Diagrammi di Nyquist - schoolofnerd · 2 Automatici” Universita` di Padova Diagrammi di Nyquist...

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1 A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova Diagrammi di Nyquist Diagramma di Nyquist (o polare): curva nel piano complesso parametrizzata in ω : ImG(jω) in funzione di ReG(jω)) Real Axis Imaginary Axis 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 G(jω 1 ) G(jω 2 ) G(jω 3 ) G(jω 4 )

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a Diagrammi di Nyquist

•  Diagramma di Nyquist (o polare): curva nel piano complesso parametrizzata in ω :

•  ImG(jω) in funzione di ReG(jω))

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02

0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

G(jω1) G(jω2)

G(jω3) G(jω4)

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•  Sono di particolare importanza nello studio della stabilita` dei sistemi dinamici

•  Si tracciano per valori di ω≥0, per ω≤0 il diagramma si ottiene per simmetria rispetto all’asse reale (G(-jω)= G*(jω))

•  Si possono costruire per via grafica a partire dalla forma fattorizzata di G(jω)

•  Non ci sono “regolette” generali come nel caso dei diagrammi di Bode

•  Si possono ricavare ImG(jω) e ReG(jω) da G(jω) e si possono valutare in regioni di interesse

•  Ci si aiuta con i diagrammi di Bode

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a Diagrammi di Nyquist

•  Esempio:

G(s) =s

(s+1)(s+ 2)=12

s(1+ s)(1+ s /2)

•  K0=1/2 ⇒ |K0|dB=-6dB

•  τ1=1, τ2=1/2 ⇒ punti di spezzamento 1/τ1=1, 1/τ2=2 €

G( jω) =jω

( jω +1)( jω + 2)=

jω−ω 2 + 3 jω + 2

=jω

( jω +1)( jω + 2)(− jω +1)(− jω + 2)(− jω +1)(− jω + 2)

=jω(−ω 2 − 3 jω + 2)(ω 2 +1)(ω 2 + 4)

=3ω 2 + jω(2 −ω 2)(ω 2 +1)(ω 2 + 4)

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a Diagrammi di Nyquist

•  Diagrammi di Bode:

10 -1 10 0 10 1 -30

-20

-10

0

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10 -1 10 0 10 1 -90

0

90

Frequency (rad/sec)

Phas

e de

g -6

2

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a Diagrammi di Nyquist

•  Informazione qualitativa:

•  |G(jω)| presenta un massimo tra 1 e 2 rad/s; in corrispondenza di tale massimo argG(jω) ≈ 0

•  |G(jω)| → 0 per ω → 0 , ω → +∞

•  argG(jω) e` una funzione monotona decrescente

•  argG(jω) → π/2 per ω → 0

•  argG(jω) → -π/2 per ω → +∞

•  Questo permette di capire il comportamento per ω “grandi” e ω “piccoli”

•  Si puo` studiare analiticamente l’andamento per valori particolari di ω

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a Diagrammi di Nyquist

•  Andamento in punti notevoli:

G( jω) =3ω 2

(ω 2 +1)(ω 2 + 4)+ j ω(2 −ω 2)(ω 2 +1)(ω 2 + 4)

=ℜeG( jω) + jℑmG( jω)

ℜeG(jω) = 0 ω = 0ℑmG(jω) = 0 ω = 0 ω = ± 2

ℜeG( j 2) =13

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-0.15

-0.05 Imag

inar

y Axis

Real Axis

Nyquist Diagrams

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.2

-0.1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

G(j0) G(j√2)

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a Diagrammi di Nyquist

•  Si puo` dimostrare che il diagramma di Nyquist e` una circonferenza di centro 1/6 e raggio 1/6

