Ecuatii de Grad Superior - Clasa a 10-A

Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior

-1

Definitia ecuatiilor BINOME :- Forma ecuatiilor binome este :

xa=0n

, a C , n 1 .

Rezolvarea ecuatiilor BINOME :- Rezolvarea acestor ecuatii este facuta in manualul de Geometrie ; - Se procedeaza astfel : - se scrie numarul

a

sub forma trigonometrica :a = r ( cos + i sin

)

- solutiile ecuatiei binome sunt date de formulele : + 2k + 2k x = n r cos + i sin , unde 0 k n 1 . n n

Ecuatii de grad superior


-2

Definitia ecuatiilor BIPATRATE :

- Ecuatiile in cazul carora printr-o substitutie avantajoasa , intr-o noua necunoscuta , ecuatia se transforma intr-o ecuatie de gradul al doilea ale carei radacini le determinam prin formulele bine cunoscute se numeste ecuatie bipatrata .

Forma generala a ecuatiilor BIPATRATE :- Forma generala a ecuatiilor bipatrate este :

a x+bx+c=04 2

, unde a, b, c C si a 0 .

Rezolvarea ecuatiilor BIPATRATE :- Pt aflarea solutiilor ecuatiei bipatrate se face urmatoarea substitutie avantajoasa :2 x =y

- si obtinem ecuatia de gradul doi : rezolvanta ecuatiei initiale si radacinile ei sunt :

a y +b y +c =0

2

care se numeste

y1 =

b

b 4ac 2a22 x = y1

si

y2 =

b +

b 4ac 2a2

- Din egalitatea

2 x =y

obtinem ecuatiile : si2 x = y2

cu radacinile :

x1 = x3 =

b b +

b 4ac 2a2

,

b b 4ac x2 = 2a2

,

b 4ac 2a2

si

b + b 4ac x4 = 2a2

.

- Radacinile ecuatiei date sunt numerele : formula :

x1 , x2 , x3 , x4

care pot fi cuprinse in



-3

b b 4ac x= 2a2

numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate .

Exercitiul nr. 1 :Sa se rezolve ecuatiile bipatrate : a).4

4 2 x 10x + 9 = 0

;

b).

4 2 x 17x + 16 = 0

;

c).

x 1+ 2 x +d).4 2 x 4x + 1 = 0

(

)

2

2 =0; e).4 2 x 6x + 6 = 0

;

f).

4 2 6x 5x + 1 = 0

; ; h).4 x 1 = 0

g).

4 2 32 x 12 x + 1 = 0

.

Exercitiul nr. 2 :Sa se rezolve ecuatiile : a).4 2 x x 6 =0

; b).

x ( 3+ 5i ) x 4 + 3i = 04 2

;

c).

2 4 x ( 3 i ) x 3i = 0

.

Exercitiul nr. 3 :Sa se rezolve ecuatiile :2 12 x + = 40 x2 2 x + 3 = 4 2x

2

a).

;

b).

3 2 2 2x + 7x 5 = x + x

;

c).

;

d).

2 6 x =5 x

2

.



-4

Exercitiul nr. 4 :Sa se determine ecuatia de gradul patru , avand radacinile : a).

x1 = 4 , x2 = 4 , x3 = 3 , x4 = 3

;

b).

1 1 1 1 ; x1 = , x 2 = , x3 = , x 4 = 2 2 6 6c).

x1 = 3i , x2 = 3i , x3 = 2i , x4 = 2i.

;

d).

x1 = 2 , x2 = 2 , x3 = 5 , x4 = 5Exercitiul nr. 5 :

Sa se determine natura radacinilor ecuatiilor : a). c).42 x 2( m 2) x m = 0 4 2

; d).

b).

4 2 4 x + mx + 9 = 0

;

4 2 mx + 4 x + 1 = 0

;2

m x 2 2 m2 + 3 x + 1 = 04

(

)

; f).

e).2

4 2 2 3x 5mx 2m = 0

; .

x ( 2x + 5 ) m ( x + 3 ) = 32 2

Exercitiul nr. 6 :Sa se rezolve ecuatiile : a). c).6 3 x + 15x 16 = 06 3 x 7x + 6 = 0

; d).

b).

8 4 x + 2x 3 = 0

; .

;

8 2 x + 12x 13 = 0



-5

Definitia ecuatiilor Reciproce :- O ecuatie de forma :

a n x + a n 1 xn

n 1

+ ...... + a 2 x + a1 x + a0 = 02

, a0 ,

avand proprietatea

a n i = a i

, oricare ar fi i ( 0 i n ) ,

se numeste ecuatie reciproca de gradul n ( altfel spus , o ecuatie este reciproca daca coeficientii termenilor egal departati de extremi sunt egali ) .



