Econometria Semestre 2010 - mbarros.com 21 Gujarati Resumo p… · intuitivamente, se a...

181EconometriaSemestre2010.01 181

P r o f e s s o r a M n i c a B a r r o s ENCE

21.7.TESTESDERAIZUNITRIA

Considereomodelo:

Esteprocessoserumprocessoderaizunitria(umpasseioaleatrio)se=+1.Omodelodado

porestaequaoumAR(1)estacionriose| |



Porrazestericas,ostestesDickeyFuller (DF)trabalhamcomaequao (21.4.1)na formade

diferenas,ouseja:

Estaexpressopodeserescritademaneiraalternativacomo:

Onde=1.

Ento, ao invs de estimar a equao (21.4.1) (a equao em nvel), estimamos (21.9.2), a

equaoem1a.diferenaetestamosahiptesenula=0,queequivalentehiptesenula =

1(omodeloumpasseioaleatrio,asrienoestacionria).

Ostestesdehiptesepodemserescritosemtermosdecomo:

H0: =0(omodeloumpasseioaleatrio)versus

H1: < 0(omodeloumAR(1)estacionrio)

Noteque, se=0em (21.9.2),aexpressose torna: tttt uYYY == 1 ,ouseja,asriede1a.

diferenaestacionriaeasrieoriginalumpasseioaleatrio.

Comoestimaraequao(21.9.2)?

Crieasriedeprimeirasdiferenas tY efaasuaregresso(semconstante)emrelaosrie

original defasada de 1 instante, isto , Yt1. Verifique se o coeficiente angular estimado desta

regressozero.Seforestatisticamenteigualazero,conclumosque =1eYtumprocessono

estacionrio.Se



seguir.OtestebaseadonestaestatsticachamadodetesteDickeyFuller,ousimplesmenteteste

DF.

Note tambmque, se rejeitamosahiptesenulano testeDF,entoa srieestacionria,eo

testetusualvoltaaservlido.

Jvimosqueexistemdiversostiposdeprocessosderaizunitria.OtesteDFdeveseraplicado

levando em conta cada uma destas possibilidades, ou seja, deve considerar as seguintes

(DIFERENTES)hiptesesnulas:

ttt

ttt

ttt

uYtYuYY

uYY

+++=++=

+=

121t

11t

1t

..:ticadetermins tendnciade tornoem todeslocamen com aleatrio passeio um Y.:todeslocamen com aleatrio passeio um Y

.:aleatrio passeio um Y

Equaes(21.9.2,21.9.4e21.9.5)

Ametodologiaempregadano testeamesmaemqualquerumadasespecificaesanteriores,

masosvalorescrticosdotesteserodiferentes.

Emtodososcasosahiptesenula=0(srienoestacionria)eahiptesealternativa



Noteque,emqualquerdos casos,o testeunilateral.A rejeiodahiptesenulaocorrer,

intuitivamente,seaestatsticaTau formuitopequena (abaixodovalorcrtico),poisoteste

para=0contraahiptesedenegativo.

OsvalorescrticosdaestatsticaTaudotesteDFsodiferentesdependendodahiptesenulaque

estsendotestada.

ComofazerotesteDickeyFuller?

Estime(21.9.2),(21.9.4)ou(21.9.5)porMQO.

Encontre o coeficiente estimado de Yt1 na equao e dividao por seu desvio padro,

obtendoaestatsticaTau.

ConsulteastabelasdeDickeyeFuller.SeMENORqueovalorcrticotabelado,rejeitara

hiptese nula H0: = 0, o que indica que a srie NO POSSUI RAIZ UNITRIA (

ESTACIONRIA).

Se MAIORqueovalorcrticotabelado,NOREJEITAMOSAHIPTESENULAH0: =0,

oquesignificaqueasrieNOESTACIONRIA.

Exemplosriedeexportaesbrasileiras

Suponha que desejamos analisar a srie trimestral de exportaes em milhes de dlares

mostradanoinciodestecaptulo.

Ocorrelogramamostradoaseguir:



Jobservamosnoinciodocaptuloqueolentodecaimentodaautocorrelaosugerequeasrie

noestacionria.VamostestarestaconjeturaatravsdotesteDFemsuastrsespecificaes

(21.9.2),(21.9.4)e(21.9.5).OtestefoirealizadonosoftwareEviewsverso4.1.

