planta. Para zapata 1, de medianería: 11 2BA =

aqPB⋅

=2

11 ⇒

101220

1 ⋅⋅=B ⇒ ][11 mB =

⇒ 10021 ⋅=A ⇒ ][2 mA =

Usar: ][0.10.2 2mx

111 6.12.1 LDPu += )5(6.1)15(2.1 += ][26 tn=

11 4.1 DPu = )15(4.1= ][21 tn=

11

11 BA

Pq u

u ⋅= ⇒

1226

1 ⋅=uq ⇒ ]/[13 2

1 mtnqu = ⇒ ]/[3.1 21 cmkgqu =

Para zapata 2, aislada rectangular:

Asumir: ][22 mB =

aqBP

A⋅

=2

22 ⇒

101233

2 ⋅⋅=A ⇒ ][65.12 mA =

Usar: ][0.265.1 2mx

222 6.12.1 LDPu += )8(6.1)25(2.1 += ][8.42 tn=

22 4.1 DPu = )25(4.1= ][35 tn=

22

22 BA

Pq u

u ⋅= ⇒

00.265.18.42

2 ⋅=uq ⇒ ]/[97.12 2

2 mtnqu = ⇒

]/[297.1 22 cmkgqu =

Paso 2.- Dimensionamiento en elevación. Asumir ancho de nervio: ][30 cmB =

a) Verificación a corte por flexión: a.1) Para zapata 1:

2

1 BAm −= ⇒

23.000.2 −

=m ⇒ ].[85.0 mm = ⇒ ].[85 cmm =

GST LCCT


148

111 Bqq uy ⋅= ⇒ 1003.11 ⋅=yq ⇒ ]/[1301 cmkgq y = Igualar ecuaciones para encontrar el canto útil mínimo

ccy

u fvd

dmqv '53.0

)(1 ==−⋅

=φ

21053.0

10075.0)85(130

min

min =⋅⋅

−⋅dd

][651.15min cmd = ⇒ ][66.15min cmd =

a.2) Para zapata 2:

2

2 BAn −= ⇒

23.065.1 −

=n ⇒ ].[67.0 mn =

222 Bqq uy ⋅= ⇒ 200297.12 ⋅=yq ⇒ ]/[4.2592 cmkgq y =

Igualar ecuaciones para encontrar el canto útil mínimo

ccy

u fvd

dnqv '53.0

)(2 ==−⋅

=φ

21053.0

20075.0)67(4.259

min

min =⋅⋅−⋅

dd

][313.12min cmd = ⇒ ][32.12min cmd =

Entonces el canto útil mínimo de la zapata 1 y zapata 2 es:

][66.151min cmd = ][32.122min cmd =

Por lo tanto la altura mínima de las zapatas será:

rdh += minmin

][66.201min cmh =

][32.172min cmh =

3.12.4 Ejercicio zapata combinada Encontrar la altura mínima de la zapata combinada

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][301 tnD = ][402 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][201 tnL = ][302 tnL =

]/[0.1 2cmkgqa = 1643030: φ→xColumna 1643030: φ→xColumna ][5 cmr = ][5 ml =

GST LCCT


149

M3=12.828[Tn.m]

M2=77.037[Tn.m]

M1

qX

X = 0.99 m.5 m.

V2

V1

d

d

V3

d0.30 m.0.30 m.

Paso 1.- Dimensionamiento en planta.

∑ =00M ⇒ 02

15.515.0 21 =−⋅+⋅ RLPP ⇒ 01202

15.57015.050 =−⋅+⋅L

⇒ ][14.6 mL =

aqLR

B⋅

= ⇒ 10114.6

120⋅⋅

=B ⇒ ][96.1 mB =

111 6.12.1 LDPu += )20(6.1)30(2.1 += ][68 tn=

11 4.1 DPu = )30(4.1= ][42 tn=

222 6.12.1 LDPu += )30(6.1)40(2.1 += ][96 tn=

22 4.1 DPu = )40(4.1= ][56 tn= 21 uuu PPR += 9668 += ][164 tn=

BAR

q uu ⋅= ⇒

14.696.1164⋅

=uq ⇒ ]/[63.13 2mtnqu = ⇒

]/[363.1 2cmkgqu =

Paso 5.- Análisis de esfuerzos en la viga Asumir canto útil: ][47 cmd =

Bqq ux ⋅=

⇒ 96.163.13 ⋅=xq

⇒ ][715.26 mtnqx =

⇒ ][26715 mkgqx =

Paso 3.- Dimensionamiento en elevación. a) Verificación a corte por flexión:

cc fv '53.0= ⇒ 21053.0=cv ⇒ ][68.7 2cmkgvc =

dB

Vv i

ui ⋅⋅=φ

, para todo i= 1, 2, 3,……..

GST LCCT


150

ddbaPv u

u ⋅++⋅=

)422(1

1 φ 47)4746060(75.068000

1 ⋅⋅++⋅=uv

21 263.6 cmkgvu =

ddbaPv u

u ⋅++⋅=

)422(2

2 φ 47)308(75.096000

2 ⋅⋅=uv

21 842.8 cmkgvu =

d (cm.) V1

(kg.) vu1

(kg/cm2) ≤ vc

(kg/cm2)V2

(kg.) vu2

(kg.) £vc

(kg/cm2) V3

(kg.) vu3

(kg.) £vc

(kg/cm2)

30 52328,61 11,86 ≤ 7,68 …… no £ 7,68 …… …… £ 7,68

40 49653,61 8,44 ≤ 7,68 …… no £ 7,68 …… …… £ 7,68

50 46978,61 6,39 ≤ 7,68 51996,38 7,07 £ 7,68 …… …… £ 7,68

45 48316,11 7,3 ≤ 7,68 53333,88 8,06 no £ 7,68 …… …… £ 7,68

46 48048,61 7,11 ≤ 7,68 53066,38 7,84 no £ 7,68 …… …… £ 7,68

47 47781,11 6,92 ≤ 7,68 52798,88 7,64 £ 7,68 1605 0,23 £ 7,68 Se debe cumplir para todos los esfuerzos de corte

b) Verificación a corte por punzonamiento:

))(2( dbdaAo ++= bdabo ++= 22

• cc fv '2153.0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=β

⇒ 21012153.0 ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=cv ⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 2041.23cmkgvc

• co

sc f

bd

v '227.0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=

α αs=30 para columnas de borde ; d=15 (mínimo)

2102)3050(2

153027.0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅⋅

=cv ⇒ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 282.18cmkgvc

• cc fv '06.1= ⇒ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 2361.15cmkgvc

Con el menor valor de los tres anteriores calcular el canto útil mínimo:

⇒ ⇒ ≤ cv

⇒ ⇒ ≤ cv

Entonces el canto útil mínimo de la zapata: ][47min cmd =


547minmin +=+= rdh

][52min cmh =

GST LCCT


151

3.12.5 Ejercicio zapata retranqueada a un lado

Encontrar la altura mínima de la zapata retranqueada a un lado

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][201 tnD = ][252 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][51 tnL = ][82 tnL =

]/[0.1 2cmkgqa = 1644040: φ→xColumna 1644040: φ→xColumna ][5 cmr = ][2.6 mL =

∑ =0V ⇒ 02121 =−−+ RRPP

∑ =00M ⇒ 011 =− yRLP

⇒ y

LPR ⋅= 1

1

Entonces se obtiene:

21

1

PPLPy

+⋅

= ⇒ 25332.625

+⋅

=y ⇒ ][67.2 my =

yxL += ⇒ 67.220.6 −=−= yLx ⇒ ][53.3 mx =


Para zapata 1, aislada cuadrada:

⇒ aq

RA 11 = ⇒

10158

1 ⋅=A ⇒ ][41.21 mA =

⇒ ][45.21 mA = ][45.21 mB =

Usar: ][45.245.2 2mx

Para zapata 2, aislada cuadrada:

⇒ aq

PA 22 = ⇒

10.133

2 =A ⇒ ][85.12 mA =

⇒ ][85.12 mA = ][85.12 mB = Usar: ][85.185.1 2mx

111 6.12.1 LDPu += )5(6.1)20(2.1 += ][32 tn=

11 4.1 DPu = )20(4.1= ][28 tn=

222 6.12.1 LDPu += )8(6.1)25(2.1 += ][8.42 tn=

22 4.1 DPu = )25(4.1= ][35 tn= 21 uuu PPR += 8.4232 += ][8.74 tn=

GST LCCT


152

111 BA

Rq u

u ⋅= ⇒

45.245.28.74

1 ⋅=uq ⇒ ]/[46.12 2

1 mtnqu = ⇒

]/[246.1 21 cmkgqu =

222 BA

Pq u

u ⋅= ⇒

85.185.18.42

2 ⋅=uq ⇒ ]/[5.12 2

2 mtnqu = ⇒

]/[25.1 22 cmkgqu =


Asumir ancho de nervio: ][40 cmB =

a) Verificación a corte por flexión:

a.1) Para zapata 1:

2

1 BBm −= ⇒

240.045.2 −

=m ⇒ ].[025.1 mm = ⇒ ].[5.102 cmm =

111 Aqq uy ⋅= ⇒ 245246.11 ⋅=yq ⇒ ]/[27.3051 cmkgq y = Igualar ecuaciones para encontrar el canto útil mínimo

ccy

u fvdAdmq

v '53.0)(

1

1 ==⋅⋅

−⋅=

φ

21053.0

24575.0)5.102(27.305

min

min =⋅⋅−⋅d

d

][23.18min cmd =

a.2) Para zapata 2:

2

2 BBn −= ⇒

24.085.1 −

=n ⇒ ].[725.0 mn = ⇒ ].[5.72 cmn =

222 Aqq uy ⋅= ⇒ 18525.12 ⋅=yq ⇒ ]/[25.2311 cmkgq y = Igualar ecuaciones para encontrar el canto útil mínimo:

ccy

u fvdAdnq

v '53.0)(

2

2 ==⋅⋅

−⋅=

φ

21053.0

18575.0)5.72(25.231

min

min =⋅⋅−⋅d

d

][93.12min cmd =

Entonces el canto útil mínimo de es:

][23.181min cmd = ][93.122min cmd =

GST LCCT


153

Por lo tanto la altura mínima de las zapatas será:

Zapata 1: 523.18min1min +=+= rdh

][23.231min cmh =

Zapata 2: 593.12min2min +=+= rdh

][93.172min cmh =

3.12.6 Ejercicio zapata retranqueada a ambos lados Encontrar la altura mínima de la zapata retranqueada a ambos lados

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][201 tnD = ][252 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][51 tnL = ][62 tnL =

]/[0.1 2cmkgqa = 1644040: φ→xColumna 1644040: φ→xColumna ][5 cmr = ][4 mL =

∑ =0V ⇒ 021 =−+ RPP

∑ =00M ⇒ 04 2 =⋅−⋅ RxP

Entonces se obtiene:

21

2

PPLPx

+⋅

= ⇒ 56

431⋅=x

⇒ ][21.2 mx =

yxL += ⇒ 21.24 −=−= xLy ⇒ ][79.1 my =


Zapata aislada cuadrada:

⇒ aq

RA = ⇒ 101

56⋅

=A ⇒ ][4.2 mA =

⇒ ][4.2 mA = ][4.2 mB =

Usar: ][4.24.2 2mx

111 6.12.1 LDPu += )5(6.1)20(2.1 += ][32 tn=

11 4.1 DPu = )20(4.1= ][28 tn=

222 6.12.1 LDPu += )6(6.1)25(2.1 += ][6.39 tn=

22 4.1 DPu = )25(4.1= ][35 tn= 21 uuu PPR += 36.3932 += ][6.71 tn=

GST LCCT


154

BA

Rq u

u ⋅= ⇒

4.24.26.71⋅

=uq ⇒ ]/[43.12 2mtnqu = ⇒ ]/[243.1 2cmkgqu =


Asumir ancho de nervio: ][40 cmB =

a) Verificación a corte por flexión:

2

bBm

−= ⇒

240.04.2 −

=m ⇒ ].[1 mm = ⇒ ].[100 cmm =

ccu

u fvd

dmq'53.0

)( v ==

−⋅=⇒

φ

21053.0

75.0)100(243.1

min

min =⋅−⋅

dd

][75.17min cmd =

Entonces el canto útil mínimo de la zapata es:

][75.17min cmd =


575.17minmin +=+= rdh ][75.22min cmh =

3.13. EJERCICIOS PROPUESTOS

3.13.1. Ejercicio zapata aislada Encontrar la altura mínima de la zapata aislada cuadrada considerando los siguientes

datos: Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][28 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][8 tnL =

]/[1 2cmkgqa = 1642525: φ→xColumna ][6 cmr =

Respuesta: [ ]cmh 73.26min =

GST LCCT


155

3.13.2. Ejercicio zapata de medianería Encontrar la altura mínima de la zapata de medianería no conectada

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][40 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][10 tnL =

]/[4.1 2cmkgqa = 1642525: φ→xColumna

][5 cmr =


3.13.3. Ejercicio zapata de medianería conectada Encontrar la altura mínima de la zapata de medianería conectada

Datos:

]/[180' 2cmkgf c = ][351 tnD = ][452 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][91 tnL = ][132 tnL =

]/[1.1 2cmkgqa = 1643030: φ→xColumna 1643030: φ→xColumna ][5 cmr = ][2.4 ml =


[ ]cmh 58.292min =

3.13.4. Ejercicio zapata retranqueada a un lado

Encontrar la altura mínima de la zapata retranqueada a un lado

Datos:

]/[250' 2cmkgf c = ][311 tnD = ][382 tnD =

]/[5000 2cmkgf y = ][81 tnL = ][92 tnL =

]/[3.1 2cmkgqa = 1644040: φ→xColumna 1644040: φ→xColumna ][6 cmr =

][8.5 mL =


[ ]cmh 69.212min =

GST LCCT


156

3.13.5. Ejercicio zapata retranqueada a ambos lados Encontrar la altura mínima de la zapata retranqueada a ambos lados

Datos:

]/[180' 2cmkgf c = ][301 tnD = ][322 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][71 tnL = ][62 tnL =


Respuesta: [ ]cmh 44.27min = 3.14.6. Ejercicio zapata aislada Encontrar el espesor mínimo de la zapata aislada cuyo lado largo sea 1.5 veces el lado

corto considerando los siguientes datos:

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][32 tnD =

]/[5000 2cmkgf y = ][10 tnL =



3.14.7. Ejercicio zapata de medianería Encontrar el canto útil mínimo de la zapata de medianería no conectada

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][30 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][10 tnL =


Respuesta: [ ]cmd 84.35min = 3.14.8. Ejercicio zapata de medianería conectada Encontrar el canto útil mínimo de la zapata de medianería conectada Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][291 tnD = ][362 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][91 tnL = ][112 tnL =

]/[2.1 2cmkgqa = 1643030: φ→xColumna 1643030: φ→xColumna ][6 cmr = ][2.4 ml =

Respuesta: ][18.301min cmd = ][75.172min cmd =

GST LCCT


157

3.14.9. Ejercicio zapata retranqueada a un lado

Encontrar el canto útil de diseño de la zapata retranqueada a un lado

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][301 tnD = ][252 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][81 tnL = ][52 tnL =


Respuesta: ][171 cmd = ][152 cmd =

3.14.10. Ejercicio zapata retranqueada a ambos lados Encontrar el canto útil mínimo de la zapata retranqueada a ambos lados, donde el lado

largo es 1.5 veces el lado corto

Datos:

]/[210' 2cmkgf c = ][201 tnD = ][302 tnD =

]/[4200 2cmkgf y = ][51 tnL = ][82 tnL =

]/[1.1 2cmkgqa = 1644040: φ→xColumna 1644040: φ→xColumna ][5 cmr = ][5 mL =

][40 cmB = Respuesta: ][25.24min cmh =

GST LCCT

Ejer Cici Os

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