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Distribuições de

Probabilidade

Distribuição Uniforme

Distribuição ExponencialDistribuição Normal

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Distribuição Uniforme

A distribuição Uniforme atribui uma densidade igual ao longo de um intervalo (a,b).

3

Distribuição Uniforme

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Distribuição Exponencial

A distribuição possui uma densidade que decai exponencialmente.

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Distribuição Normal ou Gaussiana

A distribuição Normal ou Gaussiana é muito utilizada em análises estatísticas. É uma distribuição simétrica em torno da sua média e em forma de sino. Depende de dois parâmetros que são a média e a variância da distribuição. X ~ N(µ, σ2) significa que X tem distribuição Normal com média µ e bvariância σ2.

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Curva de densidade da Normal

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Densidades Normais

N(0,5)

N(0,1)

N(0,1.5)

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Normal standard ou padrão

� Quando µ = 0 e σ = 1 temos a distribuição Normal standard (também se diz Normal padrão ou Normal centrada e reduzida). Os valores da função de distribuição, F(x), e os valores de certos quantis mais utilizados encontram-se tabelados.

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Normal Standard

� Habitualmente utiliza-se:� a letra Z para representar uma Normal Standard.� A designação Φ(z) para representar F(z).

� A designação zp para representar o quantil de ordem p.

� Atenção que os quantis têm diferentes representações de autor para autor. Muitos utilizam zp para representar o quantil de ordem 1-p, ou ainda (1-p)/2.

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Normal Standard – quantil de ordem 0.95

z0.95

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Normal Standard – quantis de ordem

0.025 e 0.975

z0.025 e z0.975

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Cálculo de probabilidades da Normal

� Para calcular probabilidades associadas a uma distribuição Normal qualquer, podemos recorrer às tabelas ou a software ou a máquinas de calcular.

� No SPSS as funções associadas àdistribuição Normal são:� Cdf.Normal(x,µ,σ) para a função de distribuição

no ponto x, F(x);� Idf.Normal(p,µ,σ) para o quantil de ordem p, xp.

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Cálculo de probabilidades da Normal:

Normalização

� Para recorrer às tabelas é necessário normalizar a variável antes de calcular uma probabilidade (ou um quantil).

� Se X ~ N(µ,σ2) então Z = (X- µ) / σ ~ N(0,1).

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Cálculo de probabilidades da Normal:

Normalização

� Por exemplo, se X tem distribuição N(5,4) e queremos calcular P(X≤7):

( ) 84130112

57

2

57 ,)()( =Φ=≤=

−≤−=≤ ZPX

PXP

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Propriedades da Normal

� Se adicionarmos uma constante b a uma variável Normal X ~ N(µ,σ2), obtemos uma nova variável Normal, Y=X+b ~ N(µ+b, σ2).

� Se multiplicarmos uma variável Normal por uma constante a obtemos uma nova variável Normal, Y=aX ~ N(aµ,a2σ2).

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Propriedades da Normal

� A soma de variáveis aleatórias Normais é ainda Normal com média igual à soma das médias. Se as variáveis forem independentes a variância é igual àsoma das variâncias.

� Em particular a média X de n variáveis Normais independentes e com a mesma distribuição é ainda Normal

( )nNX /,~ 2σµ

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Resultados Importantes

Lei dos Grandes Números

Teorema do Limite Central

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Lei dos grandes números

� A média de um conjunto de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com média µ e desvio padrão σ,converge para µ à medida que n aumenta.

� A partir deste resultado podemos dizer que a frequência relativa de um certo acontecimento de interesse num conjunto de n experiências independentes, converge para a probabilidade do acontecimento à medida que n aumenta.

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Estabilização das frequências relativas no

lançamento sucessivo de uma moeda ao ar

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Teorema do Limite Central

� Vimos anteriormente que a média de uma conjunto de variáveis aleatórias Normais, é ainda Normal:

� O Teorema do Limite Central permite dizer que a média de um conjunto de variáveis aleatórias com uma qualquer distribuição é aproximadamente Normal (cada vez mais Normal à medida que o nºde variáveis aumenta)

( )nNXNX /,~),(~ 2σµσµ ⇒

( )nNXxFXapr

/,~)(~ 2

.σµ⇒

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Teorema do Limite Central

� Se tivermos n variáveis aleatórias X1,X2…,Xnindependentes e com a mesma distribuição de média µ e variância σ2,então quando n cresce para infinito,

ou equivalentemente

),(/

10Nn

X dist →−σ

µ

),( 10Nn

nX disti →−∑σ

µ

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Ilustrações do TLC e da LGN

� Alguns sites para explorar o TLC e a LGN� http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/CLT.html

(dados)� http://www.rand.org/statistics/applets/clt.html

(bolinhas a cair)� http://www.statisticalengineering.com/central_limit_t

heorem_(inverse).htm (texto com pequena simulação)

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Aproximações baseadas no TLC

� Podemos efectuar cálculos de probabilidades aproximadas com base no TLC. Ilustramos esta situação com dois exemplos:

� Probabilidades associadas a distribuições Binomiais;

� Probabilidades associadas a distribuições de Poisson.

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Aproximações baseadas no TLC:

Binomial - Normal

� Probabilidades associadas a uma distribuição Binomial, B(n,p), podem ser aproximadas utilizando uma distribuição Normal, N(µ,σ2), com µ=np e σ2 = np(1-p).

Para que a aproximação não seja muito má, devemos ter np ≥ 5 e n (1-p) ≥ 5.

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Aproximações baseadas no TLC:

Binomial - Normal

� Quando usamos a distribuição Normal (que é uma distribuição contínua) para aproximar a distribuição Binomial (que é uma distribuição discreta), fazemos uma correção de continuidade ao valor discreto x na distribuição binomial representando o valor x pelo intervalo de x – 0.5 a x + 0.5.

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Aproximações baseadas no TLC:

Binomial - Normal

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Aproximações baseadas no TLC:

Binomial - Normal

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Aproximações baseadas no TLC:

Poisson - Normal

� Probabilidades associadas a uma distribuição de Poisson, P(λ), podem ser aproximadas utilizando uma distribuição Normal, N(µ,σ2), com µ= λ e σ2 = λ.

A aproximação será tanto melhor quanto maior for λ.