ECE 598 JS Lecture 07 Nonideal Conductors andjsa.ece.illinois.edu/ece598js/Lect_07.pdf · For good...

38
Copyright © by Jose E. SchuttAine , All Rights Reserved ECE 598JS, Spring 2012 1 ECE 598 JS Lecture 07 Nonideal Conductors and Dielectrics Spring 2012 Jose E. Schutt-Aine Electrical & Computer Engineering University of Illinois [email protected]

Transcript of ECE 598 JS Lecture 07 Nonideal Conductors andjsa.ece.illinois.edu/ece598js/Lect_07.pdf · For good...

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20121

ECE 598 JS Lecture ‐ 07Nonideal Conductors 

and DielectricsSpring 2012

Jose E. Schutt-AineElectrical & Computer Engineering

University of [email protected]

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20122

σ: conductivity of material medium (Ω‐1m‐1)

HEt

μ∂∇× = −

EH Jt

ε∂∇× = +

∂J Eσ=

Material Medium

E j Hωμ∇× = −

H J j Eωε∇× = +

( ) 1H E j E E j j Ejσσ ωε σ ωε ωεωε

⎛ ⎞∇× = + = + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 1E Ejσω μεωε

⎛ ⎞∇ = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠1

jσε εωε

⎛ ⎞→ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

or

since then

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20123

Wave in Material Medium2 2 21E E E

jσω με γωε

⎛ ⎞∇ = − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

γ is complex propagation constant

2 2 1jσγ ω μεωε

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1j jjσγ ω με α βωε

= + = +

α: associated with attenuation of wave

β: associated with propagation of wave

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20124

Wave in Material Medium

ˆ ˆz z j zo oE xE e xE e eγ α β− − −= =

1/22

1 12

με σα ωωε

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

decaying exponentialSolution:

1/22

1 12

με σβ ωωε

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

ˆ z j zoEH y e eα β

η− −=

jj

ωμησ ωε

=+

Magnetic field

Complex intrinsic impedance

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20125

Skin Depth

1δα

=

The decay of electromagnetic wave propagating into a conductor is measured in terms of the skin depth

2δωμσ

=For good conductors:

ˆ ˆz z j zo oE xE e xE e eγ α β− − −= = Wave decay

Definition: skin depth δ is distance over which amplitude of wave drops by 1/e.

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20126

Skin Depth

I VCz t

∂ ∂− =

∂ ∂δ

e-1Wave motion

For perfect conductor, δ = 0 and current only flows on the surface

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20127

DC Resistance

dclRwtσ

= l: conductor lengthσ: conductivity

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20128

AC Resistance

2 /acl l l fRw ww

πμσ δ σσ ωμσ

= = =

l: conductor lengthσ: conductivityf: frequency

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 20129

Frequency-Dependent Resistance

1Jδ =

0

z JJ e dz Jα δα

∞− = =∫

Approximation is to assume that all the current is flowing uniformly within a skin depth

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201210

2 2

2 2

I ICLz t

∂ ∂=

∂ ∂ 1ac

fRw

π μσ

=

1dcR

wtσ=

Resistance is ~ constant when δ >t

Resistance changes with f

Frequency-Dependent Resistance

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201211

, 6ac groundl fRh

πμσ

Reference Plane Current

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201212

εr

H. A. Wheeler, "Formulas for the skin effect," Proc. IRE, vol. 30, pp. 412-424,1942

Skin Effect in Microstrip

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201213

/ /y jyoJ J e eδ δ− −=

/ /

0 1y jy o

oJ wI J we e dy

jδ δ δ∞

− −= =+∫

oo o o

JE J Eσσ

= ⇒ =

oo

J DV E Dσ

= =

Current density varies as

Note that the phase of the current density varies as a function of y

The voltage measured over a section of conductor of length D is:

Skin Effect in Microstrip

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201214

( ) ( )11o

skino

jJ DV DZ j fI J w w

π μρσ δ

+= = = +

1ρσ

=

skin skinDR X fw

π μσ= =

The skin effect impedance is

where

Skin Effect in Microstrip

is the bulk resistivity of the conductor

skin skin skinZ R jX= +

with

Skin effect has reactive (inductive) component 

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201215

internalac skinR RL

ω ω= =

The internal inductance can be calculated directly from the ac resistance

Internal Inductance

Skin effect resistance goes up with frequency

Skin effect inductance goes down with frequency

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201216

When the tooth height is comparable to the skin depth, roughness effects cannot be ignored

Surface Roughness

Copper surfaces are rough to facilitate adhesion to dielectric during PCB manufacturing

