1

t (detik) x (m)

0 0

1 2

2 16

3 54

4 128

=

DIFERENSIASI NUMERIKdy

DIFERENSIASI DANINTEGRASI NUMERIK

Misalnya: y = f(x), dan ingin dicari harga

Berdasarkan definisi matematika:

pada x = x0dx

dy lim f ( x + Δ x ) − f ( x )dx Δ x → 0 Δ x

Diferensiasi Numerik

(Forward, Central atau Centered, & Backward Difference; Turunan

Pertama &

Pada diferensiasi numerik yang sederhana, harga Δx → 0 didekati dengan sebuah bilangan kecil ε, sehingga akan diperoleh:

Kedua) Cara forward: dy ≈

f ( x + ε ) − f ( x )

Integrasi Numerik

dx ε

(Trapezoidal Rule & Simpson’s Rule; Lebar

Cara backward: dy ≈

f ( x ) − f ( x − ε )

Inkremen Tetap & Berubah)

dx ε

Cara central atau centered: dy ≈

f ( x + ε ) − f ( x − ε ) by: siti diyar kholisoh

Menurut teori:dx 2 ε

dy/analisis_numerik/april2007 diferensiasi dan integrasi numerik

♦ pendekatan dengan central merupakan yang terbaik.♦ makin kecil ε, hasil makin baik

d y d x

= ...?

Visualisasi Grafik

Nilai turunan y = f (x) pada x = xi dapat dievaluasi dengan memanfaatkan nilai-nilai x

Contoh Ilustratif:Pada gerak lurus suatu benda, posisi (jarak dari titik tertentu)benda tersebut pada berbagai waktu dapat dinyatakan dengan

xi di sekitar xi Æ dalam hal ini: xi-1 dan xi+1persamaan:

x = 2 t 3

y

14

i-1

2

2h

h h

i i+1

3y = f (x)

x

Keterangan:1: Forward

difference approx.

2: Backward difference approx.

3: Centered difference approx.

4: True derivative

dengan x dalam meter dan t dalam detik

Posisi benda pada berbagai waktu dapat dicari:

Kecepatan rata-rata:

dari t = 0 hingga t = 1…?

dari t = 1 hingga t = 2…?

dari t = 0 hingga t = 2…?

Kesimpulannya: …………….

2

Untuk kecepatan tetap:v =

jarak waktu Kecepatan sesaat:

x − xYang ditunjukkan oleh speedometer: kecepatan sesaat v = lim

t + Δ t t =

dx = x'

Misal, ingin dicari kecepatan sesaat pada saat t = 1

Hal ini dapat didekati dengan kecepatan rata-rata antara

Δ t → 0 Δ t dt

Bandingkan dengan diferensiasi secara analitik:t = 1 dan t = 1,1:

x − x 3 3 3 dx 2v = t = 1 , 1 t = 1 =

2 ( 1,1 ) − 2 ( 1 ) =

6 ,62

x = 2 t v = = 6 t1→1,1

Jika Δt yang dipakai1,1 − 1

0 ,1 dtPada t = 1: dx 2lebih kecil:

x − x 3 3v = = 6 ( 1 ) = 6

dtΔt = 0,01: v = t =1,01 t =1 =

2 ( 1,01 ) − 2 ( 1 ) = 6 ,06 t =1t =1

1→1,01 1,01 − 1

x − x

0 ,01

3 3

Kesimpulan:

JikaJika mmengguenggunnakanakan Δt yang makin kecil, maka nilai

Δt = 0,001: v = t =1,001 t =1 = 2 ( 1,001 ) − 2 ( 1 )

= 6

,006kecepatan rata-rata akan mendekati kecepatan

1→1,001 1,001 − 1

0 ,001 sesaat.

PENJABARAN FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan fo rward:2

PENJABARAN FIRST BACKWARD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pende k atan bac k ward:

f ( x ) = f ( x ) + h f ' ( x

) + h

f ' ' ( x

) + ...