•  Il massimo di |G(jω)| si ottiene per ω= √2

•  A meta` tra i due punti di spezzamento l’effetto della presenza dello zero viene annullato da quello dei due poli

xM =log1+ log2

2=log(1⋅ 2)2

= log21/2 = log 2

•  Per ω= √2, ImG(jω)=0, ReG(jω)>0 ⇒ ArgG(jω)=0

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a Diagrammi di Nyquist

•  Sui diagrammi di Bode:

10 -1 10 0 10 1 -30

-20

-10

0

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10 -1 10 0 10 1 -90

0

90

Frequency (rad/sec)

Phas

e de

g -6

2

ω= √2

20log0.3 ≈-10dB

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a Comportamento per ω → 0+

•  Comportamento per ω → 0+ : per ω molto piccoli, riferendosi alla forma di Bode di G(jω)

G( jω) ≅ ( jω)hK0 = j h (K0ωh )

•  h: eccesso zeri/poli nell’origine

•  h>0: G(jω) ≈ 0 per ω ≈ 0

•  il diagramma di Nyquist parte dall’origine

•  arg G(jω) ≈ hπ/2 se K0>0

•  arg G(jω) ≈ hπ/2+π se K0<0

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a Comportamento per ω → 0+

•  h<0: G(jω) ≈ ∞ per ω ≈ 0+

•  il diagramma di Nyquist parte dall’infinito

•  arg G(jω) ≈ |h|(-π/2) se K0>0

•  arg G(jω) ≈ |h|(-π/2) +π se K0<0

•  Il diagramma puo` andare all’infinito con un asintoto

•  Esempio:

G(s) =1

s(s+1)

G( jω) =1

jω( jω +1)=

− jω( jω +1)

= −ω + j

ω(ω 2 +1)=

−1(ω 2 +1)

+ j −1ω(ω 2 +1)

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a Comportamento per ω → 0+

limω→0

ℜeG( jω) = limω→0

−1(ω 2 +1)

= −1

limω→0

ℑmG( jω) = limω→0

−1ω(ω 2 +1)

= −∞

asintoto verticale passante per -1

•  h=0: G(jω) ≈ K0 per ω ≈ 0+

•  il diagramma di Nyquist parte da un punto dell’asse reale

•  direzione di partenza: considero G’(s)=G(s)-K0 (versione traslata di G(s)) che ha h=1 e come prima ...

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a Comportamento per ω → +∞

•  Comportamento per ω → +∞ : consideriamo due casi

•  m = deg(N(s)) < n = deg(D(s)) (funzioni razionali strettamente proprie). Per ω grandi

G( jω) = K sm + bm−1sm−1 +…+ b0

sn + an−1sn−1 +…+ a0 s= jω

≅ K 1( jω)n−m

≅ 0

argG( jω) ≅ arg K 1( jω)n−m

=

−π2(n −m) K > 0

−π2(n −m) + π K < 0

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a Comportamento per ω → +∞

•  Proseguimento dell’esempio:

ω ≅ +∞ : argG( jω) ≅ arg − 1ω 2

= −π = −2π

2= −(n −m)π

2

ω ≅ 0+ : argG( jω) ≅arg 1jω

= −

π2

= −1⋅ π2

= −h ⋅ π2

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a Comportamento per ω → +∞

Frequency (rad/sec)

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Bode Diagrams

-80 -60 -40 -20 0 20 40

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -160 -140 -120 -100

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

real axis

imag

inar

y ax

is

ω→0+

ω→+∞

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a Comportamento per ω → +∞

•  m=deg(N(s))=n=deg(D(s)) (funzioni razionali proprie non strettamente). Per ω grandi

limω→∞

G( jω) = limω→∞

K sm + bm−1sm−1 +…+ b0

sn + an−1sn−1 +…+ a0 s= jω

= K

•  Il diagramma va a finire sull’asse reale

•  direzione di arrivo: considero G”(s)=G(s)-K (versione traslata di G(s)) che ha grado relativo >0 e come prima ....

