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Introduccin a la dinmica estructural por el MEF
Propiedades de inercia de los elementos
Principios energticos en dinmica
1
Q Fuerzas de volumen
Q Fuerzas de superficie
Q Fuerzas de inercia
qIN
qv
qs
q INx
= q =INy
u x u y
= u q u INz z
Q Ecuaciones de equilibrio:
ix
+ iy
+ iz + q
= u
i x, y, zx y z
vi i
Principio del trabajo virtual
T. V. de las fuerzasW =
uT
qv dv
+ uT
qs dsv sT. V. de las fuerzas de inercia
W =IN
uT
q dvIN
=
uT u dv
v v
Desarrollando su suma:
W + WIN
= Tv
dv
uT q
dv +
uT q
ds
uT
u dv =
T
dv v
s v s v v
W + WIN
= U
Principio de Hamilton (I)
3Potencial de las fuerzas exteriores
V
uT q dv
uT
qs ds
vv s
El PTV se puede poner como:
Integrando entre t1 y t2:t2 t2
uT v
t2
u dv
= U
+ V
uT
u
dv dt =
U dt +
V dtt1 v t1 t1Invertir integrales. Intercambiar con la integral en t
t2
t2
t2
uT u
dt dv
=
U dt +
V dt
v t1
t 1
t 1
Integrar por partes
Integrando por partes
Principio de Hamilton (II)
2t2 t2 t uT u dtt1
= t1
u T
u dt
+ uT u t1
u es arbitrario se toma nulo en t1 y t2
t2 t2uT u dt =
u T
u dt
2 u T u
t=
dt
2 t1 t1 t1
La primera integral queda:
t2 t2 T t2 uT u
dt dv =
u u
dt dv =
u T u dv dt
2
2 v t1
v t1
t1 v
Se identifica la energa cintica T
Principio de Hamilton (III)
5t2 uT u
dt dv =
t2
v
u T u dv dt =
t2T dt
t
2 v t1
1 t1
La expresin inicial del PTV queda:
Reordenando: t2
t2 t2 T dt = t1 t1
t2U dt + t1
V dt
t2
t 1
(T U
V ) dt = 0
t1
L dt = 0
Fuerzas sobre un elemento
Q De volumen qv Q Sobre la superficie exterior qs Q En la conexin interior qc
PeQ Puntuales en los nudos N
PN
qsqc qv
Q Fuerzas de inercia (fuerzas de volumen)
qIN
= u v
eu
Q T. V. Fuerzas exteriores
Trabajo virtual de las fuerzas
W e =
uT q
dv +
uT q
ds +
uT q
ds +
eT Pe v
s c Nv s c
q
W
Q T. V. Fuerzas de inercia Wuu
WININe =
uT q dv
=
uT u dvv v
Principio del Trabajo Virtual
W+We eIN
= Tv
dv
uT q
dv +
uT q
ds +
uT q
ds +
eT Pe v
s c Nv s c
uT
u dv =
T
dvv v
Q Discretizacin por el MEF
u = N e
u = N
e
u
= N e
= B e
= B
e
Q Principio del Trabajo Virtual discretizado
Equilibrio dinmico de un elemento (I) eT
NT q
dv +
NT q
ds +
NT q
ds + Pe
NT N dv
e v
s
c N v s c v
= eT v
BT dv
e Fuerzas nodales
Pc de conexin
Q Para cualquier
e
NT q
dv +
NT q
ds + Pe
+ Pe
NT N dv
e =
BT dv v
s c N v s v v
Equilibrio dinmico de un elemento (II)
10
NT q
dv +
NT q
ds + Pe
+ Pe
NT N dv
e =
BT dv v
s c N v s v v
Q Sustituyendo
N qv dv
+ N qs ds + Pc
+ PN
N
N
dv = B
(D D 0
+ 0 )dvT T e e T e T
v s s v
Q Sustituyendo
= B e
NT q
dv +
NT q
ds + Pe
+ Pe
NT N dv e = v
s c N v s s
T e B (D B v
D 0
+ 0 )dvReordenando (deformaciones a la izda.)