1)TesteDFhiptesedepasseioaleatrioEquao(21.9.2)

Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.180364 0.7352 Test critical values: 1% level -2.603423

5% level -1.946253 10% level -1.613346

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 16:53 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) 0.003849 0.021341 0.180364 0.8575

R-squared -0.011226 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared -0.011226 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4284.248 Akaike info criterion 19.57954Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz criterion 19.61414Log likelihood -596.1758 Durbin-Watson stat 1.907662

Aequaoestimada:

Yt=+0,003849.Yt1

Analogamente ao exposto em Gujarati (p.655), este modelo deve ser descartado, pois o

coeficiente de Yt1 positivo, ou seja, = 1 > 0, o que indicaria que > 1, e a srie de

exportaesseriaexplosiva.

Ovalordaestatstica,nestecaso,+0.1803.Ovalorcrticoaonvel5%1,946.Como > valor

crtico,norejeitamosahiptesenuladeraizunitria, indicandoqueasrienoestacionria

(naverdade,dasconsideraesanteriores,omodeloindicaumcomportamentoexplosivo).



2)TesteDFhiptesedepasseioaleatriocomdeslocamentoEquao(21.9.4)


t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.134474 0.6967 Test critical values: 1% level -3.542097

5% level -2.910019 10% level -2.592645



Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) -0.049221 0.043387 -1.134474 0.2612

C 1562.810 1115.212 1.401357 0.1663R-squared 0.021348 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared 0.004761 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4250.248 Akaike info criterion 19.57958Sum squared resid 1.07E+09 Schwarz criterion 19.64879Log likelihood -595.1772 F-statistic 1.287031Durbin-Watson stat 1.869506 Prob(F-statistic) 0.261184

Aequaoestimada:

Yt=1568,810,0492.Yt1

OvalordaestatsticaTau1,13,eovalorcrticodaestatsticaDickeyFulleraonvel5%2,91.

Assim,no rejeitamosahiptesenulade raizunitria,ou seja,a srienoestacionria. Isso

ocorretambmaonvel1%,poisaestatsticaDickeyFulleraonvel1%3,54.

Nestemodelo,ovalorestimadode10,043387=0,9566.



3)TesteDFhiptesedepasseioaleatriocomdeslocamentoetendnciaEquao(21.9.4)



5% level -3.485218 10% level -3.170793




C 991.3335 1075.672 0.921595 [email protected](1994:4) 170.7898 61.15799 2.792599 0.0071

R-squared 0.137341 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared 0.107594 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4024.685 Akaike info criterion 19.48621Sum squared resid 9.39E+08 Schwarz criterion 19.59002Log likelihood -591.3294 F-statistic 4.616973Durbin-Watson stat 1.727489 Prob(F-statistic) 0.013783

Aequaoestimada:

Yt=991,33+170,79.t0,2597.Yt1

OvalordaestatsticaTau3,025,eosvalorescrticosdaestatsticaDickeyFulleraosnveis1%e

5%so,respectivamente, 4,12e3,48.Logo,aestatsticaTaumaiorqueosvalorescrticose

norejeitamosahiptesenuladeraizunitria,ouseja,asrienoestacionria.Nestemodelo,

ovalorestimadode10,2597=0,7403,bemdiferentedoencontradonomodeloanterior.

NotetambmqueoscoeficientesdatendnciaedeYt1sosignificantes,masaconstanteno.

Assim,talvezaespecificaomaiscorretadomodelonestecasoseja:Yt=.t+.Yt1

importantetambmverificarseasriediferenciadaestacionriaouno,poisissoindicariaque

oprocessoI(2),enoI(1),ouseja,queaordemdeintegraodasriemaisalta.

Repetimosaanlisecomasriede1a.diferenadasexportaes.



4)TesteDFhiptesedepasseioaleatrioparaasriede1a.diferenadasexportaes

VejaabaixocomofazerotestenoEviews.

Na especificaomostradaacimatestamosahipteseda1a.diferenadasrieserumprocesso

I(2),ouseja, ttt uYY += 1t .:aleatrio passeio um Y ondeagoraYtasrieda1a.diferena.

Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -1.946348 10% level -1.613293


Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS,2) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 19:42 Sample(adjusted): 1995:2 2010:1 Included observations: 60 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(EXPORTS(-1)) -0.952307 0.130131 -7.318054 0.0000

R-squared 0.475806 Mean dependent var -7.262133Adjusted R-squared 0.475806 S.D. dependent var 5955.789S.E. of regression 4312.065 Akaike info criterion 19.59275Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz criterion 19.62765Log likelihood -586.7824 Durbin-Watson stat 1.925618


5%so,respectivamente,2,60e1,95.Logo,aestatsticaTauMENORqueosvalorescrticose

REJEITAMOSahiptesenuladeraizunitria,ouseja,asrieda1a.diferenaestacionria.

Indicaqueotesteestsendofeitona1a.diferenadasrie

IndicaqueestamosfazendootesteDF(enooADF),ouseja,nmerodelags=0nasdiferenasdoladodireitodaequao



5)TesteDFhiptesedepasseioaleatriocomdeslocamentoparaasriede1a.diferenadas

exportaes

VejaoquadroaseguirparaverificarcomoseimplementaotestenoEviews:

Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -2.910860 10% level -2.593090


Novamente, a estatstica Tau (7,35) inferior aos valores crticos a 1 e 5%, e rejeitamos a

hiptesenula.Assimasrieda1a.diferenaestacionria.

6)TesteDFhiptesedepasseioaleatriocomdeslocamentoetendnciaparaasriede1a.

diferenadasexportaes

Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -3.486509 10% level -3.171541


Novamente, a estatstica Tau (7,28) inferior aos valores crticos a 1 e 5%, e rejeitamos a

hiptesenula.Assimasrieda1a.diferenaestacionria.



TesteDickeyFulleraumentado(testeADF)

OtesteoriginaldeDickeyeFullersupequeoprocessoytumAR(1)epodeserestendidopara

incorporaraomodeloapresenadenovoslagsdavarivelYt.IssolevaaoschamadostestesADF

(AugmentedDickeyFullerTests),cujaaplicaosegue,emlinhasgerais,omesmomecanismoque

otesteDickeyFulleroriginal.

O grande problema na aplicao dos testes ADF talvez seja, exatamente, a especificao de

quantas defasagens incluir na equao a ser testada,ou seja, aordemdomodeloAR(p) a ser

estimadoparaYt.

OtesteADFconsisteemestimararegresso:

OndetumrudobrancoeYt1=Yt1Yt2(analogamenteparaoutrasdefasagens).

Onmerodedefasagensaincluirnaequao(21.9.9),emgeral,determinadoempiricamente.A

idia incluirumnmerosuficientedetermosparaqueoerronoapresentecorrelaoserial.

Umaestratgiaescolherumnmerosuficientementegrandededefasagens,eusaros termos

atadefasagemmaisaltasignificante.Porexemplo,nocasodedadosmensais,ajusteomodelo

com um nmero de defasagensm > 12. Uma outra idia minimizar algum um critrio de

informao, como AIC ou BIC, para a escolha do nmero de defasagens. O Eviews usa esta

estratgia.

Uma regra emprica sugerida por Schwert (1989) escolher m igual parte inteira de

4/1

10012 N ondeNotamanhodasrie.Porexemplo,seN=100observaes,issonosdariam

=12lags,seN=200,teramosm=int(14,27)=14lags.

No testeADF, ahiptesenula aindaH0: = 0 eos valores crticos soosmesmosdo teste

DickeyFulleroriginal.



Exemplosriedeexportaesbrasileirascontinuao

J vimos que a srie de exportaes I(1) e omodelo que parecemais adequado o com

tendnciaedeslocamento,dadopelaequao(21.9.5).Apartirdestemodeloadicionamosnovos

lagseexecutamosotesteADF.Aespecificaodonmerodelagsserfeitaautomaticamente

peloEviews(vejaafiguraaseguir).

Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)


5% level -3.487845 10% level -3.172314




D(EXPORTS(-1)) 0.125435 0.105485 1.189124 0.2396D(EXPORTS(-2)) -0.597411 0.106063 -5.632601 0.0000





Aequaoestimada:

Yt=493,59+111,92.t0,1474.Yt1+0,1254. Yt10,5974. Yt2


5%so,respectivamente, 4,12e3,48.Logo,aestatsticaTaumaiorqueosvalorescrticose

norejeitamosahiptesenuladeraizunitria,ouseja,asrienoestacionria.

Neste modelo, o valor estimado de 1 0,1474 = 0,8526, bem diferente dos modelos

anteriores.

Crticasaostestesderaizunitria

Antesdediscutirosproblemas relativosaestes testes, lembresedasdefiniesde tamanhoe

potnciadeumteste.

