Distribuicao de Probabilidades

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

As distribuições de probabilidades mais conhecidas e utilizadasna maioria das aplicações são:

-Distribuição binomial - π e n (variável discreta)

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-Distribuição binomial - π e n (variável discreta)

-Distribuição normal - µ e σ2 (variável contínua)

Uma função f(x) é quem define o comportamento das variáveis em termos de resultados de probabilidade

(distribuição).

Função de probabilidade – f(x) – variável discretaFunção densidade de probabilidade – f(x) – variável contínua


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Uma diferença fundamental separa as variáveis aleatórias discretas e as contínuas em termos de como as probabilidades são calculadas.

Quanto a variável aleatória discreta, f(x) produz a probabili-dade de a variável aleatória assumir um valor em particular.

Quanto a variável aleatória contínua, f(x) não produz probabili-dade diretamente; associa a área sob o gráfico de f(x) corres-pondente a determinado intervalo.Então, quando se calculam probabilidades de variáveis aleató-rias contínuas, calcula-se a probabilidade de a variável aleató-ria assumir qualquer valor nesse intervalo.


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FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA → f(x) ≥ 0Σf(x) = 1

VALOR ESPERADO DE UMA V.A.D. → E(x)=µ=Σxf(x)VALOR ESPERADO DE UMA V.A.D. → E(x)=µ=Σxf(x)

VARIÂNCIA DE UMA V.A.D. → Var(x)=σ2=Σ(x-µ)2f(x)

1) No. esperado de chamadas: E(x)=µ=2,052) Variância: σ2=2,05 Desvio Padrão: σ=1,43

No. Chamadas Probabilidades No. Chamadas Probabilidades

0 0,10 3 0,20

1 0,15 4 0,15

2 0,30 5 0,10


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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VALOR ESPERADO: E(x)=µ=np

VARIÂNCIA: Var(x)=σ2=np(1-p)σ

Exemplo:

Considere um experimento binomial com n=10 e p=0,10a) Calcular f(0)= 0,3487b) Calcular f(2)= 0,1937c) Calcular P(x≤2)= 0,9298d) Calcular P(x≥1)= 0,6513e) Calcular E(x)= 1,0f) Calcular Var(x)=σ2= 0,9g) Calcular o desvio padrão - σ= 0,95


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Aplicação:

Os sistemas militares de radar e de mísseis são concebidos para um país precaver-se de ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade é saber se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque saber se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque inimigo e disparar um alarme. Considere que determinado sistema de detecção tenha 90% de probabilidade de detectar um ataque de mísseis. Use a distribuição binomial para responder as questões a seguir:a) Qual a probabilidade de um único sistema de detecção detectar um

ataque? R: 0,90b) Se dois sistemas são instalados na área e operam independentes,

qual é a probabilidade de pelo menos um deles detectar o ataque? R: 0,99

c) Se três sistemas ... De pelo menos um detectar? R: 0,999d) Você recomendaria o uso de múltiplos sistemas? R: sim


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A DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES

Função Densidade Normal de Probabilidade:2 2( ) / 21

( )2

xf x e µ σ

σ π− −=

onde: µ = médiaσ = desvio padrãoπ = número pi – 3,141596259e = 2,7182

Função Densidade Normal Padrão de Probabilidade:

Com z = (x - µ)/σ

2σ π

2 / 21( )

2zf x e

π−=


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Curva em forma de sino correspondente a distribuição normal de probabilidade.probabilidade.

Três distribuições normais com o mesmo desvio padrão (σ), mas com três diferentes médias (-10, 0 e 20).


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Duas distribuições normais com a mesma média (µ), mas com desvios padrão (σ) diferentes.

Áreas sob a curva de uma distribuição normal qualquer.


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Área sob a curva normal padrão = probabilidade

A distribuição normal padrão:- Média µ=0- Desvio padrão σ=1


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CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

1. Possui dois parâmetros: a média µ e o desvio padrão σ;2. Ponto máximo da curva é a média = mediana = moda;3. A média da distribuição pode ser qualquer valor: negativo, zero ou 3. A média da distribuição pode ser qualquer valor: negativo, zero ou

positivo;4. A distribuição normal é simétrica em relação a média;5. O desvio padrão determina quanto uma curva é achatada ou larga;6. As probabilidades da va são dadas por área sob a curva; a área

total é igual a 1; como a curva é simétrica, a área, a direita e a esquerda da média valem 0,5;

7. As porcentagens dos valores de alguns intervalos:a) 68,3% dos valores de uma va estão dentro de ±1σ da média;b) 95,4% dos valores de uma va estão dentro de ±2σ da média;c) 99,7% dos valores de uma va estão dentro de ±3σ da média.


