Dinamica y Estatica 2d

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    08-Aug-2015
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UNIVERSIDAD DE CARABOBOFacultadExperimentaldeCienciasyTecnologaValencia Estado CaraboboTRABAJO DE FISICA GENERALDin amica y estatica 2DAlumno:NatanaelLiscanoC.I.:19.641.798SECCION:02Prof.AlfredoMacas20demarzode201111)Demostrarqueparaelcasodelagurasinfricci on:T=m1m2m1 + m2g(1 + sin )DEMOSTRACION:Enlamasaunola

Fx= m1aT m1g sin = m1a (1)Ahorala

Fy=m1a, perocomonoexisteaceleraci onenladirecci onysentidodel ejeYpositivo,tenemosque

Fy= 0N m1g cos = 0 (2)Enlamasadostenemosquela

Fx= m2am2g T= m2a (3)Delaecuaci on(1)despejamosa,parasustituirlaenlaecuacion(3)m2g T= m2_T m1g sin m1_T m2Tm1= m2m1g sin m1m2gT=m1m2g sin +m1m2gm1m1+m2m1T=m1m2m1+m2g(sin + 1)22)Encuentrelasaceleracionesdelasmasasylastensionesdelascuerdas.RESPUESTA:Primerotenemosqueversielmodulodelatensi onuno |T1|,esdecirlafuerzaaplicada,esmayorqueelmodulodefuerzaderoce |Fr|queproduceelcoecientedefricci onestaticocuandolamasaunoa unnosehamovido.Para ello, primero formulamos las ecuaciones seg un la segunda ley de Newton, suponiendo queel sistema est a est atico y que n o existe la fuerza de fricci on debido al coeciente de friccion estaticos,todo estoparahallarT1.Enlamasa1tenemosquela

Fx= fuerzaaplicada,porlotanto:T1= fuerzaaplicada (4)Porelmismoprincipioqueseusoparaformularlaecuacion(2)delejercicioanteriortenemosquela

Fy= m1ay= 0N m1g= 0 (5)3Enlamasa2tenemosquela

Fx= 0m2g T2= 0 (6)Silapoleanotienemasa(mpolea= 0),tenemosquela

Fxenlapolea= mpoleaa2= 0T22T1= 0 (7)ParahallarT1sustituimosT2de(6)en(7)ydespejamos:m2g= 2T1 T1=m2g2T1=(19 kg)(9, 8 m/s2)2= 93, 1 NewtonParacalcularFrsabemosque:Fr= sN (8)ParasaberFrsustituimosNde(5)en(8)ynosquedaque:Fr= sm1gFr= 0, 3(6 kg)(9, 8 m/s2) = 17, 64 NewtonComovemos |T1| > |Fr|, as quehabr amovimientoyel sistemaevolucionar aconunaacel-eraci onquedependeradelafuerzaderoceproducidaporelcoecientedefricci oncinetico.Paraellotenemos quehacer nuevamentelas ecuaciones sabiendoqueel sistemaseest aacelerando,adem asdeincluirlafuerzaderocesabiendoqueestavezv aaserigualakN.Primerohayquehallarelsentidodelaaceleraci onunoa1parasaberladirecciondelafuerzaderoce.Sinincluirlafuerzaderocetenemosqueenlamasaunola

