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EDO notas finales de ejercicios del tema 4 sobre exponenciales matriciales Pedro Mar´ ın Rubio 18 de mayo de 2017
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EDO notas finales de ejercicios del tema 4 sobreexponenciales matriciales
Pedro Marın Rubio
18 de mayo de 2017
M.f. exponencial si A ∈ L(RN)Caso pendiente 1: autovalor con mult.alg.2 pero mult.geo.1Caso pendiente 2: autovalores complejos α± βiAplicacion al caso no homogeneo y ′(t) = Ay(t) + b(t) (Ej.7b)
Caso pendiente 1: autovalor con mult.alg.2 peromult.geo.1
y ′ = Ay con A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
.
Autovalores: λ1 = 2, λ2 = λ3 = 3.
¿J =
23
3
o J =
23 1
3
?
rg(A− 3I3) =rg
−1−2 0−13 1 0
= 2,
⇒ dim(ker(A− 3I3)) = 3− 2 = 1 ⇒ J =
23 1
3
Caso pendiente 1: autovalor con mult.alg.2 peromult.geo.1
y ′ = Ay con A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
.
Autovalores: λ1 = 2, λ2 = λ3 = 3.
¿J =
23
3
o J =
23 1
3
?
rg(A− 3I3) =rg
−1−2 0−13 1 0
= 2,
⇒ dim(ker(A− 3I3)) = 3− 2 = 1 ⇒ J =
23 1
3
Caso pendiente 1: autovalor con mult.alg.2 peromult.geo.1
y ′ = Ay con A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
.
Autovalores: λ1 = 2, λ2 = λ3 = 3.
¿J =
23
3
o J =
23 1
3
?
rg(A− 3I3) =rg
−1−2 0−13 1 0
= 2,
⇒ dim(ker(A− 3I3)) = 3− 2 = 1 ⇒ J =
23 1
3
Caso pendiente 1: autovalor con mult.alg.2 peromult.geo.1
y ′ = Ay con A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
.
Autovalores: λ1 = 2, λ2 = λ3 = 3.
¿J =
23
3
o J =
23 1
3
?
rg(A− 3I3) =rg
−1−2 0−13 1 0
= 2,
⇒ dim(ker(A− 3I3)) = 3− 2 = 1 ⇒ J =
23 1
3
Caso pendiente 1: autovalor con mult.alg.2 peromult.geo.1
y ′ = Ay con A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
.
Autovalores: λ1 = 2, λ2 = λ3 = 3.
¿J =
23
3
o J =
23 1
3
?
rg(A− 3I3) =rg
−1−2 0−13 1 0
= 2,
⇒ dim(ker(A− 3I3)) = 3− 2 = 1 ⇒
J =
23 1
3
Caso pendiente 1: autovalor con mult.alg.2 peromult.geo.1
y ′ = Ay con A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
.
Autovalores: λ1 = 2, λ2 = λ3 = 3.
¿J =
23
3
o J =
23 1
3
?
rg(A− 3I3) =rg
−1−2 0−13 1 0
= 2,
⇒ dim(ker(A− 3I3)) = 3− 2 = 1 ⇒ J =
23 1
3
A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
J =
23 1
3
Buscamos P ∈ L(R3) regular tal que AP = PJ.
P = (p1 | p2 | p3)
⇒ AP = (Ap1 |Ap2 |Ap3) = PJ
Ap1 = 2p1, ⇒ (A− 2I3)p1 = ~0Ap2 = 3p2, ⇒ (A− 3I3)p2 = ~0Ap3 = p2 + 3p3, ⇒ (A− 3I3)p3 = p2, ⇒ (A− 3I3)2p3 = ~0(cond. necesaria)
p1 =
xyz
: (A− 2I3)p1 = ~0 ⇒
{−2x + y = 0,−13x + y + z = 0,
⇒{−2x + y = 0,−11x + z = 0,
⇒ p1 =
12
11
A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
J =
23 1
3
Buscamos P ∈ L(R3) regular tal que AP = PJ.
P = (p1 | p2 | p3) ⇒ AP = (Ap1 |Ap2 |Ap3) = PJ
Ap1 = 2p1, ⇒ (A− 2I3)p1 = ~0Ap2 = 3p2, ⇒ (A− 3I3)p2 = ~0Ap3 = p2 + 3p3, ⇒ (A− 3I3)p3 = p2, ⇒ (A− 3I3)2p3 = ~0(cond. necesaria)
p1 =
xyz
: (A− 2I3)p1 = ~0 ⇒
{−2x + y = 0,−13x + y + z = 0,
⇒{−2x + y = 0,−11x + z = 0,
⇒ p1 =
12
11
A =
2 0 0−2 3 0−13 1 3
J =
23 1
3
Buscamos P ∈ L(R3) regular tal que AP = PJ.
