Einführung in Simulationen mit Monte Carlo und · PDF fileDie Monte Carlo-Methode 1....

Einführung in Simulationen mitMonte Carlo und

Brownscher Dynamik

Martin OettelJohannes Bleibel

Die Monte Carlo-Methode

1. Beispiel

−1 1

−1

1Bestimmung von π

π = ∫−1

1

dx∫−1

1

dy G (x , y )

G (x , y) = θ(1−√ x2+ y2) (physikalische Größe)

θ(x) = {1 (x>0)0 (sonst)

Würfeln

x j = RANDOM_NUMBER ([−1,1 ])y j = RANDOM_NUMBER ([−1,1])

π ≈1M∑ j=1

Mθ(1−√ x j

2+ y j2)

Übersetzung: Welcher Anteil der Zufallspunkteliegt im Kreis?


1. Beispiel - Programmieraufgabe im VM Physik für Nanoscience

● Schreiben Sie ein MC-Programm für π

● Unterteilen Sie die Gesamtzahl der “Messungen”:

In jedem “sample” haben Sie Nmeas

Messungen, bilden Sie denMittelwert in jedem “sample”. Berechnen Sie den Mittelwert über alle “samples”.Berechnen Sie die Standardabweichung und die Unsicherheit des Mittelwertes über alle “samples”.

● Veranschaulichen Sie dies entsprechend, vor allem als Funktion von N

samples

N = N samples⋅Nmeas

π

× 100 = N samples

N meas = 1000, Fehlerbalken: σmean =∑i=1

N samples

(πi−π)

√N samples(N samples−1), πi =

1N meas

∑ j=1

N meas

πij

Statistische Theorie der physikalischen Eigenschaften(Statistische Mechanik)

Beispiel: Verteilung der Moleküle in einer Flüssigkeit

● jedes Teilchen kann sich im gesamten Raum aufhalten, ist aber mit allen anderen Teilchen “korreliert”

● Verteilung wird beschrieben durch eine Verteilungsfunktion = Wahrscheinlichkeitsdichte

● Integral über alle Teilchenpositionen ist 1:Verteilungfunktion ist normiert

● Eine physikalische Größe sei Funktion der Teilchenkoordinaten:Der Erwartungswert dieser Größe ist dann:

Einfaches Beispiel: Schwerpunkt

f ( r1 , ... , rN )

N Teilchen

∫d 3 r1 ...∫ d 3 rN f (r1 , ... , r N ) = 1

G = G (r i)

⟨G ⟩ = ∫ d 3 r1 ...∫ d 3 rN G ( ri) f (r1 , ... , r N )

G (r i) →1N∑i=1

Nr i

Selbst wenn f bekannt ist, dann erfordert die Berechnung des Erwartungswert einer physikalischenGröße (wie der Schwerpunkt) im Prinzip eine 3N-dimensionale Integration !

Statistische Theorie der physikalischen Eigenschaften

Strategien zur Lösung des Integrals

⟨G ⟩ = ∫ d 3 r1 ...∫d 3 rN G ( ri) f eq( r1 , ... , rN ) ≈1M∑ j=1

MG ( ri (t j))

N Teilchen zum Zeitpunkt t1. Molekulardynamik

N Teilchen zum Zeitpunkt t+Δt

Man löst die Bewegungsgleichungen von NTeilchen näherungsweise numerisch, erhält also

Dann:

⟨G ⟩ ≈ limT→∞1T∫0

Tdt G ( r i( t))

ri (t)

Was steckt dahinter? Für lange Zeiten strebt ein Systemins Gleichgewicht.

