Dr. Andrés Ozols Facultad de Ingeniería Universidad de ...
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Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 1
RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICARADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Dr. Andrés Ozols
Facultad de IngenieríaUniversidad de Buenos Aires
Marzo 2007
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 2
D→
E→
H→
B→
J→
M→
Magnitudes Vectoriales del Electromagnetismo
Desplazamiento eléctrico
Campo eléctrico
Campo magnético
Inducción magnética
Densidad de corriente de cargas libres
Magnetización
P→
Polarización
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 3
Ecuaciones de Maxwell
.D ρ∇ =
. 0B∇ =
Densidad de carga libre
DxH Jt
∂∇ = +
∂
BxEt
∂∇ = −
∂
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 4
Relaciones entre campos vectoriales
Lf E JxBρ= + Fuerza de Lorentz
0D E Pε= +
0D Eε= Espacio Libre
D Eε=
General
Medio dieléctrico Lineal
( )0B H Mµ= + General
0B Hµ= Espacio Libre
B Hµ= Medio Magnético Lineal
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 5
Relaciones entre campos vectoriales
LJ Eσ= Medio óhmico estacionario (σ conductividad eléctrica)
( )LJ E vxBσ= + Medio óhmico en movimiento
ε0 = 8.854 10-12 Coulomb/(newton –m2) Permitividad del vacío
(ε0 µ0)-1/2 velocidad de la luz en el vacío
Velocidad de la luz
constantes
µ0 = 4π 10-7 newton2 Susceptibilidad magnética del vacío
Radiación Electromagnética
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Propagación de los campos electromagnéticos
. 0E∇ =
. 0B∇ =
Espacio libre de cargas
Espacio libre de corrientes0 0
ExBt
µ ε ∂∇ =
∂BxEt
∂∇ = −
∂
Radiación Electromagnética
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( )( ) ( )B xBx xE xt t
∂ ∂ ∇∇ ∇ = −∇ = −
∂ ∂
Eliminando B al tomar el rotor de la última ecuación
PROPAGACIÓN DE LOS CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
( ) .( . ) ( . )x xE E E∇ ∇ = ∇ ∇ − ∇ ∇La propiedad del rotor del rotor de un campo vectorial
Pero . 0E∇ = 2( )x xE E E∇ ∇ = −∇ = −∆(∆ Laplaciano del vector)
0 0ExBt
µ ε ∂∇ =
∂Pero
22
2 2
1 EEc t
∂∇ =
∂
Radiación Electromagnética
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ECUACIONES de ONDA de los CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
22
2 2
1 BBc t
∂∇ =
∂
Eliminando E al tomar el rotor de la rotor del rotor de B resultará análogamente
22
2 2
1 EEc t
∂∇ =
∂
2 2 2 2 ˆˆ ˆx y zE E i E j E k∇ = ∇ + ∇ + ∇
22
2 2
22
2 2
22
2 2
1
1
1
xx
yy
zz
EEc t
EE
c tEE
c t
∂∇ =
∂∂
∇ =∂
∂∇ =
∂
Radiación Electromagnética
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ˆ. 0xEE ix
∂∇ = =
∂
( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ( ) x y zE x E x i E x j E x k= + +Si
SOLUCIONES de la ECUACIONES de ONDA
( )E E x=
xE cte x= ∀
Si 0zE = ( ) ( )22
2 2
1 yy
E xE x
c t∂
∇ =∂
( ) ( )2 2
2 2 2
1y yE x E xx c t
∂ ∂=
∂ ∂
Ecuación de onda unidimensional
Radiación Electromagnética
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SOLUCIONES de la ECUACIONES de ONDA
( ) 1 2yx xE x f t f tc c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
resultará análogamente para By(x)=0 Bz(x):
( ) ( )2 2
2 2 2
1z zB x B xx c t
∂ ∂=
∂ ∂
Onda plana (uniforme en el plano (y, z))
( ) 1 2zx xB x g t g tc c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ˆ( ) yE x E x j=
( ) ˆ( ) zB x E x k=
Radiación Electromagnética
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BxEt
∂∇ = −
∂
La relación entre las soluciones surge de
SOLUCIONES de la ECUACIONES de ONDA
( )
( )
11
1
1
( ),
( ),
y
z
xf tE x t fcx x c
xg tB x t c gt t
∂ −∂= = −
∂ ∂
∂ −∂− = − = −
∂ ∂
11
fgc
=
yz
EB
c=
EB
c=Para una onda plana
Radiación Electromagnética
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ONDA ELECTROMAGNÉTICA
Bz
-Bz
z
y
EB
c=
onda plana
B E⊥
Radiación Electromagnética
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( ). . .VF v P E vxB v E Jρ ρ= = + =
TEOREMA de ENERGIA
El trabajo por unidad de tiempo (potencia) y volumen hecho por el campo electromagnético sobre una carga es
Pues
El campo B no hace trabajo
( ).vxB v o=
00
1D EJ xH xBt t
εµ
∂ ∂= ∇ − = ∇ −
∂ ∂
Pero
00
00
1. ( ).
