Diseño de Levas

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97 3.7 M´ etodo de energ´ ıa barras se tiene que 4 X k=2 F k · v k + 4 X k=2 T k · ω k = 4 X k=2 m k (a k · v k )+ 4 X k=2 I k (α k · ω k ) (a) Expandiendo las sumatorias, (F p2x v p2x + F p2y v p2y )+(F p3x v p3x + F p3y v p3y ) +(F p4x v p4x + F p4y v p4y )+(T 12 ω 2 + T 3 ω 3 + T 4 ω 4 ) = m 2 (a G2x v G2x + a G2y v G2y )+ m 3 (a G3x v G3x + a G3y v G3y ) +m 4 (a G4x v G4x + a G4y v G4y )+(I G2 α 2 ω 2 + I G3 α 3 ω 3 + I G4 α 4 ω 4 ) (b) donde T 12 es la ´ unica inc´ ognita y F pi y v pi se refieren a la fuerza y velocidad del punto donde la fuerza externa actuando sobre el eslab´ on i es aplicada. Si se considera que no hay torques ni fuerzas externas actuando sobre el mecan- ismo, la ecuaci´ on anterior puede reducirse a la siguiente expresi´ on T 12 ω 2 = m 2 (a G2x v G2x + a G2y v G2y )+ m 3 (a G3x v G3x + a G3y v G3y ) +m 4 (a G4x v G4x + a G4y v G4y )+(I G2 α 2 ω 2 + I G3 α 3 ω 3 + I G4 α 4 ω 4 ) (c) Copyright c 2003 Dr. Jos´ e Carlos Miranda. Todos los derechos reservados. CAP ´ ITULO 4 Dise˜ no de levas Franz Reuleaux (1829-1905) Reuleaux naci´ o en Alemania en 1829, cuarto hijo del dise˜ nador de m´ aquinas de vapor Johann Josef Reuleaux quien a su vez era hijo de un maestro in- geniero. Reuleaux fue rector de la Technische Hochschule en Charlottenburg cerca de Berlin (hoy parte de Technische Universit¨ at Berlin). En 1875 Reuleaux escribi´ o el libro Theoretische Kinematik: Grundzge einer Theorie des Machi- nenwesens que ser´ ıa traducido al ingl´ es en 1876 bajo el t´ ıtulo Kinematics of Machinery: Outlines of a Theory of Machines. Durante la efervescencia de la revoluci´ on industrial, Reuleaux tom´ o como mi- si´ on codificar, analizar y sintetizar la cinem´ atica de mecanismos de tal forma Copyright c 2003 Dr. Jos´ e CarlosMiranda. Todos los derechos reservados. PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools

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97 3.7Metododeenergabarras setieneque4k=2Fk vk +4k=2Tk k=4k=2mk(ak vk) +4k=2Ik(k k) (a)Expandiendolas sumatorias,(Fp2xvp2x + Fp2yvp2y) + (Fp3xvp3x + Fp3yvp3y)+(Fp4xvp4x + Fp4yvp4y) + (T122 +T33 +T44)= m2(aG2xvG2x +aG2yvG2y) +m3(aG3xvG3x + aG3yvG3y)+m4(aG4xvG4x + aG4yvG4y) + (IG222 + IG333 +IG444) (b)dondeT12esla unicainc ognitayFpiyvpisereerenalafuerzayvelocidaddelpuntodondelafuerzaexternaactuandosobre eleslab on iesaplicada.Si se considera que no hay torques ni fuerzas externas actuando sobre el mecan-ismo,laecuaci on anterior puedereducirse alasiguiente expresi onT122 = m2(aG2xvG2x + aG2yvG2y) + m3(aG3xvG3x + aG3yvG3y)+m4(aG4xvG4x + aG4yvG4y) + (IG222 + IG333 +IG444) (c)Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.CAPITULO 4Dise nodelevasFranzReuleaux(1829-1905)Reuleauxnaci oenAlemaniaen1829,cuartohijodel dise nadordem aquinasdevapor JohannJosef Reuleauxquienasuvezerahijodeunmaestroin-geniero. ReuleauxfuerectordelaTechnischeHochschuleenCharlottenburgcerca de Berlin (hoy parte de Technische Universit at Berlin). En 1875 Reuleauxescribi oel libroTheoretischeKinematik: GrundzgeeinerTheoriedesMachi-nenwesens queseratraducidoal inglesen1876bajoel ttuloKinematicsofMachinery:OutlinesofaTheoryofMachines.Durante laefervescenciadelarevoluci on industrial, Reuleauxtom ocomomi-si oncodicar,analizarysintetizarlacinem aticademecanismosdetalformaCopyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools99 4.1Introducci onquelosingenierospudieranteneraccesoaldise nodem aquinasdeunaformaracional. El construy o los cimientos para el estudio sistem atico de las m aquinasdeniendoclaramenteladiferenciaentrem aquinaymecanismo,determinan-dotodoslosbloquesesencialesydesarrollandounsistemaparaclasicarlosmecanismos conocidos.Reuleaux tambien fue uno de los primeros en utilizar smbolos abstractos pararepresentarm aquinas, inventandolaideadeparcinem atico. Cadapartenaunsmbolodiferenteycadamecanismopodaserdescritoporunacolecci ondesmbolos opalabras.4.1. Introducci onUnalevaesunelementomec anicoquesirveparaimpulsaraotroelemento,llamado seguidorpara que desarrolle un movimiento especicado por contactodirecto. Los mecanismosdelevayseguidor engeneral sonsencillosypococostosos, tienenpocaspiezasm oviles yocupanespacios muyreducidos.Las levasdesempe nanunpapelmuyimportante dentrodelamaquinaria mo-derna y se emplean extensamente en los motores de combusti on interna, m aqui-nasherramienta, etc.Sepuededise narunalevaendosformas:(a) suponerel movimientorequeridoparael seguidorydise narlalevaqueproporcione estemovimiento.(b) suponerlaformadelalevaydeterminarlascaractersticasdel despla-zamiento, velocidad yaceleraci on quedeestecontorno.El primermetodoesunbuenejemplodesntesis. Dise narunmecanismodeleva a partir del movimiento deseado es una aplicaci on de la sntesis que puederesolverse f acilmente. Sinembargo, enalgunas ocasiones puederesultar difcilfabricar lalevasi nosecuentaconmaquinariaespecializada. Ladicultaddemanufacturaseeliminaenel segundometodosi lalevasehacesimetricaysi paraloscontornosdelalevaseempleanformasquepuedangenerarsef acilmente.Aqu soloseestudiar ael dise nodelevasconmovimientoespecicado. Estaslevaspuedendise narse yaseadeforma gr acaodeformaanaltica.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.2Clasicaci on delaslevasylos seguidores 1004.2. Clasicaci ondelaslevasylosseguidoresLa versatilidad y exibilidad en el dise no de los sistemas de levas se encuentranentre sus caractersticas m as atractivas. Con todo, esto da origen tambien a unagran variedad de perles y formas y a la necesidad de usar cierta terminologaparadistinguir unasdeotras.Engeneral, laslevas seclasican seg unsusformas b asicas (vergura4.1):Levadeplaca,llamada tambien dediscooradial.Levadecu na.Levacilndricaodetambor.Levalateral odecara.La menos com un de ellas en aplicaciones pr acticas es la leva de cu nadebido aque necesita un movimiento alternativo de entrada en lugar de un movimientocontinuoy, conmucho, lam ascom uneslalevadeplaca. Enlosucesivo, eldesarrollodelosmetodosdedise nosecentrar aenlaslevasdeplacaaunquelosprincipios puedanseraplicados aldise nodecualquieradeellas.Lossistemasdelevasseclasicantambienseg unlaformab asicadel segui-dor.Enlagura4.2sepresentanlevasdeplacaqueact uanconcuatrotiposdiferentes deseguidores:Seguidordecu na.Seguidordecaraplana.Seguidorderodillo ocarretilla.Seguidordecaraesferica ozapatacurva.Normalmente pordise nosepreerequelacaradelseguidortengaunaformageometricasimplequelepermitaseguirf acilmenteelcontornodelaleva.Deesta forma, el dise no se concentra unicamente en el dise no apropiado de la leva.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools101 4.2Clasicaci on delaslevas ylosseguidoresFigura4.1:Tiposdelevas:(a)deplaca,(b)decu na,(c)detambory(d)decara.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.3Diagramas dedesplazamiento 102Figura 4.2: Levas de placa con: (a) seguidor excentrico de cu na con movimientodetranslaci on; (b)seguidordecaraplanaconmovimiento detranslaci on;(c)seguidorderodilloconmovimiento rotacional y(d)seguidordezapatacurvaconmovimiento rotacional.Algunas veces las levas se clasican de acuerdo al movimiento que producen enel seguidor que puede ser traslacional o rotacional. En algunos textos se reerealmovimientotraslacionalcomoalternativoyalrotacionalcomooscilatorio.Unaclasicaci onadicional delosseguidoresconmovimientotraslacional sebasaenel hechodesi lalneacentral del v astagodel seguidoresexcentrico(vergura4.2a) oradial (vergura4.2b) conrelaci on alcentrodelaleva.Unpuntoimportante queeldise nadordebeasegurarenlossistemasdelevaseguidoresqueelseguidorylalevaesten siempreencontacto. Estosepuedelograrpormediodelagravedad,unresorteounarestricci onmec anicatalycomosemuestra enlagura4.1c.4.3. DiagramasdedesplazamientoApesardelaampliavariedaddetiposdelevasusadosysusdiferentesfor-mas, todasposeenciertascaractersticascomunes quepermitenunenfoquesistem atico parasudise no.Porlocom un:unsistemadelevaesundispositivoconunsologradodelibertadCopyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools103 4.3Diagramas dedesplazamientoFigura4.3: Diagrama dedesplazamiento.esimpulsadoporunmovimientodeentradaconocido, casi siempregi-randoavelocidad constante ysedeseaobtenerunmovimiento desalida