Fx= m1a1T1= m1a1(9)4Pero tenemos que la

Fyes la misma ecuacion (5), y en la masa dos tenemos que la

Fx=m2a2m2g T2= m2a2(10)Ahoraligamoslasaceleracionesa1ya2medianteestepeque nomodeladomatematico:Si la cuerda es ideal, sabemos que su longitud no vara a medida que el sistema evoluciona. Seaesalongitudrepresentadaporunaconstantellamadac.Ademas,sabemosquesiladistanciaavara,b1yb2vanvariartambien,deformatalqueladistanciab1= b2= b,entoncestenemosqueunaecuacionquenosrelacionaratodaslasdistanciasera:c = a + b1 + b2Perocomob1= b2= b,tenemosque:c = a + b + b (11)c = a + 2bLlamemos()tun operador que dena como varan las distancias a, b y c con respecto al tiempo,denidodelasiguienteforma:()t=()final()inicialtfinaltinicial,esdecir()teslavelocidadconquevaranlasdistacias respecto del tiempo, entonces sea V()la velocidad promedio conque vara cada distancia.Aplicandoeloperadoranuestraecuacion(11),nosquedaque:(c)t=(a)t+(b)t+(b)t(c)t=(a)t+ 2(b)t(12)Encalculodiferencial,sabemosqueladerivadadeunaconstanteescero,perosinosabemosderivara un,comopudieramossaberqueestoescierto?,puesmuysencillo.Porladeniciondeloperador()t=()final()inicialtfinaltinicialtenemosque:(c)t=(c)final(c)inicialtfinaltinicialPero para que la variaci on de c, es decir (c) sea constante tiene que ser la distacia nal, igualalainicial,(c)final= (c)inicial,esdecir:(c)final(c)inicial= 0Astenemosque:(c)t=0tfinaltinicial= 05PorlotantoV(c)= 0,yenlaecuaci on(12)vamosatenerque:V(c)= V(a) + 2V(b) 0 = V(a) + 2V(b) V(a)= 2V(b)Deformaanalogasehaceparacalcularlaaceleracion,perocomolascuerdasestanligadas,siunadelasdistanciasvaraconunaaceleracionconstanteovariable,laotratambienlohar a.Deforma que ninguna de las velocidades es constante para

Fexternas = 0, as que si designamos porA()comolaaceleracionresultante,ahoravamosatenerque:A(a)= 2A(b)Finalmementepodemosdeducirquesilamasaunosemueveconunaaceleraciona1positivaconrespectoanuestrosistemadereferencia,laotramasaloharadeformatalque:a2=a12(13)Ambos lados delaecuaci onsonpositivos debidoaqueenambos sistemas dereferencialaaceleraci onespositiva.Hastaaqulleganlasecuacionesyenresumentenemosque:N m1g= 0 (5)T22T1= 0 (6)T1= m1a1(7)m2g T2= m2a2(11)a2=a12(13)Para hallar a1que es lo que nos interesa, sustituimos a1de la ecuacion (13) en la ecuacion (7)T1= 2m1a2(14)AhorasustituimosT1de(14)yT2de(11)en(6)yconseguimoslaaceleraciondelamasa2:m2g m2a22(2m1a2) = 0 m2a24m1a2= m2ga2=m2gm2 + 4m1(15)Para hallar la acelaraci on de la masa 1, sustituimos a2de (15) en la ecuaci on (13) y nos queda:m2gm2 + 4m1=a12a1=2m2g4m1 + m2a1=2(19 kg)(9, 8 m/s2)4(6 kg) + 19 kg= 8, 66 m/s26Estaeslaaceleraci onencasoquenoexistanfuerzasderoce, ycomovemosespositivaconrespectoanuestrosistemadereferencia.En las nuevas ecuaciones incluimos la fuerza de roce en sentido contrario al movimiento. Todaslas ecuaciones quedan iguales excepto la sumatoria de fuerzas sobre el eje X positivo sobre la masaunodondevamosatenerquela

Fx= m1aT1Fr= m1a1(16)Ylafuerzaderocequedadenidacomo:Fr= kN (17)Finalmentenosquedanlasecuaciones:N m1g= 0 (5)T22T1= 0 (6)m2g T2= m2a2(11)a2=a12(13)T1Fr= m1a1(16)Fr= kN (17)Parapararesolverelsistema,primerosustituimosFrde(17)en(16)T1kN= m1a1(18)LuegosustituimosNde(5)ya1de(13)en(18)T1km1g= 2m1a2(19)AhorasustituimosT1de(19)yT2de(11)en(6)m2g m2a22(km1g + 2m1a2) = 0m2a22km1g 4m1a2= m2ga2(4m1 + m2) = m2g 2km1ga2 = g_m22km14m1+m2_7a2= (9, 8 m/s2)_19 kg 2(0, 2)(6 kg)4(6 kg) + 19 kg_= 3, 78 m/s2Parahallara1,introducimosa2en(13)g_m22km14m1m2_=a12a1 = 2g_m22km14m1+m2_a1= 2(9, 8 m/s2)_19 kg 2(0, 2)(6 kg)4(6 kg) + 19 kg_= 7, 56 m/s2ParahallarT2sustituimosa2en(11)m2g T2= m2g_m22km14m1 + m2_T2= m2g m2g_m22km14m1 + m2_T2=4m1m2g + m1m2g m22g + 2km1m2g4m1 + m2T2= m2g_4m1 + m1m2 + 2km14m1 + m2_T2 = m2g_m1(5+2k)m24m1+m2_T2= (19 kg)(9, 8 m/s2)_(6 kg)[5 + 2(0, 2)] 19 kg4(6 kg) + 19 kg_= 58, 02 NewtonAhorahallamosT1sustituyendoT2en(6)m2g_m1(5 + 2k) m24m1 + m2_2T1= 0T1 =m2g2_m1(5+2k)m24m1+m2_T1=(19 kg)(9, 8 m/s2)2_(6 kg)[5 + 2(0, 2)] 19 kg4(6 kg) + 19 kg_= 29, 01 Newton83)Un cierto objeto tiene un peso W1 en un punto en donde la aceleracion debida a la gravedadesg1. (a)Cu alessonel peso(W2)ylamasa(m)del objetoenunpuntoenquelaaceleraci ondebidaalagravedadesg2?.(b)Quepasasig2= 0 m/s2RESPUESTAS:a)Seaelpesodebidoag1:W1= mg1(20)Yelpesodebidoag2:W2= mg2(21)Entonces sabemos quelamasaes unaconstanteencualquier partedel universo, amenosque..., el objetocuyamasam, seencuentreenunsistemadereferenciainercial, cuyavelocidadseaproximealavelocidaddepropagaci ondelasondaselectromagneticas, enestascondicioneslas masaser aparaunobservador joigual am0

