1

ECUAŢIA DE GRADUL AL II-LEA

Ne interesează compararea numerelor reale cu rădăcinile reale 21, xx ale ecuaţiei

( ) 02 =++≡ cbxaxxf , deci 042 ≥−=∆ acb .Se utilizează semnul funcţiei de gradul al

II-lea dat în tabelele de mai jos :

• Δ<0

• Δ=0

• Δ>0

Se mai utilizează următorul rezultat : o funcţie continuă pe [a,b] care are propr. că

f(a).f(b)<0 se anulează cel puţin o dată în (a,b) . În particular , propr. este adevarată

pt. orice polinom pe orice segment. Mijlocul segmentului ( )21; xx este a

bxx22

21 −=+ .

x ∞− ∞+

f(x) Semnul lui a

x ∞− 21 xx = ∞+

f(x) Semnul lui a 0 semnul lui a

x ∞− 1x 2x ∞+

f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

2

Compararea unui nr. real α cu rădăcinile reale 21, xx :

i. ( ) 021 >⋅⇒<< αα faxxfluisemnul

ii.

( )

−<

>⋅⇒<<

ab

faxx

2

021 α

αα

iii.

( )

−>

>⋅⇒<<

ab

faxx

2

021 α

αα

2) Compararea a două nr. reale α,β cu răd. reale 21, xx :

i.

( )( )

>⋅<⋅

⇒<<<00

21 βα

βαfafa

xx

ii.

( )( )

<⋅>⋅

⇒<<<00

21 βα

βαfafa

xx

iii.

( )( )

<⋅<⋅

⇒<<<00

21 βα

βαfafa

xx

iv.

( )

−>

>⋅⇒<<<

ab

faxx

2

021 α

αβα

v.

( )

>−

>⋅⇒<<< β

ββα

ab

faxx

2

021

vi.

( )( )

<−<

>⋅>⋅

⇒<<<

βα

βα

βα

ab

fafa

xx

2

00

21

3

1. Să se găsească o relaţie independentă de m între rădăcinile ecuaţiei :

( ) 0146 2 =++−+ mmxxm .

2. Să se det. parametrul real m din ecuaţia ( ) 021 2 =+−+ mxxm astfel încât o

rădăcina să fie dublul celeilalte .

3.Fiind dată ecuaţia ( ) ( ) ( ) 101223 2 ==++−+−= αsimxmxmxf se cere :

i. să se examineze în funcţie de valorile lui m natura răd. ecuaţiei

ii. să se afle ordinea rădăcinilor

iii. să se afle m astfel ca răd. ecuaţiei mx

xx−=

++−

323 2

să satisfacă relaţiile

21 32 xx <<< .

4.Să se det. m astfel ca răd. ecuaţiei ( ) ( ) 08321 2 =−+−−− mxmxm să fie cuprinse în

intervalul (-1;5).

5. Să se studieze , după valorile lui m , locul numerelor 2 şi 3 în raport cu răd.

ecuaţiei : ( ) ( ) 082422 22 =−−+−−− mmxmxm

6. Să se studieze după valorile parametrului real m locul numerelor 121 si− în raport

cu răd. ecuaţiei : ( ) 02323 222 =−+−− mxmxmm .

7. Să se det. valorile parametrului real m astfel ca ecuaţia ( ) ( ) 03241 22 =++−− xmxm

să aibă o singură rădăcină cuprinsă între -1 şi 1.

8.Să se rezolve ecuaţia ( ) ( ) 01314 3 =+−−−+ mxmxm ştiind că admite o rădăcină

independentă de m.

9. Fie a,b,c acbiaaR 4.0; 2 <≠∈ .Să se arate că dacă 4a+2b+c>0 atunci a+2b+4c>0 .

Soluţie : fie ( ) cbxaxxf ++= 2 cu 0<∆ x , rezultă că semnul funcţiei f este semnul

lui a şi este constant pe R.Cum f(2)= 4a+2b+c>0 şi f(½)= 04

42>

++ cba rezultă că

a+2b+4c>0.

4

10. Fie ( ) .,;;;: 2 RsiRcbRacbxaxxfRRf ∈∈∈++=→ ∗ α

a) demonstraţi că ( ) ( ) ( ){ }2

1;;1max afff ≥+− ααα ;

b) dintre toate polinoamele de gradul 2 cu propr. că ( ) [ ]2,0;2 ∈∀≤ xxf să se det.

acela care are coeficientul dominant maxim.