1 . .
V
V
EP J E xB Et
EP E xB Et
εµ
εµ
∂= = ∇ −
∂
∂= ∇ −
∂
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 14
.( ) . . . .ExB xE B xB E B xE E xB∇ = ∇ − ∇ = ∇ − ∇
TEOREMA de ENERGIA
Por una propiedad
0 00 0 0
1 1 1. . . .( ) .VE EP E xB E B xE ExB Et t
ε εµ µ µ
∂ ∂= ∇ − = ∇ − ∇ −
∂ ∂
. . .( )E xB B xE ExB∇ = ∇ − ∇Reemplazando en Pv
00 0
1 1. .( ) .VEP B xE ExB Et
εµ µ
∂= ∇ − ∇ −
∂
Radiación Electromagnética
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2 2
00 0
1 1 1 .( )2 2V
B EP ExBt t
εµ µ
∂ ∂= − − − ∇
∂ ∂
Pero
BxEt
∂∇ = −
∂
2 2
00 0
1 1 1( ) .( )2V
B EP ExBt t
εµ µ
∂ ∂= − + − ∇
∂ ∂
2 20
0 0
1 1 1( ) .( )2VP B E ExB
tε
µ µ∂
= − + − ∇∂
TEOREMA de ENERGIA
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 16
2 20
0
1 1( )2VU B Eε
µ= +
TEOREMA de ENERGIA
Energía contenida en el campo electromagnético
2 20
0
1 1 1( ) ( . . )2 2VU U dV B E dV B H D E dVε
µ= = + = +∫ ∫ ∫
0
1 1 .( )2V
UP P dV ExB dVt µ
∂= = − − ∇
∂∫ ∫
La potencia total desarrollada por el campo electromagnético
sup
.( ) ( ).erficieV
ExB dV ExB dS∇ =∫ ∫Por el teorema de la divergencia
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 17
0 sup
1 1 ( ).2V
erficieV
UP P dV ExB dSt µ
∂= = − −
∂∫ ∫
TEOREMA de ENERGIA
0
1N ExB ExHµ
= =
Vector de Poyting
sup
.erficieV
N dS∫ Flujo de energía a través de la superficie del volumen V
sup
1 .2V
erficieV
UP P dV N dSt
∂= = − −
∂∫ ∫
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 18
TEOREMA de ENERGIA
Bz
-Bz
z
y
sup
1 .2V
erficieV
UP P dV N dSt
∂= = − −
∂∫ ∫
Ut
∂∂
sup
.erficieV
N dS∫
Radiación Electromagnética
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Horno a microondasP = 700 w de consumoν = 2450 Mhz de frecuencia de operación.V = 20 l de capacidad
x
z
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HORNO de MICROONDAS
Determine:
•Potencia irradiada•Densidad de energía•E0 y B0 en la cavidad•Estados Estacionarios•Modos de vibración•Densidad de Estados•Distribución de energía en la cavidad
Ejemplo de Aplicación 1
Radiación Electromagnética
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1º Hipótesis Horno ≡ Cavidad Resonante
Sup= [2 x (0.304 x 0.244)+2x (0.244 x 0.244)]m2 = 0.2674 m2
superficie excluyendo puerta y piso
Potencia irradiada por las paredes
22
700 2617.8 /0.2674S
P wP W mSup m
≅ = =
2º Hipótesis S VP N cU≈ =
HORNO de MICROONDASResolución
Densidad de energía
26 3 3
8
2617.8 / 8.72610 / 8.726 /3.10 /
SV
P W mU J m J mc m s
µ−≈ = = =
válido fuera de la cavidad
Radiación Electromagnética
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HORNO de MICROONDAS
E0 y B0 en la cavidad
2 20
0
1 1( )2VU B Eε
µ= +
