Introducción al método de Mínimos Cuadrados Ordinarios

Introducción a la EconometríaSesión 215/Enero/2007

Especificación de una relación Econométrica

inni uxxxY ...22110

Y X´sRegresando Regresores

Variable Explicada Variables Explicativas

Variable de Efecto Variable Causal

Variable Endógena Variable Exógena

Variable Objetivo Variable Control

¿Cómo varía Yi cuando Xi lo hace?

Relaciones Estadísticas vs. Relaciones Determinísticas

Econometría La relación de

dependencia entre las variables es estadística.

Esto implica que por lo menos la variables independiente tiene que ser estocástica (i.e. que tiene una distribución de probabilidad).

Física Clásica La relación entre las

variables es determinística. Las variables no son aleatorias (e.g. la velocidad de la luz es constante en la física clásica).

Ejemplo: Las leyes de Newton.

¿Cómo se observan estas relaciones?

Fuente: Stock & Watson, 2006

Var

iab

le D

epen

die

nte

Variable Independiente

Estimación por el método OLS (Ordinary Least Squares)

“El Método de Mínimos Cuadrados es el automóvil del análisis estadístico moderno; a pesar de sus limitaciones, accidentes ocasionales y contaminación incidental, éste y sus numerosas variaciones, extensiones y transportes relacionados cargan el grueso del análisis estadístico y todo el mundo los conoce y valora”

S.M. Stigler

Estimación por el método OLS (Ordinary Least Squares)

Ventajas del OLS:

•Simplicidad.

•Lenguaje común.

•La variable independiente tiene la menor varianza entre distintas estimaciones lineales.

•Minimiza el error cuadrado.

•Los estimadores tienen las propiedades deseables (BLUE).

•Coeficientes son estimadores insesgados.

•En muestras grandes, Y promedio y los coeficientes estimados siguen una distribución aproximadamente normal.

Supuestos del Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS)1. E(u|xi)=0

2. (Xi,Yi) están idéntica e independientemente distribuidas.

• Depende de la forma en que es seleccionada la muestra.

• Depende de la naturaleza de los datos (ej. Tiempo).

3. (Xi, ui) tienen un cuarto momento finito y distinto a cero.

• Necesidad matemática para permitir pruebas estadísticas (no permite valores extremos de x y u).

• Permite que la estimación insesgada de la varianza.

Ejemplo: producción y empleo

xbYb 10

Intercepto:

n

i

n

iii

n

ii

n

iii

xxx

xYYxb

1 1

2

111

Pendiente:

¿Qué relación hay entre el nivel de producción y el nivel de empleo?

iii uxY 10

¿Cuál es la interpretación de 0?

¿Cuál es la interpretación de 1?

Regresión Lineal

y = 3.8049x + 340.2

-

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

- 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500

Trabajadores

Pro

du

cció

n

(En

mile

s d

e U

nid

ades

)

Ejemplo: producción y empleo

Fuente: CIEN, 2006

Reflexión - OLS

Al realizar estimaciones utilizando OLS se minimiza el error cuadrático, pero: No significa que los residuos sean pequeños. No da fianza de la bondad de ajuste de la

regresión. No garantiza una relación real entre la

variable dependiente y la variable independiente.

No asegura que se cumplan sus supuestos.

Coeficiente de determinación

¿Qué porcentaje de la variación total en la variable independiente se debe a la variación en la variable dependiente?

n

i

n

iii

n

ii eYYYY

1 1

22

1

2 )ˆ()(

(Variación total) (Variación explicada) (Variación no explicada)

Coeficiente de determinación

Estadístico que describe la variación explicada como proporción de la variación total.

Sólo mide el grado de ajuste de los datos. OLS maximiza R2. Tomar decisiones respecto a R2 puede ser erróneo.

Objetivo es buscar las mejores relaciones entre variables.

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

YY

e

YY

YYR

1

2

1

2

1

2

1

2

2

)(1

)(

)ˆ(

Ejemplo: producción y empleo

Fuente: CIEN, 2006

Regresión Lineal

y = 3.8049x + 340.2

R2 = 0.3727

-

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

- 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500

Trabajadores

Pro

du

cció

n

(En

mile

s d

e U

nid

ades

)

¿Podemos determinar si existe o no una relación real entre Y & X? En otras palabras, ¿Podemos determinar

si B1 es distinto de cero? Distribución Muestral de B1. Prueba de hipótesis.

En caso sea distinto, ¿Qué valores puede tomar? Intervalos de confianza.

Objetivo: buscar la mejor especificación econométrica: Tanto teórica como empírica. Tomar en cuenta el error muestral.

Tareas Investigar (próxima sesión):

Valor esperado. Varianza. Covarianza. Correlación. Distribución muestral. Prueba de hipótesis. Intervalo de confianza. Valor P

Leer (primera comprobación): Naturaleza del análisis de regresión, Maddala: pp. 17-30. Elementos de la Econometría Aplicada, Cole: Capítulo 1 & 2. Antecedentes estadísticos, Gujarati: pp. 11-27 (sólo conceptos)

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