…(*) h 2

i+1 i i 2

i

2

f ( xi−1 ) = f ( xi ) − h f ' ( xi ) +

2

f ' ' ( xi ) − ...

…(**)

f ( x ) − f ( x ) = h f ' ( x

) + h

f ' ' ( x

) + ... h 2

i+1 i i 2

i f ( xi ) − f ( xi−1 ) = h f ' ( xi ) −

2

f ' ' ( xi ) + ...

f ' ( x ) = f ( xi + 1 ) − f ( xi ) −

h f ' ' ( x )

− ... f ( xi ) − f ( xi −1 ) h

i h 2 i

Ο ( h )

≡ error

f ' ( xi ) =

3

+ f ' ' ( xi ) − ... h 2

Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga:Ο ( h )

≡ error

Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga:

f ' ( x ) ≅ f ( xi +1 ) − f ( xi

)(formula first forward

f ( x ) − f ( x ) (formula first backwardi

hdengan: h ≡ step size

finite-divided difference2 titik)

f ' ( xi ) ≅ i i −1

h

finite-divided difference2 titik)

2

2

4

PENJABARAN FIRST CENTERED FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Pendekatan centered menggabungkan kedua pendekatan sebelumnya:

PENJABARAN FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 3 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pende k atan f o rward:

2 3 h2 h3

f ( x ) = f ( x ) + h f ' ( x ) + h

f ' ' ( x ) + h

f ' ' ' ( x ) + ...

(*) f ( xi+1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) +

f ' ' ( xi ) +

f ' ' ' ( xi ) + ...

(*)

i+1 i i i i 2 62 3

2 3 f ( x ) = f ( x ) + 2h f ' ( x ) + ( 2 h )

f ' ' ( x ) + (

2 h ) + (***)f ( x ) = f ( x ) − h f ' ( x ) +

h f ' ' ( x ) −

h f ' ' ' ( x

) + ...(**) i+2 i i

2 i

6 f ' ' ' ( xi

)...

i−1 i i 2

i 6

iKalikan (*) dengan 4, selanjutnya kurangkan ke (***), maka:

Kurangkan (**) dari (*), maka:3 2h3

f ( x ) − f ( x ) = 2h f ' ( x ) + h

f ' ' ' ( x ) + ...

− f ( xi+2 ) + 4 f ( xi+1 ) − 3 f ( xi ) = 2h f ' ( xi ) −f ' ' ' ( xi ) − ...

i+1 i−1 i 3

i 3− f ( xi 2 ) + 4 f ( xi 1 ) − 3 f ( xi ) h 2

f ' ( x ) = f ( xi + 1 ) − f ( xi −1 ) −

h f ' ' ' ( x )

− ...

f ' ( xi ) = + + + f ' ' ' ( xi ) + ...

i

sehingga:

2h 6 i

Ο ( h2

)≡ error

2hsehingga:

3

Ο ( h2 ) ≡ error

f ' ( x ) ≅ − f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi )

f ' ( xi) ≅ f ( xi +1 ) − f ( xi −1

)

2h

(formula first centered finite- divided difference 2 titik)

i 2h

(formula first forward finite-divided difference 3 titik)

PENJABARAN SECOND FORWARD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 3 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pende k atan f o rward:

SECARA UMUMSecara umum, proses penjabaran diferensiasi numerik untuk kasus:

2 3f ( x ) = f ( x ) + h f ' ( x ) +

h f ' ' ( x ) +

h f ' ' ' ( x

) + ...(*) � Turunan yang melibatkan j u m lah titik d a t a leb i h b an y a k , a tau

i+1 i i 2

i 6

i

2 3 � Turunan yang lebih tinggi

f ( x) = f ( x ) + 2h f ' ( x ) +

( 2 h ) f ' ' ( x ) +

( 2 h ) f ' ' ' ( x )

+ ...(***) dapat dilakukan dengan mengekspansi deret Taylor di sekitar f (xi)

i+2 i i 2

i 6

idan mengikuti langkah-langkah manipulasi aljabar yang sama atau

Kalikan (*) dengan 2, selanjutnya kurangkan dari (***), sehingga:

f ( xi+2 ) − 2 f ( xi+1 ) + f ( xi ) = h2 f ' ' ( xi ) + h3 f ' ' ' ( xi

) + ...

f ' ' ( x ) = f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) − h f ' ' ' ( x

) − ...

analog dengan beberapa penjabaran di atas.

