Diofantos - MGM 120 - januar 2011 - Dag Roar Espe

Diofantos av Alexandria

Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς

En oppgave om Diofantos og hans Aritmetika, og dens bruk i grunnskolen

Av Dag Roar Espe

Kilder Side 2 av 13

InnledningDette er et obligatorisk arbeidskrav i forbindelse med studiet ”MGM 120 -

Matematikkens historie for lærere i grunnskolen”. Oppgaveteksten lyder ”Med

utgangspunkt i et av målene i Kunnskapsløftet skal du lage en skisse til

undervisningsopplegg. Undervisningsopplegget skal ha utgangspunkt i bruk av

historiske kilder.

Jeg har valgt å skrive om Diofantos og om hans verk ”Aritmetika” med

utgangspunkt i målet fra Kunnskapsløftet om at elevene etter 10. klasse skal

”kunne løse likninger og ulikheter av første grad og enkle likningssystem med to

ukjente”.

Jeg har valgt dette fordi jeg synes det er spennende at selv om Diofantos levde

for lenge siden, så kunne han mye om algebra og likninger, og han gjorde et

viktig arbeid med Aritmetika, som ble flittig studert mer enn tusen år senere av

andre betydningsfulle matematikere. En annen grunn for valget er fordi dette er

et matematisk emne elevene tradisjonelt sett ofte trenger lang tid på å trenge inn

i, for å få god oversikt og innsikt i.

Jeg håper at jeg gjennom arbeidet med en matematisk-historisk tilnærming til

emnet, kan opparbeide meg bedre viten om emnet, for dermed å forbedre egen

undervisningspraksis.

Dag Roar Espe UiS 2011

Kilder Side 3 av 13

Diofantos av AlexandriaKjært barn har mange navn, og algebraens far blir omtalt både som Diofant,

Diofantus og Diofantos i norsk litteratur. I engelsk litteratur finner jeg stort sett

Diophantus. I tillegg er det vanlig å henge på ”av Alexandria” bak navnet. Jeg

har valgt skrivemåten Diofantos i denne oppgaven, da det ser ut til å være den

mest utbredte stavemåten.

Det er noe uvisst eksakt når han levde. Beregninger av hans levetid er i stor grad

gjort med utgangspunkt i hva han har sitert fra andre verk (bl.a. fra Hypsicles),

og hvor han er blitt sitert i (bl.a. i Theon). Med utgangspunkt i dette er det derfor

stor enighet om at han levde en gang mellom 150 f.kr og 350 e.kr, og mest

sannsynlig på 200-tallet.

Ellers vet man lite om Diofantos’ liv. Han studerte matematikk i Alexandria, og

i følge en gresk antologi fra 500-tallet skal det ha vært en matematikkoppgave

på hans gravstein som lød: ”Denne gravstein dekker Diofantos. Hans alder lærer

steinen ved hans egen kunst. Gud lot ham være gutt en sjettedel av livet. Enda

1/12 til, og skjegget vokste frem. Så 1/7 til, så giftet han seg. Etter 5 år fikk han

en sønn. Men han døde, stakkar, etter å ha nådd farens halve alder. Så levde han

enda 4 år, hvor han sloknet ved å studere talllære.”

Det vi vet om Diofantos er fra de matematiske tekstene hans. Han produserte

blant annet Aritmetika, Porismene og en tekst om polygonale tall. Porismene er

en samling med lemma som dessverre ser ut til å være tapt. Det er antatt at dette

kan ha vært en del av Aritmetika.


Kilder Side 4 av 13

Aritmetika Aritmetika var hans hovedverk, og er et verk som opprinnelig bestod av 13 bind.

I dag er seks av disse bevart. For tretti år siden ble det riktignok funnet fire

arabiske oversettelser av det en antar er andre bind av Aritmetika. Disse siste

blir nå betegnet bind A, B, C og D, og skiller seg litt ut ellers fra de andre

bindene, og en har grunn til å tro at de kan være skrevet som en kommentar til

Aritmetika at Hypatia rundt år 400 (Katz, 2008).

Diofantos blir ofte omtalt som algebraens far da han i sine tekster begynte med

det som senere blir omtalt som synkopert algebra. Det vil si en overgang mellom

retorisk og symbolsk algebra. Han brukte forkortelser og tegn, der babylonerne

og grekere tidligere ville skrevet likninger med bare ord (retorisk). Han brukte

blant annet kombinasjoner av K, Δ og Y for å skrive ukjente kvadrat eller

kubikk. ΔY skriver vi i dag som x2. KY står for ukjent kubikk eller x3. Det vi med

moderne notasjon ville skrevet som 2x3 + 3x2 + 1, skrev Diofantos som KYβ ΔΥγ

Ṁα. Diofantos brukte også et eget tegn for minus og det var . Når det gjelder

likhetstegnet, er dette noe han ikke brukte. Det dukket ikke opp slik vi kjenner

det i dag før i 1556 av Recorde.