P = (p1 | p2 | p3) ⇒ AP = (Ap1 |Ap2 |Ap3) = PJ
Ap1 = 2p1, ⇒ (A− 2I3)p1 = ~0Ap2 = 3p2, ⇒ (A− 3I3)p2 = ~0Ap3 = p2 + 3p3, ⇒ (A− 3I3)p3 = p2, ⇒ (A− 3I3)2p3 = ~0(cond. necesaria)
p1 =
xyz
: (A− 2I3)p1 = ~0 ⇒
{−2x + y = 0,−13x + y + z = 0,
⇒{−2x + y = 0,−11x + z = 0,
⇒ p1 =
12
11
Busqueda de p2 y p3:
A− 3I3 =
−1−2 0−13 1 0
, p2 =
xyz
: (A− 3I3)p2 = ~0 ⇒
{x = 0,−13x + y = 0,
⇒ p2 =
001
.
Ahora buscamos p3 =
xyz
tal que
(A− 3I3)p3 = p2 :
−1−2 0−13 1 0
xyz
=
001
{−x = 0,−13x + y = 1
⇒ z cualquiera, p.ej. p3 =
010
Busqueda de p2 y p3:
A− 3I3 =
−1−2 0−13 1 0
, p2 =
xyz
: (A− 3I3)p2 = ~0 ⇒
{x = 0,−13x + y = 0,
⇒ p2 =
001
.
Ahora buscamos p3 =
xyz
tal que
(A− 3I3)p3 = p2 :
−1−2 0−13 1 0
xyz
=
001
{−x = 0,−13x + y = 1
⇒ z cualquiera, p.ej. p3 =
010
Comprobamos que AP = PJ : 2 0 0−2 3 0−13 1 3
1 0 02 0 1
11 1 0
=
2 0 04 0 3
22 3 1
= 1 0 02 0 1
11 1 0
23 1
3
.
Deducimos que A = PJP−1 y por tanto eA = PeJP−1 yexA = PexJP−1
En realidad como matriz fundamental basta PexJ .
Las soluciones de y ′ = Ay son {PexJc : c = (c1, c2, c3)> ∈ R3}
=
P
e2x
e3x xe3x
e3x
c1c2c3
:
c1c2c3
∈ R3
=
c1e
2x
2c1e2x + c3e
3x
11c1e2x + (c2 + c3x)e3x
:
c1c2c3
∈ R3
Comprobamos que AP = PJ : 2 0 0−2 3 0−13 1 3
1 0 02 0 1
11 1 0
=
2 0 04 0 3
22 3 1
= 1 0 02 0 1
11 1 0
23 1
3
.
Deducimos que A = PJP−1 y por tanto eA = PeJP−1 yexA = PexJP−1
En realidad como matriz fundamental basta PexJ .
Las soluciones de y ′ = Ay son {PexJc : c = (c1, c2, c3)> ∈ R3}
=
P
e2x
e3x xe3x
e3x
c1c2c3
:
c1c2c3
∈ R3
=
c1e
2x
2c1e2x + c3e
3x
11c1e2x + (c2 + c3x)e3x
:
c1c2c3
∈ R3
Comprobamos que AP = PJ : 2 0 0−2 3 0−13 1 3
1 0 02 0 1
11 1 0
=
2 0 04 0 3
22 3 1
= 1 0 02 0 1
11 1 0
23 1
3
.
Deducimos que A = PJP−1 y por tanto eA = PeJP−1 yexA = PexJP−1
En realidad como matriz fundamental basta PexJ .
Las soluciones de y ′ = Ay son {PexJc : c = (c1, c2, c3)> ∈ R3}
=
P
e2x
e3x xe3x
e3x
c1c2c3
:
c1c2c3
∈ R3
=
c1e
2x
2c1e2x + c3e
3x
11c1e2x + (c2 + c3x)e3x
:
c1c2c3
∈ R3
Comprobamos que AP = PJ : 2 0 0−2 3 0−13 1 3
1 0 02 0 1
11 1 0
=
2 0 04 0 3
22 3 1
= 1 0 02 0 1
11 1 0
23 1
3
.
