dinamika1

56
Dinamika gibanja krutog tijela Kinetiˇ cka energija krutog tijela Tenzor tromosti Svojstva tenzora tromosti Glavne osi tenzora tromosti Primjer: fizikalno njihalo Lagrangeove jednadžbe gibanja E-L jednadžbe gibanja Primjer: kotrljanje po podlozi Kinetiˇ cka energija krutog tijela kinetiˇ cka energija krutog tijela u nepomiˇ cnom sustavu T = n m n 2 V + Ω × r n 2 (1) brzina translatornog gibanja krutog tijela ovisi o izboru ishodišta sustava vezanog uz tijelo svojstva tromosti krutog tijela najjednostavnije je opisivati u sustavu s ishodištem u centru mase

Transcript of dinamika1

Page 1: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

Kineticka energija krutogtijela

• kineticka energija krutog tijela u nepomicnomsustavu

T =∑

n

mn

2

(

~V + ~Ω ×~rn

)2(1)

• brzina translatornog gibanja krutog tijela ovisi oizboru ishodišta sustava vezanog uz tijelo

• svojstva tromosti krutog tijela najjednostavnije jeopisivati u sustavu s ishodištem u centru mase

Page 2: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• u izraz za kineticku energiju uvodimo koordinatetocaka s obzirom na centar mase

~rn = ~a + ~ρn (2)

x ′

y ′

z ′

x

y

z

~R

~a~rn

~ρn

O′

O

C.M.

Pn

Page 3: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• uvrstimo jedn. (2) u izraz za kineticku energiju

T =∑

n

mn

2

[

~V + ~Ω × ~a + ~Ω × ~ρn

]2

=∑

n

mn

2~V 2 (3)

+∑

n

mn

2

(

~Ω × ~a)2

(4)

+∑

n

mn

2

(

~Ω × ~ρn

)2(5)

+∑

n

mn~V ·(

~Ω × ~a)

(6)

+∑

n

mn~V ·(

~Ω × ~ρn

)

(7)

+∑

n

mn

(

~Ω × ~a)

·(

~Ω × ~ρn

)

(8)

Page 4: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• promotrimo pojedine doprinose uzimajuci uobzir

• ukupnu masu tijela∑

n

mn ≡ µ

• definiciju centra mase∑

n

mn~ρn = 0

• prvi clan, jedn. (3)

n

12

mn~V 2 =

12µ~V 2 (9)

• drugi clan, jedn. (4)

n

mn

2

(

~Ω × ~a)2

=12µ(

~Ω × ~a)2

(10)

Page 5: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• treci clan, jedn. (5)

(

~Ω × ~ρn

)2=∑

k

(

~Ω × ~ρn

)

k

(

~Ω × ~ρn

)

k

=∑

k

ij

Ωiρn,jǫijk

(

pq

Ωpρn,qǫpqk

)

=∑

ijpq

ΩiΩpρn,jρn,q

k

ǫijkǫpqk

=∑

ijpq

ΩiΩpρn,jρn,q (δipδjq − δiqδjp)

=∑

i

Ω2i ~ρ

2n −

ij

ΩiΩjρn,jρn,i

=∑

ij

ΩiΩj

(

δij~ρ2n − ρn,iρn,j

)

(11)

Page 6: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• treci clan

n

mn

2

(

~Ω × ~ρn

)2=∑

n

mn

2

ij

ΩiΩj(

δij~ρ2n − ρn,iρn,j

)

(12)• cetvrti clan, jedn. (6)

n

mn~V ·(

~Ω × ~a)

= µ~V ·(

~Ω × ~a)

(13)

• peti clan, jedn. (7)

n

mn~V ·(

~Ω × ~ρn

)

= ~V ·

(

~Ω ×∑

n

mn~ρn

)

= 0 (14)

Page 7: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• šesti clan, jedn. (8)

n

mn

(

~Ω × ~a)

·(

~Ω × ~ρn

)

=(

~Ω × ~a)

·

(

~Ω ×∑

n

mn~ρn

)

= 0 (15)