Secara umum, berla k u:

1. Hasil pendekatan turunan akan semakin baik jika:

i ih

sehingga:• h (step size) semakin kecil, a t au

5

f ( x ) − 2 f ( x

) + f ( x ) Ο ( h )

≡ error • menggunakan jumlah titik data semakin banyak

f ' ' ( xi ) ≅ i + 2 i + 1 i

h2

(formula second forward finite-divided difference 3 titik)

2. Pendekatan centered difference memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan forward dan backward difference.

Turunan pertama: Error

(2 titik) f ' ( x ) = f ( xi +1 ) − f ( xi ) Ο(h)

(3 titik) f ' ( x ) = − f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) Ο(h2)

Turunan kedua: Error

(3 titik) f ' ' ( x ) = f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) Ο(h)

(4 titik) f ' ' ( x ) = − f ( xi + 3 ) + 4 f ( xi + 2 ) − 5 f ( xi + 1 ) + 2 f

( xi )

Ο(h2)

Turunan pertama: Error

(2 titik) f ' ( x ) = f ( xi ) − f ( xi −1 ) Ο(h)

(3 titik) f ' ( x ) = 3 f ( xi ) − 4 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) Ο(h2)

Turunan kedua: Error

(3 titik) f ' ' ( x ) = f ( xi ) − 2 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) Ο(h)

(4 titik) f ' ' ( x ) = 2 f ( xi ) − 5 f ( xi −1 ) + 4 f ( xi − 2 ) − f ( xi

− 3 )

Ο(h2)

Turunan pertama: Error

(2 titik) f ' ( x ) = f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) Ο(h2)

(4 titik) f ' ( x ) = − f ( xi + 2 ) + 8 f ( xi +1 ) − 8 f ( xi −1 ) + f (

xi − 2 )

Ο(h4)

Turunan kedua:

Error

(3 titik) f ' ' ( x ) = f ( xi +1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi −1 ) Ο(h2)

(5 titik)f ' ' ( x ) =

− f ( x i + 2 ) + 16 f ( x i +1 ) − 30 f ( x i ) + 16 f ( x i −1 ) − f (

xi − 2 )Ο(h4)

2 2

2

6

Forward finite-divided-difference:UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Backward finite-divided-difference:UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

i h i

h

i 2h i

2h

i ih h

i 2 i 2

Centered finite-divided-difference:UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA CONTOH SOAL:

Gunakan finite divided difference approximation(forward, backward, dan centered) untuk

i 2h

i 12h

menentukan nilai turunan pertama dari fungsi:

f ( x ) = −0 ,1 x4 − 0,15 x3 − 0 ,5 x2 − 0 ,25 x + 1,2

pada x = 0,5, menggunakan step size h = 0,5. Ulangi perhitungan dengan menggunakan h = 0,25dan h = 0,1.i h

i 12 h2

Bandingkan hasil-hasilnya…!

t (menit) 0 5 8 10 12 15 17,5CA (mol/L) 4,0 2,25 1,45 1,0 0,65 0,25 0,06

i

7

CONTOH APLIKASI:Berikut ini adalah data kinetika sebuah reaksi homogen-searah dalam reaktor sistem batch isotermal (t [=] menit, C [=] mol.m-3):

t C t C t C t C t C

0 25,0000 25 7,1626 50 2,0521 75 0,5879 100 0,1684

5 19,4700 30 5,5783 55 1,5982 80 0,4579 105 0,1312

10 15,1633 35 4,3443 60 1,2447 85 0,3566 110 0,1022

15 11,8092 40 3,3834 65 0,9694 90 0,2777 115 0,0796

20 9,1970 45 2,6350 70 0,7549 95 0,2163 120 0,0620

d C

DERIVATIVES OF UNEQUALLY SPACED DATAUntuk sekumpulan data-data yang melibatkan interval x yang tidak sama (misal: data yang diperoleh dari eksperimen), nilaiturunannya dapat diperkirakan melalui pendekatan interpolasi polinomial Lagrange orde dua.