Deducimos que A = PJP−1 y por tanto eA = PeJP−1 yexA = PexJP−1
En realidad como matriz fundamental basta PexJ .
Las soluciones de y ′ = Ay son {PexJc : c = (c1, c2, c3)> ∈ R3}
=
P
e2x
e3x xe3x
e3x
c1c2c3
:
c1c2c3
∈ R3
=
c1e
2x
2c1e2x + c3e
3x
11c1e2x + (c2 + c3x)e3x
:
c1c2c3
∈ R3
Caso pendiente 2: autovalores complejos α± βi
Si hay autovalores complejos para |A− λI | = 0, van por parejasconjugadas.
Se puede obtener una factorizacion de Jordan real de la formaA = PJP−1 con P ∈ L(RN).
Cajas asociadas de la matriz de Jordan real: cada par de
autovalores complejos α± βi se sustituye por D =
(α −ββ α
).
Si los autovalores complejos tienen multiplicidad mayor que uno,aparecen tantas cajas D como multiplicidad.
P.ej. si multipl.alg.(α± βi) = 2, pueden aparecer matrices de la
forma
(D
D
)o bien
(D I2
D
)segun mult.geometrica 2 o 1
respectivamente.
Caso pendiente 2: autovalores complejos α± βi
Si hay autovalores complejos para |A− λI | = 0, van por parejasconjugadas.
Se puede obtener una factorizacion de Jordan real de la formaA = PJP−1 con P ∈ L(RN).
Cajas asociadas de la matriz de Jordan real: cada par de
autovalores complejos α± βi se sustituye por D =
(α −ββ α
).
Si los autovalores complejos tienen multiplicidad mayor que uno,aparecen tantas cajas D como multiplicidad.
P.ej. si multipl.alg.(α± βi) = 2, pueden aparecer matrices de la
forma
(D
D
)o bien
(D I2
D
)segun mult.geometrica 2 o 1
respectivamente.
Caso pendiente 2: autovalores complejos α± βi
Si hay autovalores complejos para |A− λI | = 0, van por parejasconjugadas.
Se puede obtener una factorizacion de Jordan real de la formaA = PJP−1 con P ∈ L(RN).
Cajas asociadas de la matriz de Jordan real: cada par de
autovalores complejos α± βi se sustituye por D =
(α −ββ α
).
Si los autovalores complejos tienen multiplicidad mayor que uno,aparecen tantas cajas D como multiplicidad.
P.ej. si multipl.alg.(α± βi) = 2, pueden aparecer matrices de la
forma
(D
D
)o bien
(D I2
D
)segun mult.geometrica 2 o 1
respectivamente.
Caso pendiente 2: autovalores complejos α± βi
Si hay autovalores complejos para |A− λI | = 0, van por parejasconjugadas.
Se puede obtener una factorizacion de Jordan real de la formaA = PJP−1 con P ∈ L(RN).
Cajas asociadas de la matriz de Jordan real: cada par de
autovalores complejos α± βi se sustituye por D =
(α −ββ α
).
Si los autovalores complejos tienen multiplicidad mayor que uno,aparecen tantas cajas D como multiplicidad.
P.ej. si multipl.alg.(α± βi) = 2, pueden aparecer matrices de la
forma
(D
D
)o bien
(D I2
D
)segun mult.geometrica 2 o 1
respectivamente.
Caso pendiente 2: autovalores complejos α± βi
Si hay autovalores complejos para |A− λI | = 0, van por parejasconjugadas.
Se puede obtener una factorizacion de Jordan real de la formaA = PJP−1 con P ∈ L(RN).
Cajas asociadas de la matriz de Jordan real: cada par de
autovalores complejos α± βi se sustituye por D =
(α −ββ α
).
Si los autovalores complejos tienen multiplicidad mayor que uno,aparecen tantas cajas D como multiplicidad.
P.ej. si multipl.alg.(α± βi) = 2, pueden aparecer matrices de la
forma
(D
D
)o bien
(D I2
D
)segun mult.geometrica 2 o 1
respectivamente.
