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DISEÑO MECÁNICO 20/21 GRADO EN INGENIERÍA DE MATERIALES - URJC 1 TEMA 1 EJERCICIO 1 Un material presenta una ley tensión deformación verdaderas dada por la expresión σ=450ε 0,25 , donde σ se expresa en MPa. Determinar la resistencia a tracción del material. Si una barra de este material ha sufrido una deformación ingenieril a tracción 0,2; hallar la deformación ingenieril adicional que podrá soportar hasta que se produzca la inestabilidad. EJERCICIO 2 Un tubo de pared delgada de radio R y espesor t, se somete a un estado de tracción uniaxial según su eje y se determina la relación entre la tensión ingenieril, s, y la deformación ingenieril, e, obteniendo la expresión e e B S n 1 . Suponiendo que el material del tubo responde a un modelo de sólido plástico ideal, determinar el espesor de la pared del tubo en el momento de alcanzar la inestabilidad plástica. (Junio de 2013) EJERCICIO 3 La figura muestra una estructura constituida por dos barras articuladas en A, B y C que soportan una carga vertical P en C. Las barras son totalmente idénticas de longitud l0 y sección S0, y el material tiene una ley tensión-deformación verdaderas dada por la expresión n Aε σ . Encontrar el máximo valor de la carga P que puede soportar la estructura. Datos: n=0.2, A=1400 MPa, l0=6 m, h0=3 m, S0=4cm 2 . EJERCICIO 4 Un álabe de una turbina de gas, de 25 cm de longitud, gira en torno a uno de sus extremos con velocidad angular . Determinar: a) El valor de que inicia la plastificación del álabe y el lugar donde se iniciará. b) El valor de necesario para que la longitud del álabe aumente 2 mm. DATOS: El valor del límite elástico del material del álabe es 345 MPa y su densidad 4.5g/cm 3 . Considere que la deformación ingenieril de este material puede expresarse en función de la tensión verdadera como: = 6.10 −12 3 ( expresado en MPa). Desprecie las deformaciones elásticas frente a las plásticas. (Enero 2016)

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DISEÑO MECÁNICO 20/21

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TEMA 1

EJERCICIO 1

Un material presenta una ley tensión deformación verdaderas dada por la expresión σ=450ε0,25, donde σ se expresa en MPa. Determinar la resistencia a tracción del material. Si una barra de este material ha sufrido una deformación ingenieril a tracción 0,2; hallar la deformación ingenieril adicional que podrá soportar hasta que se produzca la inestabilidad.

EJERCICIO 2

Un tubo de pared delgada de radio R y espesor t, se somete a un estado de tracción uniaxial según su eje y se determina la relación entre la tensión ingenieril, s, y la deformación

ingenieril, e, obteniendo la expresión e

eBS

n

1. Suponiendo que el material del tubo

responde a un modelo de sólido plástico ideal, determinar el espesor de la pared del tubo en el momento de alcanzar la inestabilidad plástica. (Junio de 2013)

EJERCICIO 3

La figura muestra una estructura constituida por dos barras articuladas en A, B y C que soportan una carga vertical P en C. Las barras son totalmente idénticas de longitud l0 y sección S0, y el material tiene una ley tensión-deformación verdaderas dada por la expresión nAεσ . Encontrar el máximo valor de la carga

P que puede soportar la estructura.

Datos: n=0.2, A=1400 MPa, l0=6 m, h0=3 m, S0=4cm2.

EJERCICIO 4

Un álabe de una turbina de gas, de 25 cm de longitud, gira en torno a uno de sus extremos

con velocidad angular . Determinar:

a) El valor de que inicia la plastificación del álabe y el lugar donde se iniciará.

b) El valor de necesario para que la longitud del álabe aumente 2 mm.

DATOS:

El valor del límite elástico del material del álabe es 345 MPa y su densidad 4.5g/cm3. Considere que la deformación ingenieril de este material puede expresarse en función de la

tensión verdadera como: 𝑒 = 6.10−12𝜎3 ( expresado en MPa). Desprecie las deformaciones elásticas frente a las plásticas. (Enero 2016)

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TEMA 2

EJERCICIO 5

Un tirante tubular cilíndrico de 50 mm de radio y 2 mm de espesor está sometido a una carga permanente de tracción que produce una tensión axial igual a 0,5 y, donde y es el límite elástico del material. Determinar el momento torsor que, superpuesto a la carga de tracción, produce la plastificación del tubo si: a) el material verifica el criterio de Tresca; b) el material obedece al criterio de Von Mises.

