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Radiación Electromagnética 1 Dr. A. Ozols 1 RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA Dr. Andrés Ozols Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires Marzo 2007

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Radiación Electromagnética

1

Dr. A. Ozols 1

RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICARADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Dr. Andrés Ozols

Facultad de IngenieríaUniversidad de Buenos Aires

Marzo 2007

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 2

D→

E→

H→

B→

J→

M→

Magnitudes Vectoriales del Electromagnetismo

Desplazamiento eléctrico

Campo eléctrico

Campo magnético

Inducción magnética

Densidad de corriente de cargas libres

Magnetización

P→

Polarización

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Dr. A. Ozols 3

Ecuaciones de Maxwell

.D ρ∇ =

. 0B∇ =

Densidad de carga libre

DxH Jt

∂∇ = +

BxEt

∂∇ = −

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Dr. A. Ozols 4

Relaciones entre campos vectoriales

Lf E JxBρ= + Fuerza de Lorentz

0D E Pε= +

0D Eε= Espacio Libre

D Eε=

General

Medio dieléctrico Lineal

( )0B H Mµ= + General

0B Hµ= Espacio Libre

B Hµ= Medio Magnético Lineal

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Dr. A. Ozols 5

Relaciones entre campos vectoriales

LJ Eσ= Medio óhmico estacionario (σ conductividad eléctrica)

( )LJ E vxBσ= + Medio óhmico en movimiento

ε0 = 8.854 10-12 Coulomb/(newton –m2) Permitividad del vacío

(ε0 µ0)-1/2 velocidad de la luz en el vacío

Velocidad de la luz

constantes

µ0 = 4π 10-7 newton2 Susceptibilidad magnética del vacío

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Dr. A. Ozols 6

Propagación de los campos electromagnéticos

. 0E∇ =

. 0B∇ =

Espacio libre de cargas

Espacio libre de corrientes0 0

ExBt

µ ε ∂∇ =

∂BxEt

∂∇ = −

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Dr. A. Ozols 7

( )( ) ( )B xBx xE xt t

∂ ∂ ∇∇ ∇ = −∇ = −

∂ ∂

Eliminando B al tomar el rotor de la última ecuación

PROPAGACIÓN DE LOS CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

( ) .( . ) ( . )x xE E E∇ ∇ = ∇ ∇ − ∇ ∇La propiedad del rotor del rotor de un campo vectorial

Pero . 0E∇ = 2( )x xE E E∇ ∇ = −∇ = −∆(∆ Laplaciano del vector)

0 0ExBt

µ ε ∂∇ =

∂Pero

22

2 2

1 EEc t

∂∇ =

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Dr. A. Ozols 8

ECUACIONES de ONDA de los CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

22

2 2

1 BBc t

∂∇ =

Eliminando E al tomar el rotor de la rotor del rotor de B resultará análogamente

22

2 2

1 EEc t

∂∇ =

2 2 2 2 ˆˆ ˆx y zE E i E j E k∇ = ∇ + ∇ + ∇

22

2 2

22

2 2

22

2 2

1

1

1

xx

yy

zz

EEc t

EE

c tEE

c t

∂∇ =

∂∂

∇ =∂

∂∇ =

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Dr. A. Ozols 9

ˆ. 0xEE ix

∂∇ = =

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ( ) x y zE x E x i E x j E x k= + +Si

SOLUCIONES de la ECUACIONES de ONDA

( )E E x=

xE cte x= ∀

Si 0zE = ( ) ( )22

2 2

1 yy

E xE x

c t∂

∇ =∂

( ) ( )2 2

2 2 2

1y yE x E xx c t

∂ ∂=

∂ ∂

Ecuación de onda unidimensional

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Dr. A. Ozols 10

SOLUCIONES de la ECUACIONES de ONDA

( ) 1 2yx xE x f t f tc c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

resultará análogamente para By(x)=0 Bz(x):

( ) ( )2 2

2 2 2

1z zB x B xx c t

∂ ∂=

∂ ∂

Onda plana (uniforme en el plano (y, z))