Exponencial de la matriz D
Como D =
(α −ββ α
)= αI2 + β
(0 −11 0
)
eD = eαI2eβ
0 −11 0
(
0 −11 0
)2
=
(0 −11 0
)(0 −11 0
)=
(−1
−1
)(
0 −11 0
)2k
=
((−1)k
(−1)k
)(
0 −11 0
)2k+1
=
(−1
1
)((−1)k
(−1)k
)=(
(−1)k+1
(−1)k
)
Exponencial de la matriz D
Como D =
(α −ββ α
)= αI2 + β
(0 −11 0
)
eD = eαI2eβ
0 −11 0
(0 −11 0
)2
=
(0 −11 0
)(0 −11 0
)=
(−1
−1
)(
0 −11 0
)2k
=
((−1)k
(−1)k
)(
0 −11 0
)2k+1
=
(−1
1
)((−1)k
(−1)k
)=(
(−1)k+1
(−1)k
)
Exponencial de la matriz D
Como D =
(α −ββ α
)= αI2 + β
(0 −11 0
)
eD = eαI2eβ
0 −11 0
(
0 −11 0
)2
=
(0 −11 0
)(0 −11 0
)=
(−1
−1
)
(0 −11 0
)2k
=
((−1)k
(−1)k
)(
0 −11 0
)2k+1
=
(−1
1
)((−1)k
(−1)k
)=(
(−1)k+1
(−1)k
)
Exponencial de la matriz D
Como D =
(α −ββ α
)= αI2 + β
(0 −11 0
)
eD = eαI2eβ
0 −11 0
(
0 −11 0
)2
=
(0 −11 0
)(0 −11 0
)=
(−1
−1
)(
0 −11 0
)2k
=
((−1)k
(−1)k
)
(0 −11 0
)2k+1
=
(−1
1
)((−1)k
(−1)k
)=(
(−1)k+1
(−1)k
)
Exponencial de la matriz D
Como D =
(α −ββ α
)= αI2 + β
(0 −11 0
)
eD = eαI2eβ
0 −11 0
(
0 −11 0
)2
=
(0 −11 0
)(0 −11 0
)=
(−1
−1
)(
0 −11 0
)2k
=
((−1)k
(−1)k
)(
0 −11 0
)2k+1
=
(−1
1
)((−1)k
(−1)k
)=(
(−1)k+1
(−1)k
)
eβ
0 −11 0
=∑
k≥0βk
k!
(0 −11 0
)k
=∑
k par +∑
k impar
=
(cosβ − sinβsinβ cosβ
)
donde hemos usado que
sinβ =∑
k≥0(−1)k β2k+1
(2k+1)! = β − β3
3! + β5
5! − . . .
cosβ =∑
k≥0(−1)k β2k
(2k)! = 1− β2
2! + β4
4! − . . .
De todo ello deducimos
eD = eα(
cosβ − sinβsinβ cosβ
), exD = eαx
(cos(βx) − sin(βx)sin(βx) cos(βx)
)
eβ
0 −11 0
=∑
k≥0βk
k!
(0 −11 0
)k
=∑
k par +∑
k impar
=
(cosβ − sinβsinβ cosβ
)donde hemos usado que
sinβ =∑
k≥0(−1)k β2k+1
(2k+1)! = β − β3
3! + β5
5! − . . .
cosβ =∑
k≥0(−1)k β2k
(2k)! = 1− β2
2! + β4
4! − . . .
De todo ello deducimos
eD = eα(
cosβ − sinβsinβ cosβ
), exD = eαx
(cos(βx) − sin(βx)sin(βx) cos(βx)
)
eβ
0 −11 0
=∑
k≥0βk
k!
(0 −11 0
)k
=∑
k par +∑
k impar
=
(cosβ − sinβsinβ cosβ
)donde hemos usado que
sinβ =∑
k≥0(−1)k β2k+1
(2k+1)! = β − β3
3! + β5
5! − . . .
cosβ =∑
k≥0(−1)k β2k
(2k)! = 1− β2
2! + β4
4! − . . .
De todo ello deducimos
eD = eα(
cosβ − sinβsinβ cosβ
),
exD = eαx(
cos(βx) − sin(βx)sin(βx) cos(βx)
)
eβ
0 −11 0
=∑
k≥0βk
k!
(0 −11 0
)k
=∑
k par +∑
k impar
=
(cosβ − sinβsinβ cosβ
)donde hemos usado que
sinβ =∑
k≥0(−1)k β2k+1
(2k+1)! = β − β3
3! + β5
5! − . . .
cosβ =∑
k≥0(−1)k β2k
(2k)! = 1− β2
2! + β4
4! − . . .
De todo ello deducimos
eD = eα(
cosβ − sinβsinβ cosβ
), exD = eαx
(cos(βx) − sin(βx)sin(βx) cos(βx)
)
Si J2n =
D I2
D I2. . .
