Dr. Bazs³ F¼l¶p - Fizika 2 (SRB-HUN)

download Dr. Bazs³ F¼l¶p - Fizika 2 (SRB-HUN)

of 133

  • date post

    04-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    46
  • download

    3

Embed Size (px)

description

Geometrijska optikaGeometriai optikaTalasna optikaHullámoptikaKvantna teorijaKvantumelméletRadioaktivni raspadRadioaktív bomlás

Transcript of Dr. Bazs³ F¼l¶p - Fizika 2 (SRB-HUN)

  • Fizika 2.Beleske/ Jegyzet

    2013.

  • 20.1 Podsetnik/Emlekezteto:

    z = x+ iy = exp(i), z = x iy = exp(i) (1) =

    x2 + y2, = arctg

    y

    x(2)

    |z|2 = 2 = x2 + y2 = zz (3)x = Re(z) = cos, y = Im(z) = sin (4)

    x =1

    2(z + z), y =

    1

    2i(z z) = i

    2(z z) (5)

    exp(i) + exp(i) = 2 cos (6)exp(i) exp(i) = 2i sin (7)

    Ni=0

    qi = 1 + q + q2 + . . .+ qN =1 qN1 q (8)

    expx ex (9)sinx x, |x| 1 (10)

    1 + x 1 + 12x, x 1 (11)

    expx 1 + x, x 1 (12)cos( + ) = cos cos sin sin (13)cos + cos = 2 cos

    ( +

    2

    )cos

    (

    2

    )(14)

    Kronekerov simbol / Kronecker-szimbolum

    i,j =

    {1, i = j0, i 6= j (15)

    Simbol Levi-Civita/ Levi-Civita-szimbolum

    i,j,k =

    1, (i, j, k) {(x, y, z), (y, z, x), (z, x, y)}1, (i, j, k) {(x, z, y), (z, y, x), (y, x, z)}

    0, u ostalim slucajevima / egyebkent(16)

    (cf) = cf , c = const (17)

    (f + g) = f + g (18)

    (fg) = f g + fg (19)

    f(g(x)) = f (g(x))g(x) (20)

  • 0.1. PODSETNIK/EMLEKEZTETO: 3

    Lopital-ovo pravilo: pod pretpostavkom da sve navedene granicne vrednostipostoje, vazi:Lopital-szabaly: amennyiben az osszes szoban forgo hatarertek letezik, igaz,hogy:

    limxx0

    f(x)

    g(x)= lim

    xx0f (x)g(x)

    (21)

    dy

    dx= ay y = y(0) exp(ax) (22)

    d2y

    dx2+ a2y = 0 y = A exp(iax) +B exp(iax) (23)

    sin a sin b =1

    2(cos(a b) cos(a+ b)) (24)

    cos a cos b =1

    2(cos(a b) + cos(a+ b)) (25)

    sin a cos b =1

    2(sin(a+ b) + sin(a b)) (26)

    skalarni proizvod dve kompleksne funkcije - dva kompleksna vektoraket komplex fuggveny - ket komplex vektor skalarszorzata

    f, g : R3 Z (27)f, g =

    f (x, y, z)g(x, y, z) dx dy dz (28)

  • 42cos(x)

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    10 5 0 5 10

    cos (x)

    Figure 1: cos(x), cos2(x)

  • Chapter 1

    Geometrijska optikaGeometriai optika

    Indeks prelamanja svetlosti n neke sredine je jednak odnosu brzine svetlostiu vakuumu, (c), i odnosu brzine svetlosti u datoj sredini, (v).Egy kozeg toresmutatoja n egyenlo a vakuumbeli fenysebesseg (c) aranyavalaz adott kozegben mert fenysebesseggel (v).

    n =c

    v(1.1)

    1.1 Fermaov princip

    Fermat-elv

    Ukoliko je sredina opticki nehomogena i indeks prelamanja se menja od tackedo tacke, opticku duzinu (l) puta racunamo po obrascu (1.3).Amennyiben a kozeg optikailag inhomogen es a toresmutato pontonkentvaltozik, az (l) optikai uthosszt a (1.3) egyenlet hatarozza meg.

    dl = n(~r)ds (1.2)

    l =n(~r)ds (1.3)

    Integral racunamo duz putanje svetlosnog zraka. ds je infinitezimalni elementputanje svetlosnog zraka.

    5

  • 6 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

    Az integralt a fenysugar menten szamoljuk. ds a fenysugar infinitezimalisszakasza.