Como la densidad de energía en la cavidad es:
E = c B
Para la onda electromagnética plana:
22 0
0 00
VBU Eεµ
= =
6 3
0 -12 20
8.726 10 / 993 /8.85 10 Coul/(N m )
VU J mE V mε
−
= ≅ =
608
993 / 3.3110310 /
E V mB Tc m s
−= ≅ =
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 22
( ) 0, , sen( )sen( )sen( )Zm x n y p zE x y z E
a b cπ π π
= m = 1, 2, 3....n = 0, 1, 2, 3....p = 0, 1, 2, 3....
Los campos estacionarios en la cavidad
2 2 2
0 0
1 12
m n pa b c
νε µ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
La frecuencia de resonancia en la cavidad (máxima transferencia de energía)
HORNO de MICROONDAS
Estados estacionarios
Las condiciones de contorno en las paredes metálicasEt = 0 V/mBn = 0 Wb/m2
( ) 0, , cos( )cos( )cos( )Zm x n y p zB x y z B
a b cπ π π
=
Radiación Electromagnética
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Modos de vibración
22 2 2 2 92
8
2 2 2.4510 266.2310 /
Hzm n p x ma b c c m s
ν −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
16 8 10 8 16 8 266 22 2 2. . . .m n p+ + =Las solucionesm =4 n = 0 p = 4
B B zcz = 0
4cos( )πEz =0 no permitido
m = 0 n = 4 p = 0
B By
bz = 04
cos( )π Ez =0 no permitido
HORNO de MICROONDAS
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 24
m =1 n =3 p = 3
B B xa
yb
zcz = 0
3 3cos( )cos( )cos( )π π π E E xa
yb
zcZ = 0
3 3sen( )sen( )cos( )π π π
m=3 n=3 p =1
B Bx
ay
bzcz = 0
3 3cos( )cos( )cos( )
π π π E E xa
yb
zcZ = 0
3 3sen( )sen( )cos( )π π π
Densidad de Estados
Número de ondas estacionarias por intervalo de frecuencia
( )3
2 9 2 733 8
8 8 0.02( ) (2.4510 1/ ) 1.1210310 /
V mN s sc m s
π πυ υ −≈ = =
HORNO de MICROONDAS
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 25
Distribución de energía en la cavidad HORNO de MICROONDAS
La longitud de onda de radiación
8
9
310 / 0.122 12.22.4510 1/
c m s m cms
λυ
= = = =
b= 0.304m = 5(λ/2)a= c = 0.244 m = 4(λ/2)
6 nodos estacionarios con disipación máxima
X
y
z modo m=1 n=3 p=3Distribución de potencia máxima
a
b
c
5b/6 b/2 b/6
a/2
c/3
2c/3
Radiación Electromagnética
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TEOREMA de IMPULSO
Lf E JxBρ= +
Fuerza de Lorentz
El valor temporal medio de esta fuerza:
Lf E JxB E JxBρ ρ= + = +
1- Aplicación a una onda electromagnética plana
0Eρ =ρ = cte Lf JxB=
J Eσ=La corriente tiene la dirección del campo eléctrico
Lftiene la dirección del N Lf JB N=
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 27
TEOREMA de IMPULSO
LEf J Nc
=En la onda B = E/cEg J N tc
= ∆Si g es la densidad de impulso
Ldgfdt
=
Si la onda incide normalmente sobre un paralelepípedo de sección ∆S y altura ∆h
Energía disipada ∆t y en el volumen ∆V es.