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a Il criterio di Nyquist

•  Problema fondamentale nel progetto di dispositivi di controllo: studiare il comportamento del dinamico del sistema in retroazione noto quello del sistema stesso in catena aperta

•  Studio della stabilita` di un sistema in retroazione:

•  studio diretto a partire dall’espressione della funzione di trasferimento in catena chiusa (ad es. tramite il criterio di Routh)

•  Criterio di Nyquist: nota la funzione di risposta armonica di un sistema, permette di determinare per via grafica la stabilita` del sistema in catena chiusa

•  Dà ulteriori indicazioni utili per il progetto di controllori

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a Il criterio di Nyquist

•  Funzione di trasferimento del sistema in catena chiusa:

G(s) r y

-

+ e

Y (s)R(s)

=G(s)1+G(s)

= T(s)

•  Per determinare la stabilita` BIBO di T(s) si deve verificare se esistono zeri di 1+G(s) con parte reale in Re[s] ≥ 0

•  A tale scopo si puo` utilizzare un risultato fondamentale dell’analisi complessa noto come lemma dell’indicatore logaritmico o principio dell’argomento

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a Il criterio di Nyquist

•  Si consideri la funzione razionale

H(s) =(s− z1)(s− z2)(s− p1)(s− p2)

•  Si vuole valutare H(s) per s ∈ γ, con γ curva chiusa in C

•  Per ogni s0 ∈ γ

α = ArgH(s0) = Arg(s0 − z1) + Arg(s0 − z2) − Arg(s0 − p1) + Arg(s0 − p2)( )= θi − φi∑∑

•  Quando s0 percorre completamente γ in senso orario, il contributo complessivo di ciscun termine θi e φi alla variazione di fase di H(s) e`

•  nullo se zi o pi e` posto esternamente alla curva γ

•  ±2π se zi o pi e` posto internamente alla curva γ

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a Il criterio di Nyquist

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3

-2

-1

0

1

2

3

p1

z2

z1

s0

p2 φ2

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a Il criterio di Nyquist

variazione totale di φ2 :

φ2(2π)- φ2(0)=0

0 10 20 30 40 50 60 70 -50 -40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

θ

arg(

s-p2

)

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a Il criterio di Nyquist

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3

-2

-1

0

1

2

3

p1

z2

z1 s0

p2 φ2

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a Il criterio di Nyquist

variazione totale di φ2:

φ2(2π)- φ2(0)=-2π

0 10 20 30 40 50 60 70 -200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

θ

arg(

s-p2

)

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a Il criterio di Nyquist

•  Ogni volta che la fase di H(s) ha una variazione di 2π (- 2π), il diagramma di H(s) circonda una volta l’origine in verso antiorario (orario)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

ReH(s) Im

H(s)

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 -0.2 -0.15 -0.1

-0.05 0

0.05 0.1

0.15 0.2

ReH(s)

ImH(

s)

p2 esterno a γ p2 interno a γ

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a Il principio dell’argomento

•  Principio dell’argomento: Sia

γ : [a,b] → Ct → γ(t)

una curva semplice chiusa in C e percorsa in senso orario, e sia F(s) una funzione razionale priva di zeri e poli su γ. Allora

F(γ) : [a,b] → Ct → F(γ(t))

e` una curva chiusa in C e il numero N di aggiramenti in senso orario dell’origine di F(γ) e` dato da N=Z-P dove

•  Z: # di zeri di F(s) dentro γ (contati con la molteplicita`)

•  P: # di poli di F(s) dentro γ (contati con la molteplicita`)

•  Equivalentemente, il numero N’ di aggiramenti antiorari dell’origine di F(γ) e` dato da N’=-N=-(Z-P)=P-Z

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a Il principio dell’argomento

x x

x x

γ C F(γ)

C F(.)

