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EC3 Seminar – Teil 1 1/8

Lastannahmen und Lastkombinationen

In diesem Arbeitsblatt werden die Lasten (Einwirkungen E k ) unter Verwendung der Sicherheitselemente ( γF und ψi )zu den Designwerten Ed für 2 Beispiele kombiniert. Dabeiwird zunächst ein einfaches Beispiel vorgestellt und anschließend der Studiobinder aus 1. Arbeitsblatt untersucht.

Beispiel 1

Betrachtet sei der Träger mit Kragarm. Sein Eigengewicht sei vorliegend unberücksichtigt, da hier lediglich das Vorgehen zur Kombination verschiedener Lasten gezeigt werden soll.

Bild 1: Träger mit Kragarm, die Lasten P 1 und P 2 sind Lasten aus 2 Stützen,die für verschiedene Lasten unterschiedliche Werte annehmen. Für dieBemessung des Trägers ist die maßgebliche Kombination (größtes Biegemoment)zu bestimmen. Es ist unklar, ob es in Feldmitte oder über der Stütze auftritt.

Die Statische Berechnung weist folgende Werte für P1 und P2 aus, wobei P1 und P 2 stetsgleichzeitig mit den angegebenen Werten auftreten, also Wertepaare darstellen:

Lastfall Symbol P 1 P 2 Hinweis

Eigenlasten G 12 kN 4 kN Ständig

Schneelasten QS 11 kN 9 kN Vorübergehend

Nutzlasten QN 15 kN 3 kN Vorübergehend

Windlasten QW 10 kN 6 kN Vorübergehend

Schnee „NDTE“ AS 22 kN 10 kN außergewöhnlich

Tabelle 1: Übersicht über die Lasten aus der Statik (NDTE = Schneelast als außergewöhnliche Last in der Norddeutschen Tiefebene)

Lösung Beispiel 1

Für die Kombination von Lasten werden zunächst die Grundlagen kurz wiederholt. Es sind zwei Grenzzustände zu betrachten:

a) Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT)b) Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG)

HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a 12459 Berlin - Seite 1

P 1 P2

4,5 m 3,0 m 2,25 m



Im Grenzzustand der Tragfähigkeit werden Kombinationen für folgende Beanspruchungen untersucht:

a) ständige und vorübergehende Beanspruchung s. (1)b) außergewöhnliche Beanspruchung s. (2)

Im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit sind Kombinationen für folgende Bemessungssituationen zu bilden:

a) seltene (charakteristische) Bemessungssituation s. (3)b) häufige Bemessungssituation s. (4)c) quasi-ständige Bemessungssituation s. (5)

Dafür gelten die Kombinationsregeln (1) bis (5), die hier für die üblichen Fälle wiedergegeben sind.Für bestimmte Ausnahmen und Sonderfälle sind in EN 1990 weitere Regeln angegeben.

Ed =∑j≥1

n

(γGj⋅EGk , j) ⊕ (γQ1⋅EQk ,1) ⊕∑i>1

m

(γQi⋅ψ0, i⋅EQk ,i) (1)

EdA =∑j≥1

n

(γGAj⋅EGk , j) ⊕ (E Ad) ⊕ (γQA1⋅ψ1,1⋅EQk ,1) ⊕ ∑i>1

m

(γQAi⋅ψ2, i⋅EQk ,i) (2)

Ed , char =∑j≥1

n

(EGk , j) ⊕ (EQk ,1) ⊕∑i>1

m

(ψ0, i⋅EQk ,i) (3)

Ed , frequ =∑j≥1

n

(EGk , j) ⊕ (ψ1,1⋅EQk ,1) ⊕∑i>1

m

(ψ2, i⋅EQk ,i) (4)

Ed , perm =∑j≥1

n

(EGk , j) ⊕∑i≥1

m

(ψ2, i⋅EQk ,i) (5)

In den Gleichungen (1) bis (4) steht der Index i = 1 für die Leiteinwirkung. Jede veränderliche Last ist einmal als Leiteinwirkung anzusetzen. Alle anderen veränderlichen Lasten sind die Begleiteinwirkungen. Diese sind in dem zweiten Summenausdruck erfasst, der daher ab i > 1läuft.

Das Zeichen ⊕ steht für „ist zu kombinieren mit“.