. . .
D I2
, entonces
eJ2n =
eD eD/1! eD/2! . . . eD/(n − 1)!
eD eD/1! . . . eD/(n − 2)!. . .
.... . .
...eD
exJ2n =
exD xexD/1! x2exD/2! . . . xn−1exD/(n − 1)!
exD xexD/1! . . . xn−2exD/(n − 2)!. . .
.... . .
...exD
Ej. 5f y ′ = Ay , y(0) = (0, 0, 1/2, 1)> con
A =
0 0 1 00 0 0 11 −1 0 00 −1 0 0
.
|A− λI | =
∣∣∣∣∣∣∣∣−λ 0 1 00 −λ 0 11 −1 −λ 00 −1 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ
∣∣∣∣∣∣−λ 0 1−1 −λ 0−1 0 −λ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣0 −λ 11 −1 00 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ(−λ3 − λ) + (−1− λ2) = λ4 − 1
(Ruffini)= (λ− 1)(λ3 + λ2 + λ+ 1)
=(-1 es raız, Ruffini)(λ− 1)(λ+ 1)(λ2 + 1)
Ej. 5f y ′ = Ay , y(0) = (0, 0, 1/2, 1)> con
A =
0 0 1 00 0 0 11 −1 0 00 −1 0 0
.
|A− λI | =
∣∣∣∣∣∣∣∣−λ 0 1 00 −λ 0 11 −1 −λ 00 −1 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ
∣∣∣∣∣∣−λ 0 1−1 −λ 0−1 0 −λ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣0 −λ 11 −1 00 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ(−λ3 − λ) + (−1− λ2) = λ4 − 1
(Ruffini)= (λ− 1)(λ3 + λ2 + λ+ 1)
=(-1 es raız, Ruffini)(λ− 1)(λ+ 1)(λ2 + 1)
Ej. 5f y ′ = Ay , y(0) = (0, 0, 1/2, 1)> con
A =
0 0 1 00 0 0 11 −1 0 00 −1 0 0
.
|A− λI | =
∣∣∣∣∣∣∣∣−λ 0 1 00 −λ 0 11 −1 −λ 00 −1 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ
∣∣∣∣∣∣−λ 0 1−1 −λ 0−1 0 −λ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣0 −λ 11 −1 00 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ(−λ3 − λ) + (−1− λ2) = λ4 − 1
(Ruffini)= (λ− 1)(λ3 + λ2 + λ+ 1)
=(-1 es raız, Ruffini)(λ− 1)(λ+ 1)(λ2 + 1)
Ej. 5f y ′ = Ay , y(0) = (0, 0, 1/2, 1)> con
A =
0 0 1 00 0 0 11 −1 0 00 −1 0 0
.
|A− λI | =
∣∣∣∣∣∣∣∣−λ 0 1 00 −λ 0 11 −1 −λ 00 −1 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ
∣∣∣∣∣∣−λ 0 1−1 −λ 0−1 0 −λ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣0 −λ 11 −1 00 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ(−λ3 − λ) + (−1− λ2) = λ4 − 1
(Ruffini)= (λ− 1)(λ3 + λ2 + λ+ 1)
=(-1 es raız, Ruffini)(λ− 1)(λ+ 1)(λ2 + 1)
Cuatro autovalores distintos: ±1,±i , luego A es diagonalizable yJ =diag([1,−1, i ,−i ])
pero deseamos no manipular J compleja sino J real.
Sustituimos las cajas complejas
(i−i
)por
(0 −11 0
)Buscamos P = (p1|p2|p3|p4) tal que AP = PJ con
J =
1−1
0 −11 0
.Esto es
Ap1 = p1Ap2 = −p2Ap3 = p4 ⇒ A2p3 = Ap4 = −p3 ⇒ (A2 + I )p3 = ~0Ap4 = −p3
Obtenemos autovectores p1, p2; luego p3 y de ahı Ap3 = p4.
Cuatro autovalores distintos: ±1,±i , luego A es diagonalizable yJ =diag([1,−1, i ,−i ])
pero deseamos no manipular J compleja sino J real.
Sustituimos las cajas complejas
(i−i
)por
(0 −11 0
)
Buscamos P = (p1|p2|p3|p4) tal que AP = PJ con
J =
1−1
0 −11 0
.Esto es
Ap1 = p1Ap2 = −p2Ap3 = p4 ⇒ A2p3 = Ap4 = −p3 ⇒ (A2 + I )p3 = ~0Ap4 = −p3
Obtenemos autovectores p1, p2; luego p3 y de ahı Ap3 = p4.