determinadoenelseguidor.Conel objetodeinvestigarel dise nodelevasengeneral, el movimientodeentradaconocidosedenotar apor(t)yeldesalidapory.Durante larotaci on delalevaalolargodeunciclodelmovimiento deentra-da, el seguidorsemuevedescribiendounaformadeterminadatal ycomosemuestraenel diagramadedesplazamientos delagura4.3.Enundiagramade esta ndole, la abscisa representa un ciclo del movimiento de entrada (unarevoluci oncompletadelaleva) ylaordenadarepresentael recorridoy delseguidor.Enelcasodeunseguidorconmovimiento traslacional, eldiagramasedibujacasisiempreaescala1:1paraayudaraltrazado delaleva.Enundiagramadedesplazamientos sepuedeidenticar unaporci ondelagr acaconocidacomosubida endondeel movimientodel seguidoreshaciaafuera delcentro dela leva.Elpunto m aximo de estaporci on se conocecomoelevaci on. Losperiodosduranteloscualesel seguidorseencuentraenreposose conocen como detencionesy el periodo en el que el movimiento del seguidoreshaciaelcentrodelalevaseconocecomoretorno. Enalgunasocasionessedivideel ciclodelalevaendos partes: laanterior donde0 ylaposterior donde /2.Com unmente, muchas de las caractersticas esenciales de un diagrama de des-plazamientostales comolaelevaci ontotal oladuraci ondelas detencionessondictadasporlasnecesidadesdelaaplicaci on. Sinembargo, haymuchosmovimientosposiblesparael seguidor quesepuedenusar paralasubidayel retorno. Engeneral, laaplicaci ondictar aquemovimientossonpreferiblesCopyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.3Diagramas dedesplazamiento 104dependiendode la situaci on. Unodelospasosclaveeneldise nodeunalevaeslaelecci ondeformasapropiadasparaestosmovimientos.Unavezqueestos movimientoshansidoelegidos ylarelaci onentre yyhasidoespecicada, sepuedeconstruir el diagramadedesplazamientoconprecisi on yaqueesunarepresentaci on gr aca delarelaci ony = y() (4.1)Laecuaci on(4.1)describedeformaexactael perl delalevaycontienelainformaci on necesaria para realizar su trazado y determinar su comportamientodin amico.El diagramadedesplazamientosparael movimientouniforme es unarectaconunapendienteconstante. Por consiguiente, enel casodeunavelocidadconstantede entrada, lavelocidaddel seguidor tambienes constante. Estemovimientonoes utilparalaelevaci oncompletadebidoalosverticesqueseproducenenlauni onconotras seccionesdelaleva.Este movimiento uniforme puede modicarse para corregir el comportamientodescrito.Enlagura4.4asemuestrael diagramadedesplazamientoparaelmovimiento uniforme modicado donde el inicio y nal del movimiento se trazautilizandounmovimientoparab olicoqueproduceunaaceleraci onconstante.Enlagura4.4b seilustra elmovimiento parab olico.En la gura 4.5 se muestra el diagrama de desplazamientos para el movimientoarm onicosimple. Laconstrucci ongr acautilizaunsemicrculoquetieneundi ametroigual alaelevaci onL. El semicrculoylaabscisasedividenenunn umero igual de partes y la construcci on se realiza a traves de las interseccionesquetrazan dichasdivisiones.En la gura 4.7 se muestra el diagrama de desplazamientos para un movimientocicloidal.La construcci on gr aca se realiza dibujando un crculo con centro enel puntoB. Despuesdedividirel crculoylaabscisaenunn umeroigualdepartes, se numeran y se proyecta cada punto del crculo horizontalmente hastaque se intersecta la ordenada. A continuaci on se proyecta cada intersecci on deformaparalelaalalineaOBparaobtenerel puntocorrespondientesobreeldiagrama dedesplazamiento.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools105 4.3Diagramas dedesplazamientoFigura4.4: Diagramadedesplazamiento(a) uniformemodicadoy(b) pa-rab olico.Figura 4.5: Diagrama de desplazamiento para el movimiento arm onico simple.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.3Diagramas dedesplazamiento 106Figura4.6: Nomenclatura delas levas.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools107 4.4Nomenclatura delas levasFigura 4.7:Diagrama dedesplazamiento paraelmovimiento cicloidal.Parael trazadode unalevareal, debenemplearse muchas divisiones paraobtenerunaexactitudadecuada. Al mismotiempo, el dibujosehaceaunaescaladequiz a10veceseltama nonaldelaleva.4.4. NomenclaturadelaslevasAntes de comenzar con eldise nodelevas, esnecesario observar cierta nomen-clatura. Para tal efecto, considere la gura 4.6 donde se presentan los siguientesterminos:Puntodetrazoesunpuntote oricodel seguidorquecorrespondeal puntodeunseguidordecu nacticio. Seeligeenel centrodeunseguidorderodillo o en el punto medio de la supercie de un seguidor de cara plana.Curvadepasoes el lugar geometrico generado por el punto de trazo confor-me el seguidor se mueve en relaci on a la leva. Para un seguidor de cu na,la curva de paso yla supercie de la leva son identicos. En el caso de unseguidorderodillo, est anseparadas porelradiodelrodillo.Crculoprimarioes el crculo m as peque no que se puede trazar con un cen-tro en el eje de rotaci on de la leva y tangente a la curva de paso. El radiodeestecrculosueledenominarse Ro.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.5Dise nodelevas 108Crculobaseesel crculom aspeque noconcentrosobreel ejederotaci ondelalevaytangentealasuperciedeesta. Enel casodeunseguidorderodillo es m as peque noque elcrculo primario, siendola diferencia elradio delrodillo y,enelcaso deunseguidor de caraplana odecu na,esidentico alcrculoprimario.4.5. Dise nodelevasHastahacealg untiempo, el dise nodelevassesolahacerpordosmetodosdiferentesdependiendodelavelocidadderotaci ondelaleva. Paraloscasosdonde la velocidad era peque na, el metodo gr aco, donde la leva se trazaba enbase a las distancias radiales especicadas por el diagrama de desplazamientos,erapreferido. Paralevasconaltasvelocidadesderotaci on,sepreferael usode metodos analticos que fueran m as exactos y permitieran controlar factorescomolasaceleraciones causadasenelseguidor.Actualmente, gracias a las herramientas computacionales existentes, los meto-dos analticos sonpreferidos tanto paralas levasde baja velocidad como paralasdealta velocidad.Acontinuaci on sediscutir aestemetodo desntesis.4.5.1. DerivadasdelmovimientodelseguidorComoyasemencion o,losdiagramasdemovimientodeunalevanosonotracosaquelagr acadeunaciertafunci ony = y() (4.2)que describe el movimiento del seguidor, en este caso de tipo alternativo. Si setoma la variaci on de est a funci on con respecto al angulo de rotaci on se tieney

