EΞΙΣΩΣΕΙΣ · • Αν α = 0 = βτοτε η (1) εχει απειρες λυσεις...

23. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον;.3 3 2 22. Aν α, β θετικοι , να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β , Β = α β+ αβ

H Εννοια του διανυσματος

EΞΙΣΩΣΕΙΣ

Ε ξ ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υΕστω η εξισωση: αx+β=0 (1)• Λυση η ριζα της εξισωσης λεγεται κάθε τιμη του πραγματικου αριθμου x, που επα- ληθευει την (1).• Συντελεστης του αγνωστου λεγεται ο αριθμος α.• Σταθερος ορος λεγεται ο αριθμος β.Διερευνηση

• Αν α ≠ 0 τοτε η (1) εχει μοναδικη λυση, την: βx = - α

• Αν α = 0 και β ≠ 0 τοτε η (1) δεν εχει λυση (αδυνατη)• Αν α = 0 = β τοτε η (1) εχει απειρες λυσεις (αοριστη η ταυτοτητα)Παρατηρηση• Αν ο συντελεστης του αγνωστου η o σταθερος ορος εκφραζεται με τη βοηθεια γραμ- ματων, τοτε η εξισωση λεγεται παραμετρικη.• Ισοδυναμες λεγονται οι εξισωσεις που εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες.

1

Π α ρ α δ ε ι γ μ α

1. Να λυθει η εξισωση: x - 1 2x - 1 5x - 1+ =2 3 6

x - 1 2x - 1 5x - 1 x - 1 2x - 1 5x - 1+ = 6 + 6 = 6 3(x - 1) + 2(2x - 1) = 5x - 12 3 6 2 3 6

2x 43x - 3 + 4x - 2 = 5x - 1 3x + 4x - 5x = -1 + 3 + 2 2x = 4 =2 2

x = 2

2. 2Να λυθει η εξισωση : λ (x - 1) = 4x(λ - 1) - 3λ + 22 2 2

2 2 2 2

2

2

• λ (x -1) = 4x(λ -1) - 3λ + 2 λ x - λ = 4λx - 4x -3λ + 2 λ x - 4λx + 4x = λ -3λ + 2 (λ - 4λ + 4)x = λ -3λ + 2 (Ι)• Για (λ -2) 0, δηλαδη για λ 2, η (Ι) εχει την μοναδικη λυση :

(λ -1)(λ -2) x =(λ -2)

2(λ - 2) x = (λ - 1)(λ - 2)

λ - 1x =

2• Για (λ -2) = 0, δηλαδη για λ = 2, η (Ι) γινεται : 0 x = (2 -1)(2 -2) 0 x = 1 0 0 x = 0, οποτε η εξισωση ειναι .

λ - 2

αοριστη

Η Ε ξ ι σ ω σ η xv = aα ν λυσεις της εξισωσης xν=α

α = 0 αρτιος η περιττος x=0α > 0 αρτιος x= ν± αα > 0 περιττος x= ν αα < 0 αρτιος αδυνατηα < 0 περιττος x=- ν | α |

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

EΞΙΣΩΣΕΙΣ 2

M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς 1 ο υ β α θ μ ο υ )

1ο Βημα : Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλοιφηx + 1 2x + 1 5x + 1• 6. + 6. = 6. 3.(x + 1) + 2.(2x + 1) = 5x + 1

2 3

παρονομαστων).

2ο Βημα : Απαλοιφουμε τις παρενθεσ6

εις (

x + 1 2x + 1 5x + 1Να λυθει η εξισωση : + =2 3 6

επιμεριστικη ιδιοτητα).

3ο Βημα : Xωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μελος οι αγνωστοι).

4ο Βημα : Κανουμε πραξεις σε καθε μελο

• 3x + 3 + 4x + 2 = 5x + 1

• 3x + 4x - 5x = 1 - 3 - 2

•ς.

5ο Βημα : Διαιρουμε με τ 2x = -4

ον συντελεστη του αγνωστου (και το2x -4•

προσ

=

ημο του).

x = -22 2

M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς κ λ α σ μ α τ ι κ η ς )

2

2

x + 1 2 -x• -

1ο Βημα : Παραγοντοποιουμε ολους τους παρονομαστες.

2ο Βημα : Βρισκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων.

3ο Βημα : Θετουμε

=x(x + 1) x (x + 1)

• Ε.Κ.Ππεριορισμ

. = x(x + 1)

2 2x + 1 2 -xΝα λυθει η εξισωση : - =

xx + x (x + 1)

2 2

2 2 2 22

ους, με την προυποθεση οτι Ε.Κ.Π. 0.

4ο Βημα : Κανουμε απαλοιφη παρονομαστων και λυνουμε • Πρεπει : x(x + 1) 0 x 0 και (x + 1) 0, δηλαδη x 0 και x -1.

x + 1 2 -x• x(x + 1) - x(x + 1) = x(x + 1) (x + 1) -x(x + 1) x 1

.

(x + )

2 2

2 2 2 2 2 2

Στη περιπτωση που η λυση ηταν ιδια με καποια απ'τις τιμ

2(x + 1) = -x

- (x + 1) = -x (x + 1) = x x + 2x + 1 = x 2x + 1 = 0 2x = -11 x

ες που μηδενιζουν τον παρο -νομαστη (δες περιορισμο

= - (δ

υς), τ

εκτη).

οτε δεν θα τ

2

ην δεχομαστε.


/

EΞΙΣΩΣΕΙΣ 3

M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η ς )

2 2 2

2 2

1ο Βημα : Με πραξεις, φερνουμε την εξισωση σε μορφη Α.x = B, με Α,Β παραγοντο - ποιημεν• λ (x - 1) = x(2λ - 1) - 3λ + 2 λ x - λ = 2λx - x - 3λ + 2

λ x - 2λx + x = λ - 3λ + 2 (

α.

2Να λυθει η εξισωση : λ (x - 1) = x(2λ - 1) - 3λ + 2

2 2

2

2

2ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι διαφορος του μηδενος, B οποτε εχουμε μοναδικη

λ - 2λ + 1)x = λ - 3λ + 2 (λ - 1) x = (λ - 1

λυση, την : x = .

)(λ - 2)

• Για (λ - 1) 0, δηλαA

δ

( )

γι

Ι

η

2

3ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι ισος με μηδεν και βρ

α λ 1, η (Ι) εχει μοναδι

ι - σκουμε πο

κη λυση : (λ - 1)(λ - 2) λ - 2 x =

ιες τιμες μηδενιζουν την π

x =λ - 1(λ -

αραμετρ

1

Σ

)

ο.

2

τη συνεχεια, για καθεμια απο τις τιμες αυτες, ελεγχουμε αν η εξισωση ειναι αδυνατη η • Για (λ - 1) = 0, δηλαδη για λ = 1, η (Ι) γινεται : 0 x = 0, οποτε η εξισωση ειναι αο -

αορισ

ρ .

τη.