Selv om Diofantos brukte en hel del forkortelser og symboler for ukjente

størrelser, ble likningene skrevet med ord. Dette skyldes nok hans mangel på

likhetstegn, og han hadde heller ikke noe tegn for den kjente størrelse (konstant).

Dette ble ikke introdusert før Vieta skrev om dette i In artem analyticam isagoge

(introduksjon til analysens kunst) som ble utgitt i 1591.

I Aritmetika skrev Diofantos blant annet om det som er omtalt som diofantiske

likninger og Diofantos’ teorem. Diofantisk likning er en likning med bare

heltall. Det vil si hele tall både som koeffisienter og som løsning. Diofantos

brydde seg bare om positive heltallsløsninger. Negative løsninger så han ingen


Kilder Side 5 av 13

praktisk nytte i. Diofantos løste både likninger av første- og andregrad. Han ga

også noen spesielle eksempler på løsning av høyere grad (Sletsjøe, 2004).

Diofantos’ teorem er en måte å finne det vi kaller pytagoreiske tripler, eller

rettere alle primitive tripler (uten felles faktor ut over 1). Pytagoreiske tripler vil

alltid bestå av to oddetall og et partall. Mest kjent er nok trippelet 3, 4 og 5.

I Tetra 10 (side 210) fra Samlaget blir dette fremstilt som under:

Forsiden i denne oppgaven viser fremsiden på 1621-utgaven (latinsk) av

Aritmetika. Det er i margen på siden om Diofantos’ teorem i sin utgave av

Aritmetika, at Fermat skrev sin berømte siste sats. Denne sa at det ikke fantes

noen heltallige løsninger for likningen xn + yn = zn for n høyere enn 2. Han

mente han hadde et fantastisk bevis for dette, men at det ikke var plass i bokens

marg. Et bevis for dette ble ikke lagt frem før i 1995. Da brukte Andrew Wiles

omtrent 200 sider på å bevise Fermats siste sats (Hagen, 2007).

Etter denne introduksjonen om Diofantos og Aritmerika, er det gjerne på tide

med et forsøk på å definere algebra. Den opprinnelige betydningen av algebra

var likningsløsning. Leonhard Euler definerte i 1770 algebra som ”vitenskapen

som lærer hvordan du finner ut ukjente mengder ved hjelp av de som er kjent”

(Katz, 2007). Med andre ord, så ble algebra bare forbundet med løsning av


Kilder Side 6 av 13

likninger på denne tiden. Algebra har nå gått over fra det statiske funksjonstadiet

og er i dag i det abstrakte stadiet (Katz, 2007).

I dag defineres algebra gjerne som ”studiet av operasjoner med tall og forhold

mellom tall, der man også bruker variabler eller bokstavsymboler” (Thompson,

1997).


Kilder Side 7 av 13

Undervisningsopplegg.Målet for dette undervisningsopplegget ligger innenfor kunnskapsmålet at

elevene skal kunne løse likninger og ulikheter av første grad og enkle

likningssystem med to ukjente. Målet med dette undervisningsopplegget er først

og fremst å gi elevene et inntrykk av at algebra ikke er en ny greie, og litt om

hvordan algebra har utviklet seg opp gjennom årene.

Dette siste blir i dag ofte utnyttet ved å bruke ulike representasjoner for samme

uttrykk. For eksempel kan en og samme funksjon uttrykkes både retorisk i en

kontekst, som et symbolalgebrauttrykk, som tabell eller som en graf.

Opplegget som her blir redegjort er tenkt gjennomført i 9. eller 10. klasse, og er

ment som repetisjon i 10. klasse eller i forbindelse med innføring av likninger,

noe som i de fleste lærebøker blir gjort i 9. klasse. Likninger blir selvsagt

benyttet langt ned i barneskolen, men som oftest i forbindelse med oppgaver av

typen ”Sett inn rett tall i ruta □ + 3 = 10”. Symbolsk algebra blir tradisjonelt

introdusert i løpet av ungdomsskolen.

Tanken er at elevene skal arbeide seg gjennom noen av de 130 problemene

Diofantos utarbeidet i sin Aritmetika. Det er den engelske oversettelsen fra 1910

som er utgangspunktet for elevarbeidet. Originalteksten ville vært helt gresk.

Engelsken vil i seg selv sannsynligvis være en utfordring for en del elever.

Tenker derfor at dette arbeidet bør gjøres i grupper på ca tre elever i hver

gruppe, slik at byrden med engelsk blir overkommelig for de fleste.