Soluţie : caut o relaţie liniară între ( ) )(1 αα fşif −

( ) cbxaxxf ++= 2

( ) cbaf ++= ααα 2

( ) baacbacbaf −+⋅−+⋅+⋅=+−+−=− αααααα 2)1()1(1 22

( ) ( ) baaff −+⋅−=− ααα 21

( ) ( ) baaff ++⋅+=+ ααα 21

Se priveşte inegalitatea din enunţ ca o inegalitate inversă :

( ) ( ) ( ){ } Mfffa NOT=+−≤ 1,,1max

2ααα

Însă din ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2112211 αααααα fffaafff −−++=⇒+=++−

( ) ( ) ( )MMMMfff

a 22

22

211=

++≤

+−++≤⇒

ααα de unde Ma≤

2

Dar Maa≤≤

22 q.e.d.

11.Fie ( ) .0;;: 2 ≠++=→ acbxaxxfRRf cu propr. ( ) afcareptZ −=∈∃ αα . .

a) să se arate că ecuaţia ( ) 0=xf are rădăcini reale şi distincte.

b) să se dem. că ecuaţia ( ) 0=xf are ambele răd. întregi ⇔ dreapta x=α este axă

de simetrie a graficului funcţiei.

Soluţie : a) voi utiliza semnul funcţiei de gradul II.

Pres. prin reducere la absurd că Δ≤0.

5

Pres. ⇒

≤∆<

00a sgn f(x)=sgn a=-1 şi sgn f(α)=sgn(-a)=+1 contradicţie.

Pres. ⇒

≤∆>

00a sgn f(x)=sgn a=+1 şi sgn f(α)=sgn (-a)=-1 contradicţie.

Deci Δ>0 şi ecuaţia are răd. reale distincte.

b) fie 21, xx răd. reale ale lui f ; a

bZxxxx2

,, 2121 −=⇔∈≠ α .

'',, ⇐ Pres. că a

b2

−=α

( )

( )2442 a

afaa

bff=∆⇒

−=

∆−=

−=

⇒α

α

Însă Zxxxaa

ab

aab

abx ∈⇒±=⇒±−=

±−=

∆±−= 212/12/1 ,1

22

2α

"'' ⇒ Pres. că Zxxxx ∈≠ 2121 ,, .

( )( ) cbxaxxxxxa ++=−− 221

răd. a ecuaţiei

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) { } { }

ab

ab

abxx

xx

xxxxxx

axxaaxxxxaaxf

22

2

01,1;1

21

21

212121

2121

−=⇒−=⇒

−=+

+=

⇒=−+−⇒−=−−⇒−=−−⇒

−=−−⇒−=−−⇒−=

ααα

αααααα

αα

12. Se dă ecuaţia .,,0)( 222 Rbaundeabbxbaax ∈=+++++− Să se arate că

dacă 122 >− ba atunci ecuaţia are rădăcini reale şi distincte.

Soluţie : ecuaţia are rădăcini reale şi distincte 0>∆⇔ x . Pres. prin reducere la

absurd că 0≤∆ x .

Avem ( ) 011 22 <+−= abf

Deci ( )

⇒

+=⇒

=≤∆

<

1sgn10

01

fa

fx contradicţie.

6

Rămâne 0>∆ x q.e.d.

13.Fie ecuaţia .0;02 ≠=++ acbxax cu coeficienţi reali şi răd. reale . Să se arate că :

a) Dacă |a+b+c|<|a| atunci cel puţin o răd. se află în (0,2) ;

b) Dacă |a-b+c|<|a| atunci cel puţin o răd. se află în (-2,0) .

Soluţie : ( )( )212 xxxxacbxax −−=++

Pt. 21 111 xxacbax −⋅−⋅=++⇒=

{ } 11..2,1111 21 <−∈∃⇒<−⋅−=++

⇒ ixiaixxa

cba

20111.. <<⇒<−<−∃⇒ iii xxiax

b) Pt. 21 111 xxacbax +⋅+=+−⇒−=

{ } 11..2,1111 21 <+∈∃⇒<+⋅+=+−

⇒ kxiakxxa

cba

02111.. <<−⇒<+<−∃⇒ kkk xxiax q.e.d.

14.Fie [ ]1;1;1..,, 2 −∈∀≤++∈ xcbxaxiaRcba .Arătaţi că 5222 ≤++ cba .

Soluţie :

10

11

11

≤⇒=

≤++⇒=

≤+−⇒−=

cx

cbax

cbax

Avem .2

1111

2222

1111

≤⇒

≤≤−≤+≤−

⇒≤+≤−

≤++≤−≤+−≤−

ac

caca

cbacba

Avem 1≤c şi 2≤a însă despre b nu ştim nimic şi de aceea încercăm a-l elimina.

