Distribuci³n Exponencial

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DISTRIBUCIN EXPONENCIALFuncin de Densidad de ProbabilidadFuncin de Distribucin de ProbabilidadDEFINICIN Sedicequextieneunadistribucin exponencialconparmetrosila funcin de densidad de probabilidad de x es de lo contrarioOtra forma de escritura: De modo que ) 0 ( > )'00 ......) ; (x ex fx xe) 1 (0 ...1> FUNCIN DE DISTRIBUCIN: xxxt txe x Fe dt e x Fdt t f x X P x F 1]1

1 ) () () ( ) ( ) (00CARACTERISTICAS: LaDistribucinexponencialesuncaso especial de la distribucin gamma.Ladistribucinexponencialygammajuegan unpapelimportanteenteoradecolasy problemas de confiabilidadDescribe el tiempo hasta la primera ocurrencia de un eventoEjemplo: La cantidad de tiempo, desde ahora, hasta que sucedauntemblorohastaquerecibaunallamada telefnica y sea un numero equivocado.MEDIAVARIANZADESVIACIN ESTNDARDondees el promedio de eventos en un intervalo de tiempo. Por ejemplo 3 eventos por hora1/(tasa de ocurrencia) es el promedio de tiempo transcurridos entre eventos. Por ejemplo: cada 0.33(1/3) horas ocurre un evento. 1 22 21 1 APLICACIONES:Sonlasmasimportantesaquellassituaciones en donde se aplica el proceso de PoissonLostiemposentrellegadaseninstalaciones deservicio,ytiempodefalladepartes componentes y sistemas elctricosModelaladistribucindeladuracindeun componente(debidoasupropiedaddefalta de memoria o amnesia)RELACIN CON LA DISTRIBUCIN DE POISSONLadistribucindePoissonsedesarrollocomo unadistribucindeunsoloparmetro donde puede interpretarse como el nmero de eventos por unidad de tiempo .ConsidreseahoralavariablealeatoriaX descritaporeltiempoqueserequierehasta queocurraelprimerevento,Xesunvariable que se Distribuye Exponencial con parmetro Donde:es el nmero promedio de eventos por unidad de tiempo. La media de Poissones la tasa de ocurrencia de un evento por unidad de tiempo. La media Exponencial 1EJEMPLO 1Supongaqueunsistemacontieneciertotipode componentecuyotiempodefallaenaosestadado por T. La variable aleatoria T se modela bien mediante ladistribucinexponencialcontiempomedioparala falla=5.Siseinstalan5deestoscomponentesen diferentes sistemas. Cul es la probabilidad de que al menos dos aun funcionen al final de ocho aos?SOLUCIN.Laprobabilidaddequeuncomponentedadoaun funcione despus de ocho aos esta dada por: >85852 . 051) 8 ( e dt e T PtEJEMPLO 2El nmero promedio de recepcin de solicitudes en un sistema de atencin al cliente es de 3 por da.a) Culeslaprobabilidaddequeeltiempoantesde recibir una solicitud exceda cinco das?b) Culeslaprobabilidaddequeeltiempoantesde recibir una solicitud sea menor de diez das? c) Culeslaprobabilidaddequeeltiempoantesde recibir una solicitud sea menor de diez das, si ya han pasado 5 das y no se han recibido solicitudes?5 * 333) 5 ( 1 ) 5 () 5 ( 1 ) 5 (1 ) (* 3 ) ( > > e F X PX P X Pe x Fe x fxxSOLUCINA.SOLUCINB.3031 ) 10 () 10 ( ) 10 (1 ) ( < < e X PF X Pe x FxSOLUCINC.151530 151515 3031 )510() 1 ( 1)510() 5 ( 1) 5 ( ) 10 ()510(1 ) ( >< >< ee e eXXPee eXXPF F FXXPe x FxLa probabilidad de que pasen menos de 5 das mas sin recibirsolicitudes,despusde5dassinrecibir solicitudes,esigualalaprobabilidaddequepasen menos de 5 das sin recibir solicitudesEsto significa que la V.A Exponencial no tiene memoria.Y la podemos generalizar como:) 5 ( 1 )5) 5 5 ((15 >+ X P eXXP) ( 1 )) (( s X P et Xs t XPs >+ EJEMPLO 2.1Culeslaprobabilidaddequetranscurran menosde7dassinrecibirsolicitudes,siya llevan 3 das sin recibir solicitudes?Como no tiene memoria entonces:)3) 3 4 ((1 ) (3>+ XXPe x Fx121 ) 4 () 4 ( )3) 3 4 (( >+ e X PX PXXPBIBLIOGRAFA: WALPOLE,Ronald/ProbabilidadyEstadsticapara Ingenieros/6aEdicin/PRENTICE-HALL. HISPANOAMERICANA.S.A/ Mxico,1999/Pg.168-170 DEVORE,JayL./ProbabilidadyEstadsticapara IngenierayCiencias/7Edicin/CENGAGELearning/ Mxico,2008/ Pg.157-159Enciclopedia Encarta 2001. Microsoft Corporation.