    Fermaov princip:Fermat-elv:Svetlosni zrak se prostire tako, da mu je opticka duzina puta najkraca moguca.A fenysugar ugy terjed, hogy az optikai uthossza a leheto legrovidebb legyen.

    1.1.1 Zakon prelamanja svetlostiA fenytores torvenye

    Kao primer primene Fermaovog principa izvescemo zakon prelamanja svet-losti.A Fermat-elv alkalmazasi peldajakent levezetjuk a fenytoresi torvenyt.

    Dve sredine 1 i 2, s indeksima prelamanja n1 i n2 granice se jednom ravni.Tacka A je u sredini 1, tacka B je u sredini 2. Kako se prositre svetlosti zrakizmedju tacaka A i B?Ket egymassal hataros kozeg, 1 es 2, egy sk menten erintkezik egymassal. Amegfelelo toresmutatok n1 es n2. Az A pont az 1-es kozegben van, a B ponta pedig a 2-es kozegben. Hogyan terjed a fenysugar a ket pont kozott?

    A

    B

    n

    n

    1

    x dx

    ys

    ys

    1

    2

    1

    2

    2

    Figure 1.1: Duzina optickog puta izmedju tacaka A i B. A es B pontokkozotti optikai uthossz.

  • 1.1. FERMAOV PRINCIP FERMAT-ELV 7

    l = n1s1 + n2s2 (1.4)

    s21 = x2 + y21, s

    22 = (d x)2 + y22 (1.5)

    l = n1x2 + y21 + n2

    (d x)2 + y22 (1.6)

    Uslov za minimum optickog puta l, (1.6), je dldx

    = 0.Az l, (1.6), optikai uthosz minimumanak a foltetele dl

    dx= 0.

    dl

    dx= n1

    1

    2

    2xx2 + y21

    n2 12

    2x(d x)2 + y22

    = 0 (1.7)

    Na osnovu (1.7) uslov za minimum je / (1.7) alapjan a minimum foltetele:

    n1x

    x2 + y21= n2

    x(d x)2 + y22

    n1x

    s1= n2

    d xs2

    n1 sin = n2 sin (1.8)

    Zakon prelamanja svetlostiA fenytores torvenye

    sin

    sin =n2n1

    = n2,1 (1.9)

    Primer / Pelda

    Odredite vrednost granicnu vrednost ugla prelamanja ako su indeksi prela-manja dve sredine n1 i n2, n2 > n1. (1.1.1)Hatarozza meg a toresi szog hatarerteket, ha a kozegek toresmutatoi rendren1 es n2, n2 > n1. (1.1.1)Resenje / Megoldas = pi

    2, sin = 1, sin = n1

    n2.

  • 8 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

    n

    n 2

    1

    Figure 1.2: Granicni ugao. Hatarszog.

    1.2 Svetlovod / Fenyvezeto

    Pretpostavljamo da indeks prelamanja svetlosti svetlovoda zavisi samo odrastojanja od ose svetlovoda, r. z osa se poklapa sa osom svetlovoda.Foltetelezzuk, hogy a fenyvezeto toresmutatoja csak a fenyvezeto tengelyetolmert tavolsagtol fugg. A z tengely megegyezik a fenyvezeto tengelyevel.Uglove merimo u odnosu na osu svetlovoda, videti sl. 1.3.A szogeket a fenyvezeto tengelyehez merjuk, ld. az 1.3. abrat.Zakon prelamanja svetlosti na tankom sloju debljine r glasi:

    r

    z

    r

    z z+z

    Figure 1.3: Svetlovod. / Fenyvezeto

  • 1.2. SVETLOVOD / FENYVEZETO 9

    A fenytores torvenye r vastagsagu (esetunkben vekonysagu) retegen:

    n(r) cos = n(r + r) cos( + )

    =

    (n(r) + r

    dn

    dr+ . . .

