Diaforikh gewmetria

Διδασκων Τσαπογας Γεωργιος

Διαφορικη Γεωμετρια

Προχειρες Σημειωσεις

Πανεπιστήμιο Αιγαίου

Τμήμα Μαθηματικών

Σάμος Εαρινό Εξάμηνο

στοιχεοθεσια Ξενιτιδης ΚλεανθηςLATEX2ε

σχεδια Diamathematica 52

ημερομηνια Μαρτιου

Περιεχομενα

1 Καμπύλες 3

11 Παραμετρικοποιημένες Καμπύλες 312 Κανονικές Καμπύλες 5

12αʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα 713 Εξωτερικό Γινόμενο (Διανυσματικό Γινόμενο) 1014 Τοπική Θεωρία Καμπυλών 13

14αʹ Επίπεδο Κίνησης 1414βʹ Ανακεφαλαίωση 1714γʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα 18

15 Ισοπεριμετρική Ανισότητα 21

2 Επιφάνειες στον R325

21 Διαφορισιμότητα Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών 2521αʹ Κανόνας Αλυσίδας 25

22 Κανονικές Επιφάνειες 3022αʹ Σφαιρικές Συντεταγμένες 3322βʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα 39

Αʹ Σχήματα Σχεδιασμένα στο Mathematica 52 43

Βιβλιογραφία 55

Ευρετήριο 57

v

Καταλογος Σχηματων

11 έλικας 312 η καμπύλη α(t) = (et eminust 2t) 413 η καμπύλη α(t) = (t3 minus 4t t2 minus 4) 414 οι καμπύλες (cos(t) sin(t)) και (cos(2t) sin(2t)) 415 η καμπύλη α(t) = (t t3) 616 κυκλοειδές 717 μεγένθυση κυκλοειδούς 718 οι καμπύλες cosh sinh και ο υπερβολικός έλικας 819 λογαριθμικός έλικας 9110 η μικρότερη καμπύλη που ενώνει δύο σημεία 10111 το διάνυσμα utimes v 12112 παράλληλες ευθείες στον R3 13113 ρυθμός μεταβολής εφαπτόμενης ευθείας 13114 κύριο κάθετο διάνυσμα 15115 επίπεδο κίνησης μίας καμπύλης 15

116 οι καμπύλες (t 0 eminus1t2 ) και (t eminus

1t2 0) 16

117 παράδειγμα στο θεμελιώδες θ τοπικής θεωρίας καμπυλών 17118 Τα διανύσματα TN B στον έλικα σχήμα μεγενθυμένο 19

119 η καμπύλη ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2) 19

120 θεώρημα Green 21121 σκηνάκι μήκους L και ορθογώνιο τρίγωνο υποτίνουσας L 22

21 η μπάλα B(ρ δ) 2822 (ex cos(y) ex sin(y)) 2923 τομή σφαίρας και ενός επιπέδου 3024 το σημείο q στην κανονική βάση 30

vii

viii 0 middot Καταλογος Σχηματων

25 Η απεικόνιση f1 από τον κυκλικό δίσκο στο ανοιχτό άνω ημι-

σφαίριο της S2 3226 κάλυψη της σφαίρας S2 3227 σφαιρικές συντεταγμένες 3328 η σφαίρα S2

με τα επίπεδα y = 0 και z = 0 3429 παράδειγμα κρίσιμων και κανονικών τιμών 35210 Το γράφημα του fminus1 cap V και η προβολή του W 36211 το υπερβολοειδές minusx2 minus y2 + z2 = 1 37212 τόρος 37213 zoom τόρου 38214 (x+ 1)2 + y2 = 1 cup (xminus 1)2 + y2 = 1 40

Κεφαλαιο 1

Καμπυλες

11 Παραμετρικοποιημένες Καμπύλες

Ορισμός 111 Μία συνάρτηση g I rarr R I sube R (Ιυποδιάστημα) θαλέγεται διαφορίσιμη ή λεία αν έχει παραγώγους κάθε τάξεως

Ορισμός 112 Μια παραμετρικοποιημένη καμπύλη ή καμπύλη

με παραμέτρηση είναι μία λεία συνάρτηση α I rarr R3(I sube R) (Ι ανοιχτόυποδιάστημα του R)

Η λέξη λεία στον παραπάνω ορισμό σημαίνει ότι η α απεικονίζει το σημείο tστο α(t) = (x(t) y(t) z(t)) με τρόπο ώστε οι απεικονίσεις trarr x(t) trarr y(t)και trarr z(t) να είναι λείες

Η μεταβλητή t isin I ονομάζεται παράμετρος Το διάνυσμα αprime(t) = (xprime(t)yprime(t) zprime(t)) ονομάζεται διάνυσμα της ταχύτητας (ή εφαπτόμενο διάνυσμα) Η

εικόνα α(I) είναι υποσύνολο του R3και ονομάζεται ίχνος της καμπύλης Υ-

πάρχουν διαφορετικές καμπύλες με το ίδιο ίχνος

παράδειγμα 11 ΄Εστω η καμπύλη α Rrarr R3 α(t) = (a cos(t)a sin(t) bt) a b gt 0

Το ίχνος της καμπύλης α είναι ένας έλικας πάνω στον

Σχήμα 11 έλικας

κύλινδρο ακτίνας a και άξωνα zzprime Η παράμετρος t με-τράει την γωνία που σχηματίζει η προβολή του α(t) στοxy επίπεδομε τον άξωνα 0x Η α είναι λεία (άπειρες φορέςδιαφορίσιμη)

1 middot Καμπυλες

παράδειγμα 12 ΄Εστω η καμπύλη α (minusinfininfin)rarr R3 α(t) = (et eminust 2t)

Το ίχνος της καμπύλης κείται υπεράνω του γρα-

Σχήμα 12

α(t) = (et eminust 2t)

φήματος xy = 1 με ρυθμό ανόδου (ως προς z)=2 Η α είναι λεία Το διάνυσμα ταχύτητας είναιαprime(t) = (etminuseminust 2)

παράδειγμα 13 Η α R rarr R2 α(t) = (t2 t3) είναι καμπύλη με παραμέ-τρηση Επιπλέον έχουμε αprime(0) = (2t 3t2)t=0 = (0 0)

παράδειγμα 14 Η απεικόνιση α Rrarr R2 α(t) = (t3 minus 4t t2 minus 4) είναι

καμπύλη με παραμέτρηση που δεν είναι 1-1 Για

Σχήμα 13

α(t) = (t3 minus 4t t2 minus 4)

t = minus2 και t = 2 έχουμε α(2) = α(minus2) = (0 0)

παράδειγμα 15 ΄Εστω οι καμπύλες α β (0minus 114 2π + 1

14)rarr R2 α(t) =

(cos(t) sin(t)) β(t) = (cos(2t) sin(2t))

Οι καμπύλες α και β έχουν το ίδιο ίχνος Το

Σχήμα 14 α(t) β(t)

ίχνος τους είναι ο κύκλος με κέντρο το (0 0) καιακτίνα 1 Ως υποσύνολα του R2

είναι ίδια αλλά ως

καμπύλες είναι διαφορετικές

12 middot Κανονικες Καμπυλες

υπενθύμιση

bull Εαν u = (u1 u2 u3) isin R3τότε ορίζεται η νόρμα (μέτρο) του u ως εξής

|u| =radicu21 + u22 + u23 = απόσταση του u από το (0 0) Η νόρμα επίσης

καλείται και ευκλείδεια απόσταση

bull Εαν u = (u1 u2 u3) και v = (v1 v2 v3) και ϑ isin [0 2π] η περιεχόμενη

γωνία των u και v τότε ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο ως u middot v = |u| middot|v| middot cos(ϑ)

ιδιότητες

(i) ΄Εστω u v 6= 0 Αν u middot v = 0hArr uperpv (ϑ = π2ή

3π2

)

(ii) u middot v = v middot u

(iii) λ(v middot w) = (λ middot v) middot (w) = v middot (λ middot w)

(iv) u middot (v + w) = u middot v + u middot w

(v) Εαν eii=123 είναι η ορθοκανονική βάση του R3και u = u1e1 + u2e2 +

u3e3 χρησιμοποιώντας τις δύο προηγούμενες ιδιότητες έχουμε ότι

u middot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Εαν u(t) και v(t) είναι παραμετρικοποιημένες καμπύλες τότε (u middot v)(t) =u(t) middot v(t) = u1(t)v1(t) + u2(t)v2(t) + u3(t)v3(t) Και

ddt

(u(t) middot v(t)) =uprime(t)v(t) + u(t) middot vprime(t)

12 Κανονικές Καμπύλες

΄Εστω α I rarr R παραμετρικοποιημένη καμπύλη με αprime(t) = 0 για κάποιο t isin IΤότε θα υπάρχει μία μοναδικά ορισμένη ευθεία που θα περνάει από το α(t) και

περιέχει το αprime(t) Είναι σημαντικό στην διαφορική γεωμετρία η ύπαρξη αυτής

της ευθείας

Ορισμός 121 ΄Ενα σημείο t για το οποίο ισχύει αprime(t) = 0 ονομάζεταισημείο ιδιομορφίας ή ιδιάζων σημείο

Στο παράδειγμα 13 η καμπύλη έχει ιδιάζων δημείο

Ορισμός 122 Μία καμπύλη θα λέγεται κανονική αν αprime(t) 6= 0 forall t isin I


΄Εστω καμπύλη α I rarr R3και έστω t0 isin I Υποθέτουμε ότι α κανονική

καμπύλη Το μήκος τόξου της παραμετρικοποιημένης καμπύλης α από το t0είναι

S(t) =

int t

t0

|αprime(t)|dt

όπου

|αprime(t)| =radicxprime(t)2 + yprime(t)2 + zprime(t)2

Δεδομένου ότι αprime(t) 6= 0 forall t έχουμε ότι η S(t) είναι παραγωγίσιμη ως προς

t και άρα ddtS(t) = |αprime(t)|

Εαν η καμπύλη α έχει παράμετρο t η οποία είναι ήδη ίση με το μήκος τόξου

μετρημένο από κάποιο σημείο t0 τότε S(t) = trArr ddtS(t) = 1 = |αprime(t)| Δηλαδή

η ταχύτητα έχει μέτρο 1 Αντίστροφα αν η ταχύτητα της α έχει μέτρο 1 τότε

S(t) =int tt0

1dt = tminus t0 Τότε η παράμετρος είναι ίση με το μήκος τόξου

Για λόγους απλούστευσης (των ιδεών και των επιχειρημάτων) θα υποθέσου-

με από εδώ και στο εξής ότι όλες οι θεωρούμενες καμπύλες έχουν παραμέτρηση

μήκους τόξου (ισοδύναμα |ταχύτητα| = 1) Ο περιορισμός αυτός όμως δεν είναι

ουσιώδης όπως θα δούμε στη συνέχεια με παράδειγμα ασυτηρά θα αποδειχθεί

αργότερα Επιπλέον ούτε το t0 έχει ουσιώδη ρόλο δεδομένου ότι οι περισσότε-

ρες έννοιες στη διαφορική γεωμετρία ορίζονται με χρήση παραγώγου

παράδειγμα 16 ΄Εστω η καπμύλη α [0 2] rarr R2 α(t) = (t t3) Θαυπολογίσουμε το μήκος της καμπύλης από το 0 εως το 2

Σχήμα 15 α(t) = (t t3)

S =

int 2

0

|αprime(t)| =int 2

0

radic12 + 9t4

παράδειγμα 17 ΄Εστω ότι έχουμε μία καμπύλη α [a b] rarr R3και έ-

στω S =int ba|αprime(t)|dt το μήκος της Θεωρώ την συνάρτηση f [0 s] rarr

[a b] f(r) = rsb + (1 minus r

s)a Η f είναι 1-1 και επί Η καμπύλη β [0 s] rarr

R3 β(r) = α(f(r)) έχει το ίδιο ίχνος με την α αλλά με διαφορετική παρα-μέτρηση Ξεκινάει από το α(a) και σταματάει στο α(b) Επιπλέον έχουμε ότιβprime(r) 6= 0 ΄Αρα η συνάρτηση από το r στο |βprime(r)| δεν μηδενίζεται ΄Αρα υπάρχειg τέτοια ώστε g(r) middot |βprime(r)| = 1 ΄Αρα συνθέτωντας με gminus1 έχω παραμέτρησημε ταχύτητα μέτρου 1και άρα έχω παραμέτρηση μήκους τόξου


12αʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα

(1) ΄Εστω η καμπύλη α R rarr R3 α(t) = (a cos(t) a sin(t) bt) Θα βρού-

με την παραμέτρηση μήκους τόξου μετρημένη από το 0 Υπολογίζουμε την

παράγωγο αprime(t) = (minusa sin(t) a cos(t) b)

αprime(t) =radica2 sin2(t) + a2 cos2(t) + b2 =

radica2 + b2 = σταθερά = u

΄Αρα το S(t) =int t0udt = ut Συνεπώς θέτουμε t(s) = s

uκαι αντικαθιστώντας

στην α(t) έχουμε α(s) = (a cos( su) a sin( s

u) b s

u) όπου u =

radica2 + b2 ΄Αρα

αprime(s) = (minus1

ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1

(2) ΄Εστω δίσκος ακτίνας 1 ο οποίος περιστέφεται (χωρίς να ολισθαίνει) στο

επίπεδο Η τροχιά ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου λέγεται κυκλοειδές

(cycloid)

Σχήμα 16 κυκλοειδές

Σχήμα 17 μεγένθυση κυκλοειδούς


΄Εστω η καμπύλη α [0 2π] rarr R2 α(t) = (συντεταγμένες του σημείου Α) =(OBAB) Θα υπολογίσουμε τα OB και AB σύμφωνα με την γωνία t

OB = tminusBG = tminus AD = tminus sin(t)

AB = 1minus cos(t)

Και άρα α(t) = (tminus sin(t) 1minus cos(t))με α R rarr R2

Σημεία ιδιομορφίας της α (τα σημεία όπου αprime(t) = 0) είναι τα

t = 2kπ k isin Z

αprime(t) = (1minus cos(t) sin(t))hArr sin(t) = 0 και cos(t) = 1

Το μήκος του κυκλοειδούς είναι ίσο μεint 2π

0

radic(1minus cos(t))2 + sin2(t)dt = middot middot middot = 8

ερώτηση Γιατί το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος είναι μικρότερο ή

ίσο κάθε άλλης καμπύλης με τα ίδια άκρα

(3) ΄Εστω η καμπύλη α(t) = (cosh(t) sinh(t) t)(cosh(t) = exminuseminusx

2 υπερβολικό συνιμήτονο

sinh(t) = ex+eminusx

2 υπερβολικό ημίτονο

)

Σχήμα 18 οι καμπύλες cosh sinh και ο υπερβολικός έλικας

Θυμίζουμε ότι

sinhprime(x) = cosh(x)

coshprime(x) = sinh(x)

και

cosh2(x)minus sinh2(x) = 1


Τώρα έχουμε ότι

S(t) =

int t

0

radicsinh2(t) + cosh2(t) + 1dt

=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)