-6

Forma generala a ecuatiilor Reciproce de grad III :- Daca n = 3 forma generala a ecuatiilor reciproce de grad III este :

a x+b x +b x+a=03 2

,

a0

.

Forma generala a ecuatiilor Reciproce de grad IV :- Daca n = 4 forma generala a ecuatiilor reciproce de grad IV este :

a x +b x+c x +b x+a=04 3 2

,

a0

.

Forma generala a ecuatiilor Reciproce de grad V :- Daca n = 5 forma generala a ecuatiilor reciproce de grad V este :

a x+b x +c x+c x +b x+a=05 4 3 2

,

a0

.

Proprietatea 1

:

-- Daca ecuatia reciproca are radacina

, atunci ea are si radacina

1

.

Proprietatea 2

:

-- Orice ecuatie reciproca de grad impar are radacina x = 1 .

Proprietatea 3

:

-- Orice ecuatie reciproca de grad impar se reduce la rezolvarea ecuatiei x + 1 si a unei ecuatii de grad par .



-7

Am vazut ca forma generala a ecuatiei reciproce de gradul III este :

a x+b x +b x+a=03 2

,

a0

Rezolvarea ecuatiei Reciproce de grad III :- aceasta ecuatie are radacina x = 1 conform proprietatii ecuatiilor reciproce de grad impar ; - atunci putem scrie :

( x + 1 ) [ ax + ( b a ) x + a ] = 02

- Ecuatia data admite radacinile :

x1 = 1.

si

x2

,

x3

date de ecuatia

ax + ( b a ) x + a = 02

Am vazut ca forma generala a ecuatiei reciproce de gradul IV este :

a x +b x+c x +b x+a=04 3 2

,

a0

.

Rezolvarea ecuatiei Reciproce de grad IV :- aceasta ecuatie are radacina x = 1 conform proprietatii ecuatiilor reciproce de grad impar - Cum a 0 , ecuatia de mai sus nu admite ca radacina pe x = 0 . - In ecuatia de mai sus impartim cu

x

2

si obtinem ecuatia :

b a 2 aX +bX +c+ + 2 = 0 X Xunde grupand termenii in mod convenabil avem :Ecuatii de grad superior


-8

2 1 1 X + 2 + b X + a X X - Facem substitutia :

+c= 0 = y 22

y= x +- Obtinem ecuatia in y :2 a y + b y + c 2a = 0

1

x

si

x +

2

1

x

2

careia ii aflam radacinile:

y1

si

y2

x1, 2,3, 4

.

Exercitiul nr. 1 :Sa se rezolve ecuatiile reciproce de grad 3 : a).3 2 5 x + 31x + 31x + 5 = 0

;

b).

3 2 2 x + 3x + 3x + 2 = 0

; ; f). d).3 2 3x + 2 x + 2 x + 3 = 0

c). e).

3 2 x + 4x + 4x + 1 = 0

;

3 2 x + x + x +1 = 0

;

3 2 2 x + 5x + 5x + 2 = 0

.

Exercitiul nr. 2 :Ecuatii de grad superior


-9

Sa se rezolve ecuatiile reciproce : a).3 2 2x + 7x + 7 x + 2 = 0

;

b).

2 3 2 x (1+i ) x (1+i ) x + 2 = 0

.

Exercitiul nr. 3 :Sa se rezolve ecuatiile reciproce de gradul 4 a).4 3 2 2x + 7 x + 9x + 7 x + 2 = 0

: b).

;

4 3 2 x + x 18x + x + 1 = 0

; ; d).4 3 2 x + 2x x + 2x + 1 = 0

c). ; e).

4 3 2 4 x x + 5x x + 4 = 0

4 3 2 x + 2x 6x + 2x + 1 = 0

;

f).

4 3 2 x + 3 x 2 x + 3x + 1 = 0

; .

g).

4 3 2 x + 3x 16x + 3x + 1 = 0

Exercitiul nr. 4 :Sa se rezolve ecuatiile reciproce de gradul 5 : a).5 4 3 2 20 x 81x + 62 x + 62 x 81x + 20 = 0

; b).

5 4 3 2 x + x + x + x + x +1 = 0

; .

c)

5 4 3 2 5x 4 x + 5x + 5x 4 x + 5 = 0

Exercitiul nr. 5 :Sa se rezolve ecuatiile : a).5 4 3 2 x 6 x + 3x + 3x 6 x + 1 = 0

;

b).

3 2 6x x x + 6 = 0

;Ecuatii de grad superior


- 10

c).

4 3 2 x 3x + x 3x + 1 = 0

; ; ; .

d).