Tamanhodeumteste()

Otamanhodeumteste(ounveldesignificnciadoteste)asuaprobabilidadedeerrodo

tipoI,ouseja,aprobabilidadederejeitarahiptesenulaquandoelaverdadeira.Nocaso

dostestesADF,aprobabilidadededizerqueasrieestacionriaquando,naverdade,

elanoestacionria.

Potnciadeumteste

Paraumtestedehiptesesgenricoarespeitodeumparmetro,afunopotnciaa

probabilidadederejeitarahiptesenulaquandoovalordoparmetro, escritaK().Um

errodo tipo II cometidoquando rejeitamosahiptesenulaeela falsa,ou seja,o

mximovalorda funopotnciaquandoH0 falsa.Apotnciadoteste,porsuavez,

definida como um menos o erro do tipo II. Assim, idealmente, gostaramos que a

potnciadotestefosseamaiorpossvel,poiselasignificarejeitarH0quandoH0falsa.

No casodos testesADF,altapotncia significaaltaprobabilidadededizerquea srie

estacionria (i.e, rejeitar H0) quando H0 falsa, isto , quando a srie realmente

estacionria.



AmaioriadostestesDickeyFullertembaixapotncia,isto,tendeaaceitarahiptesede

raiz unitria quando ela falsa.Ou seja,os testes encontramuma raizunitriamesmo

quandoasrienoatem.

21.8.COINTEGRAO

Em geral, a regresso de uma srie no estacionria em outra produz uma regresso espria.

EngleeGranger (1987)mostraramqueexistem situaesemqueduas (oumais)variveisno

estacionrias do tipo random walk podem ser empregadas diretamente num modelo de

regresso.Elesnotaramqueumacombinao lineardeduasoumaissriesnoestacionrias

podeserestacionria.Setalcombinao linearestacionriaexiste,assriesnoestacionrias

so ditas cointegradas, e esta combinao linear chamada de equao de cointegrao,

podendoserinterpretadacomoumarelaodeequilbriodelongoprazoentreasvariveis.

Porexemplo,sejamYteXtdoispasseiosaleatrios,esuponhaqueexistaut=Yt.Xtestacionria.

Nestecaso,YteXtsochamadasdecointegradase oparmetrodecointegrao,quepode

ser estimado por uma regresso por mnimos quadrados ordinrios de Yt em Xt. Um ponto

importante : duas sries cointegradas requerem, obrigatoriamente, a mesma ordem de

diferenciaoparaalcanaraestacionariedade.Porexemplo,seYt I(2)eXtumcandidatoa

cointegrarcomYt,entoobrigatoriamenteXtdeveserI(2).

Opropsitodostestesdecointegraodeterminarseumconjuntodesriesnoestacionrias

ounocointegrado.Emlinhasgerais,cointegraosignificaqueexisteumcomovimentoentre

variveis que exibem tendncia. Duas variveis cointegradas apresentam uma relao de

equilbriodelongoprazo.

Considere uma srie temporal Yt no estacionria, que se torna estacionria aps a aplicao

sucessivadeddiferenas.NestecasodizemosqueYt integradadeordemd,edenotamosYt~

I(d). Sries integradas possuem uma componente de tendncia estocstica, e a aplicao de

choquesaestassriesresultaemalteraespermanentesnasmesmas.



A identificao do grau apropriado de diferenciao (d) normalmente feita atravs da FAC

(funo de autocorrelao) de Yt. Aplicamse diferenas sucessivas at que a FAC decaia com

suficienterapidez.Esteprocedimentotem,noentanto,certograudesubjetividade,poisoanalista

deve determinar se o decaimento da FAC, aps um dado nmero de diferenas, j

suficientemente rpido para que a srie diferenciada seja considerada estacionria. Um

procedimentoalternativotestaraordemdeintegraodeYt,oqueconstituioschamadostestes

deraizunitria,comooDickeyFullereoADF.Onomedostestesderivado fatodonmerode

razessobreocrculounitrio(razesunitrias)corresponderaonmerodediferenasnecessrio

paratornarumasrieI(d)estacionria.