΄Αρα διαλέγουμε t(s) = sinhminus1( sradic2) και αντικαθιστώντας στην α(t) έχουμε

α(s) = (cosh(sinhminus1(sradic2

))sradic2 sinhminus1(

sradic2

))

= (1 +s2

2sradic2 sinhminus1(

sradic2

))

|αprime(s)| = middot middot middot = 1

(4) ΄Εστω η καμπύλη α Rrarr R3 α(t) = (aebt cos(t) aebt sin(t)) =ebt(a cos(t) a sin(t)) με a gt 0 και b lt 0

|α(t)| = |(a cos(t) a sin(t))||eminusbt|

=a

eminusbtόταν trarrinfinminusminusminusminusminusminusrarr 0

Σχήμα 19 λογαριθμι-

κός έλικας

αprime(t) = (aebtb cos(t)minus aebt sin(t) aebtb sin(t) +

+ aebt cos(t))

= (a

eminusbtsin(t) b sin(t) + cos(t))

|αprime(t)| =a

eminusbt|( )| minusrarr 0

΄Οταν t rarr infin η ταχύτητα τείνει στο 0 Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το

μήκος καμπύλης

int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic

(ebxab cos(x)minus ebxa sin(x))2 + (ebxab sin(x) + ebxa cos(x))2

=x

eminusbx

radic()2 + ()2︸︷︷︸φραγμένο


΄Αρα limxrarrinfinint x0|αprime(t)|dt είναι φραγμένο (ltinfin)int infin

0

= |αprime(t)|dt = L

όπου L το μήκος της α από τον χρόνο t = 0 εώς infin

(5) ΄Εστω α [a b]rarr R3καμπύλη με παραμέτρηση ορισμένη σε ένα διάστημα

I supe [a b]΄Εστω u διάνυσμα σταθερό μέτρου 1

Σχήμα 110 α(t)

int b

a

αprime(t)udt = α(t)u|t=bt=a

= [α(b)minus α(a)]u

Επίσης int b

a

αprime(t)udt le∣∣∣∣int b

a

αprime(t)udt

∣∣∣∣ le int b

a

|αprime(t)u|dt = L(α)

Θέτουμε u = α(b)minusα(a)|α(b)minusα(a)| και αντικαθιστώντας έχουμε

L(α) ge [α(b)minus α(a)]urArr L(α) ge |α(b)minus α(a)|

(6) Να βρείτε καμπύλη με παραμέτρηση και ίχνος ίσο με τον μοναδιαίο κύκλο

x2 + y2 minus 1 = 0 έτσι ώστε να διατρέξει τον κύκλο με την φορά των δεικτών

του ρολογιού

απάντηση α(t) = (sin(t) cos(t))

(7) ΄Εστω α(t) καμπύλη με παραμέτρηση που δεν περνάει από το (0 0) ΄Εστω

t0 |α(t0 minus (0 0) le |α(t)minus (0 0)|)| Να δείξετε ότι α(t0) perp αprime(t0)

(8) ΄Εστω καμπύλη α(t) με παραμέτρηση έτσι ώστε αprimeprime(t) = 0 Τι μπορείτε

να πείτε για την καμπύλη

13 Εξωτερικό Γινόμενο (Διανυσματικό Γινόμενο)

Θα μελετήσουμε την έννοια του προσανατολισμού ενός γραμμικού χώρου Θα

λέμε ότι δύο διατεταγμένες βάσεις ένος διανυσματικού χώρου V είναι ισοδύνα-

μες εάν ο πίνακας αλλαγής βάσης έχει θετική ορίζουσα Για παράδειγμα έστω

13 middot Εξωτερικο Γινομενο (Διανυσματικο Γινομενο)

e = eii=1n και f = fii=1n Εάν οι f και e έχουν τον ίδιο προσανατο-

λισμό θε γράφουμε e sim f Η σχέση sim είναι σχέση ισοδυναμίας με δύο κλάσεις

ισοδυναμίας Το να επιλέξουμε προσανατολισμό για έναν γραμμικό χώρο είναι

ισοδύνομο με το να διαλέξουμε μία από αυτές τις δύο κλάσεις

παράδειγμα 18 Θεωρούμε την διατεταγμένη βάση e = e1 = (1 0 0) e2 =(0 1 0) e3 = (0 0 1) Ονομάζουμε θετικό προσανατολισμό εκείνον τον προσα-νατολισμό που αντισοιχεί σε αυτήν την βάση Τώρα έστω η διατεταγμένη βάση

f = e1 e3 e2 Η f δεν είναι ισοδύναμη με την e διότι ο πίνακας αλλαγήςβάσης είναι

f1 = 1 middot e1 + 0 middot e2 + 0 middot e3f2 = 0 middot e1 + 1 middot e2 + 0 middot e3f3 = 0 middot e1 + 0 middot e2 + 1 middot e3

Η ορίζουσα του πίνακα αλλαγής βάσης είναι∣∣∣∣∣∣1 0 00 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣ = minus1

Η f είναι αρνητική βάση

Ορισμός 131 ΄Εστω u v isin R3 Το εξωτερικό (διανυσματικό) γι-

νόμενο του u με το v είναι το διάνυσμα u times v isin R3που χαρακτηρίζεται από

την παρακάτω σχέση

(utimes v) middot w = det(u v w) forall w isin R3

όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣Θεωρώντας w = utimes v έχουμε

utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2

∣∣∣∣ e3ιδιότητες

(i) utimes v = minusv times u

(ii) (ax+ by)times v = a(xtimes v) + b(y times v) = (ax)times v + (by)times v


(iii) utimes v = 0 αν και μόνο αν u v εξαρτημένα αν u v 6= 0

(iv) (utimes v)v = 0 και (utimes v)u = 0

Παρατήρηση 11 Αν πάρω w = utimes v στον ορισμό 131 τότε

(utimes v)(utimes v) = |utimes v|2 gt 0

και

(utimes v)(utimes v) = det(u v utimes v)

΄Αρα η βάση u v utimes v είναι θετική βάση

Πρόταση 132 forall u v x y isin R3έχουμε

(utimes v)(xtimes y) =

∣∣∣∣ ux vxuy vy

∣∣∣∣Απόδειξη Αρκεί να δείξω την σχέση αυτή για διανύσματα της βάσης e1 e2 e3Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι ei ej ek el i j k l isin 1 2 3

(ei times ej)(ek times el) =

∣∣∣∣ eiek ejekeiel ejel

∣∣∣∣ = middot middot middot = (ok)

Από αυτήν την ιδιότητα έπεται ότι

|utimes v|2 = (utimes v)(utimes v) = |u|2|v|2 minus |u|2|v|2 cos2(θ) θ = γωνία u και v

= |u|2|v|2(1minus cos2(θ))

΄Εστω A το εμβαδόν του επιπέδου που σχηματίζουν τα διανύσματα u και vΤο u times v είναι δάνυσμα εγκάρσιο στο επίπεδο

Σχήμα 111 utimes v

που ορίζουν τα u και v ΄Εχει μέτρο A και διεύ-

θυνση τέτοια ώστε η βάση u v utimes v να είναι

θετική

΄Εστω u v (a b) rarr R3λείες καμπύλες

τότε η utimes v (a b)rarr R3είναι μία διαφορίσιμη

απεικόνιση και μάλιστα

d

dt(utimes v)(t) =

du

dttimes v(t) + u(t)times dv

dt

Το διανυσματικό γινόμενο αναφύεται σε πολλές γεωμετρικές κατασκευές

και ιδιότητες

14 middot Τοπικη Θεωρια Καμπυλων

παράδειγμα 19 ΄Εστω οι ευθείες ε1

xminus x0 = u1ty minus y0 = u2tz minus z0 = u3t

= η ευθεί-

α που περνάει από το σημείο (x0 y0 z0) με κατεύθυνση ~u = (u1 u2 u3) και

ε2

xminus x1 = v1ty minus y1 = v2tz minus z1 = v3t

= η ευθεία που περνάει από το σημείο (x1 y1 z1) με

κατεύθυνση ~v = (v1 v2 v3)

΄Εστω ότι οι ευθείες ε1 και ε2 δεν τέμνονται

Σχήμα 112 παράλληλες ευ-

θείες στον R3

(ε1 ∦ ε2) ΄Εστω διάνυσμα ~AB που είναι κά-θετο και στις δύο ευθείες όπως το σχήμα 112

Η απόσταση μεταξύ των δύο ευθειών είναι ίση

με |p| = | ~AB| και δίνεται από τον τύπο |p| =|(utimesv)~r||utimesv|

| ~AB| = prutimesv ~r = |r| cos(ϑ) =|r| cos(ϑ)|utimes v||utimes v|

14 Τοπική Θεωρία Καμπυλών

΄Εστω α (a b) rarr R3καμπύλη με παραμέτρηση μήκους τόξου S isin (a b)

Αφού |αprime(s)| = 1 το μέτρο της δεύτερης παραγώγου αprimeprime(s) μας δείχνει τον

ρυθμό μεταβολής της εφαπτόμενης ευθείας

Το |αprimeprime(s)| μετράει το πόσο γρήγορα απομα-

Σχήμα 113 ρυθμός μεταβο-

λής εφαπτόμενης ευθείας

κρύνεται η καμπύλη από το σημείο στο οποίο

βρίσκεται (δηλαδή από την εφαπτόμενη ευθεία)

Ορισμός 141 ΄Εστω α I rarr R3καμπύλη με παραμέτρηση μήκους τόξου

S Ορίζουμε την καμπυλότητα της α στο σημείο s να είναι το k(s) = |αprimeprime(s)|

παράδειγμα 110 ΄Εστω η καμπύλη α(s) = su+ v s isin R Τότε

αprimeprime(s) = 0rArr k(s) = |αprimeprime(s)| = 0


Δηλαδή η ευθεία έχει καμπυλότητα 0 Ανάποδα τώρα εάν μία καμπύλη έχει

την ιδιότητα ότι k(s) = |αprimeprime(s)| = 0 hArr αprimeprime(s) = 0 ολοκληρώνοντας δύο φορέςέχουμε ότι η α είναι ευθεία

παράδειγμα 111 ΄Εστω η καμπύλη α (minus 153 2π + 1

53) rarr R2 α(t) =

(cos(t) sin(t)) Θα υπολογίσουμε την ακμπυλότητα της α

αprime(t) = (minus sin(t) cos(t))

αprimeprime(t) = (minus cos(t)minus sin(t))

|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1

|αprimeprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1

΄Αρα η καμπυλότητα είναι σταθερή ίση με 1

παράδειγμα 112 ΄Εστω ο κύκλος x2 + y2 = a2

α(t) = (a cos(t) a sin(t))

hArr β(s) = (a cos(s

a) a sin(

s

a))

Η β είναι παραμέτρηση ενώ η α δεν είναι Θα υπολογίσουμε την καμπυλότητατης καμπύλης

|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2

= middot middot middot =radic

()2 + ()2 = 1

βprimeprime(s) = ((minus sin(s

a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a

14αʹ Επίπεδο Κίνησης (αυθαίρετη ορολογία osculating)

Για τιμές s isin I για τις οποίες ισχύει k(s) 6= 0 ορίζουμε το κύριο κάθετο

διάνυσμα (μοναδιαίο) N(s) από την εξής σχέση αprimeprime(s) = k(s)N(s)


Το διάνυσμα αprimeprime(s) είναι κάθετο στο αprime(s) διότι

Σχήμα 114 κύριο κάθε-

το διάνυσμα

|αprime(s)| = 1rArr αprime(s)αprime(s) = 1

αprimeprime(s)αprime(s) + αprime(s)αprimeprime(s) = 0hArrαprimeprime(s)αprime(s) = 0rArr αprimeprime(s) perp αprime(s)

Συνεπώς το N(s) είναι κάθετο στο αprime(s) (εξού και

το όνομα κύριο κάθετο) Το επίπεδο που ορίζεται

από τα αprime(s) και N(s) ονομάζεται επίπεδο κίνησης

Αν k(s) = 0 τότε το N(s) δεν ορίζεται Στην

θεωρία μας όμως το επίπεδο κίνησης έχει κεντρικό

ρόλο και ως εκ΄τούτου υποθέτουμε ότι δουλεύουμε

με καμπύλες τέτοιες ώστε αprimeprime(s) 6= 0 forall s isin I

υπενθύμιση Ορίσαμε ένα σημείο s isin I να είναι σημείο ιδιομορφίας εαν

ισχύει αprime(s) = 0 Τώρα ορίζουμε ένα σημείο s isin I να είναι σημείο ιδιομορφίας

τάξης 2 εάν αprimeprime(s) = 0

Ορισμός 142 (συμβολισμοί) ΑΣΠΡΗ ΛΕΞΗ

(i) T(s) = αprime(s) μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα

(ii) Tprime(s) = αprimeprime(s) = k(s)N(s) ορίζει το κύριο μοναδιαίο κάθετο N(s)

(iii) B(s) = T(s)times N(s) το δικάθετο διάνυσμα στη θέση α(s)

Το B(s) είναι κάθετο στο επίπεδο κίνησης

Αν θέλουμε να μελετήσουμε το πως αλλάζει

Σχήμα 115 επίπεδο κίνη-

σης μίας καμπύλης

το επίπεδο κίνησης όταν μεταβάλεται το s αρκεί

να κοιτάξουμε πως αλλάζει το αντίστοιχο δικάθετο

διάνυσμα (ή ένα οποιοδήποτε εγκάρσιο διάνυσμα)

Η μεταβολή του εγκάρσιου εξαρτάται από το μέ-

τρο άρα ορίσαμε το εγκάρσιο B(s) το οποίο είναι

μέτρου 1 και συνεπώς μετράει σωστά τον ρυθμό με-

ταβολής Στη συνέχεια θα δούμε ότι Bprime(s) N(s)

Bprime(s) = (T(s)times N(s))prime

= Tprime(s)times N(s) + T(s)times N(s)

= (Tprime(s) N(s)) = 0 + T(s)times Nprime(s)

rArr Bprime(s) perp T(s)

΄Ομως Bprime(s) perp B(s) άρα το Bprime(s) είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα T(s)και B(s) Επίσης το N(s) είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο ΄Αρα Bprime(s) N(s)και άρα exist αριθμός t(s) τέτοιος ώστε Bprime(s) = t(s)N(s)


Ορισμός 143 ΄Εστω α I rarr R3καμπύλη τέτοια ώστε αprimeprime(s) 6= 0 forall s isin I

(s παραμέτρηση μήκους τόξου) Ο αριθμός t(s) που ορίζεται από την σχέσηBprime(s) = t(s)N(s) ονομάζεται συστροφή της α στο s isin I

Παρατήρηση 12 Αν α είναι επίπεδη καμπύλη (δηλαδή το ίχνος της απεριέχεται σε ένα ακριβώς επίπεδο στον R3

) τότε το B(s) είναι πάντα μέτρου 1και πάντα παράλληλο με τον άξωνα zzprime ΄Αρα Bprime(s) = 0rArr t(s) = 0

