determinanta 020

22
Algebra I Determinanta 1 Determinanta Boris Zgrabli´ c Povzetek Pojma ploˇ cine paralelograma v ravnini in prostornine paralelepipeda v prostoru pos- ploˇ simo tako, da za poljuben konˇ cnorazseˇ zen vektorski prostor V razseˇ znosti n nad poljem IF in njegovo izbrano, pribito urejeno bazo Ω definiramo predznaˇ ceno relativno prostornino urejene n-terice vektorjev iz V glede na urejeno bazo Ω kot preslikavo P Ω : V n IF, ki je multilinearna, uniˇ ci vse linearno odvisne n-terice vektorjev iz V in ima vrednost 1 na urejeni bazi Ω. Determinanto matrike in determinanto endomorfizma nato vpeljemo kot predznaˇ ceno relativno prostornino doloˇ cene n-terice vektorjev glede na primerno izbrano urejeno bazo ustreznega prostora. Kazalo 1. O definiciji 2 2. Determinanta ˇ cesa? Vzgibi za vpeljavo determinante 2 3. Ploˇ cina in prostornina: paralelogram in paralelepiped 2 4. Predznaˇ cena relativna prostornina urejene n-terice vektorjev 4 5. Predznaˇ cena prostornina: zgledi 5 6. Predznaˇ cena prostornina: dokaz obstoja in enoliˇ cnosti 6 7. Predznaˇ cena prostornina: orientacija 9 8. Determinanta kvadratne matrike 9 9. Predznaˇ cena prostornina in determinante matrike 12 10.Lastnosti determinante matrike 12 11.Determinanta endomorfizma 15 12.Lastnosti determinante endomorfizma in zgledi 17 13.Linearno izraˇ zanje vektorja po bazi 17 14.Reˇ sevanje posebnih linearnih sistemov – Cramerjevo pravilo 19 15.Alternativne definicije determinante 21 16.Nekaj predlogov za nadaljnje branje 21 Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c BZ

Transcript of determinanta 020

Page 1: determinanta 020

Algebra I Determinanta 1

DeterminantaBoris Zgrablic

Povzetek

Pojma ploscine paralelograma v ravnini in prostornine paralelepipeda v prostoru pos-plosimo tako, da za poljuben koncnorazsezen vektorski prostor V razseznosti n nad poljemIF in njegovo izbrano, pribito urejeno bazo Ω definiramo predznaceno relativno prostorninourejene n-terice vektorjev iz V glede na urejeno bazo Ω kot preslikavo PΩ: V n → IF, ki jemultilinearna, unici vse linearno odvisne n-terice vektorjev iz V in ima vrednost 1 na urejenibazi Ω.

Determinanto matrike in determinanto endomorfizma nato vpeljemo kot predznacenorelativno prostornino dolocene n-terice vektorjev glede na primerno izbrano urejeno bazoustreznega prostora.

Kazalo

1. O definiciji 2

2. Determinanta cesa? Vzgibi za vpeljavo determinante 2

3. Ploscina in prostornina: paralelogram in paralelepiped 2

4. Predznacena relativna prostornina urejene n-terice vektorjev 4

5. Predznacena prostornina: zgledi 5

6. Predznacena prostornina: dokaz obstoja in enolicnosti 6

7. Predznacena prostornina: orientacija 9

8. Determinanta kvadratne matrike 9

9. Predznacena prostornina in determinante matrike 12

10.Lastnosti determinante matrike 12

11.Determinanta endomorfizma 15

12.Lastnosti determinante endomorfizma in zgledi 17

13.Linearno izrazanje vektorja po bazi 17

14.Resevanje posebnih linearnih sistemov – Cramerjevo pravilo 19

15.Alternativne definicije determinante 21

16.Nekaj predlogov za nadaljnje branje 21

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 2: determinanta 020

Algebra I Determinanta 2

Literatura 21

1. O definiciji

V klasicnem matematicnem kvintetu

definicija – lema – trditev – izrek – posledica

je definicija tista, ki doloca jeziku proznost, sporocilnosti moc in razpravi okvir. Namen tegasestavka je vpeljati pojem determinante. Izhodisce razmisljanja bo izkustveno, skoraj otipljivo,izbira definicije pa bo krepko geometrijsko podprta s pojmoma ploscine in prostornine, s cimerbo tudi vecina lastnosti determinante imela ocitno geometrijsko tolmacenje.

2. Determinanta cesa? Vzgibi za vpeljavo determinante

Nastejmo nekaj morebitnih razlogov za vpeljavo pojma determinante.

(a) Posplositev pojma prostornine. O tem bomo obsirno spregovorili v naslednjih razdelkih.

(b) Resevanje sistemov linearnih enacb. Le redki sistemi so resljivi s pomocjo determinante –to so linearni sistemi z matriko sistema, ki je kvadratna in obrnljiva. Pa tudi v teh primerihima determinantni pristop k resevanju zgolj teoretski pomen, v praksi ga ne uporabljamo.

(c) Linearno izrazanje vektorja po bazi. Razvojne koeficiente vektorja po urejeni bazi lahkos precejsnjo stopnjo simetrije in na preprost nacin izrazimo z determinantami razlicnihn-teric vektorjev. Pomen je spet teoretski – seveda je zveza s tocko (b) vec kot zgoljnavidezna.

(d) Obrnljivost kvadratne matrike in endomorfizma. Kvadratna matrika je obrnljiva natankotedaj, ko je njena determinanta razlicna od nic. Enako velja za endomorfizem koncnoraz-seznega prostora.

(e) Obravnava problema lastnih vrednosti endomorfizma. Vsak endomorfizem spremljata dvaodlikovana, njemu lastna polinoma, to sta minimalni in karakteristicni polinom. Slednjegalahko izracunamo tudi z uporabo determinante (a ne nujno – tu je dejavno gibanje ”Dol zdeterminantami!”, glej ucbenik S. Axlerja).

Med nastetimi vzgibi ima primer (a) geometrijsko naravo, primeri (b,d,e) algebrsko, primer (c)pa mesano.

Torej, determinanta cesa?

3. Ploscina in prostornina: paralelogram in paralelepiped

Svincnik v roke! Oglejmo si paralelogram, razpetega nad dva vektorja ~a,~b v ravnini. Kako senjegova ploscina odziva na spremembe nosilnih vektorjev? In sploh, kaj je ploscina? Podobnovprasanje si zastavimo tudi v primeru paralelepipeda, razpetega nad tremi vektorji ~a,~b,~c, tokratv zvezi z njegovo prostornino.

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 3: determinanta 020

Algebra I Determinanta 3

Ocitno je naslednje: ce enega od nosilnih vektorjev pomnozimo s skalarjem λ, se tudi ploscinaparalelograma oziroma prostornina paralelepipeda pomnozi z λ. Khm, ali res? Ja, v primeruλ > 0. Sicer se ploscina oziroma prostornina pomnozita z absolutno vrednostjo |λ|, ob tem pa sesmer pomnozenega nosilnega vektorja zamenja.