• korisno je primjetiti da drugi clan možemonapisati i u sljedecem obliku

µ

2

(

~Ω × ~a)2

2

ij

ΩiΩj

(

δij~a2 − aiaj

)

(16)

Page 8: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• kineticka energija krutog tijela

T =12µ~V 2 (17)

+ µ~V ·(

~Ω × ~a)

(18)

2

ij

ΩiΩj(

δij~a2 − aiaj)

+∑

n

mn

2

ij

ΩiΩj

(

δij~ρ2n − ρn,iρn,j

)

(19)

Page 9: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

Tenzor tromostitenzori

• tenzor tromosti krutog tijela s obzirom na centarmase definiramo na sljedeci nacin

Ic.m.ij =

n

mn

(

δij~ρ2n − ρn,iρn,j

)

(20)

• kinticka energija krutog tijela glasi

T =12µ~V 2 + µ~V ·

(

~Ω × ~a)

+12

ij

IijΩiΩj (21)

gdje smo definirali

Iij = Ic.m.ij + µ

(

~a2δij − aiaj

)

(22)

Page 10: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• možemo pokazati da je Iij tenzor tromosti sobzirom na tocku O

IOij ≡

n

mn

(

~r2n δij − rn,i rn,j

)

(23)

• prvi clan

~r2n =

(

~a + ~ρn

)2= ~a2 + 2~a · ~ρn + ~ρ2

n (24)

• drugi clan

rn,irn,j = (ai + ρn,i) (aj + ρn,j)

= aiaj + ρn,iaj + aiρn,j + ρn,iρn,j (25)

• u sumi po svim cesticama linearni doprinosikomponenti vektora ~ρn išcezavaju (definicijacentra mase)

Page 11: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• od jedn. (23) preostaje

IOij =

n

mn

(

~ρ2nδij + ~a2δij − ρn,iρn,j − aiaj

)

=∑

n

mn(

~ρ2nδij − ρn,iρn,j

)

+∑

n

mn

(

~a2δij − aiaj

)

= Ic.m.ij +

n

mn

(

~a2δij − aiaj

)

(26)

• prethodni izraz zovemo Steinerov teorem iliteorem o paralelnim osima

• Steinerov teorem povezuje tenzor tromosidefiniran s obzirom na centar mase i tenzortromosti definiran s obzirom na proizvoljnu tockuO

Page 12: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• u izrazu za kineticku energiju

T =12µ~V 2 + µ~V ·

(

~Ω × ~a)

+12

ij

IijΩiΩj (27)

prvi clan potjece od translacije, treci od rotacije,a drugi clan je mješovit

• jedn. (27) se pojednostavljuje u dva slucaja• prvi slucaj je kada os rotacije prolazi kroz centar

mase• vektor ~a tada išcezava, a zajedno s njim i

miješani clan u jedn. (27)• translatorni i rotacioni doprinos u kinetickoj

energiji su u tom slucaju separirani

• drugi slucaj je ako tocka O miruje (~V = 0)• tada preostaje samo treci clan u jedn. (27)

Page 13: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

Svojstva tenzora tromosti

• tenzor tromosti možemo napisati kao matricu

Iij =

Ixx Ixy Ixz

Iyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

(28)

• pojedini clanovi tenzora• Ixx =

n mn(y2n + z2

n )• Iyy =

n mn(x2n + z2

n )• Izz =

n mn(x2n + y2

n )• Ixy = Iyx = −

n mnxnyn• Ixz = Izx = −

n mnxnzn• Iyz = Izy = −

n mnznyn

• tenzor tromosti je simetrican

Page 14: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• ako tijelo možemo tretirati kao kontinuirano,sumacija po tockastim masama prelazi uintegraciju po volumenu

mn → ρ(~r )d3r i∑

n

· · · →

· · ·d3r (29)

• izraz za tenzor tromosti u tom slucaju glasi

Iij =

ρ(~r )(

~r2δij − rirj)

(30)

gdje je ρ(~r ) gustoca tijela

Page 15: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• poseban slucaj je dvodimenzionalno tijelo (tankaploca)

• koordinatni sustav orjentiramo tako da ploca ležiu xy ravnini

• u smjeru osi z nema mase pa za gustocu tijelavrijedi

ρ(x , y , z) = σ(x , y)δ(z) (31)

