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Introducción a la dinámica estructural por el MEF Propiedades de inercia de los elementos

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Introduccin a la dinmica estructural por el MEF

Propiedades de inercia de los elementos

Principios energticos en dinmica

1

Q Fuerzas de volumen

Q Fuerzas de superficie

Q Fuerzas de inercia

qIN

qv

qs

q INx

= q =INy

u x u y

= u q u INz z

Q Ecuaciones de equilibrio:

ix

+ iy

+ iz + q

= u

i x, y, zx y z

vi i

Principio del trabajo virtual

T. V. de las fuerzasW =

uT

qv dv

+ uT

qs dsv sT. V. de las fuerzas de inercia

W =IN

uT

q dvIN

=

uT u dv

v v

Desarrollando su suma:

W + WIN

= Tv

dv

uT q

dv +

uT q

ds

uT

u dv =

T

dv v

s v s v v

W + WIN

= U

Principio de Hamilton (I)

3Potencial de las fuerzas exteriores

V

uT q dv

uT

qs ds

vv s

El PTV se puede poner como:

Integrando entre t1 y t2:t2 t2

uT v

t2

u dv

= U

+ V

uT

u

dv dt =

U dt +

V dtt1 v t1 t1Invertir integrales. Intercambiar con la integral en t

t2

t2

t2

uT u

dt dv

=

U dt +

V dt

v t1

t 1

t 1

Integrar por partes

Integrando por partes

Principio de Hamilton (II)

2t2 t2 t uT u dtt1

= t1

u T

u dt

+ uT u t1

u es arbitrario se toma nulo en t1 y t2

t2 t2uT u dt =

u T

u dt

2 u T u

t=

dt

2 t1 t1 t1

La primera integral queda:

t2 t2 T t2 uT u

dt dv =

u u

dt dv =

u T u dv dt

2

2 v t1

v t1

t1 v

Se identifica la energa cintica T

Principio de Hamilton (III)

5t2 uT u

dt dv =

t2

v

u T u dv dt =

t2T dt

t

2 v t1

1 t1

La expresin inicial del PTV queda:

Reordenando: t2

t2 t2 T dt = t1 t1

t2U dt + t1

V dt

t2

t 1

(T U

V ) dt = 0

t1

L dt = 0

Fuerzas sobre un elemento

Q De volumen qv Q Sobre la superficie exterior qs Q En la conexin interior qc

PeQ Puntuales en los nudos N

PN

qsqc qv

Q Fuerzas de inercia (fuerzas de volumen)

qIN

= u v

eu

Q T. V. Fuerzas exteriores

Trabajo virtual de las fuerzas

W e =

uT q

dv +

uT q

ds +

uT q

ds +

eT Pe v

s c Nv s c

q

W

Q T. V. Fuerzas de inercia Wuu

WININe =

uT q dv

=

uT u dvv v

Principio del Trabajo Virtual

W+We eIN

= Tv

dv

uT q

dv +

uT q

ds +

uT q

ds +

eT Pe v

s c Nv s c

uT

u dv =

T

dvv v

Q Discretizacin por el MEF

u = N e

u = N

e

u

= N e

= B e

= B

e

Q Principio del Trabajo Virtual discretizado

Equilibrio dinmico de un elemento (I) eT

NT q

dv +

NT q

ds +

NT q

ds + Pe

NT N dv

e v

s

c N v s c v

= eT v

BT dv

e Fuerzas nodales

Pc de conexin

Q Para cualquier

e

NT q

dv +

NT q

ds + Pe

+ Pe

NT N dv

e =

BT dv v

s c N v s v v

Equilibrio dinmico de un elemento (II)

10

NT q

dv +

NT q

ds + Pe

+ Pe

NT N dv

e =

BT dv v

s c N v s v v

Q Sustituyendo

N qv dv

+ N qs ds + Pc

+ PN

N

N

dv = B

(D D 0

+ 0 )dvT T e e T e T

v s s v

Q Sustituyendo

= B e

NT q

dv +

NT q

ds + Pe

+ Pe

NT N dv e = v

s c N v s s

T e B (D B v

D 0

+ 0 )dvReordenando (deformaciones a la izda.)