1v2c2, dondem0es lamasaenreposo, ves lavelocidaddel objetoconrespectoal observador joyces unaconstantefundamental igual a3, 00 108m/squeeslavelocidaddepropagaci ondelasondaselectromagneticasenel vaco.Sabiendotodoesto, sepudieracalcularlamasadel objeto, pesando conunasencillabalanzaderesorteyobteniendounamedidadelafuerzaqueseejercesobreel objetosiendoesevalorW1, dividiendo ese valor de la fuerza por la aceleraci on que experimenta si dejeramos que caigadebido al campo gravitatorio, es decir g1, obtendramos la masa del objeto, es decir de la ecuacion(20)sepuededemostrar:m =W1g1(22)Teniendo estamedidadelamasadedichoobjeto,pudieramossabercu alserasupesosiseencontrara en un campo gravitatorio cuya acelarcion fuera g2, introduciendo este valor de la masaen(21):W2= W1_g2g1_(23)Como hemos dicho antes la masa no vara signicativamente a bajas velocidades, pero habr a quedemostralo.Silamasaesm =fuerzaaceleracionentoceslafuerzaqueseejercesobreelpesoenpresenciadeg2esW1_g2g1_,ylaaceleracionqueexperimentaesg2,porlotanto:m =fuerzaaceleraci on=W1_g2g1_g2=W1g1= m9b)Sig2= 0,entoncesde(21)W2= W1_g2g1_= W1_0 m/sg1_= 0Vemosqueel pesoeneselugarvaasernulo. Seg unEinsteinysuTeoradelaRelatividadGeneralizada, enestecason ohabradeformaciongeometricaenunespaciotiempode4dimen-siones que dena el entorno de ese objeto. Esto puediera deberse a 2 casos especiales, uno el menosprobable, que el objeto estubiera situado a una distancia innita de cualquier otra masa que existaensuentorno, yel otro, unpocomasprobable, queel objetoesteenequilibrio

Fexternas=0entredos,tresonobjetosmasivosenesemismoentorno.4)Un bloque de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado sin fricci on que forma un angulo con el piso de un elevador. Halle la aceleracion del bloque conrelaci onalplanoinclinadoenlossiguientescasos:(a)Elelevadordesciendeavelocidadconstante.(b)Elelevadorasciendea velocidad constante. (c) El elevador asciende con una aceleracion constante aE. (d) El cable delelevadorserompe.RESPUESTAS:a)Relizamoslasumatoriadefuerzasexternasylaigualamosalamasaporlaaceleraci onenel eje X, la condicion inicial es que la velocidad del ascensor es constante en descenso, por lo tantosielsistemadereferencialoubicamosenelplanoinclinadodelascensor,nov ahaberpoblemasporqueseraunsistemadereferenciainercial,entoncespodemosdecirque:

Fxexternas= max10mg sin = maxax = g sin b)Deigualformaparacuandoasciendeavelocidadconstantela

ax= max,entonces:ax = g sin c)EnestecasoexistenaceleracionesexternasaEapartedelaotraaceleraci onaxobserbadadesde el punto de vista de un sistema de refenecia no-inercial que este jado en el plano inclinadodelascensor,entoncessepudieradeducirque:

Fxexternas= m___noinercial..ax+inercial ..

axexternas___Todoestosecumplesiempreycuandoel sistemadereferenciainercial, usadoparaobtenerlasecuacionesconlaaceleraci onaE, hayasidounasimpletraslaciondel sistemadereferenciano-inercial queest aubicadoenel planoinclinadodel ascensor. El termino

axexternassonlasaceleraciones externas que pueden percibirse desde el nuevo sistema de referencia inercial X

Y

queest aexternoal ascesor, mientrasqueaxsonlasaceleracionesseg unel sistemadereferenciano-inercial.Entonces seg un el sistema de referencia inercial tenemos que existe una aceleraci on en el eje XpositivoigualaaE sin ,porlotanto

axexternas=aE sin seg unelnuevosistemadereferenciainercial,entoncesnosquedaque:mg sin = m(ax + aE sin )ax = (g + aE) sin d)Si el cabledel ascensorserompe, laaceleraci ondel mismoenel vacoesgdirigidahaciaabajo,porlotanto

axexternas= g sin ,entoncesvamosatenerque:

Fxexternas= m_ax +

axexternas_mg sin = m(axg sin )g sin + g sin = axax = 0Vemosqueelbloquenovaamoverseparanadaseg unelsistemadereferenciano-inercial.115)Unbloquedemasam=7, 96 kgdescansasobreunplanoinclinadoa=22respectoalahorizontal, comosemuestraenlagura. El coecientedefricci onest aticaesdes=0, 25,mientrasqueelcoecientedefriccioncineticaesdek= 0, 15.(a)Cu aleslafuerzamnimaF,paralelaalplano,queimpedir aqueelbloquesedesliceporelplanohaciaabajo?.(b)Cu aleslafuerzaFnecesariaparamoverelbloquehaciaarribaconunaaceleracionigualalagravedad?.RESPUESTAS:a)HacemossumatoriadefuerzasenXeYigualesaceroporquelacondicionqueinicial esqueelbloqueesteest atico,entoncesnosqueda,sabiendoqueFrseslafuerzadefricci onest aticayesigualasN

Fx= 0F+ Frsmg sin = 0 F+ sN mg sin = 0 (24)

Fy= 0N mg cos = 0 N= mg cos (25)Sustituimos Nde (25) en (24), despejamos y obtenemos la fuerza F, de la gura (1), necesariaparamantenerelbloqueest atico:F+ smg cos mg sin = 0F= mg(sin s cos )F= (7, 96 kg)(9, 8 m/s2)(sin 220, 25 cos 22) = 11, 14 Newtonb)Paraqueel bloquesemuevaconunaaceleraci onigual al delagravedadensentidodelapendientedel plano, comosemuestraenlagura(2), hayquehacerlasumatoriadefuerzasigualesamaxdondeax=g, siendogel valordelagravedad, adem asvamosatenerunafuerzadefricciony/orocecineticaFrkigualakNquesev aaoponeraladirecci ondelmovimiento,12entoncestenemosque:

Fx= maxF Frkmg sin = mg F kN mg sin = mg (26)

Fy= 0N mg cos = 0 N= mg cos (27)Luego introducimos Nde (27) en (26) y obtenemos la fuerza F, de la gura (2), necesaria paramoverelbloqueconunaaceleraciong:F= mg(1 + sin + k cos )F= (7, 96 kg)(9, 8 m/s2)(1 + sin 22 + 0, 15 cos 22) = 118, 07 Newton6)El bloquem1delaguratieneunamasade4, 20 kgyel bloquem2tieneunamasade2, 30 kg. El coeciente de friccion cinetica entre m2y el plano horizontal es de k= 0, 47. El planoinclinadocarecedefricci on.Hallelaaceleraci ondelosbloquesylatensi ondelacuerda.13RESPUESTA:PrimerohacemossumatoriadefuerzasenXeYsobrelosobjetosconmasam1ym2:Enm1:

Fx: T m1g sin = m1ax(28)

Fy: N1m1g cos = 0 (29)Enm2:

Fx: FrT= m2ax(30)