Pt. aceasta folosesc identitatea:

( ) ( ) ( ) accbacbacba 42 22222 +++=++++− sau

7

( ) ( )5

212411

2422

222 =⋅⋅++

≤⋅++−+++

=++cacbacba

cba

15. Fie ( )mx2 cea mai mare răd. a ecuaţiei ( ) 04 222 =−−+ mxmx .Să se det.

valoarea maximă a lui ( )mx2 atunci când m parcurge R.

Soluţie : ecuaţia ( ) 04 222 =−−+ mxmx o ordonăm după puterile lui m :

( ) 22 41 xxxm −=−

Pt. ( ) 01

41 2 ≥−−

=⇒≠x

xxmx .

Fie x2 cea mai mare rădăcină a ecuaţiei. Dacă x2=1 atunci ecuaţia nu este verificată

indiferent de m. Prin urmare x2≠1.

( )0

14

2

222 ≥−−

=x

xxm .

y ∞− 0 1 4 ∞+

y - - - 0 + + + + + +

4-y + + + + + 0 - - -

y-1 - - - - 0 + + + + +

m2 + + 0 - - / + + 0 - - -

( ) ( ] ( ]4,10,2 ∪∞−∈⇒ mx şi ( ) 4max 2 =∈

mxRm

.

16. Să se det. nr. reale a si b astfel încât ecuaţiile 02 =+− baxx şi 02 =+− abxx să aibă rădăcini numere naturale distincte.

Soluţie :

02 =+− baxx are răd.

==+

⇒≠∈bxx

axxxxNxx

21

212121 ,, (1)

02 =+− abxx are răd.

==+

⇒≠∈bxxaxx

xxNxx''''

'',','21

212121 (2)

Prin eliminarea parametrilor a şi b din relaţiile (1) , (2) rezultă Nba ∈, şi

''' 2121'

2121 xxxxxxxx +=+++ . Prelucrarea acestei relaţii duce la :

8

( )( ) ( )( ) 21'1'11 2121 =−−+−− xxxx (3).

Dar Nxx ii ∈', .

i) Pt. 00''0 2121 ==⇒==⇒== baxxxx

ii) Pt. ( )( )

==

⇒

==

⇒=−−⇒=65

3'2'

21'1'12

1211 a

bxx

xxx şi 55161

22

2 =⇒

=⋅=+

xxx şi (3) este

verificată.

Rămâne ( )( )( )( ) 2''11'1'

2111

2121

2121

==⇒=−−

==⇒=−−

xxxx

xxxx imposibil pentru că relaţia (3) nu e

verificată.

S: ( ) ( ) ( ){ }5,6;0,0, ∈ba

17. Dacă ec. de gradul al II-lea cu coef. întregi 02 =++ cbxax are rădăcini

raţionale nenule atunci ( )22 1+≤ acb .

Soluţie : Nkkacb ∈=−=∆ ,4 22 .

i) ac>0

Avem k2<b2 şi k are aceeaşi paritate cu b. După extragerea radicalului avem

2, −≤⇒

<

bkparitateaceeaşcdebkbk

Însă ( ) 4424 2222 −=−−≥−= bbbkbac

( )22 11 +≤⇒+≤⇒ acbacb

ii) ac<0

Avem

⇒

>

⇒>⇒>−=−⇒=−=∆ paritateaceeasidebkbk

bkbkackacb ,04,4 222222

44422 22 ++≥−⇒+≥⇒−≤⇒ bbacbbkkb

9

( ) ( )22 111444 +≤⇒+≤+−≤⇒−−≤⇒ acbacacbacb q.e.d.

18.Să se det. funcţiile ( ) .0;;: 2 ≠++=→ acbxaxxfRRf astfel încât

( ) ( ) .;1 2 Rxxxf ∈∀−≤

Soluţie : ( ) Rxxcbxax ∈∀−≤++ ,1 22

[ ]1;110

001

−∈⇒≤⇒=

−−=⇒=++⇒≤++⇒=

ccx

cabcbacbax

Din ( ) Rxxcbxax ∈∀−≤++ ,1 22 Rxxxcbxaxxx ∈∀+−≤++≤−+−⇒ 1212 222

( ) ( )

( ) ( )

≤∆<−

⇒∈∀≤−+++−

≤∆>+

⇒∈∀≥++−++⇒

001

0121

001

0121

2

2

1

2

aRxcxbxa

aRxcxbxa

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0)1(142011420 221 ≤++−++⇔≤++−−⇔≤∆

−−=

cacacabcab

( ) ( )( ) ( ) cacacaca =⇔≤−⇔≤++−+++⇔ 0011411 22

În plus se arată că 21 ∆=∆ .