ιστη


/

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4

ΕΚΠ=12

• Eιναιx + 3 x + 1 15 - x x + 3 x + 1 15 - x - = 2x - 12. - 12. = 12.2x - 12.

2 4 3 2 4 3 6(x + 3) - 3(x + 1) = 24x - 4(15 - x) 6x + 18 - 3x - 3 = 24x - 60 + 4

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :x + 3 x + 1 15 - x• - = 2x -

2 4 3• x(x - 3)(2 - x) = 0 • x - 3x + 2 = 0

2 2

x-75 6x - 3x - 24x - 4x = -60 - 18 + 3 -25x = -75 x =-25

x = 0 • x(x - 3)(2 - x) = 0 x - 3 = 0

2 - x = 0

• x - 3x + 2 = 0 x - 2x - x + 2 = 0 x(x - 2) - (x - 2) = 0 (x - 2)(x - 1) = 0x - 2 = 0

x - 1 = 0

x = 3

x = 0x = 3x = 2

x = 2x = 1

2 2 2

• Eιναιx + 1 x 2 x + 1 x 2 + = + = (1)

x x(x + 1) xx + x (x + 1) (x + 1) Για να εχει νοημα η (1),

πρεπει οι παρονομαστες να ειναι διαφο

2 2

2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :x + 1 x 2• + =

xx + x (x + 1)• (x + 1) + (5 - x) = 0

2

2 2 2 2 2 22

2 2

ροι του μηδενος. Δηλαδη

x 0 x(x + 1) 0 και , oποτε η (1) :

x -1x + 1 x 2 x(x + 1) + x(x + 1) = x(x + 1) (x + 1) + x = 2(x + 1)

x(x + 1) x(x + 1)

(x + 1) - x = 0 (x + 1 + x)(x + 1 - x) = 0 (2x + 1) 1 = 0 2x + 1 = 0 x = -

2 2

(δεκτη, συμφωνα με τους περιορισμους)x + 1 = 0

• (x + 1) + (5 - x) = 0 και και5 - x = 0

1 2

x = 1

x = 5


/


Ειναι λ(x - μ) = 3(x - 2) λx - λμ = 3x - 6 λx - 3x = λμ - 6 (λ - 3)x = λμ - 6 (1) Προκειμενου η (Ι

)

Εστω η εξισωση : λ(x - μ) = 3(x - 2). Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ και μ, ωστε η εξισωση να αληθευει για καθε x .

να αληθευει για καθε x , πρεπει :λ - 3 = 0 λ = 3λμ - 6 = 0 3μ = 6

λ = 3μ = 2

1

2

λ =-12 2 2 2 2

λ =-2

2

Ειναι

λ (x - 1) - 2 = 3λ + x λ x - λ - 2 = 3λ + x λ x - x = λ + 3λ + 2

(λ - 1)x = (λ + 1)(λ + 2) (λ - 1)(λ + 1)x = (λ + 1)(λ + 2) (Ι) • Για (λ - 1)(λ + 1) 0, δηλαδη για λ 1 και λ -1,

η (Ι

2Να λυθει η εξισωση : λ (x - 1) - 2 = 3λ + x

) εχει τη μοναδικη

(λ + 1) λυση : x =

(λ + 2)(λ - 1) (λ + 1)

λ + 2=λ - 1

• Για (λ - 1)(λ + 1) = 0, δηλαδη για λ = 1 η λ = -1, τοτε • Αν λ = 1 η (Ι) γινεται : 0.x = (1 + 1)(1 + 2) 0.x = 6, αδυνατη • Αν λ = -1 η (Ι) γινεται : 0.x = (-1 + 1)(-1 + 2) 0.x = 0, ταυτοτητα (απειρες

λυσεις).

Ειναι " σημαινει οτι :

2λ - 4 = 0 2λ = 4 "

2

Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση (2λ - 4)x = 0, να ειναι ταυτοτητα και η εξισωση (μ - 3)x = λ + 3 να ειναι αδυνατη.

η εξισωση (2λ - 4)x = 0 ειναι ταυτοτητα" λ = 2

η

2

σημαινει οτι :μ - 3 = 0

μ - 3 = 0λ + 3 0, που αληθευει, για καθε λ

2εξισωση (μ - 3)x = λ + 3 ειναι αδυνατη"

μ = 3


/


Προκειμενου καποιος ποτεμπορος να νοθεψει μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οινοπνευμα 40%, απο λαθος προσθετει 300 ml οινοπνευμα και το ουισκυ αποκτα πε -ριεκτικοτητα 58%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκο

40Αρχικα ο ογκος του ουισκυ ηταν x ml και του οινοπνευματος ηταν x ml. Μετα την 100

58 αναμειξη ο γκος του ουισκυ εγινε x + 300 ml και του οινοπνευματος (x + 300) ml.100

Επομενως, εξι

σων

ς του ποτου;

οντας τους ογκους του οινοπνευματος μετα την αναμειξη, προκυ - πτει :

40 58x + 300 = (x + 300) 40x + 30000 = 58x + 17400 18x = 12600100 100

Δηλαδη, ο αρχικος ογκος του ουσκυ ηταν 700 ml.x = 700

Η μπαταρια του φορητου μου υπολογιστη , γεμιζει οταν ειναι στη παροχη ηλεκτρικουρευματος σε 2 ωρες (χωρις να λειτουργει).Οταν ο υπολογιστης ειναι σε λειτουργια (εκτος παροχης ηλεκτρικου ρευματος) απο

Εστω x οι ωρες που θα

-φορτιζεται σε 4 ωρες.Ανοιγω τον υπολογιστη μου, με αδεια τελειως τη μπαταρια, και τον συνδεω με τη παρο -χη του ρευματος.Σε ποσες ωρες θα γεμισει η μπαταρια, ενω θα εργαζομαι;

χρειαστει η μπαταρια να γεμισει, ενω εργαζομαι.1 • Αφου η μπαταρια φορτιζεται σε 2 ωρες, σε μια ωρα θα εχει φορτιστει κατα το και σε 2

x x ωρες θα εχει φορτιστει κατα .2

• Αφου η μπαταρια αποφ 1ορτιζεται σε 4 ωρες, σε μια ωρα θα εχει αποφορτιστει κατα το 4

x και σε x ωρες θα εχει φορτιστει κατα . 4

Επομενωςx x 2x x x- = 1 - = 1 = 12 4 4 4 4

Δηλαδη, η μπαταρια θα φορτιστει πληρως σε 4 ωρ

x = 4

ες.


