EMC 6705 – Fundamentos de Vibrações

Relatório do 1º Exercício de Avaliação Aluno: Giovanni Bratti

Proposta:

Seja a barra da figura abaixo, sujeita a movimentos axiais u(x,t), com uma extremidade

livre e outra engastada (não inverter as extremidades).

A viga possui comprimento L = 0,720m, área de seção transversal constante A = 400mm²,

densidade ρ = 7,8.10³ kg/m³ e módulo de elasticidade E = 210 GPa.

Comparar as doze primeiras freqüências naturais, e as correspondentes formas modais, da

solução em que se considera a barra como um sistema contínuo (Capítulo 2 da apostila),

com as freqüências naturais e formas modais da solução em que a viga discretizada é

modelada, de forma aproximada, conforme figura abaixo.

Neste caso a massa total é subdividida, imaginada como doze massas concentradas m de

iguais valores, onde as flexibilidades dos segmentos de viga são utilizadas para cálculo de

molas equivalentes. Esta situação acaba fornecendo um sistema de inércias e molas

(resolver segundo o capítulo 1 da apostila).

0

A,E,ρ

L

u(x,t)

x

k m

u(x,t)

x

Solução 1: Método dos Sistemas Contínuos (Equação da Onda):

A equação diferencial parcial que descreve o movimento da barra (equação da onda) é dada por:

2

2

22

2 1tu

axu

( 2.1 )

sendo u o deslocamento na direção axial de um ponto x da barra no instante t ,

//2 EAEAa , ρ a densidade da barra e E o módulo de elasticidade do material da

barra. Aplicando o método da separação de variáveis com u(x,t)=X(x)·T(t), a equação da

onda resulta em:

TT

aXX

2

1 ( 2.2 )

Usando a mesma separação de variáveis, as condições de contorno nos fornecem:

0)('0)().('),(

0)0(0)().0(),0(

LXtTLXtLuXtTXtu

x

Através de (2.2), podemos solucionar a equação diferencial ordinária na seguinte forma:

0)(.)( xXxX ( 2.3)

Este problema só admite soluções são triviais quando λ ≥ 0. Portanto para λ < 0, tem-se a

proposta de solução:

).cos(.).(.)( 21 xCxsenCxX

Aplicando a primeira e a segunda condição de contorno, temos:

0).cos(..0)('

0C0X(0)

1

2

LCLX

assim, a condição é obtida quando:

,.....2,1,02

).12(. nnL

ou ,........2,1,04

)12(2

22

nL

nn

Retornando à equação X(x), as autofunções (forma modal, ou espacial) são obtidas:

xL

nsenxX n ..2

).12()( (2.4)

Obs.: A constante 1C foi retirada com o intuito de mostrar como são as autofunções. Outro motivo é que na próxima etapa aparecerão

outras constantes que se misturariam com esta.

Para a solução da segunda parte da equação (2.2), deve-se extrair 0..'' 2 TaT da

parte final da equação, e substituindo o valor de λ já calculado, obtém-se:

0)(..4

..)12()( 2

222

tTL

antT

admitindo também que λ < 0, a solução da equação diferencial acima nos fornece:

tL

ansenDtL

anDtT nnn ..2

.).12(...2

.).12(cos.)( 21

Assim, a autofunção de x e de t levada à equação u(x,t) e a substituição de /Ea

na equação, nos fornece:

tL

EnsenDtL

EnDxL

nsentxu nnn ..2

/.).12(..

.2/.).12(

cos...2

).12(),( 21

e as freqüências de ressonância [rad/s] são dadas por:

,...2,1,0,.2

/.).12(

n

LEn

n

A solução final do problema é dada através da seguinte série:

0

),(),(n

n txutxu

Substituindo os valores dados de E, ρ e L nas duas equações acima, a solução fica da

seguinte forma:

0

21 ).12(11320,1..).12(11320,1.cos.).12(2,2.),(n

nn tnsenDtnDxnsentxu

e )12(1,11320 nn (2.5)

onde n= 0,1,2,.. .

Através da equação de )(xX n é possível plotar as formas modais da barra para qualquer

modo, e também através da equação de n acima é possível determinar as freqüências de

ressonância de qualquer modo. Após a segunda parte do exercício, serão comparadas as

formas modais adquirida pelos dois métodos e as respectivas freqüências de ressonâncias.