Ergodenhypothese: Die zeitlich gemittelte Verteilung der Teilchen im Raum (aufgrund derLösung ), strebt der Gleichgewichtsverteilung zu.f eq( r1, ... , rN )

ri (t)

M Zeitschritte, t j = j Δ t

⟨G ⟩ = ∫ d 3 r1 ...∫ d 3 rN G ( ri) f (r1 , ... , r N )


Strategien zur Lösung des Integrals ⟨G ⟩ = ∫ d 3 r1 ...∫ d 3 rN G ( ri) f (r1 , ... , r N )

2. Monte Carlo

“Boltzmann-Faktor”: Die Gleichgewichtsverteilung ist bekannt und lautet

f eq( r1 , ... , rn) =1Z

e−E pot (r1 ,... , rn)

k T k ≈ 1.38⋅10−23 J/K

Boltzmann-Konstante

Z heißt Konfigurationsintegral und normiert feq

Z = ∫d 3 r1 ...∫d 3 rN e−E pot (r1 ,... , rn)

k T

Epot

ist die gesamte potentielle Energie der Moleküle Beispiel: Flüssigkeit an einer Wand

Paar-potentialu

externesPotential(Wand)

E pot = ∑i=1

N

∑ j<iu ( ri−r j) + ∑i=1

N

V ext(r i)


Strategien zur Lösung des Integrals ⟨G ⟩ = ∫ d 3 r1 ...∫ d 3 rN G ( ri) f (r1 , ... , r N )

2. Monte Carlo (MC)

⟨G ⟩ = ∫ d 3 r1 ...∫ d 3 rN G ( ri) f eq( r1 , ... , rN ) ≈1M∑ j=1

MG ( r i , j)

Anstatt 3N Integrale zu lösen, “würfeln” wir auf eine geschickte Art und WeiseM mal unsere Koordinaten: ri → r i , j ( j=1...M )

Man beachte die formale Ähnlichkeit zu Molekulardynamik:

ri (t j) → r i , j

MD:Lösen der Bewegungs-

gleichung in M Schritten

MC:“Würfeln” der KoordinatenM mal

Die genauen “Würfel”regeln (importance sampling) kommen später.


1. Beispiel noch einmal

−1 1

−1

1Bestimmung von π

π = ∫−1

1

dx∫−1

1

dy f (x , y) G (x , y)

f (x , y) = 1 (Gleichverteilung)

G (x , y) = θ(1−√ x2+ y2) (physikalische Größe)

θ(x) = {1 (x>0)0 (sonst)

Würfeln

x j = RANDOM_NUMBER ([−1,1 ])y j = RANDOM_NUMBER ([−1,1])

π ≈1M∑ j=1

Mθ(1−√ x j

2+ y j2)

Übersetzung: Welcher Anteil der Zufallspunkteliegt im Kreis?


2. Ein Beispiel von Daan Frenkel: Durchschnittstiefe des Nils

⟨Niltiefe⟩ = ∫dx∫ dy f (x , y) G (x , y )

Nilf (x , y) = {1 (Punkt im Nil)

0 (sonst)

G (x , y) = z (x , y)

Naives Monte Carlo: Zufallspunkte auf quadratischer Karte

⟨Niltiefe⟩ =1M∑ j=1

Mf (x j , y j)G (x j , y j)

ist meistens 0!

Das ist nicht das, was wir wollen!


3. “Importance sampling” und Metropolis-Algorithmus

⟨G ⟩ = ∫ d 3 r1 ...∫ d 3 rN G ( ri) f eq( r1 , ... , rN ) ≈1M∑ j=1

MG ( r i , j)Wir wollen:

und nicht: ⟨G ⟩ ≈1M∑ j=1

MG ( r i , j) f eq( r1, j , ... , r N , j)

( f eq( r1 ,... , r n) =1Z

e−E pot( r1 , ... , rn)

k T )

Wir wollen also Zufallszahlen erzeugen, deren Verteilung mit dem

Boltzmann-Faktor gewichtet sind.

r i , j

f eq



Der Algorithmus: 1. Starte mit einer beliebigen Anfangskonfiguration: 2. Für jedes Teilchen: Berechne potentielle Energie vor Verrückung

Verrücke Position zufällig:

Berechne Energieänderung:

Akzeptiere oder verwerfe die neuen Koordinaten:

Wiederhole die Schritte unter 2. für jedes Teilchen. Benutze immer die aktuellen Koordinaten der Teilchen.