Αντίστροφα αν t(s) = 0 forall s isin I τότε υποθέτοντας ότι k(s) 6= 0 forall s έχουμεότι Bprime(s) = 0 middotN(s) = 0 άρα B(s) = B0 σταθερό ΄Αρα (α(s)B0)

prime = αprime(s)B0 +Bprime0α(s) = 0 ΄Ομως Bprime0 = 0 και άρα αprime(s) perp B0 ΄Αρα α(s)B0 = σταθερό Καιάρα το α(s) περιέχεται σε επίπεδο σταθερής γωνίας με το B0

παράδειγμα 113 ΄Εστω η καμπύλη

α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0

(t eminus1t2 0) t lt 0

0 t = 0

Παρατηρούμε ότι η α(t) είναι κανονική διαφορίσιμη καμπύλη Επίσης ότι

k(t) = 0 για t = 0 και ότι το B(t) δεν είναι συνεχής

Σχήμα 116

η καμπύλη α(t)

στο t = 0 Το δικάθετο δεν συμπεριφέρεται μεσυνεχή τρόπο στο t = 0

t minusrarr 0+ rArr B(t) minusrarr (1 0 0)

t minusrarr 0minus rArr B(t) minusrarr (0 0 1)

Θεώρημα 144 (θεμελιώδες θεώρημα τοπικής θεωρίας καμπυλών) ΄Εστω

I ανοιχτό όχι κατάνάγκη φραγμένο διάστημα και k t I rarr R συνεχείς μεk(s) gt 0 Τότε υπάρχει καμπύλη α I rarr R3

τέτοια ώστε

(i) s παραμέτρηση μήκους τόξου για την α

(ii) k(s) ισούτε με την καμπυλότητα της α στο s

(iii) t(s) ισούτε με την συστροφή της α στο s


α

Αν α είναι μία άλλη καμπύλη που ικανοποιεί τις πα-

Σχήμα 117 παράδειγμα

ραπάνω ιδιότητες τότε exist f R3 rarr R3γραμμική

με ορίζουσα +1 (δεν αλλάζει προσανατολισμό) και

διάνυσμα ~c τέτοια ώστε α = fα+~c (βλ παράδειγ-

μα στο σχήμα 117)

14βʹ Ανακεφαλαίωση

Για κάθε τιμή της παραμέτρου s (μήκους τόξου) ορίσαμε τρεία μοναδιαία ορθο-

κανονικά διανύσματα τα T(s) Ni(s)B(s) Τα τρεία αυτά διανύσματα ορίζουν

ένα τρίεδρο που ονομάζεται τρίεδρο Frenet στο s Οι παράγωγοι Tprime(s) και

Bprime(s)

Tprime(s) = k(s)N(s) καμπυλότητα

Bprime(s) = t(s)N(s) συστροφή

ορίζουν γεωμετρικές ποσότητες (καμπυλότητα και συστροφή) οι οποίες μας

δίνουν πληροφορίεσγια την κίνηση της α στο s Είναι εύκολο να εκφράσουμε

καί την Nprime(s) στη βάση TNB

N = Btimes T

Nprime(s) = Bprime(s)times T(s) + B(s)times Tprime(s)

= [t(s)N(s)]times T(s) + B(s)times [k(s)N(s)]

= t(s)[N(s)]times T(s) + k(s)[B(s)times N(s)]

= minust(s)B(s)minus k(s)T(s)

Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN

Nprime = minustBminus kT


14γʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα

(1) ΄Εστω α(t) = (a cos(t) a sin(t) bt) ο κυλινδρικός έλικας (σχήμα 11)

΄Εχουμε ότι

αprime(t) = (minusa sin(t) a cos(t) b)

rArr αprime(t) middot (0 0 1) = b

΄Αρα η καμπύλη έχει σταθερή γωνία με τον άξωνα των z Θα υπολογίσουμε τις

ποσότητες Frenet

α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)

k(s) = αprimeprime(s) = Tprime(s) =a

a2 + b2

Υπολογίζουμε το κύριο κάθετο N(s) από την Frenet σχέση

Tprime = k middot NrArr N(s) =(minuscos( sradic

a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το δικάθετο

B = TtimesN = middot middot middot =( bradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)minus bradica2 + b2

cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)

Υπολογίζουμε την συστροφή (στρέψη) από την Frenet σχέση

Bprime = t middot NBprime(s) =

( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2


Στο σχήμα 118 βλέπουμε τα διάνυσματα TN και B στην καμπύλη του

έλικα Με κόκκινο χρώμα βλέπουμε το διάνυσμα T με μπλε το διάνυσμα N και

με πράσινο το διάνυσμα B

Σχήμα 118 Τα διανύσματα TN B στον έλικα σχήμα μεγενθυμένο

(2) ΄Εστω η καμπύλη α(s) =(

(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)

Σχήμα 119 α(s)

= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)

T(s) = αprime(s) =(radic1 + s

2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1

΄Αρα s παραμέτρηση μήκους τόξου

αprimeprime(s) = Tprime(s) =( 1

4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)

k(s) = αprimeprime(s)

=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=

radic1minus s+ 1 + s

16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)


Το κύριο κάθετο διάνυσμα υπολογίζεται από την σχέση Tprime = kN

N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)

Το δικάθετο υπολογίζεται από την σχέση B = Ttimes N

B(s) = middot middot middot =(minusradic

1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)

= minus 1radic8(1minus s2)︸︷︷︸t(s)

(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)

(3) Να υπολογίσετε τα στοιχεία Frenet της καμπύλης του υπερβολικού έλικα

α(t) = (cosh(t) sinh(t) t) (σχήμα 18) Θυμίζουμε ότι

tanh(t) =et minus eminust

et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2

(minus tanh(t) 1minus 1

cosh(t))

N = (1

cosh(t) 0minus tanh(t))

k =1

2 cosh2(t)

(4) ΄Ομοια για την καμπύλη α(t) = (et cos(t) etsin(t) et)

15 middot Ισοπεριμετρικη Ανισοτητα

15 Ισοπεριμετρική Ανισότητα

΄Εστω f [a b]rarr R2 Η f είναι διαφορίσιμη εάν είναι περιορισμός μίας διαφο-

ρίσιμης ορισμένης σε διάστημα I I sup [a b]

Ορισμός 151 Μία κλειστή καμπύλη είναι μία α [a b]rarr R2διαφορί-

σιμη τέτοια ώστε α(a) = α(b) αprime(a) = αprime(b) αprimeprime(a) = αprimeprime(b) κοκ για κάθετάξη Επίσης η α λέγεται απλή αν f |[ab) είναι 1-1

Θυμίζουμε το θεώρημα Green από τον απειροστικό λογισμό 4

Θεώρημα 152 (θεώρημα Green) ΄Εστω C sube R2απλή κλειστή καμπύλη

με μήκος l και εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται A Τότε l2minus 4πA ge 0 καιτο ίσον ισχύει αν και μόνο αν ο C είναι κύκλος

Σχήμα 120 θεώρημα Green

Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds

πr2 + A =int l0xyprime minus yxprimeds

leint l0

radicxyprime minus yxprimeds

leradicy2 + x2[(xprime)2 + (yprime)2]ds

=int l0

radicy2 + x2ds = r middot l

(lowast)

Από την γνωστή ανισότηταradicqradicp le q + p

2έχουμε ότι

(lowastlowast)radicAradicπr2 le A+ πr2

2le rl

2rArr 4Aπr2 le r2l2 rArr l2 minus 4πA ge 0


όπως το θέλαμε Εαν l2 = 4πA τότε ισχύουν οι ισότητες (lowastlowast) και (lowast) ΄Αρα

A = πr2 rArr l2 = 4π2r2 rArr l = 2πr Αποδυκνύεται ότι x(s) = plusmnryprime(s) και

y(s) = plusmnrxprime(s)x2 + y2 = r2(y2 + x2) = r2

άσκηση Να δείξετε ότι υπάρχει ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο T υποτίνου-

σας L το οποίο σκεπάζει ένα σκηνάκι μήκους L το οποίο έχει πέσει στην γη

lsquolsquoστην τύχηrsquorsquo

Σχήμα 121 σκηνάκι μήκους L και ορθογώνιο τρίγωνο υποτίνουσας L

Κεφαλαιο 2

Επιφανειες στον R3

21 Διαφορισιμότητα Συναρτήσεων Πολλών Μετα-

βλητών

Εάν f U sube R2 rarr R συνάρτηση θα συμβολίζουμε τις μερικές παραγώγους της

f ως προς x ή y στο σημείο (x0 y0) μεpartf

partx(x0 y0) ή αντίστοιχα με

partf

party(x0 y0)

΄Ομοια αν f U sube Rn rarr R θα συμβολίζουμε την μερική παράγωγο ως προς

την πρώτη συντεταγμένη μεpartf

partx1(x10 x20 xn0)

21αʹ Κανόνας Αλυσίδας

΄Εστω

x = x(u v)y = y(u v)z = z(u v)

U sube R2 rarr R

και f(x y z) διαφορίσιμη με πεδίο τιμών το R3 Τότε η σύνθεση

f(x(u v) y(u v) z(u v)) Uxyzminusminusrarr

x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R

είναι διαφορίσιμη στο U και οι μερικές παράγωγοι της f ως προς u δίνεται από

την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu

΄Ομοια ως προς v

2 middot Επιφανειες στον R3

΄Ολα τα παραπάνω ισχύουν για πραγματικές συναρτήσεις ΄Εστω ότι το

πεδίο τιμών είναι το Rm Μία συνάρτηση F URn rarr Rm

θα λέγεται διαφο-

ρίσιμη στο p isin U εάν οι συντεταγμένες συναρτήσεις της F (F (x1 xn) =(F1(x1 xn) F2(x1 xn) Fn(x1 xn))) είναι διαφορίσιμες στο pέχουνε δηλαδή μερικές παραγώγους κάθε τάξεως στο p

παράδειγμα 21 ΄Εστω F U sube R2 rarr R3 F (u v) = (cos(u) sin(v) cos(u)cos(v) uv) Οι συντεταγμένες συναρτήσεις

F1(u v) = cos(u) sin(v)

F2(u v) = cos(u) cos(v)

F3(u v) = uv

έχουν μερικές παραγώγους ως προς u και v κάθε τάξης forall p isin U ΄Αρα η F είναιδιαφορίσιμη στο U

Παρατήρηση 21 ΄Εστω w isin Rmτυχαίο σημείο και p isin Rm

Υπάρχει

πάντα καμπύλη α για την οποία ισχύει

α(0) = p και αprime(0) = w

την χρονική στιγμή περνάει από το p και έχει παράγωγο wΔιότι αν α(t) = (p1 pm) + tw t isin (minusε ε) για t = 0 προφανώς α(0) = pκαι αprime(0) = (p1 + tw1 p2 + tw2 pm + twm) = (w1 w2 wm)

Ορισμός 211 (Διαφορικό) ΄Εστω f U sube Rn rarr Rmδιαφορίσιμη Σε

κάθε σημείο p isin U αντιστοιχίζουμε μία (γραμμική) απεικόνιση dFp Rn rarr Rm

(η οποία λέγεται διαφορικό της f στο p) ως εξής ΄Εστω w isin Rn Από την

παρατήρηση 21 υπάρχει καμπύλη α (minusε ε)rarr U με α(0) = p και αprime(0) = wΗ σύνθεση β = F α (minusε ε)rarr Rm

είναι διαφορίσιμη (από κανόνα αλυσίδας)

οπότε το βprime(0) είναι εξόρισμού το dFp(w)

Πρόταση 212 Ο ορισμός του διαφορικού dFp δεν εξαρτάται από την επι-λογή της καμπύλης α και επιπλέον dFp είναι γραμμική

Απόδειξη Για απλούστευση του συμβολισμού υποθέτουμε ότι n = 2 και

m = 3΄Εστω (u v) συντεταγμένες του U sube R2

και (x y z) συντεταγμένες του

R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =

(0 0 1) οι στάνταρ βάσεις του R2και R3

Τότε έχουμε α(t)(u(t) v(t)) t isin(minusε ε) αprime(t) = (uprime(t) vprime(t))

w = αprime(0) = uprime(0)e1 + vprime(0)e2 = (uprime(0) vprime(0))

21 middot Διαφορισιμοτητα Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων

F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))

β(t) = (F α)(t) = F (α(t)) = (x(u(t) v(t)) y(u(t) v(t)) z(u(t) v(t)))

dFp = βprime(0) = (partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt

Παρατηρούμε ότι η απεικόνιση dFp παριστάνεται ως προς τις κανονικές βάσεις

e1 e2 f1 f2 f3 του R2και R3

αντίστοιχα με τον πίνακα

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

Η dFp είναι γραμμική και ο ορισμός της δεν εξαρτάται από την επιλογή της

καμπύλης α Ο πίνακας

(partFipartxj

)i=1m

F Rn rarr Rm F = (F1 F2 Fm)

και (x1 x2 xn) σημεία του Rm ονομάζεται ιακωβιανή της F στο p Αν

n = m ο πίνακας αυτός είναι τετραγωνικός άρα υπάρχει η det

(partFipartxj

) η οποία

λέγεται ιακωβιανή ορίζουσα


παράδειγμα 22 ΄Εστω F (x y) = (x2 minus y2 2xy)(partFipartxj

)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx

part(x2 minus y2)party

part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2

amfidiaf primeorish3

)= (minus2 10)

Θεώρημα 213 (κανόνας αλυσίδας) ΄Εστω F U sube Rn rarr Rmκαι G

V sube Rm rarr Rkμε F (U) = V FG διαφορίσιμες και U V ανοιχτά Τότε η

GF U rarr Rkείναι διαφορίσιμη σε κάθε p isin U και d(GF )p = dFF (p) dFp

Θεώρημα 214 ΄Εστω U sube Rnανοιχτό και συνεκτικό και F U rarr R

διαφορίσιμη Εάν dFp Rm rarr R είναι μηδέν σε κάθε p isin U τότε η F είναισταθερή

Απόδειξη ΄Εστω p isin U και B(p δ) sube U μπάλα κέντρου p με ακτίνα δ ΄Εστω

q isin B(p δ) τυχαίο Θεωρώ το ευθύγραμμο

Σχήμα 21η μπάλα B(ρ δ)

τμήμα β [0 1]rarr B(p δ) β(t) = tq+(1minus t)pΗ β (ορισμένη κατάλληλα σε ανοιχτό διάστη-

μα) είναι διαφορίσιμη ΄Αρα είναι διαφορίσιμη

και η F β F β (minusε 1+ε)rarr R Από κανό-

να αλυσίδας d(F β)(t) = dF (β(t))dβ(t) = 0Με άλλα λόγια η F β έχει παράγωγο 0 παν-

τού ΄Αρα είναι σταθερή (F β)(0) = (F β)(1) F (p) = F (q) Και αφού το q είναι τυ-

χαίο έχουμε ότι η F είναι σταθερή στη B(p δ)Τώρα έστω r isin U τυχαίο και έστω α [a b] rarr U με α(a) = p και α(b) = rΗ F α είναι συνεχής και σύνφωνα με το παραπάνω επιχείρημα είναι σταθερή