• dijagonalni doprinosi tenzora inercije

Ixx =

σ(x , y)(y2 + z2)δ(z)dV =

σ(x , y)y2dxdy

Iyy =

σ(x , y)(x2 + z2)δ(z)dV =

σ(x , y)x2dxdy

Izz =

σ(x , y)(x2 + y2)δ(z)dV

=

σ(x , y)(x2 + y2)dxdy

Page 16: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• u slucaju dvodimenzionalnog tijela smještenog ixy ravnini vrijedi teorem o okomitim osima

Izz = Ixx + Iyy (32)

• promotrimo još slucaj tijela cija se masa nalazina pravcu (tanki štap)

• koordinatni sustav orjentiramo tako da štap ležiduž osi z

• u smjerovima x i y nema mase pa za gustocuštapa vrijedi

ρ(x , y , z) = λ(z)δ(x)δ(y) (33)

• nedijagonalni elementi tenzora inercijeišcezavaju, kao i dijagonalni element Izz

Page 17: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• preostaju samo dva dijagonalna clana

Ixx = =

λ(z)(y2 + z2)δ(x)δ(y)dV =

λ(z)z2dz

Iyy =

λ(z)(x2 + z2)δ(x)δ(y)dV =

λ(z)z2dz

• tanki štap ima pet stupnjeva slobode umjestošest jer rotacija oko osi z gubi smisao

• u slucaju tanke ploce koristili smo plošnugustocu

σ =masa tijela

površina tijela(34)

• u slucaju tankog štapa koristili smo linijskugustocu

λ =masa tijeladužina tijela

(35)

Page 18: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

Glavne osi tenzoratromosti

• simetrican tenzor drugog reda pogodnimizborom koordinatnih osi možemo uvijek prevestiu dijagonalni oblik

• pretpostavimo da u pocetnom sustavu xyztenzor tromosti ima nedijagonalne elemente

• tražimo ortogonalnu transformaciju koja nasdovodi u sustav x ′y ′z ′ u kojem je tenzor tromostidijagonalan

• traženu transformaciju možemo opisatiortogonalnom matricom a

x ′

i =∑

k

aikxk (36)

Page 19: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• komponente tenzora se transformiraju kaoprodukti komponenti vektora

I ′ij =∑

mn

aimajnImn =∑

mn

aimaTnj Imn (37)

• matricni zapisI ′ = aIaT (38)

• matrica a je ortogonalna pa vrijedi aT a = 1• pomnožimo jedn. (38) matricom aT s lijeve

straneIaT = aT I ′ (39)

• matrica I ′ je prema pretpostavci dijagonalna• oznacimo elemente matrice I ′ s λ1, λ2, λ3

• oznacimo j − ti stupac matrice aT s v (j)

Page 20: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• jedn. (39) poprima oblik∑

k

Iikv (j)k = λjv

(j)i =⇒ Iv (j) = λjv (j) (40)

• problem se sveo na rješavanje jednadžbesvojstvenih vrijednosti

• svojstveni vektori v (1), v (2) i v (3) su stupcimatrice aT pa vrijedi

aTki = v (i)

k =⇒ aik = v (i)k (41)

• jedinicni vektori u novom sustavu

~e′

i =∑

k

aik~ek =∑

k

v (i)k

~ek (42)

• svojstveni vektori v (i) definiraju jedinicne vektorenovog sustava

Page 21: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• osi sustava u kojem je tenzor inercijedijagonalan zovemo glavne osi tromosti

• momente tromosti oko tih osi zovemo glavnevrijednosti tenzora tromosti

Page 22: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

Primjer: fizikalno njihalo

• promatramo tanku plocu koja se njiše uvertikalnoj ravnini

• ploca je obješena u tocki O• centar mase ploce udaljen je za l od objesišta

x ′

y ′

c.m.