3. Berechne die physikalische Größe

4. Wiederhole Schritte 2 und 3 M-1 mal

5. Endresultat:

ri = r i ,0

E pot,vor = E pot( r1 , ... , r N )

(x ' iy ' iz ' i

) = (xiy iz i) + Δ x (

r1

r2

r3)

r1, r2, r3 ...Zufallszahlen zwischen -1 und 1

Δ E pot = E pot( r 1 , ... , r ' i , ... , r N )−E pot,vor

Δ E pot < 0 : r i = r ' i

Δ E pot > 0 : r i = r ' i nur mit Wahrscheinlichkeit e−ΔE pot

k T

G1 = G ( r1 , ... , r N )

⟨G ⟩ =1M∑ j=1

MG j



Warum funktioniert dieser Algorithmus?

Der Monte Carlo-Schritt (2.) würfelt uns eine neue Konfiguration.Minimale Bedingung: Haben wir schon Konfigurationen erreicht, die mit verteilt sind, so bleiben die neuen Konfigurationen auch mit verteilt.

Gedankenexperiment: - Konfigurationen seien numerierbar: (z.B. durch Diskretisierung des Raumes) - sehr viele Monte Carlo-Schritte, angewandt auf sehr viele Konfigurationen - Monte Carlo-Schritt definiert uns eine Übergangsrate = Übergangswahrscheinlichkeit pro Schritt zwischen den Konfigurationen

- Gleichgewicht: Es gilt für alle Konfigurationen

f eq

f eq

pk→l = p(ck → cl )

ck = {r1 , ... , r N }k

∑k≠lf eq(cl ) p l→ k = ∑k≠l

f eq(ck ) pk→l

c l

Rate, mit der cl

verlassen wirdRate, mit der c

l

erreicht wird

“balance”



Warum funktioniert dieser Algorithmus?

Gedankenexperiment: - Gleichgewicht, stärkere Bedingung: Es gilt für alle Paare von Konfigurationen

f eq(c l) p l→k = f eq(ck ) pk→l

ck , cl

“detailed balance”

Wenn “detailed balance”, dann auch “balance”!

- Also:

- Check Metropolis-Algorithmus: dies wird genau erfüllt!

p l→kpk→l

=f eq(ck )

f eq(c l)= e

Epot,l−Epot , k

k T

Entwicklung zum Gleichgewicht: Wir haben gesehen, dass Metropolis uns im Gleichgewicht lässt. Aber kommen wir auch dahin, wenn wir mit einer beliebigen Konfiguration beginnen? Das ist nicht einfach zu beantworten, muss in jedem Fall praktisch getestet werden.


4. Praktische Hinweise zur Implementierung von Metropolis

● Harte Potentiale und “MC move” (Verrückung) :kein Überlapp mit anderen Teilchen → Akzeptanz

Überlapp → Ablehnung

● periodische Randbedingungen: bei “move” und Überlappsbestimmungbeachten!

● “acceptance ratio”: 0.1 ... 0.9 (Bedingung an !)

● Observable (Messgrößen) als unabhängige Funktionen definieren.Maximal einmal pro “sweep” (“attempted move for all particles”) messen!

Δ x


5. Eine Observable: Paarkorrelationsfunktion

g (r) = limΔV→0 ( N ΔV

ΔV ) ⋅ 1(N /V )

rΔV

normierte Wahrscheinlichkeit dafür, im Abstand r zu einemTestteilchen andere Teilchen zu finden

Monte-Carlo Mehode

Beispiel: Paarkorrelationsfunktionen für harte Kugeln Programmieraufgabe im VM Physik für Nanoscience

Bestimmen Sie die Paarkorrelationsfunktion mit Fehlerbalkenfür harte Kugeln:

● Teilchenzahlen N = O(100)

● Dichten ρ* = 0.2 , 0.5 und 0.94( ρ* = ρσ3, σ = 2 R: Hartkugeldurchmesser )