σε κάθε ανοιχτή μπάλα Δηλαδή forall t isin [a b] exist μπάλα B(α(t) δt) έτσι ώστε

F σταθερή στη B(α(t) δt) με άλλα λόγια forall t isin [a b] exist διάστημα It sube [a b]τέτοιο ώστε F α σταθερή στο It Από την συμπάγεια του [a b] έχουμε ότι

υπάρχουν I1 I2 Ik τέτοια ώστε η F να είναι σταθερή σε κάθε διάστημα

Ii cap Ii+1 6= 0 Τελικώς F σταθερή F (p) = F (q)


Θεώρημα 215 (αντίστροφης συνάρτησης) ΄Εστω F Rn rarr Rnδιαφορίσι-

μη και έστω p isin U με dFp ισομορφισμός Τότε υπάρχει περιοχή V του p στοU και W του F (p) στο Rn

έτσι ώστε η F |V V rarr W να είναι αμφιδιαφόριση(1-1επί και η Fminus1 διαφορίσιμη)

παράδειγμα 23 ΄Εστω F (x y) = (ex cos(y) ey sin(y)) F R2 rarr R2

Οι συντεταγμένες συναρτήσεις τις F είναι οι u(x y) = ex cos(y) v(x y) =ex sin(y) οι οποίες έχουν μερικές παραγώγους κάθε τάξεως ΄Αρα η F είναιδιαφορίσιμη Η καμπύλη x rarr (x y0) απεικονίζεται στην ημιευθεία κλίσης y0και η καμπύλη y rarr (x0 y) απεικονίζεται στον κύκλο κέντρου (0 0) και ακτίναςex0 Τώρα έχουμε ότι dF(x0y0)(1 0) =(το εφαπτόμενο διάνυσμα της εικόνας

Σχήμα 22 (ex cos(y) ex sin(y))

της x rarr (x y0))=d

dx(ex cos(y0) e

x sin(y0))|x=x0 = (ex0 cos(y0) ex0 sin(y0))

και dF(x0y0)(0 1)= (εφαπτόμενο διάνυσμα της εικόνας της y rarr (x0 y))=d

dy(ex0 cos(y) ex0 sin(y))|y=y0 = (minusex0 sin(y0) e

x0 cos(y0))Η ιακωβιανή της F

στο σημείο (x y) είναι

JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=

(ex cos(y) minusex sin(y)

ex sin(y) ex cos(y)

)

Η ορίζουσα της ιακωβιανής είναι

|JF (x y)| = ex cos2(y) + ex sin2(y) 6= 0 forall (x y)

΄Αρα dF(xy) είναι ισομορφισμός forall (x y) ΄Ομως η F δεν είναι 1-1 άρα απόθεώρημα αντιστρόφου συναρτήσεως υπάρχουν ανοιχτές περιοχές VW F |V V rarr W είναι αμφιδιαφόριση Για παράδειγμα

V = (x y) isin R2minusinfin lt x ltinfin 0 lt y lt 2πW = R2 (0 0)


22 Κανονικές Επιφάνειες

΄Ενα υποσύνολο S sube R2θα λέγεται κανονική επιφάνεια εάν forall p isin S υπάρχει

μία περιοχή V του R3έτσι ώστε

(i) exist u sube R2ανοιχτό και f urarr S cap V επί

(ii) f διαφορίσιμη (οι μερικές παράγωγοι κάθε τάξεως υπάρχουν)

(iii) f είναι ομοιομορφισμός (δηλαδή η f είναι 1-1 και fminus1 είναι συνεχής)

(iv) (κανονικότητα) forall q isin U το διαφορικό dFq R2 rarr R3είναι 1-1

Η απεικόνιση f ονομάζεται παραμετρικοποίηση ή σύστημα συντεταγμένων στο

p

Σχήμα 23 τομή σφαίρας και ενός επιπέδου

Στο παραπάνω σχήμα υποθέτουμε ότι το σύνολο S είναι το επίπεδο το

σύνολο V είναι η σφαίρα και ότι το σημείο p βρίσκεται στην τομή S cap V

΄Εστω q = (x0 y0) isin U και έστω (1 0) (0 1)

Σχήμα 24 το σημείο q

η κανονική βάση του R2(συντεταγμένες u v)

και (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) η κανονική βάση

του R3(συντεταγμένες x y z) Το (1 0) εί-

ναι εφαπτόμενο του u rarr (u v0) και το (0 1)είναι εφαπτόμενο του v rarr (u0 v) και εικόνες

αυτών των καμπυλών έχουν εφαπτόμενα δια-

νύσματα τα διανύσματα

22 middot Κανονικες Επιφανειες

(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv

Εξόρισμού του διαφορικού dFq(e1) =partf

partuκαι dFq(e2) =

partf

partvο πίνακας του

διαφορικού είναι dFq R2 rarr R3

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

Η συνθήκη (iv) λέει ότι το διαφορικό είναι 1-1 ή ισοδύναμα

partf

partutimes partfpartv6= 0 ή ότι

ταpartf

partuκαι

partf

partvείναι γραμμικά ανεξάρτητα

παράδειγμα 24 Η μοναδιαία σφαίρα S2 = (x y z) isin R3x2 + y2 + z2 =1 είναι κανονική επιφάνεια ΄Εστω η απεικόνιση f1 U sube R2 rarr R3

όπου

U = (x y) isin R2x2 + y2 lt 1 και f1(x y) = (x yradic

1minus x2 minus y2) Στοσχήμα 25 βλέπουμε την απεικόνιση από το U στο f1(U) που είναι το ανοιχτόάνω ημισφαίριο της S2

Οι συντεταγμένες συναρτήσεις της f έχουν μερικέςπαραγώγους κάθε τάξεως άρα η f1 είναι διαφορίσιμη Το διαφορικό της f1δίνεται από τον πίνακα

partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic

1minus x2 minus y2partx

partradic

1minus x2 minus y2party

=

1 0

0 1

minusxradic1minus x2 minus y2

minusyradic1minus x2 minus y2

΄Αρα dF1 είναι 1-1 Η Fminus1 είναι ο περιορισμός της προβολής π R3 rarrR2 (x y z) 7rarr (x y) στο άνω ημισφαίριο f1(U) άρα η f1 είναι συνεχής


Σχήμα 25 Η απεικόνιση f1 από τον κυκλικό δίσκο στο ανοιχτό άνω ημισφαίριο

της S2

Σχήμα 26 κάλυψη της σφαίρας S2


Μένει να καλύψουμε όλη την S2(σχήμα 26) Αυτό θα γίνει με τις παρα-

κάτω συναρτήσεις

f2(x y z) = (x yminusradic )

f3(x y z) = (x+radic z)

f4(x y z) = (xminusradic z)

f5(x y z) = (+radic y z)

f6(x y z) = (minusradic y z)

22αʹ Σφαιρικές Συντεταγμένες

Σχήμα 27 σφαιρικές συντεταγμένες

0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0

παράδειγμα 25

S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1

Θεωρούμε V = (θ φ)0 lt θ lt 2π 0 lt φ lt π και f V rarr R3 f(θ φ) =(cos(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) cos(φ)) Η f είναι παραμετρικοποίηση για την S2

Οι συντεταγμένες της f (δηλαδή cos(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) cos(φ)) έχουνμερικές παραγώγους κάθε τάξεως άρα f διαφορίσιμη Το διαφορικό της fδίνεται από τον πίνακα

part(cos(θ) sin(φ))

partθ


partφ

part(sin(θ) sin(φ))

partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ

΄Αρα το διαφορικό της f σε σημείο (θ φ) df(θφ) είναι 1-1


Τώρα έστω C = (x y z) isin S2x ge 0 y = 0 όπως το σχήμα 28Προφανώς f(V ) = S2 C ΄Εστω p isin S2 C Το φ του σημείου αυτού

Σχήμα 28 η σφαίρα S2με τα επίπεδα y = 0 και z = 0

καθορίζεται μοναδικά από την σχέση φ = cosminus1(z) Για δοσμένο φ βρίσκωμοναδικά το θ από την σχέση

cos(θ) sin(φ) = xsin(θ) sin(φ) = y

rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)

Για τυχόν p = (x y z) isin S2 C exist (θ φ)f(θ φ) = (x y z) = p Ορίζωτο σύνολο C prime = (x y z) isin S2z = 0 x le 0 όπως το σχήμα 28 ΄Ομοιαορίζουμε g V rarr R3

με

g(θ φ) = (sin(θ) sin(φ) cos(φ) cos(θ) sin(φ))

g(V ) = S2 C prime

Πρόταση 221 ΄Εστω f U sube R2 rarr R διαφορίσιμη (U ανοιχτό) Τοσύνολο (x y f(x y))x y isin U είναι κανονική επιφάνεια

Απόδειξη Θεωρούμε την απεικόνιση f U rarr R3 f(u v) = (u v f(u v))Θα δείξουμε ότι η f είναι παραμετρικοποίηση της S που καλύπτει όλη την S


Η συνθήκη (i) του ορισμού ισχύει(διαφορισιμότητα) Για την συνθήκη (iii)έχουμε ότι το διαφορικό ισούτε με

dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv

Τώρα αφού αυτά τα δύο διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα έχουμε ότι το

dfp είναι 1-1 Τέλος για την συνθήκη (ii) του ορισμού έχουμε ότι η f είναι

1-1 διότι forall σημείο (x y z) isin f(u) exist σημείο (x y) isin U f(x y) = (x y z)(η f είναι 1-1 αφού τα αρχέτυπα (x y ) εμπεριέχονται μέσα στις εικόνες)

΄Αρα exist fminus1 η οποία είναι ίση με τον περιορισμό f(U) της προβολής π R3 rarrR2 (x y z) 7rarr (x y) ΄Αρα είναι αμφιδιαφόριση

Ορισμός 222 ΄Εστω f URn rarr Rm U ανοιχτό Θα λέμε ότι το p isin Uείναι κρίσιμο σημείο για την f εάν dfp Rn rarr Rm

δεν είναι επί Η εικόνα

f(p) λέγεται κρίσιμη τιμή της f Εάν ένα σημείο q isin Rmδεν είναι κρίσιμη

τιμή τότε λέγεται κανονική τιμή

Η ορολογία προέρχεται από την περί-

Σχήμα 29 παράδειγμα κρίσιμων και κα-

νονικών τιμών

πτωση των συναρτήσεων f Rrarr Rκαι τις ιδιότητες της παραγώγου

f(x0) κανονική τιμή f prime(x0) 6= 0

Παρατήρηση 22 (αναγνώριση κανονικών τιμών) ΄Εστω f UR3 rarr Rδιαφορίσιμη και U ανοιχτό Εφαρμόζουμε το διαφορικό της f dfp στο (1 0 0)για να βρούμε το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης xrarr f(x y0 z0) άρα

dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx

΄Ομοια dfp(0 1 0) =partf

party(x0 y z0) = fy και dfp(0 0 1) =

partf

partz(x0 y0 z) = fz


Το διαφορικό της f στο p είναι ο 1times3 πίνακας dfp(fx fy fz) Για να ίναι επίη dfp (δεδομένου ότι έχει πεδίο τιμών διάστασης 1) πρέπει και αρκεί τουλάχιστονένα από τα fx fy fz να είναι 6= 0 Συνεπώς το a isin f(U) είναι κανονική τιμήτης f U sube R3 rarr RhArr οι fx fy fz δεν μηδενίζονται όλες στο fminus1(a)

παράδειγμα 26 ΄Εστω f(x y z) = (x2 + y2 + z2 minus 1) f R3 rarr R Το

0 isin R είναι κανονική τιμή για την f Οι

fx = 2xfy = 2yfz = 2z

μηδενίζονται όλεςμαζί μόνο στο σημείο (0 0 0) το οποίο όμως δεν ανήκει στο fminus1(0) ΄Αρα είναικανονική τιμή

Πρόταση 223 ΄Εστω f U sube R3 rarr R διαφορίσιμη με a isin f(U) κανονικήτιμή για την f τότε fminus1(a) είναι κανονική επιφάνεια

Από προηγούμενη πρόταση υποθέτουμε (αλλάζοντας αν χρειαστεί τους ά-

ξωνες) ότι fz 6= 0 ΄Εστω p = (x0 y0 z0) isin fminus1(a) ορίζουμε F U sube R3 rarrR F (x y z) 7rarr F (x y f(x y z)) Το πεδίο ορισμού της F έχει συντεταγ-

μένες x y z και το πεδίο τιμών της u v t Το διαφορικό της F στο p είναι 1 0 00 1 0fx fy fz

και det(Fp) = fz 6= 0 (lowast)

Σχήμα 210 Το γράφημα του fminus1 cap V και η προβολή του W


Από την (lowast) εφαρμόζεται το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης το οποίο

μας δίνει των περιοχών V του p και W του F (p) έτσι ώστε F V rarr W να

είναι αντιστρέψιμη Αφού Fminus1 είναι διαφορίσιμη οι συντεταγμένες συναρτήσεις

του Fminus1 x = u y = v z = g(u v t) (u v t isin W ) είναι διαφορίσιμες Για

t = a έχουμε την συνάρτηση z = g(u v a) = h(u v) η οποία είναι διαφορίσιμη

και έχει πεδίο ορισμού την προβολή του W στο uminus v επίπεδο Το fminus1(a)cap Vείναι το γράφημα της h άρα είναι κανονική επιφάνεια (σχήμα 210)

παράδειγμα 27 Θα δείξουμε ότι το υπερβολοειδές minusx2minusy2+z2 = 1 είναι

κανονική επιφάνεια Θεωρώ την συνάρτη-

Σχήμα 211

το υπερβολοειδές minusx2minusy2+z2 = 1

ση f(x y z) = z2minusx2minusy2minus1 (x y z) isinfminus1(0)hArr (x y z) ικανοποιεί την εξίσωσηminusx2 minus y2 + z2 = 1 Το 0 είναι κανονικήτιμή για την f διότι

partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z

Οι μερικές παράγωγοι μηδενίζονται ταυ-

τόχρονα μόνο στο σημείο (0 0 0) το οποί-ο δεν ανήκει στο fminus1(0) ΄Αρα από τηνπρόταση 223 που λέει ότι η αντίστροφη

εικόνα κανονικής τιμής είναι κανονική ε-

πιφάνεια έχουμε το ζητούμενο ότι δηλαδή

το υπερβολοειδές minusx2 minus y2 + z2 = 1 είναι κανονική επιφάνεια

παράδειγμα 28 (σπείρα - λουκουμάς - τόρος) ΄Εστω η επιφάνεια T που

γενιέται περιστρέφοντας κύκλο ακτίνας r

Σχήμα 212 τόρος

γύρω από άξωνα που απέχει a gt r από τοκέντρο του κύκλου Θεωρώ την κατασκευ-

ή με κύκλο κέντρου (0 a 0) ακτίνας r στοy minus z επίπεδο

(y minus a)2 + z2 = r2

κενο


κενο

Σχήμα 213 zoom τόρου

Από το σχήμα 213 έχουμε

xB = z xG = r BG = OGminusOB = aminusradicx2 + y2

΄Αρα z2 = xB2 minusBG2(πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο

MxBG)

z2 = r2 minus (aminusradicx2 + y2)2 (lowast)