O′

Page 23: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• želimo naci kineticku energiju ploce• trebamo izabrati ishodište sustava vezanog uz

plocu• postoje tri mogucnosti odabira ishodišta

• objesište njihala• centar mase ploce• proizvoljna tocka na ploci ili izvan nje

• izracunati cemo kineticku energiju za sva trislucaja i pokazati da su rezultati ekvivalentni

• osi fiksiranog sustava oznacimo s x ′y ′, a osisustava vezanog uz plocu s xy

• s O′ oznacimo ishodište fiksiranog sustava kojese poklapa s objesištem ploce

• udaljenost od objesišta do centra mase iznosi l

Page 24: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• sustav fiksiran uz plocu prvo postavimo tako damu je ishodište u objesištu, a os y prolazi krozcentar mase

x ′

y ′

xy

c.m.

O′

• komponente kutne brzineploce

Ωx = Ωy = 0 Ωz = θ (43)

• ishodište sustava vezanoguz plocu miruje

Vx = Vy = Vz = 0 (44)

• kineticka energija ima samo rotacioni doprinos

T =12

IO′ θ2 (45)

Page 25: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• postavimo sada sustav vezan uz plocu tako damu je ishodište u centru mase ploce

x ′

y ′

x

y

c.m.

O′

• komponente kutne brzineploce

Ωx = Ωy = 0 Ωz = θ (46)

• ishodište sustava vezanoguz plocu više ne miruje

Vx = l θ Vy = Vz = 0(47)

• kineticka energija ima translatorni i rotacionidoprinos, ali ne i miješani jer je ishodište ucentru mase

T =12

Ml2θ2 +12

Ic.m.θ2 (48)

Page 26: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• kao zadnji primjer postavimo sustav vezan uzplocu tako da mu se ishodište ne poklapa ni sobjesištem, ni s centrom mase

x ′

y ′

c.m.

l

O

r

~V

xy θ

~aα

• komponente vektora ~a usustavu xy

ax , ay , az = 0 (49)

• brzina ishodišta O: |~V | = r θ

• komponente vektora ~V usustavu xy

Vx = r θ cos α (50)

Vy = −r θ sin α (51)

Vz = 0 (52)

Page 27: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• za kutnu brzinu i u ovom slucaju vrijedi

Ωx = Ωy = 0 Ωz = θ (53)

• primjenimo opceniti izraz za kineticku energiju

T =12µ~V 2 + µ~V ·

(

~Ω × ~a)

+12

ij

IijΩiΩj (54)

• translatorni doprinos

T1 =12µr2θ2 (55)

• rotacioni doprinos

T3 =12

IO θ2 (56)

• IO je moment tromosti oko osi z kroz tocku O• tocka O nije u objesištu pa se moment tromosti

razlikuje od onog u prvom slucaju

Page 28: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• promotrimo mješoviti clan

~Ω × ~a = θ~k ×(

ax~i + ay

~j)

= θ(

ax~j − ay

~i)

(57)

T2 = µ~V ·(

~Ω × ~a)

= µr θ2(

cos α~i − sin α~j)

·(

ax~j − ay

~i)

= −µr θ2 (ay cos α + ax sin α) (58)

• kineticka energija ploce

T =12µr2θ2 − µr θ2 (ay cos α + ax sin α) +

12

IO θ2

(59)

Page 29: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• korištenjem Steinerovog teorema možemopokazati da su kineticke energije u prvom idrugom slucaju jednake

• moment inercije oko osi z koja prolazi krozobjesište povezan je s momentom inercije krozcentar mase

IO′ = Ic.m. + µl2 (60)

• kineticka energija koju smo izracunali u prvomslucaju

T =12

IO′ θ2 =12

Ic.m.θ2 +

12µl2θ2 (61)

poklapa se s izrazom koji smo dobili u drugomslucaju

Page 30: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• možmo pokazati i da se kineticke energije udrugom i trecem slucaju poklapaju

x ′

y ′

c.m.

l

O

rx

y

α

ax

ay

900 − α

α

sin α =ax

r=⇒ ax = r sin α

cos α =l + ay

r=⇒ ay = r cos α − l

IO = Ic.m. + µ(a2x + a2

y)

Page 31: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• kineticka energija u drugom slucaju

T =12µr2θ2 +

12

IO θ2 − µr θ2(ax sin α + ay cos α)