() =dyd(4.3)La expresi on anterior representa la pendiente del diagrama de desplazamientosen cada angulo . Esta derivada es una medida de la rapidez con la que cambiael movimiento en el diagrama. Bajo ciertas condiciones, esta derivada ayudar a acontrolar queelmovimiento delseguidorseasuave.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools109 4.5Dise nodelevasLa segunda derivada de la curva del diagrama de desplazamiento, representadapory

() =d2yd2(4.4)Estaecuaci onpresentaunarelaci onparael radiodecurvaturadelalevaenvarios puntos a lo largo de su perl. Ya que la relaci on es inversa, conforme y

crezca, el radio de curvatura se har a m as peque no. Debe resultar claro que ra-dios de curvatura peque nos pueden representar condiciones poco satisfactoriaseneldise nodeunaleva.La tercera derivada de y= y() tambien puede utilizarse como una medida delarapidezdecambiodey

y

() =d3yd3(4.5)Lastresderivadasanterioresserelacionanconlasderivadascinem aticas delmovimientodel seguidor. Estassonderivadasconrespectoal anguloyserelacionan exclusivamente conlageometra delaleva.Sise deseaconocerel comportamiento delseguidor con respectoal tiempo, setienequesuponerenprimerlugarqueseconocelafunci on(t)quedescribecomogiralalevaconrespectoal tiempo. As mismo, sedebenconocer lasfunciones = d/dt, la aceleraci on = d2/dt2y la derivada de la aceleraci on =d3/dt3. Cabenotar, queengeneral, comolas levas giranavelocidadconstante = t,laaceleraci on ysuderivadasoniguales acero.Partiendo delaecuaci ongeneraldeldiagrama dedesplazamientos,y= y() = (t) (4.6)sepuedederivarestaexpresi onparaencontrarlasderivadasconrespectoaltiempodel movimientodelseguidor.As,lavelocidaddel seguidorest adadapor y =dydt=dydddt y = y

(4.7)Demanerasimilar, laaceleraci ondel seguidorsepuedeencontrarderivandoCopyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.5Dise nodelevas 110conrespectoaltiempolaexpresi on anterior y =dy

dt +y

=dy

dddt +y

= y

2+y

(4.8)ysuderivada, com unmentellamada tir on est adadapor...y=ddt(y

2) +ddt(y

)=dy

dt2+y

d2dt+ddt y

+ dy

dt= y

3+ 3y

+ y

(4.9)dondedy

dt=dy

dddt= y

d2dt=ddt

ddt

2= 2ddtd2dt2= 2dy

dt= y

Cuando la velocidad del eje de la leva es constante, estas expresiones se reducena y = y

y = y

2...y= y

3(4.10)En este punto, resulta importante aclarar que es com un referirse a las gr acasde las derivadas cinem aticas y

, y

y y

como las curvas de velocidad, ace-leraci on y tir on para un movimiento dado aunque esto no sea estrictamentecorrecto.4.5.2. Obtenci ondecurvasdemovimientoYaquesehaestudiadoelsignicadodelasderivadasdelafunci ony=y(),solofaltaespecicarcomopodemosencontrar esafunci ony.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools111 4.5Dise nodelevasPara ejemplicar el procedimiento, sup ongase que se desea encontrar una ecua-ci on que describa un diagrama de desplazamiento que sube con desplazamientoparab olico desde una detenci on hasta otra. Para tal efecto considere que la ele-vaci on totalesLyelanguloderotaci on delalevadurante laelevaci on es.Pararesolveresteproblemasenecesitar andospar abolas comosemuestraenlagura4.4a.Laprimerapar aboladescribir ael movimientoascendentede0a/2 ylasegundadescribir a elmovimiento de/2 a.Para la mitad del desplazamiento considere la ecuaci on general de una par abolay= A2+ B +C (4.11)quetienederivadasy

= 2A + B (4.12)y

= 2A (4.13)y

= 0 (4.14)Para igualar las condiciones descritas en terminos de pendiente y elevaci on, setienenquecumplirqueen=0laelevaci onseacero(y(0) =0)aligualquelapendiente(y