(x y z) isin T hArr (x y z) ικανοποιεί την (lowast)

f(x y z) = z2 + (aminusradicx2 + y2)2

Τότε T = fminus1(r2) Η f είναι διφορίσιμη σε κάθε σημείο (x y z) για το οποίο(x y) 6= 0 (οκ αφού zzprime cap T = empty)

partf

partz= 2z

partf

partx=minus2x(aminus

radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf

party=minus2y(aminus

radicx2 + y2)radic

x2 + y2


Οι μερικές μηδενίζονται όλες μαζί

hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2

rArrείτε x = y = z = 0 είτε x2 + y2 = a2 Κανένα από τα παραπάνω σημεία δενανήκει στο fminus1(r2) άρα η T είναι κανονική επιφάνεια

Πρόταση 224 (αντίστροφη πρότασης 221) ΄Εστω S κανονική επιφάνειακαι p isin S Τότε υπάρχει περιοχή V του p στο S έτσι ώστε η V να είναιτο γράφημα μιας διαφορίσιμης συνάρτησης η οποία έχει μία πό τις παρακάτω

μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)

22βʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα

παράδειγμα 29 ΄Εστω f(x y z) = z2 Το 0 isin R δεν είναι κανονική τιμήαλλά το fminus1(0) είναι κανονική επιφάνεια

partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z

Για το σημείο (0 0 0) isin R οι μερικές παράγωγοι μηδενίζονται επειδή το σημείο(0 0 0) isin fminus1(0) rArr 0 όχι κανονική τιμή fminus1(0) = (x y z) f(x y z) =0 = (x y 0) x y isin R = xy-επίπεδο το οποίο είναι κανονική επιφάνεια

παράδειγμα 210 ΄Εστω f(x y z) = (x+y+ zminus1)2 και g(x y z) = xyz2Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία οι κρίσιμες τιμές και για ποιά c τα σύνολαfminus1(c) και gminus1(c) είναι κανονικές επιφάνειες

partf

partx= 2(x+ y + z minus 1) =

partf

party=partf

partz

Τα σημεία στα οποία μηδενίζονται όλες οι μερικές παράγωγοι είναι τα σημεία

του επιπέδου E = (x y z) isin R3 x + y + z minus 1 = 0 =(κρίσιμα σημεία)Το 0 δεν είναι κανονική τιμή αφού f(ενός σημείου της Ε) = 0 fminus1(0) =τοεπίπεδο Ε άρα fminus1(0) είναι κανονική επιφάνεια fminus1(c) (c ge 0) είναι εξίσωσηεπιφάνειας (δηλαδή επιπέδου)

partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz

Τα σημεία (x y z) isin R3τα οποία μηδενίζουν ταυτόχρονα όλες τις μερικές

παραγώγους είναι οι άξωνες xxprime or yyprime or zzprime Η μοναδική κρίσιμη τιμή είναι το


0 Τα κρίσιμα σημεία είναι οι άξωνες xxprimeoryyprimeor zzprime και οι κανονικές τιμές είναιτα σημεία που ανήκουν στο σύνολο R 0Το gminus1(0) δεν είναι επιφάνεια και το gminus1(c) είναι κανονική επιφάνεια forallc 6= 0

larrrarr

Σχήμα 214 (x+ 1)2 + y2 = 1 cup (xminus 1)2 + y2 = 1

Για κάθε σημείο (0 0 z) δεν έχει σύστημα συντεταγμένων

παράδειγμα 211 Θα δείξουμε ότι f(u v) = (sinh(u) cos(v) sinh(u) sin(v)cosh(u)) είναι σύστημα συντεταγμένων για το υπερβολοειδές 1 + x2 + y2 = z2

(σχήμα 211)

Κοιτάμε αν f(u v) ανήκει στο υπερβολοειδές

sinh2(u) cos2(v) + sinh2(u) sin2(v) + 1 = cosh2(u)

sinh2(u)(cos2(v) + sin2(v)) + 1 = cosh2(u)

sinh2(u) + 1 = cosh2(u) (ισχύει)

΄Αρα ανήκει στο υπερβολοειδές

Κοιτάμε αν η f είναι 1-1 ΄Εστω (u v) (uprime vprime) έτσι ώστε f(u v) = f(uprime vprime)Τότε

sinh(u) cos(v) = sinh(uprime) cos(vprime)

sinh(u) sin(v) = sinh(uprime) sin(vprime)

cosh(u) = cosh(uprime)

Από την τρίτη εξίσωση έχουμε ότι u = plusmnuprime

(i) Αν u = uprime έχουμε ότι

cos(v) = cos(vprime) και sin(v) = sin(vprime)

άρα v = vprime rArr u = uprime και v = vprime

΄Αρα η f είναι 1-1


(ii) Αν u = minusuprime έχουμε ότι

sinh(u) sin(v) = minus sinh(u) sin(vprime)

rArr u = 0 (άτοπο)

΄Αρα u = uprime και η f είναι 1-1Τέλος κοιτάμε αν είναι επί ΄Εστω (x y z) isin S+

Για τυχαίο z gt 0 existμοναδικός αριθμός u τέτοιος ώστε cosh(u) = z Το V καθορίζεται μοναδικά

Παραρτημα Αʹ

Σχηματα Σχεδιασμενα στοMathematica 52

Παρακάτω υπάρχει ο κώδικας των σχημάτων που σχεδιάστηκαν με το πρό-

γραμμα Mathematica 52 Τα σχήματα που λείπουν έχουν σχεδιαστεί με το

πρόγραμμα Dia-Diagram

Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

sx1 = ParametricPlot3D[f [t] tminus9 9Boxed-gtFalsesx1 = ParametricPlot3D[f [t] tminus9 9Boxed-gtFalsesx1 = ParametricPlot3D[f [t] tminus9 9Boxed-gtFalseAxes-gtFalse ImageSizerarr 200Axes-gtFalse ImageSizerarr 200Axes-gtFalse ImageSizerarr 200DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]tanu[u ] = Simplify [partuf [u]] tanu[u ] = Simplify [partuf [u]] tanu[u ] = Simplify [partuf [u]] tanv[u ] = Simplify[frdquo[u]]tanv[u ] = Simplify[frdquo[u]]tanv[u ] = Simplify[frdquo[u]]tanvectors[u ]=tanvectors[u ]=tanvectors[u ]=Arrow[tanv[u]Tailrarr f [u]Arrow[tanv[u]Tailrarr f [u]Arrow[tanv[u]Tailrarr f [u]RGBColor[Random[]Random[]Random[]]]RGBColor[Random[]Random[]Random[]]]RGBColor[Random[]Random[]Random[]]]Show[sx1Table[tanvectors[s] sminus8 8 1]Show[sx1Table[tanvectors[s] sminus8 8 1]Show[sx1Table[tanvectors[s] sminus8 8 1]DisplayFunctionrarr $DisplayFunction]DisplayFunctionrarr $DisplayFunction]DisplayFunctionrarr $DisplayFunction]

Γραφικο 2

ltlt GraphicsPlotField3Dltlt GraphicsPlotField3Dltlt GraphicsPlotField3D

PlotVectorField3D[x y z x 0 2 y 0 2PlotVectorField3D[x y z x 0 2 y 0 2PlotVectorField3D[x y z x 0 2 y 0 2z 0 2PlotPointsrarr 5VectorHeadsrarr Truez 0 2PlotPointsrarr 5VectorHeadsrarr Truez 0 2PlotPointsrarr 5VectorHeadsrarr True

Boxedrarr FalseColorFunctionrarr HueBoxedrarr FalseColorFunctionrarr HueBoxedrarr FalseColorFunctionrarr HueViewPoint-gt2233minus2259 1168]ViewPoint-gt2233minus2259 1168]ViewPoint-gt2233minus2259 1168]

Γραφικο 3

ltlt GraphicsPolyhedraltlt GraphicsPolyhedraltlt GraphicsPolyhedraShow[Stellate[Polyhedron[Octahedron] 3]Boxedrarr FalseShow[Stellate[Polyhedron[Octahedron] 3]Boxedrarr FalseShow[Stellate[Polyhedron[Octahedron] 3]Boxedrarr FalseViewPoint-gt0667 1340 3034 ImageSizerarr 250]ViewPoint-gt0667 1340 3034 ImageSizerarr 250]ViewPoint-gt0667 1340 3034 ImageSizerarr 250]

σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4

tminus5 10ParametricPlot3D

[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10

Boxedrarr FalseTicksrarr 0 0 AxesLabelrarr x y zBoxedrarr FalseTicksrarr 0 0 AxesLabelrarr x y zBoxedrarr FalseTicksrarr 0 0 AxesLabelrarr x y zAxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[0015]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[0015]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[0015]ImageSizerarr 90]ImageSizerarr 90]ImageSizerarr 90]

σχημα 12

ParametricPlot3D [et eminust 2t tminus3 3Boxedrarr TrueParametricPlot3D [et eminust 2t tminus3 3Boxedrarr TrueParametricPlot3D [et eminust 2t tminus3 3Boxedrarr TrueViewPointrarr 1888 2633 975Ticksrarr 0 0 0ViewPointrarr 1888 2633 975Ticksrarr 0 0 0ViewPointrarr 1888 2633 975Ticksrarr 0 0 0AxesLabelrarr x y zAxesLabelrarr x y zAxesLabelrarr x y zBoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]

σχημα 13

ltlt GraphicsArrowltlt GraphicsArrowltlt GraphicsArrowsx1 = ParametricPlot [t3 minus 4t t2 minus 4 tminus45 45sx1 = ParametricPlot [t3 minus 4t t2 minus 4 tminus45 45sx1 = ParametricPlot [t3 minus 4t t2 minus 4 tminus45 45Ticks-gtminus5 5 2minus2minus4AxesLabel-gtx yTicks-gtminus5 5 2minus2minus4AxesLabel-gtx yTicks-gtminus5 5 2minus2minus4AxesLabel-gtx yAxesStyle-gtRGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStyle-gtRGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStyle-gtRGBColor[1 0 0]Thickness[001]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]Show[sx1Graphics[Hue[0]Arrow[minus9 2 minus5 7]]Show[sx1Graphics[Hue[0]Arrow[minus9 2 minus5 7]]Show[sx1Graphics[Hue[0]Arrow[minus9 2 minus5 7]]Graphics[Hue[0]Arrow[5 7 9 2]]Graphics[Hue[0]Arrow[5 7 9 2]]Graphics[Hue[0]Arrow[5 7 9 2]]DisplayFunction rarr $DisplayFunctionAspectRatiorarr 1]DisplayFunction rarr $DisplayFunctionAspectRatiorarr 1]DisplayFunction rarr $DisplayFunctionAspectRatiorarr 1]

σχημα 14

ParametricPlot[Cos[t] Sin[t] tminus4 4ParametricPlot[Cos[t] Sin[t] tminus4 4ParametricPlot[Cos[t] Sin[t] tminus4 4Ticksrarr minus1minus5 5 1 minus1minus5 5 1Ticksrarr minus1minus5 5 1 minus1minus5 5 1Ticksrarr minus1minus5 5 1 minus1minus5 5 1AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AspectRatiorarr 1AxesLabelrarr x y]AspectRatiorarr 1AxesLabelrarr x y]AspectRatiorarr 1AxesLabelrarr x y]

σχημα 15

sx1 = ParametricPlot[t tand3 t 0 22Ticksrarr 1 2 sx1 = ParametricPlot[t tand3 t 0 22Ticksrarr 1 2 sx1 = ParametricPlot[t tand3 t 0 22Ticksrarr 1 2 DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]Show[sx1Show[sx1Show[sx1Graphics[Dashing[001 001]Line[1 0 1 1]]Graphics[Dashing[001 001]Line[1 0 1 1]]Graphics[Dashing[001 001]Line[1 0 1 1]]Graphics [Dashing[0015 002]Line [2 0 2 23]] Graphics [Dashing[0015 002]Line [2 0 2 23]] Graphics [Dashing[0015 002]Line [2 0 2 23]] AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AxesLabelrarr x yDisplayFunction rarr $DisplayFunction]AxesLabelrarr x yDisplayFunction rarr $DisplayFunction]AxesLabelrarr x yDisplayFunction rarr $DisplayFunction]

σχημα 16

sx = ParametricPlot[tminus Sin[t] 1minus Cos[t] t 0 6πsx = ParametricPlot[tminus Sin[t] 1minus Cos[t] t 0 6πsx = ParametricPlot[tminus Sin[t] 1minus Cos[t] t 0 6πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]sx1 = ParametricPlot[Sin[t]Cos[t] + 1 tminus4 4AxesOriginrarr 0 0sx1 = ParametricPlot[Sin[t]Cos[t] + 1 tminus4 4AxesOriginrarr 0 0sx1 = ParametricPlot[Sin[t]Cos[t] + 1 tminus4 4AxesOriginrarr 0 0DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]sx2 = ParametricPlot[Sin[t] + 15Cos[t] + 1 tminus4 4sx2 = ParametricPlot[Sin[t] + 15Cos[t] + 1 tminus4 4sx2 = ParametricPlot[Sin[t] + 15Cos[t] + 1 tminus4 4AxesOriginrarr 0 0DisplayFunction rarr Identity]AxesOriginrarr 0 0DisplayFunction rarr Identity]AxesOriginrarr 0 0DisplayFunction rarr Identity]Show[sx sx1 sx2AspectRatiorarr 05Ticksrarr Show[sx sx1 sx2AspectRatiorarr 05Ticksrarr Show[sx sx1 sx2AspectRatiorarr 05Ticksrarr AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[002]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[002]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[002]RGBColor[1 0 0]Thickness[004]RGBColor[1 0 0]Thickness[004]RGBColor[1 0 0]Thickness[004]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]