Cuatro autovalores distintos: ±1,±i , luego A es diagonalizable yJ =diag([1,−1, i ,−i ])
pero deseamos no manipular J compleja sino J real.
Sustituimos las cajas complejas
(i−i
)por
(0 −11 0
)Buscamos P = (p1|p2|p3|p4) tal que AP = PJ con
J =
1−1
0 −11 0
.
Esto es
Ap1 = p1Ap2 = −p2Ap3 = p4 ⇒ A2p3 = Ap4 = −p3 ⇒ (A2 + I )p3 = ~0Ap4 = −p3
Obtenemos autovectores p1, p2; luego p3 y de ahı Ap3 = p4.
Cuatro autovalores distintos: ±1,±i , luego A es diagonalizable yJ =diag([1,−1, i ,−i ])
pero deseamos no manipular J compleja sino J real.
Sustituimos las cajas complejas
(i−i
)por
(0 −11 0
)Buscamos P = (p1|p2|p3|p4) tal que AP = PJ con
J =
1−1
0 −11 0
.Esto es
Ap1 = p1Ap2 = −p2Ap3 = p4 ⇒ A2p3 = Ap4 = −p3 ⇒ (A2 + I )p3 = ~0Ap4 = −p3
Obtenemos autovectores p1, p2; luego p3 y de ahı Ap3 = p4.
Cuatro autovalores distintos: ±1,±i , luego A es diagonalizable yJ =diag([1,−1, i ,−i ])
pero deseamos no manipular J compleja sino J real.
Sustituimos las cajas complejas
(i−i
)por
(0 −11 0
)Buscamos P = (p1|p2|p3|p4) tal que AP = PJ con
J =
1−1
0 −11 0
.Esto es
Ap1 = p1Ap2 = −p2Ap3 = p4 ⇒ A2p3 = Ap4 = −p3 ⇒ (A2 + I )p3 = ~0Ap4 = −p3
Obtenemos autovectores p1, p2; luego p3 y de ahı Ap3 = p4.
Por ejemplo se pueden tomar
p1 =
1010
, p2 =
10−10
,
A2 + I4 =
2 −1 0 00 0 0 00 0 2 −10 0 0 0
p.ej. p3 =
1212
, y entonces Ap3 = p4 =
12−1−2
.
Comprobamos que AP = PJ =
1 −1 1 −10 0 2 −21 1 −1 −10 0 −2 −2
Por ejemplo se pueden tomar
p1 =
1010
, p2 =
10−10
, A2 + I4 =
2 −1 0 00 0 0 00 0 2 −10 0 0 0
p.ej. p3 =
1212
, y entonces Ap3 = p4 =
12−1−2
.
Comprobamos que AP = PJ =
1 −1 1 −10 0 2 −21 1 −1 −10 0 −2 −2
Por ejemplo se pueden tomar
p1 =
1010
, p2 =
10−10
, A2 + I4 =
2 −1 0 00 0 0 00 0 2 −10 0 0 0
p.ej. p3 =
1212
, y entonces Ap3 = p4 =
12−1−2
.
Comprobamos que AP = PJ =
1 −1 1 −10 0 2 −21 1 −1 −10 0 −2 −2
Por ejemplo se pueden tomar
p1 =
1010
, p2 =
10−10
, A2 + I4 =
2 −1 0 00 0 0 00 0 2 −10 0 0 0
p.ej. p3 =
1212
, y entonces Ap3 = p4 =
12−1−2
.
Comprobamos que AP = PJ =
1 −1 1 −10 0 2 −21 1 −1 −10 0 −2 −2
Solucion y(x) = exA = PexJP−1y0
En vez de calcular P−1y0, ponemos P−1y0 = c y hallamosc = (c1, c2, c3, c4)> como y0 = Pc
1 1 1 10 0 2 21 −1 1 −10 0 2 −2
c1c2c3c4
=
00
1/21
⇒ c =
00
1/4−1/4
y(x) = PexJc = P
ex
e−x
cos x − sin xsin x cos x
00
1/4−1/4
=
12 sin xsin x
12 cos xcos x
⇒
12 cos xcos x−12 sin x− sin x
=
0 0 1 00 0 0 11 −1 0 00 −1 0 0
12 sin xsin x
12 cos xcos x
y ′(x) = Ay(x), y(0) = y0.