Deci ( ) acabca 2;1;1 −=−−=−∈= şi ( ) ( )21−= xaxf sunt funcţiile ce verifică

condiţiile problemei.

19. Să se determine 0,,, ≠∈ aRcba , astfel încât :

Rxa

xcbxax ∈∀

−≤++ ,1 2

2

Soluţie : ( ) Rxxcbxax ∈∀−≤++ ,1 22

10

−∈⇒≤⇒=

−−=⇒=++⇒≤++⇒=

222

1;110

101011

aac

acx

acbacbcab

aax

Din Rxa

xcbxax ∈∀

−≤++ ,1 2

2

Rxa

xa

xcbxaxa

xa

x ∈∀+−≤++≤−+−⇒ 222

22 1212

( )

( )

≤∆<−

⇒∈∀≤−+

++−

≤∆>+

⇒∈∀≥++

−++

⇒

001

0121

001

0121

22

2

12

2

aRx

acx

abxa

aRx

acx

abxa

Deci ( ) [ ] cabca −−=−∈−∈ ;1;1;1;1 şi ( ) ( )( )caxxxf −−= 1 sunt funcţiile ce verifică

condiţiile problemei.

20. Fie a,b∈N şi ecuaţia ( ) ( ) 1222 −=−+− abbxax .Arătaţi că :

a) ecuaţia nu admite rădăcini raţionale .

b) dacă b+a=1atunci ecuaţia admite rădăcini reale şi distincte şi să se determine

părţile reale ale rădăcinilor ecuaţiei.

Soluţie : ecuaţia se mai scrie :

( ) ( ) ( ) 012201222 22222 =+−++−⇔=+−+++− baxbaxabbaxbax

Pres. că ( )

+−=⋅

+=+⇒−∈

21, 2ba

baQR

βα

βαβα

Avem şi

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )222222 444224184 βαβαβα −=⋅−+=−−−+=+−−+=∆ babababax

( )24

/2βα

βα−±+

=⇒ba

22

/βαβα

βα−±+

=⇒

11

Fie

−=

−=

⇒≥

23

23

βαβ

βααβα ba +=⇒=⇒ ββα 2 contradicţie căci QR \∈β

şi Qba ∈+ .

21. Fie ecuaţiile .

a) Arătaţi că ecuaţia are rădăcini reale şi distincte ;

b) Dacă p<q determinaţi ordinea celor 4 rădăcini ale celor 2 ecuaţii.

Soluţie :

a) ( ) ( ) 021440 2221

2 ≥+=++>−=∆=+− pppqpqpxx

( ) ( ) 021440 2222

2 ≥+=++>−=∆=+− qqqpqpqxx

Obţinem 01 >∆ şi 02 >∆ şi ecuaţia are rădăcini reale şi distincte.

b) Notăm ( ) ( )( )212 xxxxqpxxxf −−=+−= şi fie 21 xx <

( ) ( )( )'' 212 xxxxpqxxxg −−=+−= şi fie '' 21 xx <

Avem ( ) ( )( )21111 ''' xxxxxf −−=

Dar ( ) pqxxxg −=⇒= ''0' 12

11

( )( ) ( )( )21111 ''1' xxxxxpq −−=+−⇒ (1)

Repetând procedeul de mai sus pentru x2’ avem :

( )( ) ( )( )22122 ''1' xxxxxpq −−=+−⇒ (2)

Dar ( )( ) 2121 10111 xxxxqp <−<⇒<++=++

( )( ) '1'01'1'1 2121 xxxxqp <−<⇒<++=++ (3)

Din (1) şi (3) şi q-p>0 obţinem ( )( ) 2112111 '0'' xxxxxxx <<⇒<−− (4).

Din (2) şi (3) şi q-p>0 obţinem

( )( )( ) ( ) ''

'4'

0'''

0''

2211211

22

121

4

12

2212

xxxxxxx

xx

xxxxx

xxxx<<

<⇒<<⇒

<⇒

>−⇒>>

>−− q.e.d.

0 1 , ; 0 0 2 2 < + + ∈ = + − = + − q p şi R q p p qx x si q px x

12

22. Dacă 2a+3b+6c=0 atunci ecuaţia .0;02 ≠=++ acbxax are cel puţin o

rădăcină în (0,1).