Z=2 P=4

N=2-4=-2 N’=4-2=2

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a Il percorso di Nyquist

•  Stabilita` del sistema in catena chiusa ⇒ studio della posizione degli zeri di 1+G(s) ⇔ poli di T(s)

•  Stabilita` BIBO ⇔ non vi sono zeri di 1+G(s) in Re[s] ≥ 0

•  Il principio dell’argomento permette di trarre informazioni sul numero di zeri e poli di una funzione F(s) collocati all’interno di una regione di interesse (delimitata dalla curva chiusa γ)

•  F(s)=1+G(s)

•  γ : curva chiusa che delimita l’intera regione Re[s] > 0 (“percorso di Nyquist”)

•  obiettivo: determinare quanti sono gli zeri di F(s) che cadono nel semipiano Re[s] > 0

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a Il percorso di Nyquist

•  Possibile scelta per γ : concatenazione di γ1, γ2, γ3

jR

-jR

γ1: jω, ω=0 → ω=R

γ2: Rejϑ, ϑ =π/2 → ϑ =- π/2

γ3: jω, ω=-R → ω=0

Per R “grande” (tendente all’infinito), γ racchiude tutto Re[s]>0

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a Il percorso di Nyquist

•  F(γ) : concatenazione di F(γ1), F(γ2), F(γ3)

•  Per R → ∞, F(γ1)=F(jω)=1+G(jω), con ω ∈ [0, ∞] ⇒ legata alla risposta armonica G(jω) per pulsazioni positive ⇒ diagramma di Nyquist per pulsazioni positive

•  Per R → ∞, F(γ3)=F(jω)=1+G(jω), con ω ∈ [-∞,0] ⇒ legata alla risposta armonica e al diagramma di Nyquist di G(jω) per pulsazioni negative (per simmetria)

•  Per R → ∞, F(γ2) descrive il comportamento all’infinito (“passaggio” dalle pulsazioni positive a quelle negative per “chiudere” la curva)

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Per applicare il principio dell’argomento: contare gli aggiramenti (in senso orario) di F(γ)=1+ G(γ) attorno al punto 0+j0 del piano complesso ⇔ aggiramenti di G(γ) attorno al punto -1+j0

•  G(γ): diagramma di Nyquist completo di G(s)

•  N= # di aggiramenti del diagramma di Nyquist di G(s) attorno al punto critico -1+j0

G(s) =b(s)a(s)

⇒ F(s) =1+G(s) =1+b(s)a(s)

=a(s) + b(s)

a(s)

•  Zeri di F(s) ⇔ poli di T(s)

•  Poli di F(s) ⇔ poli di G(s)

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Ipotesi nel principio dell’argomento: F(s) non ha ne’ zeri ne’ poli su γ

•  Ipotesi:

•  G(s) non ha poli sull’asse immaginario

•  G(∞) ≠ -1 (non ci sono poli “all’infinito” di T(s))

•  il diagramma di Nyquist completo di G(s) non passa per il punto critico -1+j0 (T(s) non ha poli sull’asse immaginario)

•  Osservazione: se G(∞) = -1, T(s) non e` propria ...

•  Sia noto il numero P di poli di G(s) (=poli di F(s)) in Re[s]>0)

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A. B

eghi

“Fon

dam

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di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Per via grafica e` possibile determinare N (positivo in senso orario); P e` noto per ipotesi; vale N=Z-P.

•  Z = # zeri di F(s) in Re[s]>0 = # poli di T(s) in Re[s]>0 = N+P •  Z=0 ⇒ -N=P

•  Criterio di Nyquist: nelle ipotesi viste, condizione necessaria e sufficiente perche’ il sistema in retroazione unitaria sia BIBO stabile e` che il diagramma completo di Nyquist di G(s) circondi il punto critico -1+j0 in senso antiorario tante volte quanti sono i poli di G(s) in Re[s]>0

•  Osservazione: ogni giro in meno in senso antiorario, od ogni giro in piu` in senso orario, corrisponde ad un polo di T(s) in Re[s]>0

•  Se la retroazione non e` unitaria, si sostituisce G(s) con il guadagno di anello L(s)

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A. B

eghi

“Fon

dam

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di C

ontro

lli A

utom

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Criterio ridotto di Nyquist: se il sistema in catena aperta non ha poli in Re[s]>0, condizione necessaria e sufficiente perche’ il sistema in retroazione unitaria sia BIBO stabile e` che il diagramma completo di Nyquist di G(s) non circondi il punto critico -1+j0 .