• drugi clan

T2 =12

IOθ2 =12

(

Ic.m. + µa2)

• treci clan

T3 = −µr θ2(r sin2 α + r cos2 α − l cos α)

= −µr2θ2 + µlr cos αθ2 (62)

• kineticka energija

T =12µr2θ2 +

12

Ic.m.θ2 +

12µ(a2

x + a2y )

− µr2θ2 + µlr cos αθ2

Page 32: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• kineticka energija

T = −12µr2θ2 +

12

Ic.m.θ2 +

12µ(a2

x + a2y )

+ µlr cos αθ2

• prvi clan

r2 = (l + ay )2 + a2

x = l2 + a2y + a2

x + 2lay

• kineticka energija

T = −12

l2θ2 − µlay θ2 +

12

Ic.m.θ2 + µlr cos αθ2

= −12

l2θ2 − µlr cos αθ2 + µl2θ2

+12

Ic.m.θ2 + µlr cos αθ2

Page 33: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• kineticka energija se poklapa s energijomizracunatom u prvom slucaju

T =12

Ic.m.θ2 + µl2θ2

Page 34: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

E-L jednadžbe gibanja

• da bi napisali Lagrangian krutog tijela, osimkineticke, treba nam i potencijalna energija

• dovoljno je ukljuciti vanjski potencijal jer seunutrašnje sile poništavaju

• vanjski potencijal je suma doprinosa svih cestica

U =∑

n

U(~r ′n) (63)

• ukupni Lagrangian krutog tijela

L =12µ~V 2+µ~V ·

(

~Ω × ~a)

+12

ij

I ′ijΩiΩj −U (64)

Page 35: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• Lagrangian ovisi o položaju (radij-vektor ~R) iorjentaciji (vektor ~φ) tijela

• da bi izveli jednadžbe gibanja moramo variratiLagrangian po ta dva vektora

• ako nema dodatnih ogranicenja na gibanje radise o šest skalarnih varijabli

• vremenska ovisnost parametara ~V , ~Ω i ~a odnosise na fiksirani sustav

• vektorima ~V i ~Ω mogu se mijenjati po iznosu ismjeru, a vektor ~a samo po smjeru

Page 36: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• prvo variramo Lagrangian po ~R ≡ ~V

∂L

∂~V= µ~V + µ

(

~Ω × ~a)

(65)

• deriviramo gornji izraz po vremenu

ddt

∂L

∂~V= µ~V + µ

ddt

(

~Ω × ~a)

(66)

• sada variramo Lagrangian po ~R

∂L

∂~R= −

n

limd~R→0

U(~r ′n + d ~R) − U(~r ′n)

d ~R

= −∑

n

∂U∂~r ′n

=∑

n

~fn (67)

gdje je ~fn vanjska sila na n-tu cesticu

Page 37: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• ukupna sila na kruto tijelo je suma sila na svecestice

~F =∑

n

~fn (68)

• jednadžba gibanja glasi (uz ~P ≡ µ~V )

~P + µddt

(

~Ω × ~a)

= ~F (69)

• sada variramo Lagrangian po ~φ ≡ ~Ω

∂L∂Ωk

=12

j

(

I ′jk + I ′kj

)

Ωj + µ(

~a × ~V)

k

=∑

j

I ′kjΩj + µ(

~a × ~V)

k(70)

• iskoristili smo simetricnost tenzora inercije

Page 38: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• deriviramo prethodni izraz po vremenu

ddt

∂L∂Ωk

=∑

j

I ′kjΩj + µddt

(

~a × ~V)

k(71)

• jedn. (71) možemo napisati u jednostavnijemobliku

ddt

∂L

∂~Ω= I ′ ~Ω + µ

ddt

(

~a × ~V)

(72)

• variramo Lagrangian po zakretu ~φ

∂L

∂~φ= −

∂U

∂~φ= −

(

∂U∂φx

~i +∂U∂φy

~j +∂U∂φz

~k)

(73)

• koristimo pravilo složenog deriviranja

∂U∂φx

=∑

n

∂U∂~r ′n

∂~r ′n∂φx

= −∑

n

~fn ·∂~r ′n∂φx

(74)