Datos: y=250MPa

EJERCICIO 6

Un sistema mecánico está constituido por un cilindro de radio R0 y longitud L0, que encaja perfectamente y sin rozamiento en el interior de un tubo de pared delgada de espesor e0. Dicho sistema se coloca entre dos paredes rígidas, tal y como muestra la figura. Si sobre el contorno exterior del tubo se aplica una presión, Pe, determinar cuál de los dos elementos que constituyen el sistema mecánico alcanzará antes la plastificación; (utilizar el criterio de Tresca).

DATOS: R0/e0=10 Constantes elásticas del material: Módulo de elasticidad del tubo, ET. Módulo de elasticidad del cilindro Ec. Ec=ET=E Coeficiente de Poisson del tubo, c. Coeficiente de Poisson del cilindro T. c=T=0.3 Límite elástico del tubo, YT. Límite elástico del cilindro, YC. YT=YC=Y

EJERCICIO 7

Para determinar la cohesión, c, y el coeficiente de fricción interna, , de un material pétreo que sigue el criterio de fallo de Mohr-Coulomb se han realizado ensayos de caracterización triaxiales. En estos ensayos el material se ha confinado en un recipiente cilíndrico, de tal

manera que sobre la superficie lateral del cilindro actúa una presión p y sobre el eje una tensión de compresión , tal como se muestra en la figura. Si la presión lateral es p=200 MPa la tensión de fallo que se observa es =9.5 MPa; y, si la presión lateral es p=400 MPa la tensión de fallo que se observa es =43.8 MPa. A partir de estos resultados experimentales determine la cohesión, c, y el coeficiente de fricción interna, , de este material. Si el mismo material es sometido al siguiente estado tensional:

Cilindro

Tubo

Tubo

Cilindro

Tubo

Tubo

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¿Qué valor debe alcanzar el parámetro t para que falle el material? (Junio 2016)

EJERCICIO 8 Un tubo perforador de pared delgada con radio R y espesor e durante su funcionamiento está sometido a tensión de

compresión , a un momento torsor, MT, y la fricción de la superficie lateral con el terreno genera además tensiones tangenciales en la dirección longitudinal, que pueden

considerarse aproximadamente constantes y de valor =𝜎

4. Si el

material del tubo obedece a un criterio de plastificación de Mohr-

Coulomb, siendo c la cohesión y el ángulo de rozamiento . Determinar el máximo valor del momento torsor en el momento de producirse la plastificación. (Diciembre 2019) Datos:

Mohr Coulomb: =30, c=𝜎

√6

200

0

02

ttt

tt

MT

H

MT

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TEMA 3

EJERCICIO 9

Un cilindro de material elástico y lineal con módulo de elasticidad E1 y coeficiente de Poisson 1 está rodeado por un tubo de pared delgada (R/e=20) fabricado con un material elastoplástico sin endurecimiento, con módulo de elasticidad E2, coeficiente de Poisson 2 y límite elástico Y. Sobre el cilindro se aplica una fuerza de compresión F uniformemente distribuida en toda la sección transversal. Suponiendo que el cilindro y el tubo ajustan perfectamente y que no existe rozamiento entre ellos, determinar la relación entre la fuerza aplicada, F, y el acortamiento del cilindro, h (antes y después de la

plastificación del tubo). Despréciese todo posible efecto de borde.

EJERCICIO 10

Un cilindro de una aleación de aluminio de 15 cm de diámetro y 12 cm de altura se somete a compresión en la dirección del eje mientras se aplica una presión constante sobre la superficie lateral de 300 MPa, tal como muestra la figura. El aluminio tiene un límite elástico de 420 MPa y su ley tensión-deformación verdadera es σ = 1670εn, donde σ se expresa en MPa. Si

la tensión de compresión σ en la dirección del eje se incrementa lentamente partiendo de cero, determinar:

a) el valor de dicha tensión cuando se alcanza la plastificación del cilindro, suponiendo que el material obedece el criterio de Von Mises.

b) las variaciones dimensionales del cilindro si la tensión aplicada supera en un 10% la calculada en el apartado a).