Gleichung (1) geht offenbar in Gleichung (3) über, wenn die Teilsicherheitsbeiwerte γ = 1,0 sind.Gleichung (5) wird aus Gleichung (4) erhalten, wenn keine Leiteinwirkung definiert wird. Die Gleichungen (3) und (4) unterscheiden sich lediglich durch den unterschiedlichen Ansatz der Kombinationsbeiwerte, welche die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens veränderlicher Lasten berücksichtigen.

In Gleichung (2) sind die Teilsicherheitsbeiwerte ebenfalls mit γ = 1,0 festgelegt.

Im jeweils ersten Summenausdruck dürfen Werte aus allen ständigen Lasten aufsummiert werden.




In Tabelle 2 sind für das Beispiel die Teilsicherheitsbeiwerte und Kombinationsbeiwerte nach EN 1990 zusammengestellt, wobei zu beachten ist, dass alle Lasten für den Träger günstig oder ungünstig wirken können. Bei günstiger (entlastender) Wirkung veränderlicher Lasten gelten abweichende Teilsicherheitsbeiwerte (hier 0,00, also keine Berücksichtigung der Lasten).

Lastfall γF

günst./ungünst.γF , A

außergewöhn.ψ0 ψ1 ψ2

Eigenlasten 1,35 1,00 –- –- –-

Schneelasten 0,00 / 1,50 0,00 / 1,00 0,5 0,2 0,0

Nutzlasten 0,00 / 1,50 0,00 / 1,00 0,7 0,7 0,6

Windlasten 0,00 / 1,50 0,00 / 1,00 0,6 0,2 0,0

Schnee „NDTE“ –- –- –- –- –-

Tabelle 2: Teilsicherheitsbeiwerte und Kombinationsfaktoren, ψ -Werte für die Nutzlasten wurden hier für den Fall „Versammlungsräume“ angegeben.

ψ -Werte für den Schnee gelten für Lagen tiefer als 1000m über NN.

Der Größtwert für das Biegemoment kann sowohl in Feldmitte, als auch über der rechten Stütze auftreten. Für beide Fälle sind also die Biegemomente zu berechnen, die Kombinationen zu bilden und zu vergleichen. Dazu wird nach einfachen Regeln der Statik und Bild 2 vorgegangen.

Bild 2: Biegemomente M F und M S als Funktion der Lasten P 1 und P 2

Lastfall A [kN ] B [kN ] M F [kNm] M S [kNm]

Eigenlasten 3,33 12,67 7,50 −12,00

Schneelasten −0,50 20,50 −1,13 −27,00

Nutzlasten 5,50 12,50 12,38 −9,00

Windlasten 1,00 15,00 2,25 −18,00

Schnee „NDTE“ 4,33 27,67 9,75 −30,00

Tabelle 3: Stützkräfte und Biegemomente für die Beanspruchungen


P1 P 2

M F = 2,25⋅A

M S = 3,0⋅P2

A =12⋅P 1−

34,5

⋅P2 B =12⋅P1 +

7,54,5

⋅P2



Die vorherige Berechnung der Schnittgrößen mit anschließender Kombination (Auswirkungen der Einwirkungen) liefert (nur) bei linearer Elastizitätstheorie I. Ordnung dieselben Ergebnisse. Das ist vorliegend aber der Fall. Folgende Kombinationen werden nun gebildet:

Grenzzustand der Tragfähigkeit

1. Ständige und vorübergehende Beanspruchung

Schnittgröße Leiteinwirkung

kNm Nutzlast Schnee Wind

M F 30,72 25,15 26,50

M S −66,15 −82,35 −79,90

Tabelle 4: Ergebnisse für die ständige und vorübergehende Beanspruchung im GZT

Es ist zu beachten, dass der Schnee im Feld ein negatives Moment erzeugt, für die Bean- spruchung an dieser Stelle folglich günstig wirkt und mit dem Wert γF = 0,00 anzusetzen ist. Das Stützmoment M S hat negatives Vorzeichen, wichtig ist aber der Absolutwert, der für die Bemessung maßgebend ist. Das Vorzeichen zeigt lediglich die Wirkungsrichtung gemäß der gezogenen Faser laut Statik an. Der Rechengang für die Tabellenwerte ist in der Anlage zum Arbeitsblatt im Detail angegeben.

2. Außergewöhnliche Beanspruchung



M F 25,92 entfällt 26,03

M S −48,30 entfällt −58,20

Tabelle 5: Ergebnisse für die außergewöhnliche Beanspruchung im GZT

Der Rechengang für die Tabellenwerte ist in der Anlage zum Arbeitsblatt im Detail angegeben. Da die außergewöhnliche Einwirkung hier eine Schneelast (NDTE) ist, entfällt die übliche Schneelast. Wie dabei genau vorzugehen ist, muss stets am konkreten Beispiel entscheiden werden.