σχημα 17

sx1 = ParametricPlot[tminus Sin[t] 1minus Cos[t] t 0 3sx1 = ParametricPlot[tminus Sin[t] 1minus Cos[t] t 0 3sx1 = ParametricPlot[tminus Sin[t] 1minus Cos[t] t 0 3Ticksrarr DisplayFunction rarr Identity]Ticksrarr DisplayFunction rarr Identity]Ticksrarr DisplayFunction rarr Identity]

sx2 = ParametricPlot[Cos[t] + 12 Sin[t] + 1 t 0 2πsx2 = ParametricPlot[Cos[t] + 12 Sin[t] + 1 t 0 2πsx2 = ParametricPlot[Cos[t] + 12 Sin[t] + 1 t 0 2πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]

lin1 = Show[Graphics[Line[12 0 12 1]]lin1 = Show[Graphics[Line[12 0 12 1]]lin1 = Show[Graphics[Line[12 0 12 1]]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]

sx3 = ParametricPlot[Cos[t] Sin[t] + 1 t 0 2πsx3 = ParametricPlot[Cos[t] Sin[t] + 1 t 0 2πsx3 = ParametricPlot[Cos[t] Sin[t] + 1 t 0 2πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]


lin2 = Show[Graphics[Line[028 064 12 1]]lin2 = Show[Graphics[Line[028 064 12 1]]lin2 = Show[Graphics[Line[028 064 12 1]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]lin3 = Show[Graphics[Line[028 064 12 064]]lin3 = Show[Graphics[Line[028 064 12 064]]lin3 = Show[Graphics[Line[028 064 12 064]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]lin4 = Show[Graphics[Line[028 064 028 0]]lin4 = Show[Graphics[Line[028 064 028 0]]lin4 = Show[Graphics[Line[028 064 028 0]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]gr1 = Show[Graphics[Text[E 14 1]]gr1 = Show[Graphics[Text[E 14 1]]gr1 = Show[Graphics[Text[E 14 1]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]gr2 = Show[Graphics[Text[D 14 07]]gr2 = Show[Graphics[Text[D 14 07]]gr2 = Show[Graphics[Text[D 14 07]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]gr3 = Show[Graphics[Text[A 03 085]]gr3 = Show[Graphics[Text[A 03 085]]gr3 = Show[Graphics[Text[A 03 085]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]gr4 = Show[Graphics[Text[B 03minus01]]gr4 = Show[Graphics[Text[B 03minus01]]gr4 = Show[Graphics[Text[B 03minus01]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]gr5 = Show[Graphics[Text[O minus01minus01]]gr5 = Show[Graphics[Text[O minus01minus01]]gr5 = Show[Graphics[Text[O minus01minus01]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]gr6 = Show[Graphics[Text[t 11 085]]gr6 = Show[Graphics[Text[t 11 085]]gr6 = Show[Graphics[Text[t 11 085]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]gr7 = Show[Graphics[Text[G 14minus01]]gr7 = Show[Graphics[Text[G 14minus01]]gr7 = Show[Graphics[Text[G 14minus01]]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]Show[sx1 sx2 sx3 lin1 lin2 lin3 lin4 gr4 gr2 gr1 gr3Show[sx1 sx2 sx3 lin1 lin2 lin3 lin4 gr4 gr2 gr1 gr3Show[sx1 sx2 sx3 lin1 lin2 lin3 lin4 gr4 gr2 gr1 gr3gr5 gr6 gr7AspectRatiorarr Automaticgr5 gr6 gr7AspectRatiorarr Automaticgr5 gr6 gr7AspectRatiorarr AutomaticAxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]

σχημα 18

sx1 = Plot[Cosh[x] xminus3 3sx1 = Plot[Cosh[x] xminus3 3sx1 = Plot[Cosh[x] xminus3 3Epilograrr Text[Cosh minus23 3]Epilograrr Text[Cosh minus23 3]Epilograrr Text[Cosh minus23 3]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]sx2 = Plot[Sinh[x] xminus3 3DisplayFunctionrarr Identity]sx2 = Plot[Sinh[x] xminus3 3DisplayFunctionrarr Identity]sx2 = Plot[Sinh[x] xminus3 3DisplayFunctionrarr Identity]

sxhmata = Show[sx1 sx2Graphics[Text[Sinh minus1minus25]]sxhmata = Show[sx1 sx2Graphics[Text[Sinh minus1minus25]]sxhmata = Show[sx1 sx2Graphics[Text[Sinh minus1minus25]]Ticksrarr Ticksrarr Ticksrarr AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]

sx3 = ParametricPlot3D[Cosh[t] Sinh[t] t tminus3 3sx3 = ParametricPlot3D[Cosh[t] Sinh[t] t tminus3 3sx3 = ParametricPlot3D[Cosh[t] Sinh[t] t tminus3 3ViewPoint-gt1208 3007 0975Ticksrarr ViewPoint-gt1208 3007 0975Ticksrarr ViewPoint-gt1208 3007 0975Ticksrarr BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]

AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]Show[GraphicsArray[sxhmata sx3]]Show[GraphicsArray[sxhmata sx3]]Show[GraphicsArray[sxhmata sx3]]

σχημα 19

ParametricPlot [eminustCos[5t] eminustSin[5t] t 0 4ParametricPlot [eminustCos[5t] eminustSin[5t] t 0 4ParametricPlot [eminustCos[5t] eminustSin[5t] t 0 4Ticksrarr AspectRatiorarr AutomaticTicksrarr AspectRatiorarr AutomaticTicksrarr AspectRatiorarr AutomaticAxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]]

σχημα 116

sx1 = ParametricPlot3D[t 0 e

minus1

t2

t 001 2sx1 = ParametricPlot3D

[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2

DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]

sx2 = ParametricPlot3D[t e

minus1

t2 0 tminus2minus001sx2 = ParametricPlot3D

[t e

minus1


[t e

minus1

t2 0 tminus2minus001

DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]Show[sx1 sx2DisplayFunction rarr $DisplayFunctionShow[sx1 sx2DisplayFunction rarr $DisplayFunctionShow[sx1 sx2DisplayFunction rarr $DisplayFunctionViewPoint-gt2616minus1912 0975ViewPoint-gt2616minus1912 0975ViewPoint-gt2616minus1912 0975Ticksrarr 0 0 0AxesLabelrarr x y zTicksrarr 0 0 0AxesLabelrarr x y zTicksrarr 0 0 0AxesLabelrarr x y zBoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]

σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

tanu[u ] = Simplify [partuf [u]] tanu[u ] = Simplify [partuf [u]] tanu[u ] = Simplify [partuf [u]]

tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]

dianb[u ] =dianb[u ] =dianb[u ] =

Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]tanvectors[u ]=Arrow[tanu[u]Tailrarr f [u]Red]tanvectors[u ]=Arrow[tanu[u]Tailrarr f [u]Red]tanvectors[u ]=Arrow[tanu[u]Tailrarr f [u]Red]Arrow[tanv[u]Tailrarr f [u]Blue]Arrow[tanv[u]Tailrarr f [u]Blue]Arrow[tanv[u]Tailrarr f [u]Blue]Arrow[dianb[u]Tailrarr f [u]RGBColor[0 1 0]]Arrow[dianb[u]Tailrarr f [u]RGBColor[0 1 0]]Arrow[dianb[u]Tailrarr f [u]RGBColor[0 1 0]]

Show[sx1 tanvectors[minus2] ImageSizerarr 300]Show[sx1 tanvectors[minus2] ImageSizerarr 300]Show[sx1 tanvectors[minus2] ImageSizerarr 300]

σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

sminus1 1Ticksrarr sminus1 1Ticksrarr sminus1 1Ticksrarr BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]BoxStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[01]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]]

σχημα 23

ltlt GraphicsInequalityGraphicsltlt GraphicsInequalityGraphicsltlt GraphicsInequalityGraphicsltlt GraphicsShapesltlt GraphicsShapesltlt GraphicsShapessx1 = ParametricPlot3D[Cos[v]Sin[u] Sin[v]Sin[u]Cos[u] v 0 2πsx1 = ParametricPlot3D[Cos[v]Sin[u] Sin[v]Sin[u]Cos[u] v 0 2πsx1 = ParametricPlot3D[Cos[v]Sin[u] Sin[v]Sin[u]Cos[u] v 0 2πu 0 πDisplayFunctionrarr Identity]u 0 πDisplayFunctionrarr Identity]u 0 πDisplayFunctionrarr Identity]sx2 = InequalityPlot3D [x2 + y2 + z2 le 1 and minus001 lt z lt 001 x ysx2 = InequalityPlot3D [x2 + y2 + z2 le 1 and minus001 lt z lt 001 x ysx2 = InequalityPlot3D [x2 + y2 + z2 le 1 and minus001 lt z lt 001 x yzAxes-gtFalseDisplayFunctionrarr Identity]zAxes-gtFalseDisplayFunctionrarr Identity]zAxes-gtFalseDisplayFunctionrarr Identity]sx3 = Plot3D[0 xminus15 15 yminus15 15Boxedrarr Falsesx3 = Plot3D[0 xminus15 15 yminus15 15Boxedrarr Falsesx3 = Plot3D[0 xminus15 15 yminus15 15Boxedrarr FalseAxesrarr FalseColorFunctionrarr GrayLevelDisplayFunctionrarr Identity]Axesrarr FalseColorFunctionrarr GrayLevelDisplayFunctionrarr Identity]Axesrarr FalseColorFunctionrarr GrayLevelDisplayFunctionrarr Identity]Show[WireFrame[sx1] sx2WireFrame[sx3]Show[WireFrame[sx1] sx2WireFrame[sx3]Show[WireFrame[sx1] sx2WireFrame[sx3]DisplayFunction rarr $DisplayFunctionViewPoint-gt1844 2802 0447DisplayFunction rarr $DisplayFunctionViewPoint-gt1844 2802 0447DisplayFunction rarr $DisplayFunctionViewPoint-gt1844 2802 0447Boxedrarr FalseAxesrarr FalseAspectRatiorarr Automatic ImageSizerarr 500]Boxedrarr FalseAxesrarr FalseAspectRatiorarr Automatic ImageSizerarr 500]Boxedrarr FalseAxesrarr FalseAspectRatiorarr Automatic ImageSizerarr 500]

σχημα 25

ltlt GraphicsInequalityGraphicsltlt GraphicsInequalityGraphicsltlt GraphicsInequalityGraphicsComplexInequalityPlot[Abs[z] le 1 zComplexInequalityPlot[Abs[z] le 1 zComplexInequalityPlot[Abs[z] le 1 zTicksrarr minus1minus5 5 1 minus1minus5 5 1]Ticksrarr minus1minus5 5 1 minus1minus5 5 1]Ticksrarr minus1minus5 5 1 minus1minus5 5 1]sx1 = ParametricPlot3D[Cos[θ]Sin[φ] Sin[θ]Sin[φ]Cos[φ]sx1 = ParametricPlot3D[Cos[θ]Sin[φ] Sin[θ]Sin[φ]Cos[φ]sx1 = ParametricPlot3D[Cos[θ]Sin[φ] Sin[θ]Sin[φ]Cos[φ]θ 0 2Pi φ 0Pi2]θ 0 2Pi φ 0Pi2]θ 0 2Pi φ 0Pi2]tanvectors = Arrow[15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]tanvectors = Arrow[15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]tanvectors = Arrow[15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0 15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0 15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0 15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Show[sx1 tanvectorsViewPoint-gt2915 1539minus0764Boxedrarr FalseShow[sx1 tanvectorsViewPoint-gt2915 1539minus0764Boxedrarr FalseShow[sx1 tanvectorsViewPoint-gt2915 1539minus0764Boxedrarr FalseAxesrarr False ImageSizerarr 600]Axesrarr False ImageSizerarr 600]Axesrarr False ImageSizerarr 600]

σχημα 26

sx1 = ParametricPlot3D[Cos[θ]Sin[φ] Sin[θ]Sin[φ]Cos[φ] θ 0 2Pisx1 = ParametricPlot3D[Cos[θ]Sin[φ] Sin[θ]Sin[φ]Cos[φ] θ 0 2Pisx1 = ParametricPlot3D[Cos[θ]Sin[φ] Sin[θ]Sin[φ]Cos[φ] θ 0 2Piφ 0PiDisplayFunction rarr Identity]φ 0PiDisplayFunction rarr Identity]φ 0PiDisplayFunction rarr Identity]g1[x y ] = 4minus x2 minus y2g1[x y ] = 4minus x2 minus y2g1[x y ] = 4minus x2 minus y2x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]P1[u v ] = x[u v] y[u v] g1[x[u v] y[u v]]P1[u v ] = x[u v] y[u v] g1[x[u v] y[u v]]P1[u v ] = x[u v] y[u v] g1[x[u v] y[u v]]

sx2 = ParametricPlot3D[P1[u v] u 0 1 v 0 2πsx2 = ParametricPlot3D[P1[u v] u 0 1 v 0 2πsx2 = ParametricPlot3D[P1[u v] u 0 1 v 0 2πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]g2[x y ] = minus4 + x2 + y2g2[x y ] = minus4 + x2 + y2g2[x y ] = minus4 + x2 + y2x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]P2[u v ] = x[u v] y[u v] g2[x[u v] y[u v]]P2[u v ] = x[u v] y[u v] g2[x[u v] y[u v]]P2[u v ] = x[u v] y[u v] g2[x[u v] y[u v]]sx3 = ParametricPlot3D[P2[u v] u 0 1 v 0 2πsx3 = ParametricPlot3D[P2[u v] u 0 1 v 0 2πsx3 = ParametricPlot3D[P2[u v] u 0 1 v 0 2πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]g3[x y ] = minus4 + x2 + y2g3[x y ] = minus4 + x2 + y2g3[x y ] = minus4 + x2 + y2x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]P3[u v ] = x[u v] g3[x[u v] y[u v]] y[u v]P3[u v ] = x[u v] g3[x[u v] y[u v]] y[u v]P3[u v ] = x[u v] g3[x[u v] y[u v]] y[u v]sx4 = ParametricPlot3D[P3[u v] u 0 1 v 0 2πsx4 = ParametricPlot3D[P3[u v] u 0 1 v 0 2πsx4 = ParametricPlot3D[P3[u v] u 0 1 v 0 2πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]g4[x y ] = 4minus x2 minus y2g4[x y ] = 4minus x2 minus y2g4[x y ] = 4minus x2 minus y2x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]P4[u v ] = x[u v] g4[x[u v] y[u v]] y[u v]P4[u v ] = x[u v] g4[x[u v] y[u v]] y[u v]P4[u v ] = x[u v] g4[x[u v] y[u v]] y[u v]sx5 = ParametricPlot3D[P4[u v] u 0 1 v 0 2πsx5 = ParametricPlot3D[P4[u v] u 0 1 v 0 2πsx5 = ParametricPlot3D[P4[u v] u 0 1 v 0 2πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]g5[x y ] = 4minus x2 minus y2g5[x y ] = 4minus x2 minus y2g5[x y ] = 4minus x2 minus y2x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]P5[u v ] = g5[x[u v] y[u v]] x[u v] y[u v]P5[u v ] = g5[x[u v] y[u v]] x[u v] y[u v]P5[u v ] = g5[x[u v] y[u v]] x[u v] y[u v]sx6 = ParametricPlot3D[P5[u v] u 0 1 v 0 2πsx6 = ParametricPlot3D[P5[u v] u 0 1 v 0 2πsx6 = ParametricPlot3D[P5[u v] u 0 1 v 0 2πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]g6[x y ] = minus4 + x2 + y2g6[x y ] = minus4 + x2 + y2g6[x y ] = minus4 + x2 + y2x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]x[u v ] y[u v ] = uCos[v] uSin[v]P6[u v ] = g6[x[u v] y[u v]] x[u v] y[u v]P6[u v ] = g6[x[u v] y[u v]] x[u v] y[u v]P6[u v ] = g6[x[u v] y[u v]] x[u v] y[u v]sx7 = ParametricPlot3D[P6[u v] u 0 1 v 0 2πsx7 = ParametricPlot3D[P6[u v] u 0 1 v 0 2πsx7 = ParametricPlot3D[P6[u v] u 0 1 v 0 2πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]tanvectors = Arrow[15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]tanvectors = Arrow[15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]tanvectors = Arrow[15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0 15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0 15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0 15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0minus15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0minus15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0 0minus15Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[minus15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[minus15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[minus15 0 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0minus15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0minus15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Arrow[0minus15 0Tailrarr 0 0 0Thickness[007]]Show[sx1 sx2 sx3 sx4 sx5 sx6 sx7 tanvectorsBoxedrarr FalseShow[sx1 sx2 sx3 sx4 sx5 sx6 sx7 tanvectorsBoxedrarr FalseShow[sx1 sx2 sx3 sx4 sx5 sx6 sx7 tanvectorsBoxedrarr FalseAxesrarr FalseDisplayFunction rarr $DisplayFunction ImageSizerarr 800]Axesrarr FalseDisplayFunction rarr $DisplayFunction ImageSizerarr 800]Axesrarr FalseDisplayFunction rarr $DisplayFunction ImageSizerarr 800]