Soluţie cls a XII-a :

fie ( ) cbxaxxf ++= 2 şi observăm că ( ) ( )12140432 fffcba +

+=++

Scriem formula de cuadratură a lui Simpson:

bafabbfbafafabdxxf IVb

a<<

−−

+

+

+−

=∫ ξξ ),(2880

)()(2

4)(6

)(5

care aplicată funcţiei f cu ( ) 0≡IVf conduce la :

∫

+

+

+−

=b

abfbafafabdxxf )(

24)(

6)( ( ) 0

1

0

=⇒ ∫ dxxf şi aplicând teorema de

medie în forma integrală avem :

[ ]1,0∈∃ξ a.î. ( ) ( ) ( )ξfdxxf 0101

0

−==⇒ ∫ q.e.d.

Soluţie cls a X-a :

Avem ( ) ( ) 012140 =+

+ fff ; o condiţie necesară şi suficientă ca ecuaţia de grad II

( ) cbxaxxf ++= 2 să aibă cel puţin o rădăcină în intervalul [0,1] este f(0)f(1)<0

adică f(0) şi f(1) să aibă semne contrare.

Cum ( ) ( ) 012140 =+

+ fff rezultă că f(0) , f(½) şi f(1) nu pot avea acelaşi semn ,

q.e.d.

23. Fie funcţia ( ) .0;;: 2 ≠++=→ acbxaxxfRRf pt. care

( ) ( ) ( ).10;0 −>∈∀≥ ffsiRxxf . Să se det. minimul expresiei

( )ab

cbacbaE−++

=,, .

Soluţie : ( ) acbsiaRxxf 400,0 2 ≤⇔≤∆>⇒∈∀≥

( ) ( ) 0010 ≥++⇔≥⇒∈∀≥ cbafRxxf

13

( ) ( ) 010 >−⇒+−>⇒−> abcbacff

( ) ( )abababa

aba

bbacbaE

abc

abac

−++

=−

++≥⇒≥⇒

>≥

4444,,

404 22

2

22

Notez 346

23

49

23

469 2222

=+≥+

+=++

≥⇒=−atat

atta

attataEtab

cu egalitate când ( ) baabata =⇔−=⇔=− 4303 2

24. Fie ( ){ }011/ 22 ≤−−+∈= xaaxRxM . Să se det. valorile lui a pt. care

[ ]1;1−⊂M .

Soluţie : trebuie ca inecuaţia ( ) 01122 ≤−−+ xaax să aibă soluţiile incluse în

intervalul [-1,1].

Dacă a<0 si Δ≤0 atunci M=R.

Dacă a<0 şi Δ>0 atunci ( ) ( )+∞∪∞−= ,, 21 xxM .

În aceste cazuri M e nemărginită.

Rămâne a>0 şi evident Δ≥0 şi atunci [ ]21 , xxM = .

( )[ ] [ ] 111,1,

041

2121

22

≤≤≤−⇔−⊂=>+−=∆

xxxxMaa

ceea ce echivalează cu :

( )( )

=⇒

<−<−

≥≥−

≥∆

1

12

1

0101

0

a

ab

ff

25. Să se determine imaginea funcţiei

( ) .0;;: 2222 >+−−++=→ aaaxxaaxxxfundeRRf

Soluţie : avem ( )4

324

32

2222 aaxaaxxf +

−++

+= .

14

Apoi ( ) ACABxf −= unde

−

0;2

0,2

23,

aC

aB

axA

A 2

3ay =

x

B

− 0,

2a C

0,

2a

Avem ( ) ( ) RxaaxfaBCACAB ∈∀−∈⇒=≤− ,, sau ( )aaf ;Im −= .

Intervalul este deschis deoarece ΔABC nu poate fi niciodată degenerat.q.e.d.

26. Fie ∗+∈ RCBAcba ,,,,, astfel încât ecuaţiile 02 =+− cbxax şi .02 =+− CBxAx au

rădăcinile reale. Să se arate că Ru∈∀ situat între rădăcinile primei ecuaţii şi

RU ∈∀ situat între răd. celei de-a doua ecuaţii are loc :

( )2

2

+

≤

++

bBUC

ucAUau

Soluţie :

Fie ( ) 02 =+−= cbxaxxf cu rădăcinile

>=

>=+

− 0

0:,

121

2121

caxxabxx

xx

( ) 02 =+−= CBxAxxg cu rădăcinile

>=

>=+−

−

0

0:,

121

121

21 CAyyBAyy

yy

15

Deci are loc : 04;0

0402

121

2221

≥−=∆≥≥

≥−=∆≥≥

ACByy

acbxx.