Für die Nachweise im GZT liegen die Werte oft in derselben Größenordnung, so dass eine Entscheidung darüber, welche Kombination die maßgebende Werte für eine bestimmte Größe liefert, ohne Rechnung nicht getroffen werden kann. Für den hier untersuchten Fall gilt:

M F , d = 30,98 kNm Außergewöhnliche Kombination mit der Nutzlast als Leiteinwirkung

M S , d =−86,10 kNm Außergewöhnliche Kombination mit Schnee als Leiteinwirkung

Der Index „ d “ zeigt an, dass es sich bei diesen Werte um Designwerte handelt, die für die Bemessung des Trägers aus Bild 1 verwendet werden dürfen.




Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

1. Seltene (charakteristische) Einwirkungskombination



M F 20,67 16,39 17,85

M S −45,30 −56,10 −49,80

Tabelle 6: Ergebnisse für die Kombination der seltenen (charakteristischen) Einwirkungen

Hinweis: In den Gleichungen (3) bis (5) sind keine Teilsicherheitsbeiwerte enthalten. Stern in der Norm sind sie jedoch zu 1,0 zu setzen. In der Tabelle gemäß Anlage sind sie daher mit 1,0eingeführt.

2. Häufige Einwirkungskombination



M F 16,17 14,70 15,39

M S −18,30 −22,80 −21,00


3. Quasi-ständige Einwirkungskombination

Schnittgröße Keine Leiteinwirkung zu definieren

kNm Maßgeblicher Wert

M F 14,93

M S −17,40


Da Kriterien der Gebrauchstauglichkeit zwischen den Beteiligten zu vereinbaren sind, kann nicht festgelegt werden aus welcher der Tabellen 6 bis 8 die maßgeblichen Werte entnommen werden müssen. So können in der seltenen Einwirkungskombination durchaus größere Durchbiegungen zugelassen werden, als in der quasi-ständigen Einwirkungskombination. Daher sind in allen drei Tabellen die maßgeblichen Werte hervorgehoben. Auch diese Werte sind Designwerte.

Schlusssatz: Allein bei diesen wenigen betrachteten Einwirkungen erfordert die Norm einen großen rechnerischen Aufwand zur Bildung allerLastkombinationen. Hier kann leicht der Überblick verloren gehen.




Beispiel 2 / Fortsetzung des Beispiels aus Arbeitsblatt Nr. 8

Im Gegensatz zum „akademischen“ Beispiel 1 wurde für den Studiobinder eine erheblich größere Zahl an unabhängigen Einwirkungen beschrieben. Im Einzelnen waren das:

3 Eigengewichtslastfälle 1. Dachhaut 2. Decke Kehlbalkenebene 3. Decke über EG

2 Nutzlastfälle 4. Nutzlast Spitzboden 5. Nutzlast Decke über EG 6. keine Nutzlast

3 Schneelastfälle 7. voller Schnee auf beiden Seiten 8. halber Schnee links, voller Schnee rechts 9. voller Schnee links, halber Schnee rechts 10. kein Schnee

5 Windlastfälle 11. Anströmrichtung θ = 90°12. Anströmrichtung θ = 0° Max. LUV / Max. LEE13. Anströmrichtung θ = 0° Max. LUV / Min. LEE14. Anströmrichtung θ = 0° Min. LUV / Max. LEE15. Anströmrichtung θ = 0° Min. LUV / Min. LEE16. kein Wind

Folgende Feststellungen sind vor dem Kombinieren zu treffen:

1. Die Kombinationen nach den Gleichungen (1) bis (5) sind so zu führen, dass auch der Fall„Last gerade NICHT vorhanden“ erfasst wird. So erklären sich die Lastfälle 6, 10 und 16.Diese „Nulllastfälle“ können nie die Leiteinwirkung sein.

2. Die Eigenlastfälle sind alle drei stets und ständig da. Sie dürfen zu einem Lastfall aufsummiertwerden, der in jeder Lastkombination mit einem Teilsicherheitsbeiwert präsent ist. Dieser kann wahlweise für eine „günstige“ oder eine „ungünstige“ Wirkung stehen.