•  Esempio: il termine in catena diretta sia

KG(s) =K

(s+1)(s+ 2)(s+ 3)=

K /6(1+ s)(1+ s /2)(1+ s /3)

•  KG(s) soddisfa le ipotesi ed e` BIBO stabile per ogni K>0 ⇒ P=0

•  Stabilita` del sistema in catena chiusa al variare di K

•  Diagrammi di Bode per K=1

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A. B

eghi

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ontro

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utom

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rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

10 -1 10 0 10 1 -80 -60 -40 -20

0

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10 -1 10 0 10 1 -270 -225 -180 -135

-90 -45

0

Frequency (rad/sec)

Phas

e de

g

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A. B

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“Fon

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di C

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rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Scomposizione in parte reale e parte immmaginaria:

G( jω) =K6(1−ω 2)

(1+ω 2)(4 +ω 2)(9 +ω 2)+ j Kω(ω 2 −11)(1+ω 2)(4 +ω 2)(9 +ω 2)

•  Diagrammi di Nyquist (scala corrispondente a K=1) €

ℜe G( jω)[ ] ℑm G( jω)[ ]ω = 0 K /6 0

ω = ± 11ω = ±1

−K /600

0K /10

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A. B

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“Fon

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di C

ontro

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utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

ω<0 ω=-1

ω>0

K/6 K/60, ω=±√11

ω=1

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A. B

eghi

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di C

ontro

lli A

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Al crescere di K>0 il diagramma “si espande”

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

10

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rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Intersezione con il semiasse reale negativo: -K/60

•  P = 0

•  N = Z-P

•  per 0<K<60 il diagramma non aggira il punto critico -1+j0 ⇒ N=0 ⇒ Z= # poli di T(s) in Re[s]>0 = 0 - 0 ⇒ T(s) BIBO stabile

•  per K=60 il diagramma di Nyquist passa per il punto critico ⇒ viola le ipotesi ma implica che T(s) ha poli sull’asse immaginario ⇒ T(s) non e` BIBO stabile

•  per K> 60 il diagramma di Nyquist compie due giri attorno al punto critico in senso orario ⇒ N=2 ⇒ Z= N+P= 2+0=2 poli in Re[s]>0 ⇒ T(s) non e` BIBO stabile

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A. B

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di C

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utom

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Al crescere di K>0, il sistema diventa sempre piu` “vicino” all’instabilita`

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

0 5 10 15 20 -15

-10

-5

0

5

10

15

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A. B

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` di P

adov

a Il criterio di Nyquist

•  Verifica mediante il criterio di Routh:

riga 3 1 11riga 2 6 6+Kriga 1 (60-K)/6riga 0 6+K

•  per 0<K<60 ⇒ np=3 ⇒ BIBO stabile

•  per K=60 ⇒ riga nulla ⇒ una radice in Re[s]<0, due radici immaginarie pure

•  per K>60 ⇒ np=1, nv=2 ⇒ una radice in Re[s]<0, due in Re[s]>0

T(s) =K

s3 + 6s2 +11s+ 6 + K

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A. B

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` di P

adov

a Estensioni del criterio di Nyquist

•  “Rilassamento” delle ipotesi del criterio di Nyquist:

•  il diagramma di Nyquist di G(s) passa per il punto critico ⇒ T(s) ha poli immaginari ⇒ no BIBO stabilita`

•  G(s) con poli sull’asse immaginario (diagrammi di Nyquist “aperti”) ⇒ modifica del “percorso di Nyquist”