5 4 3 2 x 3x + x + x 3x + 1 = 0

e). g).

4 3 2 2x + x 2x + x + 2 = 0

f).

3 2 4 x 3x 3x + 4 = 0

;

5 4 3 2 3 x + x 3x 3 x + x + 3 = 0

Exercitiul nr. 6 :Sa se determine parametrul real a astfel incat ecuatiile de mai jos sa aiba toate radacinile reale : a).4 3 2 x + 3x + ax + 3x + 1 = 0

;

b).

4 3 2 x 3x + 2ax 3x + 1 = 0

; ; ; ; f). d).

c).

4 3 2 2 x + x + ax + x + 2 = 0

4 3 2 x + 3x 2ax + 3x + 1 = 0

e).

4 3 2 2 x + 3x + ax + 3x + 2 = 0

4 3 2 3x 5 x + ax 5 x + 3 = 0

.



- 11

Teorema :- Fie f un polinom nenul cu coeficienti reali . - Daca = a + ib , b 0 , este o radacina complexa a lui f , atunci : 10 20 = a ib

este de asemenea o radacina a lui f ;

si

au acelasi ordin de multiplicitate .

Consecinta :

- Orice polinom cu coeficienti reali are un numar par de radacini complexe (care nu sunt numere reale) .

Consecinta :- Orice polinom cu coeficienti reali de grad impar are cel putin o radacina reala .



- 12

Exercitiul nr. 1 :Sa se afle radacinile polinomului f daca admite radacina indicata : a). b).

f = x 4 7 x3 + 19x 2 23x + 10f = x 4 2 x3 x + 2Exercitiul nr. 2 :Sa se arate ca daca a b , polinomul :

x1 = 2 + i1 + i 3 2

;

x1 =

.

.

f = ax3 + x2 + bx + 1

nu are radacinile i

Exercitiul nr. 3 :Sa se determine

a

si b si apoi sa se rezolve ecuatia : , a,b R

4 3 2 ax 7 x + 21x + ax + b = 0

stiind ca 1 + 2i este radacina a ecuatiei .

Exercitiul nr. 4 :Fie ecuatia :

a 0 . Sa se arate ca aceasta ecuatie admite cel mult doua radacini reale .

x + ( 2a +1) x + 2( a +1) x + bx + c = 04 3 2

, a,b,c R cu

Exercitiul nr. 5 :Sa se determine radacinile polinomului : stiind ca admite radacina i .

f = x 6 + x5 + 3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + x + 1Ecuatii de grad superior


- 13

Exercitiul nr. 6 :Sa se rezolve ecuatia :

1+i .

4 3 2 x 3x + 5 x 4 x + 2 = 0

stiind ca admite radacina

Exercitiul nr. 7 :Sa se rezolve ecuatia :4 3 2 x 4x + 6x 4x + 5 = 0


2 i .

Exercitiul nr. 8 :Fie ecuatia :4 3 x x x + 1 = 01 cu R si < . Sa se arate ca toate

radacinile sunt de modul 1 .

Exercitiul nr. 9 :Sa se determine4 3 2

m

si

n

si apoi sa se rezolve ecuatia : .

Stiind ca admite radacina 1 + i .

x x + m x + 2x + n = 0Exercitiul nr. 10 :Stiind ca polinomul

f = 3 x 4 5 x3 + 3 x 2 + 4 x 2

are radacina 1 + i sa se

gaseasca celelalte radacini si sa se descompuna polinomul f in produs de polinoame de gradul 1 si 2 cu coeficienti reali .

Exercitiul nr. 11 :Sa se determine polinoamele cu coeficienti reali de gradul cel mai mic care au ca radacini : a). radacina dubla 2 si radacina simpla 1 + i ; b). radacina dubla i si radacina dubla 2 i ; c). radacina tripla 1 i si radacinile simple 1 si 1 .

Exercitiul nr. 12 :Sa se determine a, b R si radacinile lui f stiind ca admite radacina indicata : a).

f = x4 + ax3 + 49x2 + bx + 78 f = x4 + ax3 + bx2 x + 1 , x1 = i

, .

x1 = 3 + 2i

;

b).



- 14

Exercitiul nr. 13 :Sa se determine parametrul m R si sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacina scrisa in dreptul fiecareia : a).

x + x + 3x + 3x + mx + 1 , x1 = i 4 3 2 x 4 x + 6 x + m x + 5 = 0 , x1 = 2 + i .6 5 4 2

;

b).

Exercitiul nr. 14 :Sa se determine

m

si

n

si apoi sa se rezolve ecuatia : stiind ca admite radacina 1 i .