/


2

7 7 6

• Ειναι

2x - 4 = 3 2x = 7 • (2x - 4) = 3 | 2x - 4 |= 3 η η η

2x - 4 = -3 2x = 1

• x = 64x x - 64x = 0 x(x - 64) = 0

2 7

• Να λυθουν οι εξισωσεις :

• (2x - 4) = 3 • x = 64x

7x =2

1x =2

6

6 6 6 6

x = 0 ηx - 64 = 0

x = 0 x = 0 x = 0 η η η η

x = 64 x = ± 64 x = 2

x = 0

x = ± 2


/

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8

2

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :5x - 1 x + 4 1 - 4x• + = 2x -

2 5 3• x (x + 1)(5 - x) = 0 • x - x - 12 = 0

2

2

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• λ x - 2 = λ + 4x • λ (x - 1) = x - λ • λ (x - 1) = 3(x - λ) + 2(1 - λx)

2

2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :x 1 4x• + =

x + 3 x - 3 x - 9• (x - 2x + 1) + (-6 + 5x - x ) = 0

2

2

Αν η εξισωση α (x - 1) = x(2 - α) - 1 ειναι ταυτοτητα, τοτε να δειξετε οτι η εξισωση α x - 1 = α(x + 1) ειναι αδυνατη.

Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση λ(λx -1) + μ = x + 3 να ισχυει για καθε x .

Nα λυθουν και διερευνηθουν οι εξισωσεις

x-2 x +2+ =1λ -2 λ +2

2λ λ(λx +3) = + λx +22 4

2x +1 = λx -λ

(λ )

Να λυθει η εξισωση x-1 x -2 x- 4 x-5- = -x -2 x-3 x -5 x-6

Αν 4λ-7=-λ+3 να δειξετε οτι η εξισωση (λ-2)x = λ2+1 ειναι αδυνατη.

● Απαλοιφη παρονομαστων και ...● Αν Α.Β.Γ=0 τοτε: Α=0 η Β=0 η Γ=0

● Απαλοιφη παρονομαστων , περιορισμοι και ...● Παραγοντοποιηση το πρωτο μελος και ...

Τις μετασχηματιζω σε μορφη Α.x = Β, κανω διερευνηση και ...

Η εξισωση: Α.x = Β, ειναι : ● ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0● αδυνατη αν Α = 0 και Β ≠ 0

Τις μετασχηματιζω σε μορφη Α.x = Β.Η εξισωση: Α.x = Β, ειναι : ● ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0● αδυνατη αν Α = 0 και Β ≠ 0

Η εξισωση: Α.x = Β,ισχυει για καθε x αν Α = 0 και Β = 0

x - 1 x - 2 + 1 1= = 1 + ...x - 2 x - 2 x - 2

Η εξισωση: Α.x = Β, ειναι αδυ-νατη αν Α = 0 και Β ≠ 0


/

AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9

Σε μια ταξη Λυκειου διοργανωθηκε πρωταθλημα σκακιου. Την πρωτη μερα εγιναν μονο καποιοι αγω-νες στους οποιους οι δυο αντιπαλοι ηταν ενα αγορικαι ενα κοριτσι. Στους αγωνες αυτους της πρωτης μερας πηραν μερος τα 2/3 του αριθμου των κορι-τσιων της ταξης και τα 3/4 του αριθμου των αγορι-ων της τάξης. Αν η ταξη εχει συνολικα 34 παιδιανα βρειτε:● ποσα αγορια και ποσα κοριτσια εχει η ταξη● ποσα παιδια δεν πηραν μερος την πρωτη μερα στους αγώνες.

Σε μια δεξαμενη υπαρχουν τρεις βρυσες Α, Β και Γ.Η βρυση Α γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 8 ωρες, η βρυση Β γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 4 ωρες, ενω η βρυση Γ αδειαζει τη δεξαμενη σε 16 ωρες.Αν οι τρεις βρυσες ειναι ανοικτες ταυτοχρονα, σε ποσες ωρες θα γεμισει η δεξαμενη;

Σε εναν διψηφιο αριθμο το ψηφιο των μοναδων ει-ναι αριθμος μεγαλυτερος κατα 2 απο το ψηφιο των δεκαδων. Αν διαιρεσουμε τον διψηφιο αυτον αριθμομε το αθροισμα των ψηφιων δεκαδων και μοναδων βρίσκουμε πηλικο 4 και υπολοιπο 6. Να βρεθει ο διψηφιος αυτος αριθμος

Αν ο Α εκτελει ενα εργο σε α ωρες και ο Β σε β ωρες, τοτε αν συνεργαστουν και εκτελε -σουν το εργο σε x ωρες, η εξι -σωση που αποδιδει το προβλη -

x xμα ειναι : + = 1α β

Ενας διψηφιος αριθμος γραφε-ται : xy=10x+yAν τωρα y=x+2 τοτε ....

Αν x κοριτσια τοτε 34 - x τα αγορια. Αρα τη πρωτη μερα πηραν μερος :2 3x κοριτσια και (34 - x) 3 4αγορια και ...

Ενας ποτεμπορος, προκειμενου να νοθεψει , προ -σθετει σε μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οι -νοπνευμα 40%, 300 ml νερο και το ουισκυ αποκτα περιεκτικοτητα 28%.Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου;

Εστω x ο αρχικος ογκος τουποτου οποτε x+300 ....Διαλυμενη ουσια ισουται με τηνπεριεκτικοτητα επι την ποσοτη-τα του διαλυματος.


/

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 10

M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ε ι δ ι α α π ο λ υ τ α )

1ο Βημα : Μετατρεπουμε ολα τα απολυτα, ωστε να γινουν ιδια ( εχουμε το δικαιωμα να αλ - λαξουμε τα προσημα ενος απολυτου καθως και να βγαλουμε κοιν

| x - 1 | | 1 - x |Να λυθει η εξισωση : + =| -2x + 2 | -73 2

| x - 1 | | x - 1 |• + = 2. | x - 1 | -73 2

| x - 1 | | x - 1 |• 6 + 6 = 6 2 | x - 1 | -6 7 2 | x - 1 | +3 | x - 1 |= 12 | x - 1 | - 423 2

ο παραγοντα).

2ο Βημα : Λυνουμε σαν εξισωση 1ου βαθμου με αγνωστο

2 | x - 1 | +

το απο

3 | x - 1 | -12 | x - 1 |

λ

= - 42 -

υτο.

7

3ο Βημα : Εχοντας υποψιν οτι, αν : α. | f(x) |= θ > 0, τοτε f(x) = ± θ β. | f(x) |= α < 0, τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη, λυνου

| x -

με

1 | = - 42 |

τις δυο εξ

x - 1

ισω

| = 6

σεις

που προκυπτουν η αναφερουμε οτι η εξισωση ειναι

x - 1 = 6 x = 6 + 1 x = 7•

x - 1 = -6 x = -6 + 1

x = -5

αδυνατη.

M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ε δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ α α π ο λ υ τ α )

1ο Βημα : Βρισκουμε τις τιμες που μηδενιζουν καθε απολυτο και σχηματιζουμε πινακα προσημων των απολυτων, για το καθε διαστημα που δημιουργηθηκε.