•  Intuitivamente: si “aggirano” i poli sull’asse immaginario e li considera facenti parte di uno dei due semipiani (tipicamente, il semipiano Re[s]<0 ⇒ considerati poli “stabili” in modo da non alterare P)

•  Si ottiene il cosiddetto “percorso uncinato”

•  Aggiro i poli immaginari con semicirconferenze di raggio “piccolo” percorse in senso antiorario

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A. B

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nive

rsita

` di P

adov

a Estensioni del criterio di Nyquist

jR

-jR

Equazione della semicirconferenza di raggio ε centrata in 0:

εe jϑ −π2≤ϑ ≤

π2

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A. B

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di C

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Estensioni del criterio di Nyquist

•  Trasformazione delle semicirconferenze secondo G(s):

G(s) =1sµ

˜ G (s) , ˜ G (0) = cost.≠ 0

G εe jϑ( ) =1

εe jϑ( )µ

˜ G εe jϑ( )

≈˜ G 0( )ε( )µ e− jϑµ = Me− jϑµ

•  Immagine della semicfr. di raggio ε percorsa in senso antiorario secondo un angolo di π : curva circolare di raggio tendente a ∞ percorsa in senso orario (da ω= 0- a ω= 0+) secondo un angolo di -µπ

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A. B

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utom

atic

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nive

rsita

` di P

adov

a

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

Esempi

•  Esempio: il termine in catena diretta sia

G(s) =K

s(s+10)

ω=0+

ω→+∞

ω=0-

ω→-∞

ω=0-

ω=0+

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A. B

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lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Esempi

•  Asintoto verticale:

G ( jω) =−K

100+ω 2 − j10K

ω 100+ω 2( )•  per ω → 0, ReG(j ω) → -K/100

•  Il diagramma completo non circonda mai il punto critico

•  N=0, P=0 ⇒ Z=P+N=0

•  In effetti, in catena chiusa T(s) ha denominatore s2+10s+K ⇒ Regola di Cartesio ⇒ due radici in Re[s]<0 per ogni K>0

•  Osservazione: anziche’ considerare gli aggiramenti del punto -1+j0 al variare di K, si possono considerare gli aggiramenti del punto -1/K

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A. B

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utom

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Esempi

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

-1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3

K1

K2

Imag

inar

y Axis

-5 -6 -4 -2 0 2 4 6

Real Axis

Nyquist Diagrams

0 5 10

-1/K2

-1/K1

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A. B

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di C

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utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Esempi

•  Esempio: il termine in catena diretta sia

G(s) =K

s(s+ 2)(s+ 6)

ω=0-

ω=0+

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

ω=0-

ω→-∞

ω=0+

ω→+∞ -1/K

N=0, Z=P+N=0

-1/K

N=2, Z=P+N=2

-1/K

N=1, Z=P+N=1

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A. B

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“Fon

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di C

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lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Esempi

•  Esempio: il termine in catena diretta sia

G(s) =K(s+1)s2(s+ 4)

G( jω) = K 4 +ω 2

−ω 2 16 +ω 2( )+ jK 3

−ω 16 +ω 2( )

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

TextEnd

Bode Diagrams

-50 0

50

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -170 -160 -150

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A. B

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nive

rsita

` di P

adov

a Esempi

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

ω=0+

ω→+∞

ω=0-

ω→-∞ Molteplicita` del polo nell’origine: µ=2

angolo -µπ=-2π

N=0, P=0 ⇒ Z =P+N =0

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A. B

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nive

rsita

` di P

adov

a Esempi

•  Esempio: il termine in catena diretta sia

G(s) =K(s+1)2

s2(s− 2)

G ( jω) = K 2− 4ω 2

ω 2 4 +ω 2( )+ jK 5−ω 2

ω 4 +ω 2( )