σχημα 28

ltlt GraphicsShapesltlt GraphicsShapesltlt GraphicsShapes

sx1 = ParametricPlot3D[Cos[t]Sin[s] 0Cos[s] t 0 2π s 0 πsx1 = ParametricPlot3D[Cos[t]Sin[s] 0Cos[s] t 0 2π s 0 πsx1 = ParametricPlot3D[Cos[t]Sin[s] 0Cos[s] t 0 2π s 0 π

PlotPointsrarr 50ViewPoint-gt2797 1336 1356PlotPointsrarr 50ViewPoint-gt2797 1336 1356PlotPointsrarr 50ViewPoint-gt2797 1336 1356DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]sx2 = ParametricPlot3D[Cos[t]Sin[s] Sin[t]Sin[s] 0 t 0 2πsx2 = ParametricPlot3D[Cos[t]Sin[s] Sin[t]Sin[s] 0 t 0 2πsx2 = ParametricPlot3D[Cos[t]Sin[s] Sin[t]Sin[s] 0 t 0 2πs 0 πPlotPointsrarr 60DisplayFunction rarr Identity]s 0 πPlotPointsrarr 60DisplayFunction rarr Identity]s 0 πPlotPointsrarr 60DisplayFunction rarr Identity]

Show[sx1 sx2Graphics3D[Text[y-axis 5 16 0]]Show[sx1 sx2Graphics3D[Text[y-axis 5 16 0]]Show[sx1 sx2Graphics3D[Text[y-axis 5 16 0]]Graphics3D[Text[x-axis 1minus9minus7]]Graphics3D[Text[x-axis 1minus9minus7]]Graphics3D[Text[x-axis 1minus9minus7]]Graphics3D[Text[z-axis minus12minus6 1]]Graphics3D[Text[z-axis minus12minus6 1]]Graphics3D[Text[z-axis minus12minus6 1]]Graphics3D[Text[C minus12minus3 7]]Graphics3D[Text[C minus12minus3 7]]Graphics3D[Text[C minus12minus3 7]]Graphics3D[Text[Crsquo minus12 7minus2]]Graphics3D[Text[Crsquo minus12 7minus2]]Graphics3D[Text[Crsquo minus12 7minus2]]WireFrame[Graphics3D[Sphere[1]]]Boxedrarr FalseWireFrame[Graphics3D[Sphere[1]]]Boxedrarr FalseWireFrame[Graphics3D[Sphere[1]]]Boxedrarr FalseTextStylerarr FontSizerarr 22AxesEdgerarr minus1minus1TextStylerarr FontSizerarr 22AxesEdgerarr minus1minus1TextStylerarr FontSizerarr 22AxesEdgerarr minus1minus1minus1minus1 minus1minus1Ticksrarr 0 1 0 1 minus1minus1 minus1minus1Ticksrarr 0 1 0 1 minus1minus1 minus1minus1Ticksrarr 0 1 0 1 ImageSizerarr 600DisplayFunctionrarr $DisplayFunctionImageSizerarr 600DisplayFunctionrarr $DisplayFunctionImageSizerarr 600DisplayFunctionrarr $DisplayFunctionAxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]]

σχημα 210


ltlt GraphicsColorsltlt GraphicsColorsltlt GraphicsColors

sx1 = Show[box[0 2 minus1 3 4 7]DisplayFunctionrarr Identity]sx1 = Show[box[0 2 minus1 3 4 7]DisplayFunctionrarr Identity]sx1 = Show[box[0 2 minus1 3 4 7]DisplayFunctionrarr Identity]

setup3[z0 ]=Graphics3D[Polygon[0minus1 z0 2minus1 z0 2 3 z0setup3[z0 ]=Graphics3D[Polygon[0minus1 z0 2minus1 z0 2 3 z0setup3[z0 ]=Graphics3D[Polygon[0minus1 z0 2minus1 z0 2 3 z00 3 z0 0minus1 z0]]0 3 z0 0minus1 z0]]0 3 z0 0minus1 z0]]sx2 = ParametricPlot3D[t s 0 tminus2 4 sminus2 4sx2 = ParametricPlot3D[t s 0 tminus2 4 sminus2 4sx2 = ParametricPlot3D[t s 0 tminus2 4 sminus2 4DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]

protosxhma = Show[sx1 setup3[55] setup3[0]WireFrame[sx2]protosxhma = Show[sx1 setup3[55] setup3[0]WireFrame[sx2]protosxhma = Show[sx1 setup3[55] setup3[0]WireFrame[sx2]Graphics3D[Text[u minus16minus2 12]]Graphics3D[Text[u minus16minus2 12]]Graphics3D[Text[u minus16minus2 12]]Graphics3D[Text[v 4 4 04]]Graphics3D[Text[v 4 4 04]]Graphics3D[Text[v 4 4 04]]Graphics3D[Text[t 0 0 8]]Graphics3D[Text[t 0 0 8]]Graphics3D[Text[t 0 0 8]]Graphics3D[Text[t=a 02 02 5]]Graphics3D[Text[t=a 02 02 5]]Graphics3D[Text[t=a 02 02 5]]Graphics3D[Text[π(W) 7 9 0Backgroundrarr GrayLevel[8]]]Graphics3D[Text[π(W) 7 9 0Backgroundrarr GrayLevel[8]]]Graphics3D[Text[π(W) 7 9 0Backgroundrarr GrayLevel[8]]]Graphics3D[Text[W 36 02 7]]Boxedrarr FalseGraphics3D[Text[W 36 02 7]]Boxedrarr FalseGraphics3D[Text[W 36 02 7]]Boxedrarr FalseAxesrarr TrueAxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1Axesrarr TrueAxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1Axesrarr TrueAxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1Ticksrarr ImageSizerarr 300TextStylerarr FontSizerarr 10Ticksrarr ImageSizerarr 300TextStylerarr FontSizerarr 10Ticksrarr ImageSizerarr 300TextStylerarr FontSizerarr 10AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]

sx3 = ParametricPlot3D[t s Sin[t] + 5 t 0 2 sminus1 3sx3 = ParametricPlot3D[t s Sin[t] + 5 t 0 2 sminus1 3sx3 = ParametricPlot3D[t s Sin[t] + 5 t 0 2 sminus1 3DisplayFunctiongtIdentity]DisplayFunctiongtIdentity]DisplayFunctiongtIdentity]deyterosxhma = Show[sx1 sx3WireFrame[sx2]deyterosxhma = Show[sx1 sx3WireFrame[sx2]deyterosxhma = Show[sx1 sx3WireFrame[sx2]Graphics3D[Text[V 36 02 9]]Graphics3D[Text[V 36 02 9]]Graphics3D[Text[V 36 02 9]]Graphics3D [Text [fminus1(a)capV 44 02 8]] Boxed-gtFalseGraphics3D [Text [fminus1(a)capV 44 02 8]] Boxed-gtFalseGraphics3D [Text [fminus1(a)capV 44 02 8]] Boxed-gtFalse

Axesrarr TrueAxesEdge-gt1minus1 minus1minus1 minus1 1Axesrarr TrueAxesEdge-gt1minus1 minus1minus1 minus1 1Axesrarr TrueAxesEdge-gt1minus1 minus1minus1 minus1 1Ticks-gt ImageSizerarr 300TextStyle-gtFontSizerarr 10Ticks-gt ImageSizerarr 300TextStyle-gtFontSizerarr 10Ticks-gt ImageSizerarr 300TextStyle-gtFontSizerarr 10AxesStyle-gtRGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStyle-gtRGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStyle-gtRGBColor[1 0 0]Thickness[001]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]Show[GraphicsArray[deyterosxhma protosxhma] ImageSizerarr 600Show[GraphicsArray[deyterosxhma protosxhma] ImageSizerarr 600Show[GraphicsArray[deyterosxhma protosxhma] ImageSizerarr 600DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]

σχημα 211

ltlt GraphicsContourPlot3Dltlt GraphicsContourPlot3Dltlt GraphicsContourPlot3Dsx1 = ContourPlot3D [minusx2 minus y2 + z2 minus 1 xminus5 5sx1 = ContourPlot3D [minusx2 minus y2 + z2 minus 1 xminus5 5sx1 = ContourPlot3D [minusx2 minus y2 + z2 minus 1 xminus5 5yminus5 5 zminus5 5PlotPointsrarr 3 5yminus5 5 zminus5 5PlotPointsrarr 3 5yminus5 5 zminus5 5PlotPointsrarr 3 5Boxedrarr FalseAxesrarr TrueBoxedrarr FalseAxesrarr TrueBoxedrarr FalseAxesrarr TrueTicksrarr minus1 0 1Ticksrarr minus1 0 1Ticksrarr minus1 0 1AxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1AxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1AxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1AxesLabelrarr x y zAxesLabelrarr x y zAxesLabelrarr x y zViewPoint-gtminus2568minus1784 1294ViewPoint-gtminus2568minus1784 1294ViewPoint-gtminus2568minus1784 1294DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]Show[sx1Show[sx1Show[sx1Graphics3D[Line[minus5 5minus1 0 0minus1]]Graphics3D[Line[minus5 5minus1 0 0minus1]]Graphics3D[Line[minus5 5minus1 0 0minus1]]Graphics3D[Line[minus5 5 1 0 0 1]]Graphics3D[Line[minus5 5 1 0 0 1]]Graphics3D[Line[minus5 5 1 0 0 1]]Graphics3D[Text[x minus2 5minus4]]Graphics3D[Text[x minus2 5minus4]]Graphics3D[Text[x minus2 5minus4]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]

σχημα 212

ltlt GraphicsShapesltlt GraphicsShapesltlt GraphicsShapesShow[Graphics3D[Torus[25 1]]Boxedrarr FalseShow[Graphics3D[Torus[25 1]]Boxedrarr FalseShow[Graphics3D[Torus[25 1]]Boxedrarr FalseAxesrarr TrueAxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1Axesrarr TrueAxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1Axesrarr TrueAxesEdgerarr 1minus1 minus1minus1 minus1 1Ticksrarr Ticksrarr Ticksrarr AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]ViewPoint-gtminus0654minus2876 1659]ViewPoint-gtminus0654minus2876 1659]ViewPoint-gtminus0654minus2876 1659]

σχημα 213

sx1 = ParametricPlot3D[0Cos[t] + 3 Sin[t] tminusπ πsx1 = ParametricPlot3D[0Cos[t] + 3 Sin[t] tminusπ πsx1 = ParametricPlot3D[0Cos[t] + 3 Sin[t] tminusπ πPlotRangerarr minus4 4 minus4 4 minus2 2AxesLabelrarr x y zPlotRangerarr minus4 4 minus4 4 minus2 2AxesLabelrarr x y zPlotRangerarr minus4 4 minus4 4 minus2 2AxesLabelrarr x y zBoxedrarr FalseAxesEdgerarr minus1minus1 minus1minus1 minus1minus1Boxedrarr FalseAxesEdgerarr minus1minus1 minus1minus1 minus1minus1Boxedrarr FalseAxesEdgerarr minus1minus1 minus1minus1 minus1minus1ViewPoint-gt2995 1286 0910ViewPoint-gt2995 1286 0910ViewPoint-gt2995 1286 0910

DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]DisplayFunctionrarr Identity]sx2 = ParametricPlot3D[3Sin[s] 3Cos[s] 0 sminusπ πsx2 = ParametricPlot3D[3Sin[s] 3Cos[s] 0 sminusπ πsx2 = ParametricPlot3D[3Sin[s] 3Cos[s] 0 sminusπ πDisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]DisplayFunction rarr Identity]protosxhma = Show[sx1 sx2protosxhma = Show[sx1 sx2protosxhma = Show[sx1 sx2Graphics3D[Dashing[0017 0018]Graphics3D[Dashing[0017 0018]Graphics3D[Dashing[0017 0018]Line[0 0 0 0 4 0]]Line[0 0 0 0 4 0]]Line[0 0 0 0 4 0]]Graphics3D[Thickness[0006]Graphics3D[Thickness[0006]Graphics3D[Thickness[0006]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]

Graphics3D[Thickness[0006]Graphics3D[Thickness[0006]Graphics3D[Thickness[0006]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

Graphics3D[Graphics3D[Graphics3D[Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

Graphics3D[Point[0 0 0]]Graphics3D[Point[0 0 0]]Graphics3D[Point[0 0 0]]Graphics3D[Text[(000) 0 0 02]]Graphics3D[Text[(000) 0 0 02]]Graphics3D[Text[(000) 0 0 02]]Graphics3D[Text[A 0 19minus02]]Graphics3D[Text[A 0 19minus02]]Graphics3D[Text[A 0 19minus02]]Graphics3D[Text[B 0 25minus02]]Graphics3D[Text[B 0 25minus02]]Graphics3D[Text[B 0 25minus02]]Graphics3D[Text[G 0 3minus02]]Graphics3D[Text[G 0 3minus02]]Graphics3D[Text[G 0 3minus02]]Graphics3D[Text[x 0 25 1]]Graphics3D[Text[x 0 25 1]]Graphics3D[Text[x 0 25 1]]Axesrarr TrueTicksrarr Axesrarr TrueTicksrarr Axesrarr TrueTicksrarr DisplayFunction rarr $DisplayFunction ImageSizerarr 600DisplayFunction rarr $DisplayFunction ImageSizerarr 600DisplayFunction rarr $DisplayFunction ImageSizerarr 600TextStylerarr FontSizerarr 13TextStylerarr FontSizerarr 13TextStylerarr FontSizerarr 13AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[0005]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[0005]]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[0005]]