σ 2σ 3σ

N= 340, 10 samples mit 100 sweeps

ρ∗= 0.2

N= 340, 10 samples mit 100 sweeps

ρ∗= 0.5

σ 2σ 3σ

Part II

Brownian Dynamics

Reminder: Statistical Mechanics

Beispiel: Verteilung der Moleküle in einer Flüssigkeit

● jedes Teilchen kann sich im gesamten Raum aufhalten, ist aber mit allen anderen Teilchen “korreliert”

● Verteilung wird beschrieben durch eine Verteilungsfunktion = Wahrscheinlichkeitsdichte

● Integral über alle Teilchenpositionen ist 1:Verteilungfunktion ist normiert

● Eine physikalische Größe sei Funktion der Teilchenkoordinaten:Der Erwartungswert dieser Größe ist dann:

Einfaches Beispiel: Schwerpunkt

f ( r1 , ... , rN )

N Teilchen

∫d 3 r1 ...∫ d 3 rN f (r1 , ... , r N ) = 1

G = G (r i)

⟨G ⟩ = ∫ d 3 r1 ...∫ d 3 rN G ( ri) f (r1 , ... , r N )

G (r i) →1N∑i=1

Nr i

Selbst wenn f bekannt ist, dann erfordert die Berechnung des Erwartungswert einer physikalischenGröße (wie der Schwerpunkt) im Prinzip eine 3N-dimensionale Integration !

Die Molekulardynamik-Methode

1. Übersicht

⟨G ⟩ ≈ limT→∞1T∫0

Tdt G ( r i( t))Ziel: Berechnung von gemittelten physikalischen Größen:

→ man benötigt ri (t)

d.h. ausgehend von einer Anfangsverteilung der Teilchen im Raum, werden die Bewegungsgleichungen integriert:

m ¨r i=F i

gesamte Kraft auf Teilchen i2. zeitliche Ableitung → 2 mal integrieren!

F i : im allgemeinen schwierig zu bestimmen (WW zwischen N Teilchen!)

→ Ansatz: berücksichtige nur paarweise Wechselwirkungen

F i=∑ j=1, j≠i

NF ij

mit F ij=∇ V ( r i , r j)

Schwierigkeiten:

- zweifache numerische Integration

-


2. Integration mittels Euler-Verfahren

x=F x /mdv xdt=F x /m

vx (t )=v x ,0+dv xdt

|t=t0∗(t−t 0)

vx (t )−v x ,0=dv xdt

|t=t0Δ t

Δ v x=FmΔ t

Betrachte x-Komponente eines Teilchens: bzw.

Taylor-Entwicklung der Geschwindigkeit:

Änderung der Geschwindigkeit des Teilchens

diskreter Zeitschritt

(zweite Integration für die Position analog)

Vorteile: - einfaches Verfahren

- unaufwendige Implementierung

Nachteile: - benötigt kleine Zeitschritte

- Stabilität


3. Der Algorithmus (Prinzip)

Initialisierung(Position, Geschwindigkeit)

Berechnug der Kräfte

Integration der Bewegungsgleichungen

(neue Position, neue Geschwindigkeit)

Berechnung von Observablen

ein

Zei

tsch

ritt

integriere n Zeitschritte, mittle über m Durchläufe

Ende

ein

Dur

chla

uf


4. Brown'sche Dynamik (Teilchen in Flüssigkeiten)

Moleküle der Flüssigkeit sind klein gegen die Teilchengröße

Explizite Beschreibung aller Flüssigkeitsmoleküle und Teilchen ist aufwändig

- viele Stöße pro Zeitintervall

- im Prinzip deterministisch, praktisch aber zufällig

- Brown'sche Bewegung

- Idee: Füge eine zufällige Kraft in die Bewegungsgleichungen ein

Newton'sche Dynamik Langevin Dynamik

Die Molkulardynamik-Methode

5. Überdämpfte Bewegung

kleine Reynoldszahl Re=ρv dη

Verhältnis von Trägheitskräften zu Zähigkeitskräften

Starke Dämpfung (hohe Reibungskraft) Trägheit wird vernachlässigbar

d.h. Teilchen bewegen sich nur unter Einwirkung einer Kraft!Die Dynamik wird reversibel!