10 -1 10 0 10 1 -40 -20

0 20 40

Frequency (rad/sec) G

ain

dB

10 -1 10 0 10 1 -360 -270 -180

-90 0

Frequency (rad/sec)

Phas

e de

g

G(s) = −12K(1+ s)2

s2(1− s /2)

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A. B

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“Fon

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di C

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lli A

utom

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Esempi

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3

-2

-1

0

1

2

3

ω=0+

ω→+∞

ω=0-

ω→-∞ -1/K

N=-1, P=1 ⇒ Z=P+N =0

-1/K

N=0, P=1 ⇒ Z=P+N =1

-1/K

N=1, P=1 ⇒ Z=P+N =2

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A. B

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` di P

adov

a Margini di stabilita ̀

•  In molte situazioni pratiche si ha interesse a dare una misura della “prossimita`” di un sistema all’instabilita`

•  incertezza nella descrizione del sistema

•  indicazioni su quanto si puo` “forzare” il sistema con il controllo

•  indicazioni sulla “robustezza” del sistema di controllo nei confronti di fenomeni perturbativi

•  Tecniche raffinate per affrontare tali problemi

•  Metodi molto semplici per una classe particolare di sistemi, che si incontra pero` frequentemente nella pratica

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A. B

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lli A

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Margini di stabilita ̀

•  Ipotesi sulla f.d.t. G(s) del sistema:

•  G(s) non ha poli in Re[s]>0

•  G(s) e` strettamente propria

•  Il diagramma di Nyquist (per ω≥0) interseca una sola volta la circonferenza unitaria

•  Il diagramma di Nyquist (per ω≥0) interseca una sola volta il semiasse reale negativo

•  |G(jω)| e` una funzione monotona decrescente di ω

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A. B

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Margini di stabilita ̀

Imag

inar

y Axis

Real Axis

Imag

inar

y Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 -1.5

-1 -0.5

0 0.5

1 1.5

2

Real Axis

TextEnd

Nyquist Diagrams

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 -1.5

-1 -0.5

0 0.5

1 1.5

2

Imag

inar

y Axis

A A

B B

•  ωA: pulsazione di attraversamento (della cfr. unitaria)

•  ωB: pulsazione di attraversamento del semiasse reale negativo

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A. B

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“Fon

dam

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di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a

TextEnd

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Margine di fase

•  Criterio ridotto di Nyquist: il sistema a catena chiusa e` stabile se e solo se il punto A si trova al disotto del semiasse delle ascisse ossia se e solo se

Arg G( jωA )[ ] > −π

K1 < K2 < K3 < K4

K2

A2

K1

A1

K3

A3

K4

A4

ArgG(jωA4)< ArgG(jωA3)< ArgG(jωA2)< ArgG(jωA1)

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A. B

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“Fon

dam

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di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Margine di fase

•  Margine di fase

PM = Arg G( jωA )[ ] − (−π ) = Arg G( jωA )[ ] + π

TextEnd

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

A

O PM

Arg G( jω A )[ ] > −π

Stabilita` ⇔

⇒ PM > 0

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A. B

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di C

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utom

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i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Margine di fase

•  PM > 0 ⇒ stabilita`

•  PM < 0 ⇒ instabilita`

•  PM = 0 ⇒ poli puramente immaginari nella f.d.t. a catena chiusa

•  Tanto piu` PM (positivo) e` ampio, tanto piu` “sicura” e` la stabilita` del sistema a catena chiusa

•  “Robustezza” della stabilita`: non viene persa per “piccole” variazioni del diagramma di Nyquist di G(s)

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A. B

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di C

ontro

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atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a

TextEnd

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Margine di ampiezza

•  Criterio ridotto di Nyquist: il sistema a catena chiusa e` stabile se e solo se il punto B si trova a destra del punto critico -1+j0 ossia se e solo se

