Distribución Normal o gaussiana

La distribución normal o Gaussiana es la más importante y la de mayor uso de todas las distribuciones de probabilidad

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

DefiniciónSe dice que una variable

aleatoria X se encuentra normalmente distribuida si su función de densidad está dada por

El 99% de los datos se encuentra entre el promedio y 3 desviaciones estandar

Calculo de probabilidades distribución normal

EjemploSe sabe que la longitud de las alas

extendidas de un tipo de ave rapaz es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal, de media 120 cm. y desviación típica 8 cm.X → N (120; 8)

Calcúlese la probabilidad de que la longitud de un ave elegida al azar sea:

a.- Mayor de 130 cmb.- Menor de 100 cmc.- Esté comprendido entre 110 y 130 cm

Distribución Normal TípicaLa forma anterior de calculo de

probabilidad resulta muy difícil de calcular,

Ante lo cual se realiza un cambio de parámetro y se cambia la variable x por la variable z y se pasa de la distribucón normal general a la distribución normal tipica

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de parámetros = µ= 0 y σ = 1

Y su función de densidad es:

µ =0 y σ = 1

Por lo tanto debemos realizar el cambio de variable

Calculo de probabilidad distribución normal tipificada

Suponga que x tiene una distribución normal con normal µ =10 y σ = 2

CalcularP(x<13)P(x>9)P(6≤x≤14)

EjemploSe sabe que la longitud de las alas

extendidas de un tipo de ave rapaz es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal, de media 120 cm. y desviación típica 8 cm.X → N (120; 8)

Calcúlese la probabilidad de que la longitud de un ave elegida al azar sea:

a.- Mayor de 130 cmb.- Menor de 100 cmc.- Esté comprendido entre 110 y 130 cm

MuestreoPoblaciónEs un conjunto finito o infinito de

elementos cuyas características se desean estudiar

MuestraSubconjunto de la poblaciónMuestreoProcedimiento para obtener una

muestraParametros

Son ciertos valores numericos fijos que pueden describir las caracteristicas de una población (promedio, varianza, proporción)

Inferencia estadisticaEs un tipo de inferencia inductiva

que permite generalizar las conclusiones obtenidas en una muestra de la población a todos los elementos de la población.

La generalización de las conclusiones obtenidas en una muestra a toda la población está sujeta a riesgos por cuanto la muestra se debe seleccionar con un muestreo probabilístico

El estudio de la inferencia estadistica se acostumbra a dividir en 3 partes.

Estimación puntualEstimación por intervaloContraste de hipotesis.

Diseño de muestreoEs el plan que se llevará a cabo

para seleccionar la muestra, de tal manera que exista un conocimiento bien fundado de que la muestra sea representativa

Método de selección de la muestraExisten dos tipos de muestreo: el probabilístico

y el no probabilístico.Con el muestreo probabilístico, todos los

sujetos tienen la misma probabilidad de entrar a formar parte del estudio. La elección se hace al azar.El no probabilístico es aquel en el que no todos los sujetos tienen la misma probabilidad de formar parte de la muestra de estudio.

Los tipos de muestreo probabilísticos más utilizados son: aleatorio simple, aleatorio sistemático, aleatorio estratificado y aleatorio por conglomerados.

Muestreo aleatorio simple: Muestra seleccionada de manera que cada elemento o individuo de la población tenga las mismas posibilidades de que se incluya. Por ejemplo, los números del cartón de los juegos de azar es una muestra aleatoria imple ya que todos los números tienen igual probabilidad de salir.

Muestreo aleatorio sistemático: Se selecciona un punto aleatorio de inicio y posteriormente se elige cada k-ésimo miembro de la población. El k se calcula dividiendo el total de la población por la muestra necesaria: k = N/n

. Si se tiene una población de 8 000 individuos y el tamaño de la muestra necesario es de 400, se seleccionará uno de cada 20, que será la fracción de muestreo (8 000/400). Para decidir por cuál se ha de comenzar, se selecciona aleatoriamente, o por sorteo, un número del 1 al 20, y a partir de dicho número se va seleccionando a un sujeto de cada 20.

Muestreo aleatorio estratificado: Una población se divide en subgrupos según alguna característica, y se forman los denominados estratos y se selecciona al azar una muestra de cada estrato. La estratificación se suele hacer en función de diferentes variables o características de interés: género, edad, situación laboral, etc.

Por ejemplo, si se desea efectuar una estratificación por género y se sabe que en la población la distribución es de 55 mujeres y 45 hombres, por tanto, si el tamaño de la muestra es de 400, se elegirán aleatoriamente 220 mujeres y 180 hombres.

Definición de intervalo de confianza

Dada una muestra aleatoria simple (X1, X2,…, Xn) de una variable aleatoria X se llama intervalo de confianza para un parámetro θ, con nivel o coeficiente de confianza “1-α”, 0< α < 1, a un intervalo aleatorio (dado que sus extremos dependen de las muestras elegidas)

Nivel de Confianza.Probabilidad de que la estimación

efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad (Gauss o Student), así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro. (α)

Estimación de Intervalos de confianza para la mediaCaso 1La muestra es seleccionada de

una población con distribución normal y varianza conocida

µ є [ x - z1-α/2 *σ/√n , x + z1-α/2 *σ/√n]

Caso 2La muestra es seleccionada de

una población que tiene una distribución cualquiera con media µ y varianza σ2. En este caso n ≥30

µ є [ x - z1-α/2 *σ/√n , x + z1-α/2 *σ/√n]

Caso 3

La muestra aleatoria es seleccionada de una población distribuida de manera normal pero los parámetros σ,µ son desconocidos y n≤30

µ є [ x - t1-α/2 (n-1)*s/√n , x +t1-α/2 (n-1) *s/√n]

Como consecuencia de la falta de gas registrada en la ciudad de La Plata, en los meses de invierno, la Empresa Camuzzi - Gas Pampeana decide hacer un estudio para determinar la cantidad gastada en este combustible para calefacción casera en un año en particular. Con tal motivo se selecciona una muestra de n = 64 hogares de la ciudad. La media muestral del

gasto en gas para calefacción resultó de $83,6. Se sabe por experiencia que la desviación estándar de la población es $17,8.

a) Halle un intervalo de confianza del 95% para el gasto promedio anual en este tipo de

combustible en las viviendas de la ciudad de La Plata.

b) Calcule un intervalo de confianza del 99% para ese gasto promedio anual.

Supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la media nacional de 3250 gramos.

Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo:

x= 2930s= 450n= 30

Construya un intervalo de confianza para la media poblacional con α=5%, 10% y 1%

Una muestra aleatoria de 16 cigarrillos de una cierta marca tiene un contenido medio de nicotina de 1.6mg. y una desviación típica de 0.7mg. Suponiendo que la variable X=“contenido de nicotina en un cigarrillo”, sigue una distribución N(µ; σ), obténgase un intervalo de confianza al 99% � del contenido medio de nicotina por cigarrillo en esa marca.

Una empresa fabrica bombillas cuya duración en horas sigue una distribución N(µ; 200).

Una muestra aleatoria de 36 bombillas ha dado una vida media de 7000 horas. Constrúyase un intervalo de confianza al nivel del 95%, 99 % � para la vida media de las bombillas fabricadas por esa fábrica.

Error muestral y tamaño muestral µ desconocida Varianza poblacional

(σ²) conocida, Distribución normal u otra

Error muestral

E=

Tamaño muestral

N=

Error muestral y tamaño muestral Datos distribuidos según

distribución normal, Varianza desconocida

E=

Tamaño muestral n=

La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 8 cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 90%