Segundo Tsay (2002), um procedimento adequado na modelagem de sries temporais no

estacionriasreconheceraordemdeintegraodassriesdeinteresseeidentificarummodelo

ARMA para os resduos. Estes, naturalmente, devem ser estacionrios, portanto sua

autocorrelaodevedecairrapidamente.AmodelagemARMAdosresduosnecessriapoisao

ajustarmos ummodelo de regresso a duas sries temporais, freqentemente os resduos do

modelo original ainda apresentam correlao serial. Esta correo posterior assegura que os

resduoscorrigidosserodescorrelatados.

Cointegraonaprtica

SuponhaquevocobservouqueduassriesYteXtsoI(1).FaaaregressoporMQOdeYtemXt

eobtenhaosresduos.Isto:

ttt uXY ++= .

Teste a estacionariedade dos resduos. Se eles forem I(0), ou seja, estacionrios, Yt e Xt

cointegram,aequaoobtidaporMQOarelaodecointegraoeostestesteFusuaispodem

ser aplicados sem problemas. A equao acima chamada de regresso cointegrante e o

parmetrooparmetrodecointegrao.

Exemploimportaeseexportaesbrasileiras

JvimosqueasriedeexportaesI(1),epossivelmenteamelhoreespecificaoparaelatem

driftetendnciadeterminstica.Vamosverificarseasriede importaestambmI(1),pois

issoabreapossibilidadedasduassriescointegrarem(lembresequeseelastiveremordensde

integraodiferentes,noirocointegrar).



OstestesDickeyFullerparaasriedeimportaessomostradosaseguir:

1)TesteDFhiptesedepasseioaleatrioEquao(21.9.2)

Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.648838 0.8537 Test critical values: 1% level -2.603423

5% level -1.946253 10% level -1.613346

*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:05 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) 0.012995 0.020028 0.648838 0.5189

R-squared -0.011190 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared -0.011190 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3259.039 Akaike info criterion 19.03251Sum squared resid 6.37E+08 Schwarz criterion 19.06711Log likelihood -579.4916 Durbin-Watson stat 1.535624

Norejeitamosahiptesenula,asrieNOESTACIONRIA.Notetambmocoeficientepositivo

deYt1,queindicariaqueasrietemcomportamentoexplosivo.

2)TesteDFhiptesedepasseioaleatriocomdeslocamentoEquao(21.9.4)

Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -2.910019 10% level -2.592645


Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:14 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) -0.028652 0.044942 -0.637525 0.5262

C 969.1208 936.3589 1.034989 0.3049



R-squared 0.006842 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared -0.009992 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3257.107 Akaike info criterion 19.04730Sum squared resid 6.26E+08 Schwarz criterion 19.11651Log likelihood -578.9428 F-statistic 0.406438Durbin-Watson stat 1.499999 Prob(F-statistic) 0.526250

Norejeitamosahiptesenula,asrieNOESTACIONRIA.

3)TesteDFhiptesedepasseioaleatriocomdeslocamentoetendnciaEquao(21.9.5)

Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -3.485218 10% level -3.170793


Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:16 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) -0.128472 0.065743 -1.954147 0.0555



Novamente,norejeitamosahiptesenula,asrieNOESTACIONRIA.

Assim,comoassriessoambasI(1),podemostentarfazeraregressodeumavarivelnoutra.

Nestecasotentaremosexplicarexportaesatravsdeimportaes.



Omodeloajustado:

Dependent Variable: EXPORTS Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:03 Sample: 1994:4 2010:1 Included observations: 62

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -773.9056 1288.245 -0.600744 0.5503

IMPORTS 1.237658 0.060675 20.39826 0.0000R-squared 0.873973 Mean dependent var 22706.81Adjusted R-squared 0.871873 S.D. dependent var 12722.75S.E. of regression 4554.092 Akaike info criterion 19.71717Sum squared resid 1.24E+09 Schwarz criterion 19.78578Log likelihood -609.2322 F-statistic 416.0889Durbin-Watson stat 0.286903 Prob(F-statistic) 0.000000

Nota: vide Gujarati (pp.660661) nas regresses cointegrantes o valor da DurbinWatson

tende a ser pequeno e ele prope um teste baseado na hiptese d = 0 para verificar se as

variveissocointegradas.

Note o altssimo valor do R2 e o baixssimo valor daDurbinWatson. Isso poderia indicar uma

regressoespria.Mas, jsabemosqueasduassriesso I(1),eassimexisteapossibilidadede

queestaregressosejaverdadeira.Precisamosexaminarosresduosdestaregressoeverificar

sesoestacionrios.