Zaplet z absolutno vrednostjo resimo tako, da se odlocimo za opazovanje predznacene ploscineurejenega para vektorjev (in ne paralelograma, ki ga doloca ta urejeni par) oziroma predznaceneprostornine urejene trojice vektorjev v primeru paralelepipeda, predznak bo pac nekaj povedalo vzajemni usmeritvi (orientaciji) nosilnih vektorjev. Ce s P(~a, ~b) oziroma P(~a, ~b, ~c) oznacimopredznaceno ploscino oziroma predznaceno prostornino urejenega para in urejene trojice, imamo

P(λ~a,~b) = λP(~a,~b) (1)

inP(λ~a,~b,~c) = λP(~a,~b,~c), (2)

podobne enakosti dobimo tudi v primeru mnozenja drugega ali tretjega nosilnega vektorja.

Vemo tudi, da je ploscina paralelograma odvisna samo od njegove visine nad izbrano osnovnico,prostornina paralelepipeda pa od njegove visine nad izbrano osnovno ploskvijo. V jeziku vek-torjev nosilcev, ki lik oziroma telo razpenjajo: ploscina paralelograma oziroma prostorninaparalelepipeda se ne spremeni, ce enemu od nosilnih vektorjev pristejemo poljuben veckratnikdrugega:

P(~a + µ~b,~b) = P(~a,~b) (3)

inP(~a + µ~b,~b,~c) = P(~a,~b,~c), (4)

preostale podobne enakosti prepuscam bralki in bralcu.

Prav tako lahko enega od nosilnih vektorjev zapisemo kot vsoto dveh vektorjev in zapisemo:

P(~a′ + ~a′′,~b) = P(~a′,~b) + P(~a′′,~b) (5)

inP(~a′ + ~a′′,~b,~c) = P(~a′,~b,~c) + P(~a′′,~b,~c), (6)

podobne enakosti dobimo za razcep drugega ali tretjega nosilnega vektorja. Tu bo morebitipotrebna dodatna skica ob uporabi ze omenjenih vlog visine, osnovnice in osnovne ploskve primerjenju ploscine in prostornine.

Zdaj je pravi trenutek, ce smo prva dva ze zamudili, da izrojenemu paralelogramu izmerimonicelno ploscino, izrojenemu paralelepipedu pa nicelno prostornino! Torej, ce sta geometrijskavektorja ~a, ~b kolinearna, velja

P(~a, ~b) = 0,

ce so geometrijski vektorji ~a, ~b, ~c komplanarni pa je

P(~a, ~b, ~c) = 0.

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 4: determinanta 020

Algebra I Determinanta 4

Se o vprasanju, kaj je ploscina in kaj prostornina. Spet se omejimo na paralelogram v ravnini,razpetega na dveh vektorjih, oziroma na paralelepiped v prostoru, razpetega na treh vektor-jih. Ploscina paralelograma seveda ni dana sama po sebi, je le relativna kolicina: ce poznamoploscino kaksnega (neizrojenega!) paralelograma, potem lahko izracunamo tudi ploscine vsehparalelogramov v njegovi ravnini – grobo to napravimo z rezanjem in lepljenjem, morebiti sotudi finejsi pristopi.

Tako se odlocimo popraviti imenovanje pojma, ki ga obravnavamo: govorili bomo o predznacenirelativni ploscini urejenega para vektorjev v ravnini oziroma predznaceni relativni prostorniniurejene trojice vektorjev v prostoru. Predznacena relativna prostornina ni novost – srecali smojo ze v mesanem produktu geometrijskih vektorjev.

Pri posplositvi pojma predznacene relativne prostornine na abstraktne vektorske prostore po-ljubne koncne razseznosti bi lahko po vzoru geometrijskih pojmov paralelograma in paralelepipedavpeljali pojem paralelotopa, predvsem preko lastnosti konveksnosti. Toda s tem bi krepko preseglinas nacrt vpeljave determinante.

Ostanimo torej pri predznaceni relativni prostornini urejene n-terice vektorjev v n-razseznemvektorskem prostoru.

4. Predznacena relativna prostornina urejene n-terice vektorjev

Izberimo neko urejeno bazo Ω prostora V , glede na katero bomo merili prostornino. To boodlikovana urejena n-terica vektorjev, ki ji bomo predpisali predznaceno prostornino 1.

Predznacena relativna prostornina glede na urejeno bazo Ω na n-razseznem prostoru V nadpoljem IF je preslikava

PΩ: V n → IF,

ki zadosca naslednjim lastnostnim:

(P1) PΩ je multilinearna,

(P2) PΩ unici vsako linearno odvisno n-terico vektorjev iz V ,

(P3) PΩ zavzame vrednost 1 na urejeni bazi Ω, torej PΩ(Ω) = 1.

Preden se posvetimo posameznim zahtevam (P1,P2,P3) povejmo, da predznaceno relativnoprostornino PΩ pogosto krajse pisemo P in preprosto recemo predznacena prostornina, ceje iz spremljajocega besedila razvidna odlikovana urejena baza Ω, glede na katero merimopredznaceno prostornino.

Lastnost (P1) posplosuje dve lastnosti ploscine in prostornine, opisani v enakostih (1,2,5,6).Gre za lastnosti homogenosti in aditivnosti v posameznih komponentah. Ce pri nekih vrednostihzamrznemo vse spremenljivke razen ene, dobimo iz zacetne preslikave n-tih spremenljivk novopreslikavo ene same spremenljivke, ki zanjo zahtevamo, da je sestevajoca in homogena, torejlinearna:

PΩ(u1 + u′1, u2, . . . , un) = PΩ(u1, u2, . . . , un) + PΩ(u′1, u2, . . . , un)

inPΩ(λu1, u2, . . . , un) = λPΩ(u1, u2, . . . , un)

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 5: determinanta 020

Algebra I Determinanta 5

za vse u1, u2, . . . , un, u′1 ∈ V in vsak λ ∈ IF. Podobno velja tudi za vse ostale komponente, oddruge do n-te.

5. Predznacena prostornina: zgledi

Iz definicije predznacene prostornine ni ocitno, ali taka preslikava sploh obstaja in ce obstaja, alije ena sama. Tako je nasa naloga najprej pokazati obstoj in enolicnost predznacene prostornine(glede na Ω). To bomo napravili v naslednjem razdelku, pred tem si pa oglejmo nekaj zgledov.

V prvem zgledu naj bo V = IR2 in Ω = Σ = e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) obicajna urejenabaza prostora V . Izracunajmo predznaceno prostornino urejenega para Π = x = (2,−1), y =(−3,−2) glede na urejeno bazo Σ, korakoma, upostevajoc definirajoce lastnosti predznaceneprostornine:

PΣ(Π) = PΣ(x, y)= PΣ(2e1 + (−1)e2, (−3)e1 + (−2)e2)= PΣ(2e1, (−3)e1 + (−2)e2) + PΣ((−1)e2, (−3)e1 + (−2)e2)= PΣ(2e1, (−3)e1) + PΣ(2e1, (−2)e2) + PΣ((−1)e2, (−3)e1) + PΣ((−1)e2, (−2)e2)= 2PΣ(e1, (−3)e1) + 2PΣ(e1, (−2)e2) + (−1)PΣ(e2, (−3)e1) + (−1)PΣ(e2, (−2)e2)= 2(−3)PΣ(e1, e1) + 2(−2)PΣ(e1, e2) + (−1)(−3)PΣ(e2, e1) + (−1)(−2)PΣ(e2, e2)= (−6) · 0 + (−4)PΣ(Σ) + 3PΣ(Σ′) + 2 · 0= (−4) · 1 + 3 · (−1)= −7

Pri tem smo oznacili Σ′ = e2, e1 in uporabili dejstvo, da je PΣ(e2, e1) = −PΣ(e1, e2) = −1,torej da predznacena prostornina zamenja predznak pri zamenjavi dveh vektorjev: preprosto izenakosti

0 = P(u + v, u + v) = P(u, u) + P(u, v) + P(v, u) + P(v, v) = P(u, v) + P(v, u)

prepisemo P(v, u) = −P(u, v).