(0) = 0).Conestas condiciones setiene queB= C= 0 (4.15)Un requerimiento adicional es que en el punto de inexi on que se encuentra en/2, laelevaci on eslamitad delaelevaci on total. Deestaforma,y

2

=L2(4.16)Substituyendo esta expresi on en la ecuaci on (4.11) recordando que B= C= 0seobtieneA =2L2(4.17)As,laprimeramitad delmovimiento ascendenteest adadoporlaexpresi ony() = 2L

2(4.18)cuyagr aca dedesplazamiento semuestraenlagura4.8.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.5Dise nodelevas 1121.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 010.750.50.250PSfragreplacementsSFigura 4.8:Primera secci ondelmovimiento deelevaci on paraL = 2y= .Para la segunda mitad del movimiento de elevaci on, se puede comenzar con laecuaci on general de un par abola notando que y() = L y y

() = 0. Con estascondicionessetiene queA2+B + C= L (4.19)2A + B= 0 (4.20)Lasdos ecuacionesanteriorestienen3inc ognitaspor loquehacefaltaunarelaci on m as parapoderencontrar elvalordelas tresconstantes.Unarelaci onadicional puedeencontrarsedel hechodequelapendienteenel puntodeuni on/2esigual paraambaspartesdel movimientodeeleva-ci on.Tomando en cuentaestarestricci on puedeescribirse quey

1(/2) para laprimerapar aboladebeserigualay

2(/2)paralasegunda.As,igualandoladerivadade laecuaci on (4.18) con laecuaci on (4.20) se encuentraunaterceraecuaci on2L= 2A2+ B (4.21)Resolviendosimult aneamente lasecuaciones (4.21) y(4.20) seobtienequeA = 2LB=4L(4.22)Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools113 4.5Dise nodelevas3 2.75 2.5 2.25 2 1.7521.751.51.251PSfragreplacementsSFigura 4.9: Segundasecci ondelmovimiento deelevaci on paraL = 2y= .Finalmente, substituyendoestosvaloresenlaecuaci on(4.19)seobtienequeC= L.Cuandoestas constantes se sustituyenenlas formas generales, seobtienenlaecuaci onparalasegundamitaddelmovimientoparab olicocuyagr acasemuestraenlagura4.9y= L1 2

1

2

(4.23)Cuando las ecuaciones (4.18) y (4.23) se unen, el movimiento parab olico ascen-dentequedacompletamentedescrito. Lagr acadedesplazamientoparaestemovimiento semuestracompletaenlagura4.10.Aunqueel movimientoparab olicoesenaparienciasuave, estemovimientonoesaptoparalevasdealtavelocidad.Laraz onesquelasderivadasdeestemovimiento suave, que representan su velocidad y su aceleraci on, no lo son.Enlagura4.11,sepresentanlasgr acasdemovimiento,velocidadyacele-raci onparaelmovimiento parab olicoascendente.Deestaguraresultaclaroquetantolavelocidadylaaceleraci onnopresentanlasmismaspropiedadesgeometricas delmovimiento.El cambio brusco en la pendiente de la curva de la velocidad y la discontinuidadCopyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.5Dise nodelevas 1143 2.5 2 1.5 1 0.5 021.510.50PSfragreplacementsSFigura4.10: Movimiento deelevaci ondetipoparab olico paraL = 2y= .de la curva de aceleraci on tienen implicaciones importantes. Los seguidores delaslevassoncomponentesmec anicosquetienenciertamasaypor lotantoest ansujetosaexperimentarlosefectosdelainercia.Cuandolaslevasgiranabajasvelocidades,loscambiosdefuerzaquegeneranloscambiosenlaace-leraci onpuedendespreciarse.Sinembargo,aaltasvelocidades,estoscambiosseconvertir an enfuerzasqueactuar an enelseguidoryenlosmecanismosdesujeci ontanto delpropioseguidorcomodelaleva.Porestaraz onesimportanterevisarquelosperlesdelaslevasdealtave-locidadnopresentencambiosbruscosdependienteodiscontinuidadesenlasgr acas de velocidad y aceleraci on. Existen otro tipo de movimientos que per-miten asegurar derivadas suaves. Acontinuaci on semencionan dos deellos:el movimientoarm onicoyel movimientocicloidal, ambos mencionados conanterioridad.4.5.3. Movimientosarm onicoycicloidalEnlagura4.12sepresentanlasgr acasdedesplazamiento(movimiento),velocidad y aceleraci on para el movimiento arm onico simple de elevaci on mos-tradoenlagura4.5. Estemovimiento, suvelocidadyaceleraci on, quedanCopyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools115 4.5Dise nodelevas0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52Desplazamiento0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52VelocidadAceleracionFigura4.11: Desplazamiento, velocidadyaceleraci onparael movimientodetipoparab olico deelevaci onparaL = 2y= .descritos porlas siguientes ecuaciones:y=L2

1 cos

(4.24)y

=L2sen (4.25)y

=2L22cos (4.26)dondeyeselmovimientodelseguidor,eselangulorecorridoyeselgirodelaleva.Es importantenotarqueestasecuacionestienenderivadasquesonsiemprecontinuasynotienenpuntosdondelapendientecambiebruscamente. Estaspropiedades, que se pueden apreciar f acilmente en la gura 4.12, hacen de estascurvasunaopci on com unparalaslevasdealta velocidad.Este tipo de movimiento tambien puede caracterizarse de forma analtica paraeldesplazamiento descendente.Las ecuacionessonlas siguientes:Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.5Dise nodelevas 1160 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52Desplazamiento0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52AceleracionVelocidadFigura4.12: Desplazamiento, velocidadyaceleraci onparael movimientodetipoarm onico deelevaci on paraL = 2y= .y=L2