Bewegungsgleichung (übergedämpfter Grenzfall): v i=Γ F i

Mobilität Γ=1

6 πηdsehr einfache Bewegungsgleichung

nur eine Integration nötig


5. Überdämpfte Bewegung

Bewegungsgleichung (übergedämpfter Grenzfall): v i=Γ F i

F i=−∇ V + F randGesamtkraft enthält Zufallskraft:

v i=Γ(−∇ V )+Γ F rand

zufällige Geschwindigkeit

Mit Euler Verfahren: Δ r i=(Γ(−∇ V )+Γ F rand )Δ t

konservative Kräfte

Δ r i=Γ(−∇ V )Δ t+ r rand

konservative Kräfte (Drift)Änderung der Positionzufällige Verschiebung

Position-Langevin Gleichung: ˙r=Γ F + r rand


6. Mittleres Verschiebungsquadrat - Diffusion

Einstein (1905) und Smoluchowski (1906): D=Γk BT

Diffusionskonstante Boltzmann Konstante

Messung der Diffusion: Mittleres Verschiebungsquadrat

⟨r 2(t )⟩=⟨ r (t )− r (t=0)⟩

2 (gemittelt über alle Teilchen)

D=14t⟨ r2(t )⟩damit:

1. Ziel der Brown'schen Dynamik: korrekte Beschreibung der Diffusion!

Steuerung des MSD über die zufälligen Verschiebungen

Breite der Zufalssverteilung soll von Temperatur und Mobilität abhängen

⟨ r rand ⟩=0 σ=√2Γ k BT Δ t=√2DΔ t

bzw. ⟨r 2(t )⟩=4Dt

⟨r 2⟩

(2D)


7. Details zur Implementierung – Einheiten, Potentiale

Abstände als Vielfache des Teilchendurchmessers:

Energie als Vielfaches von

damit:

r=rσ

k BT V=Vk BT

F=−∇ V=−σ ∇Vk BT

üblich: k BT=1

Potential muss stetig sein!

σ

∞

Harte Kugeln unmöglich!

“weiche Kugeln”

VV V (r) = {4ϵ (( σr )

12

−(σr )

6

)+c (r< rc)0 (sonst)

r r

Zeiteinheit entsprechend wählen!


7. Details zur Implementierung – Zufallskräfte, zufällige Verschiebung

⟨ r rand ⟩=0 σ=√2Γ k BT Δ t=√2DΔ tZufällige Verschiebung:

Gauß gleichförmig

Varianz: Varianz:σ2

112(b−a)2

a b

gleichförmige Verteilung: Zeitschrittweitensteuerung leicht möglich!

Beispiel: Programmieraufgabe aus dem VM Nanoscience


Schreiben Sie ein Programm zur Simulation einer Brown'schen Dynamik

- Berechnen sie das mittlere Verschiebungsquadrata) ohne Wechselwirkungb) mit einer rein repulsiven Wechselwirkung*(c) mit einer zusätzlich attraktiven Wechselwirkung)

- Berechnen Sie die Paarkorrelationsfunktion g(r) für den Fall b) und vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihren MC-Resultaten (gleiche Dichte, gleiche Teilchenanzahl)

- Erstellen Sie “Snapshots” des Systems zur Visualisierung der Brown'sche Bewegung


Trajektorie eines einzelnen Brownschen Teilchens in 3D


Mean square displacement eines idealen Gases ind 3D: ⟨r 2(t )⟩∼6Dt


Vergleich MC (Dieter, 500 Teilchen) – BD (Malte, 800 Teilchen), weiches repulsives Potential

Einführung in Simulationen mit Monte Carlo und · PDF fileDie Monte Carlo-Methode 1....

Documents

Transcript of Einführung in Simulationen mit Monte Carlo und · PDF fileDie Monte Carlo-Methode 1....