( ) 1 2zx xB x g t g tc c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ˆ( ) yE x E x j=

( ) ˆ( ) zB x E x k=

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Dr. A. Ozols 11

BxEt

∂∇ = −

La relación entre las soluciones surge de

SOLUCIONES de la ECUACIONES de ONDA

( )

( )

11

1

1

( ),

( ),

y

z

xf tE x t fcx x c

xg tB x t c gt t

∂ −∂= = −

∂ ∂

∂ −∂− = − = −

∂ ∂

11

fgc

=

yz

EB

c=

EB

c=Para una onda plana

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ONDA ELECTROMAGNÉTICA

Bz

-Bz

z

y

EB

c=

onda plana

B E⊥

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( ). . .VF v P E vxB v E Jρ ρ= = + =

TEOREMA de ENERGIA

El trabajo por unidad de tiempo (potencia) y volumen hecho por el campo electromagnético sobre una carga es

Pues

El campo B no hace trabajo

( ).vxB v o=

00

1D EJ xH xBt t

εµ

∂ ∂= ∇ − = ∇ −

∂ ∂

Pero

00

00

1. ( ).

1 . .

V

V

EP J E xB Et

EP E xB Et

εµ

εµ

∂= = ∇ −

∂= ∇ −

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Dr. A. Ozols 14

.( ) . . . .ExB xE B xB E B xE E xB∇ = ∇ − ∇ = ∇ − ∇

TEOREMA de ENERGIA

Por una propiedad

0 00 0 0

1 1 1. . . .( ) .VE EP E xB E B xE ExB Et t

ε εµ µ µ

∂ ∂= ∇ − = ∇ − ∇ −

∂ ∂

. . .( )E xB B xE ExB∇ = ∇ − ∇Reemplazando en Pv

00 0

1 1. .( ) .VEP B xE ExB Et

εµ µ

∂= ∇ − ∇ −

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Dr. A. Ozols 15

2 2

00 0

1 1 1 .( )2 2V

B EP ExBt t

εµ µ

∂ ∂= − − − ∇

∂ ∂

Pero

BxEt

∂∇ = −

2 2

00 0

1 1 1( ) .( )2V

B EP ExBt t

εµ µ

∂ ∂= − + − ∇

∂ ∂

2 20

0 0

1 1 1( ) .( )2VP B E ExB

µ µ∂

= − + − ∇∂

TEOREMA de ENERGIA

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Dr. A. Ozols 16

2 20

0

1 1( )2VU B Eε

µ= +

TEOREMA de ENERGIA

Energía contenida en el campo electromagnético

2 20

0

1 1 1( ) ( . . )2 2VU U dV B E dV B H D E dVε

µ= = + = +∫ ∫ ∫

0

1 1 .( )2V

UP P dV ExB dVt µ

∂= = − − ∇

∂∫ ∫

La potencia total desarrollada por el campo electromagnético

sup

.( ) ( ).erficieV

ExB dV ExB dS∇ =∫ ∫Por el teorema de la divergencia

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Dr. A. Ozols 17

0 sup

1 1 ( ).2V

erficieV

UP P dV ExB dSt µ

∂= = − −

∂∫ ∫

TEOREMA de ENERGIA

0

1N ExB ExHµ

= =

Vector de Poyting

sup

.erficieV

N dS∫ Flujo de energía a través de la superficie del volumen V

sup

1 .2V

erficieV

UP P dV N dSt

∂= = − −

∂∫ ∫

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Dr. A. Ozols 18

TEOREMA de ENERGIA

Bz

-Bz

z

y

sup

1 .2V

erficieV

UP P dV N dSt

∂= = − −

∂∫ ∫

Ut

∂∂

sup

.erficieV

N dS∫

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Dr. A. Ozols 19

Horno a microondasP = 700 w de consumoν = 2450 Mhz de frecuencia de operación.V = 20 l de capacidad

x

z

15

HORNO de MICROONDAS

Determine:

•Potencia irradiada•Densidad de energía•E0 y B0 en la cavidad•Estados Estacionarios•Modos de vibración•Densidad de Estados•Distribución de energía en la cavidad

Ejemplo de Aplicación 1

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1º Hipótesis Horno ≡ Cavidad Resonante

Sup= [2 x (0.304 x 0.244)+2x (0.244 x 0.244)]m2 = 0.2674 m2

superficie excluyendo puerta y piso

Potencia irradiada por las paredes

22

700 2617.8 /0.2674S

P wP W mSup m

≅ = =

2º Hipótesis S VP N cU≈ =

HORNO de MICROONDASResolución

Densidad de energía

26 3 3

8

2617.8 / 8.72610 / 8.726 /3.10 /

SV

P W mU J m J mc m s

µ−≈ = = =

válido fuera de la cavidad

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HORNO de MICROONDAS

E0 y B0 en la cavidad

2 20

0

1 1( )2VU B Eε

µ= +

Como la densidad de energía en la cavidad es:

E = c B

Para la onda electromagnética plana:

22 0

0 00

VBU Eεµ

= =

6 3

0 -12 20

8.726 10 / 993 /8.85 10 Coul/(N m )

VU J mE V mε

= ≅ =

608

993 / 3.3110310 /

E V mB Tc m s

−= ≅ =

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( ) 0, , sen( )sen( )sen( )Zm x n y p zE x y z E

a b cπ π π

= m = 1, 2, 3....n = 0, 1, 2, 3....p = 0, 1, 2, 3....

Los campos estacionarios en la cavidad

2 2 2

0 0

1 12

m n pa b c

νε µ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La frecuencia de resonancia en la cavidad (máxima transferencia de energía)

HORNO de MICROONDAS

Estados estacionarios

Las condiciones de contorno en las paredes metálicasEt = 0 V/mBn = 0 Wb/m2

( ) 0, , cos( )cos( )cos( )Zm x n y p zB x y z B

a b cπ π π

=

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Dr. A. Ozols 23

Modos de vibración

22 2 2 2 92

8

2 2 2.4510 266.2310 /

Hzm n p x ma b c c m s

ν −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

16 8 10 8 16 8 266 22 2 2. . . .m n p+ + =Las solucionesm =4 n = 0 p = 4

B B zcz = 0

4cos( )πEz =0 no permitido

m = 0 n = 4 p = 0

B By

bz = 04

cos( )π Ez =0 no permitido

HORNO de MICROONDAS

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 24

m =1 n =3 p = 3

B B xa

yb

zcz = 0

3 3cos( )cos( )cos( )π π π E E xa

yb

zcZ = 0

3 3sen( )sen( )cos( )π π π

m=3 n=3 p =1

B Bx

ay

bzcz = 0

3 3cos( )cos( )cos( )

π π π E E xa

yb

zcZ = 0

3 3sen( )sen( )cos( )π π π

Densidad de Estados

Número de ondas estacionarias por intervalo de frecuencia

( )3

2 9 2 733 8

8 8 0.02( ) (2.4510 1/ ) 1.1210310 /

V mN s sc m s

π πυ υ −≈ = =

HORNO de MICROONDAS

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Dr. A. Ozols 25

Distribución de energía en la cavidad HORNO de MICROONDAS

La longitud de onda de radiación

8

9

310 / 0.122 12.22.4510 1/

c m s m cms

λυ

= = = =

b= 0.304m = 5(λ/2)a= c = 0.244 m = 4(λ/2)

6 nodos estacionarios con disipación máxima

X

y

z modo m=1 n=3 p=3Distribución de potencia máxima

a

b

c

5b/6 b/2 b/6

a/2

c/3

2c/3

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TEOREMA de IMPULSO

Lf E JxBρ= +

Fuerza de Lorentz

El valor temporal medio de esta fuerza:

Lf E JxB E JxBρ ρ= + = +

1- Aplicación a una onda electromagnética plana

0Eρ =ρ = cte Lf JxB=

J Eσ=La corriente tiene la dirección del campo eléctrico

Lftiene la dirección del N Lf JB N=

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TEOREMA de IMPULSO

LEf J Nc

=En la onda B = E/cEg J N tc

= ∆Si g es la densidad de impulso

Ldgfdt

=

Si la onda incide normalmente sobre un paralelepípedo de sección ∆S y altura ∆h

Energía disipada ∆t y en el volumen ∆V es.

densidad de impulso transportado por la onda en un intervalo de tiempo ∆t

JE V t N S t∆ ∆ = ∆ ∆

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Dr. A. Ozols 28

Eg J N tc

= ∆

JE V t N S t∆ ∆ = ∆ ∆

TEOREMA de IMPULSO

2

N t N Ng N N Nhc h cc

t

∆= = =

∆∆∆

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 29

TEOREMA de IMPULSO

Lf E JxBρ= +

Fuerza de Lorentz

( )0 00

1. ( )LEf E E xB xBt

ε εµ

∂= ∇ + ∇ −

Empleando las ecuaciones de Maxwell para las densidades de carga y de corriente

Multiplicando por E

BxEt

∂∇ = −

∂ BEx xE Ext

∂∇ = −

Se trata de introducir ExB.

BEx xE Ext

∂∇ = −

0 00 BEx Ex xEt

ε ε∂= − − ∇

Partimos de

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 30

( )0 0 0 00

1. ( )LE Bf E E xB xB Ex Ex xEt t

ε ε ε εµ

∂ ∂= ∇ + ∇ − − − ∇

∂ ∂

TEOREMA de IMPULSO

( )0 0 0 00

1.LE Bf E E xBxB xB Ex Ex xEt t

ε ε ε εµ

∂ ∂= ∇ + ∇ − − − ∇

∂ ∂

( )0 0 00

1 ( ). ( )LExBf E E Bx xB Ex xE

tε ε ε

µ∂

= ∇ ∇ − ∇ −∂

Permutando algunos un producto vectorial doble de B y agrupando la derivada respecto al tiempo

21( ) ( . ) ( . ) ( )2

Bx xB B B B B B∇ = ∇ − ∇ = ∇Pero

pues . 0B∇ =

Entonces

( ) 20 0 0

0

1 ( ).2L

ExBf E E B Ex xEt

ε ε εµ

∂= ∇ + ∇ − − ∇

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 31

( ) 20 0 0

0

1 ( ).2L

ExBf E E Ex xE Bt

ε ε εµ

∂⎡ ⎤= ∇ − ∇ + ∇ −⎣ ⎦ ∂

21( ) ( . ) ( . ) ( ) ( . )2

Ex xE E E E E E E E∇ = ∇ − ∇ = ∇ − ∇

Pero

Entonces

2 20 0 0

0

1 1 ( )( ) ( . )2 2L

ExBf E E E Bt

ε ε εµ

∂= − ∇ + ∇ − ∇ −

2 20 0 0

0

1 1 ( )( ) ( . )2L

ExBf E B E Et

ε ε εµ

∂= − ∇ + ∇ + ∇ −

TEOREMA de IMPULSO

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 32

TEOREMA de IMPULSO

La fuerza total por unidad de volumen por la onda electromagnética sobre las densidades de carga y corriente

2 2

1 1( )VG ExH Nc c

= =0 2

1( ) ( )VG ExB ExHc

ε= =

La densidad de impulso se define como:

2 20 0 0

0

1 1 ( )( ) ( . )2L

ExBf E B E Et

ε ε εµ

∂= − ∇ + + ∇ −

2 20 0

0

( )1 1( ) ( . )2

VL

Gf E B E Et

ε εµ

∂= − ∇ + + ∇ −

Fuerzas de la onda sobre cargas y corrientes

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Radiación Electromagnética

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Ejemplo de Aplicación 2 PRESION de RADIACION

Un viaje fotónico: ¿Cómo despegar de la nave nodriza?

Y no morir en el intento...

Cálculo de la energía de ignición transferida por la nave nodriza para el encendido del reactor de fusión de Deuterio + Tritio

Notas del fabricante ..... según el manual de vuelo de abordo.