V drugem zgledu izberimo vektorski prostor V = IR5[x] in obicajno urejeno bazo Ω = 1, x, x2, x3, x4, x5.Koliksna je predznacena prostornina urejene peterice Π = x, x2, x3, x4, x5, 1 glede na urejenobazo Ω, torej PΩ(Π)?

Vedoc,

– da se urejeni bazi Ω in Π razlikujeta zgolj v vrstnem redu njunih elementov,

– da predznacena prostornina urejene peterice zamenja predznak pri medsebojni zamenjavimest dveh vektorjev in

– da poznamo PΩ(Ω) = 1,

je nas nacrt postopen prehod iz baze Ω k bazi Π, kjer pri vsakem koraku zamenjamo mesti dvehvektorjev v urejeni peterici, ki ji merimo prostornino:

PΩ(Π) = PΩ(x, x2, x3, x4, x5, 1)= −PΩ(x, x2, x3, x4, 1, x5)

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 6: determinanta 020

Algebra I Determinanta 6

= (−1)2PΩ(x, x2, x3, 1, x4, x5)= (−1)3PΩ(x, x2, 1, x3, x4, x5)= (−1)4PΩ(x, 1, x2, x3, x4, x5)= (−1)5PΩ(1, x, x2, x3, x4, x5)= (−1)5PΩ(Ω)= −1.

Kaj pa v primeru, ko je Π dobljena s poljubno permutacijo vektorjev iz urejene baze Ω? Odgovornajdemo v nadaljevanju.

6. Predznacena prostornina: dokaz obstoja in enolicnosti

Vzemimo poljubno n-terico vektorjev

u1, u2, . . . , un

iz prostora V in jo oznacimo krajse s ∆. Pri tem ni nujno, pozor, da je ∆ baza prostora V .Pokazali bomo, da je predznacena prostornina urejene n-terice vektorjev ∆ natanko dolocena zlastnostmi (P1,P2,P3). S tem bo potrjena enolicnost preslikave PΩ.

Vsak vektor uj iz urejene n-terice ∆ lahko linearno razvijemo po urejeni bazi Ω = v1, v2, . . . , vn.Z namenom zloziti razvojne koeficiente v matriko jih bomo indeksirali v skladu z ze pridobljenimiizkusnjami:

uj =n∑

i=1

aijvi. (7)

Ce privzamemo oznake iz snovi o matriki, ki je prirejena linearni preslikavi, so razvojni skalarjiaij v enakosti( 7) ravno koeficienti matrike

A = M∆Ω ( id ) =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

, (8)

toda pozor, v obicajnem pomenu pojma prehodne matrike sta obe urejeni n-terici bazi prostora,kar pa v nasem primeru ni vedno res: ∆ ni nujno baza!

Izkazalo se bo, da je smiselno lociti med razlicnimi stevci, po katerih tecejo vsote, zato rajepisimo

uj =n∑

ij=1

aij ,jvij . (9)

Izracunajmo zdaj predznaceno prostornino n-terice ∆ glede na urejeno bazo Ω:

PΩ(∆) = PΩ(u1, u2, . . . , un)

= PΩ(n∑

i1=1

ai1,1vi1 ,n∑

i2=1

ai2,2vi2 , . . . ,n∑

in=1

ain,nvin)

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 7: determinanta 020

Algebra I Determinanta 7

=n∑

i1=1

n∑

i2=1

. . .n∑

in=1

PΩ(ai1,1vi1 , ai2,2vi2 , . . . , ain,nvin)

=n∑

i1=1

n∑

i2=1

. . .n∑

in=1

ai1,1ai2,2 · · · ain,nPΩ(vi1 , vi2 , . . . , vin). (10)

Kot zanimivost povejmo, da je stevilo sestevancev v zadnji n-terni vsoti enako nn. Videli bomo,da so mnogi od njih nicelni in da je stevilo nenicelnih sestevancev kvecjemu enako n! = 1·2·. . .·n.

Koliksna je predznacena prostornina

PΩ(vi1 , vi2 , . . . , vin), (11)

torej predznacena prostornina urejene n-terice

vi1 , vi2 , . . . , vin?

Ce sta v tej n-terici dva vektorja enaka, potem je pripadajoca predznacena prostornina polastnosti (P2) enaka 0. Glede na to, da prostornine (11) nastopajo kot faktorji sestevancev vveckratni vsoti, so izmed njih zanimive samo tiste, kjer so stevila i1, i2, . . . , in paroma razlicna.To velja natanko tedaj, ko je preslikava

k 7→ ik

bijekcija, skratka permutacija mnozice 1, 2, . . . , n. Namesto ik pisimo raje σk, kjer je σ us-trezna permutacija iz grupe Sn, to je iz grupe vseh permutacij mnozice 1, 2, . . . , n. Tu σknadomesca klasicni funkcijski zapis σ(k).

Izpustimo vse sestevance v vsoti (10), ki so zanesljivo nicelni, uporabimo permutacijski zapis inveckratne vsote preoblikujmo v eno samo:

PΩ(∆) =∑

σ∈Sn

aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,nPΩ(vσ1, vσ2, . . . , vσn)

=∑

σ∈Sn

aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,nPΩ(σΩ). (12)

Odgovoriti moramo torej na naslednje vprasanje: koliksna je predznacena prostornina PΩ(σΩ),to je prostornina permutirane osnovne urejene n-terice Ω? Kako jo izracunati?

V primeru, da je τ ∈ Sn preprosta zamenjava–transpozicija, velja zaradi lastnosti (P2) enakost

PΩ(τΩ) = −PΩ(Ω),

kar smo ze preverili v prvem zgledu za n = 2, primer n > 2 pa ni nic bolj zahteven, le zapis jepri dokazovanju nekoliko bolj okoren. Sicer smo to lastnost uporabili v prvem in drugem zgledu.

Ce je σ poljubna permutacija iz Sn, pa jo lahko razcepimo v produkt transpozicij iz Sn, naprimer

σ = τkτk−1 · · · τ2τ1.

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 8: determinanta 020

Algebra I Determinanta 8

Zlahka preverimo veljavnost vseh naslednjih enakosti:

PΩ(σΩ) = PΩ(τkτk−1 · · · τ2τ1Ω)= −PΩ(τk−1 · · · τ2τ1Ω)= (−1)2PΩ(τk−2 · · · τ2τ1Ω)= . . .= (−1)kPΩ(Ω)= (−1)k.

