eap Lysh-ge1 Dip40

25
1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΦΟΙΤΗΤΗ ΧΑΡΙΣΙΑΔΗ ΧΡ. ΙΩΑΝΝΗ ΣΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΙΠ 40/ΑΘΗ2 ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Δρ. ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΛΙΑΚΟΣ ΕΑΠ 2010

TAGS:

Transcript of eap Lysh-ge1 Dip40

Page 1: eap Lysh-ge1 Dip40

1η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΤΟΥΦΟΙΤΗΤΗ

ΧΑΡΙΣΙΑΔΗ ΧΡ. ΙΩΑΝΝΗ

ΣΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

ΔΙΠ 40/ΑΘΗ2

ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Δρ. ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΛΙΑΚΟΣ

ΕΑΠ 2010

Page 2: eap Lysh-ge1 Dip40

Άσκηση 1

Σχεδιάστε πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών τα εξής διαστήματα:

a) -2< x <5Λύση:x є (-2, 5), επομένως η ευθεία των πραγματικών αριθμών θα έχει ως εξής:

b) 2 x 5Λύση:x є [2, 5], επομένως η ευθεία των πραγματικών αριθμών θα έχει ως εξής:

c) -1< x 0Λύση:x є (-1, 0], επομένως η ευθεία των πραγματικών αριθμών θα έχει ως εξής:

d) x -3Λύση:x є (-∞, -3], επομένως η ευθεία των πραγματικών αριθμών θα έχει ως εξής:

e) x<2Λύση:x є (-2, 2), επομένως η ευθεία των πραγματικών αριθμών θα έχει ως εξής:

2

- ∞

0 -1

2 5

-2 5

- ∞

-2 2

- ∞

- ∞

- ∞

Page 3: eap Lysh-ge1 Dip40

f) x>2Λύση:x є (-∞, -2)(2, ∞), επομένως η ευθεία των πραγματικών αριθμών θα έχει ως εξής:

g) x-2<2Λύση:x є (0, 4) επομένως η ευθεία των πραγματικών αριθμών θα έχει ως εξής:

Άσκηση 2

i) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης {f(x): x ε (0 4]} που ορίζεται ως εξής:f(x)=6 όταν 0< x 1, f(x)=12 όταν 1< x 2, f(x)=18 όταν 2< x 3, f(x)=24 όταν 3< x 4Λύση:Τόσο το πεδίο ορισμού, όσο και το πεδίο τιμών της συνάρτησης δίνονται από την εκφώνηση της άσκησης, επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα έχει ως εξής:

3

- ∞ -2 2

- ∞

0 4

- ∞

- ∞

Page 4: eap Lysh-ge1 Dip40

ii) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (2, 2) και (4, 6)Λύση:Θέτοντας το σημείο (2, 2) ως το σημείο (χ1, y1) και το σημείο (4, 6) ως το σημείο (χ2, y2), βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας από τον τύπο:

Στην συνέχεια, χρησιμοποιώντας είτε το σημείο (χ1, y1), είτε το σημείο (χ2, y2), τον συντελεστή διεύθυνσης που μόλις υπολογίσαμε και γνωρίζοντας ότι εφόσον πρόκειται για ευθεία κάθε σημείο της ευθείας, θα έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ως εξής:

ή

Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι η εξής:

iii) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (1, 3) και έχει συντελεστή διεύθυνσης 2.Λύση:Θέτοντας το σημείο (1, 3) ως το σημείο (χ1, y1) και χρησιμοποιώντας το σημείο (χ1, y1) αυτό, τον συντελεστή διεύθυνσης που μόλις υπολογίσαμε και γνωρίζοντας ότι εφόσον πρόκειται για ευθεία, κάθε σημείο της ευθείας θα έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ως εξής:

Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι η εξής:

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση των (ii) και (iii)

4

Page 5: eap Lysh-ge1 Dip40

Άσκηση 3

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(x+2)½, να δοθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της (από το ). Επίσης να βρεθεί η αντίστροφος της καθώς και το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της (από το ).