Despréciense las deformaciones elásticas frente a las plásticas y resuélvase el problema en un solo paso de integración.

p=300 MPa

σ

σ

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EJERCICIO 11

Un depósito esférico de pared delgada (R/e=25) almacena fluido a presión a alta temperatura. Por un mal funcionamiento de una válvula de seguridad se produce una sobrepresión que provoca deformaciones permanentes en el depósito. Para analizar el fallo del depósito se realizan ensayos de tracción en probetas del componente dañado y de un depósito idéntico intacto, a temperatura ambiente y a la temperatura de servicio. En todos los casos el material presenta una curva tensión deformación tipo Hollomon. El límite elástico a temperatura ambiente del material del depósito dañado es 2.4 veces el límite elástico obtenido al ensayar el depósito intacto.

a) Determinar la máxima presión admisible en el depósito para que no se produzcan deformaciones permanentes con un factor de seguridad de 2 en las condiciones de

servicio.

b) Determinar la relación R/e que debería tener el depósito después de la sobrepresión.

c) Determinar la máxima presión que soportó el depósito durante el fallo de la válvula de seguridad

DATOS:

Desprecie las deformaciones elásticas frente a las plásticas y considere el límite elástico al 0.2%.

Temperatura ambiente: 𝜎 = 1300𝜀̅0.22 (MPa).

Temperatura de servicio: 𝜎 = 450𝜀̅0.17 (MPa). (Junio de 2017)

EJERCICIO 12

Para el timbrado de las cisternas de transporte de gas, se someten éstas a una presión 5 veces superior a la de trabajo, que es de 1,2 MPa

a) Determinar el mínimo espesor que garantiza un coeficiente de seguridad de 1,5 en el

timbrado de una cisterna de 1,6 m de diámetro y 6 m de longitud, fabricada con un material de 240 MPa de límite elástico. Supóngase para el cálculo un recipiente cilíndrico de pared delgada con los extremos soldados, sin considerar los efectos de los bordes.

b) Como consecuencia de una sobrecarga accidental, debida a que las válvulas de seguridad no se abrieron a la presión programada, el diámetro de la cisterna anterior ha aumentado en 172 mm. Para conocer más detalles del accidente, se ha extraído una

muestra del material del depósito accidentado y se ha ensayado a tracción, obteniendo un límite elástico de 327 MPa. Determinar la máxima presión experimentada por el depósito durante el accidente. Despréciense las deformaciones elásticas frente a las plásticas.

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EJERCICIO 13

Un pilar metálico cilíndrico, de diámetro D=2 m, espesor e=25 mm y altura H=1m, está

sometido a la acción de un esfuerzo de tracción, P, y un momento torsor𝑀𝑡 =𝑃𝐷

10.

a) El valor de P que produce el inicio de la plastificación del pilar.

b) El valor de P que provoca la inestabilidad plástica del pilar.

DATOS: Desprecie las deformaciones elásticas frente a las plásticas. Características del material utilizado: 𝜎 = 1250𝜀̅0.2 (MPa), y=360 MPa. (Junio de 2015)

EJERCICIO 14

Una chapa cuadrada de lado a0 y espesor t0 (t0<<a0) está sometida a un estado biaxial de tracción, determinado por una fuerza F que se aplica simultáneamente en dos direcciones tal como muestra la figura.

a) Determinar el valor de F provoca la plastificación de la placa.

b) Determinar la fuerza F que debe aplicarse para que el valor del límite elástico de la chapa se multiplique por (>1). ¿Cuál es el espesor de la placa en esta situación?

DATOS:

Desprecie las deformaciones elásticas frente a las plásticas.

Propiedades del material que forma la chapa: Límite elástico y, curva de endurecimiento 𝜎 = 𝐾𝜖̅𝑛.

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TEMA 4

EJERCICIO 15

Como consecuencia del incendio de un edificio, las columnas metálicas de su estructura se ven sometidas a un aumento de temperatura suficiente para que se produzcan deformaciones de fluencia que pueden provocar inestabilidad por pandeo. Como primera aproximación puede considerarse que la condición crítica de pandeo bajo condiciones de fluencia estacionaria es idéntica a la del régimen puramente elástico, sustituyendo el módulo de elasticidad E por la dσ/dε. Determinar el tiempo que una columna de sección circular de 20 cm de diámetro, 3 m de longitud, extremos empotrados y sometida a una tensión de compresión de 2 MPa, tardará en alcanzar la condición crítica de pandeo. Supóngase para el material de la columna un régimen de fluencia estacionaria regido por la

ecuación𝜀•= 𝐵𝜎𝑁, con las constantes B = 10-21 y N = 3 (tensiones en Pa y tiempo en h).