Seveda je rezultat odvisen samo od sodosti ali lihosti stevila k, torej od sodosti ali lihosti per-mutacije σ. Tako smo ugotovili, da za vsako permutacijo σ ∈ Sn velja

PΩ(σΩ) = sign(σ) =

+1, ce je σ soda permutacija;−1, ce je σ liha permutacija.

(13)

Preslikavi sign: Sn → 1,−1 recemo tudi znak permutacije. Tako je predznacena relativnaprostornina permutirane n-terice σΩ (glede na Ω) enaka znaku permutacije σ,

PΩ(σΩ) = sign(σ). (14)

Z enakim razmislekom pokazemo, da za vsako urejeno n-terico vektorjev iz V , z oznako Γ, velja

PΩ(σΓ) = sign(σ) · PΩ(Γ), (15)

torej ,,vpliv‘‘ permutiranja na predznaceno prostornino ni odvisen od baze, glede na kateromerimo.

Napisimo zdaj splosni obrazec za predznaceno prostornino, izhajajoc iz enakosti (14) in obrazca (12).

PΩ(∆) =∑

σ∈Sn

aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,nPΩ(σΩ)

=∑

σ∈Sn

aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,n (sign(σ)PΩ(Ω))

=

σ∈Sn

sign(σ) aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,n

PΩ(Ω). (16)

Velja PΩ(Ω) = 1, zato sklenemo

PΩ(∆) =∑

σ∈Sn

sign(σ) aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,n. (17)

Ocitno je z obrazcem (17) predznacena prostornina urejene poljubne n-terice ∆ (glede na urejenobazo Ω) enolicno dolocena, torej je tudi preslikava PΩ enolicno dolocena.

Ni tezko preveriti, da preslikava PΩ, ki jo definira obrazec (17), ustreza vsem zahtevanim last-nostim za predznaceno prostornino. Torej smo dokazali tudi obstoj predznacene prostornine(glede na urejeno bazo Ω).

Podobno bi lahko preverili naslednje: ce sta Ω in Π urejeni bazi prostora V in ∆ poljubnaurejena n-terica vektorjev iz V , potem velja

PΩ(∆) = PΠ(∆) · PΩ(Π). (18)

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 9: determinanta 020

Algebra I Determinanta 9

Obrazec (18) dobimo tako, da vektorje uj v enakostih (7,9) razvijemo po urejeni bazi Π namestopo urejeni bazi Ω, nato pa se drzimo enakih korakov kot v prvotnem primeru. Vaja je pri-porocljiva za utrjevanje razumevanja predznacene prostornine.

V enakosti (18) lahko ze zaslutimo, da bo determinanta (endomorfizmov, matrik) mnozecapreslikava. V primeru, da vzamemo ∆ = Ω, je leva stran enakosti enaka 1. Posledicno izpeljemo

PΩ(Π) = PΠ(Ω)−1, (19)

ki napoveduje, da bo determinanta obrata enaka obratu determinante.

Enakosti (18,19) lazje sprejmemo, ce zlorabimo oznake in si predstavljamo ,,vecjo‘‘ kocko ∆, kijo polnimo z ,,manjsimi‘‘ kockami Ω in ,,vmesnimi‘‘ kockami Π in se zamislimo nad relativnimiprostorninami.

7. Predznacena prostornina: orientacija

Ce sta Ω in Π urejeni bazi prostora V nad poljem IR, potem iz zveze (19) sklepamo, da jepredznak predznacene prostornine PΩ(Π) enak predznaku predznacene prostornine PΠ(Ω), obestevili sta bodisi hkrati pozitivni bodisi hkrati negativni:

PΩ(Π) > 0 ⇐⇒ PΠ(Ω) > 0.

V prvem primeru (ko je PΩ(Π) > 0) recemo, da sta urejeni bazi Ω in Π enako orientirani,v drugem primeru (ko velja PΩ(Π) < 0) pa sta nasprotno orientirani. Ce bazo Ω pribijemokot referencno bazo, je v prvem primeru urejena baza Π pozitivno orientirana, v drugem panegativno orientirana. Vsaka urejena baza prostora V je torej bodisi pozitivno bodisi negativnoorientirana.

Ni tezko preveriti, da doloca orientiranost ekvivalencno relacijo na mnozici vseh urejenih bazprostora V , z dvema ekvivalencnima razredoma: razred pozitivno orientiranih urejenih baz inrazred negativno orientiranih urejenih baz.

Naloga. Preveri, da je relacija (enake) orientiranosti ekvivalencna, torej refleksivna (povratna),simetricna (vzajemna) in tranzitivna (prehodna).

8. Determinanta kvadratne matrike

Desna stran enakosti (17), to je vsota∑

σ∈Sn

sign(σ) aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,n, (20)

je taka, da je odvisna samo od koeficientov matrike A = M∆Ω ( id ), ki je matrika razvoja urejene

mnozice vektorjev ∆ po urejeni bazi Ω, kakor je opisano v enakostih (7,8). Vsoto (20) obicajnovzamemo za definicijo determinante matrike velikosti n × n s koeficienti aij . Videli bomo, danas pot predznacene prostornine pripelje v primeru matrik do vsebinsko enake definicije.

Seveda sta na voljo dve naravni definiciji determinante kvadratne matrike A ∈ IFn×n:

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 10: determinanta 020

Algebra I Determinanta 10

• stolpcna determinanta matrike kot predznacena prostornina urejene n-terice stolpcev ma-trike A glede na obicajno urejeno bazo Σs prostora stolpcev visine n, torej

dets(A) = PΣs(A(1), A(2), . . . , A(n)), (21)

in

• vrsticna determinanta matrike kot predznacena prostornina urejene n-terice vrstic matrikeA glede na obicajno urejeno bazo Σv prostora vrstic dolzine n, torej

detv(A) = PΣv(A(1), A(2), . . . , A(n)). (22)

Za zgled izracunajmo vrsticno in stolpcno determinanto matrike A =[

2 −3−1 −2

]! Pri tem bo

sevedaΣs = f1 = [1, 0]t, f2 = [0, 1]t, Σv = g1 = [1, 0], g2 = [0, 1].

Torej

dets(A) = PΣs(A(1), A(2))

= PΣs([2,−1]t, [−3,−2]t)= PΣs(2f1 + (−1)f2, (−3)f1 + (−2)f2)= . . .= −7 (23)

in podobno

detv(A) = PΣv(A(1), A(2))= PΣv([2,−3], [−1,−2])= PΣv(2g1 + (−3)g2, (−1)g1 + (−2)g2)= . . .= −7. (24)

Rezultata sta enaka. Nakljucje?

Naloga. Dopolni gornji verigi enakosti z manjkajocimi izracuni.

Izkaze se, da sta stolpcna in vrsticna determinanta matrike enaki za vsako kvadratno matrikoA ∈ IFn×n,

dets(A) = detv(A).