Λύση:Πρέπει:

x + 2 0 x -2

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) είναι το διάστημα Α = [-2, ∞) ενώ το σύνολο τιμών της το διάστημα Β = [0, ∞).

5

- ∞

- ∞

- ∞

- ∞

Page 6: eap Lysh-ge1 Dip40

Παράλληλα, η συνάρτηση f(x)=(x+2)½, για κάθε x1, x2 (με x1 x2) έχει f(x1) f(x2), ενώ f(Α) = Β. Επομένως πρόκειται για μια αμφιμονοσήμαντη και επί συνάρτηση και έτσι υπάρχει η αντίστροφος της f-1(x)

y = (x + 2)½ y2 = (x + 2) x = y2 – 2

αντικαθιστώντας τα σύμβολα x και y μεταξύ τους, έχουμε:

y = x2 – 2

Επομένωςf-1(x) = x2 – 2

με πεδίο ορισμού το πεδίο τιμών της f(x), ήτοι [0, ∞), και πεδίο τιμών το πεδίο ορισμού της f(x), ήτοι [-2, ∞).

Άσκηση 4Υπολογίστε τα παρακάτω όρια:

a)

Λύση:

=

Όπως παρατηρούμε, το παραπάνω όριο μας οδηγεί στην απροσδιόριστη μορφή .

Επομένως, θέτοντας = 0, f(x) = και g(x) = χ, καθώς ισχύει:

i. f( ) = g( ) = 0

ii. f(x) και g(x) παραγωγίσιμες στο σημείο

iii. g΄(χο) 0

χρησιμοποιούμε το θεώρημα Cauchy, βάση του οποίου

Έτσι έχουμε:

= = = = = =

b)

Λύση:

6

Page 7: eap Lysh-ge1 Dip40

c)

Λύση:

d)

Λύση:

e)

Λύση:

Άσκηση 5i) Δώστε τη γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα με αντίστοιχη γραφική παράσταση.

Λύση:Μελετούμε την έννοια της παραγώγου σε γενική μορφή. Υποθέτουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση f η οποία εκφράζει τη σχέση μεταξύ δυο μεγεθών x και y ως εξής:

y = f(x)

και που διακρίνεται από την παρακάτω γραφική παράσταση.Θεωρούμε ότι από ένα σημείο Α(xo, f(xo)) μετακινούμαστε σε ένα άλλο σημείο B(xo + h, f(xo + h)), όπως φαίνεται και στο σχήμα.

Η διάφορα f(xo + h) – f(xo) εκφράζει τη μεταβολή του μεγέθους y, που αντιστοιχεί στη μεταβολή h του μεγέθους x. Ο λόγος:

7

Page 8: eap Lysh-ge1 Dip40

Εκφράζει τη μέση τιμή της μεταβολής του μεγέθους y. Αν θεωρήσουμε ότι η μεταβολή h της ποσότητας x γίνετε οσοδήποτε μικρή (h0), τότε προκύπτει το όριο

το οποίο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της f στο xo και ονομάζεται παράγωγος της f στο xo. Η παράγωγος αυτή συμβολίζεται με f΄(xo).

ii) Βρείτε την πρώτη παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων:a)

Λύση:

b)

Λύση:

c)

8

Page 9: eap Lysh-ge1 Dip40

Λύση:

d)

Λύση:

e)

Λύση:

f)

9

Page 10: eap Lysh-ge1 Dip40

Λύση:

g)

Λύση:

h)

Λύση:

Άσκηση 6a) Βρείτε τις εξισώσεις της εφαπτομένης και της κάθετης της καμπύλης , στο σημείο (2, 4)

Λύση:

10

Page 11: eap Lysh-ge1 Dip40

Θέτοντας ως σημείο (χ1, y1) το σημείο (2, 4), η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (χ1, y1) θα δίνεται από την ευθεία

.