Να λυθει η εξισωση :| x - 1 | + | 2x - 4 |= 1

● |x-1| μηδενιζει για x=1 ● |2x-4| μηδενιζει για x=2

• Για x < 1, η εξισωση γινεται :4- x + 1 - 2x + 4 = 1 -x - 2x = 1 -

2ο Βημα : Λυνουμε την εξισωση ξεχωριστα σε καθε δι

1 - 4 -3x = - 4 x = (απορριπτεται, x < 1).3

• Για 1

αστημα που δημιουρ

x < 2, η εξισωση γι

γηθη

νετα

κε.

ι :

x - 1 - 2

x + 4 = 1 x - 2x = 1 + 1 - 4 -x = - 2 x = 2 (απορριπτεται, 1 x < 2).

• Για x 2, η εξισωση γινεται :x - 1 + 2x - 4 = 1 x + 2x = 1 + 1 + 4 3x = 6 x = 2 (δεκτη).

x -∞ 1 2 +∞ |x-1| -x-1 x+1 x+1

|2x-4| -2x-4 -2x-4 2x+4


/


Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x - 4 |= 6 • | x - 4 |= 0 • | x - 4 |= -3 • 3 | x - 4 |=| 2x - 3 |

| x - 4 | | 4 - x | | 2x - 8 |• + =3 2 4

Ειναι

x - 4 = 6 • | x - 4 |= 0 x - 4 = 0 • | x - 4 |= 6 η η

x - 4 = -6 • | x - 4 |= -3 ειναι αδυνατη αφου - 3 < 03x - 12 = 2x - 3

• 3 | x - 4 |=| 2x - 3 | | 3x - 12 |=| 2x - 3 |

x = 10 x = 4

x = -2

|α|=|-α|

3x - 2x = 12 - 3 η η

3x - 12 = -2x + 3 3x + 2x = 12 + 3x = 9

η η 5x = 15

| x - 4 | | 4 - x | | 2x - 8 | | x - 4 | | -(x - 4) | | 2(x - 4) | • + = + = 3 2 4 3 2 4

| x - 4 | | x - 4 | | x - 4 | | x - 4 | | x + = 2 6. + 6.3 2 4 3

x = 9

x = 3

- 4 | | x - 4 |= 6. 2 2

2 | x - 4 | +3 | x - 4 |= 3 | x - 4 | 2 | x - 4 |= 0 x - 4 = 0 x = 4

Ειναι • Aν 3x + 5 < 0 τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη.

5 Aν 3x + 5 > 0, δηλαδη x > - , τοτε | x - 1 |= 3x + 53

x - 1 = 3x + 5 -2x = 6x - 1 = -3x - 5 4x = -4

Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x - 1 |= 3x + 5 • || x - 3 | +1 |= 2

|x-3|+1>0

5 5 {x = -3 (απορριπτεται αφου - 3 < - ) (δεκτη αφου - 1 > - )3 3

• || x - 3 | +1 |= 2 | x - 3 | +1 = 2 | x - 3 |= 1x - 3 = 1

x - 3 = -1

x = -1

x = 4x = 2

}


/


|x|=x, αν x 0

|x|=-x, αν x<0

• Ισχυει : | x | x | x | - x 0, οποτε η εξισωση :

|| x | -x |= 4 - 3 | x | | x | -x = 4 - 3 | x | 4 | x |= 4 + x

4x = 4 + x, αν x 0

-4x =

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• || x | -x |= 4 - 3 | x | • x - 3 | x | +2 = 0

2 2|x| =x2 2 2

4x = , αν x 03x = 4, αν x 0 34 + x, αν x < 0 -5x = 4, αν x < 0 4x = - , αν x < 0

5

• x - 3 | x | +2 = 0 | x | -3 | x | +2 = 0 | x | - | x | -2 | x | +2 = 0 | x | (| x | -1) - 2(| x | -1) = 0 (| x | -1)(| x | -2) = 0

| x | -1 = 0 | x || x | -2 = 0

= 1| x |= 2

x = ±1x = ±2

Τα απολυτα μηδενιζουν για x = 1, x = 2 και x = 3. Οποτε θα εξετασουμε την εξισωση στα διαστηματα : (- ,1), [1,2), [2,3) και [3, +

| x).

• Στο : (- ,1) εινα - 1 |=ι :

Να λυθει η εξισωση : 3 | x - 1 | + 2 | x - 2 | - | x - 3 |= 0

και η εξισωση γινεται :

3(-x + 1) + 2(-x + 2) - (-x + 3) = 0 -3x + 3 - 2x + 4 + x - 3 = 0 - 4x + 4 = 0 x = 1 (απορριπτεται αφου 1 (- ,1)). • Στο : [1,2) ειναι :

-x + 1, | x - 2 |= -x + 2,| x - 3 |= -x + 3

| x - 1 |= x - 1, | x - 2 |= -x + 2,| x - 3 |= -x + 3κ

αι η εξισωση γινεται : 3(x - 1) + 2(-x + 2) - (-x + 3) = 0 3x - 3 - 2x + 4 + x - 3 = 0 2x - 2 = 0 (δεκτη αφου 1 [1,2)

| x - 1 |= x - 1, | x - 2 |= x - 2,).

• Στο : [2,3) ειναι : και η εξισωση γινεται :

|

3(x - 1) + 2(x -

x - 3 |= -x +

-

3

2) (

x = 1

| x - 1 |= x - 1,

5-x + 3) = 0 3x -

| x - 2 |= x - 2,|

3 + 2x - 4 + x - 3 = 0 6x - 10 = 0 x = 3

5 (απορριπτεται αφου [2,3)).3

• Στο : [3, + ) ειναι : και η εξισωση γινεται : 3(x - 1) + 2(x - 2) - (x - 3) = 0 3x - 3 + 2x - 4 - x + 3 = 0 4x - 4 = 0 x =

x - 3 |= x - 3

1

(απορριπτεται αφου 1 [3, + )). Αρα η εξισωση εχει μια λυση, την . x = 1


/


2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x - 1 |= 5 • | x + 7 |= 0 • - 2 | x + 3 | +3 | x - 6 |= 0 | x - 2 | | 4 - 2x |• + 1 =

2 33 | 2x - 6 | +1 4 | 2x - 6 | -3 | 2x - 6 | +1• - =

2 2 32 | x - 1 | -1 | x - 1 | +1• - = 3

3 2

Ισχυει :x = θ

• Αν | x |= θ, θ > 0 τοτε ηx = -θ

x = α• Αν | x |=| α | τοτε η

x = -α

Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x + 2 | - | x - 2 |= 5• | x + 1 | - 3 | x - 2 | + | x - 3 |= 0• | 2x - 1 | - 3 | x + 2 | + 2 | x - 4 |= 3 - 5x

Bρισκουμε τις τιμες του x που μηδενιζουν τα απολυτα και ε -ξεταζουμε την εξισωση στα δι -αστηματα που σχηματιζονται απ'αυτες τις τιμες. Ελεγχουμε αν η λυση που βρισκουμε καθε φορα, ανηκει στο διαστημα που εξεταζουμε την εξισωση.