To je ocitno za identiteto, dets(I) = detv(I) (zakaj?). Za poljubno matriko A ∈ IFn×n skoeficienti aij pa zlahka preverimo, da je njena stolpcna determinanta enaka

dets(A) =∑

σ∈Sn

sign(σ) aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,n, (25)

vrsticna pa

detv(A) =∑

π∈Sn

sign(π) a1,π1a2,π2 · · · an,πn

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 11: determinanta 020

Algebra I Determinanta 11

=∑

π∈Sn

sign(π) aπ−11,1aπ−12,2 · · · aπ−1n,n

=∑

π∈Sn

sign(π−1) aπ−11,1aπ−12,2 · · · aπ−1n,n

=∑

π−1∈Sn

sign(π−1) aπ−11,1aπ−12,2 · · · aπ−1n,n

=∑

ρ∈Sn

sign(ρ) aρ1,1aρ2,2 · · · aρn,n

= dets(A).

Tu smo upostevali, da je vsaka permutacija bijekcija, torej obrnljiva preslikava, in da sta per-mutacija in njen obrat bodisi hkrati sodi bodisi hkrati lihi.

Tako pisemo kratko detA za determinanto matrike A. Ponovimo:

det (A) =∑

σ∈Sn

sign(σ) aσ1,1aσ2,2 · · · aσn,n =∑

π∈Sn

sign(π) a1,π1a2,π2 · · · an,πn. (26)

Obrazec (26), ki nosi ime po matematiku Leibnizu, je racunsko potraten (vsota ima n! sestevancev,vsak sestevanec je produkt n skalarjev) in neuporaben v prakticnih primerih. Rabimo ga pav teoretske namene, na primer pri dokazovanju nekaterih zanimivih lastnosti determinant. De-terminanto matrike pa racunamo raje uporabljajoc njene lastnosti, ki so opisane v naslednjemrazdelku. Zaenkrat povejmo, da lahko izracun opravimo z Gaussovim postopkom preobliko-vanja matrike v trikotno obliko, so pa se drugi prijemi, ki izracun v posebnih primerih mocnopoenostavijo.

Naloga.

1. Koliko sestevancev ima v splosnem vsaka od vsot v obrazcih (26)? Posebej zapisi tostevilo za n = 2, 3, 4, 5, 10 in za splosno naravno stevilo n ∈ IN.

2. Ce porabimo za eno mnozenje (dveh skalarjev) stotinko sekunde, sestevanje, odstevanjein zamenjavo predznaka pa opravimo v zanemarljivo kratkem casu, koliko casa potre-bujemo (v najslabsem primeru) za izracun determinante matrike velikosti 2× 2, 3× 3,4× 4, 5× 5, 10× 10, in 100× 100 na osnovi obrazca (26)?

3. Izracunaj determinante matrik

[a11 a12

a21 a22

],

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

,

uporabljajoc stolpcno ali vrsticno definicijo determinante, to je z obrazcem (26).

Pogosto uporabljamo za determinanto matrike A = [aij ] ∈ IFn×n tudi oznako |A| oziroma∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

ki pa seveda nima nobene zveze z absolutno vrednostjo realnega ali kompleksnega stevila.

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 12: determinanta 020

Algebra I Determinanta 12

9. Predznacena prostornina in determinante matrike

Ne samo, da lahko determinanto matrike definiramo kot predznaceno prostornino, vsako predzna-ceno prostornino lahko zapisemo kot determinanto kvadratne matrike. Natancneje, ce je

Ω = v1, v2, . . . , vn

urejena baza inΠ = u1, u2, . . . , un

urejena n-terica vektorjev iz n-razseznega prostora V , in ce kot v (8) zaznamujemo z

A = MΠΩ( id ) ∈ IFn×n

matriko, ki je sestavljena iz stolpcev razvoja vektorjev iz urejene mnozice Π po urejeni bazi Ω,torej A(j) = XΩ(uj), potem lahko enakosti (17,26) zdruzimo v

PΩ(Π) = detA = det MΠΩ( id ) . (27)

Zvezo (27) lahko (a ne nujno) uporabimo za udobnejse racunanje predznacene prostornine, zadokazovanje nekaterih njenih lastnosti ali lastnosti matricne determinante.

Na primer, ce je Σ se ena urejena baza prostora V lahko ob upostevanju zveze (18) sklepamo

PΩ(Π) =detMΠ

Σ( id )detMΩ

Σ( id ). (28)

Dokaz vkljucimo v naslednji zgled, kjer z uporabo enakosti (28) izracunamo predznaceno rela-tivno prostornino urejenega para vektorjev

Π = u1 = (−1,−2), u2 = (−1, 2) ⊂ IR2

glede na urejeno bazoΩ = v1 = (3, 1), v2 = (1, 1)

prostora IR2. Lahko bi izracunali koeficiente matrike MΠΩ( id ), a raje oznacimo obicajno urejeno

bazo prostora IR2 s Σ = e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) in razcepimo PΩ(Π) po enakosti (18),

PΩ(Π) = PΣ(Π)PΩ(Σ) = PΣ(Π)PΣ(Ω)−1 =detMΠ

Σ( id )detMΩ

Σ( id )=

∣∣∣∣−1 −1−2 2

∣∣∣∣∣∣∣∣3 11 1

∣∣∣∣=−42

= −2.

Prve tri enakosti dokazujejo zvezo (28).

10. Lastnosti determinante matrike

Naj bo A ∈ IFn×n poljubna matrika. Naslednje trditve dokazemo bodisi z neposredno uporaboosnovnih lastnosti (P1,P2,P3) za predznaceno prostornino (saj determinanta matrike je predzna-cena prostornina!) ali pa kot posledice obrazca (26).

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 13: determinanta 020

Algebra I Determinanta 13

(a) Matrika in njena transponiranka imata enako deteminanto:

detAt = detA.

To je ocitno, saj je vrsticna determinanta transponiranke enaka stolpcnemu rangu orig-inala, vrsticna in stolpcna determinanta pa sta enaki.

(b) Determinanta identitete je enaka 1:

det I = 1.

To sledi bodisi iz prostorninskega pristopa (gre za predznaceno prostornino obicajneurejene baze prostora stolpcev glede na taisto urejeno bazo) bodisi iz obrazca (26).

(c) Determinanta diagonalne matrike je enaka produktu njenih diagonalnih koeficientov.

(d) Determinanta trikotne matrike je enaka produktu njenih diagonalnih koeficientov.

(e) Determinanta matrike je nicelna natanko tedaj, ko so njeni stolpci linearno neodvisni.Posebna primera: determinanta matrike z nicelnim stolpcem je nicelna, prav tako je nicelnadeterminanta matrike z dvema enakima stolpcema.

(f) Determinanta matrike je sestevajoca preslikava v posameznem stolpcu:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a′11 + a′′11 a12 · · · a1n

a′21 + a′′21 a22 · · · a2n...

.... . .

...a′n1 + a′′n1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a′11 a12 · · · a1n

a′21 a22 · · · a2n...

.... . .

...a′n1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a′′11 a12 · · · a1n

a′′21 a22 · · · a2n...

.... . .

...a′′n1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

in podobno za preostale stolpce.

(g) Ce stolpec matrike pomnozimo s skalarjem λ, se determinanta matrike pomnozi s skalarjemλ: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λa11 a12 · · · a1n

λa21 a22 · · · a2n...

.... . .

...λan1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= λ ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣in podobno za preostale stolpce. Z drugimi besedami, skalar smemo izpostaviti iz posameznegastolpca, determinanta matrike je homogena preslikava v posameznem stolpcu.