Επομένως:

(ε1)

Άρα η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (2, 4) δίνεται από την ευθεία (ε1)

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης δίνεται από τον συντελεστή της μεταβλητής χ της εξίσωσης ε1. Επομένως mε1 = 9.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της καθέτου της εφαπτομένης της καμπύλης δίνεται από τον τύπο: .

Άρα

Και καθώς η κάθετος αυτή θα διέρχεται από το σημείο (χ1, y1) = (2, 4), η εξίσωση της καθέτου θα είναι η:

Άρα η κάθετος της καμπύλης στο σημείο (2, 4) δίνεται από την ευθεία (ε2),

b) Bρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης και της κάθετης της καμπύλης , στο σημείο τομής με την παραβολή

Λύση:Καταρχήν πρέπει να βρεθεί το σημείο τομής της καμπύλης με την παραβολή. Επομένως:

Άρα πρέπει να βρεθούνε η εφαπτομένη και η κάθετη της καμπύλης , i) στο σημείο χ1 = -2 και ii) στο σημείο χ2

= 2

i) χ1 = -2

11

Page 12: eap Lysh-ge1 Dip40

Θέτοντας ως σημείο (χ1, y1) το σημείο (-2, 12), η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (χ1, y1) θα δίνεται από την

ευθεία .

Επομένως:

Άρα η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (-2, 12) δίνεται από την ευθεία (ε1)

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης δίνεται από τον συντελεστή της μεταβλητής χ της εξίσωσης ε1. Επομένως mε1 = -44.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της καθέτου της εφαπτομένης της καμπύλης δίνεται από τον τύπο: .

Άρα

Και καθώς η κάθετος αυτή θα διέρχεται από το σημείο (χ1, y1) = (-2, 12), η εξίσωση της καθέτου θα είναι η:

Άρα η κάθετος της καμπύλης στο σημείο (2, 4) δίνεται από την ευθεία (ε2),

ii) χ2 = 2

Θέτοντας ως σημείο (χ2, y2) το σημείο (2, 12), η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (χ2, y2) θα δίνεται από την

ευθεία .

Επομένως:

12

Page 13: eap Lysh-ge1 Dip40

Άρα η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (2, 12) δίνεται από την ευθεία (ε3)

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης δίνεται από τον συντελεστή της μεταβλητής χ της εξίσωσης ε3. Επομένως mε3 = 44.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της καθέτου της εφαπτομένης της καμπύλης δίνεται από τον τύπο: .

Άρα

Και καθώς η κάθετος αυτή θα διέρχεται από το σημείο (χ2, y2) = (2, 12), η εξίσωση της καθέτου θα είναι η:

Άρα η κάθετος της καμπύλης στο σημείο (2, 4) δίνεται από την ευθεία (ε4),

Άσκηση 7 a)Δίνεται η . Nα βρεθούν: i) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι αύξουσα ή φθίνουσα, και ii) τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης

Λύση:i) πεδίο ορισμού της f(x): ως πολυονυμική συνάρτηση όλο το R, οπότε x є (-∞, ∞)

Στην συνέχεια παίρνουμε δυο τυχαίες τιμές εκατέρωθεν του σημείου χ i, για το οποίο ισχύει , και βρίσκουμε την τιμή

της παραγώγου της συνάρτησης στα σημεία αυτά. Π.χ. έστω χ1 = -1 και χ2 = 0. Επομένως:

και

Άρα η συνάρτηση f(x) για το διάστημα είναι γνησίως φθίνουσα καθώς για κάθε χ που ανήκει στο διάστημα αυτό

ισχύει . Αντίθετα, η συνάρτηση f(x) για το διάστημα είναι γνησίως αύξουσα καθώς για κάθε χ που ανήκει

στο διάστημα αυτό ισχύει .