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x + 3 |= -x + 2 • | 2x - 1 |= -x + 3 • || 2x - 4 | +2 |= 6• || 2x | -x |= 6- | x | • (3 - x) + | x - 3 | -20 = 0

2 2

Ισχυει :x = θ

• Αν | x |= θ, θ > 0 τοτε ηx = -θ

x = α• Αν | x |=| α | τοτε η

x = -α• | α | = α


/


Λ υ σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς 2 ο υ β α θ μ ο υ Εξισωση 2ου βαθμου μ’εναν αγνωστο, ειναι η εξισωση με :αx²+βx+γ=0 με α,β,γκαι α≠0.● Διακρινουσα της εξισωσης δευτερου βαθμου, λεγεται η αλγεβρικη παρασταση: Δ=β2-4αγ.● Λυση της εξισωσης δευτερου βαθμου:

● Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δυο ριζες ανισες στο τις ρ₁‚₂ = -β ± Δ2α

.

● Αν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα ρ = -β2α

.

● Αν Δ < 0 τοτε η εξισωση δεν εχει ριζα στο , δηλαδη ειναι αδυνατη στο .Παρατηρηση 1. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει πραγματικες ριζες αν και μονο αν: Δ ≥ 0.2. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες αν οι α και γ ειναι ετεροσημοι.3. H εξισωση της μορφης: αx4+βx2+γ=0 με α,β,γ και α≠0, λεγεται διτετραγωνη και η λυση της γινεται με την αντικατασταση: x2=y, οποτε αx4+βx2+γ=0 αy2+βy+γ=0.

2

2 22 2

2 22 2 Δ

2

=β -4αγ

2 2

2

2

2

2

β γ β β β γx + x + = 0 x + 2 x + - + = 0α α 2α 2α 2α α

β β γ β β - 4αγx + = - x + = 2α α 2α

αx +βx + γ = 0

β Δx + = (1)2α 4α

-β ± Δ• Αν Δ > 0 x =2α

•

4α 4α

β Δ β Δ: x + = x + = ±2α 2α 2α

Α

4α

Α π ο δ ε ι ξ η

2β β: x + = 0 x + =2α 2α

: Η (1) ειναι

βν Δ = 0 x = -2α

• Αν Δ < 0 αδυνατη στο , οποτε η εξισ δεν εχει ριζες στο ωση .


/


Α θ ρ ο ι σ μ α - Γ ι ν ο μ ε ν ο Ρ ι ζ ω ν Ε ξ ι σ ω σ η ς 2 ο υ β α θ μ ο υ Εστω η εξισωση: αx2+βx+γ=0 με α≠0, Δ ≥ 0 και ριζες x1, x2.● To αθροισμα των ριζων x1, x2 της εξιςωσης: αx2+βx+γ=0 δινεται απο:

S = x1 + x2 = β-α

(1)

● To γινομενο των ριζων x1,x2 της εξιςωσης: αx2+βx+γ=0 δινεται απο:

Ρ = x1 . x2 = γα

(2)

Οι πιο πανω τυποι λεγονται τυποι του Vietta.● Συμφωνα με τα πιο πανω η εξισωση: αx2+βx+γ=0 μετασχηματιζεται:

2 (1)

2 2

(2)

αx βx γ β γαx + βx + γ = 0 + + = 0 x - (- )x + = 0 α α α α α

2x - Sx + P = 0

2

21 2

2 2 2 Δ=β -4αγ

2

1

2 2

2

1 2

-β + Δ -β - ΔOι ριζες της : αx +βx + γ = 0 ειναι : x = και x = . Τοτε2α 2α

-β + Δ -β - Δ -β + Δ -β - Δ -2β= + = = =2α 2α 2α 2α

-β + Δ -β - Δ (-β + Δ)(-β - Δ) (-β) - ( Δ) β - Δ= . = = = = 2α 2

• = x + x

• α 4α 4α

Ρ = x .4α

x

Α π ο δ ε ι ξ η

βS -α

2 2

2 2

β -β + 4αγ 4αγ = = =4α 4α

γα

M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς 2 ο υ β α θ μ ο υ )

2

2 2• (x1ο Βημα : Κανουμε πραξεις και τη φερνουμε στη μορφη :

- 1) - 2(x + 3) = x - 11αx + βx + γ = 0.

2ο Βρισκουμε τη... x - 5x + 6 = 0 με α = 1,β =

ν διακρινουσα πο-5 και γ

υ ειναι ιση μ= 6.

2Να λυθει η εξισωση : (x - 1) - 2(x + 3) = x - 11

2

1

1

2

2

1 1

1,2

2 2

,2

ε : Δ = β - 4.α.γ.

-• Δ = (-5) - 4 1 6 = 25 - 24 = 1

5 + 1 6x = x =-(-5) ± 1 5 ± 1 2 2• x = =2 1 2

β ± Δ3ο Βημα :

5 - 1 4x = x =2

Βρισκουμε τις ριζες της, με τη βοηθεια του τυπου :

x = 3x = 2

Στη περιπ

x =

2

.2

τωση που

α

:β• Δ = 0, τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα, την : x = - .2α

• Δ < 0, τοτε η εξισωση δεν εχει πραγματικες ριζες.


/


Σ η μ α ν τ ι κ ο

01. Δυο ριζες πραγματικες και ανισες02. Δυο ριζες ισες03. Καμμια πραγματικη ριζα04. Δυο ριζες ετεροσημες05. Δυο ριζες ετεροσημες ("θετικη" μεγαλυτερη)06. Δυο ριζες ετεροσημες ("αρνητικη" μεγαλυτερη)07. Δυο ριζες θετικες08. Δυο ριζες θετικες και ανισες09. Δυο ριζες θετικες και ισες10. Μια ριζα θετικη και η αλλη μηδεν11. Δυο ριζες αρνητικες12. Δυο ριζες αρνητικες και ανισες13. Δυο ριζες αρνητικες και ισες14. Μια ριζα αρνητικη και η αλλη μηδεν15. Μια ριζα το μηδεν16. Δυο ριζες ισες με μηδεν17. Δυο ριζες αντιστροφες18. Δυο ριζες αντιθετες19. Δυο ριζες ομοσημες20. Δυο ριζες ομοσημες και διαφορετικες21. Δυο ριζες ομοσημες και ισες

01. Δ > 0 και α 002. Δ = 0 και α 003. Δ < 0 04. Ρ < 0 05. Ρ < 0 και S > 006. Ρ < 0 και S < 007. Δ 0 και Ρ > 0 και S > 008. Δ > 0 και Ρ > 0 και S > 009. Δ = 0 και S > 010. P = 0 και S > 011. Δ 0 και Ρ > 0 και S < 01

2. Δ > 0 και Ρ > 0 και S < 0

13. Δ = 0 και S < 014. P = 0 και S < 015. P = 0 16. Δ = 0 και P = 017. Δ 0 και P = 118. P < 0 και S = 019. Δ 0 και P > 020. Δ > 0 και P > 021. Δ = 0 και P > 0


/

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 172• Δινεται η εξισωση x + (1 - λ)x - λ = 0 (Ι).