EJERCICIO 16

Un álabe de una turbina de gas, de 25 cm de longitud, está fabricado con una aleación base Ni de 8.5 g/cm3 de densidad. El álabe gira en torno a uno de sus extremos con velocidad angular . A la temperatura de servicio la aleación base Ni puede experimentar procesos de fluencia y para estudiarlos se realizaron ensayos de tracción uniaxiales a diferentes cargas en los que se midió la 𝜀̇. Los resultados obtenidos se recogen en la siguiente tabla:

(MPa) 200 300 400 500

𝜀̇ (10-5h-1) 2.5 8 19 37

Determinar:

a) La constante y el exponente de la tensión de la ley de Norton para la aleación base Ni utilizada a la temperatura de servicio. Comente qué mecanismos de fluencia pueden ser responsables de este comportamiento. Aproxime un valor del exponente de la tensión con sentido físico.

b) El valor máximo que puede tener si la vida en servicio del álabe debe ser de, al menos, 600 horas y la tolerancia dimensional del componente no permite un alargamiento del álabe superior a 1.5 mm. Desprecie las deformaciones instantáneas frente a las de fluencia y tenga en cuenta tan solo la fluencia estacionaria. Considere la aproximación de pequeñas deformaciones justificándola. (Enero 2017)

EJERCICIO 17 Una viga de acero de sección rectangular de 300 mm de espesor y 150 mm de anchura

trabaja a 500 C bajo la acción de un momento flector de 50 kNm. Suponiendo válida la hipótesis de Bernoulli-Navier y, por tanto, la sección rectangular permanece plana en todo instante, y despreciando las deformaciones elásticas frente a las de fluencia, hallar al cabo de 10.000 horas:

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a) La distribución de tensiones a lo largo de la anchura de la viga.

b) Los valores máximos de las deformaciones.

Considérese que la ley de fluencia del acero es: 𝜀̇ = 2.8 · 10−32𝜎3 con 𝜎 en Pa y 𝜀̇ en s-1. (Diciembre 2019)

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TEMA 6

EJERCICIO 18

La flexibilidad de un componente estructural se ha determinado, mediante un cálculo por elementos finitos, en función de la longitud del defecto más habitual, que puede considerarse como una grieta central pasante, a, obteniéndose:

u=(A1+A2a+A3a2)P

Donde A1, A2 y A3 son constantes que dependen de la geometría del componente.

d) Indicar las unidades en que deben expresarse A1, A2 y A3 si el desplazamiento, u, se expresa en m y la carga, P, en N.

e) Determinar la carga, P, que provocaría la rotura del componente en función del tamaño inicial del defecto, a0, de las constantes geométricas A1, A2 y A3, del espesor del componente, B, y de la energía específica de fractura, R. ¿Cuál sería el desplazamiento, u, del componente en ese momento?

f) Si el componente continúa fisurándose de forma estable después de alcanzar la carga máxima, determinar la relación entre la carga y el tamaño del defecto desde ese punto. Represente esquemáticamente la curva P-a. (Junio de 2014)

EJERCICIO 19 Un depósito cilíndrico de 1500 mm de diámetro, 8 mm de espesor y 3500 mm de longitud está fabricado con un acero de 200 GPa de módulo de elasticidad y 115 kJ/m2 de resistencia a la rotura. La zona más comprometida del depósito es una soldadura que lo rodea, y que está situada en un plano transversal al eje del depósito. Una inspección visual de la soldadura garantiza que no pueden existir fisuras pasantes de más de 30 mm de longitud. ¿Cuál será la máxima presión de trabajo a la que podrá someterse el depósito si se desea mantener un coeficiente de seguridad de 2,7?. Tómese como factor de intensidad de tensiones del depósito el de una placa de grandes dimensiones.

EJERCICIO 20 Una lámina metálica rectangular está empotrada en sus extremos y posee una fisura pasante central de 10 cm de longitud. Suponiendo que las dimensiones de la placa son mucho mayores que el tamaño de la fisura, calcular la máxima disminución de temperatura que podrá soportar sin romperse si en el momento inicial se encuentra libre de tensiones. Datos del material: E = 130 GPa; R = 22 kJ/m2; = 2 x 10-5 °C -1

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EJERCICIO 21 Utilizar la integral J para deducir una expresión para la energía específica disponible para la rotura, G, en una viga en doble voladizo, solicitada por un desplazamiento uniforme vertical, u, en los bordes superior e inferior, como se indica en el esquema adjunto. La sección se supondrá rectangular de canto 2H y espesor B, y también que a y L son mucho mayores que H. Para facilitar los cálculos supóngase que tanto a como L tienden a infinito.