13

Page 14: eap Lysh-ge1 Dip40

ii) Τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(x) πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των σημείων για τα οποία (στάσιμα

σημεία) και των σημείων για τα οποία η δεν υπάρχει (κρίσιμα σημεία). Τα στάσιμα σημεία της συνάρτησης βρέθηκαν στο

προηγούμενο υποερώτημα ( ), ενώ κρίσιμα σημεία , καθώς η είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση, δεν υπάρχουν.

Επομένως το μόνο τοπικό ακρότατο της συνάρτησης f(x) είναι το σημείο , το οποίο καθώς από αριστερά και από δεξιά

του σημείου αυτού η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως φθίνουσα και γνησίως αύξουσα αντίστοιχα, το σημείο αυτό αποτελεί τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης αυτής, το οποίο επειδή είναι και μοναδικό, ταυτόχρονα είναι και ολικό ελάχιστο της συνάρτησης αυτής. Παράλληλα έχουμε:

b) Βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης

Λύση:Πεδίο ορισμού της f(x): θα πρέπει χ 0, οπότε χ є [0, ∞)

για κάθε χ є (0, ∞).

Eπομένως η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό.

Παρατηρούμε όμως ότι η δεν ορίζεται, επομένως το σημείο αυτό, αρχή του πεδίου ορισμού της f(x), αποτελεί ακρότατο. Μάλιστα επειδή σε όλο το υπόλοιπο διάστημα του πεδίου ορισμού της f(x) η f(x) είναι γνησίως αύξουσα, το σημείο χi = 0 είναι ολικό ελάχιστο της συνάρτησης αυτής και δεν υπάρχει κανένα άλλο μέγιστο ή ελάχιστο.Παράλληλα

c) Προσδιορίστε τα διαστήματα καμπυλότητας (κυρτότητας) της καμπύλης, f(x) = x3

Λύση:Πεδίο ορισμού της f(x): ως πολυωνυμική συνάρτηση όλο το R, οπότε x є (-∞, ∞)

Εύρεση σημείων καμπής:

14

Page 15: eap Lysh-ge1 Dip40

Παίρνουμε δυο τυχαίες τιμές εκατέρωθεν του σημείου χ i, για το οποίο ισχύει , και βρίσκουμε την τιμή της δεύτερης

παραγώγου της συνάρτησης στα σημεία αυτά. Π.χ. έστω χ1 = -1 και χ2 = 1. Επομένως:

και

Άρα η συνάρτηση f(x) για το διάστημα (-∞, 0) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, καθώς για κάθε χ που ανήκει στο διάστημα αυτό ισχύει . Ενώ, η συνάρτηση f(x) για το διάστημα (0, ∞) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, καθώς για κάθε χ που ανήκει

στο διάστημα αυτό ισχύει

Άσκηση 8a) Να βρεθούν τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης

Λύση:Πεδίο ορισμού της f(x): ως πολυωνυμική συνάρτηση όλο το R, οπότε x є (-∞, ∞)

ή

Επομένως η συνάρτηση f(x) έχει δυο ακρότατα, το πρώτο στο σημείο και το δεύτερο στο σημείο .

Άρα το σημείο αποτελεί τοπικό μέγιστο της συνάρτησης f(x) καθώς στο σημείο αυτό ισχύει ,ενώ το σημείο

αποτελεί τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης f(x) καθώς στο σημείο αυτό ισχύει .

Παράλληλα

b) Βρείτε τα σημεία καμπής (αν υπάρχουν) της συνάρτησης καθώς και που στρέφει τα κοίλα η συνάρτηση

Λύση:Πεδίο ορισμού της f(x): ως πολυωνυμική συνάρτηση όλο το R, οπότε x є (-∞, ∞)

15

Page 16: eap Lysh-ge1 Dip40

Παίρνουμε δυο τυχαίες τιμές εκατέρωθεν του σημείου χ i, για το οποίο ισχύει , και βρίσκουμε την τιμή της δεύτερης