Null Hypothesis: RESID_REGR_EXPORT_IMPOR has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -1.946253 10% level -1.613346

*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_REGR_EXPORT_IMPOR) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:28 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. RESID_REGR_EXPO

RT_IMPOR(-1) -0.129668 0.068734 -1.886520 0.0641

R-squared 0.054975 Mean dependent var -79.45504Adjusted R-squared 0.054975 S.D. dependent var 2438.006S.E. of regression 2370.043 Akaike info criterion 18.39546Sum squared resid 3.37E+08 Schwarz criterion 18.43007Log likelihood -560.0616 Durbin-Watson stat 2.056164



Rejeitaseahiptesenuladeque=0aonvel5,7%,eportantopodemossuporque,paraeste

nvela srieestacionria.Notequeno rejeitamosahiptesenulanosnveis1%e5% (mas

rejeitamosnonvel10% onvelde significnciado teste5,7% comomostradono incioda

tabela).

Assim,podemosconcluirquearegressoentreexportaeseimportaesnoespria,e

podemosescrever:

EXPORTt=773,9056+1,2377*IMPORTt

Exemplo2IPCAeSELIC

NesteexemploanalisamosaexistnciaderazesunitriasnassriesmensaisdoIPCA(inflao)e

SELIC(taxabsicadejuros)noperodoentrejaneirode1995emaiode2010.Ogrficodasduas

sriesmostradoaseguir.

-1

0

1

2

3

4

5

96 98 00 02 04 06 08

SELIC IPCA

SELIC E IPCA (VARIAO % MENSAL)

Oscorrelogramasdasduassriesestonasprximasfiguras.



1)CorrelogramadeIPCA(variaopercentualmensal)

2)CorrelogramadeSELIC(variaopercentualmensal)

Oscorrelogramassugeremqueambasassriesnosoestacionrias.



3)TestederaizunitriaparaSELIC

3.1)TesteDFparaaSELICusandoaespecificaodepasseioaleatrio

Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -1.942564 10% level -1.615553


Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:32 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. SELIC(-1) -0.018833 0.009934 -1.895728 0.0596

R-squared 0.015702 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.015702 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.235577 Akaike info criterion -0.048142Sum squared resid 10.15582 Schwarz criterion -0.030669Log likelihood 5.429048 Durbin-Watson stat 2.185729

EstatsticaTau= 1,896,queestentreosvalores crticos5%e10%.Naverdade (vide tabela),

rejeitaseahiptesenula=0comnvel5,7%.Ouseja,comnvel5,7%(emaior)podesedizer

queasrieestacionria(masnocomnveismenoresque5,7%).

3.2)TesteDFparaaSELICusandoaespecificaodepasseioaleatriocomdeslocamento

Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -2.877099 10% level -2.575143





Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

SELIC(-1) -0.064982 0.023456 -2.770365 0.0062C 0.088866 0.041005 2.167193 0.0315

R-squared 0.040464 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.035191 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.233233 Akaike info criterion -0.062751Sum squared resid 9.900334 Schwarz criterion -0.027806Log likelihood 7.773099 F-statistic 7.674924Durbin-Watson stat 2.140704 Prob(F-statistic) 0.006180

Estatstica Tau = 2,77, que est entre os valores crticos 5% e 10%.Na verdade (vide tabela),

rejeitaseahiptesenula=0comnvel6,5%.Ouseja,comnvel6,5%(emaior)podesedizer

queasrieestacionria.

3.3) Teste DF para a SELIC usando a especificao de passeio aleatrio com deslocamento e

tendncia

Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -3.434433 10% level -3.141157



Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. SELIC(-1) -0.134727 0.036024 -3.739908 0.0002

C 0.315645 0.098506 3.204309 [email protected](1995:01) -0.001255 0.000497 -2.524400 0.0124

R-squared 0.073098 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.062856 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.229864 Akaike info criterion -0.086484Sum squared resid 9.563621 Schwarz criterion -0.034066Log likelihood 10.95649 F-statistic 7.137040Durbin-Watson stat 2.066120 Prob(F-statistic) 0.001039

Rejeitaseahiptesenulaanvel2,2%.



Em todos as especificaes, ahiptesenula foi rejeitada comnvel abaixode10%,eportanto

conclumosqueasrieestacionria,ouseja,noapresentaraizunitria.