EJERCICIO 22 Para medir la GIC de un acero, se han ensayado 9 probetas compactas con una relación W/B=2 siguiendo la norma ASTM E.813. Mediante un planímetro se ha medido el área A, situada bajo la curva fuerza-desplazamiento hasta el valor máximo de la carga (punto de descarga) y, después de romper totalmente la probeta a baja temperatura, se ha medido la longitud de la fisura inicial a (entalla más fatiga) y la longitud de la fisura en el punto de

descarga a+a. Los resultados se indican en la siguiente tabla:

Ensayo a(mm) a+a (mm) Ae (J)

1 14.55 14.71 4.56

2 13.98 14.47 7.80

3 13.52 13.96 7.13

4 13.07 13.32 6.27

5 14.60 15.19 8.25

6 14.38 15.89 12.91

7 13.89 15.05 11.30

8 13.96 14.78 9.58

9 13.88 15.82 14.63

Analizar los resultados de acuerdo con la norma indicada y en su caso, determinar el valor de GIC. Otros datos:

Espesor de la probeta B=12.5 mm 0.2=282 MPa R=363 MPa E=208 GPa

u

u

H

H

a

L

S

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EJERCICIO 23 Un cable de acero de un puente grúa experimenta una rotura catastrófica en servicio. Se realizaron ensayos de fractura en el material del cable introduciendo grietas con áreas de 100 mm2 y de 250 mm2 y obteniendo curvas fuerza-desplazamiento con valores de flexibilidad de 1/19100 mm/N y 1/18000 mm/N, respectivamente. Si el cable está fabricado con un acero con un módulo elástico de 200 GPa, un coeficiente de Poisson de 0.33 y una tenacidad de fractura de 50 MPa·m1/2, indique de forma razonada si el motivo de fallo fue una sobrecarga de 4 toneladas o la presencia de un defecto que motivase que la superficie de rotura presentase una grieta con un área aproximada de 225 mm2. (Diciembre 2019)

Fuerz

a (

N)

desplazamiento (mm)

A1= 100 mm2

A2= 250 mm2

1=1

1 100

2 =1

18000

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TEMA 7

EJERCICIO 24

Se quieren realizar ensayos de fractura en probetas de un material elástico y

lineal, de módulo elástico E y coeficiente de Poisson , como las mostradas

en la figura. Si se conoce el factor de intensidad de tensiones:

𝐾𝐼 = 𝜎√𝜋𝑎 (1 − 0.0025 (𝑎

𝑊)2

)

a) Determinar la tasa de liberación de energía G en función de a.

b) Determinar la flexibilidad en función de a.

c) Haciendo uso de los resultados anteriores represente esquemáticamente la curva

carga, P, desplazamiento, u, del ensayo de fractura. Indique el valor de la carga máxima

si la grieta inicial es a0=W/4. Determine el valor de la carga y el desplazamiento correspondientes al momento en que la grieta alcanza el valor a=W/2. Considere que la tenacidad de fractura es KIC y que la grieta se propaga de forma estable durante todo el ensayo. (Enero 2017)

EJERCICIO 25

Una placa rectangular de anchura 80 cm, longitud 1.5 m y espesor 10 cm tiene una fisura central pasante de 8 mm de longitud. Sobre ella actúan simultáneamente un momento flector de 100 kNm y una carga longitudinal F. ¿Cuál es el máximo valor que puede alcanzar F sin que se produzca la rotura catastrófica? Justifique la respuesta. (Junio de 2017)

DATOS:

KIC=80 MPam1/2

a

2W

B

a

P

2a

2W

(M, momento por unidad de espesor)

M

2L

2L

(si L/W>1.5)

2a

2W

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EJERCICIO 26

La placa de la figura de longitud L=100 mm, semianchura b=25 mm y espesor t=2 mm tiene una grieta central pasante de semilongitud a=5 mm. Si se aplica una fuerza de tracción a la placa como indica la figura, determinar:

a) La fuerza que da lugar a la rotura

b) El desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza en el momento de la rotura. (Junio de 2013)

Datos e indicaciones:

Considérese que la placa trabaja en un estado de tensión plana y que la flexibilidad de la placa puede obtenerse por la relación K-G-flexibilidad.