Solucion y(x) = exA = PexJP−1y0
En vez de calcular P−1y0, ponemos P−1y0 = c y hallamosc = (c1, c2, c3, c4)> como y0 = Pc
1 1 1 10 0 2 21 −1 1 −10 0 2 −2
c1c2c3c4
=
00
1/21
⇒ c =
00
1/4−1/4
y(x) = PexJc = P
ex
e−x
cos x − sin xsin x cos x
00
1/4−1/4
=
12 sin xsin x
12 cos xcos x
⇒
12 cos xcos x−12 sin x− sin x
=
0 0 1 00 0 0 11 −1 0 00 −1 0 0
12 sin xsin x
12 cos xcos x
y ′(x) = Ay(x), y(0) = y0.
Solucion y(x) = exA = PexJP−1y0
En vez de calcular P−1y0, ponemos P−1y0 = c y hallamosc = (c1, c2, c3, c4)> como y0 = Pc
1 1 1 10 0 2 21 −1 1 −10 0 2 −2
c1c2c3c4
=
00
1/21
⇒ c =
00
1/4−1/4
y(x) = PexJc = P
ex
e−x
cos x − sin xsin x cos x
00
1/4−1/4
=
12 sin xsin x
12 cos xcos x
⇒
12 cos xcos x−12 sin x− sin x
=
0 0 1 00 0 0 11 −1 0 00 −1 0 0
12 sin xsin x
12 cos xcos x
y ′(x) = Ay(x), y(0) = y0.
Solucion y(x) = exA = PexJP−1y0
En vez de calcular P−1y0, ponemos P−1y0 = c y hallamosc = (c1, c2, c3, c4)> como y0 = Pc
1 1 1 10 0 2 21 −1 1 −10 0 2 −2
c1c2c3c4
=
00
1/21
⇒ c =
00
1/4−1/4
y(x) = PexJc = P
ex
e−x
cos x − sin xsin x cos x
00
1/4−1/4
=
12 sin xsin x
12 cos xcos x
⇒
12 cos xcos x−12 sin x− sin x
=
0 0 1 00 0 0 11 −1 0 00 −1 0 0
12 sin xsin x
12 cos xcos x
y ′(x) = Ay(x), y(0) = y0.
Aplicacion al caso no homogeneo y ′(t) = Ay(t) + b(t)(Ej.7b)
y ′ = Ay + b(t), y(0) = (1, 2, 3)>, A =
1 2 01 3
1
.
Autovalor unico con multip. algebraica tres, dim(ker(A− λI )) = 1.
A = PJP−1 con J =
1 11 1
1
, P =
63
1
.
Solucion (PC): y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
etA valdrıa como m.f., pero F (t) = PetJ tambien (mejor,’ahorramos’ -a priori- P−1).F−1(s) = (PesJ)−1 = e−sJP−1
Aplicacion al caso no homogeneo y ′(t) = Ay(t) + b(t)(Ej.7b)
y ′ = Ay + b(t), y(0) = (1, 2, 3)>, A =
1 2 01 3
1
.
Autovalor unico con multip. algebraica tres, dim(ker(A− λI )) = 1.
A = PJP−1 con J =
1 11 1
1
, P =
63
1
.
Solucion (PC): y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
etA valdrıa como m.f., pero F (t) = PetJ tambien (mejor,’ahorramos’ -a priori- P−1).F−1(s) = (PesJ)−1 = e−sJP−1
Aplicacion al caso no homogeneo y ′(t) = Ay(t) + b(t)(Ej.7b)
y ′ = Ay + b(t), y(0) = (1, 2, 3)>, A =
1 2 01 3
1
.
Autovalor unico con multip. algebraica tres, dim(ker(A− λI )) = 1.
A = PJP−1 con J =
1 11 1
1
, P =
63
1
.
Solucion (PC): y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
etA valdrıa como m.f., pero F (t) = PetJ tambien (mejor,’ahorramos’ -a priori- P−1).F−1(s) = (PesJ)−1 = e−sJP−1
Aplicacion al caso no homogeneo y ′(t) = Ay(t) + b(t)(Ej.7b)
y ′ = Ay + b(t), y(0) = (1, 2, 3)>, A =
1 2 01 3
1
.
Autovalor unico con multip. algebraica tres, dim(ker(A− λI )) = 1.
A = PJP−1 con J =
1 11 1
1
, P =
63
1
.
Solucion (PC): y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
etA valdrıa como m.f., pero F (t) = PetJ tambien (mejor,’ahorramos’ -a priori- P−1).