(h) Determinanta matrike se ne spremeni, ce stolpcu matrike pristejemo poljuben skalarniveckratnik poljubnega drugega stolpca te matrike:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 + λa12 a12 · · · a1n

a21 + λa22 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 + λan2 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

in podobno za ostale nabore stolpcev in skalarjev.

(i) Pri zamenjavi polozaja poljubnih dveh stolpcev v matriki determinanta matrike zamenjapredznak.

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 14: determinanta 020

Algebra I Determinanta 14

(f–i)’ Lastnosti (f–i) veljajo tudi v primeru, ko zamenjamo vlogo stolpcev in vrstic.

(j) Ce matriko pomnozimo s skalarjem λ, se njena determinanta pomnozi s skalarjem λn:

det (λA) = λn · det A.

(k) Determinanta produkta matrik je enaka produktu determinant matrik:

det (AB) = detA · detB.

Torej je matricna determinanta mnozeca preslikava IFn×n → IF. Zdi se, da je za dokaz telastnosti smiselno pocakati do vpeljave determinante endomorfizma.

Preden nadaljujemo z lastnostmi, definirajmo pojem poddeterminante matrike A: z Aij oznacimodeterminanto matrike iz IF(n−1)×(n−1), ki jo iz matrike A dobimo tako, da izlocimo njeno i-tovrstico in njen j-ti stolpec. Skalarju Aij recemo (i, j)-ta poddeterminanta matrike A.

Na primer, za matriko

A =

−1 2 0 13 −2 −4 −1

−6 11 5 07 13 −5 12

je poddeterminanta A32 enaka

A32 =

∣∣∣∣∣∣

−1 0 13 −4 −17 −5 12

∣∣∣∣∣∣.

Pripravljeni smo na naslednje resnice.

(l) Ce so v j-tem stolpcu matrike A vsi koeficienti nicelni razen i-tega, aij 6= 0, potem je

det A = (−1)i+jaijAij .

Enak obrazec velja v primeru, da so v i-ti vrstici matrike A vsi koeficienti nicelni razenj-tega, aij 6= 0.

(m) Determinanto matrike lahko razvijemo po njeni i-ti vrstici (Laplaceov razvoj po vrstici):

det A =n∑

j=1

(−1)i+jaijAij .

(n) Determinanto matrike lahko razvijemo po njenem j-tem stolpcu (ponovno Laplaceov razvoj,tokrat po stolpcu):

det A =n∑

i=1

(−1)i+jaijAij .

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 15: determinanta 020

Algebra I Determinanta 15

(o) Matriko A spremlja njena prirejena matrika ali matrika prirejenka BA ∈ IFn×n s koeficienti(BA)ij = (−1)i+jAji, ki zanjo velja:

A ·BA = BA ·A = ( detA)I.

Naloga. Iyracunaj prirejenko matrike

A =

−1 0 1

2 4 10 1 1

in produkta A ·BA ter BA ·A.

(p) Matrika A je obrnljiva natanko tedaj, ko ima nenicelno determinanto, detA 6= 0. V temprimeru je determinanta obrata enaka obratu determinante,

detA−1 = ( detA)−1, .

Obrat matrike se lahko izrazi z matriko prirejenko,

A−1 =1

detABA.

Pozor, zadnja enakost ima predvsem teoretski pomen, pri izracunu obrata matrike jopraviloma uporabljamo (nevede?) samo v primeru obrata matrike velikosti 2× 2.

Naloga. Ugotovi, da je matrika A iz prejsnje naloge obrnljiva: izracunaj njeno deter-minanto detA in njeno obratno matriko A−1 uporabljajoc njeno prirejenko BA.

(q) Determinanta blocno diagonalne matrike je enaka produktu determinant diagonalnih blokov.

(r) Determinanta blocnotrikotne diagonalne matrike je enaka produktu determinant diagonal-nih blokov.

Pozor: determinanta matrike ni sestevajoca preslikava! Na primer za matriki A =[1 00 0

]in

B =[0 00 1

]velja

det (A + B) 6= det A + det B,

kar ni tezko preveriti.

Zglede racunanja determinant najdemo v zbirkah nalog.

11. Determinanta endomorfizma

Kako endomorfizem ravna s prostorninami? Prepricali se bomo, da je za vsak endomorfizemA: V → V kolicnik PΩ(AΠ)

PΩ(Π)(29)

med predznacenima prostorninama slike AΠ in urejene baze Π neodvisen tako od izbire urejenebaze Π kakor tudi od od urejene baze Ω, glede na katero merimo prostornino!

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 16: determinanta 020

Algebra I Determinanta 16

To je ocitno v primeru, ko je endomorfizem A izrojen, torej ko ni obrnljiv, saj je tedaj stevecniceln v vsakem primeru – slike baznih vektorjev so nujno linearno odvisne. Zato se bomo vnadaljevanju posvetili obrnljivemu primeru.

Naj bo zdaj A poljuben obrnljiv endomorfizem na n-razseznem prostoru V nad poljem IF inΩ,Π urejeni bazi tega prostora. Potem iz obrazca (18) sledi

PΩ(AΠ)PΩ(Π)

=PΠ(AΠ)PΩ(Π)

PΩ(Π)= PΠ(AΠ),

torej kolicnik (29) ni odvisen od izbire urejene baze Ω, glede na katero merimo predznacenoprostornino.

Po drugi strani pa, ce preslikamo enakost (7) z linearno preslikavo A,

Auj =n∑

i=1

aijAvi, (30)

vidimo, da so razvojni koeficienti preslikane baze AΠ po preslikani bazi AΩ enaki enakoleznimrazvojnim koeficientom baze Π po bazi Ω. Zato sta predznaceni prostornini PAΩ(AΠ) in PΩ(Π)enaki,

PAΩ(AΠ) = PΩ(Π).

Odtod dobimo

PΠ(AΠ) = PAΩ(AΠ) · PΩ(AΩ) · PΠ(Ω)

=PAΩ(AΠ)PΩ(Π)

PΩ(AΩ)

= PΩ(AΩ), (31)

ali z drugimi besedami: kolicnik (29) ni odvisen od izbire urejene baze Π!

Ugotovili smo torej, da je dobro definiran pojem determinante endomorfizma. Natancneje,determinanta endomorfizma A je kolicnik med predznacenima prostorninama PΩ(AΠ) in PΩ(Π)(glede na taisto urejeno bazo Ω), torej

detA = PΩ(AΠ)/PΩ(Π), (32)

pri cemer sta Ω in Π poljubni urejeni bazi prostora V . Ce sta poljubni, potem je najbolj preprosto,ce ju vzamemo enaki: Ω = Π. Zahtevani kolicnik se potem poenostavi v

detA = PΩ(AΩ)/PΩ(Ω) = PΩ(AΩ). (33)

Tako smemo zdaj definirati determinanto endomorfizma A kot predznaceno prostornino slike spreslikavo A tiste urejene baze, glede na katero merimo prostornino:

detA = PΩ(AΩ). (34)

Kot smo ze omenili, lahko determinanto endomorfizma izrazimo s pomocjo determinante matriketega endomorfizma, saj velja

detA = PΩ(AΩ) = detMAΩΩ ( id ) = det MΩ

Ω(A).