Solução 2: Método da Discretização (Sistemas Multi-corpos):

A barra é discretizada (figura abaixo) em pequenas partes consideradas como corpos

rígidos com massas concentradas sendo que m1=...=m12==m=ρ.A.L/12=0,1872kg,

distanciadas de L/12 (a massa m1 está distante de L/24 do engaste), com rigidezes dos

segmentos dadas por k2=...=k12=k=12.E.A/L=1,4.109 N/m e a rigidez do primeiro

segmento dada por k1=2k=24.E.A/L=2,8.109N/m .

Figura 1: Barra Discretizada em 12 partes.

Para se obter o conjunto de equações dinâmicas, pode-se aplicar a segunda Lei de

Newton na direção x em cada elemento de barra conforme:

1. umFx , considerando que 12 uu

1112 ..2. umukuuk

0..3. 211 ukukum

sendo u1 o deslocamento da massa 1 e u2 o deslocamento da massa 2. O mesmo processo é

feito para a massa 2:

23. uuk 12. uuk

m2

k x

u2

111 .2. ukuk

m1

k1 x

u1

12. uuk

k

0

k3 k2

m3 m2

k1 u(x,t)

x

m12

k12 k11

m1 m11

2. umFx , considerando 123 uuu

21223 ... umuukuuk

0...2.. 3212 ukukukum

Realizando este processo até a massa 11, percebe-se que as equações são análogas, e enfim

aplicando a segunda Lei de Newton na massa 12 tem-se que:

12. umFx , considerando que 1112 uu

121112 .. umuuk

0... 121112 ukukum

Um sistema de equações pode ser obtido pelas equações dinâmicas de cada elemento de

barra, que por sua vez pode ser escrito em forma matricial da seguinte maneira:

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

.

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

uuuuuuuuuuuu

mm

mm

mm

mm

mm

mm

000000000000

.

202002000200002000002000000200000002000000002000000000200000000003

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

uuuuuuuuuuuu

kkk

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

As matrizes que aparecem no sistema acima são as matrizes de massa [M] e de rigidez

[K] respectivamente para o sistema discreto. Se o vetor de coordenadas for identificado

como Tuuuuu 12321 ...... , podemos reescrever o sistema matricial acima de forma

resumida:

0.. uKuM

1112. uuk

m12

k x

u12

Simétrica Simétrica

As formas modais de vibração (modos de vibração) e as freqüências de ressonância

podem ser obtidas através da obtenção dos autovetores (Vt) e autovalores (Vl) do sistema

acima, que representam respectivamente as formas modais e freqüências angulares de

ressonância ao quadrado. O software Matlab (versão 7.0 R14) foi utilizado para encontrar

Vt e Vl através do comando [Vt,Vl]=eig(K,M), onde K e M são respectivamente as

matrizes de rigidez e massa obtidas através da discretização do sistema. Substituindo os

valores de m e de k nas matrizes [M] e [K] e aplicando o comando no Matlab, obtêm-se:

0.0655 0.1989- 0.3221 0.4432- 0.5665 0.6608- 0.7535 0.8478- 0.8988 0.9490- 1.0000 1.0000- 0.1955- 0.5665 0.8333- 0.9829 1.0000- 0.8333 0.5568- 0.1989 0.1955 0.5568- 0.8478 0.9829-

0.3221 0.8478- 1.0000 0.7535- 0.1989 0.4432 0.8988- 1.0000 0.6608- 0.0655 0.5665 0.9490- 0.4432- 1.0000 0.7535- 0.0655- 0.8478 0.9490- 0.3221 0.5665 1.0000- 0.6608 0.1989 0.8988-

0.5568 1.0000- 0.1955 0.8333 0.8478- 0.1955- 0.9829 0.5665- 0.5568- 0.9829 0.1989- 0.8333- 0.6608- 0.8478 0.4432 0.9490- 0.1989- 1.0000 0.0655- 1.0000- 0.3221 0.8988 0.5665- 0.7535- 0.7535 0.5665- 0.8988- 0.3221 1.0000 0.0655- 1.0000- 0.1989- 0.9490 0.4432 0.8478- 0.6608- 0.8333- 0.1989 0.9829 0.5568 0.5665- 0.9829- 0.1955- 0.8478 0.8333 0.1955- 1.0000- 0.5568-

0.8988 0.1989 0.6608- 1.0000- 0.5665- 0.3221 0.9490 0.8478 0.0655 0.7535- 1.0000- 0.4432- 0.9490- 0.5665- 0.0655 0.6608 1.0000 0.8988 0.4432 0.1989- 0.7535- 1.0000- 0.8478- 0.3221- 0.9829 0.8478 0.5568 0.1955 0.1989- 0.5568- 0.8333- 1.0000- 0.9829- 0.8333- 0.5665- 0.1955-

