Distribución Normal...Distribución Normal Estándar Resolver la integral ∫ (𝑥) 𝑥 no es tan...

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Elaborado por: Carlos Tejada Distribución Normal Una variable aleatoria normal X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad (f.d.p.): 2 2 1 2 1 ) ( x e x f , –∞ < x < ∞ Donde: μ = media de x σ = desviación estándar de x Propiedades: 1) () −∞ =1 2) La gráfica de f (x) tiene forma de campana y es simétrica con respecto a x = μ 3) La curva es asintótica al eje x. ( < < ) = ∫ ()

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Elaborado por: Carlos Tejada

Distribución Normal

Una variable aleatoria normal X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad

(f.d.p.):

2

2

1

2

1)(

x

exf , –∞ < x < ∞

Donde:

μ = media de x

σ = desviación estándar de x

Propiedades:

1) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞= 1

2) La gráfica de f (x) tiene forma de campana y es simétrica con respecto a x = μ

3) La curva es asintótica al eje x.

𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

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Distribución Normal Estándar

Resolver la integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 no es tan simple ya que no se puede aplicar el teorema

fundamental del cálculo, por lo cual se recurre a un proceso de estandarización basándose

en una variable aleatoria normal Z con µ = 1 y σ = 0.

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎

𝑓(𝑧) =1

√2𝜋𝑒−

12

𝑧2

Aplicando métodos de integración numérica, se han construido tablas para los valores de la

función de densidad de probabilidad acumulada (f.d.p.a.) F(x) de la variable aleatoria

normal estándar Z.

Entonces:

𝑃(𝑍 > 𝑍0) = ∫1

√2𝜋𝑒−

12

𝑧2𝑍0

−∞

𝑑𝑧

𝑃(𝑎 < 𝑧 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Ejemplos. Calcular:

1) P(z > 1.84)

2) P(–1.97 < z < 0.86)

3) P(z > z0) = 0.7486

4) P(x < 6) con µ = 8 y σ = 1.5

5) P(x < x0) = 0.448 con µ = 40 y σ = 6

6) P(x > x0) = 0.14 con µ = 40 y σ = 6

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1. P(z > 1.84)

𝑃(𝑧 > 1.84) = 1 − 𝑃(𝑧 < 1.84)

= 1 − 0.96712 = 0.03288

2. P(–1.97 < z < 0.86)

𝑃(−1.97 < 𝑧 < 0.86) = 𝐹(0.86) − 𝐹(−1.97)

= 0.80510 − 0.02442 = 0.78068

3. P(z > z0) = 0.7486

𝑃(𝑧 > 𝑧0) = 1 − 𝑃(𝑧 < 𝑧0) = 0.7486

𝑃(𝑧 < 𝑧0) = 1 − 0.7486 = 0.2514

Por tablas, z0 = –0.67

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4. P(x < 6) con µ = 8 y σ = 1.5

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

6 − 8

1.5= −1.3333

𝑃(𝑧 < −1.33) = 0.09176 (por tablas)

𝑃(𝑥 < 6) = 0.09176

5. P(x < x0) = 0.448 con µ = 40 y σ = 6

Por tablas, z0 = –0.13

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎

𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (−0.13)(6) + 40 = 39.22

6. P(x > x0) = 0.14 con µ = 40 y σ = 6

𝑃(𝑥 > 𝑥0) = 1 − 𝑃(𝑥 < 𝑥0) = 0.14

𝑃(𝑥 < 𝑥0) = 1 − 0.14 = 0.86

Por tablas, z = 1.08

𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (1.08)(6) + 40 = 46.48

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Ejemplo. Considere que los valores de CI (coeficiente de inteligencia) en seres humanos

están distribuidos normalmente con media 100 y desviación estándar 10. Si una persona es

elegida al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que su CI rebase los 120?

Datos:

x =CI (Coeficiente de inteligencia

μ = 100

σ = 10

x = 120

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

120 − 100

10= 2

𝑃(𝑥 > 120) = 𝑃(𝑧 > 2) = 1 − 𝑃(𝑧 < 2) = 1 − 0.97725 = 0.02275

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Ejemplo. La cantidad semanal gastada en el mantenimiento de cierta empresa tiene una

distribución normal con media de $300 y una desviación estándar de $20. Si el presupuesto

para la próxima semana es de $350:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad

presupuestada?

b) ¿Cuánto debería ser el presupuesto para el mantenimiento de tal forma que la cantidad

presupuestada solamente sea rebasado con una probabilidad de 0.1?

a)

Datos:

x =cantidad gastada semanalmente

μ = 300

σ = 20

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

350 − 300

20= 2.5

𝑃(𝑥 > 350) = 𝑃(𝑧 > 2.5)

= 1 − 𝑃(𝑧 < 2.5) = 1 − 0.99379 = 0.00621

b)

𝑃(𝑥 > 𝑐) = 0.1

1 − 𝑃(𝑥 < 𝑐) = 0.1

𝑃(𝑥 < 𝑐) = 0.9

Por tablas z = 1.28

𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (1.28)(20) + 300 = $325.6

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Ejemplo. El diámetro de un cable está distribuido normalmente con varianza de 0.0004

cm2, ¿cuál debe ser el diámetro promedio si la probabilidad de que sobrepase los 0.81 cm

es de 0.3085?

Datos:

x = diámetro del cable

σ2 = 0.0004

𝜎 = √0.0004 = 0.02

𝑃(𝑥 > 0.81) = 0.3085

1 − 𝑃(𝑥 < 0.81) = 0.3085

𝑃(𝑥 < 0.81) = 0.6915

Por tablas z = 0.5

𝜇 = 𝑥 − 𝑧𝜎 = 0.81 − (0.5)(0.02) = 0.8

μ = 0.8 cm

Ejemplo. La vida promedio de cierto componente electrónico es de 10 años, con una

desviación estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los componentes de

este tipo que fallan dentro de la garantía. Si el fabricante está dispuesto a reponer sólo el

3% de los componentes que fallen. ¿Cuánto debe durar la garantía?

Datos:

x = periodo de garantía

μ = 10

σ = 2

𝑃(𝑥 < 𝑐) = 0.03

Por tablas z = –1.89

𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (−1.89)(2) + 10 = 6.22 𝑎ñ𝑜𝑠