    )(cos cos() sin sin())

    (n(r) + r

    dn

    dr

    )(cos () sin)

    n(r) cos n(r) sin + cosdndr

    r + . . . (1.10)

    (1.10) tgr

    =1

    n(r)

    dn

    dr

    tg =r

    z

    z=

    1

    n(r)

    dn

    dr

    tg 2r

    z2=

    1

    n(r)

    dn

    dr(1.11)

    U slucaju da debljina sloja r na kome se svetlost prelama tezi 0, uvrstavajucigranicnu vrednost leve strane izraza (1.11) dobijamo diferencijalnu jednacinukoja opisuje prostiranje svetlosnog zraka kroz svetlovod:Amennyiben r (annak a retegnek a vastagsaga amelyen megtorik a fenysugar)0-hoz tart, vegyuk a (1.11) kifejezes baloldalanak a hatarerteket, es megkapjuka fenyvezetoben terjedo fenysugar terjedesenek a differencialegyenletet:

    d2r

    dz2=

    1

    n(r)

    dn

    dr(1.12)

    Resenje jednacine (1.12) je r(z), sto je udaljenost svetlosnog zraka od optickeose u tacci z.A (1.12) egyenlet megoldasa r(z), ami a fenysugar tavolsaga az optikai tenge-lytol a z pontban.

    1.2.1 Primer / Pelda

    Neka je svetlovod poluprecnika r0 izradjen od materijala ciji se indeks prela-manja svetlosti menja po zakonu:Tetelezzuk fol, hogy az r0 sugaru fenyvezeto toresmutatoja a kovetezo modonfugg a fenyvezeto tengelyetol mert tavolsagtol:

    n(r) = n0

    (1 ar

    2

    2

    )(1.13)

  • 10 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

    gde smo pretpostavili da vaziar202 1.

    ahol folteteleztuk, hogyar202 1.

    n

    1.1

    1.15

    1.2

    1.25

    1.3

    1.35

    1.4

    0 1 1.5 2

    n(r)

    0.5r

    Figure 1.4: Zavisnost indeksa prelamanja od r. A toresmutato r-fuggese.n0 = 1.4, a = 0.1.

    dn

    dr= n0ar

    1

    n(r)

    dn

    dr= ar

    1 ar22

    ar (1.14)

    Na osnovu jendnacine (1.14) jednacina koja opisuje prostiranje svetlosnogzraka u tankom svetlovodu je:A (1.14) egyenlet alapjan a vekony fenyvezetoben terjedo fenysugar egyen-lete:

    d2r

    dz2+ ar = 0 (1.15)

    cije resenje je (vidi sliku 1.5):melynek megoldasa (ld. a 1.5. abrat):

    r(z) = A cos(

    az)

    +B sin(

    az)

    (1.16)

  • 1.2. SVETLOVOD / FENYVEZETO 11

    Lako je uvideti da je a kvadrat talasnog broja.Konnyen belathato, hogy a a hullamszam negyzete.Znacenje konstanti A i B mozemo odrediti iz pocetnih uslova.

    r

    1.5

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    0 5 10 15 20

    r(z)

    z

    Figure 1.5: Putanja svetlosnog zraka u svetlovodu. A fenysugarfenyvezetobeli palyaja. A = 0.2, B = 1.

    Az A es B allandok jelenteset a kezdeti foltetelek alapjan hatarozhatjuk meg.

    r(0) = A,dr(0)

    dz= Ba (1.17)

    tj. A je pocetna udaljenost svetlosnog zraka od ose svetlovoda, a Ba je

    tangens ugla koji u pocetnoj tacci svetlosni zrak zaklapa sa osom svetlovoda.vagyis A a fenysugar kezdeti tavolsaga a fenyvezeto tengelyetol, mg B

    a a

    kezdeti pontban a fenysugar es a fenyvezeto tengelye kozotti szog tangense.

    Zadatak / Foladat

    Resenje jednacine (1.15) je moguce napisati (i) u obliku:A (1.15) egyenlet megoldasa folrhato a kovetkezo alakban (is):

    r(z) = A cos(

    az + )

    (1.18)

    Odredite znacenje konstanti A i .Hatarozza meg az A es allandok jelenteset.

  • 12 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

    1.3 Gausova optika

    Gauss-fele optika

    Posmatrajmo socivo, i opisimo prostiranje svetlosnih zraka kao transforma-ciju ulaznih podataka u izlazne, pi = T (pu).Vizsgaljuk meg a lencse fenytoreset, rjuk fel a fenysgarak terjedeset mint abemeno adatok transzformacioit kimeno adatokka, ak = T (ab).Paraksijalna aproksimacija znaci da posmatramo samo svetlosne zrake bliskeoptickoj osi. To znaci da su svi uglovi mali, odnosno da su sve tacke blizuopticke ose. Nadalje pretpostavljamo da je debljina sociva svuda prbliznoista.A parakszialis kozeltes (approximacio) azt jelen