4 3 2 x x + m x + 2x + n = 0

b Q

Teorema :- Fie f un polinom nenul cu coeficienti rationali si ) o radacina a lui f . 10 20a b a+ b a+ b

( cu a, b Q , b > 0 si

- Atunci : este de asemenea o radacina a lui f ; sia b

au acelasi ordin de multiplicitate .

Exercitiul nr. 1 :Sa se rezolve ecuatia :1+ 2

5 4 3 2 2 x 5x 2 x + 6 x 1 = 0

stiind ca admite radacina :

.

Exercitiul nr. 2 :Sa se rezolve ecuatia : .4 3 2 x 2x x 2x 2 = 0


1 3



- 15

Exercitiul nr. 3 :Sa se determine radacinile polinomului :

f = x5 3x4 19 x3 + 91x2 80x 50alta este 1 2 .

stiind ca din radacinile lui este 3 + i iar

Exercitiul nr. 4 :Sa se determine radacinile polinomului3+ 3

f = x 4 5 x3 + x 2 + 6


.

Exercitiul nr. 5 :Sa se determine radacinile polinomului admite radacina2 .

f = x 5 + 3 x 4 + x3 5 x 2 6 x 2

stiind ca

Exercitiul nr. 6 :Sa se afle radacinile polinomului f a).

Q [X] stiind ca una dintre ele este cea indicata :; b).

f = x4 4 x3 4 x2 + 16x + 12 , x1 = 1 + 3 f = x4 2 x3 3x2 6 x 18 , x1 = 1 7Exercitiul nr. 7 :

Sa se afle a, b Q si radacinile polinomului f Q[ X ] stiind ca una dintre ele este cea indicata : a). b).

f = x4 2 x3 25x2 + ax + b , x1 = 4 2 2 f = x4 10x3 + ax2 34x + b x1 = 3 5Exercitiul nr. 8 :Sa se determine a, b, c Q si radacinile polinomului

; .

Q[ X ] stiind ca restul impartirii lui

f

la x 1 este egal cu 4 si ca polinomul f admite

f = x4 + 2 x3 + ax2 + bx + c

radacina

x1 = 1 + 2

.

Exercitiul nr. 9 :Sa se determine parametrii m, n Q si sa se rezolve ecuatia4 3 2 x 6 x + mx 12x + n = 0

stiind ca admite radacina 2 2

.Ecuatii de grad superior


- 16

Teorema :- Fie

f = a0 + a1 X + ..... + a n X np

un polinom de gradul

n

( n 1 ) cu coeficienti

intregi . - Daca = q ( p , q numere prime intre ele ) este o radacina rationala a lui f atunci : 10

p divide termenul liber

a0

;

20 q divide coeficientul termenului de grad maxim

an

.

Consecinta :- Fie

f = a0 + a1 X + ..... + a n X n

un polinom de gradul

n

( n 1 ) cu

coeficienti intregi .



- 17

- Daca = p este o radacina intreaga a lui atunci p este un divizor al termenului liber

a0

.

Exercitiul nr. 1 :Sa se afle radacinile rationale ale urmatoarelor polinoame : a). ; c).5 4 3 2 x + 7 x + 18x + 22 x + 13x + 33 x + 3x 14 4 3 2 x x 12x + 6 x + 36

;

b).

;

d).

5 4 3 2 x + 6 x + 13x + 14 x + 12 x + 8

; ; f).

e).

5 4 3 2 x + 8 x + 5 x 50 x 36x + 72

4 3 2 6 x 43x + 107 x 108 x + 36

.

Exercitiul nr. 2 :Sa se determine radacinile rationale ale polinoamelor : a). b).4 2 4 x 7 x 5x 1

; .

4 3 2 x + 4 x 2 x 12x + 9

Exercitiul nr. 3 :Sa se rezolve ecuatiile : a)3 2 5 x + 10x 3x 6 = 0

; ;

b).

3 2 2 x 13x + 28x 20 = 0



- 18

c).

4 3 2 10 x + 11x + 13x + 11x + 3 = 0

;

d).

4 3 2 9 x 3x + 7 x 3x 2 = 0

; ; f).

e).

4 3 2 x 7 x + 16x 15x + 9 = 0

4 3 2 6 x 5x + 4 x + 2 x 1 = 0

; ; h).

g).

4 3 2 x 2x 4x + 2x + 3 = 0

4 3 2 9x 9x 7 x + 9x 2 = 0

; ; j).

i).

4 3 2 2 x x 7 x + 3x + 3 = 0

4 3 2 9x + 6x 8x 6 x 1 = 0

; .

k).

4 3 2 10 x + 27 x + 48x + 81x + 54 = 0


Ecuatii de Grad Superior - Clasa a 10-A

Documents

Transcript of Ecuatii de Grad Superior - Clasa a 10-A