Dengan menggunakan 3 titik data yang berdekatan:

(xi-1, f (xi-1)), (xi, f (xi)), dan (xi+1, f (xi+1))

Melalui penurunan secara analitik, diperoleh:

f ' ( x ) = f ( x ) 2 x − xi − xi + 1

Tentukan nilai-nilai kecepatan reaksi: r = − ( xi−1 − xi )( xi−1 − xi+1 ) (x merupakand t 2 x − x − xpada setiap titik data, dgn menggunakan finite-divided differencecara: (a) forward, (b) backward, dan (c) centered atau central.

+ f ( xi ) i −1 i +1

( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )nilai yang ingindievaluasi

Bandingkan ketiganya dan bandingkan juga dengan penurunan+ f ( x + )

2 x − xi −1 − xi turunannya)

secara analitik (yakni dengan melalui proses curve-fitting) i 1 ( xi+1 − xi−1 )( xi+1 − xi )

CONTOH APLIKASI:Reaksi isomerisasi searah fase cair: A Æ Bberlangsung dalam sebuah reaktor batch, dan menghasilkan data konsentrasi A tersisa (CA) vs waktu (t) sbb.:

INTEGRASI NUMERIKPersoalan integrasi numerik:

1. Fungsi (persamaan) tunggal dengan variabel tunggal

(Trapezoidal rule; Simpson’s Rule) b

Misal: Penyelesaian integral berbentuk: ∫ f ( x ) dxa

Jika persamaan laju reaksi dinyatakan dalam bentuk:

yang akan dipelajari pada bagian ini

2. Bentuk persamaan diferensial (PD), baik tunggal maupun simultan

− rA = −d C Ad t

= k C An (Metode: Euler, Heun, Modified Euler; Runge-Kutta)

Mi s al: Penyelesaian PD berbentuk:

maka besarnya orde reaksi (n) dan laju reaksi spesifik (k)dapat ditentukan.

d C A

d y + P( x ) . y = Q( x )

d x(tunggal)

d y = f ( x, y , z )

d xd z

= f ( x, y , z )Gunakan diferensiasi numerik untuk menentukan:d t d x

(simultan)

⎠

8

FORMULA NEWTON-COTESFormula integrasi Newton-Cotes merupakan basis p enye l esaian integrasi n u merik untuk kasus persamaan dengan variabel tunggal.

Ide das a r: Menggantikan bentuk fungsi atau persamaan yang kompleks dengan data-data dalam bentuk tabel. Selanjutnya, dilakukan proses curve-fitting terhadap data-data tersebut, sehinggadiperoleh fungsi atau persamaan yang mudah diintegralkan.

TRAPEZOIDAL RULEMerupakan bentuk integrasi Newton-Cotes yang paling sederhana

Æ menggunakan pendekatan polino m ial or d e sa t u (linier)y

y = f (x)f (b)f (a)

Integral fungsi f (x) dari x = a hingga x = b dapat dituliskan sbb.:

bI = ∫ f ( x ) dx

a

Integral (I)

xden g an: f (x) ≡ fungsi polinomial berorder m

2 m−1 m

a bIntegral f (x) antara x = a dan x = b:

f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x

+ ... + am−1 x

+ am x b dengan:

Ingat kembali bahwa: Untuk membentuk polinomial berorder m, I = ∫ f ( x ) dx f ( b )− f ( a )

maka dibutuhkan sekurang-kurangnya (m+1) titik data. aorde satu

f ( x ) = f ( a ) +

b−a ( x − a )

TRAPEZOIDAL RULEb f ( b ) − f ( a )

