Distribución Normal ... Distribución Normal Estándar Resolver la integral ∫...

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  • Elaborado por: Carlos Tejada

    Distribución Normal

    Una variable aleatoria normal X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad

    (f.d.p.):

    2

    2

    1

    2

    1 )(

     

      

      

      

    

    x

    exf , –∞ < x < ∞

    Donde:

    μ = media de x

    σ = desviación estándar de x

    Propiedades:

    1) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞

    −∞ = 1

    2) La gráfica de f (x) tiene forma de campana y es simétrica con respecto a x = μ

    3) La curva es asintótica al eje x.

    𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

    𝑏

    𝑎

  • Elaborado por: Carlos Tejada

    Distribución Normal Estándar

    Resolver la integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

    𝑎 no es tan simple ya que no se puede aplicar el teorema

    fundamental del cálculo, por lo cual se recurre a un proceso de estandarización basándose

    en una variable aleatoria normal Z con µ = 1 y σ = 0.

    𝑧 = 𝑥 − 𝜇

    𝜎

    𝑓(𝑧) = 1

    √2𝜋 𝑒−

    1 2

    𝑧2

    Aplicando métodos de integración numérica, se han construido tablas para los valores de la

    función de densidad de probabilidad acumulada (f.d.p.a.) F(x) de la variable aleatoria

    normal estándar Z.

    Entonces:

    𝑃(𝑍 > 𝑍0) = ∫ 1

    √2𝜋 𝑒−

    1 2

    𝑧2 𝑍0

    −∞

    𝑑𝑧

    𝑃(𝑎 < 𝑧 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

    Ejemplos. Calcular:

    1) P(z > 1.84)

    2) P(–1.97 < z < 0.86)

    3) P(z > z0) = 0.7486

    4) P(x < 6) con µ = 8 y σ = 1.5

    5) P(x < x0) = 0.448 con µ = 40 y σ = 6

    6) P(x > x0) = 0.14 con µ = 40 y σ = 6

  • Elaborado por: Carlos Tejada

    1. P(z > 1.84)

    𝑃(𝑧 > 1.84) = 1 − 𝑃(𝑧 < 1.84)

    = 1 − 0.96712 = 0.03288

    2. P(–1.97 < z < 0.86)

    𝑃(−1.97 < 𝑧 < 0.86) = 𝐹(0.86) − 𝐹(−1.97)

    = 0.80510 − 0.02442 = 0.78068

    3. P(z > z0) = 0.7486

    𝑃(𝑧 > 𝑧0) = 1 − 𝑃(𝑧 < 𝑧0) = 0.7486

    𝑃(𝑧 < 𝑧0) = 1 − 0.7486 = 0.2514

    Por tablas, z0 = –0.67

  • Elaborado por: Carlos Tejada

    4. P(x < 6) con µ = 8 y σ = 1.5

    𝑧 = 𝑥 − 𝜇

    𝜎 =

    6 − 8

    1.5 = −1.3333

    𝑃(𝑧 < −1.33) = 0.09176 (por tablas)

    𝑃(𝑥 < 6) = 0.09176

    5. P(x < x0) = 0.448 con µ = 40 y σ = 6

    Por tablas, z0 = –0.13

    𝑧 = 𝑥 − 𝜇

    𝜎

    𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (−0.13)(6) + 40 = 39.22

    6. P(x > x0) = 0.14 con µ = 40 y σ = 6

    𝑃(𝑥 > 𝑥0) = 1 − 𝑃(𝑥 < 𝑥0) = 0.14

    𝑃(𝑥 < 𝑥0) = 1 − 0.14 = 0.86

    Por tablas, z = 1.08

    𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (1.08)(6) + 40 = 46.48

  • Elaborado por: Carlos Tejada

    Ejemplo. Considere que los valores de CI (coeficiente de inteligencia) en seres humanos

    están distribuidos normalmente con media 100 y desviación estándar 10. Si una persona es

    elegida al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que su CI rebase los 120?

    Datos:

    x =CI (Coeficiente de inteligencia

    μ = 100

    σ = 10

    x = 120

    𝑧 = 𝑥 − 𝜇

    𝜎 =

    120 − 100

    10 = 2

    𝑃(𝑥 > 120) = 𝑃(𝑧 > 2) = 1 − 𝑃(𝑧 < 2) = 1 − 0.97725 = 0.02275

  • Elaborado por: Carlos Tejada

    Ejemplo. La cantidad semanal gastada en el mantenimiento de cierta empresa tiene una

    distribución normal con media de $300 y una desviación estándar de $20. Si el presupuesto

    para la próxima semana es de $350:

    a) ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad

    presupuestada?

    b) ¿Cuánto debería ser el presupuesto para el mantenimiento de tal forma que la cantidad

    presupuestada solamente sea rebasado con una probabilidad de 0.1?

    a)

    Datos:

    x =cantidad gastada semanalmente

    μ = 300

    σ = 20

    𝑧 = 𝑥 − 𝜇

    𝜎 =

    350 − 300

    20 = 2.5

    𝑃(𝑥 > 350) = 𝑃(𝑧 > 2.5)

    = 1 − 𝑃(𝑧 < 2.5) = 1 − 0.99379 = 0.00621

    b)

    𝑃(𝑥 > 𝑐) = 0.1

    1 − 𝑃(𝑥 < 𝑐) = 0.1

    𝑃(𝑥 < 𝑐) = 0.9

    Por tablas z = 1.28

    𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (1.28)(20) + 300 = $325.6

  • Elaborado por: Carlos Tejada

    Ejemplo. El diámetro de un cable está distribuido normalmente con varianza de 0.0004

    cm2, ¿cuál debe ser el diámetro promedio si la probabilidad de que sobrepase los 0.81 cm

    es de 0.3085?

    Datos:

    x = diámetro del cable

    σ2 = 0.0004

    𝜎 = √0.0004 = 0.02

    𝑃(𝑥 > 0.81) = 0.3085

    1 − 𝑃(𝑥 < 0.81) = 0.3085

    𝑃(𝑥 < 0.81) = 0.6915

    Por tablas z = 0.5

    𝜇 = 𝑥 − 𝑧𝜎 = 0.81 − (0.5)(0.02) = 0.8

    μ = 0.8 cm

    Ejemplo. La vida promedio de cierto componente electrónico es de 10 años, con una

    desviación estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los componentes de

    este tipo que fallan dentro de la garantía. Si el fabricante está dispuesto a reponer sólo el

    3% de los componentes que fallen. ¿Cuánto debe durar la garantía?

    Datos:

    x = periodo de garantía

    μ = 10

    σ = 2

    𝑃(𝑥 < 𝑐) = 0.03

    Por tablas z = –1.89

    𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (−1.89)(2) + 10 = 6.22 𝑎ñ𝑜𝑠