Antena emisora de casquete hemi-esférico de radio Ra = 1 m La fuente de láser genera pulsos de τ= 1 ns de una longitud de onda λ = 0.5 µm La potencia promedio por pulso es de Pp = 10 MW

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Radiación Electromagnética

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Antena emisora de 1 m de radiolaser pulsado 0.5 micrones10 MW de nave nodriza

Antena receptora de 10 m de radio

Cámara de fusiónDeuterio+TritioT

ESQUEMA de FUNCIONAMIENTO

(Molelo GALATIC -Turbo DT)

PRESION de RADIACION

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 35

¿Qué debo saber antes de meter la llave de encendido?

a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda del láser infrarrojo?

λν c

= (3 108 m/s)/(5 10-7 m)= 6 1014 Hz

b) ¿Cuál es la energía total en cada pulso?

Ep = Pp τ= 107 W 10-9 s = 10-2 J

c) ¿Cuál es el flujo de energía N?

N ≡ Energía/ (unidad de área)x(unidad de tiempo)= Vector de Poynting

Aa = área de la antena emisora = 2 π R2a = 2π m2 = 6.28 m2

p

a

PN

A= = 10 7 W/ 6.28 m2 = 1.59 106 W/m2

PRESION de RADIACION

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 36

PRESION de RADIACION

d) ¿Cuál es la densidad de energía promedio contenida en cada pulso?

∆V elemento de volumen definido por el recorrido de la onda durante un ∆t a través de una sección A del espacio tAcV ∆=∆

1r r rV

E E E NUV c tA tA c c

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠= (1.59 106 W/m2)/ (3 108 m/s) = 5.31 10-3 J/m3

e) ¿Cuál es la intensidad de los campos Eléctrico E e Inducción Magnética B de esta antena de láser?

0

1 ( )N E x Bµ

→ → →

=Como µ0 = 1.257 10-6 Weber s/(coulomb m)

permeabilidad del vacío

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 37

PRESION de RADIACION

En 1era aprox. antena genera haces paralelos con un frente casi plano

E/B = c y E ⊥ B2

0

B cNµ

=onda plana

1/ 20NB

cµ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

B= [1.59 106 W/m2 (1.257 10-6 Weber s/(coulomb m)/(3 108 m/s)] 1/2

B = 8.16 10-5 Weber/ m2

E= c B = 2.45 104 V/m

f) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre la antena receptora de la nave cuando parte de la estación espacial?

F = Prad Ar

Prad es la presión ejercida por la onda sobre una superficie de área Ar

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 38

PRESION de RADIACION

Ar = área de la antena receptora = 2 π R2r = 2π (10 m)2 = 6.28 102 m2

dtdP

AAFPrad

1== Variación de impulso)/ (unidad de área) x (unidad de tiempo)

Si la antena tiene una superficie absorbente

rrad V

EFdP UAd V

= = =∆

Prad = 5.31 10-3 J/m3 = 5.31 10-3 Pa( J/m3 = N.m/ m3 = N/ m2= Pa)

Si la antena tiene una superficie reflectora

En una incidencia normal el impulso transferido es el doble

22rad VNP Uc

= =

Prad = 1.062 10-2 Pa

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 39

F = Ar Prad = 6.28 102 m2 10.62 10-3 Pa = 6.66 N en el intervalo de 1 ns

PRESION de RADIACION

g) ¿Cuál es la compresión de los gotas de combustible?

Si misma antena receptora enfoca toda la potencia de la antena receptora sobre la cámara de combustión.

Un gota (Deuterio + Tritio) DT de rg = 500 µm

cr

Pc

SP

g

grad 24π

≅= = 107 W /(4 π (5 10-7 m)2 3 10 8 m/s)= 1.06 1010 Pa

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Radiación Electromagnética

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Dr. A. Ozols 40

Prad ≅ 1.06 104 Mpa ≅1.06 105 atm !!!

Inició la fusión, puedo pisar el acelerador!

PRESION de RADIACION