3. Die beiden Nutzlastfälle können entweder als Lastfall 6 (Nullastfall), jeweils einzeln oder gemeinsam auftreten. Sie sind also inklusive Lastfälle. Auch diese Lastfälle sind in den Kombinationen je einmal mit dem Lastfaktor für „günstige“ Wirkung einmal für „ungünstige“Wirkung zu versehen. Gemeinsam mit dem zugehörigen Nulllastfall sind das nN = 7mögliche Einwirkungswerte aus dem Bereich „Nutzlast“.

4. Bei den Wind- und Schneelastfällen handelt es sich um alternativ auftretende Lasten, die alsoNIE gleichzeitig auftreten können. Sie schließen einander aus, sind folglich exklusiv. Auch hierist zwischen „günstiger“ und „ungünstiger“ Wirkung zu unterscheiden. Gemeinsam mit den zugehörigen Nulllastfällen gibt es somit für den Schnee nS = 7 und den Wind nW = 11mögliche Fälle, die zu Kombinieren sind.

Die rein formale Zahl der Kombinationen nach Gleichung (1) aus Nutz-, Schnee- und Windlast ist also:

n = nN⋅nS⋅nW = 7⋅7⋅11= 539 (6)




Jede dieser 539 Kombinationen enthält also je einen Wert (Lastbild) für eine Nutzlast, eine Schneelast und eine Windlast und jeder dieser drei Werte kann genau einmal die Leiteinwirkung (ohne Kombinationsbeiwert) sein, wenn der betreffende Wert nicht Null ist. Die beiden anderen Werte sind die Begleiteinwirkungen und gehen mit Kombinationsbeiwert in die Rechnung ein.

Die Anzahl der Kombinationen, in denen genau ein Wert Null ist wird:

n0,1= (nS − 1)⋅(nW − 1) + (nN − 1)⋅(nW − 1) + (nN − 1)⋅(nS − 1)

n0,1= (7− 1)⋅(11 − 1) + (7− 1)⋅(11− 1) + (7− 1)⋅(7 − 1)

n0,1= 6⋅10 + 6⋅10 + 6⋅6= 156 (7)

In diesen Fällen treten nur noch zwei mögliche Leiteinwirkungen auf. Die Anzahl der Kombinationen, bei denen zwei Werte Null werden, ist:

n0,2 = (nS − 1) + (nW − 1) + (nN − 1) = 7 + 11 + 7− 3 = 22 (8)

Hier wird nur der jeweils dritte Wert die Leiteinwirkung sein. Es gibt genau einen Fall, in dem alle drei Werte Null sind.

n0,3= 1 (9)

Hier ist eine Leiteinwirkung nicht definierbar und es entsteht die Lastkombination „Eigenlast allein“.In allen anderen Fällen sind alle drei enthaltenen Werte je einmal die Leiteinwirkung.

Damit kann die Zahl der Lastkombinationen für die ständige und vorübergehende Beanspruchung nach Gleichung (1) berechnet werden:

nkomb ,1 = 3⋅n − n0,1⋅1 − n0,2⋅2− n0,3⋅3 (10)

nkomb ,1 = 3⋅539− 156 − 44− 3= 1.414

Ein anderes Vorgehen ist für EDV-Umsetzungen nicht möglich, da nur in Ausnahmefällen alle bemessungsrelevanten Minima und Maxima der Auswirkungen der Einwirkungen in ein und derselben Kombination auftreten. Für einfache Tragwerke und Systeme wird der Ingenieur eine sinnvolle Vorauswahl treffen können und müssen. Bild 3 (umseitig) versucht eine Darstellung.

Schlusssatz:

Eingedenk der Tatsache, dass es sich bei dem der Betrachtung zugrunde gelegten System um ein einfaches Tragwerk handelt, ist der Aufwand ohne EDV-Nutzung kaum noch zu bewältigen, denn die bisherige Betrachtung erfasst nur die Kombinationen für die ständige und vorübergehende Beanspruchung nach Gleichung (1).

Zusammenfassung

Die Bildung der Lastkombinationen ist nach aktueller Normung sehr aufwändig.




Bild 3: Darstellung der Kombinationen nach Gleichung (1) für das Beispiel „Studiobinder“


1

2

3

4

5

6

nN = 7 Nutzlastfälle1= Nulllastfall

nW = 11 Windlastfälle5= Nulllastfall

nS = 7 Schneelastfälle3= Nulllastfall

blau = Überschneidung Nulllastfälle

alle LF =Null

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