Distribucin de ProbabilidadMSc. Wilver Rodriguez Lpez Lic. Estadstica

VARIABLE ALEATORIASea E un experimento aleatorio y el espacio muestral asociado con el experimento aleatorio. Una funcin X, que asigna a cada uno de los elementos de un nmero real , se le llama variable aleatoria.

E: lanzar una moneda tres veces y observar el nmero de caras.RX

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Sea X una v.a. Si el nmero de valores posibles de X (valores que toma la v.a.) es finito o infinito numerable , llamamos a X una variable aleatoria discreta. Esto es, se pueden anotar los valores posibles de X como: x1,x2,x3, .., xn

Ejemplo Sea el siguiente experimento aleatorio: Lanzar una moneda tres veces y anotar el nmero de caras obtenidas1. ccc 32. ccs 2..7. ssc 1.8. sss 0

Nmero de CarasResultadosProbabilidad de resultadoXP(X)011/8131/8231/8311/8

81

FUNCIN DE PROBABILIDAD

= E(x) = {x * p(x)}VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMTICAVARIANZA

2 = (x - )2 * p(x)

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS

DISTRIBUCION BINOMIAL

Distribucin Binomial:para x = 0,1,2,3,, n n: Nmero de ensayos.x: Nmero de xitos esperadosp: Probabilidad de xito en cada ensayo.q: 1-p Probabilidad de fracaso.

Caractersticas de una Dist. BinomialSe usa en variables discretas.Solo son posibles en fenmenos que presenta slo dos resultados posibles mutuamente excluyentes (xito: p y Fracaso: 1-p).Los ensayos son independientes.Cada ensayo tiene la misma probabilidad de xito.

EjemploLa probabilidad de que un individuo vacunado contra una determinada enfermedad se contagie es de 0.3. Un grupo de 10 individuos es vacunado. Calcular las siguientes probabilidades: Contraiga la enfermedad un solo individuo.Al menos dos contraigan la enfermedadComo mximo 2 contraigan.

SolucinX: N de individuos contagiados con la enfermedad.xi: 1,2,3,,10p=0.3n=10

= 0.12106

f(x2)=P[x 2]=1- P[x

f(x2)=P[x 2]={P[x=0]+P[x=1]+P[x=2]} = {0.0282+0.1211+0.2335} = 0.3828

Ejercicios:

1. Usando la tabla de la distribucin Binomial, calcular las siguientes probabilidades: . P(x=5 \ n= 7, p=0.20). P(x3 \ n= 5,p=0.30 ). P(x6 \ n= 8,p=0.40 ). P(x>8 \ n= 10,p=0.50 ). P(x

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Es una Distribucin de Probabilidad continua DISTRIBUCION NORMALForma de Campana Gauss _ Unimodal. (X=Me=Mo)

Simtrica.

Asintotica.+

Para pasar de una Distribucin NormalGeneral a una distribucin Normal EstndarEsta transformacin se conoce como estandarizacin o tipificacin

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARSe observa que existe una familia ilimitada de distribuciones normales, combinaciones de y .Por ello se utiliza la Distribucin Normal Estandar con =0 y =1 -3 -2 - + +2 +3 Por

se convierte en: -3 -2 -1 0 1 2 3

Clculo de reas bajo la Curva NormalP(Z-2.51) = 0.006037 P(Z> 2.51) = P(-2.5 Z 2.51) = = 1- 0.993963 1- P(Z 2.51) = 0.006037 P(Z 2.51) P(Z -2.5) = 0.987926

Ejemplo:La glucemia basal de los diabticos atendidos en un centro sanitario puede considerarse como una variable normalmente distribuida, con media 106 mg por 100 ml, y desviacin tpica 8 mg por 100 ml.Calcular:La proporcin de diabticos con una glucemia basal inferior a 120 mg por 100 ml.La proporcin de diabticos con una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por 100 ml.La proporcin de diabticos con una glucemia basal mayor a 120 mg por 100 ml.El nivel de glucemia basal tal que por debajo de el estn el 25% de los diabticos, es decir el Q1.

Entre los diabticos, el nivel de glucosa en sangre X, en ayunas, puede suponerse de distribucin aproximadamente normal, con media 106 mg/100ml y desviacin tpica o estndar de 8 mg/100ml.

P(x120) =

Solucin.X: Glucemia basal el diabticosX ~ N(=106 ; =8)P(X

P(106

P(X>120)=1-P(X120) =1-P[Z(120-106)/8] =1-P(Z1.75) =1-0.959941 =0.040059

P(X

Aproximacin de la Distribucin Binomial a la Distribucin Normal Si X ~B(n,p), puede aproximarse a una distribucin Normal con =np y =npq cuando se cumplen simultneamente las siguientes condiciones:p>0.05q>0.05 (q=1-p)n30

B(n,p) ~ N(np, npq)

EjemploUn tratamiento antibitico es efectivo frente a infecciones pulmonares por legionella en el 25% de los casos. Los pacientes mejoran permaneciendo con buen estado general y afebriles antes de transcurridas 72 horas del comienzo del tratamiento. En una epidemia de infecciones pulmonares por legionella se aplica a 80 pacientes.Calcular la probabilidad de que antes de 72 horas de inicio el tratamiento mejoren entre 25 y 30 pacientes, es decir, sea efectivo el tratamiento.

SolucinX: Nmero de pacientes que mejoran antes de 72 horas de iniciado el tratamiento.n=80p=0.25X~B(80,0.25)Requisitos que se deben cumplir para aproximar a la normal:p=0.25 p>0.05q=0.75 q>0.05n=80 n>30

Podemos pasar de una B(80,0.25) a una normal con =np=80*0.25=20 y =npq= 80*0.25*0.75=3.87

El problema nos pide calcular: P(25X30)Aproximando a la normal y teniendo en cuenta la correccin por continuidad la probabilidad pedida es:P(24.5X30.5)=P(X30.5)-P(X24.5) =P[Z(30.5-20)/3.87]-P[Z(24.5-20)/3.87] =P[Z2.71]-P[Z1.16] =0.996636-0.876976 =0.119660