1 + cos

(4.27)y

= L2

sen

(4.28)y

= 2L22

cos

(4.29)Lagura4.13muestra lasgr acas deestas ecuaciones.Otrotipodemovimientoqueseusacom unmenteesel cicloidalmostradoenlagura4.7. El desplazamiento, velocidadyaceleraci onparaeste tipodemovimiento enelevaci on puededescribirse deformaanaltica como:y= L

12 sen 2

(4.30)y

=L

1 cos 2

(4.31)Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools117 4.5Dise nodelevas0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52Desplazamiento0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52VelocidadAceleracionFigura4.13: Desplazamiento, velocidadyaceleraci onparael movimientodetipoarm onico dedescensoparaL = 2y= .y

=2L2sen 2(4.32)El movimientodescendientedetipocicloidal puededescribirsemediantelassiguientes ecuaciones:y= L

1 +12 sen 2

(4.33)y

= L

1 cos 2

(4.34)y

= 2L2

sen 2

(4.35)4.5.4. MovimientopolinomialAunque los movimientos de levas estudiados anteriormente son adecuados paralamayora deloscasos,existenocasionesdondelosmovimientos quepropor-Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.5Dise nodelevas 1180 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52Desplazamiento0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52VelocidadAceleracionFigura4.14: Desplazamiento, velocidadyaceleraci onparael movimientodetipocicloidal deelevaci on paraL = 2y= .cionan no describen la funci on deseada. Para tales casos, es posible dise nar laslevasusandoecuacionespolinomiales.Paratalefecto,escom uncomenzarconunaecuaci ondelaforma:y = C0 + C1+ C2

2+ C3

3+ (4.36)dondecomoantesyeselmovimiento desalida delseguidor, eselangulodela leva, representa el recorrido total de la leva para la secci on deseada de talformaque/varade0a1yCnsonconstantes pordeterminar.Comoejemplodeestemetodo, considerequeciertodesplazamientodeseadoest asujetoalas siguientes condiciones defrontera. En = 0:y= 0 y

= 0 y

= 0 (4.37)En = :y = L y

= 0 y

= 0 (4.38)Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools119 4.5Dise nodelevas0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52Desplazamiento0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52VelocidadAceleracionFigura4.15: Desplazamiento, velocidadyaceleraci onparael movimientodetipocicloidal dedescensoparaL = 2y= .Puestoquehayseiscondicionesdefrontera, esnecesarioconsiderarseiscons-tantes enlaecuaci on (4.36):y= C0 + C1+ C2

2+ C3

3+ C4

4+ C5

5(4.39)Laprimeraysegundaderivadas conrespectoason:y

=1C1 + 2C2+ 3C3

2+ 4C4

3+ 5C5

4(4.40)y

=122C2 + 6C3+ 12C4

2+ 20C5

3(4.41)Substituyendolascondicionesdefronteradescritasenlasecuaciones(4.37)y(4.38) seobtienen lassiguientes seis ecuaciones:Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.5Dise nodelevas 1200 = C0L = C0 + C1 + C2 + C3 +C4 +C50 = C1(f)0 = C1 + 2C2 + 3C3 + 4C4 + 5C50 = 2C20 = 2C2 + 6C3 + 12C4 + 20C5Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtienen los siguientes valoresparalasconstantes C0aC5:C0= 0 C1= 0 C2= 0C3= 10L C4= 15L C5= 6L (4.42)La ecuaci on de desplazamiento se obtiene substituyendo estas constantes en laecuaci on(4.39):y= L10

315

4+ 6

5(4.43)En algunas ocasiones la ecuaci on anterior se denomina ecuaci on de movimientopolinomial 3-4-5 desubidacompletadebidoalaspotenciasalasqueest anelevadassusterminos. Lasprimeras tresderivadas deestaecuaci onson:y