• Αν η μια ριζα της ειναι το - 1, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα. • Aν η εξισωση (Ι) εχει διπλη ριζα, τοτε να δειξετε οτι ο λ ισουται με τη ριζα αυ

2

2 2

• Αφου το - 3 ειναι ριζα της εξισωσης, τοτε την επαληθευει. Δηλαδη (-3) + (1 - λ)(-3) - λ = 0 9 - 3 + 3λ - λ = 0 2λ = 6 λ = 3 Οποτε η (Ι) γινεται :

Δ = 4 + 12 = 16 x + (1 - 3)x - 3 = 0 x - 2x - 3 = 0 32 ± 4x = = 1 ± 2 =

2 -1

τη.

2 2 2

2

Oποτε η αλλη ριζα ειναι το 3 και λ = 3. • Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει : Δ = 0 (1 - λ) - 4.1.(-λ) = 0 1 - 2λ + λ + 4λ = 0 λ + 2λ + 1 = 0 (λ + 1) = 0 λ + 1 = 0 λ = -1. Επισης

-(1 - λ) x =

-1 + λ -1 + (-1) -1 - 1 -2= = = = = -1. Αρα ο λ ισουται με τη διπλη ριζα.2.1 2 2 2 2

2Δινεται η εξισωση (λ - 2)x + 2λx + λ - 1 = 0 (Ι).Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) :• να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. • να εχει μια διπλη ριζα, που θα βρειτε.• να εχει δυο πραγματικες και αν

• Αφου η (Ι) εχει μονο μια ριζα, τοτε δεν ειναι εξισωση δευτερου βαθμου. Οποτε πρεπει, λ - 2 = 0 λ = 2

1 Για λ = 2 η (Ι) γινεται : 4x + 1 = 0 x = -4

• Η εξι

ισες ριζες. • να μην εχει πραγματικη ριζα.

2 2 2

0

σωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει :2 Δ = 0 (2λ) - 4.(λ - 2).(λ - 1) = 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 = 0 12λ = 8 λ = .3

Επισης, η διπλη ριζα ειναι :42 4 4 --2. - --2λ -2λ 33 3 3 x = = = = = =2 4 12 82.(λ - 2) 2λ - 4 2. - 4 - -

3 3 3 3

42. -3

2 2

1=2

• Η εξισωση (Ι), προκειμενου να εχει δυο ριζες πραγματικες ανισες, πρεπει :

Δ > 0 (2λ) - 4.(λ - 2).(λ - 1) > 0 4λ

2- 4λ

2 2 2

2+ 4λ + 8λ - 8 > 0 12λ > 8 λ > .3

• Η εξισωση (Ι), προκειμενου να μην εχει ριζες πραγματικες, πρεπει :2 Δ < 0 (2λ) - 4.(λ - 2).(λ - 1) < 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 < 0 12λ < 8 λ < .3


/


2 2 2

1

1,2

1 Δ = (-2λ) - 4.1.(λ - ) = 4λ - 4λ + 1 = (2λ - 1)4

2λ + (2λ - 1)x = =2λ ± (2λ - 1) 2 x =2

21 2

1 2

1Δινεται η εξισωση x - 2λx + λ - = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ .4

3Αν οι αριθμοι 3, ρ , ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ ( ,2).2

∈

2

(+1)

2λ + 2λ - 1 4λ - 1=2 2

2λ - (2λ - 1) 2λ - 2λ + 1 1x = = =2 2 2

4λ - 1 1 Eπειδη 3, , αποτελουν μηκη πλευρων τριγωνου ισχυει η τριγωνικη ανισοτητα.2 2

Δηλαδη1 4λ - 1 1 5 4λ - 1 73 - < < 3 + < < 5 < 4λ - 1 < 7 2 2 2 2 2 2

5 + 1 < 4λ - 1 + 1 < 7

(:4) 6 8 3 3+ 1 6 < 4λ < 8 < λ < < λ < 2. Αρα λ ( ,2).4 4 2 2

21 2

2 2 3 3 21 2 1 2 1 2

1 22

• Δινεται η εξισωση x + x - 6 = 0 με ριζες τις x και x . Χωρις να λυσετε, να υπολογισετε τις παραστασεις :

1 1 • Α = x + x • B = x + x • Γ = (x - x ) • Δ = +x + 2 x + 2

• Δινεται η εξισωση x + (λ - 2)x - 2λ = 0 με

1 2 1 2

(1)2 2 2 21 2 1 2 1 2 (2)

3 3 21 2 1 2 1

β 1 γ -6 S = x + x = - = - = -1 (1) Ρ = x .x = = = -6 (2)α 1 α 1

• = x + x = (x + x ) - 2x .x =(-1) - 2(-6) = 1 + 12 =

• = x + x = (x + x )(x

1 22 21 2

ριζες τις x και x . Να υπολογισετε το λ ωστε : x + x = 13.

Α 13

B(1,2)

2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 Α=13

(2)2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Α=13

2 1 1 2

1 2 1 2 1 2

- x .x + x ) = (x + x )[(x + x ) - x .x ] =

= (-1)[13 - (-6)] =

• = (x - x ) = x - 2x .x + x = (x + x ) - 2x .x = 13 - 2(-6) =

x + 2 + x + 2 (x + x ) + 41 1 • = + = =x + 2 x + 2 (x + 2)(x + 2) 2(x + x

-19

Γ 25

Δ(1)

(2)1 2

1 2 1 2

(1)2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 (2)

=) + x x + 4

-1 + 4 3 = = =2(-1) + (-6) + 4 -2 - 6 + 4

β λ - 2 γ -2λ • S = x + x = - = - = -λ + 2 (3) Ρ = x .x = = = -2λ (4)α 1 α 1

x + x = 13 (x + x ) - 2x .x = 13 (-λ + 2) - (-2λ) = 13 λ - 4λ + 4 + 4λ - 13 = 0

3-4

2 2 λ - 9 = 0 λ = 9 λ = ± 9 λ = ±3


/


Ει

2Δινεται η εξισωση x - λx + λ - 1 = 0 . Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : • Δυο ριζες ετεροσημες. • Δυο ριζες θετικες ανισες.• Δυο ριζες αντιστροφες. • Δυο ριζες αντιθετες.

2 21 2 1 2

ναιβ -λ γ λ - 1 Δ = (-λ) - 4.1.(λ - 1) = (λ - 2) S = x + x = - = - = λ Ρ = x .x = = = λ - 1α 1 α 1

• Η εξισωση εχει δυο ριζες ετεροσημες, αν : Ρ < 0 λ - 1 < 0 λ < 1 • Η εξισωση εχει δυο ριζες θετικες ανισες, αν :

Δ > 0 S > 0

Ρ > 0

2

2

(λ - 2) > 0 λ 2λ 2

λ > 0 λ > 0 λ (1,2)U(2, + ) λ > 1

λ - 1 > 0 λ > 1

• Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιστροφες, αν :Δ 0 λ(λ - 2) 0 λ = 2Ρ = 1 λ = 2λ - 1 = 1

• Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιθετες,

2

αν :Δ > 0 λ 2(λ - 2) > 0 λ = 0S = 0 λ = 0λ = 0

21 2Δινεται η εξισωση x - 3x + λ = 0 με ριζες τις x και x .

• Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι διπλασια της αλλης.

• Για την πιο πανω τιμη του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχει

1 2 1 2

1 2

2 22 22 2

2 2 2

β -3 γ λ Ειναι : x + x = - = - = 3 (1) x .x = = = λ (2)α 1 α 1

Αν x = 2x , τοτε οι (1) και (2) γινονται :3x = 3 x = 12x + x = 3

λ = 22x .x = λ 2x = λ 2.1 = λ

η οποι

1 2

2 1

x xριζες : και .x x

2

21 2

α ειναι δεκτη γιατι, για λ = 2 η διακρινουσα ειναι : Δ = (-3) - 4.1.2 = 9 - 8 = 1 > 0 που σημαινει οτι η εξισωση εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. • Για λ - 2 η εξισωση γινεται : x - 3x + 2 = 0 και x + x = 3, x1 2

1 21 2

2 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2

2 1 1 2 1 2 2 1

21 2 1 2

.x = 2.x x Oποτε, αν ρ = και ρ = , τοτεx x

x x x + x (x + x ) - 2x .x x x3 - 2.2 5 • ρ + ρ = + = = = = • ρ .ρ = . = 1x x x .x x .x 2 2 x x

Αρα η ζητουμενη εξισωση ειναι :

x - (ρ + ρ )x + ρ .ρ 2 5= 0 x - x + 1 = 02

22x - 5x + 2 = 0


/


2

2 2

Αν οι ριζες της εξισωσης x - (α - 2β)x - αβ = 0 ειναι αντιθετες και οι ριζες της ε -ξισωσης αx + 5x + 2α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε :• να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων α και β.• να λυσετε την πρωτη

2

2 2 2 2 21

1

• Αφου οι ριζες της εξισωσης x - (α - 2β)x - αβ = 0 ειναι αντιθετες, τοτε :Δ > 0 (α - 2β) + 4αβ > 0 α - 4αβ + 4β + 4αβ > 0 α + 4β > S = 0 α - 2β = 0 βα 2=

εξισωση, για τις τιμες των α και β που βρηκατε πιο πανω.

2 2

2 222

2 2

2

0 α = 2β (1)α = 2β

Αφου οι ριζες της εξισωσης αx + 5x + 2α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε :5 - 4α(2α - 3αβ) > 0 25 - 4α.α > 0 25Δ 0 α <25 - 4α > 0 4α(2α - 3β)2α - 3αβΡ = 1 = 1 2α - 3β = 1= 1 2α - 3β = 1αα

(1)

2 2 2

25 25 25 25 25 25- < α < - < 2β < - < β < β = 1 (δεκτη), οποτε α = 2.4 4 4 4 8 82α - 3β = 1 2.2β - 3β = 1 β = 1

• Για α = 2 και β = 1 η πρωτη εξισωση γινεται : x - (2 - 2.1)x - 2.1 = 0 x - 2 = 0 x = 2 x = ± 2.

2

2 2

• Θετουμε x = y, οποτε η (1) γινεται : y + y - 2 = 0 y - y + 2y - 2 = 0 y(y - 1) + 3(y - 1) = 0 (y - 1)(y + 3) = 0

y - 1 = 0

3 =+ 0y

4 2

4 3 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : x + x - 2 = 0 • (2) : x + 2x + 2x + 2x + 1 = 0

2

2

2 2 2 2 2 22 2

y = 1 • Για y = 1 τοτε x = 1 x = ±1 y = -3 • Για y = -3 τοτε x = -3 αδυνατη.

Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-1,1}.1 1 1 1 • Για x + = y τοτε (x + ) = y x + 2 + = y x + = y - 2.x x x x

Για x 0, διαιρουμε την (

2 22

2

1x+ =yx

2 22 2 1x + =y -2

x

2 2

x 02

2) με x , οποτε προκυπτει :

2 1 1 1 x + 2x + 2 + + = 0 x + + 2 x + + 2 = 0x xx x

y = 0 y = 0 y - 2 + 2y + 2 = 0 y + 2y = 0 y(y + 2) = 0

y + 2 = 0 y = -21 • Για y = 0 τοτε x + = 0 x + 1 = 0, αδυνατηx

2 2 21 • Για y = -2 τοτε x - = -2 x - 1 = -2x x + 2x - 1 = 0 (x + 1) = 0 x + 1 = 0x

x = -1. Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-1}.


/


2 2 2 • Θετουμε x - 2x + 2 = y, οποτε η (1) γινεται : y - 6y + 5 = 0 y - y - 5y + 5 = 0y - 1 = 0

y(y - 1) - 5(y - 1) = 0 (y - 1)(y - 5) = 0 y - 5

2 2 2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : (x - 2x + 2) - 6(x - 2x + 2) + 5 = 0 • (2) : (x - 1) - 8 | x - 1 | +15 = 0

2 2 2

2 2 2

y = 1= 0 y = 5

• Για y = 1 τοτε x - 2x + 2 = 1 x - 2x + 1 = 0 (x - 1) = 0 • Για y = 5 τοτε x - 2x + 2 = 5 x - 2x - 3 = 0 x - 3x + x - 3 = 0

x + 1 = 0 x(x - 3) + (x - 3) = 0 (x + 1)(x - 3) = 0

x - 3 = 0 Αρα το συνολο λυ

x = 1

x = -1x = 3

Θετουμε2 2 2

|x-1|=ω

2

σεων ειναι : {-1,1,3}.

• Eιναι, (x - 1) - 8 | x - 1 | +15 = 0 | x - 1 | -8 | x - 1 | +15 = 0 ω - 8ω + 15 = 0

ω = 3 ω - 3ω - 5ω + 15 = 0 ω(ω - 3) - 5(ω - 3) = 0 (ω - 3)(ω - 5) = 0

ω = 5x - 1 = 3

Για ω = 3 τοτε | x - 1 |= 3x - 1 = -3

x = 4x

Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4, -2, 4, 6}

x - 1 = 5Για ω = 5 τοτε | x - 1 |= 5

x - 1 = -5

= -2x = 6x = -4

2 2 2 2

• Για x - 1 0 x 1 η (1) γινεται : x - 3(x - 1) - 1 = 0 x - 3x + 3 - 1 = 0 x - 3x + 2 = 0 x - x - 2x + 2 =

0

x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 (

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : x - 3 | x - 1 | -1 = 0 • (2) : x - x - 1 - 3 = 0