Ne pozabimo, da je izbira urejene baze Ω v zadnji enakosti poljubna!

Zdaj se lahko na vec nacinov prepricamo, da je determinanta identitete I: V → V enaka 1. Veczgledov najdemo v naslednjem razdelku.

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 17: determinanta 020

Algebra I Determinanta 17

12. Lastnosti determinante endomorfizma in zgledi

Naslednje lastnosti ni tezko dokazati, ce izhajamo neposredno iz definicije determinante endo-morfizma A na n-razseznem prostoru V .

(a) Determinanta identitete je enaka 1, determinanta nicelnega endomorfizma je nicelna.

(b) Determinanta endomorfizma je razlicna od nic natanko tedaj, ko je obrnljiv, torej ko jerangA = n:

detA 6= 0 ⇐⇒ ∃A−1 ⇐⇒ rangA = n.

(c) Determinanta produkta endomorfizmov je enaka produktu determinant teh endomorfiz-mov,

det (AB) = detA · detB.

(d) Ce je endomorfizem A obrnljiv, je determinanta njegovega obrata enak obratu njegovedeterminante,

detA−1 = (detA)−1.

(e) Determinanta skalarne preslikave λI je enaka λn.

(f) Determinanta osnovne linearne premene v 7→ v + f(v)a, pri cemer je a ∈ V pribit vektorin f linearen funkcional na tem prostoru, je enaka 1 + f(a). Posebej: determinanta lin-earnega striga je enaka 1, determinanta enorazseznega linearnega raztega za faktor λ jeenaka λ, determinanta enorazseznega zrcaljenja je enaka −1, determinanta projektorja nahiperravnino je enaka 0.

(g) Determinanta nilpotenta je vselej nicelna, enako velja za projektor z izjemo identitete.

(h) Podobna endomorfizma imata enako determinanto (torej je determinanta konstantna napodobnostnih razredih endomorfizmov – enako velja za matrike).

Na tem mestu bo v prihodnji razlicici stal zgled!

13. Linearno izrazanje vektorja po bazi

Kako razviti dani geometrijski vektor ~z po urejeni bazi Ω = ~a, ~b, ~c, natancneje, kako izracunatinjegove razvojne koeficiente po tej bazi, torej tiste enolicno dolocene skalarje α, β, γ ∈ IR, zakatere je

~z = α~a + β~b + γ~c? (35)

Pristop je lahko analiticen – enakost racunsko obdelujemo, dokler ne prizna, koliksni so skalarji,ali pa konstruktiven – z uporabo linearnih preslikav in njihovih lastnosti najdemo razcep iden-titete vzdolz (baznih vektorjev iz) baze Ω.

Po prvi metodi osamimo posamezen razvojni koeficient, recimo α, tako da celotno enakostnajprej vektorsko pomnozimo z~b (z namenom odpraviti drugi sestevanec v desni strani), dobljenoenakost pa skalarno pomnozimo s ~c (in tako ostane samo en produkt na desni strani). Opravljena

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 18: determinanta 020

Algebra I Determinanta 18

koraka pa lahko tudi zdruzimo tako, da zacetno enakost (35) preslikamo z ”mesanim produktom”( · ,~b,~c). Skratka, v obeh primerih dobimo

(~z,~b,~c) = α(~a,~b,~c).

Vektorji ~a,~b,~c so nekomplanarni, zato je njihov mesani produkt neniceln. Tako lahko izrazimo

α = (~z,~b,~c)/(~a,~b,~c).

Na podoben nacin izracunamo se

β = (~a, ~z,~c)/(~a,~b,~c), γ = (~a,~b, ~z)/(~a,~b,~c).

Tako smo razvili vektor ~z po urejeni bazi Ω,

~z =(~z,~b,~c)

(~a,~b,~c)~a +

(~a, ~z,~c)

(~a,~b,~c)~b +

(~a,~b, ~z)

(~a,~b,~c)~c. (36)

Koristno je opaziti, da se dobljeni razvojni koeficienti precej simetricno izrazajo z mesanimiprodukti vektorjev ~z,~a,~b,~c.

Drugi pristop je, da za preslikavo~x 7→ (~x,~b,~c)

ugotovimo, da je linearen funkcional na prostoru geometrijskih vektorjev, ki na vektorju ~a za-vzame vrednost (~a,~b,~c) in ki vektorja ~b in ~c pa preslika v nic. Popravljeni predpis

~x 7→ (~x,~b,~c)/(~a,~b,~c)

torej doloca linearen funkcional, ki preslika vektor ~a v skalar 1, vektorja ~b in ~c pa v skalar 0. Stem funkcionalom sestavimo preslikavo na istem prostoru geometrijskih vektorjev,

~x 7→ (~x,~b,~c)

(~a,~b,~c)~a, (37)

ki je spet linearna – torej gre za endomorfizem tega prostora – in ki preslika ~a 7→ ~a, ~b 7→ ~0, ~c 7→ ~0.V njem prepoznamo projektor na premico L(~a) vzdolz ravnine L(~b,~c). Izjemoma bomo namestocrke P temu projektorju izbrali oznako I~a. Na podoben nacin definiramo tudi endomorfizme

I~b: ~x 7→ (~a, ~x,~c)

(~a,~b,~c)~b, I~c: ~x 7→ (~a,~b, ~x)

(~a,~b,~c)~c.

Zlahka preverimo, da je vsota tako definiranih endomorfizmov-projektorjev enaka identiteti,

I = I~a + I~b + I~c,

saj vsota I~a + I~b + I~c pribije vsakega od baznih vektorjev ~a,~b,~c in tako na bazi Ω sovpada zidentiteto I. Potemtakem

~z = I~z= (I~a + I~b + I~c)~z= I~a~z + I~b~z + I~c~z

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 19: determinanta 020

Algebra I Determinanta 19

=(~z,~b,~c)

(~a,~b,~c)~a +

(~a, ~z,~c)

(~a,~b,~c)~b +

(~a,~b, ~z)

(~a,~b,~c)~c, (38)

od koder preberemo iskane razvojne koeficiente.

Gornja izpeljava je poucna: razvojne koeficiente smo dobili zgolj z uporabo osnovnih last-nosti mesanega produkta. Ker je mesani produkt geometrijskih vektorjev samo poseben primerpredznacene (relativne!) prostornine, ponovimo vajo v splosnem koncnorazseznem vektorskemprostoru.