=L30

260

3+ 30

4(4.44)y

=L260 180

2+ 120

3(4.45)y

=L360 360+ 360

2(4.46)Enlagura4.16semuestraslasgr acasdedesplazamiento,velocidadyace-leraci on paralacurvademovimiento polinomial 3-4-5.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools121 4.6Dise noconseguidores decaraplana0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52Desplazamiento0 0.7854 1.571 2.356 3.142-1-0.500.511.52VelocidadAceleracionFigura4.16: Desplazamiento, velocidadyaceleraci onparael movimientodetipopolinomial 3-4-5deelevaci onparaL = 2y= .4.6. Dise noconseguidoresdecaraplanaUnavezquese hadeterminado porcompleto eldiagrama dedesplazamientosde una leva, se puede realizar el trazado de la forma real de la leva. Sin embargo,es necesario conoceralgunos par ametros adicionales para poderdenirla levadeformacompletaevitandoposiblesproblemasensufuncionalidadcomosever aacontinuaci on.Considerelalevamostradaenlagura4.17.Losrequerimientos dedesplaza-mientodelalevayel radiodel crculoprimariohacenquelalevapresentepuntasquepuedenserindeseablesparael correctofuncionamiento. Delamisma forma, el ancho de la cara del seguidor podra dicultar la suave trans-ferenciadel movimientorotatoriodelaleva, al movimientotraslacional delseguidor.Es posible calcular el radio mnimo del crculo primario Ro necesario para lograrqueel perl delalevaseasuave. Estoselogradesarrollandounaecuaci onparael radiodecurvaturadel perl delaleva. Paratal efecto, considerelagura4.18.Elprimerpasoparalograrencontrarunarelaci onesescribirunaecuaci ondecierretomandoencuentalaconversi on demovimiento rotacionalamovimiento traslacional. Utilizando notaci on compleja,estaecuaci on puedeescribirse como:Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.6Dise noconseguidores decaraplana 122Figura4.17: Levapuntiaguda conseguidordecaraplana.rej(+)+j = j(Ro + y) + s (4.47)dondeambos lados dela ecuaci on describenla posici on delpunto decontactoentrelalevayel seguidor. Enel ladoizquierdodelaecuaci on, laposici ondel puntodecontactosedescribeenterminosdeladistanciardelcentroderotaci on de la leva al centro instant aneo de curvatura Ccon respecto al puntodecontactoyqueeselradioinstant aneodecurvaturacorrespondiente.Enel ladoderechodelaecuaci onlaposici onsedescribeenterminosdel radioprimarioRo, yqueesladistanciavertical del crculoprimarioalacaradelseguidorysqueesladistanciahorizontal delcentroderotaci on delalevaalpuntodecontacto.Laecuaci on (4.47) puedeexpanderseusandolaformula deEuleren:r[cos( + ) + j sen( + )] + j = j(Ro + y) + s (4.48)Separando la ecuaci on anterior en parte real y parte imaginaria se obtienen lassiguientes ecuaciones:r cos( + ) = s (4.49)r sen( + ) + = Ro + y (4.50)Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools123 4.6Dise noconseguidores decaraplanaPSfragreplacementsrRoysCFigura4.18: Levaconseguidordecaraplana.Derivandoconrespectoalaecuaci on(4.47):drdej(+)+ jr

d+dd

ej(+)= jdRod+ jdyd+dsd(4.51)Considerandoqueparapeque nas variacionesdeel centrodecurvaturaCpermanece constante puesto que el punto de contacto se mueve sobre un crculoderadio,setiene quedrd= 0dd= 0dd= 0 (4.52)Con estassimplicaciones, laecuaci on(4.51) puedeescribirse como:jrej(+)= jdyd+dsd(4.53)Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.6Dise noconseguidores decaraplana 124Recordandoquedy/d = y

yds/d = s

setieneque:jrej(+)= jy

+s

(4.54)Expandiendolaecuaci onanteriorusandolaformuladeEuleryseparandoenpartes realeimaginaria seobtienen lasecuaciones:jr[cos( +) +j sen( + )] = jy

+ s

(4.55)r sen( +) = s

(4.56)r cos( + ) = y

(4.57)Igualandolasecuaciones (4.49) y(4.56) seobtiene que:s = y

(4.58)Derivandolaexpresi on anterior conrespectoa:s

= y

(4.59)Igualandoahoralas ecuaciones(4.50) y(4.57):Ro + y = s

(4.60)Substituyendolaecuaci on (4.59) enlaexpresi on anterior:Ro + y = y

= Ro + y +y

(4.61)Laecuaci on (4.61) permite hallar elradio decurvatura delalevaparacadavalorderotaci onsielvalordeRoesconocido.Estodebidoaqueyyy

seconocendeldiagrama dedesplazamientos.Paraquelalevagire con suavidadsedebeespecicarque:Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools125 4.6Dise noconseguidores decaraplana = Ro +y + y

> mn(4.62)Puesto que Ro y y son siempre positivos, la situaci on m as crtica ocurre cuandoy

tienesuvalornegativom asgrande.Denotandoestevalordey

comoy

mnsepuedeescribir:Ro> mny

mny (4.63)As, el valor de Ropara que la leva gire con suavidad se puede obtener una vezqueelvalordemnhasidoespecicado.La ecuaci on (4.58) tambien puede ser de utilidad puesto que la relaci on y

= sarmaqueladistanciadelcentroderotaci on delalevaalpuntodecontactoest a descrita por la gr aca de y

. As, la anchura mnima de la cara del seguidorse debeextenderpor lo menos y

m axa la derechayy

mnala izquierda. De estaforma:Anchodecara = y

m axy

mn(4.64)4.6.1. TrazadodelperldelalevaUnavezqueseconocenel crculoprimariodelalevaysudiagramadedes-plazamientosepuedeproseguiradibujarsuperl. El perl delalevapuededescribirse analticamente enbasealos vectores uyvmostrados enlagura4.19. Deestagurasepuedeobtenerlasiguiente expresi onuej+ vej(+/2= j(Ro + y) + s (4.65)dondeu yvdescribenelpuntodecontacto teniendocomoorigen elcentro derotaci on delaleva.Aldividirlaecuaci on(4.65) entre ej:u +jv = j(Ro + y)ej+ sej(4.66)Separandolaecuaci onanterior enparte realyparte imaginaria seobtiene:Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.7Dise noconseguidores derodillo 126PSfragreplacementsrRoysuvFigura4.19: Nomenclatura paraeltrazado delperldelaleva.u = (Ro +y) sen + y