Hovedvekten i denne undervisningsøkten skal ikke være det historiske, men

arbeidet med det matematiske emnet. Elevene vil likevel bli møtt med en

introduksjon, for å plassere Diofantos inn i en historisk sammenheng, og for å gi

dem en idé om hvordan han arbeidet. Gjennom den historiske innfallsvinkelen

håper jeg at elevene skal forstå algebra og likninger bedre.

Elevene får først utdelt de to første problemene fra bok I:


Kilder Side 8 av 13

Problems1. To divide a given number into two having a given difference.

Given number 100, given difference 40.2. To divide a given number into two having a given ratio. Given

number 60, given ratio 3:1.

Elevene får bevisst ikke løsningen på problemet. Gruppene skal prøve å løse

problemene på sin egen måte. Etter en liten arbeidsøkt med påfølgende felles

gjennomgang og diskusjon av oppgavene, vil elevene få utdelt to sider fra bok I,

side 132 med problem 3, 4, 5, 6 og side 135 med problem 16, 17 og 18. Problem

18 er bare delvis gjengitt. Endelig løsning finnes først på side 136. De elevene

som arbeider seg gjennom og forstår problem 16 og 17, vil nok kunne fortsette

løsingen av problem 18 på egen hånd.

Vil også ha noen andre problemer klar, for de gruppene som har behov for større

utfordringer. For det meste vil dette være førstegradslikninger, men tenker at

noen grupper kan får bryne seg på andregradslikninger også. Jeg tror

differensiering i et slikt opplegg er et suksesskriterium. For de som virkelig

sliter med engelsken, vil jeg og ha norsk oversettelse av problem 1 og 2

tilgjengelig. Poenget er ikke at de lese engelsk, men forstå matematikken bak.

Det vil også være naturlig å presentere teksten fra Diofantos gravstein (se side 3)

i denne sammenhengen. Dette kan være en vrien oppgave, og ser for meg at jeg

bør ha en hel del hint i bakhånd for at elevene skal få den til. Dette kan være å

tegne livet hans på en tidslinje, lage fellesnevner, legge sammen brøkene eller

tilsvarende.


Kilder Side 9 av 13

RefleksjonÅ benytte originalteksten til Diofantos i dette undervisningsforløpet ville ikke

gitt mening for elevene. Selv om Diofantos brukte en del symboler, var teksten

fortsatt preget av en nokså retorisk fremstilling. Jeg kunne valgt å benytte

Bachettes latinske utgave fra 1620. Denne var mer tro mot Diofantos egen

matematiske notasjon, men nettopp derfor ville denne utgaven heller ikke gitt så

mye mening for elevene.

Når jeg valgte å bruke Heath sin engelske oversettelse utgitt i 1910, så er det

hovedsakelig av to grunner. For det første er engelsk et språk elevene i

ungdomsskolen skal ha forutsetninger for å kunne lese – og få utbytte av. For

det andre så er notasjonen i denne utgaven, mer lik den elevene møter og bruker

i dag. Elevene skal tross alt forstå både engelsk-språket og det matematiske

språket i tekstene.

Det er selvsagt et poeng å gjøre elevene oppmerksom på at Diofantos ikke

brukte denne type notasjon. Jeg ville nok ha vist at han hadde en del symboler,

men ikke vektlagt dette i vesentlig grad. Hovedpoenget med å bruke Aritmetika

er å se og forstå at algebra er noe som har opptatt matematikere i lang tid, og at

de problemene som Diofantos arbeidet med, er det mulig for dagens ungdom å

forstå, og forhåpentligvis kunne trekke lærdom ut av.

Historiske tekster kan bruker direkte eller indirekte. Direkte vil si at elevene får

en tekst uten noen nærmere introduksjon (Janke 2002). Jeg har valgt en indirekte

måte, jeg først gir en kort introduksjon om matematikere i Alexandria og om

Diofantos spesielt, og hva han skrev om i Aritmetika. Dette gjør jeg fordi jeg har

tro på at elevene innen dette emnet best motiveres til læring gjennom å få et

innblikk i konteksten Aritmetika ble skrevet.

Arbeidet med slike tekster tar tid. Som Janke (2002) skriver: ”Med tanke på

hvor mye tid det å bruke originale kilder krever, bør vi være sikre at utbyttet


Kilder Side 10 av 13

virkelig er verdt det”. Det er mye mulig at det vil ta vesentlig mer tid for elevene

å forstå likninger gjennom studering av Aritmetika enn om jeg hadde valgt å ha

noen minutters gjennomgang på tavlen med påfølgende selvstendig arbeid.

Hvorfor velge en slik metode da?

Jeg har tro på at nettopp det at elvene bruker god tid på å sette seg inn i et stoff,

gjør at stoffet sitter bedre. Arbeidet med historisk materiale vil sannsynligvis

motivere en del elever, om de bare er vant til å benytte skolens læreverk til å

lese lærestoff.