densidad de impulso transportado por la onda en un intervalo de tiempo ∆t
JE V t N S t∆ ∆ = ∆ ∆
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 28
Eg J N tc
= ∆
JE V t N S t∆ ∆ = ∆ ∆
TEOREMA de IMPULSO
2
N t N Ng N N Nhc h cc
t
∆= = =
∆∆∆
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 29
TEOREMA de IMPULSO
Lf E JxBρ= +
Fuerza de Lorentz
( )0 00
1. ( )LEf E E xB xBt
ε εµ
∂= ∇ + ∇ −
∂
Empleando las ecuaciones de Maxwell para las densidades de carga y de corriente
Multiplicando por E
BxEt
∂∇ = −
∂ BEx xE Ext
∂∇ = −
∂
Se trata de introducir ExB.
BEx xE Ext
∂∇ = −
∂
0 00 BEx Ex xEt
ε ε∂= − − ∇
∂
Partimos de
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 30
( )0 0 0 00
1. ( )LE Bf E E xB xB Ex Ex xEt t
ε ε ε εµ
∂ ∂= ∇ + ∇ − − − ∇
∂ ∂
TEOREMA de IMPULSO
( )0 0 0 00
1.LE Bf E E xBxB xB Ex Ex xEt t
ε ε ε εµ
∂ ∂= ∇ + ∇ − − − ∇
∂ ∂
( )0 0 00
1 ( ). ( )LExBf E E Bx xB Ex xE
tε ε ε
µ∂
= ∇ ∇ − ∇ −∂
Permutando algunos un producto vectorial doble de B y agrupando la derivada respecto al tiempo
21( ) ( . ) ( . ) ( )2
Bx xB B B B B B∇ = ∇ − ∇ = ∇Pero
pues . 0B∇ =
Entonces
( ) 20 0 0
0
1 ( ).2L
ExBf E E B Ex xEt
ε ε εµ
∂= ∇ + ∇ − − ∇
∂
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 31
( ) 20 0 0
0
1 ( ).2L
ExBf E E Ex xE Bt
ε ε εµ
∂⎡ ⎤= ∇ − ∇ + ∇ −⎣ ⎦ ∂
21( ) ( . ) ( . ) ( ) ( . )2
Ex xE E E E E E E E∇ = ∇ − ∇ = ∇ − ∇
Pero
Entonces
2 20 0 0
0
1 1 ( )( ) ( . )2 2L
ExBf E E E Bt
ε ε εµ
∂= − ∇ + ∇ − ∇ −
∂
2 20 0 0
0
1 1 ( )( ) ( . )2L
ExBf E B E Et
ε ε εµ
∂= − ∇ + ∇ + ∇ −
∂
TEOREMA de IMPULSO
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 32
TEOREMA de IMPULSO
La fuerza total por unidad de volumen por la onda electromagnética sobre las densidades de carga y corriente
2 2
1 1( )VG ExH Nc c
= =0 2
1( ) ( )VG ExB ExHc
ε= =
La densidad de impulso se define como:
2 20 0 0
0
1 1 ( )( ) ( . )2L
ExBf E B E Et
ε ε εµ
∂= − ∇ + + ∇ −
∂
2 20 0
0
( )1 1( ) ( . )2
VL
Gf E B E Et
ε εµ
∂= − ∇ + + ∇ −
∂
Fuerzas de la onda sobre cargas y corrientes
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 33
Ejemplo de Aplicación 2 PRESION de RADIACION
Un viaje fotónico: ¿Cómo despegar de la nave nodriza?
Y no morir en el intento...
Cálculo de la energía de ignición transferida por la nave nodriza para el encendido del reactor de fusión de Deuterio + Tritio
Notas del fabricante ..... según el manual de vuelo de abordo.