Propiedades del material:

módulo de elasticidad E=3 GPa; coeficiente de Poisson,

=0,4; tenacidad de fractura KIC=1 MPa m1/2.

Expresión aproximada del factor de intensidad de tensiones para una placa de semianchura b con una grieta central

pasante de semilongitud a, sometida a una tensión remota de tracción :

EJERCICIO 27

Una placa metálica de 1 m de ancho y 5 cm de espesor está fija en su parte superior y soporta una tensión de 120 MPa. Al mismo tiempo, en el centro de la placa se han soldado dos barras que transmiten una carga F tal como se muestra en la figura. Si a partir de las uniones soldadas se genera una grieta de 5 mm, determinar el valor de la carga F que

provoca el fallo catastrófico de la estructura. (Junio 2018)

DATOS:

Siendo B el espesor y W el ancho.

KIC=55 MPam1/2

b

aaK I 128,01

2a

F

F

L

2b

F

2a

W

F

2a

W

W

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EJERCICIO 28

Para medir la tenacidad de fractura de un acero de alta resistencia (1143 MPa de límite elástico y 205 GPa de módulo de elasticidad) a temperatura ambiente se ha realizado un ensayo de fractura según la norma ASTM E-399. La probeta empleada es de flexión, de 16 mm de

espesor, 32 mm de anchura y 144 mm de longitud. La fisura de fatiga se ha hecho crecer a partir de una entalla de 14.1 mm de profundidad en cuatro escalones de 0.75 mm de longitud cada uno. Para ello se han aplicado cuatro bloques de ciclos sinusoidales de carga, con carga mínima de 0.2 kN y carga máxima de 7, 6, 5 y 4 kN, respectivamente. El registro carga-desplazamiento obtenido, así como la superficie de fractura de la probeta, son los que se indican en la figura. Comprobar si el ensayo es válido y en caso afirmativo determinar la tenacidad de fractura.

EJERCICIO 29 Una placa de grandes dimensiones con una fisura central pasante de 5 mm de longitud, contiene una distribución de tensiones residuales que varía linealmente a lo largo de la longitud de fisura

como la que se muestra en la figura siendo la tensión pico res= 200 MPa. Si el material de la placa es un alumnio de 70 GPa de módulo elástico y 50 MPam1/2 de tenacidad de fractura, calcular la máxima tensión remota aplicable a la placa suponiendo un coeficiente de seguridad frente a la fractura frágil de 1.5. Indicación: Utilícese las funciones de Green para obtener el factor de intensidad de tensiones. El factor de intensidad de tensiones de un material con una grieta sobre la que actua una distribución de tensiones 𝜎𝑦(𝑥) se calcular:

𝐾𝐼(𝑎) = ∫ 𝜎𝑦(𝑥)𝐺(𝑥, 𝑎)𝑑𝑥𝑎

−𝑎

Siendo 𝐺(𝑥, 𝑎) la función de Green, que para una placa infinita sometida a una fuerza por unidad de espesor F=1 actuando a una distancia x del centro vale:

res res

2a

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𝐾𝐼𝐴 =𝐹

√𝜋𝑎√𝑎 + 𝑥

𝑎 − 𝑥=1

√𝜋𝑎√𝑎 + 𝑥

𝑎 − 𝑥

𝐾𝐼𝐵 =𝐹

√𝜋𝑎√𝑎 − 𝑥

𝑎 + 𝑥=1

√𝜋𝑎√𝑎 − 𝑥

𝑎 + 𝑥

∫𝑥√𝑎 − 𝑥

𝑎 + 𝑥𝑑𝑥 = −𝑎√𝑎2 − 𝑥2 −

𝑎2

2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

𝑎) +

𝑥

2√𝑎2 − 𝑥2

∫𝑥√𝑎 + 𝑥

𝑎 − 𝑥𝑑𝑥 = −𝑎√𝑎2 − 𝑥2 +

𝑎2

2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

𝑎) −

𝑥

2√𝑎2 − 𝑥2

(Junio 2020)