Cum 00

21

21

>≥≥>≥≥

yUyxux

( )

( )

−<

−<⇒

>>

−<⇔<+−⇔<

−<⇔<+−⇔<⇒

UCBAUucbau

Uu

CBUAUCBUAUUf

cbuaucbuauuf

0:0:

00

00

22

22

( )AUaubBUC

uc

+−+<+⇒

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )222

222

2

222

41

22

41

+

≤

+

−+−

+

=

=+++−++

++−=

=+−++=+−++≤

++⇒

bBbBAUaubB

bBAUauAUaubBbB

AUauAUaubBAUaubBAUauUC

ucAUau

27. Fie ( ) baxxxP +−= 2 şi ( ) 0;2 ≠++= cedxcxxQ două trinoame de

gradul al II-lea cu coef. reali. Dacă răd. lui P sunt reale şi P Q nu admite

rădăcini reale , atunci ( ) 2

4

16cdeP > .

Soluţie : P- are rădăcini reale ( ) ( )( )21 xxxxxP −−=⇒

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )22

12

21 xedxcxxedxcxxxQxxQxQP −++−++=−−=

Deoarece QP nu are rădăcini reale ( )( ) 04

04

22

2

12

1

<−−=∆<−−=∆

⇒xecdxecd

Dar ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( ) 2

4

421

22

2

21

2121

161604

04

000

cdeP

dxexecdxecdxec

xexexQxQQPeP

>⇒

>−−⇒

>>−

>>−

−−=−−==

GENERALIZARE :

Fie [ ] ( ) ( ) edxcxxQsiaxaxxPXRQP nnn ++=+++=∈ − 21

1 ...;, .

16

În condiţiile problemei are loc : ( ) nn

n

cdeP

4

2

>

Soluţie : ( ) ( )( ) ( )nxxxxxxxP −−−= ...21

( ) ( )( ) ( )nxexexeeP −−−= ...21

( )( ) ( )( ) ( )nxedxcxxedxcxxedxcxxQP −++−++−++= 22

21

2 ... ş.a.m.d.

28.Fie

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .;..2:, 2; RxxfgxgfiaaxaxxgsiRRgfRa ∈∀=+++=→∈

Să se demonstreze că ( )( ) 000 .. xxffiaRx =∈∃ .

Soluţie : ( )( ) ( )( ) Rxxfgxgf ∈∀= ,

( )( ) ( ) ( ) ( ) axfaxfaxaxf +++=+++⇔ 22 22 (1)

Ecuaţia

( ) ( ) ( )( ) axxaxxaxaxxaxax −=−=⇔=++⇔=+++⇔=+++ 2122 ;101012 Deci

( ) xxg = are soluţiile { }a−− ;1

Din (1) prin înlocuirea lui x cu -1 , respectiv –a , rezultă:

( )[ ] ( )[ ] 0111 =+−⋅+− aff , respectiv

( )[ ] ( )[ ] 01 =+−⋅+− aafaf

Din definiţia noţiunii de funcţie ( ) yxfîaRyRx =∈∃∈∀⇒ ..!,

Avem cazurile :

( ) ( )( ) ( ) 111 −=−=−⇒−=− afffaf

( ) ( )( ) ( ) 11111 −=−=−⇒−=− ffff

( ) ( )( ) ( ) aafaffaaf −=−=−⇒−=−

17

( ) ( )( ) ( ) 111 −=−=−⇒−=− faffaf

Deci ( )( ) 000 .. xxffîaRx =∈∃

29.Fie funcţia

[ ) ( ) 0,,2;;: 22 ≤−+∈+−=→+∞ cbbsiRcbundecbxxxfRbf . Să se

demonstreze că ecuaţia f(f(x))=x admite soluţii 412 −≥−+⇔ cbb .

Soluţie : trebuie să ne asigurăm că se poate face compunerea ff şi atunci trebuie

să avem : [ ) fbf Im,: →+∞ şi atunci neapărat [ )+∞⊂ ,Im bf

[ ) ( )

=+∞∈∃∈= yxfiabxRyf ..,!Im .

Trebuie să arat că ( ) Rxbxf ∈∀≥ , .

Avem ( ) ( ) bbfbbccbbbfIP

≥⇒≥−=+−= 222 2 .

Arat că f strict crescătoare pe [ )+∞,b adică ( ) ( ) ( )bfyfxfbyx >>⇒>> .

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 022222 >−+−−=−+−=+−−=− bybxyxbyxyxbybxyxyfxf

Deci ( ) ( ) ⇒≥≥⇒≥ bbfxfbx [ )+∞⊂ ,Im bf

Deci are sens ff .