σχημα 214

sx1 = ParametricPlot3D[Cos[t] + 1 Sin[t] s tminusπ πsx1 = ParametricPlot3D[Cos[t] + 1 Sin[t] s tminusπ πsx1 = ParametricPlot3D[Cos[t] + 1 Sin[t] s tminusπ πs 0 1DisplayFunction rarr Identity]s 0 1DisplayFunction rarr Identity]s 0 1DisplayFunction rarr Identity]sx2 = ParametricPlot3D[Cos[t]minus 1 Sin[t] s tminusπ πsx2 = ParametricPlot3D[Cos[t]minus 1 Sin[t] s tminusπ πsx2 = ParametricPlot3D[Cos[t]minus 1 Sin[t] s tminusπ πs 0 1DisplayFunction rarr Identity]s 0 1DisplayFunction rarr Identity]s 0 1DisplayFunction rarr Identity]Show[sx1 sx2Boxedrarr FalseShow[sx1 sx2Boxedrarr FalseShow[sx1 sx2Boxedrarr FalseAxesEdgerarr minus1minus1 minus1minus1 minus1minus1AxesEdgerarr minus1minus1 minus1minus1 minus1minus1AxesEdgerarr minus1minus1 minus1minus1 minus1minus1Ticksrarr minus2minus1 0 1 2 AxesLabelrarr x y zTicksrarr minus2minus1 0 1 2 AxesLabelrarr x y zTicksrarr minus2minus1 0 1 2 AxesLabelrarr x y zAxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]AxesStylerarr RGBColor[1 0 0]Thickness[001]

DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]DisplayFunction rarr $DisplayFunction]

Βιβλιογραφια

[1] Στοιχειώδης διαφορική γεωμετρία Orsquoneil

[2] Διαφορική γεωμετρία Μάλλιος

[3] Modern differential geometry of curves and surfaces Singer Thorpe

[4] Differential geometry (βασισμένο σε Mathematica και Maple) AlfredGrey

[5] Riemman geometry Gallot Hulin La Fontaine προχωρημένο βιβλίο

Ευρετηριο

αμφιδιαφόριση 29

απλή 21

διαφορίσιμη συνάρτηση 3 21

διαφορικό 26

δικάθετο διάνυσμα 15

επίπεδο κίνησης 15

εξωτερικό γινόμενο 11

ιδιάζων σημείο 5

ιχνος της καμπύλης 3

κύριο κάθετο 14

καμπυλότητα 13

κανονική επιφάνεια 30 34 36

κανονική καμπύλη 5

κανονική τιμή 35

κλειστή καμπύλη 21

κρίσιμη τιμή 35

κρίσιμο σημείο 35

λεία συνάρτηση 3

μήκος τόξου 6

παραμετρικοποίηση 30

παραμετρικοποιημένη καμπύλη 3

σύστημα συντεταγμένων 30

σημείο ιδιομορφίας 5 15

συστροφή 16

τρίεδρο Frenet 17

diamsΟι

ση-

μειώσεις

της διαφορι-

κής γεωμετρίας

στοιχειοθετήθηκαν

με το LATEX 2ε Το

υπολογιστικό περιβάλλον

ήταν Linux Η βιβλιογραφία

κατασκευάστηκε με το bibTEX καιτο ευρετήριο με το makeindex Ταμαθηματικά σχεδιαγράμματα

έγιναν με το mathematica52 και το Dia-DiagramΗ επεξεργασία του

κειμένου έγινε

με το πρό-

γραμμα

kile193diams

στοιχεοθεσια Ξενιτιδης ΚλεανθηςLATEX2ε

σχεδια Diamathematica 52

ημερομηνια Μαρτιου













v




1t2 0) 16


119 η καμπύλη ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2) 19



vii





Κεφαλαιο 1

Καμπυλες
















Σχήμα 12






Σχήμα 13




14)rarr R2 α(t) =














ιδιότητες


3π2

)








ddt












S(t) =

int t

t0

|αprime(t)|dt

όπου







S(t) =int tt0










S =

int 2

0

|αprime(t)| =int 2

0

radic12 + 9t4
















u) b s

u) όπου u =



ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1



(cycloid)






AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams













v




1t2 0) 16


119 η καμπύλη ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2) 19



vii





Κεφαλαιο 1

Καμπυλες
















Σχήμα 12






Σχήμα 13




14)rarr R2 α(t) =














ιδιότητες


3π2

)








ddt












S(t) =

int t

t0

|αprime(t)|dt

όπου







S(t) =int tt0










S =

int 2

0

|αprime(t)| =int 2

0

radic12 + 9t4
















u) b s

u) όπου u =



ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1



(cycloid)






AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams




1t2 0) 16


119 η καμπύλη ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2) 19



vii





Κεφαλαιο 1

Καμπυλες
















Σχήμα 12






Σχήμα 13




14)rarr R2 α(t) =














ιδιότητες


3π2

)








ddt












S(t) =

int t

t0

|αprime(t)|dt

όπου







S(t) =int tt0










S =

int 2

0

|αprime(t)| =int 2

0

radic12 + 9t4
















u) b s

u) όπου u =



ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1



(cycloid)






AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams





Κεφαλαιο 1

Καμπυλες
















Σχήμα 12






Σχήμα 13




14)rarr R2 α(t) =














ιδιότητες


3π2

)








ddt












S(t) =

int t

t0

|αprime(t)|dt

όπου







S(t) =int tt0










S =

int 2

0

|αprime(t)| =int 2

0

radic12 + 9t4
















u) b s

u) όπου u =



ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1



(cycloid)






AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams




Σχήμα 12






Σχήμα 13




14)rarr R2 α(t) =














ιδιότητες


3π2

)








ddt












S(t) =

int t

t0

|αprime(t)|dt

όπου







S(t) =int tt0










S =

int 2

0

|αprime(t)| =int 2

0

radic12 + 9t4
















u) b s

u) όπου u =



ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1



(cycloid)






AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams








ιδιότητες


3π2

)








ddt












S(t) =

int t

t0

|αprime(t)|dt

όπου







S(t) =int tt0










S =

int 2

0

|αprime(t)| =int 2

0

radic12 + 9t4
















u) b s

u) όπου u =



ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1



(cycloid)






AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams




S(t) =

int t

t0

|αprime(t)|dt

όπου







S(t) =int tt0










S =

int 2

0

|αprime(t)| =int 2

0

radic12 + 9t4
















u) b s

u) όπου u =



ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1



(cycloid)






AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams











u) b s

u) όπου u =



ua sin(

s

u)

1

ua cos(

s

u)b

u)

|αprime(s)| =

radica2

u2sin2(

s

u) +

a2

u2cos2(

s

u) +

b2

u2

=

radica2 + b2

u2

=

radica2 + b2

a2 + b2

= 1



(cycloid)






AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams




AB = 1minus cos(t)



t = 2kπ k isin Z



0








)





και




S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



S(t) =

int t

0


=

int t

0

(cosh(t)radic

2dt)

=radic

2 sinh(t)




sradic2

))

= (1 +s2


sradic2

))




=a



κός έλικας


+ aebt cos(t))

= (a


|αprime(t)| =a




int x

0

|αprime(t)|dt =

int x

0

radic()2 + ()2dt

= tradic

()2 + ()2∣∣∣t=xt=0

= xradic


=x

eminusbx




0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



0






int b

a



Επίσης int b

a


a

αprime(t)udt


a

























∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams










∣∣∣∣∣∣ = minus1






όπου

det(u v w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


utimes v =

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ e1 +

∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2









και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams






και

















θετική




d

dt(utimes v)(t) =

du


dt






= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams




= η ευθεί-


ε2




























53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams





53) rarr R2 α(t) =




|αprime(t)| =radic

()2 + ()2 = 1


()2 + ()2 = 1





a) a sin(

s

a))


|βprime(s)| =

radic(minusa(

s

a)prime sin(

s

a))2 + (a(

s

a)prime cos(

s

a))2


()2 + ()2 = 1


a))prime (cos(

s

a))prime) = (minus1

acos(

s

a)minus1

asin(

s

a))

|βprimeprime(s)| =

radic1

a2(cos2 + sin2) =

radic1

a2

=1

a
















































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams













































α Rrarr R3 α(t) =

(t 0 eminus

1t2 ) t gt 0


0 t = 0



Σχήμα 116












α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


α











Bprime(s)






N = Btimes T





Επίσης

Tprime = kN

Bprime = tN










α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams









α(s) =(a cos(

sradica2 + b2

) a sin(sradic

a2 + b2)

bsradica2 + b2

)αprime(s) =

(minus aradic

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

)aradic

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)bradic

a2 + b2

)= T(s)

Tprime(s) =(minus a

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

)minus a

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0)


a2 + b2



a2 + b2)minus sin(

sradica2 + b2

) 0)



a2 + b2sin(

sradica2 + b2


cos(sradic

a2 + b2)

aradica2 + b2

)



( b

a2 + b2cos(

sradica2 + b2

b

a2 + b2sin(

sradica2 + b2

) 0))

rArr t(s) = minus b

a2 + b2







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams







(1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

) s isin (minus1 1)


= ( (1+s)32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2)


2minusradic

1minus s2

1radic2

)

|αprime(s)| =

radic1 + s

4+

1minus s4

+1radic2

= 1



4radic

1 + s

1

4radic

1minus s 0)


=

radic1

16(1 + s)+

1

16(1minus s)

=


16(1minus s2)=

1radic8(1minus s2)



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



N(s) =1

k(s)Tprime(s)

=radic

8(1minus s2)( 1

4radic

1 + s

1

4(1minus s) 0)

=(radic1minus s

2

radic1 + s

2 0)



1 + s

2

radic1minus s2

radic2

2

)

Bprime(s) =(minus 1

4radic

1 + sminus 1

4radic

1minus s 0)


(radic2radic

1minus s2

radic2radic

1 + s

2 0)

︸︷︷︸N(s)




et + eminust

απάντηση

T =1radic2

(tanh(t) 11

cosh(t))

B =1radic2


cosh(t))

N = (1


k =1

2 cosh2(t)












Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams











Απόδειξη

A =

int l

0

x(s)yprime(s)ds


leint l0



=int l0


(lowast)




2le rl










Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams









Κεφαλαιο 2



βλητών




partf

party(x0 y0)



partx1(x10 x20 xn0)


΄Εστω


U sube R2 rarr R



x(u v)y(u v)z(u v)

fminusrarr R


την σχέση

partf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu+partf

partz

partz

partu










F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams









F3(u v) = uv



Υπάρχει














R3 Θεωρώ e1 = (1 0) e2 = (0 1) και f1 = (1 0 0) f2 = (0 1 0) f3 =





F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


F (u v) = (x(u v) y(u v)z(u v))



partu

partu

partt+partx

partv

partv

parttparty

partu

partu

partt+party

partv

partv

parttpartz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt)

=

(partx

partu

partu

partt+partx

partv

partv

partt

)f1 +

(party

partu

partu

partt+party

partv

partv

partt

)f2 +

(partz

partu

partu

partt+partz

partv

partv

partt

)f3

=

partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv

partu

parttpartv

partt




partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv



(partFipartxj

)i=1m




(partFipartxj

) η οποία




)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



)i=12j=12

= dFp

=

part(x2 minus y2)

partx


part2xy

partx

part2xy

party

=

(2x minus2y2y 2x

)΄Εστω p = (1 1) και w = (2 3) τότε

dF(11)(2 3) =

(2 minus22 2

)w =

(2 minus22 2

)(2


)= (minus2 10)



























dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams









dx(ex cos(y0) e






JF (x y) =

partu

partx

partu

partypartv

partx

partv

party

=


ex sin(y) ex cos(y)

)














p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams










p













(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


(partx

partuparty

partupartz

partu

)=

partf

partu(partx

partvparty

partvpartz

partv

)=

partf

partv



partf



partx

partu

partx

partvparty

partu

party

partvpartz

partu

partz

partv


partf


ταpartf

partuκαι

partf



όπου




partx

partx

partx

partyparty

partx

party

party

partradic


partradic


=

1 0

0 1






της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



της S2












0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams











0 le φ le π

0 le θ le 2π

ρ gt 0


S2 = (x y z)x2 + y2 + z2 = 1




partθ


partφ


partθ


partφ

part(cos(φ))

partθ

part(cos(φ))

partφ







rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams






rArr

cos(θ) =x

sin(φ)

sin(θ) =y

sin(φ)


με


g(V ) = S2 C prime





dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



dfp =

partu

partu

partu

partvpartv

partu

partv

partvpartf

partu

partf

partv

=

1 00 1partf

partu

partf

partv















dfp(1 0 0) =partf

partx

∣∣∣∣p

=partf

partx(x y0 z0)

∣∣∣∣x=x0

= fx



partf

partz(x0 y0 z) = fz






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams






















Σχήμα 211



partf

partx= minus2x

partf

party= minus2y

partf

partz= 2z












κενο


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


κενο





MxBG)





partf

partz= 2z

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2

partf


radicx2 + y2)radic

x2 + y2



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



hArr (z = 0) and

x = 0ή

x2 + y2 = a2

and y = 0

ή

x2 + y2 = a2



μορφές

z = f(x y) y = g(x y) x = h(y z)



partf

partx= 0

partf

party= 0

partf

partz= 2z



partf


partf

party=partf

partz



partg

partx= yz2

partg

party= xz2

partg

partz= 2xyz





larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



larrrarr




(σχήμα 211)


























Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams












Γραφικο 1

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

8


Γραφικο 2




Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


Γραφικο 3


σχημα 11

ParametricPlot3D[

Cos[t] Sin[t] t4


[Cos[t] Sin[t] t

4


[Cos[t] Sin[t] t

4

tminus5 10


σχημα 12


σχημα 13


σχημα 14


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


σχημα 15


σχημα 16


σχημα 17







σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



σχημα 18





σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


σχημα 19


σχημα 116


minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2


[t 0 e

minus1

t2

t 001 2



minus1


[t e

minus1


[t e

minus1



σχημα 118

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4

f [t ]=

Cos[t] Sin[t] t

4


tanv[u ] = Simplify

[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0


[minusCos

[uradic1+ 1

16

]minusSin

[u

1+ 116

] 0

]


Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116

]Simplify

[14radic1+ 1

16

Sin

[uradic1+ 1

16

]minus 14radic

1+ 116

Cos

[uradic1+ 1

16

] 1radic

1+ 116



σχημα 119

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2

ParametricPlot3D

[(1+s)

32

3 (1minuss)

32

3 sradic

2


σχημα 23


σχημα 25


σχημα 26



σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


σχημα 28





σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams



σχημα 210








σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


σχημα 211


σχημα 212


σχημα 213



[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

] 0 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]Line

[0Cos

[3 π45

]+ 3 Sin

[3 π45

]

0Cos[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]Line

[0 3 0

0Cos

[3 π45

]+ 3 0

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]

0Cos

[3 π45

]+ 3 015

]]


[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

Line

[0Cos

[3 π45

]+ 315 15

0Cos[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]

0Cos

[3 π45

]+ 315 0

]]


σχημα 214









Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams








Ευρετηριο


απλή 21






















συστροφή 16


diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams

diamsΟι

ση-

μειώσεις










με το πρό-

γραμμα

kile193diams

Diaforikh gewmetria

Documents

Transcript of Diaforikh gewmetria