Equilibrio dinmico del elemento (III)
BT
D B dv
e +
NT
N dv
e =v v
NT q
dv +
NT q
ds +
BT D
dv
BT
dv +
Pe + Pe v s
0 0 c Nv s v v
K + M
= Pv
+ Ps
+ PT
+ Pb
+ PN
+ Pce e e e e e e e e e
Q Matriz de inercia del elemento
T
Se cancelan al ensamblar
1N Me =
NT
N dv
Me =
...
N
...
N dv
1 nv T Nn
Elemento de celosa plana
12
{T}e = IX IY JX JY
JY XL
JX
x = L L
IY
I
v J
u
IX
u
1
IX 0 0 =
IY v
0 1
0
JX
JY
Matriz de masas:
Elemento de celosa plana (cont.)
Me =
AL
6
2 0 1 0
0 2 0 1
1 0 2 0 0 1 0 2
m/3I
m/3
m/3J
Matriz de masas diagonal:
1 0
m/2 J0 0Me =
AL
001001002 0 0 m/2 I0 1
Elemento de celosa espacial
14
{T}e = IX IY IZ JX JY JZ
x L
JY
JZ
JX
YGw = u vLIY
IX
IZ XGu
1
0 0
0 0
IX Z G
IY v =
0 1
0 0
0
... w
0 0 1
0 0
2 0 0 1 0 0
JZ
e AL
0 2 0 0 1 0
0 0 2 0 0 1Matriz de masas:
M = 6 1 0 0 2 0 0
0 1 0 0 2 0
0 0 1 0 0 2
{T}e = IX IY I JX JY J
Elemento viga plana
JY
JJX XL=y/L
IY
I
IX
YL
=x/L
= +
Deformacin axial:
u ( )IX JX IX
Deformacin lateral:
v = a
+ a + a
2 + a 30 1 2 3
IY
J
v
JYI J
Elemento viga plana (cont.) 1 0 0 0 a
16Particularizando
IY
0
0 1/ L
0 0 a
I =
1
JY
1 1 1 1
a2
0 1/ L
2 / L
3 / L a3 J
Resolviendo para a y sustituyendo en v:
v = (1 32
+ 2 3 )
+ ( 22
+ 3 )L
+ (3 2
2 3 )
+ ( 3
2 )LIY I JY J
Deformacin en un punto P:
u = u dv y v = vP dx P
u = (1 )
+ 6( 2 )
+ (4 1 3 2 )LP IX IY I
+
+ 6(2
)
+ (2 3 2 )LJX JY J
v = (1 32
+ 2 3 )
+ ( 2 2
+ 3 )L
+ (3 2
2 3 )
+ ( 3
2 )LP IY I JY J
Matriz N
17u
1
6( 2 )
(1 + 4 3 2 )L
6( 2 )
(2 3 2 )L
IX P
=
... vP
0 1 3 2
+ 2 3
( 2 2
+ 3 )L
0 3 2 3
( + 3 )L
JMatriz de masas 1 1 0 0 0 0 3 6 13 6I
11L I
9 6I
13L I + +
0 + 35 5AL2
210 10AL
70 5AL2
420 10AL L2 2I +
13L I L2 I 0 Me =
AL
105 15A
420 10AL1
140 30A
0 0 3 13 6I
11L I simtrica
+ 35 5AL2
210 10AL
L 2 2I + 105 15A
T N
Elementos planos 2D 1 Me =
NT
N dv =
... N
...