παραγώγου της συνάρτησης στα σημεία αυτά. Π.χ. έστω χ1 = -1 και χ2 = 1. Επομένως:

και

Παρατηρούμε ότι εκατέρωθεν του σημείου χi, για το οποίο ισχύει , η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x)

παραμένει θετική (δεν αλλάζει πρόσημο). Επομένως το σημείο αυτό ΔΕΝ είναι σημείο καμπής και η συνάρτηση f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω σε όλο το πεδίο ορισμού της, καθώς για κάθε χ που ανήκει στο R ισχύει .

c) Να διερευνήσετε προς τα πού στρέφει τα κοίλα η

Λύση:Πεδίο ορισμού της f(x): ως εκθετική συνάρτηση όλο το R, οπότε x є (-∞, ∞)

ΑΔΥΝΑΤΟ

Επομένως, καθώς η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x) ορίζεται σε όλο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και για κανένα εσωτερικό σημείο του πεδίου αυτού η δεύτερη παράγωγος δεν μηδενίζεται, η συνάρτηση , δεν παρουσιάζει σημεία καμπής.Παίρνουμε τυχαίο σημείου χi και βρίσκουμε την τιμή της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Π.χ. έστω χ 1 = 0. Επομένως:

Παρατηρούμε ότι στο τυχαίο σημείου χi, ισχύει και καθώς δεν υπάρχουν σημεία καμπής, η συνάρτηση f(x) στρέφει τα

κοίλα προς τα πάνω σε όλο το πεδίο ορισμού της.

Άσκηση 9

Nα γίνει η μελέτη της συνάρτησης

Λύση:Πεδίο ορισμού της y = f(x): ως πολυωνυμική συνάρτηση όλο το R, οπότε x є (-∞, ∞)

16

Page 17: eap Lysh-ge1 Dip40

Πρώτη παράγωγος

Δεύτερη παράγωγος

Τομές της y = f ( x ) με τον άξονα χ΄χ

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για μια τριτοβάθμια εξίσωση (α3χ3 + α2χ2 + α1χ1 + α0 = 0) η οποία θα επιλυθεί με τη μέθοδο του Cardano.

Θέτουμε:

Επομένως έχουμε:

Καταλήγοντας στην εξίσωση με μορφή

Η οποία έχει τον εξής τύπο λύσης:

, όπου

17

Page 18: eap Lysh-ge1 Dip40

Άρα

Η παραπάνω εξίσωση μας δίνει μια λύση στο πεδίο των πραγματικών αριθμών και ακόμα δυο στο πεδίο των φανταστικών (μιγαδικών) αριθμών, τις οποίες και απορρίπτουμε.

Επομένως

Και επειδή θέσαμε , έχουμε

Άρα η ευθεία y = f(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ στο σημείο

Τοπικά ακρότατα

ή

Επομένως πιθανά σημεία τοπικών ακρότατων είναι τα και

Επιλέγουμε τα τυχαία σημεία , και για να ελέγξουμε το είδος της μονοτονίας των διαστημάτων (-∞, -3), (-3, 2) και (2, ∞) της συνάρτησης y = f(x) αντίστοιχα. Επομένως:

Άρα η συνάρτησης y = f(x) για το διάστημα (-∞, -3) είναι γνησίως αύξουσα, για το διάστημα (-3, 2) γνησίως φθίνουσα και για το

διάστημα (2, ∞) γνησίως αύξουσα. Επομένως το σημείο είναι τοπικό μέγιστο της συνάρτησης αυτής ενώ το σημείο

αποτελεί τοπικό ελάχιστο.

Επίσης έχουμε:

18

Page 19: eap Lysh-ge1 Dip40

Σημεία καμπής

Επομένως πιθανό σημείο καμπής είναι το

Επιλέγουμε τα τυχαία σημεία και για να ελέγξουμε προς τα πού στρέφει τα κοίλα η στα διαστήματα (-

∞, - ) και (- , ∞) αντίστοιχα.