Equilibrio dinmico del elemento (III)

BT

D B dv

e +

NT

N dv

e =v v

NT q

dv +

NT q

ds +

BT D

dv

BT

dv +

Pe + Pe v s

0 0 c Nv s v v

K + M

= Pv

+ Ps

+ PT

+ Pb

+ PN

+ Pce e e e e e e e e e

Q Matriz de inercia del elemento

T

Se cancelan al ensamblar

1N Me =

NT

N dv

Me =

...

N

...

N dv

1 nv T Nn

Elemento de celosa plana

12

{T}e = IX IY JX JY

JY XL

JX

x = L L

IY

I

v J

u

IX

u

1

IX 0 0 =

IY v

0 1

0

JX

JY

Matriz de masas:

Elemento de celosa plana (cont.)

Me =

AL

6

2 0 1 0

0 2 0 1

1 0 2 0 0 1 0 2

m/3I

m/3

m/3J

Matriz de masas diagonal:

1 0

m/2 J0 0Me =

AL

001001002 0 0 m/2 I0 1

Elemento de celosa espacial

14

{T}e = IX IY IZ JX JY JZ

x L

JY

JZ

JX

YGw = u vLIY

IX

IZ XGu

1

0 0

0 0

IX Z G

IY v =

0 1

0 0

0

... w

0 0 1

0 0

2 0 0 1 0 0

JZ

e AL

0 2 0 0 1 0

0 0 2 0 0 1Matriz de masas:

M = 6 1 0 0 2 0 0

0 1 0 0 2 0

0 0 1 0 0 2

{T}e = IX IY I JX JY J

Elemento viga plana

JY

JJX XL=y/L

IY

I

IX

YL

=x/L

= +

Deformacin axial:

u ( )IX JX IX

Deformacin lateral:

v = a

+ a + a

2 + a 30 1 2 3

IY

J

v

JYI J

Elemento viga plana (cont.) 1 0 0 0 a

16Particularizando

IY

0

0 1/ L

0 0 a

I =

1

JY

1 1 1 1

a2

0 1/ L

2 / L

3 / L a3 J

Resolviendo para a y sustituyendo en v:

v = (1 32

+ 2 3 )

+ ( 22

+ 3 )L

+ (3 2

2 3 )

+ ( 3

2 )LIY I JY J

Deformacin en un punto P:

u = u dv y v = vP dx P

u = (1 )

+ 6( 2 )

+ (4 1 3 2 )LP IX IY I

+

+ 6(2

)

+ (2 3 2 )LJX JY J

v = (1 32

+ 2 3 )

+ ( 2 2

+ 3 )L

+ (3 2

2 3 )

+ ( 3

2 )LP IY I JY J

Matriz N

17u

1

6( 2 )

(1 + 4 3 2 )L

6( 2 )

(2 3 2 )L

IX P

=

... vP

0 1 3 2

+ 2 3

( 2 2

+ 3 )L

0 3 2 3

( + 3 )L

JMatriz de masas 1 1 0 0 0 0 3 6 13 6I

11L I

9 6I

13L I + +

0 + 35 5AL2

210 10AL

70 5AL2

420 10AL L2 2I +

13L I L2 I 0 Me =

AL

105 15A

420 10AL1

140 30A

0 0 3 13 6I

11L I simtrica

+ 35 5AL2

210 10AL

L 2 2I + 105 15A

T N

Elementos planos 2D 1 Me =

NT

N dv =

... N

...