I = ⎜ f ( a ) + ( x − a )⎟ dx

MULTIPLE-APPLICATION TRAPEZOIDAL RULE= Composite Trapezoidal Rule

Maka: ⎛∫ ⎜a ⎝

⎞b − a ⎟

Interval dari x = x0 = a dan y = f (x)

I = f ( a ).( b − a ) + f ( b ) − f ( a ) 1

( b −

a )2

b − a 2

I = ( b − a ). f ( a ) + ( b − a ) f ( b ) − f (

a )

2

x = xn = b dibagi menjadi bagian-bagian kecil

(inkremen atau segmen) yang masing-masing selebar h,

berjumlah n buah.

f (b)f (a)

… I

x

I = ( b − a ). f ( a ) + f (

b )(formula trapezoidal rule) h =

b − a =

xn − x 0 a b

2Secara geometri:

n n = x0 = xn

I bermakna luas daerah di bawah kurva y = f (x) Batas-batas interval diberi indeks 0, 1, 2, …, n shg: xi = x0 + i . h

9

Luas trapesium = lebar x rerata panjang sisi sejajar Masing-masing bagian dianggap berbentuk trapesium. Harga

Luas daerah yang diarsir: I = ( b − a ). f ( a ) + f (

b )

2

integral yang merupakan luas di bawah kurva y = f (x) dari x0 s.d xn

didekati dengan penjumlahan dari luas trapesium-trapesium tsb.

x x0 x1 x2 … xn-1 xn

y atau f (x)

y0atauf (x0)

y1atauf (x1)

y2atauf (x2)

…yn-1atau

f (xn-1)

ynatauf (xn)

x

x

x x x

x x

x0

b

a

0

1

Dengan demikian, jika tersedia data-data berikut:

CONTOH SOAL:

Perkirakan integral:

f ( x ) = 0 ,2 + 25 x − 200 x2 + 675 x3 − 900 x4 + 400 x5

n

maka: I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

dari a = 0 hingga b = 0,8

0

x x x dengan menggunakan metode trapezoidal:1 2 n

I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx

0 1 n−1

(a) 1 segmen,

(b) 2 segmen,

I = h f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + h

f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + " + h f ( x n −1 ) + f (

xn )Bandingkan hasil-hasilnya…!

2

h ⎡ n−1

2 2

⎤ (formula composite

(c) 4 segmen, dan(d) 20 segmen

I = ⎢ f ( x0 ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( xn )⎥trapezoidal rule)i=1

(Sebagai perbandingan, penyelesaian secara analitikJika jumlah n semakin besar, maka hasil integrasi akan semakin baik. untuk integral ini adalah 1,640533)

SIMPSON’S RULE Dengan demikian:2 ⎡ ( x − x ) ( x − x )

x x0 x1 x2

y atau f (x)

y0atauf (x0)

y1atauf (x1)

y2atauf (x2)

⎦

0

1

Æ menggunakan pendekatan polinomial orde dua (kuadrat) I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ⎢ 1 2 f ( x0 )

Jika tersedia 3 titik data:x ⎣⎢( x0 − x1 ) ( x0 − x2 )

( x − x ) ( x − x )+ 0 2 f ( x1 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )

+ ( x − x0 ) ( x − x1 ) f ( x

⎤)⎥ dxIntegral f (x) antara x = x0 dan x = x2: ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 )

2 ⎥

2

f ( x ) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) I = ∫ f ( x ) dx dengan: ( x0 − x1 ) ( x0− x2

f ( x0 )) Setelah melalui proses integrasi dan manipulasi aljabar, diperoleh:

x ( x − x ) ( x − x ) + 0 2 f ( x1 ) I ≅ [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )]orde dua ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )

+ ( x − x0 ) ( x − x1 ) f ( x

)

3 1/3 rule)