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DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO DE PROBABILIDADES

Uma variável aleatória que tem uma distribuição normal com média igual a zero e desvio padrão igual a um, diz-se que esta variável igual a zero e desvio padrão igual a um, diz-se que esta variável tem distribuição normal padrão de probabilidade.

Para encontrar a probabilidade de uma va estar contida em um intervalo específico, deve-se calcular a área sob a curva normal ao longo deste intervalo.

Existem tabelas que podem ser usadas para o cálculo das probabilidades; estas tabelas foram geradas para uma va com distribuição normal padrão de µ=0 e σ=1


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DISTRIBUIÇÃO NORMAL – APLICAÇÃO

Uma empresa desenvolveu um novo pneu radial com cinturão deaço que será vendido por meio de uma cadeia nacional. Uma vezque este tipo de pneu é um produto novo, os gerentes da empresaacreditam que a durabilidade (em termos de km rodados) oferecidaacreditam que a durabilidade (em termos de km rodados) oferecidacom o pneu será um fator importante na aceitação do produto.Antes de fechar os termos do contrato de garantia de durabilidadedo pneu, os gerentes desejam obter informações de probabilidade arespeito do número de km que os pneus durarão. Dos testes reaisde estrada com os pneus, a equipe de engenharia da empresaestima que a durabilidade média dos pneus é 36500km e que odesvio padrão é 5000. Além disso, os dados coletados indicam que adistribuição normal é uma hipótese razoável.a) Qual percentagem dos pneus duraria mais de 40 mil km? Ou,qual é a probabilidade de a durabilidade do pneu ultrapassar 40 milkm?


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40000 365000,70

5000

xz

µσ− −= = =

Consultando a tabela de dis-Consultando a tabela de dis-tribuição normal padrão com z=0,70 observamos que a área para valores iguais ou maior que z=0,70 é 0,2420.

Esta é a probabilidade de xultrapassar o valor 40000. Conclui-se que 24,2% dos pneus terão uma durabili-dade maior que 40000 km.


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b) A empresa estáconsiderando a possibi-lidade de dar umagarantia que concede umdesconto na troca dedesconto na troca depneus se os originais nãoresistirem ao número dekm estipulados nagarantia. Qual deve ser onúmero de km cobertopela garantia levando-seem conta que a empresaquer que não mais de10% dos pneus sehabilitem à garantia dodesconto?


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Agora, usando a tabela normal padrão, devemos determinar o valor de z que produz uma área de 0,10 (10%) sob a curva normal. Este valor é 1,28; por simetria o valor de z procurado encontra-se a esquerda da média; z=-1,28.esquerda da média; z=-1,28.

Para encontrar o valor de x correspondente a z=-1,28 calculamos a

expressão com µ=36500 e σ=5000. Encontra-se x=30100.

Assim, a empresa poderá fixar a garantia de durabilidade de seus pneus em 30.000km, uma vez que este valor garante que apenas 10% dos pneus produzidos se habilitarão à garantia.

xz

µσ−=


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APROXIMAÇÃO NORMAL ÀS PROBABILIDADES BINOMIAIS

Adota-se a aproximação normal às probabilidades binomiais quando o número de ensaios torna-se grande.

É lícito usar a aproximação quando: a) np ≥ 5; b) n(1-p) ≥ 5.

Ao usar a aproximação normal às probabilidades binomiais ajusta-se uma curva normal da seguinte maneira:

µ = np e σ2 = np(1-p)

A distribuição normal trabalha com va contínua e a probabilidade é obtida a partir da área sob a curva normal. A distribuição binomial trabalha com va discreta e a probabilidade é obtida para cada valor assumido por x.

Truque: P(x=12) da binomial é igual a P(11,5 ≤ x ≤ 12,5) da normal.


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