CAPTULO 3 Volume 1

FLEXO NORMAL SIMPLES Dimensionamento de Sees Retangulares

1

3.1 - Hipteses bsicas do dimensionamentoHiptese das sees planas Aderncia perfeita Despreza-se a resistncia trao do concreto

3.2 - Diagramas tenso-deformao dos materiaisc 0,85fcd

Concreto

sfyd

Ao

Es 1o u c

yd

s

o=2o/oo ; u=3,5o/oo

Es=200GPa = 20000kN/cm22

3.3 - Domnios de dimensionamento2o/oo 3,5o/oo a 3h/7 1 h 2 4 3 5 b 10o/oo 4a

yd

trao compresso

Reta a: trao simples. Reta b: compresso simples Flexo-trao: domnios 1, 2, 3 e 4. Flexo-compresso: domnios 2, 3, 4, 4a e 5.3

Rcc Md

Z

Equilbrio em flexo simples

Rsd

3,5o/oo

Domnios de dimensionamento na flexo simples

h

2 4 3

10o/oo

yd4

Peas subarmadas: rompem no domnio 2. A ruptura ocorre por deformao excessiva da armadura (ruptura convencional) sem haver o esmagamento do concreto. A ruptura dctil ou com aviso prvio (intensa fissurao). Peas normalmente armadas: a ruptura ocorre no domnio 3, com esmagamento do concreto e com escoamento da armadura. O tipo de ruptura semelhante ao das peas subarmadas. Peas superarmadas: a ruptura ocorre no domnio 4. O ao no escoa e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto. A ruptura frgil, brusca ou sem aviso prvio. Essas peas devem ser evitadas (com o emprego de armadura dupla).

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3.4 - Diagrama retangular para o concretocdx h 0,8x

Deformaes

Distribuio das tenses no concreto

cd = 0,85 f cd cd = 0,80 f cd

(sees retangulares em flexo normal, por exemplo);

(sees circulares, por exemplo).

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3.5 - Momento limite para sees retangulares com armadura simplesb = larguraMd h As linha neutra d

h = altura d = altura til

b

As = rea da seo da armadura tracionada

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Condio de deformao balanceadaCorresponde ruptura com distribuio de deformaes no limite entre domnio 3 e domnio 43,5o/oo xb d d-xbxb = b d3,5 o oo xb = d xb yd

b =

3,5 o oo 3,5 o + yd oo

yd

s depende do ao empregado.

b

Ao

yd o oob

CA-50 2,174 0,617

CA-60 2,609 0,573

Valores de yd e b para a condio balanceada.8

Durante muito tempo, essa condio foi usada como limite entre ruptura dctil e ruptura frgil. Esse critrio, inclusive, foi adotado na segunda edio de Curso de Concreto Armado. Com o uso de concretos de maior resistncia, deve-se adotar um critrio mais rigoroso, tal que lim lim

, adota-se armadura dupla, fixando-se que x=xlim.

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3.6 - Dimensionamento com armadura simplesdeformaes x tenses 0,8x

cd

Md h Asfyd

ds > ydresultantes 0,4x

bd Md

Rcc

Z

Seo com armadura simplesRcc = 0,8bx cd

Rsd

;

Z = d 0,4 x ; Rsd = As f yd16

Equilbrio de momentos:

M d Rcc Z = 0 M = 2d ; =x d bd cd

M d 0,8bx(d 0,4 x ) cd = 0

= 1,25(1 1 2 )

(1)

Equilbrio de foras:

Rsd = Rcc

As f yd = 0,8bx cd

Substituindo x = d

As = 0,8 bd

cdf yd

(2)

As equaes (1) e (2) permitem resolver o problema. A soluo nica: h duas equaes e duas incgnitas.17

3.7 - Dimensionamento com armadura duplaQuando > lim : Trs incgnitas: x , As e As .h A's As d

d'

Duas equaes de equilbrio. Soluo usual: fixamos x = xlim .

b

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Deformaes e resultantes das tenses na seo:o oo sd a s lim cclim

d lim

sd o oo s yd

x 3,5 0 00 xa a = a 0,26 = d d x a 10 0 00S consideramos o caso xlim>xa.

Final do domnio 2

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O dimensionamento com armadura dupla somente ser considerado para o caso em que lim a . Se for utilizado o recurso da redistribuio de momentos, pode ocorrer que lim < a , dependendo do valor adotado para o coeficiente de redistribuio .Nesse caso, recomendvel aumentar as dimenses da seo transversal, evitando-se o uso de armadura dupla no domnio 2. Observa-se que essa situao nunca ir ocorrer se for adotado = 1 (anlise sem redistribuio de momentos).

x d s = 3,5 o oo lim x lim

xlim = lim d

= d d

s = 3,5 o oo

lim lim lim a

Tenso na armadura:

sd = E s s f yd

lim > 20

Tabela 3.7.1 - Tenso sd (kN/cm2) na armadura de compressoConcreto

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

f ck 35 MPa CA-50 CA-60 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17

f ck > 35 MPa CA-50 CA-60 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,17 43,48 52,00 43,48 50,00

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Tabela 3.7.1 (continuao)

Concreto

0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20

f ck 35 MPa CA-50 CA-60 43,48 52,17 43,48 51,33 43,48 49,78 43,48 48,22 43,48 46,67 43,48 45,11 43,48 43,56 42,00 42,00 40,44 40,44 38,89 38,89

f ck > 35 MPa CA-50 CA-60 43,48 48,00 43,48 46,00 43,48 44,00 42,00 42,00 40,00 40,00 38,00 38,00 36,00 36,00 34,00 34,00 32,00 32,00 30,00 30,00