N t dxdy 1 n T

Formulacin isoparamtrica

Nn

N N 00 N NN N 00 N N... N N 0... 0 N NN NN 00 N NN N 00 N N... N N 0... 0 NNN... ...N 00 N N... ...N N 00 N N... ... ...... N N 0... 0 N 1 1 1 2 1 n 1 1 1 2 1 n

+1 2 1 2 2 2 n Me =

tJ d d 2 1 2 2 2

n 1 n 1 n 2

n n n 1 n 2

n n

Elemento triangular de 3 nudos

19UV

1 u L 0 L 0 L

0 1 =

1 2 3

... v

0 L 0 L

0 L

L P L

1 2

3 1 2 3 U V

3

2 L1 33

Matriz de masas

L L

0 L L

0 L L 0 1 1 1 2 1 3 0 L L

0 L L

0 L L 1 1 1 2 1 3 L L

0 L L

0 L L 0 e 2 1 2 2 2 3

t dAM = 0 L L

0 L L

0 L L A

2 1 2 2 2 3 L L

0 L L

0 L L 0 3 1 3 2 3 3 0 L L

0 L L

0 L L

3 1 3 2 3 3

Elemento triangular de 3 nudos (cont.)

20Matriz de masas

Me =

At

2 00 21 00 11 00 11 00 1 2 00 21001 021 00 11 00 12012

m/12

m/6

m/12 m/6 m/6

Matriz de masas diagonal

1 00 10 0 0 00 0 0 00 00 0 1 0 00 1 000 010 00 00 0 10 0 0

m/12

m/3Me =

At 3

m/3 m/3

Misma inercia en las 3 direcciones. Acople entre los nudos.

Elementos espaciales slidos

N N

0 0 ... N N

0 0 1 1 1 n 0 N N

0 ... 0 N N 0 1 1 1 n 0 0

N N .. 0 0

N N

+1 1 1 1 n Me =

... ... ... ... ... ... ...

J d d d 1 N N

0 0 ... N N

0 0 n 1

0

N n N1

n n

0 ... 0

N n N n 0 0 0

N N ... 0 0

N N n 1

n n

W1 wu vU1V1

Q Formulacin con energa de cortadura (T. Mindlin)

Placas planas

22w = N i Wi

x =

N i xi

y =

N i yi

W1 x 1

n w3 w2 w N1

0 0 ... ... N n

0 0

y 1

3 Y3

2 Y2 = 0 N

0 ... ... 0 N

0 ...

x3 x 1

w4

w1 x2y

0 0

... ... 0 0

N n Wn 4 1

N1

Y1xn x4

Y4

x1yn

Me =

NT N dv

+1= NT1

N t J d d

Placas planas con energa de cortante (cont.)

N N

0 0 ... N N

0 0 1 1 1 n 0 N N

0 ... 0 N N 0 1 1 1 n

0 0

N N .. 0 0

N N +1 1 1 1 n Me =

... ... ... ... ... ... ...

tJ d d 1 N N

0 0 ... N N

0 0 n 1

0

N n N1

n n

0 ... 0

N n N n 0 0 0

N N ... 0 0

N N n 1

n n

w3 w2Y3

Y2Misma inercia al giroy al desplazamiento

w4

4

x4

Y4

3x3

w1

1

x1

2

Y1

x2

Q Fuerzas disipativas proporcionales a la velocidad

Amortiguamiento (I)

q Dx

c u x qD = qDy =

c u y

= c u q

Dz c u

z

Fuerzas nodales equivalentes:

Pe =

NT q

dv =

NT c u dv =

NT c N dv

e

= Ce

eD D v v v

Matriz de amortiguamiento:

Ce =

c Me

= Me

Q Tensiones proporcionales a la velocidad de deformacin unitaria

Amortiguamiento (II)

= D

D

Fuerzas nodales equivalentes

Pe =

BT

dv =

BT D dv

=

BT D B

edv

= Ce

eD D v v v

Matriz de amortiguamientoCe =

Ke

Q Considerando ambos efectos: amortiguamiento proporcional

Ce =

Me

+ Ke

Q Elemento e

Ecuaciones del movimiento

K + C

+ M

= Pv

+ Ps

+ PT

+ Pb

+ Pc

+ PNe e e e e e e e e e e e

Q Estructura (ensamblando)

P P

PK + C

+ M = Pv +

Ps + T + b + N