Page 39: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• diferencijal vektora ~r ′n

d~r ′n = d ~R + d~φ ×~rn (75)

= d ~R +(

dφx~i + dφy

~j + dφz~k)

×~rn (76)

• parcijalna derivacija vektora ~r ′n po kutu zakreta

∂~r ′n∂φx

=~i ×~rn (77)

• parcijalna derivacija potencijala po kutu zakretaφx

∂U∂φx

= −∑

n

~fn ·∂~r ′n∂φx

= −∑

n

~fn ·(

~i ×~rn

)

(78)

Page 40: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• iskoristimo formulu za mješoviti produkt

~fn ·(

~i ×~rn

)

=~i ·(

~rn ×~fn)

(79)

• vratimo se parcijalnoj derivaciji potencijala

∂U∂φx

= −∑

n

~i ·(

~rn ×~fn)

(80)

= −∑

n

(

~rn ×~fn)

x(81)

=⇒∂U

∂~φ= −

n

~rn ×~fn (82)

• definicija zakretne sile na n−tu cesticu

~nn = ~rn ×~fn (83)

Page 41: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• ukupna zakretna sila

~N =∑

n

~nn =∑

n

~rn ×~fn (84)

• parcijalna derivacija Lagrangiana po kutuzakreta ~φ

∂L

∂~φ= −

∂U

∂~φ= ~N (85)

• Euler-Lagrange jednadžba

I ′ ~Ω +ddt

(

~a × ~P)

= ~N (86)

• promotrimo jednadžbu za komponentu k

j

I ′kjΩj +ddt

(

~a × ~P)

k= Nk (87)

Page 42: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

Kotrljanje po podlozi

• kotrljanje po podlozi primjer je neholonomneveze jer postavlja uvjet na vremensku ovisnostvarijabli

• brzina gibanja tijela ovisi o brzini promjene tockekontakta

R

θ

~V

~V

• brzina centra valjkajednaka je obodnoj brzini

V = r θ

Page 43: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• promotrimo prvo slucaj homogenog valjka• centar mase valjka nalazi se u središtu presjeka

valjka• kineticka energija valjka je suma doprinosa

translacije i rotacije

T = Ttr + Trot =12µ~V 2 +

12

Iθ2 =12µR2θ2 +

12

Iθ2

• moment inercije homogenog valjka

I =12µR2

• kineticka energija homogenog valjka koji sekotrlja po podlozi

T =34µR2θ2

Page 44: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• promotrimo sada slucaj valjka koji jenehomogen po kružnom presjeku

• centar mase se više ne nalazi u središtu Opresjeka valjka, nego je udaljen za a od njega

R

θ

~V

~V

~ac.m.

O

• oznacimo s IO moment tromosti oko središtavaljka

Page 45: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• os rotacije više ne prolazi kroz centar mase pakineticka energija ima tri doprinosa

T =12µV 2 + µ~V ·

(

~Ω × ~a)

+12

IOΩ2 (88)

• znamo da vrijedi

Ω ≡ θ i V = Rθ (89)

• promotrimo mješoviti clan

~V ·(

~Ω × ~a)

= ~Ω ·(

~a × ~V)

(90)

• vektorski produkt

~a × ~V = aV sin (θ +π

2)(−~Ω0) = −aV cos θ~Ω0

(91)

Page 46: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• mješoviti clan u kinetickoj energiji

T2 = −µaV cos θθ = −µaR cos θθ2 (92)

• moment inercije s obzirom na tocku O

IO = Ic.m. + µa2 (93)

• prvi clan kineticke energije

T1 =12µV 2 =

12µR2θ2 (94)

• treci clan kineticke energije

T3 =12

IOΩ2 =12

(

Ic.m. + µa2)

θ2 (95)

Page 47: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• ukupna kineticka energija nehomogenog valjka

T =12µ[

R2 − 2aR cos θ + a2]

θ2 +12

Iθ2 (96)

• sada racunamo gravitacijsku potencijalnuenergiju valjka

R

θ~a

c.m.