F=1

a

F=1

A

a

B

x

x

y

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TEMA 9

EJERCICIO 30 Se diseña la tubería de un gasoducto con un radio de 150 mm y un espesor de 6 mm para que trabaje a una presión máxima de 10 MPa, que desciende a un valor mínimo de 3 MPa dos veces al día debido a variaciones en el consumo. Los ensayos de caracterización del acero utilizados para fabricar la tubería son realizados en el laboratorio en una placa con una fisura lateral de 20 mm, y revelan que con una variación tensional de hasta 40 MPa no hay propagación de grieta y si es superior a dicho valor, la ley de propagación es de tipo Paris:

𝑑𝑎

𝑑 = ∆𝐾𝑛(𝑀𝑃𝑎, , 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜)

Teniendo en cuenta que en la tubería pueden generarse fisuras semielípticas longitudinales, determinar la máxima profundidad de la fisura para que:

a) No se produzca el fallo por fatiga en la tubería.

b) La tubería no se perfore en 30 años de vida en servicio. En este último caso, señalar cuál debería ser la tenacidad de fractura mínima que debe exigirse al acero.

Datos:

Placa: 𝐾𝐼 = 1.12𝜎√𝜋𝑎 Tubería: 𝐾𝐼 = 0. 6𝜎√𝜋𝑎 Constantes de Paris: C=1.3·10-11 (MPa, m, ciclo) y n=3

EJERCICIO 31

La curva de Whöler de un material se ha estudiado mediante probetas cilíndricas, de 12 mm de diámetro, obteniéndose:

Límite de fatiga f= 100 MPa y 𝑅 =1.25∙109

∆𝜎3 ( > f) (MPa, ciclo).

El análisis fractográfico de las probetas ensayadas muestra que, debido al proceso de mecanizado, el defecto inicial de las probetas ensayadas es una grieta superficial de 100 m de profundidad. Durante el proceso de fatiga esta grieta crece hasta 1.5 mm, momento en el que se produce la rotura. En estas condiciones:

a) Estimar los parámetros de la ley de Paris (C y m) para el material estudiado.

b) Estimar el valor del umbral (Kth) para el crecimiento de grietas por fatiga.

c) Si se repitieran los ensayos para determinar la curva de Wöhler con otro juego de

probetas que presentan un defecto superficial inicial de 800 m. ¿Qué resultado se obtendría?

DATO: Considere que el factor de intensidad de tensiones de una probeta cilíndrica con una

fisura superficial sometida a tracción es 𝐾𝐼 = 1.2𝜎√𝜋𝑎 (Enero 2016)

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DISEÑO MECÁNICO 20/21

GRADO EN INGENIERÍA DE MATERIALES - URJC

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EJERCICIO 32

En una estructura metálica se ha detectado una fisura superficial de 3 mm de profundidad en una unión soldada. Según las condiciones de servicio, la estructura experimenta 3 oscilaciones por hora entre 50 y 150 MPa; además la estructura está sometida a una oscilación cada 8 horas entre 150 y 300 MPa y a una oscilación diaria entre 50 y 300 MPa. Determine la vida en fatiga del componente:

a) Siguiendo la metodología de la Mecánica de la Fractura Elástica y Lineal.

b) Siguiendo la metodología tradicional de acuerdo a la curva de Wöhler.

c) Compare y discuta ambos resultados. Discuta si permitiría o no que la estructura continúe en servicio. En caso afirmativo discuta cuando programaría una nueva inspección.

DATOS:

aK I 3.1 (Siendo a el tamaño de la grieta y la tensión aplicada).

Coeficientes de la Ley de Paris: C=5.18 10-12, m=3 (MPa, m y ciclo)

Kth=5 MPa m1/2 KIC=50 MPa m1/2

Curva de Wöhler f = 80 MPa y 𝑅 =8.35∙1010

∆𝜎3 ( > f) (MPa, ciclo).

EJERCICIO 33

El componente más solicitado de una planta industrial está sometido a tensiones que oscilan entre 100 y 150 MPa dos veces por hora. Además cada día es necesario realizar 2 maniobras puntuales que provocan cambios en las tensiones que actúan sobre el componente. Una de estas maniobras se repite cada 6 horas y provoca una oscilación de la tensión entre 100 y 300 MPa. La otra maniobra se realiza una vez al día y provoca una oscilación de tensión entre 5 y 155MPa.

a) Determinar el tamaño mínimo admisible de fisura que garantice que no se producirá rotura por fatiga.