4)TestederaizunitriaparaIPCA

4.1)TesteDFparaaIPCAusandoaespecificaodepasseioaleatrio

Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -1.942564 10% level -1.615553


Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:44 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.124316 0.033927 -3.664179 0.0003

R-squared 0.068051 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.068051 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.371745 Akaike info criterion 0.864205Sum squared resid 25.28962 Schwarz criterion 0.881677Log likelihood -78.50685 Durbin-Watson stat 2.077836

Ahiptesenulaclaramenterejeitadaasrieestacionria.

4.2)TesteDFparaoIPCAusandoaespecificaodepasseioaleatriocomdeslocamento

Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -2.877099 10% level -2.575143


Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:46 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05



Included observations: 184 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.272889 0.049658 -5.495379 0.0000

C 0.159234 0.040112 3.969725 0.0001R-squared 0.142315 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.137603 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.357605 Akaike info criterion 0.792033Sum squared resid 23.27438 Schwarz criterion 0.826978Log likelihood -70.86708 F-statistic 30.19919Durbin-Watson stat 1.943289 Prob(F-statistic) 0.000000

Novamente,nestaespecificaoconclumosquenohraizunitriaeasrieI(0).

4.3) Teste DF para o IPCA usando a especificao de passeio aleatrio com deslocamento e

tendncia

Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -3.434433 10% level -3.141157


Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:47 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.297889 0.052202 -5.706429 0.0000

C 0.247059 0.070754 3.491780 [email protected](1995:01) -0.000785 0.000522 -1.504349 0.1342

R-squared 0.152907 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.143546 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.356370 Akaike info criterion 0.790477Sum squared resid 22.98697 Schwarz criterion 0.842895Log likelihood -69.72392 F-statistic 16.33592Durbin-Watson stat 1.919151 Prob(F-statistic) 0.000000

NovamenterejeitamosahiptesenulaeconclumosqueasrieI(0).



5)ModeloparaSELICcomofunodoIPCA

OfatodasduassriesseremestacionriasnospermiteentofazeraregressodeSELICemIPCA

semqueestaregressosejaespria.

Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:50 Sample: 1995:01 2010:05 Included observations: 185

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.158634 0.071328 16.24383 0.0000

IPCA 0.697375 0.088474 7.882287 0.0000R-squared 0.253459 Mean dependent var 1.582525Adjusted R-squared 0.249379 S.D. dependent var 0.735616S.E. of regression 0.637326 Akaike info criterion 1.947681Sum squared resid 74.33173 Schwarz criterion 1.982495Log likelihood -178.1605 F-statistic 62.13045Durbin-Watson stat 0.275397 Prob(F-statistic) 0.000000

Osresduosdestaregressosoestacionrios,comomostraotestederaizunitriaabaixo(fizo

testeapenasparaaespecificaodepasseioaleatrio).

Null Hypothesis: RESID_1 has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)


5% level -1.942564 10% level -1.615553


Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_1) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 18:38 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. RESID_1(-1) -0.142425 0.037474 -3.800640 0.0002

R-squared 0.072414 Mean dependent var -0.009450Adjusted R-squared 0.072414 S.D. dependent var 0.334323S.E. of regression 0.321991 Akaike info criterion 0.576834Sum squared resid 18.97311 Schwarz criterion 0.594306Log likelihood -52.06871 Durbin-Watson stat 2.102549

Assim, concluisequepodemosusar a variaomensaldo IPCApara tentarexplicara variao

mensaldaSELIC.



A regresso no espria, mas a estatstica de DurbinWatson muito baixa, indicando a

existnciade correlao serialde1aordemnos resduos.Vamos tentarmelhorar isso incluindo

algunslagsdeIPCAnaespecificaodomodelo.

Estemodelofoiajustado,masnogarantireiquetimo,ouomelhor,sobqualquercritrio.Os

resduos parecem ter um comportamento bastante bom, e oO ajuste da regressomelhorou

sensivelmente(emtermosdeR2, logverossimilhana,somadequadradosdosresduos,critrios

AICeSchwarz).

Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 20:12 Sample(adjusted): 1996:01 2010:05 Included observations: 173 after adjusting endpoints


IPCA 0.022309 0.017261 1.292420 0.1980IPCA(-1) 0.064427 0.020364 3.163795 0.0019IPCA(-2) 0.059989 0.016710 3.590057 0.0004IPCA(-9) 0.207167 0.011750 17.63117 0.0000IPCA(-12) 0.096422 0.011696 8.244047 0.0000

R-squared 0.836087 Mean dependent var 1.439994Adjusted R-squared 0.831179 S.D. dependent var 0.178938S.E. of regression 0.073522 Akaike info criterion -2.348403Sum squared resid 0.902711 Schwarz criterion -2.239040Log likelihood 209.1369 F-statistic 170.3664Durbin-Watson stat 2.087612 Prob(F-statistic) 0.000000

Notequeo IPCAnomesmo instantenofoiconsideradosignificante,eentodecidiexcluilodo

modelo,resultandonomodeloaseguir:

Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 20:15 Sample(adjusted): 1996:01 2010:05 Included observations: 173 after adjusting endpoints


IPCA(-1) 0.079107 0.016935 4.671122 0.0000IPCA(-2) 0.058429 0.016699 3.498877 0.0006IPCA(-9) 0.208055 0.011753 17.70182 0.0000IPCA(-12) 0.098622 0.011595 8.505857 0.0000

R-squared 0.834447 Mean dependent var 1.439994Adjusted R-squared 0.830506 S.D. dependent var 0.178938S.E. of regression 0.073668 Akaike info criterion -2.350011Sum squared resid 0.911740 Schwarz criterion -2.258876Log likelihood 208.2760 F-statistic 211.6957Durbin-Watson stat 2.072298 Prob(F-statistic) 0.000000



Houveuma ligeiramelhoraem termosdoBICeAIC (quepenalizamonmerode variveisno

modelo)euma ligeirapioraem termosda logverossimilhana.Agrandevantagemqueeste

modelopodeserusadoparaprevisoumpassofrenteseconhecermosavariaodoIPCAno

mstpodemospreveravariaodaSELICnomst+1.

O prximo grfico mostra a evoluo temporal dos resduos e o grfico seguinte o seu

correlogramaelesparecemestacionariedadedosresduos!

Resduos,SELICrealeSELICajustadapelomodelo

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

.4

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Residual Actual Fitted

CorrelogramadosResduos



Eisalgunscomentrios.

ExistemdiversasquebrasestruturaisnasriedavariaodaSELIC,pontosemqueataxa

subiu abruptamente a incluso de variveis dummy para levar em conta estas

mudanasradicaisseriaumaboaidia;

AsduassriessoestacionriasdeacordocomostestesDF,maspodehaverproblemas

nassuasvarincias.

Naverdade,eraatesperadoqueestassries(IPCAeSELIC)noapresentassemtendncia

claraparacimaouparabaixo,poiselassoasvariaesmensais,tantoadSELICquantodo

IPCA, ou seja, como se pegssemos um nmero ndice e fizssemos a srie das

diferenas.

Seriatentadormodelarasduassriesnasescalasdolog,masoIPCAtevevariaonegativa

empelomenosummsnoperodo,oqueimpedeousodolog.Semprepoderamostentar

ummodelodotipolog(k+SELIC)emlog(k+IPCA)ondeksuficienteparaqueIPCAnoseja

negativoemqualquerms,masachoqueissodificultaacompreensodomodelo.

Finalmente, se fosse fcil modelar isso, EU seria milionria (e vocs tambm, a esta

altura...),eoBACENnosofreriatantascrticasporelevarataxade juros,supostamente

nahoraerrada...

Cointegraoeomecanismodecorreodeerro

Considerenovamenteomodeloparaexportaescomofunodasimportaes.Jvimosqueas

duassriessoI(1)eexisteumaregressocointegrante.

Considereagoraoseguintemodelonasprimeirasdiferenas:

EXPORTt=0+1*IMPORTt+2*ut1+t

Ondetumerroaleatrioeut1oerrodaequaocointegranteDEFASADOemuminstante,

ouseja,oerrodaequaoemnvelDEFASADOemuminstante,isto:

12111 = ttt IMPORTEXPORTu

Aequaoemdiferenasacimachamadadeequaodomecanismodecorreodeerro.Ela

dizque:



Esperasequeocoeficiente2dotermodecorreodeerrosejaNEGATIVOparagarantir

o retorno ao ponto de equilbrio.O valor deste coeficiente indica a rapidez com queo

equilbrioalcanado.

EXPORTdependedeIMPORTedotermodeerrodeequilbrio;

Seut1>0e IMPORT=0.EntoEXPORTt1estarACIMAdo seu valordeequilbrioe

comearacairnoperodoseguinteparacorrigiroerrodeequilbrio;

Analogamente, se ut1

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