~rdm

O~g

Page 48: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• sumiramo po svim infinitezimalnim doprinosimavaljka

• tijelo je kontinuirano pa suma prelazi u integral

U = −g∫

ρ(~r)~k ·~rd3r = −g~k ·

ρ(~r )~k ·~rd3r

(97)• iskoristimo definiciju centra mase

~a =1µ

ρ(~r )~rd3r (98)

• potencijalna energija valjka

U = −µg~k · ~a = −µga cos θ (99)

Page 49: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• Lagrangian valjka

L =12µ[

R2 − 2aR cos θ + a2]

θ2 +12

Ic.m.θ2

+ µga cos θ (100)

• jednadžba gibanja

ddt

(

∂L

∂θ

)

−∂L∂θ

= 0 (101)

• derivacije potrebne za jednadžbu gibanja

∂L∂θ

= µaR sin θθ2 − µga sin θ (102)

∂L

∂θ= µ

[

R2 − 2aR cos θ + a2]

θ + Ic.m.θ (103)

Page 50: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• deriviramo drugi clan po vremenu

ddt

∂L

∂θ= µ

[

R2 − 2aR cos θ + a2]

θ + Ic.m.θ

+ 2aµR sin θθ2 (104)

• jednadžba gibanja

µ

[

Ic.m.

µ+ R2 − 2aR cos θ + a2

]

θ + µaR sin θθ2

+gµa sin θ = 0 (105)

• Lagrangian ne ovisi eksplicitno o vremenu pa jeenergija konstanta gibanja

ddt

(T + U) = 0 (106)

Page 51: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti

Svojstva tenzora tromosti

Glavne osi tenzoratromosti

Primjer: fizikalno njihalo

Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja

Primjer: kotrljanje popodlozi

• energija nehomogenog valjka koji se kotrlja

E =µ

2

[

Ic.m.

µ+ R2 − 2aR cos θ + a2

]

θ2−µga cos θ

(107)

Page 52: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela

Tenzoripovratak

• skup velicina Ii1i2···in naziva se tenzor ranga n akovrijedi

I ′i1i2···in =∑

j1j2···jn

ai1j1ai2j2 · · ·ain jn Ij1j2···jn (108)

tj. ako se transformiraju kao produktikomponenti vektora

• promotrimo kao primjer kako se transfomiratenzor inercije

• tenzor inercije u pocetnom sustavu

Iij =∑

n

mn

(

~r2n δij − rn,i rn,j

)

(109)

Page 53: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela povratak

• ortogonalnom transformacijom prelazimo u novisustav

r ′i =∑

k

aik rk (110)

• tenzor inercije u novom sustavu

I ′ij =∑

n

mn

(

~r2n δij − r ′n,i r

n,j

)

(111)

• duljina vektora je nepromjenjena (~r2n ) jer je

transformacija ortogonalna

I ′ij =∑

n

mn

(

~r2n δij −

k

aik rn,k

l

ajl rn,l

)

(112)

• transformacija je ortogonalna pa vrijedi∑

k

aikajk = δij =⇒ δij =∑

kl

aikajlδkl (113)

Page 54: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela povratak

• uvrstimo izraz (113) u jedn. (112)

I ′ij =∑

kl

aikajl

n

mn(

~r2n δkl − rn,k rn,l

)

=∑

kl

aikajl Ikl (114)

• vidimo da se komponente Iij doistatransformiraju u skladu s relacijom (108)

Page 55: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela Primjer: rotacija u ravnini

x1

x2

~e1

~e2

x ′

1

x ′

2

~e′

1~e′

2 φ

φ

• tenzor u sustavu x1x2

oznacimo s Iij• tenzor u sustavu x ′

1x ′

2oznacimo s I ′ij

• elementi tenzora u rotiranom sustavu

I ′ij =∑

kl

aikajl Ikl (115)

Page 56: dinamika1

Dinamika gibanjakrutog tijela • kao primjer možemo izracunati element I ′11

I ′11 =∑

kl

a1ka1l Ikl

I ′11 = a11a11I11 + a11a12I12

+ a12a11I21 + a12a12I22

I ′11 = cos2 φI11 + 2 sin φ cos φI12 + sin2 φI22

(116)