( x2 − x0 ) ( x2 − x1 ) 2 dengan: h h

x − x(Persamaan f (x) yang melalui ketiga titik data tsb. di atas dapat didekati dengan interpolasi polinomial Lagrange orde dua)

h = 2 0

2atau, secara grafik:

x0 x1 x2

x x x

x x x

⎢

x xx

x

−

⎝ A

x

x

n

a

0 A ⎠

⎠

1

MULTIPLE-APPLICATION SIMPSON’S 1/3 RULE= Composite Simpson’s 1/3 Rule

Identik dengan penurunan formula composite trapezoidal rule,metode ini dapat dijabarkan sbb.:

CONTOH SOAL:Perkirakan integral:

f ( x ) = 0 ,2 + 25 x − 200 x2 + 675 x3 − 900 x4 + 400 x5

n 2 4 n

I = ∫ f ( x ) = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... +

0 0 2

∫ f ( x ) dxn−2

dari a = 0 hingga b = 0,8

dengan menggunakan metode Simpson 1/3:

I = h

( f ( x ) + 4 f ( x

) + f ( x )) + h

( f ( x ) + 4 f ( x

) + f ( x ))

3 0 1 2

3 2 3 4 (a) 2 segmen,

+ ... + h

( f ( x

) + 4 f ( x

) + f ( x )) (b) 4 segmen, dan Bandingkan hasil-hasilnya…!

3 n−2

⎡ n−1

n−1 n

n−2 ⎤(c) 20 segmen

atau:I =

h ⎢ f ( x

3 0

⎣

) + 4∑ f ( xi ) + 2

i=1,3,5∑

j =2 ,4 ,6

f ( x j ) + f ( xn )⎥⎥⎦

Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh dengan metode trapezoidal…!

(formula composite Simpson’s 1/3 rule)

dengan: h = xn − x0

ndan n berupa bilangan genap

(Penyelesaian secara analitik untuk integral ini: 1,640533)

INTEGRASI DGN LEBAR SEGMEN TAK SAMAPada kebanyakan situasi, kasus integrasi dengan lebar segmen (atau inkremen) sama seringkali justru tidak banyak dijumpai. Misalnya,

CONTOH APLIKASI:Sebuah reaksi homogen fase gas: A Æ 3 Rmempunyai laju reaksi pada 215oC sebesar:

data-data yang diperoleh melalui eksperimen di laboratorium. − rA = 10−2 C 1 / 2A ( mol / liter .det ik )

Untuk kasus seperti ini, metode composite trapezoidal rule dapat diterapkan, dengan cara yang sangat identik dengan kasus lebar segmen yang sama.

Campuran reaksi yang berupa 50%-mol A dan 50%-mol inert diumpankan ke dalam sebuah reaktor alir pipa yang beroperasipada 215oC dan 5 atm. CA0 = 0,0625 mol/liter. Tentukan space-time

b x yang dibutuhkan agar tercapai konversi A 80%.I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

0

1 2 n

Keterangan:Persamaan kinerja reaktor alir pipa:

I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx 1 / 2

x x x X Af d XX Af d X C 1 / 2 0 ,8 ⎛ 1 + ε X ⎞

0 1 n−1

A A A0 ⎜ A A ⎟ f ( x0 ) + f ( x1 ) + h

f ( x1 ) + f ( x2 ) + " + h f ( xn −1 ) + f ( xn )

τ = CA0 ∫ = CA0 ∫0 A 0

1 / 2 =

k1 / 2 ⎜ 1 − X A ⎟

∫ ⎜ 1 − X ⎟d X A

1 2

2 2

n 2 k C A0

⎛ ⎞⎜ 1 + ε A X ⎟

dengan: hi ≡ lebar segmen ke − i

1

(i = 1, 2, …, n)

Pada kasus ini: εA = 1

di bawah

A

⎜

1

Penyelesaian:

Metode yang bisa ditempuh:

Integral ≈ luas daerah CONTOH APLIKASIKANDUNGAN AIR dalam PADATAN BASAH

Misal suatu padatan bentuk bola berjari-jari R, mengandung1. Integrasi secara grafik air dengan kadar tidak seragam:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞2