Gjennom gruppediskusjon håper jeg at elevene skal kunne utarbeide forklaringer

med egne ord på hva Diofantos gjorde, og hvorfor dette stemte, og evt. om

gruppen selv ser andre måter å løse problemene på. Utfordringen her ligger hos

pedagogen i å skape en trygg god ramme for undervisningen og gruppearbeidet

spesielt, slik at elevene i gruppene tør uttrykke sine frustrasjoner og

mis-/forståelser til hverandre.

I 1918 skrev Poincaire om at det muligens kunne være en sammenheng mellom

hvordan matematikkens historiske utvikling og elevenes utvikling innen

matematikk (Harper, 1987). Harper har gjort egen forskning på om hvordan

elevene på ulike trinn løser likninger. Han brukte blant annet flere av

problemene fra Diofantos’ Aritmetika. Harper konkluderte blant annet med at

”det er en indikasjon på at elever kan skifte fra retorisk til diofantisk og til slutt

til en ren vietansk (symbolsk) løsningsmetode gjennom skoleårene” (Harper,

1987).

Videre skriver Harper at mens elevene skal bevege seg fra en retorisk

tilnærming til ren symbolmanipulasjon i løpet av mindre enn 5 år, trengte

verdens matematikere mer enn 1300 år på det samme. Med dette i bakhodet er

det ikke vanskelig å forstå at mange elever opplever algebra som det mest

krevende emnet i matematikken på ungdomsskolen.



Mange tror at matematikken er statisk, at et begrep innen matematikk aldri

endres. Jeg håper at elevene gjennom arbeidet med bruddstykker av algebraens

historie skal se at matematikken ikke er noe fast og endelig gudegitt kunnskap,

men at matematikken er dynamisk, i stadig utvikling.

Jeg avslutter oppgaven med et sitat fra formålet med faget matematikk fra det

opprinnelige forslaget til ny plan fra læreplangruppa for matematikk. Jeg synes

disse setningene sier mye om betydningen av bruk av matematikkhistorien inn i

undervisningen.

”Opplæringen må samtidig medvirke til at elevene får et overordnet perspektiv

på faget og opplever og erkjenner matematikkens rolle i en historisk,

samfunnsmessig og kulturell sammenheng. På den måten gis elevene mulighet

til å forstå det kraftfulle og det vakre i matematikken.” (



Kilder Hagen et al. (2007) Tetra 10 (2007), Oslo Samlaget

Harper E. (1987), Ghosts of Diophantus. Educational Studies in

Mathematics Vol 18 number 1. Springer Netherlands

Heath, sir Thomas (1910) Diophantus of Alexandria, Cambridge:

Cambridge University Press

Janke H et al (2000). The use of original sources in the mathematics

classroom. I: History in Mathematics Education - The ICMI Study/

Fauvel, J. & van Katz, Maanen, J. Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers

Katz, V. (2007). Stages in the history of algebra with implications for

teaching. I: Educational Studies in Mathematics. Vol 66 number 2.

Springer Netherlands

Katz, V. (2008) A history of mathematics, Boston: Pearson/Addison-

Wesley

Sletsjøe, A. (2004), Del 2 – Algebra og likningsteori, og tilbake til

geometri. Oslo, Universitet i Oslo, http://www.math.uio.no/evu/MA-

EVU3/resources/Kompendium2.pdf, lesedato: 24.01.2011

Svege og Thorvaldsen, Algebraens historie,

http://www.afl.hitos.no/mahist/algebra/, lesedato: 22.01.2011

Thompson, J (1997), Kunnskapsforlagets matematikkleksikon. Oslo:

Kunnskapsforlaget

Utdanningsdirektoratet (2010), Læreplan i matematikk,

http://www.udir.no/grep, lesedato: 22.01.2011

http://diophantus.askdefine.com/ , lesedato 26.01.2011


http://diophantus.askdefine.com/

http://www.udir.no/grep

http://www.afl.hitos.no/mahist/algebra/

http://www.math.uio.no/evu/MA-EVU3/resources/Kompendium2.pdf

http://www.math.uio.no/evu/MA-EVU3/resources/Kompendium2.pdf


Planarbeidet, http://www.matematikksenteret.no/content.ap?thisId=319 ,

lesedato: 27.01.2011

Diofantisk ligning, http://no.wikipedia.org/wiki/Diofantisk_ligning,

lesedato: 23.01.2011

François Viète,

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete.html,

lesedato : 23.01.2011

Fremsidebilde er hentet fra

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover.jpg


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover.jpg

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete.html

http://no.wikipedia.org/wiki/Diofantisk_ligning

http://www.matematikksenteret.no/content.ap?thisId=319

Diofantos - MGM 120 - januar 2011 - Dag Roar Espe

Documents

Transcript of Diofantos - MGM 120 - januar 2011 - Dag Roar Espe