Vajo raje prepustimo bralki in bralcu! Rezultat pa napisimo: naj bo V vektorski prostor koncnerazseznosti n nad poljem IF in Ω = v1, . . . , vn njegova urejena baza, vektor z ∈ V pa poljuben.Potem za razvojne koeficiente α1, . . . , αn vektorja z po urejeni bazi Ω velja

αi = PΩ(v1, . . . , vi−1, z, vi+1, . . . , vn) = PΩ(Ωi) (39)

za vsak i = 1, . . . , n pri cemer je PΩ predznacena relativna prostornina glede na urejeno bazoΩ, urejena baza Ωi pa se od urejene baze Ω razlikuje samo v i-tem baznem vektorju, ki je enakz.. V primeru, da merimo prostornino glede na neko drugo urejeno bazo prostora V , recimo Π,je rezultat

αi =PΠ(v1, . . . , vi−1, z, vi+1, . . . , vn)

PΠ(Ω)=PΠ(Ωi)PΠ(Ω)

. (40)

Pomen izpeljanih obrazcev (39,40) je v tem, da pojmu predznacene prostornine dodajo novpomen: jezik predznacenih prostornin je primeren v obravnavi linearne izrazitve vektorja pourejeni bazi. Ponovimo:

z = PΩ(Ω1)v1 + PΩ(Ω2)v2 + · · ·+ PΩ(Ωn)vn

oziroma

z =PΠ(Ω1)PΠ(Ω)

v1 +PΠ(Ω2)PΠ(Ω)

v2 + · · ·+ PΠ(Ωn)PΠ(Ω)

vn.

14. Resevanje posebnih linearnih sistemov – Cramerjevo pravilo

Linearni sistem enacba11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(41)

lahko preprisemo v obliko

x1

a11

a21...

am1

+ x2

a12

a22...

am2

+ · · ·+ xn

a1n

a2n...

amn

=

b1

b2...

bn

.

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 20: determinanta 020

Algebra I Determinanta 20

Ce matriko sistema oznacimo z A ∈ IFm×n in stolpec desnih strani z b ∈ IFm×1, smemo zadnjoenakost prepisati v obliko

b = x1A(1) + x2A

(2) + · · ·+ xnA(n). (42)

V grobem je torej resevanje linearnega sistema (41) enakovredno iskanju vseh dopustnih ,,naborovrazvojnih koeficientov stolpca desnih strani po urejeni n-terici stolpcev matrike sistema‘‘.

V primeru, ko stolpci matrike A tvorijo bazo tistega prostora stolpcev, ki mu pripada stolpec b,to je takrat, ko velja

– m = n, torej stevilo enacb in stevilo neznank sta enaki, in

– stolpci matrike A so linearno neodvisni,

lahko uporabimo ugotovitve iz predhodnega razdelka. Zadnji pogoj smemo zapisati na vecrazlicnih nacinov (dva smo ze!), saj so naslednje izjave za matriko A ∈ IFn×n enakovredne:

– stolpci matrike A tvorijo bazo prostora stolpcev IFn×1;

– stolpci matrike A so linearno neodvisni;

– rang matrike A je enak n;

– matrika A je obrnljiva;

– detA 6= 0.

V jeziku predhodnega razdelka bodi torej urejena baza Ω sestavljena iz stolpcev matrike A,

Ω = A(1), A(2), . . . , A(n),urejena n-terica Ωi pa naj se od Ω razlikuje samo v i-tem vektorju, ki je enak stolpcu b (namestostolpca A(i)). Za Π vzemimo obicajno urejeno bazo Σs prostora stolpcev IFn×1,

Π = Σs.

Potem velja

xi =PΠ(Ωi)PΠ(Ω)

.

Ce Ai oznacuje matriko iz IFn×n, ki se od matrike A razlikuje samo v i-tem stolpcu, ki je enakstolpcu b, in zaznamujemo

D = det A, Di = det Ai,

potem imamo preprosto izrazavo resitve

xi =Di

D.

Povzemimo Cramerjevo pravilo: v primeru, da ima linearni sistem (41) kvadratno matriko sis-tema A z nenicelno determinanto D = detA 6= 0, potem je sistem enolicno resljiv in velja

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D,

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 21: determinanta 020

Algebra I Determinanta 21

pri cemer je Di determinanta matrike Ai ∈ IFn×n, ki se od matrike A razlikuje samo v i-temstolpcu, ki je enak stolpcu desnih strani linearnega sistema.

Ponovno je na mestu opozorilo: zaradi racunske potratnosti je Cramerjevo pravilo (razen vredkih primerih) neuporabna metoda resevanja linearnih sistemov. Gaussov postopek je tisti,ki se ga v splosnem velja drzati.

15. Alternativne definicije determinante

V literaturi je najpogostejsa neposredna (Leibnizova) definicija determinante matrike z obrazcemza vrsticno determinanto (26), to je

det (A) =∑

π∈Sn

sign(π) a1,π1a2,π2 · · · an,πn.

Seveda je tak pristop algebrsko korekten, poucen pa ni, saj novica postavi pred izvrseno dejstvo,ki ne pojasni, zakaj je taka definicija sploh smiselna, hkrati pa zamolci celotni miselni processtvarjenja odlikovane matricne preslikave. Nekateri avtorji vendarle posvetijo tej tematiki vecpozornosti in namen tega razdelka je predstaviti pestrost teh pristopov.

Na tem mestu si ogledamo nekaj ucbenikov s podrocja (linearne) algebre, na primer [1, 2, 4, 8,9, 10]!

16. Nekaj predlogov za nadaljnje branje

O matriki in determinanti skozi cas v clanku ,,Matrices and determinants‘‘ avtorjev J. J. O’Connorjain E. F. Robertsona, na spletnem naslovu

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html

Za racunanje determinant veljajo se druga pravila, morebiti sodi med zanimivejse pravilo zgoscanja,ki determinanto matrike n × n izrazi z determinantami stirih vogalnih podmatrik velikosti(n − 1) × (n − 1) in ene sredinske velikosti (n − 2) × (n − 2). Pravilo vecinoma pripisujejoangleskemu matematiku Dodgsonu [3] – bolj znan je kot Lewis Carrol, nekateri avtorji pa sodrugacnega mnenja, vec o tem v clanku [7, str. 11], ki ima tudi obsezen seznam literature natemo determinant.

Literatura

[1] M. Artin, Algebra, Prentice Hall, London 1991.

[2] T. Banchoff, J. Wermer, Linear algebra through geometry, Second edition, Springer, NewYork 1992.

[3] C. L. Dodgson, Condensation of determinants, Proc. Royal Soc. London 15 (1866) 150–155.

[4] K. Janich, Linear algebra, Springer, New York 1994.

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ

Page 22: determinanta 020

Algebra I Determinanta 22

[5] D. E. Knuth, Overlapping Pfaffians, J. Comb. 3 (1996) 147–159.

[6] M. Kolar, B. Zgrablic, Vec kot nobena, a manj kot tisoc in ena resena naloga iz linearnealgebre, Pedagoska fakulteta, Ljubljana 1996.

[7] C. Krattenthaler, Advanced determinant calculus, Semin. Lothar. Comb. 42 (1999) B42q,67 p., samo v elektronski obliki.http://www.mat.univie.ac.at/ slc/wpapers/s42kratt.pdf

[8] F. Krizanic, Linearna algebra in linearna analiza, Drzavna zalozba Slovenije, Ljubljana1993.

[9] S. Lang, Linear Algebra, Third edition, Springer, New York 1987.

[10] W. Nef, Linear algebra, McGraw–Hill, London 1967.

[11] D. Zeilberger, Dodgson’s determinant-evaluation rule proved by two-timing men andwomen, J. Comb. 4 (1997) 283–284.http://www.math.temple.edu/ zeilberg/mamarim/mamarimhtml/twotime.html

Koper, Ljubljana 8. april 2003 Ver. 1.00020 c©BZ