2 2 2 2

x - 1 = 0 x = 1x - 1)(x - 2) = 0

x - 2 = 0 x = 2 Για x - 1 < 0 x < 1 η (1) γινεται : x - 3(-x + 1) - 1 = 0 x + 3x - 3 - 1 = 0 x + 3x - 4 = 0 x + 4x - x - 4 = 0

x + 4 = 0 x = -4 x(x + 4) - (x + 4) = 0 (x + 4)(x - 1) = 0

x - 1 = 0 x = 1 απορριπτεται αφου x < 1

22 2

2 2 2

Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4,1,2}.x - 3 0 x 3

• x - x - 1 - 3 = 0 x - 3 = x - 1 x - 1 0 x 1x - 6x + 9 =| x - 1 |(x - 3) = ( x - 1)

x 3 x 3 x 3

x - 6x + 9 = x - 1 x - 7x + 10 = 0 x - 2x - 5x + 10 = 0

x 3

x(x - 2) - 5(x - 2

x 3 x 3

x 3 x - 2 = 0 x = 2 απορριπτεται

) = 0 (x - 2)(x - 5) = 0x - 5 = 0 x = 5

Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {5}.


/


2

2

• Δινεται η εξισωση x - (λ + 3)x + λ + 4 = 0 (Ι). Αν η μια ριζα της ειναι το 2, να δειξετε οτι ο λ ι - σουται με την αλλη ριζα.• Να δειξετε οτι η εξισωση x - (α + β + γ)x + αβ + βγ + γα = 0 (ΙΙ) εχει δι - πλη ριζα, μονο

2

αν α = β = γ.• Να δειξετε οτι η εξισωση αx + βx + γ = 0 (ΙΙΙ) εχει ριζα τον αριθμο - 1, μονο αν β = α + γ.

2 2

Δινεται η εξισωση (λ - 3λ + 2)x + (λ - 2)x + 3 = 0 (Ι).Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) :• να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε.• να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε.• να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες.• να μην εχει πραγματικη ριζα.

2

1 2

1 2

Δινεται η εξισωση x - (λ + 1)x + λ = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ .Αν οι αριθμοι 2, ρ , ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ (1,3).

2Η εξισωση αx + βx + γ = 0 εχει :• δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0.• μια διπλη ριζα, αν Δ = 0.• καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0.


Αν α, β , γ ειναι πλευρες τριγω -νου, τοτε :• | β - γ |< α < β + γ• | α - γ |< β < α + γ• | β - α |< γ < β + α

2 2

Δινεται η εξισωση (λ - 3λ + 2)x + (λ - 2)x + 3 = 0 (Ι).Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) :• να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε.• να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε.• να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες.• να μην εχει πραγματικη ριζα.

2

1 2

1 2

Δινεται η εξισωση x - (λ + 1)x + λ = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ .Αν οι αριθμοι 2, ρ , ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ (1,3).


Αν α, β , γ ειναι πλευρες τριγω -νου, τοτε :• | β - γ |< α < β + γ• | α - γ |< β < α + γ• | β - α |< γ < β + α

21

22 2

2 2 1 21 2 2 1

2 1

1 22

• Δινεται η εξισωση x + 2x - 3 = 0 με ριζες τις x και x . Χωρις να λυσετε, υπολογιστε τις :

x x • Α = x x + x x • B = + x x

• Γ = (1 - x )(1 - x ) • Δινεται η εξισωση x + (λ + 1)x - 2 - λ = 0 με ριζες τις x1 2

1 22

2 2 2

3 3

και x .1 1 2 Να υπολογισετε το λ ωστε : + = .x x 3

• Αν α και β ειναι ριζες της εξισωσης - x + 2x + 3 = 0, τοτε να λυθει το συστημα :

2α 2β(α - β) x + + y = α β + αββ α

(α - β )x - (1 - 2α)(1 - 2β)y = 4

2

2 2 21 2 1 2 1 23 3 21 2 1 2 1 1

• Για την εξισωση αx + βx + γ = 0, το αθροισμα και το γινομενο των ριζων της δινεται απο :

β γ • S = - και • Ρ =α α

• Ισχυει : • x + x = (x + x ) - 2x .x • x ± x = (x ± x )(x x . .

22 2x + x )


/


21

2

Δινεται η εξισωση x - λx + 3 = 0 με ριζες τις x και x .• Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι τριπλασια της αλλης.

• Για τις πιο πανω τιμες του λ, να κατασκευασετε εξισωση που 1 2εχει ριζες : 2x - 1, 2x - 1.

2 2Δινεται η εξισωση 4x + 4(3λ + 2)x + 9λ - 36 = 0 . Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : • Δυο ριζες ετεροσημες. • Δυο ριζες oμοσημες.• Δυο ριζες αντιστροφες. • Δυο ριζες αντιθετες.

4 2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2

4 3 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• x - 3α x - 4α = 0 • γ x + (α γ - β γ )x - α β = 0 • x + 5x + 4x - 5x + 1 = 0

2

β γ • S = - και • Ρ =α α

• Αν α και β ειναι ριζες εξισω -σης δευτερου βαθμου, τοτε αυ -τη εχει μορφη : x - (α + β)x + αβ = 0

β γΒρες : Δ, - και και χρησι -α α

μοποιησε τον δοσμενο πινακα.

4 3 2

2

2 22

2

4

2

2 2

• Για εξισωσεις της μορφης : αx + βx + γx + βx + α = 0 : • Διαιρουμε με x • αντικαθιστουμε :

• Γ

1 1 •

ια εξισωσεις της μορφης : αx + βx + γ =

y = x + οποτε : x + = y - 2x x1 1 • y =

0, αντικαθιστο

x - οποτε : x

υμε =

x

.

+

x

x

y

2= y + 2

2

2 2

Αν οι ριζες της εξισωσης x - (5λ - 6μ)x - 1 = 0 ει -ναι αντιθετες και οι ριζες της εξισωσης λx + 13x - λμ + λ = 0 ειναι αντιστροφες, τοτε :• να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων λ και μ.• να λυσετε τις εξισωσεις, για τις τιμες των λ και μ που βρηκατε.

β γΒρες : Δ, - και και χρησι -α α

μοποιησε τον δοσμενο πινακα.

2 2 2

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• (x + 2x - 3) + (x + 2x + 4) - 9 = 0 • (x - 1) = 3 | x - 1 | +4

Αντικαθιστουμε τις ιδιες παρεν -θεσεις η τα ιδια απολυτα με y και λυνουμε τις δευτεροβαθμιες ...

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• x - 2 | x - 2 | -4 = 0• x + x - 1 = 7

• Λυνουμε σε δυο διαστηματα, λογω του απολυτου.• Βαζουμε περιορισμους, λογω του ριζικου.


/

EΞΙΣΩΣΕΙΣ · • Αν α = 0 = βτοτε η (1) εχει απειρες λυσεις...

Documents

Transcript of EΞΙΣΩΣΕΙΣ · • Αν α = 0 = βτοτε η (1) εχει απειρες λυσεις...