Căutăm soluţii ale ecuaţiei ( )( ) ( )( ) xxffxxff =⇔= printre soluţiile ecuaţiei

( ) ( ) 0122 =++−⇔= cxbxxxf are soluţii reale

( )41014 22 −≥−+⇔≥+−+=∆⇔ cbbcbbx q.e.d.

30. Fiind dată funcţia ( ) Qxxx

xxfprinQQf ∈+−

−=→ ;

32235: 2 . Să se det.

mulţimile : ( ){ }ZxfQxM ∈∈= | şi f(M).

18

Soluţie : ( ) ( ) mxfiaZmZxf =∈∃⇒∈ ..

mmxmxxmxx

x 32235322

35 22 +−=−⇒=

+−−

⇒

( ) ( ) 013522 2 =+++−⇒ mxmmx , ecuaţie în x care are soluţii 0≥∆⇔ x .

( )2;210

1431;10

1431

2016025420

0254202

2

−⊂

+−−−∈⇒

=∆≤−+⇔

≥+−−=∆

m

mm

mm

m

x

Cum { }1;0;1−∈⇒∈ mZm

i) m=-1 , Δx=9 ,

ii) m=0

iii) m=1

Se găseşte

−=∈ 2,

23,

53,0,,,,,

23Mx iar ( ) { }1,0,1−=Mf .

31. Fie ( ) .0;;: 2 ≠++=→ acbxaxxfRRf Să se arate că următoarele afirmaţii

sunt echivalente :

1. gfgfiaRRg +=→∃ ..:

2. 21

≤b .

32. Se consideră expresia ( ) ( ) ( ) Rmmyxymxmyxf ∈−+−−= ;125, 22 . Să se

det. m a.î. : ( ) 210, ≥∀≥∀≤ ysixyxf .

Soluţie : ( ) 2;1,0, ≥∀≥∀≤ yxyxf ( ) 0,0,2 >∀≤⇔

yx

yyxf .

Dar ( ) ( ) ( ) ( )ugyxgm

yxm

yxm

yyxf not

=

=−+−−= 125,

2

2

2

Rămâne să aflăm pe m a.î. ( ) ( ) 0,0125 2 >∀≤−+−− umumum

Analizând grafic problema sunt posibile două situaţii :

19

i) ( )

≤

<−=

<

00

02

0

ga

bxa

v şi ii)

≤∆

≥−=

<

0

02

0

abx

a

v

i) i) [ )5,0

0

051

05∈⇒

≤−

<−+

<−

m

mmmm

ii)

( ) ( )Φ∈⇒

≤−++=∆

≥−+

<−

m

mmmmmm

051

051

05

2

În concluzie [ )5,0∈m .

33. Fie 221 ..,...,,,,, bacsianiaRaaacba n ≤<∈ . Arătaţi că :

( )( ) ( )211

222

21 ...... nn aaabaaacna −−−−≤−−−−− .

Soluţie : arătăm pt. n=1 că dacă bacşia ≤<1 atunci cu 1aNOT=α avem de

arătat că ( )( ) ( )221 αα −≤−− bca .Ultima relaţie este echivalentă cu :

Rbaccba ∈∀−≥+− ααα ;2 22

Fie ( ) cbxaxxf +−= 22 cu ( )acb −=∆ 24 .

Avem a>1 şi Δ≥0 , rezultă că f are un minim egal cu a4∆

− :

( ) Rxbaca

baca

xf ∈∀−≥−

=∆

−≥ ,4

22

Deci ( ) 2bacf −≥α q.e.d.

Arătăm acum că Nn∈∀ cu n<a şi ac≤b2 avem :

( )( ) ( )211

222

21 ...... nn aaabaaacna −−−−≤−−−−−

Căutăm o funcţie de gradul al doilea al cărei discriminant să fie egal cu

( ) ( )( )222

21

221 ...... nn aaacnaaaab −−−−−−−−−− şi anume :

( ) ( ) ( ) ( )222

2121

2 ......2 nn aaacxaaabbxnaxf −−−−−−−−−±−=

Se poate transforma expresia lui f(x) astfel :

20

( ) ( )∑=

±−+±=n

kkaxcbxaxxf

1

22 2

Alegem semnul plus peste tot şi obţinem : ( ) ( )∑=

+−++=n

kkaxcbxaxxf

1

22 2

Funcţia are coef. dominant pozitiv şi arat că are Δ≥0.