Surface roughness will increase ohmic losses

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201217

Hammerstad Model

( ) whenwhen

H sH

dc

K R f tR fR t

δδ

⎧ <= ⎨

≥⎩

( )

( )

( )

when2

when2

Hexternal

HH t

externalt

R fL t

fL f

R fL t

δ

δπ

δπ

=

=

⎧+ <⎪

⎪= ⎨⎪ + ≥⎪⎩

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201218

Hammerstad Model

221 arctan 1.4 RMSH

hKπ δ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

hRMS: root mean square value of surface roughness height

δ: skin depthfδ=t:  frequency where the skin depth is equal to 

the thickness of the conductor

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201219

Hemispherical Model

( ) whenwhen

hemi shemi

dc

K R f tR fR t

δδ

⎧ <= ⎨

≥⎩

( )

( )

( )

when2

when2

hemiexternal

hemihemi t

externalt

R fL t

fL f

R fL t

δ

δπ

δπ

=

=

⎧+ <⎪

⎪= ⎨⎪ + ≥⎪⎩

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201220

Hemispherical Model

1 when 1when 1

shemi

s s

KK

K K≤⎧

= ⎨ >⎩

( ) ( )( )( )

( )( )3 1 / 121

3 1 / 2 1r jj krr j

δα

δ− +

= −+ +

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

2Re 3 / 4 1 1 / 4/ 4

o tile bases

o tile

k A AK

Aη π α β μ ωδ

μ ωδ

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

23

2

1 4 / 1/ 1213 1 2 / 1/ 1

j k r jj krj k r j

δβ

δ− −

= −+ −

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201221

Huray Model

( ) whenwhen

Huray sHuray

dc

K R f tR fR t

δδ

⎧ <= ⎨

≥⎩

( )

( )

( )

when2

when2

Hurayexternal

HurayHuray t

externalt

R fL t

fL f

R fL t

δ

δπ

δπ

=

=

⎧+ <⎪

⎪= ⎨⎪ + ≥⎪⎩

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201222

Huray Model_flat N spheres

Hurayflat

P PK

P+

=

( ) ( )( )( )

( )( )3 1 / 121

3 1 / 2 1r jj krr j

δα

δ− +

= −+ +

( )/ 4flat o tileP Aμ ωδ=

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

23

2

1 4 / 1/ 1213 1 2 / 1/ 1

j k r jj krj k r j

δβ

δ− −

= −+ −

( ) ( )2_ 2

1

1 3Re 1 12

N

N spheres onn

P Hkπη α β

=

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦∑

/ 'o oη μ ε ε=

Ho: magnitude of applied H field.

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201223

Dielectrics and Polarization

Field causes the formation of dipoles  polarization

No field Applied  field

Bound surface charge density –qsp on upper surface and +qsp on lower surface of the slab.

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201224

( )1o a o a o e a o e a s aD E P E E E E= + = + = + =ε ε ε χ ε χ ε

D

eχaE

: electric flux density 

: applied electric field: electric susceptibility: free‐space permittivity: static permittivity

Dielectrics and Polarization

P : polarization vector 

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201225

Material ε r

AirStyrofoamParaffinTeflonPlywoodRT/duroid 5880PolyethyleneRT/duroid 5870Glass-reinforced teflon (microfiber)Teflon quartz (woven)Glass-reinforced teflon (woven)Cross-linked polystyrene (unreinforced)Polyphenelene oxide (PPO)Glass-reinf orced polystyreneAmberRubberPlexiglas

1.00061.032.12.12.12.202.262.352.32-2.402.472.4-2.622.562.552.62333.4

Dielectric Constant

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201226

Material ε r

LuciteFused silicaNylon (solid)QuartzBakeliteFormicaLead glassMicaBeryllium oxide (BeO)MarbleFlint glassFerrite (FqO,)Silicon (Si)Gallium arsenide (GaAs)Ammonia (liquid)GlycerinWater

3.63.783.83.84.85666.8-7.081012-161213225081

Dielectric Constants

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201227

When a material is subjected to an applied electric field, the centroids of the positive and negative charges are displaced relative to each other forming a linear dipole.

When the applied fields begin to alternate in polarity, the permittivities are affected and become functions of the frequency of the alternating fields.

AC Variations

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201228

Reverses in polarity cause incremental changes in the static conductivity σs heating of materials using  microwaves (e.g. food cooking)

When an electric field is applied, it is assumed that the positive charge remains stationary and the negative charge moves relative to the positive along a platform that exhibits a friction (damping) coefficient d.