⎜ g H 2 O ⎟ ⎜ r ⎟2. Integrasi secara analitik C ⎜ cm3 ⎟ = Co 1 −

⎜ R ⎟3. Integrasi numerik

Penyelesaian secara analitik:

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dengan r = jarak ke pusat bola. Ingin dicari jumlah air yang ada dalam padatan (m) dan kadar air rata-ratanya (Cav)

Analisis:

0 ,8 ⎛ 1 / 2⎞ 0 ,8 Misal:

⎜ 1 + X A ⎟0 ,8 1 + X

d X = d X= arc sin X − 1 − X 2 = 1,328

∫ ⎜ ⎟ A ∫ A A A Ditinjau elemen volume dengan tebal dr (≈ 0)0 ⎝ 1 − X A ⎠ 0 1 − X A

2 0

RJumlah air pada elemen volume = dm

r

Coba Anda ulangi kembali melalui p e n y elesaian s ec a ra numerik ! (Silakan pilih sendiri metode yang akan Anda gunakan…)

dr Karena dr sangat kecil, maka kadar air padabagian tersebut praktis dapat dianggap seragam, sehingga:

dm = 4.π.r2.dr.C(massa H2O = volume x kadar)

Dengan integrasi diperoleh:

Latihan Soal #:Tentukan nilai turunan pertama fungsi-fungsi berikut dengan pendekatan forward difference (2 titik (Ο(h)) dan

m =m r = R 3 titik (Ο(h2))), backward difference (2 titik (Ο(h)) dan 3∫ dm = 4 .π .m =0

∫ r 2 .C .dr

r =0

r =R 2

titik (Ο(h2))), serta central/centered difference (2 titik(Ο(h2)) dan 4 titik (Ο(h4))):

m = 4.π.Co . ∫ r

2 . 1 − ⎛ r ⎞

R.dr (a) y = x 3 + 4 x − 15

r =0 ⎝ ⎠

Jika diambil: C0 = 0,3 g/cm3; R = 5 cm

Dengan integrasi numerik, diperoleh:

m = …….. g

Kadar air rata-rata:

(b)

pada x = 0, dengan lebar langkah h = 0,5, h = 0,2, dan

h = 0,1

y = e x + xpada x = 1, dengan lebar langkah h = 0,25, h = 0,1,

dan h = 0,05

C = massa

= m

= ....... g

Bandingkan dan berikan analisis terhadap hasil perhitungan

av volume 4

3 π R3

cm3 yang Anda peroleh! Bandingkan juga dengan hasil yangdiperoleh melalui perhitungan secara analitik!

Latihan Soal #3:

Pada suhu tetap, sebuah proses termodinamika mengukur perubahan tekanan terhadap perubahan volume sistem, dan diperoleh data berikut:

Tekanan, P (kPa) 420 368 333 326 316 312 242 207

Volume, V (m3) 0,5 2 3 4 6 8 10 11

Hitunglah kerja (W) yang terlibat selama proses tersebut, dengan integrasi secara numerik.Diketahui: W = ∫ P dV

1

Latihan Soal #:

Data berikut ini dikumpulkan pada saat pengisian tangki bahan bakar minyak:

t, menit 0 15 30 45 60 90 120

V, 106 barrel 0,5 0,65 0,73 0,88 1,03 1,14 1,30

Hitunglah laju alir minyak yang terkumpul pada setiap waktu pengamatan (Q = dV/dt).

Latihan Soal #4:

Kapasitas panas air (H2O(l)) sebagai fungsi suhu dapat dinyatakan dalam persamaan:

Cp = 8 ,712 + 1,25.10 −3 T − 0 ,18.10−6 T 2

R

R = tetapan gas universal.(T dalam Kelvin)

Hitunglah besarnya panas sensibel (Q) yang dibutuhkan untuk memanaskan 1 mol air dari T = 25oC hingga T = 85oC. Gunakan integrasi secara numerik dengan metode (a) trapezoidal, dan (b) Simpson 1/3. Gunakan interval T sebesar5oC.

Panas sensibel per mol: Q = ∫ Cp dT