και

Άρα η συνάρτηση y = f(x) για το διάστημα (-∞, - ) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, καθώς για κάθε χ που ανήκει στο διάστημα

αυτό ισχύει , ενώ, για το διάστημα (- , ∞) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, καθώς για κάθε χ που ανήκει στο

διάστημα αυτό ισχύει .

Άσκηση 10Να προσδιοριστούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου με το μέγιστο εμβαδόν που εγγράφεται σε κύκλο ακτίνας R.

Λύση:

19

2β α

β R

● 0, 0

Page 20: eap Lysh-ge1 Dip40

Έστω ότι έχουμε ορθογώνιο μήκους 2α και πλάτους 2β εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Γνωρίζουμε ότι:

i. Το εμβαδόν του ορθογώνιου είναι ίσο με ii. Το μήκος α μπορεί να κυμανθεί μεταξύ 0 και R, δηλαδή 0≤ α ≤ R

iii. Το μήκος β μπορεί να κυμανθεί επίσης μεταξύ 0 και R, δηλαδή 0≤ β ≤ Riv. Τα μήκη α και β είναι εξαρτημένα μεταξύ τους

v. Η εξίσωση του κύκλου ακτίνας R και με κέντρο το σημείο (0, 0) είναι η:

Από τα παραπάνω μπορούμε να εκφράσουμε το μήκος α ως την ανεξάρτητη μεταβλητή της εξίσωσης του κύκλου ‘χ’, ενώ παράλληλα να εκφράσουμε το μήκος β ως την εξαρτημένη μεταβλητή της εξίσωσης του κύκλου ‘y’.

Επομένως έχουμε: όπου α є [0, ∞)

Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου θα είναι ίσο με

Αυτό που αναζητείται είναι η μέγιστη τιμή του Ε, επομένως θα κάνουμε μια αναζήτηση των ριζών της πρώτης παραγώγου της ανωτέρω εξίσωσης για την εύρεση των τοπικών ακρότατων αυτής.

Επομένως στο ενδιάμεσο του διαστήματος (0, R) παρουσιάζεται μόνο ένα τοπικό ακρότατο στο σημείο . Επειδή όμως

η συνάρτηση του εμβαδού ορίζεται στο κλειστό διάστημα [0, R] θα πρέπει ως τοπικά ακρότατα να λάβουμε υπόψη μας και τα σημεία α = 0 και α = R.

20

όπου α є [0, ∞)

Page 21: eap Lysh-ge1 Dip40

Υπολογίζουμε το εμβαδόν του ορθογώνιου για τις τιμές α = 0, α = R και

και

Καθώς η ακτίνα του κύκλου μπορεί να πάρει μόνο θετικές τιμές (R>0), και δεν μπορεί να υπάρχουν αλλά πιθανά σημεία τοπικών ακρότατων, παρατηρούμε ότι:

< και >

Με αλλά λόγια η συνάρτηση του εμβαδού του εγγεγραμμένου σε κύκλου ορθογώνιου, για το διάστημα [0, ) είναι γνησίως

αύξουσα, ενώ για το διάστημα ( , R] είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σημείο αποτελεί τοπικό μέγιστο της

συνάρτησης αυτής, ενώ τα σημεία α = 0 και α = R τοπικά ελάχιστα. Μάλιστα επειδή το σημείο είναι το μοναδικό

τοπικό μέγιστο της συνάρτησης αυτής, αποτελεί και ολικό μέγιστο.

Συμπερασματικά, το μέγιστο εμβαδόν που μπορεί να παρουσιάζει ορθογώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R θα είναι ίσο με

ενώ οι διαστάσεις του ορθογώνιου αυτού θα είναι οι εξής:

Μήκος =

Πλάτος =

Τέλος παρατηρούμε ότι το πλάτος του ορθογώνιου είναι ίσο με το μήκος του, ίσο με , επομένως πρόκειται για ένα

τετράγωνο.

21