Essa tabela tambm mudou em relao ao Volume 1 de Curso de Concreto Armado, 2.ed.22

Equilbrio de momentos:

M d Rsd (d d ) Rcc lim Z lim = 0 M d lim = Rcc lim Z lim ; Rsd = As sd

As = As =

Introduzindo os adimensionaisEquilbrio de foras:

( lim )bd cd (1 ) sd

M d M d lim (d d ) sd

(1)

Rsd = Rsd + Rcc lim

As =

As sd + 0,8bxlim cd f yd

Introduzindo (1)

lim bd cd As = 0,8 lim + 1 f yd (2)

As equaes (1) e (2) permitem resolver o problema.23

3.8 - Roteiro para o dimensionamento de sees retangularesDados: b , h , d , d , f ck , f yk , M k . Valores requeridos: As e As . ; Md = f Mk c s Usualmente: c = 1,4 ; s = 1,15 ; f = 1,4 . M 2) = 2d bd cd 3) Sem redistribuio de esforos: lim = 0,45 , se f ck 35 MPa ; lim = 0,35 , se f ck > 35 MPa lim = 0,8 lim (1 0,4 lim ) Se usar redistribuio de esforos, lim dado nas equaes (3.5.3) e (3.5.4) em funo de . Os valores de lim e de lim podem ser lidos na tabela 3.5.1. 1)f cd = f ck

, cd = 0,85 f cd ;

f yd =

f yk

24

4) Se

lim armadura simples = 1,25(1 1 2 );

As = 0,8 bd

cdf yd

;

As = 0 .

5) Se

calcular

d e retirar sd da tabela 3.7.1; d ( lim )bd cd lim bd cd As = ; . As = 0,8 lim + (1 ) sd 1 f yd

> lim armadura dupla=

Observao: Empregando redistribuio de momentos

( < 1) ,

se resultar

lim < 0,26 e, simultaneamente, > lim , devem-se aumentar asdimenses da seo transversal. O mesmo deve ser feito se > lim .25

3.9 - Exemplos de dimensionamentopk 40 l=4m 15cm A's As 4 36

Concreto: fck = 20 MPa Ao: CA-50

Clculos preliminares:

f cd =

cdf yd

20 14 MPa f cd = 1,4 kN/cm2; c 1,4 = 0,85 f cd = 12 MPa; cd = 1,2 kN/cm2; f yk 50 = = = 43,48 kN/cm2. s 1,15 =26

f ck

Exemplo 1: Carga de servio pk=15 kN/m

p k l 2 15 x 4 2 Mk = = = 30 kNm 8 8

(momento fletor de servio)

M d = f M k = 1,4 x30 = 42 kNm (momento fletor de clculo)

=

Md bd cd2

=

4200 15 x36 x1,22

= 0,18

lim = 0,2952 (da tabela 3.5.1)

lim

armadura simples Soluo:

= 1,25(1 1 2 ) = 0,25As = 0,8 bd

As = 0

cdf yd

= 0,8 x0,25 x15 x36 x

1,2 43,48

As = 2,98 cm2

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Exemplo 2: Carga de servio pk=35 kN/m

p k l 2 35 x 4 2 Mk = = = 70kNm 8 8

M d = f M k = 1,4 x70 = 98 kNm lim = 0,2952 lim = 0,45tabela 3.5.1

=

Md bd 2 cd

=

9800 15 x36 2 x1,2

= 0,42

> lim = 0,2952

armadura dupla

=

d 4 = = 0,11 sd = 43,48 kN/cm2 (da tabela 3.7.1) d 36

As =

( lim )bd cd (1 ) sd

lim bd cd As = 0,8 lim + 1 f yd 28

As =

(0,42 0,2952)15 x36 x1,2 = 2,09 (1 0,11)43,48

cm2

0,42 0,2952 15 x36 x1,2 = 7,46 cm2 As = 0,8 x0,45 + 1 0,11 43,48

3.11 - Clculo da armadura mnimaAlm do dimensionamento no estado limite ltimo, deve-se especificar uma rea mnima da armadura tracionada para evitar uma ruptura brusca da seo na passagem do estado no fissurado (Estdio I) para o estado fissurado (Estdio II). A armadura tracionada deve ser suficiente para absorver o momento de fissurao Mr .

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Seo de concreto simples no estdio I

ch/2 h M

Rcc Z Rct

ct=cEquilbrio bh 2 Rct = ct ; Z = h 4 3Rcc = Rct Quando ct = f ct

M = Rcc Z

bh 2 Mr = f ct 6

30

Seo de concreto armado no estdio IIRcc Mr Z

Equilbrio: As ,min =

Mr Z f yd

Substituindo a expresso de M r :As,min fyd

As ,min

bh 2 f ct = 6Z f yd bh

Adotando Z 0,83h

f As ,min = 0,20 ct f yd

Adotando f ct = f ctk ,sup

As ,min

0,0784 f 2 3 ck = bh = min bh f yd

OBS: 1) f ck e f yd em MPa

2) min 0,15% .31

Tabela 3.11.1 - Taxas mnimas da armadura de flexo min (%) AO f ck (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 0,15 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 CA-50 0,15 0,15 0,15 0,16 0,18 0,19 0,20 CA-60Se a rea da armadura tracionada, As, obtida no dimensionamento for inferior rea mnima, deve-se adotar As=As,min. Nos exemplos apresentados: b=15 cm ; h=40 cm ; ao CA-50 ; fck=20 MPa

As ,min =

0,15 0,15 bh = x15 x 40 = 0,90 cm2 100 100

Esse valor inferior aos obtidos pelo dimensionamento. Portanto, iro prevalecer as armaduras efetivamente calculadas.32