Fy: N2m2g= 0 (31)Adem asvamosatenerqueFr= kN2.AhorasustituyendoFren(30)nosqueda:kN2T= m2ax(32)LuegoN2de(31)en(32)km2g T= m2ax(33)Tde(28)en(33)ydespejamosaxkm2g (m1ax + m1g sin ) = m2axm1axm2ax= m1g sin km2gax (m1 + m2) = g (km2m1 sin )ax = g_km2m1 sin m1+m2_ax= (9, 8 m/s2)_0, 47(2, 30 kg) (4, 20 kg) sin 274, 20 kg + 2, 30 kg_= 1, 24 m/s2Luegocon estaaceleracionaxpodemosconseguirTintroduciendolaen(28)ydespejando:T m1g sin = m1g_km2m1 sin m1 + m2_T=km1m2g m12sin m1 + m2+ m1g sin 14T=km1m2g m12sin + m12sin + m1m2g sin m1 + m2T= (k + sin )m1m2gm1+m2T= (0, 47 + sin 27)(4, 20 kg)(2, 30 kg)(9, 8 m/s2)4, 20 kg + 2, 30 kg= 13, 45 Newton7)Unestudiantede150 lbqueviajaenunaruedaFerrisquegirauniformementetieneunpesoaparentede125 lbenel puntomasalto. (a)Cu al esel pesoaparentedel estudianteenelpuntom asbajo?.(b)Cu alseraelpesodelestudianteenelpuntom asaltosilavelocidaddelaruedadelFerrisseduplicara?RESPUESTAS:a)Primerohayquehallarlaaceleraci oncentrpeta(debidoalmovimientocircular),queeslaresponsable de generar distintos pesos aparentes en el estudiante a medida que gira la rueda Ferris.Paraellovamosallamaracalaaceleraci oncentrpetaoradial,Pralpesorealdelestudiante,gcomo la gravedad igual a 32 ft/s2, llamaremos Paa un peso aparente para al apartado (a) igual a15lanormal,debidoaquedesdeelpuntodevistadelestudiante(sistemadereferenciano-inercial)la

Fexternas=0enelpuntom asalto,esdecirN Pa=0 N=Pa.Hayquesaberadem asquelamasamdelestudiantees:m =PrgAhoraaplicamospordeducci onquela

Fyexternas=m(ay +

ayexternas)yaquetenemoslaparici ondeunaaceleracionexterna(centrpeta)si observamosel movimientocirculardesdeunsistemadereferenciainercial, deformaquela

ayexternas= ac, negativaporquevadirigidahaciael centrodelaruedaFerris. Ademas, conel estudiantegirandoavelocidadconstante, suaceleraci ontangencialat=axesceroynoexisteaceleraciontangencialenelejeY,ay=0,porlotantotenemosque:N mg= m(0 ac)Pa + Pr=Pracgac=gPr(PrPa)ac=32 ft/s2150 lb(150 lb 125 lb) =163ft/s2 5, 33 ft/s2Seaelpesoaparentesub-unoigualaunanormalsub-unoenlapartem asbaja,deformaque Pa1= N1, porque desde el punto de vista del estudiante las

Fexternas= 0, entonces tenemosqueenelpuntom asbajo:N1mg= m(0 + ac)Pa1=Prg_gPr(PrPa)_+ PrPa1 = 2PrPaPa1= 2(150 lb) 125 lb = 175 lb16b)CuandolavelocidadvdegirodelaruedaFerris del casoanterior seduplica, lanuevaaceleraci oncentripetasub-dos,ac2,vaaseriguala:ac2=(2v)2R(34)DondeResunaconstanteigual al radiodelaruedaFerris, perosabemosquelaaceleraci oncentrpetaanterioraceraiguala:ac=v2R(35)Sidespejamosvde(35),lasustituimosen(34)yluegosimplicamos,obtenemosque:v=_Rac en(34) ac2=_2Rac_2Rac2 = 4acPorlotanto,seaunasegundanormalN2 = N1 = N,debidaaladuplicaciondelavelocidad,siendoestanormaligualaunpesoaparentesub-dosN2= Pa2,entoncesvamosatenerqueenelpuntomasaltola

Fyexternas= m(ay +

ayexternas),donde

ayexternas= ac2,entonces:N2mg= m(0 ac2)17Pa2= mg 4mac= Pr4_Prg__gPr(PrPa)_Pa2 = 4Pa3PrPa2= 4 (125 lb) 3 (150 lb) = 50 lb18