1.0000- 1.0000- 0.9490- 0.8988- 0.8478- 0.7535- 0.6608- 0.5665- 0.4432- 0.3221- 0.1989- 0.0655-

Vt

TVl 2.9787 2.8776 2.6824 2.4063 2.0681 1.6910 1.3005 0.9233 0.5852 0.3091 0.1139 0.0128.10.1 10

As freqüências angulares de ressonância são dadas por Vln , e assim:

Tn 1.7259 1.6963 1.6378 1.5512 1.4381 1.3004 1.1404 0.9609 0.7650 0.5560 0.3374 0.1131.

Cada coluna da matriz [Vt] representa um modo de vibração (forma de vibrar) e cada

elemento do vetor {ωn} representa a freqüência de ressonância de cada modo.

Comparação dos Resultados dos dois Métodos:

Foram calculadas as primeiras doze freqüências de ressonância pelo método contínuo

através da equação (2.5) para poder comparar com as freqüências de ressonância obtidas

pelo método de discretização. Os resultados estão listados na tabela abaixo. As diferenças

de resultados obtidos entre os métodos são dadas pela terceira coluna da tabela 1.

TABELA 1: COMPARAÇÃO DAS FREQÜÊNCIAS DE RESSONÂNCIA ENTRE OS MÉTODOS.

Freqüência de Ressonância [rad/s] Modo Discreto Contínuo Diferença

1 11310 11320 0,1% 2 33740 33960 0,6% 3 55600 56600 1,8% 4 76500 79241 3,5% 5 96090 101881 5,7% 6 114040 124521 8,4% 7 130040 147161 11,6% 8 143810 169801 15,3% 9 155120 192441 19,4% 10 163780 215082 23,9% 11 169630 237722 28,6% 12 172590 260362 33,7%

Na comparação dos modos de vibrações, no método discreto cada elemento de cada

autovetor foi associado com uma coordenada x da barra, sendo que foi considerado que a

primeira massa ficou localizada em –L/24 e as demais espaçadas de L/12 para o sentido

negativo de x. No método contínuo foram feitos 96 pontos (através da equação 2.4)

variando de –0 até -0,720m para se ter uma melhor representação do modo “real”. Para o

método discreto foi considerado que no valor x=0 a amplitude de deslocamento é zero .As

formas modais estão comparadas a seguir.

Discussão dos Resultados e Conclusões sobre os Métodos:

As comparações das formas modais são muito próximas até aproximadamente o sexto

modo, onde a partir daí começa a ter uma maior diferença. Observa-se que os resultados

dos primeiros modos obtidos pelo método da discretização (método aproximado) ficaram

muito próximos (forma modal e freqüências de ressonâncias) dos resultados obtidos com o

método contínuo (realista).

A dificuldade de se obter uma melhor precisão para os modos com freqüência natural

mais alta é devido ao número de pontos que são insuficientes para descrever as formas

modais da barra. Portanto para que se tenha uma melhor aproximação da “realidade” em

modos com freqüências naturais mais altas, o método da discretização necessita de um

número maior de divisões espaciais para poder melhor representar o fenômeno. Através da

discretização do sistema em pequenas partes (elementos), pode-se resolver o problema de

forma simplificada, onde se analisa elemento por elemento através da aplicação da segunda

Lei de Newton e, desta forma, se monta um sistema de equações que pode ser escrito em

forma matricial e resolvido matriacialmente através dos cálculos dos autovetores e

autovalores.

A principal dificuldade deste método é quanto à manipulação de matrizes para sistemas

com elevados graus de liberdade, o que torna custoso a realização dos cálculos para

encontrar os autovetores e autovalores. A vantagem deste método é à aplicação para

qualquer tipo de geometria, principalmente para sistemas complexos.

O método de cálculo dos Sistemas contínuos é mais fácil e direto para sistemas simples

tal como o exemplo estudado, pois de forma rápida se obtém os resultados (freqüências de

ressonância e modos de vibração) através da solução da equação diferencial e da aplicação

das condições de contorno. Os resultados obtidos por este método são realistas para todos

os modos devido ao sistema ser analisado como um todo (o sistema é considerado como

elástico continuamente). A desvantagem deste método é que para geometrias mais

complexas torna-se difícil à formulação da equação diferencial dinâmica e a sua resolução.