Antena emisora de casquete hemi-esférico de radio Ra = 1 m La fuente de láser genera pulsos de τ= 1 ns de una longitud de onda λ = 0.5 µm La potencia promedio por pulso es de Pp = 10 MW
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 34
Antena emisora de 1 m de radiolaser pulsado 0.5 micrones10 MW de nave nodriza
Antena receptora de 10 m de radio
Cámara de fusiónDeuterio+TritioT
ESQUEMA de FUNCIONAMIENTO
(Molelo GALATIC -Turbo DT)
PRESION de RADIACION
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 35
¿Qué debo saber antes de meter la llave de encendido?
a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda del láser infrarrojo?
λν c
= (3 108 m/s)/(5 10-7 m)= 6 1014 Hz
b) ¿Cuál es la energía total en cada pulso?
Ep = Pp τ= 107 W 10-9 s = 10-2 J
c) ¿Cuál es el flujo de energía N?
N ≡ Energía/ (unidad de área)x(unidad de tiempo)= Vector de Poynting
Aa = área de la antena emisora = 2 π R2a = 2π m2 = 6.28 m2
p
a
PN
A= = 10 7 W/ 6.28 m2 = 1.59 106 W/m2
PRESION de RADIACION
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 36
PRESION de RADIACION
d) ¿Cuál es la densidad de energía promedio contenida en cada pulso?
∆V elemento de volumen definido por el recorrido de la onda durante un ∆t a través de una sección A del espacio tAcV ∆=∆
1r r rV
E E E NUV c tA tA c c
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠= (1.59 106 W/m2)/ (3 108 m/s) = 5.31 10-3 J/m3
e) ¿Cuál es la intensidad de los campos Eléctrico E e Inducción Magnética B de esta antena de láser?
0
1 ( )N E x Bµ
→ → →
=Como µ0 = 1.257 10-6 Weber s/(coulomb m)
permeabilidad del vacío
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 37
PRESION de RADIACION
En 1era aprox. antena genera haces paralelos con un frente casi plano
E/B = c y E ⊥ B2
0
B cNµ
=onda plana
1/ 20NB
cµ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
B= [1.59 106 W/m2 (1.257 10-6 Weber s/(coulomb m)/(3 108 m/s)] 1/2
B = 8.16 10-5 Weber/ m2
E= c B = 2.45 104 V/m
f) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre la antena receptora de la nave cuando parte de la estación espacial?
F = Prad Ar
Prad es la presión ejercida por la onda sobre una superficie de área Ar
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 38
PRESION de RADIACION
Ar = área de la antena receptora = 2 π R2r = 2π (10 m)2 = 6.28 102 m2
dtdP
AAFPrad
1== Variación de impulso)/ (unidad de área) x (unidad de tiempo)
Si la antena tiene una superficie absorbente
rrad V
EFdP UAd V
= = =∆
Prad = 5.31 10-3 J/m3 = 5.31 10-3 Pa( J/m3 = N.m/ m3 = N/ m2= Pa)
Si la antena tiene una superficie reflectora
En una incidencia normal el impulso transferido es el doble
22rad VNP Uc
= =
Prad = 1.062 10-2 Pa
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 39
F = Ar Prad = 6.28 102 m2 10.62 10-3 Pa = 6.66 N en el intervalo de 1 ns
PRESION de RADIACION
g) ¿Cuál es la compresión de los gotas de combustible?
Si misma antena receptora enfoca toda la potencia de la antena receptora sobre la cámara de combustión.
Un gota (Deuterio + Tritio) DT de rg = 500 µm
cr
Pc
SP
g
grad 24π
≅= = 107 W /(4 π (5 10-7 m)2 3 10 8 m/s)= 1.06 1010 Pa
Radiación Electromagnética
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Dr. A. Ozols 40
Prad ≅ 1.06 104 Mpa ≅1.06 105 atm !!!
Inició la fusión, puedo pisar el acelerador!
PRESION de RADIACION