Funcţia ( ) cbxaxxg ++= 22 are a>0 si Δ≥0 , reyult[ c[ are cel pu’in o rădăcină x0 ,

deci ( ) .00 =xg

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) 01

20

1

2000 ≤+−=+−= ∑∑

==

n

kk

n

kk axaxxgxf .

Deci Rx ∈∃ 0 a.î. ( ) 00 ≤xf şi cum a>0 rezultă datorită semnului funcţiei de gradul II

că nu putem avea Δ<0 . În concluzie Δ≥0 q.e.d.

34. Se consideră [ ] ( ) ZmQbaxxmxxfbaRf ∈∈++

+=→ ;,;

1;,: 2 .Să se

determine a,b, m a .î. f să fie surjectivă .

Soluţie : f- surjectivă [ ]baf ,Im =⇔ adică

[ ] Rxbay ∈∃∈∀ ,, a.î. ( ) yyxyxmxyxxmxyxf ++=+⇔=++

+⇔= 2

2 1 ceea ce este

echivalent cu faptul că ecuaţia în x : ( ) 012 =−+−+ myxyyx are cel puţin o soluţie

reală.

( ) ( ) ( ) byaymymyyyy ≤≤∀≤−−−⇔≥−−−=∆⇒ ,011223041 22

Deci inecuaţia ( ) byaymy ≤≤∀≤−−− ,011223 2 are coef. dominant +3 şi

( ) Rmmy ∈∀>+−=∆ ,012124 2 , înseamnă că [ ]21 , yyy∈ unde y1,y2 sunt valorile pt.

care avem egalitate.

Deci trebuie ca y1=a şi y2=b , cu a,b raţionale.Prin urmare ecuaţia trebuie să aibă

rădăcini raţionale.

( ) ..]312[4 2 ppmy =+−=∆⇒ ( ) 22 312 km =+−⇒

( ) ( )( ) 133131212312 22 ⋅=⋅==−++−⇔=−−⇒ mkmkmk

Se obţin soluţiile k=2, m=0 sau k=2, m=1.

21

31;1,0123

02

212 =

−==−+⇒==

yyyymk deci ( )

1;

31,1: 2 ++

=

−→

xxxxfRf

31;1,0123

12

212 −=

==−−⇒==

yyyymk deci ( )

11;1,

31: 2 ++

+=

−→

xxxxfRf

Bazându-ne pe relaţia ( ) 121 22 +=−+ nnn

35. Să se det. m real astfel încăt funcţia ( ) ( ) 1155;: 22 ++−=→ xmxmxfRRf

să aibă semn constant pe (-1;1).

36.Pentru ce numere reale m şi n avem :

?,.;0122 Ryxoriceptnymxyx ∈≥++++

37. Se consideră funcţia f:R→R , ( ) ( ) ( ) Rmmxmxmxf ∈+−++= ,121 2 .

Să se afle valorile lui m pt. care vârfurile parabolelor definite de funcţia dată se află

în interiorul ΔOAB (exclusiv laturile ) unde O,A,B au coordonatele : O(0,0) ;

A(1,0) ;B(1,1) .

38. Fie f un polinom de gradul II cu coeficienţi întregi pt. care vuZvu ≠∈∃ ,, astfel

ca ( ) vuf = şi ( ) uvf = . Să se demonstreze că ecuaţia ( ) xxf = are rădăcini raţionale.

Soluţie : ( ) ZcbZacbxaxxf ∈∈++= ,,,2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )vuabbvuavuvubvuvua

uvvubvuauvvfufuvfvuf

vu+−−=⇒=+++⇒=−+−++−⇒

⇒−=−+−⇒−=−⇒

==

≠

1010

22

Consider ecuaţia ( ) ( ) ( ) 010 2 =+−+⇔=−⇔= cxbaxxxfxxf

cu ( ) acb 41 2 −−=∆ şi trebuie să arat că Δ nu poate fi pătrat perfect.

( )( )( ) auvvuuvuaauvcvcbuau

vuab

++=+++−=⇒=++

+−−=

1

122

22

Deci ( )auvvuc

vuab++=

+−−= 1 care înlocuite în expresia lui Δ ne dă :

( ) Zkkvua ∈+=∆−+=∆ ,4,4 222

Observ că diferenţa a două pătrate consecutive este ( ) 121 22 +=−+ nnn deci un

număr impar şi atunci Δ nu poate fi pătrat perfect decăt dacă k=0 imposibil căci

vu ≠ .

111.Fie functia ( )2

2

3: , ,1

x mx nf R R f x m n Rx+ +

→ = ∈+

.Sa se determine m si n astfel

ca min max3 5f si f= = .

23