En una inspección rutinaria se ha encontrado una fisura de 5 mm.

b) Se producirá la rotura catastrófica del componente. c) En caso negativo. ¿Puede producirse rotura por fatiga? d) En caso afirmativo. ¿Cuánto tiempo tardará en romperse el componente por efecto de

la fatiga? (Junio de 2015)

Datos:

aK I 6.0 (Siendo a el tamaño de la grieta y la tensión aplicada) Coeficientes de la Ley de Paris: C=1.18 10-10, m=3 (MPa, m y ciclo)

Kth=5 MPa m1/2 KIC=50 MPa m1/2

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DISEÑO MECÁNICO 20/21

GRADO EN INGENIERÍA DE MATERIALES - URJC

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EJERCICIO 34

Se ha estudiado el comportamiento en corrosión bajo tensión de un acero en un medio agresivo mediante ensayos a carga constante, encontrándose que la velocidad de propagación de grietas para valores del factor de intensidad de tensiones (KI) superiores al umbral (KISCC) es 4 10-7 m/s. Para completar la caracterización del material se han realizado ensayos a desplazamiento constante utilizando una probeta en doble voladizo, como muestra la figura. Se ha aplicado una apertura constante de los labios de la fisura de 1.5 mm y a continuación se ha introducido la probeta en el medio agresivo observándose el crecimiento de la grieta. Se comprueba que la fisura crece hasta 120 mm de longitud, sin observarse crecimiento posterior.

a) Determinar el umbral de corrosión bajo tensión KISCC y dibujar esquemáticamente la curva que controla la corrosión bajo tensión de este acero en el medio agresivo

estudiado (𝑑𝑎

𝑑𝑡− 𝐾𝐼).

Una placa de este material con una grieta central pasante de 16 mm se sumerge en el medio agresivo soportando una tensión de 130 MPa:

b) Determinar si se producirá crecimiento subcrítico de grietas por corrosión bajo tensión. En caso afirmativo determinar el tiempo que tardará en romperse la placa. Para simplificar los cálculos considere la placa como infinita. (Diciembre de 2013)

Datos:

Módulo elástico del acero E=200 GPa

Tenacidad de fractura del acero en el medio agresivo: KIC=40 MPa m1/2

EJERCICIO 35

El comportamiento frente a la corrosión bajo tensión de un acero en un medio agresivo se ha estudiado mediante ensayos a desplazamiento constante que han permitido determinar el umbral de propagación de fisuras en 5 MPam1/2. Para completar la caracterización se han realizado ensayos a carga constante sobre una probeta compacta (W=45 mm) en la que se ha aplicado una fuerza de 2 kN. La grieta inicialmente tenía una longitud a = 20 mm y crece hasta 40 mm en 1 día, cuando se produce la rotura final.

aHHa

HHaHuEHK I 23

2/132

6,0

6,03

4

u=

1,5

mm

2H

=30 m

m

B=15 mm

a

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DISEÑO MECÁNICO 20/21

GRADO EN INGENIERÍA DE MATERIALES - URJC

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𝐾𝐼 = (𝐹

𝐵𝑊12

)𝑓2 (𝑎

𝑊); 𝑓2 (

𝑎

𝑊) =

(2+𝑎

𝑊)(0.886+4.64

𝑎

𝑊−13.32(

𝑎

𝑊)2+14.72(

𝑎

𝑊)3−5.6(

𝑎

𝑊)4)

(1−𝑎

𝑊)

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a) Determinar la tenacidad de fractura y la velocidad de crecimiento de grietas, por encima del umbral de corrosión bajo tensión, para este acero en el medio agresivo. Dibujar esquemáticamente la curva que controla la corrosión bajo tensión de este acero en el medio agresivo estudiado (

𝑑𝑎

𝑑𝑡− 𝐾𝐼).

Este acero se utiliza para fabricar tubos de pared delgada (R/e=20) por los que se transporta el medio agresivo a una presión de 5 MPa. Si el control de calidad de la fábrica de montaje permite detectar fisuras con una profundidad de 0.5 mm.

b) Determinar la resolución que debe tener el sistema empleado para evaluar la traza superficial de las grietas y garantizar que no se producirá la rotura por corrosión bajo tensión con un factor de seguridad de 1.5.

NOTA aproxime que las grietas superficiales que pueden aparecer en el tubo son semielípticas y considere que las dimensiones del tubo son mucho mayores que las grietas que puedan encontrarse.