N t dxdy 1 n T
Formulacin isoparamtrica
Nn
N N 00 N NN N 00 N N... N N 0... 0 N NN NN 00 N NN N 00 N N... N N 0... 0 NNN... ...N 00 N N... ...N N 00 N N... ... ...... N N 0... 0 N 1 1 1 2 1 n 1 1 1 2 1 n
+1 2 1 2 2 2 n Me =
tJ d d 2 1 2 2 2
n 1 n 1 n 2
n n n 1 n 2
n n
Elemento triangular de 3 nudos
19UV
1 u L 0 L 0 L
0 1 =
1 2 3
... v
0 L 0 L
0 L
L P L
1 2
3 1 2 3 U V
3
2 L1 33
Matriz de masas
L L
0 L L
0 L L 0 1 1 1 2 1 3 0 L L
0 L L
0 L L 1 1 1 2 1 3 L L
0 L L
0 L L 0 e 2 1 2 2 2 3
t dAM = 0 L L
0 L L
0 L L A
2 1 2 2 2 3 L L
0 L L
0 L L 0 3 1 3 2 3 3 0 L L
0 L L
0 L L
3 1 3 2 3 3
Elemento triangular de 3 nudos (cont.)
20Matriz de masas
Me =
At
2 00 21 00 11 00 11 00 1 2 00 21001 021 00 11 00 12012
m/12
m/6
m/12 m/6 m/6
Matriz de masas diagonal
1 00 10 0 0 00 0 0 00 00 0 1 0 00 1 000 010 00 00 0 10 0 0
m/12
m/3Me =
At 3
m/3 m/3
Misma inercia en las 3 direcciones. Acople entre los nudos.
Elementos espaciales slidos
N N
0 0 ... N N
0 0 1 1 1 n 0 N N
0 ... 0 N N 0 1 1 1 n 0 0
N N .. 0 0
N N
+1 1 1 1 n Me =
... ... ... ... ... ... ...
J d d d 1 N N
0 0 ... N N
0 0 n 1
0
N n N1
n n
0 ... 0
N n N n 0 0 0
N N ... 0 0
N N n 1
n n
W1 wu vU1V1
Q Formulacin con energa de cortadura (T. Mindlin)
Placas planas
22w = N i Wi
x =
N i xi
y =
N i yi
W1 x 1
n w3 w2 w N1
0 0 ... ... N n
0 0
y 1
3 Y3
2 Y2 = 0 N
0 ... ... 0 N
0 ...
x3 x 1
w4
w1 x2y
0 0
... ... 0 0
N n Wn 4 1
N1
Y1xn x4
Y4
x1yn
Me =
NT N dv
+1= NT1
N t J d d
Placas planas con energa de cortante (cont.)
N N
0 0 ... N N
0 0 1 1 1 n 0 N N
0 ... 0 N N 0 1 1 1 n
0 0
N N .. 0 0
N N +1 1 1 1 n Me =
... ... ... ... ... ... ...
tJ d d 1 N N
0 0 ... N N
0 0 n 1
0
N n N1
n n
0 ... 0
N n N n 0 0 0
N N ... 0 0
N N n 1
n n
w3 w2Y3
Y2Misma inercia al giroy al desplazamiento
w4
4
x4
Y4
3x3
w1
1
x1
2
Y1
x2
Q Fuerzas disipativas proporcionales a la velocidad
Amortiguamiento (I)
q Dx
c u x qD = qDy =
c u y
= c u q
Dz c u
z
Fuerzas nodales equivalentes:
Pe =
NT q
dv =
NT c u dv =
NT c N dv
e
= Ce
eD D v v v
Matriz de amortiguamiento:
Ce =
c Me
= Me
Q Tensiones proporcionales a la velocidad de deformacin unitaria
Amortiguamiento (II)
= D
D
Fuerzas nodales equivalentes
Pe =
BT
dv =
BT D dv
=
BT D B
edv
= Ce
eD D v v v
Matriz de amortiguamientoCe =
Ke
Q Considerando ambos efectos: amortiguamiento proporcional
Ce =
Me
+ Ke
Q Elemento e
Ecuaciones del movimiento
K + C
+ M
= Pv
+ Ps
+ PT
+ Pb
+ Pc
+ PNe e e e e e e e e e e e
Q Estructura (ensamblando)
P P
PK + C
+ M = Pv +
Ps + T + b + N