AC Variations

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201229

( )

( )

22 2

'2

22 2

1

eo

or

o

N Qm

dm

−= +

⎛ ⎞− + ⎜ ⎟⎝ ⎠

ω ωεε

ω ω ω ( )

2"

222 2

er

oo

dN Q m

m dm

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

ωε

εω ω ω

Complex Permittivity

eN

Q

m

d : damping coefficient: mass

: free space permittivity: dipole charge: dipole density

: natural frequencyω : applied frequency

osm

ω =

s : spring (tension) factor

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201230

( )' "i c i sH J J j E J E j j E∇× = + + = + + −ωε σ ω ε ε

Complex Permittivity

( )" ' 'i s i eH J E j E J E j E∇× = + + + = + +σ ωε ωε σ ωε

equivalent conductivity "e s s a= = + = +σ σ ωε σ σ

alternating field conductivity "a = =σ ωε

static field conductivitysσ =

σe: total conductivity composed of the static portion σs and the alternative part σa caused by the rotation of the dipoles

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201231

't i ce de i eJ J J J J E j Eσ ωε= + + = + +

Complex Permittivity

iJ

tJ

ceJ

deJ

: total electric current density

: impressed (source) electric current density

: effective electric conduction current density: effective displacement electric current density

( )' ' 1 ' 1 tan'

et i e i i eJ J E j E J j j E J j j Eσσ ωε ωε ωε δ

ωε⎛ ⎞= + + = + − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

tan effective electric loss tangent' ' ' '

e s a s ae

σ σ σ σ σδωε ωε ωε ωε

+= = = = +

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201232

Complex Permittivity"

'

"tan tan tan' '

s ee s a

e

σ εεδ δ δωε ε ε

= + = + =

tan static electric loss tangent'

ss

σδωε

= =

"

'tan alternating electric loss tangent'

aa

σ εδωε ε

= = =

( )' ' 1 ' 1 tan'

ecd ce de e eJ J J E j E j j E j j Eσσ ωε ωε ωε δ

ωε⎛ ⎞= + = + = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201233

Dielectric Properties

' 1 ''

ecdJ j j E j Eσωε ωε

ωε⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1'

eσωε

' 1'

ecd eJ j j E Eσωε σ

ωε⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1'

eσωε

Good Dielectrics:

Good Conductors:

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201234

Dielectric Properties

' 1 ''

ecdJ j j E j Eσωε ωε

ωε⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1'

eσωε

' 1'

ecd eJ j j E Eσωε σ

ωε⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1'

eσωε

Good Dielectrics:

Good Conductors:

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201235

Kramers-Kronig Relations

( ) ( )( )

"'

2 20

' '21 ''

rr d

= +−∫

ω ε ωε ω ω

π ω ω

There is a relation between the real and imaginary parts of the complex permittivity:

Debye Equation

( ) ( )( )

'"

2 20

1 '2 ''

rr d

ε ωωε ω ωπ ω ω

∞ −=

−∫

' '' " '( ) ( ) ( )

1rs r

r r r re

jj

∞∞

−= − = +

+ε εε ω ε ω ε ω ε

ωτ

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201236

Kramers-Kronig Relations

'

'

22

rse

r∞

+=

+ετ τε

τe is a relaxation time constant:

( )( )

' '' '

21r r

r re

∞ ∞∞

−= +

+

ε εε ω εωτ ( ) ( )

( )

' '"

21r r e

re

∞ ∞−=

+

ε ε ωτε ω

ωτ

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201237

Material εr’ tanδAirAlcohol (ethyl)Aluminum oxideBakeliteCarbon dioxideGermaniumGlassIceMicaNylonPaperPlexiglasPolystyrenePorcelain

1.0006258.84.741.001164*74.25.43.533.452.566

0.16 x 10-4

22x10-3

1 x 10-3

0.16x10-4

2x10-2

8 x 10-3

4 x 10-2

5x10-5

14x10-3

Dielectric Materials

Copyright © by Jose E. Schutt‐Aine , All Rights ReservedECE 598‐JS, Spring 201238

Material εr’ tanδPyrex glassQuartz (fused)RubberSilica (fused)SiliconSnowSodium chlorideSoil (dry)StyrofoamTeflonTitanium dioxideWater (distilled)Water (sea)Water (dehydrated)Wood (dry)

43.82.5-33.811.83.35.92.81.032.1100808111.5-4

6x10-4

7.5x10-4

2 x 10-3

7.5 x 10-4

0.51x10-4

7 x 10-2

1x10-4

3x10-4

15 x 10-4

4x10-2

4.6401x10-2

Dielectric Materials