F−1(s) = (PesJ)−1 = e−sJP−1
Aplicacion al caso no homogeneo y ′(t) = Ay(t) + b(t)(Ej.7b)
y ′ = Ay + b(t), y(0) = (1, 2, 3)>, A =
1 2 01 3
1
.
Autovalor unico con multip. algebraica tres, dim(ker(A− λI )) = 1.
A = PJP−1 con J =
1 11 1
1
, P =
63
1
.
Solucion (PC): y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
etA valdrıa como m.f., pero F (t) = PetJ tambien (mejor,’ahorramos’ -a priori- P−1).F−1(s) = (PesJ)−1 = e−sJP−1
Solucion particular de y ′ = Ay + b(t) con y(0) = ~0 :ϕp(t) = F (t)
∫ t0 F−1(s)b(s)ds.
∫ t0 F−1(s)b(s)ds =∫ t0 e−s
1 −s s2/21 −s
1
1/61/3
1
03s/2
1
ds =
0e−s(s + 1)/2−e−s
t
0
.
ϕp(t) =
63
1
et
1 t t2/21 t
1
0e−s(s + 1)/2−e−s
t
0
= et(3t2 − 3t) + 3tet(3t − 3/2) + 3(1− t)/2
et − 1
.
Solucion particular de y ′ = Ay + b(t) con y(0) = ~0 :ϕp(t) = F (t)
∫ t0 F−1(s)b(s)ds.∫ t
0 F−1(s)b(s)ds =∫ t0 e−s
1 −s s2/21 −s
1
1/61/3
1
03s/2
1
ds =
0e−s(s + 1)/2−e−s
t
0
.
ϕp(t) =
63
1
et
1 t t2/21 t
1
0e−s(s + 1)/2−e−s
t
0
= et(3t2 − 3t) + 3tet(3t − 3/2) + 3(1− t)/2
et − 1
.
Solucion particular de y ′ = Ay + b(t) con y(0) = ~0 :ϕp(t) = F (t)
∫ t0 F−1(s)b(s)ds.∫ t
0 F−1(s)b(s)ds =∫ t0 e−s
1 −s s2/21 −s
1
1/61/3
1
03s/2
1
ds =
0e−s(s + 1)/2−e−s
t
0
.
ϕp(t) =
63
1
et
1 t t2/21 t
1
0e−s(s + 1)/2−e−s
t
0
= et(3t2 − 3t) + 3tet(3t − 3/2) + 3(1− t)/2
et − 1
.
Solucion final del (PC)
y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
= PetJP−1y0 + ϕp(t)
=
63
1
et
1 t t2/21 t
1
1/61/3
1
123
+
ϕp(t)=
et(12t2 + t + 1) + 3tet(12t + 1/2) + 3(1− t)/2
4et − 1
.
Se comprueba que es la solucion: verifica la condicion inicial y elSDO.
Solucion final del (PC)
y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
= PetJP−1y0 + ϕp(t)
=
63
1
et
1 t t2/21 t
1
1/61/3
1
123
+
ϕp(t)=
et(12t2 + t + 1) + 3tet(12t + 1/2) + 3(1− t)/2
4et − 1
.
Se comprueba que es la solucion: verifica la condicion inicial y elSDO.
Solucion final del (PC)
y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
= PetJP−1y0 + ϕp(t)
=
63
1
et
1 t t2/21 t
1
1/61/3
1
123
+
ϕp(t)
=
et(12t2 + t + 1) + 3tet(12t + 1/2) + 3(1− t)/2
4et − 1
.
Se comprueba que es la solucion: verifica la condicion inicial y elSDO.
Solucion final del (PC)
y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
= PetJP−1y0 + ϕp(t)
=
63
1
et
1 t t2/21 t
1
1/61/3
1
123
+
ϕp(t)=
et(12t2 + t + 1) + 3tet(12t + 1/2) + 3(1− t)/2
4et − 1
.
Se comprueba que es la solucion: verifica la condicion inicial y elSDO.
Solucion final del (PC)
y(t) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)∫ tt0F−1(s)b(s)ds
= PetJP−1y0 + ϕp(t)
=
63
1
et
1 t t2/21 t
1
1/61/3
1
123
+
ϕp(t)=
et(12t2 + t + 1) + 3tet(12t + 1/2) + 3(1− t)/2
4et − 1
.
Se comprueba que es la solucion: verifica la condicion inicial y elSDO.