cos (4.67)v = (Ro +y) cos y

sen (4.68)recordandoques = y

.Las ecuaciones (4.67) y(4.68) sonunpar de ecuaciones parametricas quedescribenel perl delaleva. Estasecuacionespuedensergracadasal niveldeseadodeexactitud(quiz aatambienaunaescalamayor)paraobtenerlaformanaldelaleva.4.7. Dise noconseguidoresderodilloParapoderdise narunalevaconseguidorderodillocomolaquesemuestraenlagura4.20, hacefaltaconocer tres par ametrosgeometricos: el crculoprimarioRo, laexcentricidadyel radiodel rodilloRr. Existeadem asunproblemaadicional, elangulodepresi on.Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools127 4.7Dise noconseguidores derodilloPSfragreplacementsRRoya

PFigura 4.20:Levadeplacaconseguidorderodillo.Elangulodepresi on eselangulocomprendido entre elejedelseguidorylalneanormal alasupercieenel puntodecontacto.Estalneaeslalneade acci on dela fuerzaejercida por laleva sobre elseguidor. Laexperiencia hademostrado queesteangulo depresi on nodebedetomarvalores mayores alos 30-35.Para poder calcular el angulo de presi on, es necesario encontrar alguna relaci ongeometrica quepermitarealizar dichoc alculoapartirdelos datosconocidos.Con referencia a la gura 4.20, una relaci on puede ser encontrada notando queelcentroinstant aneo develocidad entre elseguidorylalevaeselpuntoP.El seguidor se traslada con una velocidad que es igual a la velocidad del puntoP.Porlotanto,VP= y= R (4.69)dondeeslavelocidad angularconlaquegiralaleva.Dividiendolaecuaci onanterior entreyrecordandoque y= y

setiene:Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.7Dise noconseguidores derodillo 128y

= R (4.70)dondeRpuedeexpresarseenterminosdelaexcentricidadyel angulodepresi on.Delagura4.20sepuedeobtener:y

=+ (a +y) tan (4.71)dondea =

R2o2(4.72)Substituyendoestaexpresi onenlaecuaci on(4.71) yresolviendoparaseobtienelaexpresi on: = arctan

y

R2o2+ y

(4.73)Laecuaci onanteriorpermiteencontrarel angulodepresi onunavezqueeldesplazamiento seconoceysehadadounvalorespeccoaRo.Engeneral, yRoseajustar an paraquenoseamayor a35.Aunque se puede variar la excentricidad para modicar el angulo de presi on, esm as recomendable incrementar elradio Rodelcrculo primario. Para estudiaresteefecto,laecuaci on (4.73) sepuedesimplicar tomando = 0: = arctany

Ro + y(4.74)Yaquey=y(),el valordecambiaconformelalevagira.Porlotanto,elinteres reside en encontrar los valores de para los cuales el angulo de presi ontienevalores m aximos.Paraencontrarestosvaloresm aximosde, esnecesarioderivarlaecuaci on(4.74) conrespectoaeigualar dichaexpresi on a0:dd= 0 (4.75)Copyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools129 4.7Dise noconseguidores derodilloFigura 4.21: Monogramaparadeterminar elangulom aximo depresi on.El encontrar las races de laecuaci onanterior es unprocesotedioso. Esteproceso puede evitarse utilizando un monograma como el mostrado en la gura4.21. Monogramas como el mostrado relacionan el angulo de rotaci on de la levayelangulodepresi onconlarelaci on L/RooRo/L.Ejemplo3.1DATOS Sedeseaqueunseguidordecarretillasemuevaalolargodeundesplazamientototal de0.75pulgadasconmovimientocicloidealavezquegira 45.ENCONTRAREncontrarel valordeRoparalimitarelangulodepresi ona=30.Soluci onCopyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.4.7Dise noconseguidores derodillo 130PSfragreplacementsRrcSuperciedepasoSuperciedelalevaFigura 4.22: Nomenclatura paravericarlaexistenciadepuntasenlaleva.Delmonograma mostradoenlagura4.21,para= 45y = 30,LRo= 0.26 (a)Enconsecuencia,Ro =0.750.26= 2.88in. (b)Unavezquesehadise nadolalevaparaqueel angulodepresi onnoexceda30-35,esnecesariovericar quenoexistan puntasenlaleva.Un metodo para vericar la existencia de puntas en este tipo de levas considerael radio de curvatura de la supercie de paso y el radio Rrdel seguidor comosemuestra enlagura4.22.Un metodo para vericar la existencia de puntas en este tipo de levas consideraelradiodecurvaturadelasuperciedepasoyelradio Rrdelseguidor.Si se mantiene a constante y se aumenta Rr, entonces c, el radio de curvaturade la supercie de la leva, disminuye. Si Rrse aumenta de forma considerable,cpuede volverseceroloque daraunpicoenlaleva. Paraevitar estaformaci ondepicosesnecesarioqueRrseamenoraunmnespecicadoencadasector.Elradiodecurvaturapuedeexpresarse comoCopyright c 2003Dr. JoseCarlosMiranda. Todoslosderechosreservados.PDFill PDF Editor with Free Writer and Tools