G( jωB ) <1

K1 < K2 < K3 < K4

|G(jωB1)|< |G(jωB2)|< |G(jωB3)| <|G(jωB4)|

K1 B1

K2

B2

K4

B4

K3

B3

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59

A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Margine di ampiezza

•  Margine di ampiezza (in dB)

GM = 1− G( jωB )[ ]dB = 20log 1G( jωB )

= −G( jωB ) dB

G( jω B ) <1

Stabilita` ⇔

⇒ GM > 0

TextEnd

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

B

O GM

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Margine di ampiezza

•  GM > 0 ⇒ stabilita`

•  GM < 0 ⇒ instabilita`

•  GM = 0 ⇒ poli puramente immaginari nella f.d.t. a catena chiusa

•  Tanto piu` GM (positivo) e` ampio, tanto piu` “sicura” e` la stabilita` del sistema a catena chiusa

•  I margini di fase e ampiezza si determinano agevolmente anche sui diagrammi di Bode

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

TextEnd

-80 -60 -40 -20

0

10 0 10 1 -250 -200 -150 -100

-50

Margini di stabilita` dai diagrammi di Bode

Gm (ma)=6.0206 dB (at (ωB)=3.3166 rad/sec), Pm (mϕ)=25.426 deg. (at (ωA)=2.3486 rad/sec)

Real Axis

Imag

inar

y Axis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

A

B ωB ωA

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Interpretazione dei margini di stabilita ̀

•  Effetto della presenza di un ritardo finito in catena diretta

G(s) r y

-

+ e e-sT

e− jωTG( jω) = G( jω)

Arg e− jωTG( jω)[ ] = Arg G( jω)[ ] −ωT

•  Diagrammi di Bode:

•  non viene modificato il diagramma dei moduli

•  il diagramma delle fasi si modifica per l’aggiunta del termine -ωT

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Interpretazione dei margini di stabilita ̀

•  La pulsazione di attraversamento ωA rimane invariata

•  Il margine di fase diventa PM’= PM-ωAT

•  Il sistema e` stabile per PM’> 0 ossia

0 ≤ T <PMωA

•  Il margine di fase da` un’indicazione di quanta perturbazione, in termini di ritardo, si puo` “tollerare” nel sistema senza compromettere la stabilita`

•  Effetto della presenza di un guadagno in catena diretta

G(s) r y

-

+ e K

KG( jω) = G( jω) + K

Arg KG( jω)[ ] = Arg G( jω)[ ]

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Interpretazione dei margini di stabilita ̀

•  Diagrammi di Bode:

•  il diagramma delle fasi rimane inalterato

•  il diagramma dei moduli trasla della quantita` |K|dB

•  La pulsazione ωB rimane invariata

•  Il margine di ampiezza diventa GM’= GM-|K|dB

•  Il sistema e` stabile per GM’> 0 ossia |K|dB < GM

•  Il margine di ampiezza da` un’indicazione di quanto si possa perturbare il guadagno del sistema mantenendo la stabilita`

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Interpretazione dei margini di stabilita ̀

•  Situazioni particolari:

Real Axis

Imag

inar

y Axis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Il diagramma di Nyquist non interseca la cfr. unitaria ⇒ ~∃ ωA

Un arbitrario ritardo, a qualsiasi pulsazione, altera la fase ma non il modulo ⇒ il diag. rimane nella cfr. unitaria ⇒ PM=∞

Il diagramma di Nyquist e` interamente contenuto nella cfr. unitaria

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A. B

eghi

“Fon

dam

enti

di C

ontro

lli A

utom

atic

i” U

nive

rsita

` di P

adov

a Interpretazione dei margini di stabilita ̀

•  Situazioni particolari:

Il diagramma di Nyquist non interseca il semiasse reale negativo ⇒ ~∃ ωB

Un arbitrario aumento del guadagna altera la scala ma non la forma del diag. ⇒ il diag. continua a non circondare il punto critico ⇒ GM=∞

Real Axis

Imag

inar

y Axis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5